Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis

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Uma introdução ao estudo de

funções multivariáveis

Állison Pinto Batista

Universidade Federal do Amazonas Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente Janeiro de 2014

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Bem-vindo

Este material trata da introdução ao estudo de funções representadas em espaços mais extensos do que o conjunto de números reais, tomando para tanto ou o plano ou o espaço cartesianos.

Isto significa estender as noções anteriormente vistas em um estudo de Cálculo para necessi-dades maiores e ora mais complexas do que as modeláveis por funções simples, de números reais a números reais. O primeiro passo desta extensão é o trabalho com funções cujas imagens não são representáveis por um número real, mas por um par ou trio de coordenadas. Em seguida, o trabalho se concentrará nas funções cujos domínios sejam representados por coordenadas.

Em um primeiro momento, faremos apenas uma comparação entre tais entes, mostrando as semelhanças em relação aos estudos anteriores de Cálculo. Em seguida, partiremos para uma análise mais detalhada a respeito deste novo contexto.

Convido você ao estudo de Matemática não como mera ferramenta, mas como um ramo que proporciona uma melhor visualização dos problemas e maiores leques de raciocínio, sem abrir mão de sua precisão.

Bom trabalho! O autor.

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Capítulo 1

Funções Vetoriais e Funções

Multivariáveis

Aqui, começamos a estender os horizontes do que conhecemos usualmente por funções. Esta-mos habituados a trabalhar com as funções definidas, no máximo, no conjunto de números reais (R) assumindo valores também reais, isto é, funções da forma

f : X → R, X ⊂ R.

Já conhecemos muitos gráficos desta natureza, mas e se a relação for tal que a representação gráfica fornecida não constituir um gráfico como nós já conhecemos? Pense na figurinha a seguir, por exemplo:

Figura 1.1: Representação gráfica que não provém de uma função f : X → R, X ⊂ R.

É possível representar esta espiral como uma função real? Esta é a pergunta que iremos responder para figuras quaisquer; mas, de antemão, direi a resposta: sim, é possível.

Com efeito, é possível tratar qualquer representação gráfica como uma função desde que o domínio e o contradomínio dela sejam ampliados o suficiente para que a representação faça parte da imagem da função.

No caso da espiral, precisaremos admitir um contradomínio que assuma a forma do plano cartesiano. Como a espiral é uma linha, não é necessário ampliar o domínio: podemos continuar tendo por domínio o conjunto de números reais (R). Para o contradomínio, para evitar problemas de caráter estrutural, tomaremos o produto cartesiano R × R, usualmente representado por R2_{. Deste}

modo, podemos, agora, escrever a espiral como uma função do tipo E : X → R2, X ⊂ R.

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Este tipo de função não é uma função real. Esta função pertence a uma classe de funções que iremos estudar ao longo deste material: as funções vetoriais.

1.1 A classe das funções que assumem vetores ou pontos por resultado

Uma função vetorial é uma função do tipo f : Dom → CD tal que o conjunto CD assume pontos ou vetores, isto é, um conjunto composto por produtos cartesianos. O mais simples deles é R2, como vimos.

A rigor, o tratamento das mesmas é semelhante ao dado nas funções ordinárias. É possível somar e subtrair, mas não é possível, por exemplo, multiplicar ou dividir, uma vez que os resultados não são números, mas pontos.

Um exemplo palpável de o que seja uma função vetorial pode ser encontrado na circunferência e na esfera, preferencialmente de centros na origem e de raios 1.

f (t)= (sen t ; cos t) C(t)= (sen t ; cos t ; 0) E(t)= (sen t ; 0 ; cos t)

Figura 1.2: Exemplos de funções vetoriais no plano R2_{e no espaço R}3_.

Então, podemos falar, inicialmente, das funções que têm domínio real e valores vetoriais (daí o nome função vetorial).

1.2 Funções vetoriais de uma variável real

Estas funções são as mais comuns por poderem, em parte razoável, ser assemelhadas a linhas retas. De fato, representam linhas, como nos exemplos vistos há pouco. A estrutura genérica de uma função vetorial de uma variável real é:

f : X → Rn, X ⊂ R, f (t) = f1(t) ; f2(t) ; f3(t) ;. . . ; fn(t) .

Para nosso estudo, estaremos nos restringindo a funções vetoriais com imagens ou no plano ou no espaço cartesianos (R2ou R3).

Quando podemos representar uma função vetorial pela forma genérica descrita anteriormente, identificando cada coordenada por meio de uma função, obtemos uma parametrização de uma figura geométrica, pois, para cada valor tomado por t, o dito parâmetro, obtemos um ponto específico sobre a imagem da função. Desta observação, as funções vetoriais de uma variável real também recebem o nome de curvas.

Com efeito, o gráfico de qualquer função real f : X → R, X ⊂ R também pode ser estudado por meio desta análise. A função vetorial que podemos extrair dele é

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Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Állison Pinto Batista

G(t)= t ; f (t) .

Há outros exemplos. Podemos construir uma espiral um pouco diferente daquela vista no início desta seção por meio da função

S(t)= (t cos t ; t sen t) :

Figura 1.3: Imagem da função S : R+→ R2, S(t) = (t cos t ; t sen t).

Além disso, se fizermos a altura depender da posição angular da espiral, teremos algo parecido a um vórtice, por meio da função

V(t)= (t cos t ; t sen t ; t) :

Figura 1.4: Imagem da função V : R+→ R3, V(t) = (t cos t ; t sen t ; t).

Observando que cada traço assim produzido pode ser livremente desenhado como partes de curva ou mesmo como uma curva inteira, denominaremos tais funções por curvas parametrizadas, ou, de modo mais comum ao longo deste material, curvas.

Como veremos adiante, as curvas, conforme definimos, possuem algumas propriedades im-portantes que permitem a análise de estruturas reais e concretas de um ponto de vista seccional. Tais propriedades se revelam úteis quando estendidas ao trato de superfícies em geral.

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1.3 Funções reais de mais de uma variável real, ou multivariáveis

Em contraste com a situação que acabamos de analisar, temos, também, o caso das funções cujo domínio tem mais de uma dimensão, mas tem números por imagens. A rigor, uma função real multivariável é uma função da forma

f : D → R, D ⊂ Rn, n > 1.

A situação mais comum onde as mesmas surgem é na modelagem de superfícies concretas e em outros contextos nos quais uma medida depende, em geral, de mais de uma outra medida.

Quanto a estas, o que se pretende é estender o conhecimento adquirido no Cálculo de Funções de Uma Variável, explorando ao máximo propriedades que estas funções possam revelar. Deste modo, falaremos, em momento oportuno, em limites, derivadas e integrais.

Um exemplo imediato é a modelagem da profundidade de um lago ou de um setor de costa litorânea. A função mais utilizada para este tipo de modelagem é, sem dúvida, a função polinomial, pelo fato de seu tratamento ser mais simples em relação a outra que proporcione melhor precisão. Apenas a título de visualização, exemplifico um gráfico desta natureza:

Figura 1.5: Parte do gráfico da função f : R2→ R, f (x ; t) = −x2+ xt − y2+ x − 6y − 2.

Apesar disto, há casos em que superfícies são melhor modeladas por combinações envolvendo funções exponenciais e sinodais (trigonométricas), como, por exemplo,

f : R2 → R, f (x ; t) = cos x − sen t:

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1.4 Funções vetoriais multivariáveis

Por fim, ainda há as funções que são definidas em mais de uma variável em valores vetoriais. Quanto a estas, na maior parte dos casos não seremos capazes de exemplificar os efeitos, mas podemos descrever sua forma geral.

Uma função vetorial multivariável é uma função que assume, genericamente, a forma f : D → Rn, D ⊂ Rk, k > 2, n > 2.

Um caso particular é a abordagem de superfícies por meio de funções vetoriais, modeladas por funções da forma

S : D → R3, D ⊂ R2,

e cujas propriedades daí decorrentes tornam o estudo de superfícies em geral mais rico do que a análise provida no Cálculo Vetorial. Tais funções não serão trabalhadas com profundidade neste material, mas, caso você tenha interesse em estudá-las com maior rigor, sugiro a consulta ao livro Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, de autoria de Manfredo Perdigão do Carmo.

1.5 O Cálculo básico nas funções vetoriais de uma variável real

É possível estender as noções que já adquirimos em um estudo anterior no Cálculo para esta situação, isto é, os conceitos de limite, derivada e integral, para as funções vetoriais reais. Nós nos restringiremos ao trato de funções cuja imagem esteja no plano ou no espaço cartesiano usual.

1.5.1 Limites

Comecemos com a noção de limite, visto que ela é necessária para as demais. O limite de uma função f : X → R3, X ⊂ R quando x tende a um valor p (não necessariamente presente em X) será o vetor v = (a ; b ; c) se, para qualquer valor fixado r > 0, for possível determinar um valor d > 0 de modo que 0< x−p < d ⇒ f (x)−v < r,

isto é, se os vetores f (x) e v estiverem muito próximos quando x se aproxima de p.

Mas esta noção não é tão amigável, o que nos obriga, num primeiro momento, a procurar por um outro meio de trabalhar o limite. Diante do exposto, como já conhecemos o funcionamento dos limites ordinários, é suficiente analisar se cada função coordenada de f tiver seu próprio limite quando x tende a p. Se alguma delas não tiver, o limite não irá existir.

Considere a função f : R → R3, f (t) = (cos t ; sen t ; t). O limite de f quando x tende a π, por exemplo, é igual a

lim

x→πf (t)=

lim

x→πcos t ; limx→πsen t ; limx→πt

= (cos π ; sen π ; π) = (−1 ; 0 ; π) . Considere, agora, a função f : R → R2,

f (t)= t sen ₁ t ; cos t t . Neste caso, teremos, para x tendendo a zero,

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lim x→0 f (t)= lim x→0t sen ₁ t ; lim x→0 cos t t = (0 ; [+∞ · 1]) .

Observemos que a primeira coordenada tem limite por se tratar do produto de zero por uma função limitada (apesar de não existir o limite de sen. . .), mas a segunda nem limite tem pois resulta em uma tentativa de divisão de um número não nulo por zero. Logo, a função vetorial não tem limite em x= 0.

1.5.2 Derivadas

Diante da breve exposição do funcionamento do limite, é mais simples estender a noção de derivada para as funções vetoriais. Como visto, o limite de uma função vetorial existe se existirem os limites em cada coordenada. Deste modo, também a derivada de uma função vetorial existe se existirem as derivadas em cada coordenada.

Formalmente, a derivada de uma função f : X → R3, X ⊂ R em um ponto p ∈ X equivale à existência do limite

lim

x→p

f (x) − f (p) x − p ,

que, traduzido ao nosso contexto significa, com as considerações já feitas, lim x→p f1(x) − f1(p) x − p ; limx→p f2(x) − f2(p) x − p ; limx→p f3(x) − f3(p) x − p ! . Diante disto, temos, para f : R → R3, com lei de formação

f (t)=et; lnt2+ 1 ; sen (cos t), o vetor genérico d f dt = et; 2t

t2_{+ 1}; − sen t · cos (cos t)

.

Para o estudo em Cálculo Básico, restringiremo-nos ao trato de derivadas de funções vetoriais, não adentrando às questões das primitivas e das integrais.

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Capítulo 2

Uma rápida visita à Geometria Diferencial

Nesta parte, o principal objeto de estudo são as funções f : X → R2e f : X → R3, em relação à representação de suas imagens. Tais funções, conforme dito no capítulo anterior, são comumente denominadas curvas, devido ao aspecto da representação de suas imagens.

Por outro lado, interessam-nos aqui apenas algumas curvas, sobre as quais podemos vislum-brar propriedades um tanto incomuns de serem vistas, sem perder o foco nas aplicações. Apesar disto, ressalto de antemão que a aplicabilidade total das noções aqui desenvolvidas requer o tratamento de funções que descrevam superfícies, que não será desenvolvido aqui.

2.1 Curvas diferenciáveis

Como o próprio tópico sugere, pretendemos analisar os efeitos da definição de derivada em uma curva. Entretanto, como vimos anteriormente, nem toda curva no padrão que estabelecemos admitirá derivada. Por outro lado, uma curva é dita diferenciável se admitir derivada em todos os pontos de seu domínio.

Podemos novamente comparar a situação com a ilustração de uma reta tangente, conforme estudado anteriormente em Cálculo. Imagine, em um primeiro momento, a representação de uma curva f : X → R2, X ⊂ R, e marque dois pontos sobre ela, formando uma reta secante.

Figura 2.1: Uma reta secante sobre dois pontos de uma curva f : X → R2, X ⊂ R.

Continuando a construção, aproxime os dois pontos (digamos, do ponto A ao ponto B) até formar uma reta tangente.

Como a curva é definida sobre o conjunto dos números reais, podemos tomar como orientação da curva o sentido de percurso das imagens conforme aumentam os valores no domínio. Para este exemplo, podemos pensar que X define uma orientação no sentido de A para B. Diante disto,

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Figura 2.2: A reta secante e a reta tangente a um ponto de f : X → R2, X ⊂ R.

podemos projetar um vetor tangente partindo de B sobre a reta tangente e, devido à identificação proposta, concluir que este vetor é dado pela função derivada da curva, d f/dt.

Figura 2.3: A reta secante, a reta tangente e o vetor tangente a um ponto de f : X → R2, X ⊂ R. Diante disto, poderíamos muito bem definir o vetor tangente à curva pela derivada dela, mas isto não representaria muito bem o propósito deste estudo, que é o tratamento de propriedades intrínsecas às curvas.

2.2 O comprimento de arco

Dependendo de como a curva seja definida, podemos ter uma variação leve, razoável ou excessiva na determinação do vetor tangente à curva em cada ponto. Isto se dá porque o módulo, ou norma, do vetor derivada da curva pode não ser constante.

Então a análise fica prejudicada se este vetor não for constante? Em termos, pode ser que sim. Mas podemos minimizar este efeito se a curva admitir uma nova lei de formação que descreva a mesma imagem, isto é, uma reparametrização. Para tal descrição, nos é conveniente que o vetor derivada da curva tenha sempre módulo constante, para que fixemos nossos olhares em propriedades mais importantes. Convencionaremos que tal módulo seja igual a 1 para fins de reparametrização.

O efeito causado pela convenção é de um percurso conforme as pernas de cada um, vale dizer, como uma identificação do conjunto dos números reais com o percurso dado na imagem da curva.

Para tanto, faz-se um processo semelhante à soma de Riemann, mas aqui, os valores em questão serão dados pela norma do vetor tangente ao longo da partição. Sendo f : X → R2 (o mesmo vale para R3ou superiores), X ⊂ R, construiremos, para uma partição P de X, a soma

S= n X i=1 d f dx _p i−1 pi−pi−1 ,

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Figura 2.4: A construção da soma de Riemann em uma partição de um subconjunto de X para a curva f : X → R2_{, X ⊂ R. Logo ao lado, há uma ampliação do setor.}

cujo limite, quando o comprimento dos intervalos da partição tendem a zero, é S(t)= Z t a d f dx dx,

e a esta função S denominamos comprimento de arco da curva f . O valor a usado na definição desta integral é qualquer ponto do domínio da curva, X, a partir do qual se deseja avaliá-la.

Apenas uma leve observação. Este processo inicia o estudo das chamadas integrais de linha, assunto não abordado neste estudo.

2.3 Primeira propriedade: a curvatura

Diante do fato de a curva poder ter sua lei de formação reescrita, isto é, ser reparametrizada, devemos, antes, levar em consideração um fator. Pretendemos que a reparametrização sugerida anteriormente (apesar de nada amigável) seja tal que o vetor tangente à curva tenha módulo 1, o que obriga o vetor derivada da curva a, também, ter módulo 1.

Uma maneira de fazer um vetor ter módulo 1 é tomar um vetor unitário em sua direção mesma, isto é, a um vetor z, um vetor unitário na direção de z seria z/ ||z||. Observemos que o valor ||z|| neste contexto fala de uma informação importante.

Para o presente caso, temos uma informação que pode ser extraída da derivada do vetor tangente. Bem sabemos que a qualquer reta tangente corresponde uma reta normal, perpendicular a ela. Deste modo, se há um vetor tangente, existirá um vetor normal e será perpendicular a ele. Mas agora mostraremos que realmente é a derivada. Como o módulo do vetor tangente é igual a 1 (pois reparametrizamos a curva por seu comprimento de arco), então

1= r fx(s)2+ fy(s) 2 + fz(s)2= s hd f ds; d f ds i ⇒ hd f ds; d f ds i= 1.

Sendo isto verdadeiro e o fato de o produto interno se comportar como manda a regra do produto resultam em hd f ds; d f ds i= 1 ⇒ hd 2_f ds2; d f ds i+ hd f ds; d2f ds2 i= 0 ⇔ hd f ds; d2f ds2 i= 0,

o que prova serem o vetor tangente e sua derivada perpendiculares. Logo, podemos tomar um vetor unitário na direção da derivada do vetor tangente. Ora, isto fará surgir o vetor

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N(s)= d 2_f ds2 , d2f ds2 .

A este vetor, denominamos vetor normal à curva parametrizada pelo comprimento de arco. O valor d 2_f/ds2

é demasiado importante por ser ele quem mede o quanto a curva deixa de ser uma reta. Diante deste fato, faremos uma nomeação. O valor

K(s)= d2_f ds2

é denominado curvatura da curva f : X → R3, X ⊂ R, parametrizada pelo comprimento de arco. Deste modo, representando o vetor tangente à curva f por T(s), podemos escrever

dT

ds = K(s)N(s), o que completa o estudo desta seção.

2.4 Segunda propriedade: a torção

Vimos que é possível medir o quanto uma curva deixa de ser reta, pois pensamos inicialmente num parâmetro do plano. Agora, pensando em imagens tridimensionais, podemos prever também que uma curva deixe de ser plana.

Você ainda se lembra da imagem do vórtice, algumas páginas atrás? Certamente, o vórtice não tem feição de curva plana, como podemos rever:

Figura 2.5: Imagem da função V : R+→ R3, V(t) = (−t cos t ; t sen t ; t).

Para tanto, tomaremos por ponto de partida um vetor perpendicular aos dois que já conhe-cemos, isto é, um vetor perpendicular aos vetores tangente, T(s), e normal, N(s). O melhor meio de fazer isto é determinar o produto vetorial entre eles. E, de fato, será este o processo, resultando em uma outra nomeação.

Conhecidos os vetores tangente e normal a uma curva f : X → R3_{, X ⊂ R, parametrizada pelo}

comprimento de arco, o vetor binormal à curva f é expresso por B(s)= T(s) ∧ N(s).

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Este vetor mede a direção em que a curva pertence a um plano, visto que os vetores tangente e normal determinam um plano. Porém, este vetor, por si só, não permite determinar o quanto a curva pode deixar de ser plana, por ser unitário.

Figura 2.6: Representação dos vetores tangente, normal e binormal na imagem da função V : R+ →

R3, V(t) = (−t cos t ; t sen t ; −t/2).

Como vimos, estes vetores são determinados por funções deriváveis ao longo da curva. Como o módulo do vetor binormal é igual a 1, vale para ele a mesma observação feita para o vetor tangente, isto é,

hB(s);dB ds

i= 0.

Cientes de que o produto vetorial também obedece à regra do produto, temos, também, dB ds = dT ds ∧_N(s)+ T(s) ∧ dN ds. Na seção anterior, vimos que

dT

ds = K(s)N(s), donde, ao substituir na expressão anterior, virá

dB ds = dT ds ∧_N(s)+ T(s) ∧dN ds = K(s)N(s) ∧ N(s) + T(s) ∧ dN ds = T(s) ∧ dN ds.

Deste modo, o vetor derivada do vetor binormal é normal a ele, portanto, perpendicular, e, por esta expressão, é perpendicular ao vetor tangente. Diante desta situação, concluímos que o vetor dB/ds é um múltiplo do vetor normal. Uma outra maneira de visualizar isto é determinar o produto vetorial de dB/ds com N(s): N(s) ∧dB ds = N(s) ∧ T(s) ∧ dN ds = hN(s); dN dsiT(s) − hN(s); T(s)i dN ds.

Como os vetores tangente e normal são perpendiculares, o último termo é nulo. Como visto para os vetores tangente e binormal, concluímos que a derivada do vetor normal também deverá ser perpendicular a ele, donde o primeiro termo é nulo. Com isso,

N(s) ∧ dB ds = 0,

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o que mostra ser a derivada do vetor binormal um múltiplo do vetor normal. Este fator de multipli-cidade, que denotaremos por R(s), é denominado torção da curva f e mede o quanto a curva deixa de ser plana.

2.5 Terceira propriedade: a variabilidade de uma orientação por meio do

triedro de Frenet

Nas seções anteriores, para definirmos e determinarmos a curvatura e a torção de uma curva f : X → R3_{, X ⊂ R, falamos de um conjunto de vetores que construímos de modo a serem perpendiculares}

entre si, ou ortogonais: os vetores tangente, normal e binormal à curva f . Baseados neles, pudemos escrever

dT

ds = K(s)N(s) dB

ds = R(s)N(s).

Diante disto, o que acontece se tentarmos medir a variabilidade do vetor normal por meio de sua derivada? Bom. Há apenas um meio de saber: derivando. Mas, antes disto, como o vetor binormal é escrito como produto vetorial do tangente com o normal, podemos escrever o normal como produto vetorial do binormal com o tangente, e o tangente como produto vetorial do normal com o binormal:

B(s)= T(s) ∧ N(s) ⇔ N(s) = B(s) ∧ T(s) ⇔ T(s) = N(s) ∧ B(s). Com isso, ao derivar o vetor normal, vem

dN ds = dB ds ∧_T(s)+ B(s) ∧dT ds = (R(s)N(s)) ∧ T(s) + B(s) ∧ (K(s)N(s)) = = −R(s) (T(s) ∧ N(s)) − K(s) (N(s) ∧ B(s)) = = −R(s)B(s) − K(s)T(s),

isto é, a variação do vetor normal é combinação linear dos vetores binormal e tangente tendo por fatores a torção e a curvatura. Com isto, concluímos a descrição do dito triedro de Frenet, composto pelos vetores tangente, normal e binormal à curva com variações dadas pelo conjunto de equações

dT ds = K(s)N(s) dN ds = −R(s)B(s) − K(s)T(s) dB ds = R(s)N(s).

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2.6 Calculando as medidas de distorção sem a necessidade de

reparame-trizar a curva

Vimos como podemos estudar as medidas de distorção da curva, isto é, a curvatura e a torção, desde que elas estejam parametrizadas pelo comprimento de arco. O problema é que nem sempre esta reparametrização é viável e, literalmente, traz muita dor de cabeça, tendo ou não um Sistema Algébrico Computacional (SAC), como o Maple ou o Maxima.

Felizmente, é possível converter estas funções em termos da definição da própria curva. Para alcançar estas expressões, faz-se necessário tratar a curva por meio de derivação implícita, cujos passos não serão detalhados aqui por comodidade. Contudo, para tanto, é necessário que as derivadas de primeira, segunda e terceira ordens existam em todos os pontos da curva e, além disso, nem a primeira nem a segunda podem ser nulas.

Quando uma curva diferenciável f : X → R3, X ⊂ R, tem a primeira derivada nula em algum ponto p ∈ X, diremos que a curva tem uma singularidade de ordem zero no ponto p. Se, além disso, a segunda derivada também for nula em p, a singularidade passa a ser de ordem 1.

Diante destas considerações, sendo f : X → R3, X ⊂ R, uma curva diferenciável não parame-trizada pelo comprimento de arco, a curvatura e a torção de f em um ponto não singular p ∈ X são descritas por K(t)= d f/dt ∧ d 2_f/dt2 d f/dt 3 R(t)= hd f/dt ∧ d 3_f/dt3_{; d}2_f/dt2_i d f/dt ∧ d2f/dt2 2 .