Uma analise da influencia da curvatura do espaço em sistemas de comunicações

Departamento de Telemáti a

Uma Análise da Inuên ia da Curvatura

do Espaço em Sistemas de Comuni ações

Autor: Rodrigo Gusmão Caval ante

Orientador: Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr.

Ban a Examinadora:

Prof. Dr. Reginaldo Palazzo Jr. DT-FEEC-UNICAMP

Prof. Dr. Henrique Lazari UNESP/RIO CLARO

Prof. Dr. Renato da Ro ha Lopes DECOM-FEEC-UNICAMP

Prof. Dr. Romis Ribeiro de Faissol Attux DCA-FEEC-UNICAMP

Prof. Dr. Weiler Alves Finamore CETUC/PUC-RIO

Tese apresentada na Fa uldade de

Engenha-ria Elétri a e de Computação da

Universi-dade Estadualde Campinas, omopartedos

requisitos exigidos para aobtenção do título

de Doutor emEngenharia Elétri a.

Campinas - SP

Caval ante, RodrigoGusmão

C314a Uma análiseda inuên ia da urvaturado espaço emsistemas

de omuni ações /Rodrigo GusmãoCaval ante. 

Campinas, SP: [s.n.℄, 2008.

Orientador: ReginaldoPalazzoJúnior.

Tese (doutorado)- Universidade Estadualde Campinas,

Fa uldade de EngenhariaElétri a e de Computação.

1.Curvatura. 2.Materiaisóti os. 3.Modulação(Eletrni a).

4.Teoria dos sinais (Tele omuni ações). 5. Geometria riemanniana.

6. Superfí ies de urvatura onstante. I.Palazzo Júnior, Reginaldo.

II.Universidade Estadual de Campinas. Fa uldade de Engenharia

Elétri a de Computação. III.Título

Títuloem Inglês: An analisys of the inuen e of the spa e

urvaturein ommuni ationsystems

Palavras- haveem Inglês: Communi ation system, Signal onstellation,

Twisted modulation,Opti almedium,

Curvature, Riemannian manifold

Áreade on entração: Tele omuni açõese Telemáti a

Titulação: Doutor em EngenhariaElétri a

Ban aExaminadora: Henrique Lazari, Renato daRo ha Lopes,

Romis Ribeiro de Faissol Attux,

Weiler Alves Finamore.

Datada defesa: 09/05/2008

do Espaço em Sistemas de Comuni ações

Este exemplar orresponde àredaçãonal datese

devidamente orrigida e defendida por Rodrigo

Gusmão Caval ante e aprovada pela ban a

exa-minadora.

Campinas, 9de maio de 2008.

TeseapresentadanaFa uldadedeEngenharia

Elé-tri a e de Computação da Universidade Estadual

de Campinas, omo parte dos requisitos exigidos

para aobtenção dotítulode Doutor em

Engenha-riaElétri a.

Campinas - SP

maiorpartedossistemasde omuni açõesatuais. Nestatese, veri amosqueomodelo

deum sistemade omuni açãonão ne essariamenteestárestritoaoespaçoEu lidiano,

massimaumavariedadeRiemanniana. Comisso, ossistemasde omuni açõespodem

seranalisados emum ontexto mais geral, noqual onstatamos quea urvaturado

es-paçoinuen iaemseusdesempenhos. Comoexemplo,estudamosa urvaturade meios

ópti ose propomos novos pers de guias de ondas, bras ópti as e lentes de interesse

práti o. Além disso, ara terizamos a urvatura de modulações não-lineares (twisted)

everi amosqueovalormáximopermitidoparaaenergiamédiadoruídoestá

rela io-nadaaovalorda urvaturadamodulação. Neste ontexto, asmodulaçõesasso iadasa

superfí ies mínimasapresentaram bons desempenhos,poistaismodulaçõessão pontos

ríti os do erro quadráti o médio. Mostramos também que o espaço de sinais possui

métri ainduzidada superfí ieasso iada àmodulação. Com isso, foi possível

demons-trar que os espaços de sinais om urvatura negativa são os que apresentam melhor

desempenho segundo a probabilidade média de erro. Dessa forma, alguns exemplos

de onstelações de sinais geometri amente uniformes foram onstruídos e analisados

em variedades Riemannianas. Finalizamos este trabalho notando que na maioria das

vezes que oespaço hiperbóli o é utilizadonos blo os de um sistema de omuni ações,

odesempenho desse sistema tende ase aproximardoponto ótimo de operação.

Palavras- have: sistema de omuni ações, urvatura, meios ópti os, modulação

não-linear, onstelação de sinais, variedade Riemanniana.

Abstra t

In general, the Eu lidian spa e is used in the design and performan e analysis in

most of the urrent ommuni ation systems. In this thesis, we note that the model

of a ommuni ation system is not ne essarily restri ted to the Eu lidian spa e, more

pre isely,themodel anbelinkedtoRiemannianmanifolds. Thus, the ommuni ation

systems ould be analyed in a broader ontext, in whi h the urvature of spa e

inu-en eontheirperforman e. Asanexample,westudiedthe urvatureofopti almedium

and propose new proles of waveguides, opti al bers and lenses of pra ti al interest.

Moreover, we have hara terizedthe urvature oftwistedmodulationsand found that

themaximumvalueallowedforthe averageenergyofnoiseisrelatedtothevalueofthe

urvature of the modulation. Inthis ontext, the modulationasso iated withminimal

surfa es showed good performan e, be ause these modulations are riti al points of

minimum the mean-square error. We show that the signal spa e has indu ed metri

asso iated with surfa e of the modulation. Thus, wehave shown that the signal spa e

with negative urvature is the spa e where the average error probability de rease a

fun tion of the urvature. Thus, some examples of geometri ally uniform signal

ons-tellations were onstru ted and analyzed on Riemannian manifolds. Finally we note

thatmostofthe timethathyperboli spa eis onsideredinblo ksofa ommuni ation

system, then the performan e of this system tends to be loser to the optimum point

of operation.

Keywords: ommuni ation system, urvature, opti al medium, twisted

Muitas pessoas parti iparamdireta e indiretamenteno desenvolvimento deste

tra-balho. Portanto, peço des ulpas àquelas ujos nomes tenham sido momentaneamente

esque idos.

Durante todo o desenvolvimento deste trabalho, pude ontar om a atenção, a

ompreensão, a disponibilidade, a onança e, prin ipalmente, a pa iên ia do Prof.

Dr. ReginaldoPalazzoJr.,quefoimuitomaisqueum orientador,sempresededi ando

eme ajudando a on luiressa importanteetapa de minha vida. Meu muito obrigado.

À minhafamíliapeloin entivo epa iên ia durante odesenvolvimentodeste

traba-lho. Se não fosse peloapoio de vo ês essa jornada emminha vidanão seria realidade.

À amiga Wanessa Gazzoni, por ter sido mais que uma olega de laboratório, me

ajudandoasuperarosmomentosdifí eisquepasseiduranteesteperíodo,pelasugestões

e revisões realizadas nos textos deste trabalho e, prin ipalmente, por ter me ajudado

tanto nodoutorado enquanto estive naBahia. Obrigado porser a irmãque não tive.

Ao ompanheirismo dos olegas dolaboratóriode Telemáti a (DT)e de Teoria da

InformaçãoApli ada(LTIA) omosquais onvividuranteesteprogramade doutorado

naFEEC, fazendo om queeste períodoemCampinas fosse mais agradável.

Aos membros daban a examinadora pela disponibilidadee atençãodispensada ao

trabalho, bem omo por suas valiosas sugestões.

À omunidadede SoftwareLivre,poisestetrabalhofoi realizadousandoprogramas

livres,desde osistema opera ionalaos programas de ediçãoe de simulação.

Aosprofessorese olegasdetrabalhodoCEFET-BApeloin entivo,prin ipalmente,

àprofessera Angéli a pelaforçano nal deste trabalho.

Ao Conselho Na ional de Desenvolvimento Cientí o e Te nológi o - CNPq, pelo

apoidonan eiroemformadebolsade doutorado on edidadurantearealizaçãodeste

Resumo v

Abstra t v

Dedi atória vii

Agrade imentos ix

Conteúdo xi

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xix

1 Introdução 1

1.1 Motivações. . . 1

1.2 Alguns Con eitos de Geometria Diferen ial . . . 3

1.2.1 Superfí ies mínimas . . . 5

1.3 Alguns Con eitos de Geometria Riemanniana . . . 6

1.3.1 Variedades Riemannianas om parâmetros ortogonais . . . 8

1.3.2 Variedades Riemannianas om parâmetros isotérmi os. . . 9

1.4 Fundamentos de Ópti aGeométri a . . . 10

1.5 Introdução àModulação Não-Linear(Twisted) . . . 11

1.6 Visão Geral daTese . . . 14

2 Um Estudo sobre a Curvatura de Meios Ópti os 17 2.1 Introdução . . . 17

2.2 A Curvatura de Meios Ópti os . . . 18

2.3 Análise da Curvatura de Guias de Ondas Planares . . . 21

2.3.1 Perl degrau. . . 26

2.3.2 Perl se ante hiperbóli a . . . 27

2.3.3 Perl hiperbóli o . . . 28

2.3.4 Pers parabóli o, Gaussiano, toroidal e lad power law . . . 31

2.3.5 Inuên ia da urvatura Gaussiana nadispersão modal. . . 33

2.3.7 Guias de ondasplanares provenientes de superfí ies de revolução 37

2.3.8 Guiasdeondasplanares omdispersãonulaemmeiosanisotrópi os 41

2.4 Análise daCurvatura Se ional de Fibras Ópti as . . . 43

2.5 Análise daCurvatura de Lentes Ópti as . . . 45

2.5.1 Instrumentos ópti osabsolutos . . . 46

2.5.2 Exemplos de lentes om urvatura positiva . . . 51

2.5.3 Exemplos de lentes om urvatura negativa . . . 52

3 Análise da Curvatura de Modulações Não-Lineares 59 3.1 Introdução . . . 59

3.2 Modulação Linear . . . 60

3.3 Modulação Não-Linear . . . 63

3.3.1 Considerações geométri as . . . 64

3.3.2 Casamentoentre

p

m

e

S(m)

. . . 66

3.3.3 Uma aproximação para o

ǫ

2

usandoum re eptor MAP . . . 72

3.3.4 Inuên ia da urvaturano projeto de modulações . . . 73

3.3.5 Uma expressãopara

p

ˆ

m|m

0

emfunção de

S

e de

k

. . . 81

3.4 Exemplos de ModulaçõesNão-Lineares . . . 85

3.4.1 Modulaçãoangular . . . 85

3.4.2 Modulaçãoespiral de Arquimedes . . . 91

3.4.3 Modulaçãosenoidal . . . 95

3.5 Modulação Não-Linear(

M : N

) . . . 102

3.5.1 Uma expressãopara

p

ˆ

m

_|m

0

. . . 107 3.5.2 Primeira variaçãodo

ǫ

2

. . . 110 3.5.3 Segunda variaçãodo

ǫ

2

. . . 113

3.5.4 Análise da urvatura Gaussiana em esquemasde modulação . . 115

3.5.5 Exemplos de modulaçõesasso iadas asuperfí ies mínimas . . . 117

4 Inuên ia da Curvatura no Desempenho de Constelações de Sinais 123 4.1 Introdução . . . 123

4.2 Função Densidadede ProbabilidadeCondi ional,

p(y

|x = x

0

)

. . . 124

4.3 ReduçãodaProbabilidadeMédiade ErropelaConsideraçãodaCurvatura130 4.4 Constelações de Sinais em Espaços om Curvatura Constante. . . 132

4.4.1 Constelaçõesde sinais M-PSK emespaços de urvatura onstante135 4.4.2 Constelações de sinais provenientes de tesselações

{p, q}

em es-paços de urvatura onstante . . . 136

4.5 Constelações de Sinais M-PSK em Superfí ies Mínimas . . . 146

4.5.1 Análise dedesempenho nafamíliade superfí iesmínimasde En-neper. . . 147

4.5.2 Análise de desempenho nasuperfí iemínima atenóide . . . 151

5 Con lusões 153 5.1 Sugestões de Trabalhos Futuros . . . 154

1.1 Modelo em diagramade bol os de um sistema de omuni ações digitais. 1

1.2 Exemplo de superfí ies mínimas.. . . 5

1.3 Exemplodesistemade omuni açõesparaatransmissãodeumavariável

aleatória ontínua. . . 12

2.1 Exemplos de modelosde guias de ondas planares. . . 22

2.2 Curvas dos índi es de refração dos guias de ondas planares Eu lidiano,

elípti o ehiperbóli o. . . 25

2.3 Interpretação geométri apara o guia de ondas om perl degrau. . . . 27

2.4 Interpretaçãogeométri apara oguia de ondas om perl se ante

hiper-bóli a. . . 27

2.5 Trajetórias das ondas emum guiade ondasplanar om perl hiperbóli o. 29

2.6 Interpretação geométri apara o guia de ondas om perl hiperbóli o. . 30

2.7 Curvasde dispersãoparaosmeiosEu lidiano(perldegrau)ehiperbóli o. 30

2.8 Índi ederefraçãodosguiasdeondasplanareselípti o,parabóli o,

Gaus-siano e toroidal. . . 31

2.9 Curva de dispersão para osguias de ondas planares om pers

parabó-li o,Gaussiano etoroidal. . . 32

2.10 Curvatura dos guias de ondas parabóli o, Gaussiano e toroidal, om

∆ = 0.01

. . . 33 2.11 Curvaturadosguiadeondas ladpowerlawpara

q = 1.98

,

2

e

2.02

, om

∆ = 0.01

. . . 34 2.12 Aberturanuméri ae ângulode a eitação.. . . 37

2.13 Ângulo ríti o para osguias de ondas planares. . . 38

2.14 Geratrizes para os guias de ondas elípti o,parabóli o eGaussiano. . . . 40

2.15 Geratrizes para os guias elípti oe toroidal, om

∆ = 1/2

e

ρ = 1

. . . . 41 2.16 Guia de ondas planar anisotrópi o om urvatura onstante positiva e

dispersão nula. . . 42

2.17 Modelos de lentes esféri as em meios ópti os om índi e de refração

onstante. . . 46

2.18 Exemplos de distorçõesemlentes ópti as. . . 46

2.19 Um exemplo de instrumentoópti o absoluto. . . 47

2.20 Projeçãoestereográ a de uma hiperesfera no

R

4

. . . 48

2.22 Exemplos de trajetórias eminstrumentosópti os absolutos hiperbóli os. 50

2.23 Exemplo de lente ópti a om urvatura onstante positiva. . . 51

2.24 Exemplos de lentes ópti as om urvatura positivae simetriaesféri a. . 52

2.25 Exemplos de lentes ópti as om urvatura negativa onstante. . . 53

2.26 Convergên ia emuma lentehiperbóli a ilíndri a. . . 54

2.27 Índi es de refraçãoe geratrizes das lentes hiperbóli a,Gaussiana,

para-bóli a, atenóide e power-law. . . 56

2.28 Lente de urvaturanegativaasso iada a superfí ie mínima atenóide. . 56

2.29 Superfí ie parabolóide hiperbóli o de revolução asso iada a uma lente

de urvatura negativa emum meio ópti o anisotrópi o. . . 57

2.30 Perl planar de uma lente om urvatura negativa em um meio ópti o

anisotrópi o asso iado a superfí iede um parabolóide hiperbóli o. . . . 58

3.1 Diagrama de blo ode um sistema de omuni ações usando modulação

linear. . . 61

3.2 Relaçõesgeométri asdeumsistemade omuni açõesusandouma

modu-laçãolinear om umaúni avariávelaleatóriatransmitida eumre eptor

de máxima verossimilhança. . . 62

3.3 Re epção por máxima verossimilhançade um sistemade omuni ações

usando modulação não-linear quando o ruído de transmissão é AWGN

e su ientemente pequeno. . . 64

3.4 Um exemplo de modulação não-linearasso iada a urva espiral de

Ar-quimedes. . . 67

3.5 Exemplosde urvasdedesempenho al uladasusandofatoresde

expan-são uniforme enão uniforme emuma modulaçãonão-linearasso iada à

urvaespiral de Arquimedes. . . 70

3.6 Interpretação geométri a do erro de ponto ini ial em uma modulação

linear sob a ação de um ruído AWGN. . . 74

3.7 Interpretação geométri a do erro de ponto ini ial em uma modulação

não-linearsob a ação de um ruídoAWGN. . . 75

3.8 Análise dainuên ia da urvatura na modulação

s

m

. . . 76 3.9 Exemplos de apli açõesdo on eito de estabilidadeem modulações. . . 78

3.10 Uma relação geométri a entre estabilidade e urvatura (

k = 1/R

) em uma modulaçãonão-linear,

s

m

. . . 79 3.11 Exemplosde urvas

e

h

(m) = s

m

+ h~n

daparábola

s

m

= [m, m

2

_]

quando

|h| = 0

,

0.25

,

0.5

e

0.75

. . . 80 3.12 Exemplos de regiõesde de isão,

R

m

, para a parábolaquando

m

0

= 0

. . 83 3.13 Resultadosteóri osedesimulaçãopara

p

ˆ

m|m

0

onsiderandoumesquema demodulaçãoasso iadoaparábola,sobaaçãode umruídoAWGN om

N

0

= 2

. . . 84 3.14 Resultados teóri osede simulaçãopara

p

ˆ

υ|υ

0

onsiderandoum esquema de modulação asso iado a parábola p.p. .a, sob a ação de um ruído

AWGN om

N

0

= 2

. . . 85 3.15 Representaçãogeométri adamodulaçãoemfase(PM), para

k

p

= 1, 2, 3

3.16 Análisedeerrodepontoini ialparaumamodulaçãoPMquando

k

p

= π

,

N

0

/A

2

= 1

e

m

0

= 0.9

. . . 87 3.17 Espe tros deamplitudesdis retas de umsinal PM,normalizadosem

re-laçãoàamplitudedaportadora,parao asodosinalmodulantesenoidal

de freqüên ia xa

f

m

. São mostrados somente os espe tros orrespon-dentes àsfreqüên ias positivas. . . 89

3.18 Curvas de desempenho da modulação em fase (PM), para

k

p

= 1

, 1.5, 2, 2.5e 3. . . 90

3.19 Esquema para gerar um sinal modulado asso iado à urva espiral de

Arquimedes utilizando um modulador de fase e um multipli ador de

sinais. . . 91

3.20 Representação geométri a da modulação espiral de Arquimedes

(AM-PM), para

k

p

= π, 2π, 3π

e

A = 1

. . . 92 3.21 Análise de erro de ponto ini ial para uma modulaçãoPM quando

k

p

=

3π

,

N

0

/A

2

_{= 1/8}

e

m

0

= 0.5

. . . 92 3.22 Espe trosdeamplitudesdis retasdeumsinalAM-PMasso iadoà urva

espiral de Arquimedes, normalizadosem relação à amplitude

A

, para o aso dosinal modulantesenoidal de freqüên ia xa

f

m

. São mostrados somenteos espe tros orrespondentes às freqüên ias positivas. . . 93

3.23 Curvasde desempenho da modulaçãoespiral de Arquimedes (AM-PM)

para

k

p

= π, 2π, . . . , 10π

. . . 94 3.24 Representação geométri a para a modulação senoidal, quando

β = 3π

,

4π

e

5π

,

γ = 1

e

A = 1

.. . . 96 3.25 Representação geométri a para a modulação senoidal, quando

β = 3π

,

4π

e

5π

,

γ = 1/7

e

A = 1

. . . 97 3.26 Análise de erro de ponto ini ial para uma modulação senoidal quando

β = 3π

,

γ = 1

,

N

0

/A

2

_{= 1/2}

e

m

0

= 1/3

. . . 97 3.27 Espe tros de amplitudes dis retas de um sinal asso iado à modulação

senoidal, normalizados em relação à amplitude

A

, para o aso do sinal modulante senoidal de freqüên ia xa

f

m

. São mostrados somente os espe tros orrespondentes às freqüên iaspositivas. . . 99

3.28 Curvatura damodulaçãosenoidal para

β = 3π

e

γ = 1

e

1/7

. . . 100 3.29 Curvasde desempenho da modulaçãosenoidal para

β = π, 2π, . . . , 6π

e

γ = 1

. . . 101 3.30 Curvas de desempenho da modulaçãosenoidal para

β = π, 2π, . . . , 10π

e

γ = 1/7

. . . 101 3.31 Comparação entre os desempenhos das modulações AM-PM esenoidal. 102

3.32 Exemplo de re epção por máxima verossimilhança de um sistema de

omuni ações usando modulação não-linearasso iada a uma superfí ie

regular. . . 104

3.33 Erroquadráti omédiodemodulaçõesasso iadasaespaçosde urvatura

se ional onstante,

K =

−1, 0

e

1

. . . 107 3.34 Superfí iemínima heli óidepara, para

β = 1, 1.5

e

2

. . . 118 3.35 Curvas do erro quadráti o médio da modulação asso iada a superfí ie

mínimaheli óide, para adauma das trêsparametrizações onsideradas

3.36 Curvas de desempenho de uma modulação não-linear asso iada à

su-perfí ie mínima heli óide parametrizada por (3.106a), para

β = 1, 2

e

3

. . . 120 3.37 Curvas de desempenho de uma modulação não-linear asso iada à

su-perfí ie mínima heli óide parametrizada por (3.106b), para

β = 1, 2

e

3

. . . 120 3.38 Curvasde desempenhode umamodulaçãonão-linearasso iadaà

super-fí ie mínima heli óide parametrizada por (3.106 ), para

β = 0.25

, 0.5, 0.7, 0.9, 1 e 1.1. . . 121

3.39 Comparação entre as urvas de desempenho das três modulações

asso- iadas àsuperfí ie mínimaheli óide. . . 121

4.1 Exemplos de modulações4-PSK emsuperfí ies. . . 127

4.2 Funçõesdensidades de probabilidades,

p(y

|x

0

)

,de exemplosde modula-ções 4-PSKem superfí ies, al uladas para

σ

2

_{= 1/2}

e

x

0

= [1, 0]

. . . . 128 4.3 Curvas de desempenho de modulações 4-PSK asso iadas às superfí ies

parabolóide, plano esela. . . 129

4.4 Exemplo de um sistemade oordenadas polargeodési o. . . 130

4.5 Curvas de desempenho de onstelações de sinais 4-PSK em espaços de

urvatura onstante,

K = 1, 0,

−1

e

−2

. . . 136 4.6 Curvas de desempenho de onstelações de sinais 8-PSK e 16-PSK em

espaços de urvatura onstante,

K = 0

e

K =

−1

. . . 136 4.7 Variação da probabilidade média de erro em função da urvatura do

espaço de sinais para onstelações de sinais 4-PSK e8-PSK e SNR xo

e iguala 6dB. . . 137 4.8 Re obrimentode

R

2

pelatesselação

{6, 3}

. . . 138 4.9 Tesselação

{3, 4}

em

S

2

em um sistema de oordenadas polargeodési o. 138

4.10 Região fundamentalde uma tesselação

{p, q}

. . . 140 4.11 Probabilidade de erro versus distân ia mínima das tesselações

{3, 6}

,

{4, 4}

e

{6, 3}

, para

N = 1

. . . 142 4.12 Regiões fundamentais das tesselações

{3, 6}

,

{4, 4}

e

{6, 3}

, para um

mesmo valorde

ρ

l

. . . 143 4.13 Probabilidade de erro versus distân ia mínima das tesselações

{3, 6}

,

{4, 4}

e

{6, 3}

, para uma energia normalizada em relação à tesselação

{4, 4}

. . . 144 4.14 Probabilidade de erro média,

P e

, para uma tesselação

{p, q}

, veja T

a-bela4.4. . . 145

4.15 Probabilidade de erro versus distân ia mínima das tesselações

{5, 3}

,

{4, 4}

e

{9, 3}

, para uma energia normalizada em relação à tesselação

{4, 4}

e

ρ

1

= d

min

/2

. . . 146 4.16 Famíliade superfí ies mínimasEnneper. . . 147

4.17 Geratrizes da urvatura Gaussiana da famíliaEnneper para

n = 0, 1, 3

. 148 4.18 Região de de isão dosinal

x

1

da onstelação 4-PSK para

n = 1

. . . 149 4.19

P

e

× SNR

deuma onstelaçãode sinais 4-PSKnafamíliade superfí ies

4.20

P

e

× SNR

de uma onstelaçãode sinais 8-PSK e16-PSK nafamíliade superfí ies mínimas Enneper, para

n = 0, 1

e

3

. . . 151 4.21 Região de de isão dosinal

x

1

da onstelação 4-PSK para a atenóide. . 152 4.22

P

e

×SNR

deuma onstelação4-PSKnoespaçoEu lidiano,na atenóide

2.1 Curvatura Gaussiana de guias de ondasplanares. . . 25

2.2 Aberturanuméri ade guias de ondasplanares. . . 37

2.3 Pers de lentes om urvatura negativa.. . . 55

3.1 Análise dos pontos ótimos de desempenho da modulação AM-PM em

relação a

k

p

. . . 95 3.2 Algunsvaloresparaofatordeexpansãouniformedamodulaçãosenoidal

para

β = π, 2π, . . . , 9π

e

γ = 1

e

1/7

. . . 99 4.1 Exemplosdetesselaçõesem

S

2

re obrindoasuperfí iede umaesferapor

polígonos regulares. . . 139

4.2 Valores dadensidade

∆

para uma tesselação

{p, q}

. . . 141 4.3 Valores dadensidade

Θ

para uma tesselação

{p, q}

. . . 141 4.4 Valores daProbabilidadede erro média,

P e

,para uma tesselação

{p, q}

Cap´ıtulo

1

Introdução

Este apítuloapresentademaneirasu intaumades rição dasprin ipaisrazõesque

motivaram a realização deste trabalho. Além disso, para um melhor entendimento

destetrabalhoapresentamos alguns on eitosbási os sobre geometriadiferen ial,

geo-metriaRiemanniana,ópti ageométri a, modulaçãonão-linear(twisted)e onstelações

desinais. Porm,realizamos umades riçãogeraldos prin ipaisresultadosobtidosem

adaum dos demais apítulosdatese.

1.1 Motivações

Osprin ipaisobjetivosaseremal ançadosnaproposta denovossistemasde

omu-ni ações são menor omplexidade e melhor desempenho que o apresentado pelos

sis-temas onhe idos. Nesta direção,iremos onsiderar ada um dos blo os da Figura1.1

omosendo onstituído basi amentepor um onjuntode pontos

E

i

, juntamente om uma métri a,

d

i

. Tal onsideração torna possível a interpretação de ada blo o omo um espaçométri o

(E

i

, d

i

)

.

Decodificador

Ruído

Destinatário

de Fonte

de Canal

Decodificador

Demodulador

Canal

Fonte

Métrica Induzida

Codificador

de Fonte

Codificador

de Canal

Modulador

(E1, d1)

(E2, d2)

(E3, d3)

(E3, d3)

(E2, d2)

(E1, d1)

(E0, d0)

Oquesebus a então,édeterminaras ara terísti asgeométri asealgébri as

asso- iadasaosespaçosmétri os

(E

i

, d

i

)

,bem omoaspropriedadese ondiçõesquedeverão ser satisfeitaspelastransformaçõesqueirão one tá-los,de maneiraquese onsiga

de-terminarodesempenhodosistemade omuni açõessobamenorprobabilidadedeerro,

maior taxa de transmissão, menor potên ia de transmissão, et . Naturalmente surge

então a pergunta quemotivoua realização destetrabalho: qual o desempenho dos

sis-temas de omuni ações quando a estrutura geométri a asso iada aos espaços métri os

(E

i

, d

i

)

não é mais a Eu lidiana?

Neste ontexto, as teses [6℄, [7℄, [8℄, [10℄, [12℄, [13℄, [22℄, [23℄ e [38℄ apresentaram

esquemas de odi ação, de odi ação, modulação e demodulaçãode onstelações de

sinaisemespaçoshiperbóli os. Em[29℄,[30℄,[31℄,[32℄,[33℄, onstelaçõesdesinaisforam

propostasemvariedadesRiemannianas,emespe ialnosespaçosde urvatura onstante

esobresuperfí iesmínimas,apresentandobonsdesempenhosquandooespaçodesinais

possui urvaturanegativa. Em[34℄umamétri amaisgeralqueasderivadasdamétri a

Eu lidiana foi utilizada para des rever a onstrução de ódigos de blo o lineares em

novos espaços métri os. Neste aso, foi veri ado que os blo os modulador, anal e

demodulador, onstituindo um anal dis retosem memória,induz de maneira natural

uma métri a no espaço (

E

2

, d

2

) asso iado ao odi ador. Além disso, em [35℄ anais ópti os de urvatura onstante foram propostos para a transmissão de informação,

obtendo bons desempenhos quanto aoparâmetro dadispersão modal.

Neste trabalho on entramos nossos esforços, prin ipalmente, na identi ação de

exemplos de anaisde transmissão ouesquemasde modulação om ara terísti asque

pudessem justi ar e validar os resultados apresentados no trabalhos itados

anteri-ormente. Além disso, alguns desses exemplos foram utilizados para projetar novos

sistemas de omuni ações, ujosdesempenhos forammedidosemfunção dos seguintes

ritérios: menordispersão dainformação transmitidaemmeios ópti os, menor

distor-ção da informação pelo erro quadráti o médio em modulações não-lineares e menor

probabilidade média de erro de onstelações de sinais projetadas em variedades

Rie-mannianas. Deve-se ressaltarqueasmodulaçõesnão-linearesanalisadasnestetrabalho

foram onsideradas,ini ialmente, para atransmissão de variáveisaleatórias ontínuas,

istoé,no ontextodeumsistemade omuni açõesanalógi o,quepodeserrepresentado

pelaFigura1.1 sem osblo os de odi ação e de odi ação.

Nodesenvolvimentodeste trabalhofoine essário utilizaralguns on eitos

matemá-ti osefísi osnãomuitoutilizadosna onstruçãoeanálisedesistemasde omuni ações.

Poresse motivo,aseguir vamos apresentar algunsdesses on eitos. Contudo, não nos

aprofundaremosemnossades riçãomaisdoqueone essárioparaobomentendimento

destetrabalho. Porisso, asone essário,re omendamosaleituradasreferên ias itadas

omuni ações onsideradosneste trabalho serão apresentados.

1.2 Alguns Con eitos de Geometria Diferen ial

Aseguirusaremos [25℄ paraapresentaralguns on eitos introdutóriosde geometria

diferen ial. Neste aso, tem-se que uma urva diferen iável parametrizada

α : (a, b)

∈

I

→ R

3

é dita regular se

α

′

_(t)

_{6= 0}

para todo

t

∈ I

. O omprimento de ar o de uma urva regularparametrizadaé denido por

L =

b

Z

a

|α

′

(t)

_{| dt ,}

onde

| · |

é a normade um vetor e

|α

′

_(t)

_{| =}

p

_(x

′

_(t))

2

_{+ (y}

′

_(t))

2

_{+ (z}

′

_(t))

2

_,

é o parâmetro de omprimento de ar o da urva. Na análise de modulações

não-linearesasso iadasa urvas,um asomuitointeressantede parametrizaçãoéutilizada,

aparametrizaçãopelo omprimentode ar o(p.p. .a),noqual

|α

′

_(t)

_{| = 1}

. Paraseobter

talparametrização,pode-sereparametrizar a urva

α(t)

peloparâmetro

s

,de maneira que

s =

t

Z

0

|α

′

(t)

_{| dt .}

A urvaturade uma urva plana é denida omo

k =

x

′

z

′′

− x

′′

z

′

[(x

′

₎

2

_{+ (z}

′

₎

2

_]3/2

.

(1.1)

Umasuperfí ieregularparametrizada, ousimplesmente, umasuperfí ie

parametri-zada é uma apli ação

X : D

⊂ R

2

_{→ R}

3

, uja diferen ial tem posto dois em todos os

pontosdo domínio

D

.

Consequentemente, osvetores

X

u

=

∂X

∂u

e

X

v

=

∂X

∂v

são linearmenteindependentes emtodoponto

p = (u, v)

dodomínio

D

eoespaçovetorialgeradoporessesdoisvetores é hamadoplano tangente à superfí ienesse ponto,denotado por

T

p

X

. Além disso, o vetor normal unitárioà superfí ieem

p

é dado por

N(p) = N(u, v) =

X

u

∧ X

v

|X

u

∧ X

v

|

,

onde

∧

denotao produto vetorialem

R

3

. Noteque

|X

u

∧ X

v

| 6= 0

, pois osvetores

X

u

e

X

v

são linearmenteindependentes.

No ontexto deste trabalho, um parâmetro que ara teriza a métri a dos espaços

métri os asso iados aos blo os dosistema de omuni ações da Figura1.1é a primeira

forma fundamentalde uma superfí ie parametrizada

X(u, v)

dada por

E = (X

u

· X

u

) ,

F = (X

u

· X

v

)

e

G = (X

v

· X

v

) .

(1.2)

Uma parametrizaçãode interesseneste trabalhoo orrequando uma superfí ieé

para-metrizada porparâmetros isotérmi os, istoé,

E = G

e

F = 0

.

Aprimeiraformafundamentaldeumasuperfí iepermiteo ál ulodo omprimento

de um segmento de uma urva regular

α : I

⊂ R → R

3

, parametrizada por

α(t) =

X(u(t), v(t))

, pelaseguinteexpressão

L =

b

Z

a



(u

′

)

2

E + 2u

′

v

′

F + (v

′

)

2

G



(1/2)

dt ,

onde

u

′

₌

d u(t)

dt

e

v

′

₌

d v(t)

dt

. Além disso, a área de uma superfí ie regular pode ser al ulada por

A =

Z

D

Z √

EG

_{− F}

2

_{du dv .}

Um outro on eito importante é a segunda forma fundamental de uma superfí ie

parametrizada

X(u, v)

, dada por

e =



X

uu

·

−

→

N



,

f =



X

uv

·

−

→

N



e

g =



X

uu

·

−

→

N



,

(1.3) onde

−

→

N

é ovetor normal àsuperfí ie

X(u, v)

.

Napráti a existem dois on eitos de urvatura de superfí ies, a urvatura média e

a urvatura Gaussiana. Neste trabalho, essas urvaturas demonstraram ser de grande

interesse para ara terizar o desempenho dos sistemas de omuni ações onsiderados.

Neste aso, a urvatura médiade uma superfí ieparametrizada

X(u, v)

édada por

H =

1

2

eG

− 2fF + gE

EG

_{− F}

2

,

(1.4)

e a urvatura Gaussiana de uma superfí ieparametrizada

X(u, v)

é dada por

K =

eg

− f

2

EG

− F

2

.

(1.5)

Apesar daexpressãoda urvaturaGaussiana (1.5)dependerdasegunda forma

fun-damentaldeuma superfí ie, pode-semostrarquetal urvaturapode ser al ulada

1.2.1 Superfí ies mínimas

Exemplos de sistemasde omuni ações om bons desempenhos foramasso iados a

superfí ies mínimasemtodosos apítulosde resultadosdestetrabalhoe,porisso,uma

breve des rição de tais superfí ies faz-se ne essária. Geometri amente, as superfí ies

mínimassão ara terizadas porminimizaremlo almenteaárea daregiãodeterminada

por uma urva fe hada no espaço. Matemati amente, as superfí ies mínimas devem

possuir urvatura média (1.4) nula emtodos seus pontos. De a ordo om [17℄,

exem-plos de superfí ies mínimasparametrizadas isotermi amentepodemser obtidas om o

auxílioda representação de Weierstrass. Nesta representação, uma superfí ie mínima

regularemdomínios simplesmente onexos,

X : U

⊂ R

2

_{→ R}

3

, édada por

X(u, v) = Re

Z

z

z

0

1

2



f (z)(1

− g

2

_{(z)), if (z)(1 + g}

2

_{(z)), f (z)g(z)}



_{dz ,}

_z

0

, z

∈ U ,

(1.6)

onde

z = u + iv

e as funções

f (z)

e

g(z)

são funções holomorfas que ara terizam a superfí ie. Alémdisso, aprimeira formafundamentaldessa superfí ieé dada por

E = G =

1

4

|f(z)|

2

_{(1 +}

_|g(z)|

2

₎

2

e

F = 0 .

(1.7)

Um outroparâmetro importanteaos interesses deste trabalho éa urvatura

Gaus-siana,quede a ordo omarepresentaçãodeWeierstrass,podeserexpressadaseguinte

maneira

K(u, v) =

₋



4

_|g

′

_(z)

_|

|f(z)|

2

_{(1 +}

_|g(z)|

2

₎

2



2

.

(1.8)

A representação de Weierstrass permite obter uma innidade de exemplos de

su-perfí iesmínimas. Taissuperfí iespodemser ara terizadas pelas funções

f (z)

e

g(z)

, omo ilustra a Figura1.2, ontendo as superfí ies mínimas atenóide (

f (z) =

−e

−z

e

g(z) =

−e

z

), heli óide(

f (z) = e

−z

e

g(z) =

−ie

z

)e Enneper (

f (z) = 1

e

g(z) = z

).

Eixo x

Eixo y

Eixo z

(a) Catenóide.

Eixo x

Eixo y

Eixo z

(b)Heli óide.

Eixo x

Eixo y

Eixo z

( ) Enneper.

1.3 Alguns Con eitos de Geometria Riemanniana

Nesta seção serão apresentados, de forma su inta, alguns on eitos de geometria

Riemanniana que serão apli adosneste e nos próximos apítulosdeste trabalho. Para

umaabordagem ompletasobreessaimportanteferramentamatemáti are omendamos

a leitura dareferên ia[27℄.

A geometria Riemanniana surgiu om a ne essidade de estender os métodos da

geometria diferen ial a espaços mais gerais que o

R

n

. O primeiro exemplo de

va-riedade Riemanniana a essível a nossa experiên ia é uma superfí ie regular no

R

3

,

X

: U

_{⊂ R}

2

_{→ R}

3

. Isto porque, a idéia natural de uma superfí ieé a de um onjunto

bidimensional (

U

) aoqual sepossa apli aro Cál uloDiferen ial do

R

2

.

Dessaforma,umavariedadediferen iáveldedimensão

n

éum onjunto

M

n

munido

de uma famíliade apli açõesbiunívo as,

x

α

: U

α

⊂ R

n

_{→ M}

n

de abertos

U

α

de

R

n

em

M

n

,tais que: 1.

∪

α

x

α

(U

α

) = M

n

.

2. Para todo par

α

e

β

, om

x

α

(U

α

)

∩ x

β

(U

β

) = W

6= φ

, os onjuntos

x

−1

α

(W )

e

x

−1

_β

(W )

são abertos em

R

n

e asapli ações

x

−1

β

◦ x

α

são diferen iáveis.

Umoutro on eito igualmenteimportante aos interesses deste trabalhoé o de

mé-tri a Riemanniana, que permite medir, por exemplo, omprimentos de urvas, áreas,

ângulos, urvaturas, entre outros. A métri a Riemanniana de uma variedade

dife-ren iável é uma forma bilinear simétri a positiva denida omo

g

ij

=



∂ x

∂x

i

·

∂ x

∂x

j



, no sistema de oordenadas

x

: U

⊂ R

n

_{→ M}

n

, onde

(

· )

representa o produto es alar de dois vetores.

Em função da métri a Riemanniana pode-se al ular o omprimento de um

seg-mentoda urva

α : I

⊂ R → M

n

,parametrizadapor

α(t) = [x

1

(t), . . . , x

n

(t)]

,

t

∈ [a, b]

, da seguinte maneira

L =

b

Z

a

n

X

i=1

n

X

j=1

x

′

_i

x

′

_j

g

ij

!

1/2

dt ,

(1.9) onde

x

′

i

=

∂x

∂t

i

, para

i = 1, . . . , n

.

Esta noção de omprimento permite denir em

M

n

ertas urvas espe iais,

ha-madas geodési as, que possuem a propriedade de minimizar lo almente a distân ia

entre quaisquer dois pontos su ientemente próximos. Tais urvas omportam-se em

várias situações omo se fossem retas em

M

n

e, em [24℄, estão asso iadas às

traje-tórias das ondas eletromagnéti as em meios ópti os. Neste aso, uma urva regular

γ : I

⊂ R → M

n

, parametrizada por

γ(t) = [x

1

(t), . . . , x

n

(t)]

é uma geodési a em

M

n

segunda ordem

x

′′

_k

+

X

i,j

Γ

k

_ij

x

′

_i

x

′

_j

= 0 ,

k = 1, . . . , n ,

(1.10) onde

x

′′

k

=

∂

2

_x

k

∂t

2

e

Γ

k

ij

representaossímbolosdeChristoelde

M

n

,quedependemapenas

damétri aRiemanniana, epodem ser obtidos pela seguinteexpressão

Γ

k

_ij

=

1

2

n

X

l=1



∂ g

jl

∂x

i

+

∂ g

li

∂x

j

−

∂ g

ij

∂x

k



g

lk

,

(1.11) onde

g

lk

éoelementodalinha

l

e oluna

k

damatrizinversade

G = [g

ij

]

. Geometri a-mente, os símbolosde Christoel estão asso iadosao on eito de derivada ovariante,

umanoçãodageometriaintrínse a desuperfí ies,e,poressarazão,podemser

utiliza-dosparades reverasidéiasde geodési asede urvaturaemvariedadesRiemannianas,

omoserá realizadoaseguir.

Anoçãode urvaturaem umavariedadeRiemannianafoiintroduzidaporRiemann

de uma maneira bastante geométri a e de modo que fosse uma generalização natural

da urvatura Gaussiana de superfí ies no

R

3

. A urvatura de Riemman pode ser

determinadautilizandoapenas amétri ade

M

n

e,intuitivamente,medeoquantouma

variedade Riemanniana deixade ser Eu lidiana. Matemati amente, essa urvatura de

Riemannestáasso iadaaotensor urvatura

R

ijks

,queserádenidoaseguireutilizado para al ulara urvaturase ional, a urvaturade Ri iea urvaturaes alarde meios

ópti os

R

ijkl

=

n

X

m=1

R

m

_ijk

g

ml

,

(1.12) onde

R

m

ijk

é o operador urvatura, que pode ser expresso em termos dos símbolos de Christoel,equação (1.11),da seguinte forma

R

l

_ijk

=

n

X

m=1

Γ

m

_jk

Γ

l

_im

−

n

X

m=1

Γ

m

_ik

Γ

l

_jm

+

∂ Γ

l

jk

∂x

i

−

∂ Γ

l

ik

∂x

j

.

(1.13)

O on eitode urvaturademaiorinteressenestetrabalhoéode urvaturase ional.

Tal urvatura é al ulada para um subespaço vetorial bidimensional

ν

ontido em

T

p

M

n

, o espaço tangentede

M

n

no ponto

p

. Neste aso, quando osubespaço vetorial

ν

possuiro onjuntode vetores

{

∂ x

∂x

i

,

∂ x

∂x

j

}

omobase,então a urvaturase ionaldesse

subespaço vetorial bidimensionalé dadapor

K

ij

=

−

R

ijij

g

ii

g

jj

− g

ij

2

.

(1.14)

Sabemosque, dentre as variedades Riemannianas,aquelas om urvaturase ional

isome-3, foiobservado que osespaçosópti os om urvatura se ional onstantetambém

de-monstraram ser os de maior interesse práti o, tanto para o projeto de guias de ondas

quanto para oprojetode lentes ópti as.

Alémda urvatura se ional, que é uma generalização da urvatura Gaussiana de

superfí ies, alguns outros on eitos de urvaturas também serão onsideradas neste

apítulo, omo o tensor urvatura de Ri i, dado por

R

ij

=

n

X

k=1

R

k

_kij

,

(1.15) e a urvatura es alar,

S =

n

X

i,j=1

g

ij

R

ij

,

(1.16)

quetambémfoi onsideradaanteriormenteem[11℄e[41℄parameiosópti osisotrópi os

e anisotrópi os,respe tivamente.

Nas próximas duas subseções, as expressões para o ál ulo das geodési as (1.10),

do omprimento de um segmento de urva (1.9) e das urvaturas de uma variedade

Riemannianaserão novamenteobtidaspara variedades Riemannianas om parâmetros

ortogonais (tensor métri adiagonal)epara variedades Riemannianas om parâmetros

isotérmi os (tensor métri a diagonal om elementos iguais). Esses dois asos

parti u-lares de variedades Riemannianas serão onsiderados, pois foram asso iados a meios

ópti os de interessepráti o.

1.3.1 Variedades Riemannianas om parâmetros ortogonais

O interesse por variedades Riemannianas om parâmetros ortogonais provém do

fato delas terem sido asso iadas a espaçosanisotrópi os em [41℄. Taisvariedades

Rie-mannianas possuem métri a

(

g

ij

= δ

ij

g

i

g

ij

_{= δ}

ij

/g

i

,

onde

δ

ij

=

(

1 ,

se

i = j

0 ,

se

i

6= j

.

(1.17)

Dessa forma, usando a métri a (1.17) em (1.9), tem-se que o omprimento de um

segmento de urva em

M

n

é dado por

L =

b

Z

a

n

X

i=1

g

i

(x

′

i

)

2

!

1/2

dt .

(1.18)

Além disso, usando a métri a (1.17) em (1.11), pode-se veri ar que se os três

índi es são distintos, então

Γ

k

ij

= 0

, e se pelo menos dois de seus índi es são iguais, então

Γ

i

_ij

= Γ

i

_ji

=

g

i,j

2g

i

,

Γ

j

_ii

=

−

g

i,j

2g

j

,

Γ

i

_ii

=

g

i,i

2g

i

,

(1.19)

onde

g

i,j

=

∂g

i

∂x

j

.

Com isso, pode-se substituir (1.19) em (1.10) para obter que as geodési as de

M

n

satisfazem

x

′′

k

+

1

2g

k

n

X

i=1

(2g

k,i

x

′

k

− g

i,k

x

′

i

) x

′

i

= 0 ,

k = 1, . . . , n .

(1.20)

De (1.12) e (1.19) pode-se determinar que o tensor urvatura de uma variedade

om métri a (1.17) é diferente de zero apenas para

R

ijij

e

R

ijji

, om

i

6= j

, mais pre isamente,

R

ijij

=

−R

ijji

e

R

ijij

=

n

X

l=1

R

l

_iji

g

lj

= R

j

iji

g

j

=

"

_n

X

l=1

Γ

l

_ji

Γ

j

_il

₋

n

X

l=1

Γ

l

_ii

Γ

j

_jl

₋

∂

∂x

i

Γ

j

_ji

+

∂

∂x

j

Γ

j

_ii

#

g

j

=

−

1

2

"

g

i,i

g

j,i

g

i

+

g

i,j

g

j,j

g

j

+

(g

i,j

)

2

2g

i

+

(g

j,i

)

2

2g

j

− g

i,jj

− g

j,ii

−

n

X

l=1

g

i,l

g

j,l

2g

l

#

,

(1.21) onde

g

j,ii

=

∂

2

_g

j

∂x

2

i

.

Logo, omoauxíliode (1.14)e(1.21), pode-se veri ar quea urvaturase ionalé

iguala

K

ij

=

−

R

ijij

g

i

g

j

,

(1.22)

e, de (1.15) e (1.19), que a urvatura de Ri i,

R

ij

, é igual a zero se

i

for diferente de

j

, eigual a

R

ij

= R

jj

=

−

n

X

k=1

R

kjkj

g

k

= g

j

n

X

k=1

K

kj

,

(1.23)

aso ontrário(

i = j

). Com isso, a urvatura es alar(1.16) é dada por

S =

−

n

X

i,j=1

R

ijij

g

i

g

j

=

n

X

i,j=1

K

ij

.

(1.24)

1.3.2 Variedades Riemannianas om parâmetros isotérmi os

As variedades Riemannianas om parâmetros isotérmi os serão onsideradas a

se-guir,poisforamasso iadasameiosópti osisotrópi osem[24℄eem[11℄. Taisvariedades

Riemannianaspossuem métri a om a seguinte ara terísti a

g

ij

= δ

ij

g ,

g

ij

=

δ

ij

g

.

(1.25)

Umavariedade

M

n

omtalmétri apossui urvas ujo omprimento,(1.18),édado

por

L =

b

Z

a

g

n

X

i=1

(x

′

_i

)

2

!

1/2

dt .

(1.26)

Alémdisso,pode-sesubstituir(1.25)em(1.20)paraobterqueasgeodési asde

M

n

,

om tal métri a,satisfazem

x

′′

_k

+

1

2g

n

X

i=1

(2g

x

i

x

′

k

− g

x

k

x

′

i

) x

′

i

= 0 ,

(1.27) onde

k = 1, . . . , n

e

g

x

i

=

∂ g

∂x

i

.

Otensor urvatura de uma variedade Riemanniana om a métri a (1.25) pode ser

obtido om o auxíliode (1.21) omo sendoigual a

R

ijij

=

−

1

2

"

3(g

x

i

)

2

2g

+

3(g

x

j

)

2

2g

− g

x

i

x

i

− g

x

j

x

j

−

1

2g

n

X

l=1

(g

x

l

)

2

#

,

(1.28) onde

g

x

i

x

i

=

∂

2

_g

∂x

2

i

.

Comisso, pode-se obter, omoauxíliode (1.22)e(1.28),quea urvaturase ional

seja al ulada por

K

ij

=

−

R

ijij

g

2

.

(1.29)

A urvaturadeRi iindi adaem(1.23)podeserrees ritanessamétri adaseguinte

forma:

R

ij

= 0

, se

i

6= j

, e aso ontrário é dada por

R

jj

=

1

2g



4

− n

2g

(

∇g)

2

_{− ∇}

2

_g



+

n

− 2

2g



3

2g

(g

x

j

)

2

_{− g}

x

j

x

j



,

(1.30) onde

∇ =

h

∂

∂ x

1

, . . . ,

∂

∂ x

n

i

é um operador diferen ial onhe ido omo nabla.

Dessaforma,a expressão da urvatura es alar(1.24) pode ser simpli ada para

S =

n

− 1

g

2



6

_{− n}

4g

(

∇g)

2

− ∇

2

g



.

(1.31)

1.4 Fundamentos de Ópti a Geométri a

Alguns on eitos sobre ópti a geométri a são ne essários para o desenvolvimento

deste trabalho. Para tanto,usamos [21℄ omo referên ia.

Ini ialmente,deve-se onsiderarqueasdimensõesdosinstrumentosópti ostratados

nestetrabalhosejamalgumasvezesmaiordoqueo omprimentodeonda(

λ

)dasondas eletromagnéti as para os quais esses instrumentos foram projetados. Tal suposição é

ne essária para que o fenmeno da difração possa ser desprezado e os on eitos da

ópti a geométri apossamser apli adosde maneira orreta. Alémdisso, onsidere que

a trajetória de uma onda eletromagnéti a emum meio ópti o isotrópi oseja des rita

meio. Dessaforma, asooíndi ederefraçãodessemeiosejavariável omaposição,

n =

n(x, y, z)

, então a trajetória

r(s)

deve satisfazer uma equação diferen ial de segunda ordem onhe ida omo Eikonal, que,no aso parti ular,é dada por

∂

∂s



n

∂r

∂s



=

_{∇n ,}

quando

(x

′

₎

2

_{+ (y}

′

₎

2

_{+ (z}

′

₎

2

_{= 1 ,}

(1.32) onde

∇ = (

∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z

)

éooperadordiferen ialnablaem oordenadas artesianas. Deve-seressaltarane essidadede queovetortangentede

r(s)

sejarealmenteunitário,pois, aso ontrário a equação Eikonal não des reverá as trajetórias das ondas em meios

ópti os isotrópi os. Além disso, a equação Eikonal pode ser derivada do prin ípio de

Fermat,que armaqueo aminhoper orrido pela ondano meioé ode menorenergia

oude menor tempode per urso.

Um outro on eito de muita importân ia para a análise dos instrumentos ópti os

éo on eito de omprimento ópti o,representado por

L

o

. Neste aso, o omprimento ópti o de uma frente de onda passando por dois pontos quaisquer

P

1

= r(s

1

)

e

P

2

=

r(s

2

)

, édado por

L

o

=

Z

s

2

s

1

n ds .

(1.33)

Com isso, desde que a densidade de energia da frente de onda seja propagada a

umavelo idade

v = c/n

ao longo domeio, temos que

n ds =

c

v

ds = c dt ,

onde

dt

é o tempo ne essário para a energia per orrer uma distân ia

ds

ao longo do meio. Em outras palavras, o omprimento óti o

L

0

é igual ao produto da velo idade daluzno vá uo pelotempo ne essário para aluzviajar de

P

1

a

P

2

.

1.5 Introdução à Modulação Não-Linear (Twisted)

Em [18℄, as té ni as de modulação foram asso iadas a urvas no

R

N

. Tal

inter-pretação geométri a possibilita o projeto e análise de desempenho das modulações

usando algumas ferramentas da geometria diferen ial, ou, mais geralmente, on eitos

dageometria Riemanniana.

Paraentenderessainterpretaçãogeométri a, onsidereumsistemade omuni ações

ujoobjetivoétransmitirumamensagemrepresentadaporumaúni avariávelaleatória

ontínua,

m

. Talsistemaéapresentado de maneirasimpli adanaFigura1.3(a),onde naentrada do transmissor está presente a variávelaleatória

m

, om função densidade de probabilidade

p

m

, veja Figura1.3(b),eemsua saída tem-seosinal modulado

s

m

(t)

que será transmitido através do anal om ruído aditivo,

n(t)

. Após a observação do sinal re ebido,

r(t)

, ore eptor estimauma saída

m

b

,de

m

.

Transmissor

Receptor

n(t)

m

s

m

(t)

m

b

Σ

r(t)

(a) Diagramadeblo osdeumsistema de omuni ações.

−1

+1

m

p

m

(b) Exemplo de função densidade de

probabilidadeapriori,

p

m

.

Figura 1.3: Exemplo de sistema de omuni ações para a transmissão de uma variável

aleatória ontínua.

No sistema de omuni ações onsiderado na Figura1.3, a té ni a de modulação é

realizadanoblo otransmissor. Nesse blo o,avariávelaleatória

m

émoduladanosinal

s

m

(t)

,em geral,para uma novafaixa de freqüên ia.

A interpretação geométri a para a té ni a de modulação proposta em [18℄ é

base-ada na possibilidade do sinal modulado

s

m

(t)

ser de omposto em uma base de sinais ortogonais de energiaunitária,

ϕ

i

(t)

,

i = 1, . . . , N

, daseguinteforma

s

m

(t) = s

1

(m)ϕ

1

(t) + s

2

(m)ϕ

2

(t) +

· · · + s

N

(m)ϕ

N

(t),

(1.34)

onde os sinais

ϕ

i

(t)

, no aso parti ular das modulações, são denominados portadoras e devem satisfazer

∞

Z

−∞

ϕ

i

(t) ϕ

j

(t) dt = δ

ij

,

∀i, j = {1, . . . , N},

(1.35)

para queossinaissejamortogonaisede energiaunitária,pois

δ

ij

= 1

se

i = j

e

δ

ij

= 0

se

i

6= j

.

Comoasportadoras

ϕ

i

(t)

sãosinaisortogonaisquepossuemenergiaunitária,então elas podemser interpretadas omo um onjuntode vetores ortonormais

{ϕ

i

}

, gerando uma base para o

R

N

. Com isso, o sinal modulado

s

m

(t)

pode ser de omposto nessa base vetorial daseguinte maneira

s

_m

= s

1

(m)ϕ

1

+ s

2

(m)ϕ

2

+

· · · + s

N

(m)ϕ

N

= [s

1

(m), s

2

(m), . . . , s

N

(m)].

(1.36)

Isto é, o sinal modulado

s

m

(t)

, representado vetorialmente por

s

m

, pode ser inter-pretado omo uma urva parametrizada

s

m

: I

∈ R → R

N

,

m

∈ I

, omo sugere a interpretaçãogeométri a proposta em [18℄.

Com o objetivo de analisar e medir o desempenho de sistemas de omuni ações

omo o daFigura1.3, note queapós opro esso de re epção, a probabilidadede

m

b

ser igual a

m

é, emgeral, zero. Istoo orreporque

m

éumavariávelaleatória ontínuae o ruído pormenor queseja,perturba osistemaproduzindo pequenas diferençasentre

m

b

e

m

. Poressa razão, o desempenho do sistema de omuni ações não pode ser medido pelaprobabilidadede erro de transmitir

m

e re eber

m

ˆ

, omo o orreria,por exemplo, emsistemas de omuni ações que usam onstelações de sinais, aso emque a variável

aleatória

m

édis reta. Dessa forma,um bomparâmetro para medir odesempenho do sistemade omuni ações onsiderado éo erro quadráti omédio, denido omo

ǫ

2

_,

E



(m

_{− b}

m)

2



= (m

_{− b}

m)

2

_,

(1.37)

onde E

[

· ]

é o operadoresperança, medido onjuntamente para todas as entradas per-mitidas (

m

) e todos os possíveis valores estimados (

m

ˆ

) pelo re eptor após a ação do ruído.

Além de ser útil para medir o desempenho de sistemas de omuni ações, pode-se

usarovalordo

ǫ

2

paragarantirqueore eptordosistemade omuni açõesdaFigura1.3

sejaprojetadodemaneiraótimasegundoalgum ritério. Istoé,ovalordaestimativa

m

ˆ

deveser determinadode maneiraqueodesempenho dosistemasejaomelhor possível,

no aso parti ular, o queminimizao erro quadráti omédio. Neste aso, segundo [18℄,

pode-se mostrar que

m

b

deve ser igual ao valor médio de

m

dado que seja re ebido

r

, ouseja,

ˆ

m

,

E

[m

|r] = m(r),

(1.38)

onde E

[

· | · ]

é o operador esperança ondi ional, al ulado em termos da função den-sidade de probabilidade a posteriori,

p

m|r

. Neste momento, deve-se hamar a atenção para o fato de que a estimativa

m

b

, denida em (1.38), minimiza o

ǫ

2

independente-mente dotipo de modulação(linear ounão-linear) oudo tipode ruído (Gaussiano ou

não-Gaussiano).

Contudo,obteraestimativa

m

ˆ

atravésde (1.38),emmuitos asos,nãoéumatarefa fá il,poissuadeterminaçãodependede uma integraçãorela ionada àfunção

p

m|r

,que muitas vezes não é onhe ida. Portanto, para evitar tais di uldades, o valor de

m

ˆ

onsiderado na análise de desempenho das modulações propostas nesse apítulo é o

valormais provávelde

m

dado que

r

sejare ebido. Dessaforma,adepender dafunção densidade de probabilidadea priori (

p

m

) dos sistemas de omuni ações onsiderados, pode-se fazeruso de um dos dois tiposde re eptores:

1. re eptor de máximaprobabilidade a posteriori (MAP) -dado que

r

seja re ebido, então de ida pelovalor

m

ˆ

quesatisfaz

p

m

( ˆ

m

|r) ≥ p

m

(m

|r)

Bayes

−→

p

m

( ˆ

m)p

r

(r

| ˆ

m)

≥ p

m

(m)p

r

(r

|m), ∀m.

(1.39)

2. re eptor de máxima verossimilhança (ML) -dado que afunção densidade

deprobabilidadea priorisejauniforme e

r

sejare ebido, então de idapelovalor

ˆ

p

r

(r

| ˆ

m)

≥ p

r

(r

|m), ∀m.

(1.40)

Alémdisso, para um melhorentendimento dos resultados des ritos neste trabalho,

os desempenhos das modulações propostas foramapresentados em função de grá os

darelação sinal ruídodo analde transmissão(CSNR) versus a relaçãosinal ruído da

informação transmitida(SNR), denidos omo

CSNR

,

E

m

N

e SNR

,

m

2

ǫ

2

,

(1.41) onde

m

2

é a energia média(ou variân ia) davariável aleatória

m

de média nula,

N

é a energia médiade ruído presente no anal de transmissão e

E

m

é a energiamédia de transmissão do sinal

s

m

(t)

, denida omo

E

m

,

E



|s

m

|

2



=

E





∞

Z

−∞

s

2

m

(t) dt



 ,

(1.42)

onde E[

·

℄é ooperador esperança, medidopara todos os possíveisvalores de

m

e

| · |

é a norma de um vetor.

Alémdisso, as urvas de desempenho (CSNR versus SNR) dos sistemas propostos

neste apítulo foram omparadas om a urva de um sistema ótimo, denotada pela

siglaOPTA e denida em[4℄ pelaseguinterelação

SNR

= (1 +

CSNR

)

N/M

,

(1.43)

onde

(N/M)

é a razão entre as dimensões dos sinais modulado e não modulado, res-pe tivamente. Por exemplo,para o aso parti ular de modulaçõesasso iadasa urvas

planares essa razão vale

2

, poisneste aso

s

m

⊂ R

N =2

e

m

∈ R

M =1

.

1.6 Visão Geral da Tese

Neste apítuloapresentamos asprin ipaisrazões quemotivaramarealização deste

trabalho. Além disso, situamos este trabalho no ontexto de uma pesquisa que vem

sendo realizada desde 2000 e ressaltamos que os resultados aqui obtidos justi am o

desenvolvimento dessa pesquisa. Realizamos também uma breve des rição de alguns

tópi osde geometria diferen ial,geometria Riemanniana,ópti ageométri ae

modula-ção twisted.

No Capítulo2, uma interpretação geométri a que asso ia a métri a do espaço ao

índi e de refração de meios ópti os é utilizada para derivar expressões da urvatura

espaços de urvatura onstante. Com isso, o fenmeno da dispersão modal é

rela io-nado aovalorda urvatura e uma expressão dessa dispersão é derivada em função da

urvatura domeio. Alémdisso, umaasso iação entre superfí iesde rotaçãoeguias de

ondasplanaresérealizadaenovospers deguiasdeondasemmeiosanisotrópi os om

dispersão nula são derivados dessa asso iação.

Ainda neste apítulo, bras ópti as foramanalisadas segundo sua urvatura e

dis-persão, sendo que novos pers foram propostos e omparados om os utilizados

o-mumente para a transmissão de informação. Neste aso, a bra proposta om perl

toroidal apresentou oito vezes menos dispersão que a bra om perl parabóli o e os

persdasbrasem meiosanisotrópi osasso iadasaumahiperesferaapresentaram

dis-persãonula. Alémdisso,no ontextodelentesópti as,uminstrumentoópti oabsoluto

onhe ido omo sh-eye foi asso iado a um meio de urvatura positiva. Com isso,

novos instrumentosópti osabsolutos forampropostos e asso iadosa espaços

hiperbó-li os. Neste ontexto, a onvergên ia em lentes foi rela ionada à urvatura positiva

do meio e a divergên ia à urvatura negativa. Contudo, um novo método de

onver-gên iafoiproposto paralentes om urvatura negativa,apresentandoresultadosmuito

interessantes quanto àforma de onvergên ia, queno aso foi assintóti a.

No Capítulo3, uma asso iação entre modulação twisted e urvas foi generalizada

para o ontexto das variedades Riemannianas. Neste aso, foi mostrado que além do

omprimentode ar oda urvaoudamétri adasuperfí ie, a urvatura da urvaouda

superfí ie asso iada à modulação também inuen ia no desempenho dos sistemas de

omuni ações. Alémdisso, a expressão dafunção densidade de probabilidadea

poste-riorifoiobtidaemfunção do omprimentode ar oeda urvaturada urvaasso iadaà

modulação. Veri amostambémqueépossívelrealizarum  asamento entre afunção

densidade de probabilidade a priori e a parametrização da urva, de maneira que o

desempenho do sistema de omuni ações possa ser melhorado. Ainda no Capítulo3,

umnovoesquemade modulaçãonãolinearfoiproposto,apresentandoumdesempenho

melhorque amodulaçãoPMe a derivada da urvaespiral de Arquimedes.

Ainda neste apítulo, om o intuito de diminuir o erro de ponto ini ial, foram

derivadas relações envolvendo o valor máximo da energia média de ruído e o valor

máximo da urvatura da modulação. Além disso, uma expressão do erro quadráti o

médiofoideterminadaemfunçãodamétri adasuperfí ie,propi iandoqueté ni asde

modulaçãoasso iadasasuperfí iesmínimasfossem ara terizadasporseremumponto

ríti odemínimodoerroquadráti omédio. Neste ontexto, umanovamodulação

não-linearasso iada à superfí iemínimaheli óidefoi proposta.

No Capítulo4, usamos modulaçõesnão-lineares, omo as onsideradas no apítulo

anterior,pararealizara onstruçãoeaanálisededesempenhode onstelaçõesdesinais

não-linearinduz de maneiranatural uma nova métri ano espaçode sinais. Com isso,

resultados de trabalhos anteriores puderam ser inseridos neste ontexto sem maiores

restrições. Alémdisso, expressamos aprobabilidade média de erro em função da

ur-vaturadoespaço,edemonstramosqueodesempenho deumasistemade omuni ações

pode sermelhorado omadiminuiçãodovalorda urvaturadoespaçodesinais. Neste

ontexto, apresentamos a onstrução e a análise de desempenho de onstelações de

sinais geometri amente uniformes em espaços de urvatura onstante. Neste aso,

fo-ram onsideradas modulaçõesM-PSK emodulaçõesprovenientes de tesselações

{p, q}

dos espaços om urvatura onstante. Além disso, onstelações de sinais M-PSK em

espaços de sinais asso iados a superfí ies mínimasforam onstruídas e analisadas.

Finalmente, no Capítulo5 expomos as onsiderações nais deste trabalho,

desta- ando os resultados mais relevantes de ada apítulo e suas impli ações no projeto

de novos sistemasde omuni ações. Além disso, apresentamos sugestões de trabalhos

futuros para omplementação e ontinuidade dos estudos na linha de pesquisa deste