BACHARELADO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
LUCAS LIMA BATISTA
MARCAÇÃO AUTOMÁTICA APROXIMADA DE PONTOS CEFALOMÉTRICOS UTILIZANDO ANÁLISE DE PROCRUSTES
FEIRA DE SANTANA 2012
MARCAÇÃO AUTOMÁTICA APROXIMADA DE PONTOS CEFALOMÉTRICOS UTILIZANDO ANÁLISE DE PROCRUSTES
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Colegiado de Engenharia de Computação como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Computação da Universidade Estadual de Feira de Santana.
Orientadora: Profa. Dra. Fabiana Cristina Bertoni
FEIRA DE SANTANA 2012
trabalho para vocês, pai e mãe, exemplos de dedicação, amor e carinho aos filhos, pois sem os esforços de vocês eu não chegaria a lugar algum. Agradeço todos os dias, por me educarem, me ensinarem o valor da vida e do respeito. Se hoje eu sou uma pessoa melhor do que ontem agradeço a vocês. Dedico também aos meus irmãos Luan Lima Batista e Luana Lima Batista que me apoiaram todos os dias durante essa caminhada. Aos meus avós e tios que sempre contribuíram para a minha formação.
Agradeço aos meus pais, Antonio Oliveira Batista e Edileuza Lima Batista pelo apoio, carinho e dedicação, pois sem vocês nada disso seria possível.
Agradeço aos meus amigos Sergio, Caio, Jordan, Luiz "Babu", Renato, Ulisses, Wagner e Déu pelos domingos (e às vezes os sábados) de RPG, pela amizade e pela força.
Agradeço ao meu terceiro irmão Fladmy Alves de Souza pela amizade e pelo apoio.
Agradeço aos meus colegas de sala pelo convívio nesses cinco anos de curso. Agradeço aos colegas de pesquisa no projeto Odontoradiosis Igor Leonardo, Raphael "Praga", Luiz Bernardo "Dr. Tirolez"e Roberto Nunes.
Agradeço aos professores Mauricio Cunha Escarpinati, Michele Fúlvia Angelo, Fabiana Cristina Bertoni e Cláudio Eduardo Goes por quase três anos de orientação em projeto de pesquisa.
Agradeço a professora Fabiana Cristina Bertoni pela orientação e pela paciência durante a realização desse trabalho.
As análises cefalométricas são ferramentas importantes no diagnóstico e tratamento de problemas dentários. Para realizar uma análise cefalométrica é necessária a localização dos pontos cefalométricos que permite que linhas sejam traçadas entre os pontos para medir ângulos e distâncias os quais servirão para a comparação com os padrões indicados para mesma idade, etnia e sexo. Tais pontos são difíceis de distinguir na imagem, pois sua localização depende do crescimento, rotação e deslocamento do crânio nas imagens de raios-X. Existem três abordagens para a marcação desses pontos: uma abordagem manual, uma auxiliada por computador e a abordagem automática. A abordagem manual é lenta, tediosa e sujeita a erros. Por outro lado, a abordagem computacional é realizada mediante digitalização dos pontos cefalométricos na radiografia cefalométrica. Esses pontos são localizados na própria imagem radiográfica digital obtida. Essa abordagem auxilia o ortodontista na marcação dos pontos cefalométricos e na conclusão automática da análise cefalométrica, ou seja, o cálculo dos ângulos e das distâncias é feito pelo computador e não pelo especialista. Porém, a precisão da marcação ainda está sujeita à qualificação do usuário e à qualidade da imagem digitalizada. Um sistema totalmente automatizado que detecta os pontos cefalométricos, pode reduzir o tempo necessário para realizar uma análise, melhorando consideravelmente a precisão e diminuindo erros devido à subjetividade do especialista. Assim essa monografia apresenta uma abordagem para a detecção automática dos pontos cefalométricos, a qual visa utilizar uma estrutura anatômica média que foi calculada através a partir do alinhamento de um conjunto de outras estruturas anatômicas, objetivando a aproximação do ponto cefalométrico à região que ele deve pertencer. Os testes realizados demonstram a efetividade da abordagem proposta, permitindo a redução da quantidade de erros e do tempo de marcação dos pontos cefalométricos.
Palavras-chave: Processamento de Imagens. Cefalometria. Detecção automática de pontos cefalométricos
Cephalometric analysis are important tools in the diagnosis and treatment of dental problems. To perform a cephalometric analysis required the location of cephalometric points which allows lines to be drawn between the points for measuring angles and distances which will serve for comparison with the standards specified for the same age, ethnicity and gender. Such points are difficult to distinguish the image, because their location depends on the growth, rotation and displacement of the head in X-ray images. There are three approaches to marking these points: a manual approach, a computer-aided and automatic approach. The manual approach is slow, tedious and error prone. On the other hand, the computational approach is performed by scanning in the cephalometric points cephalometric x-ray. These points are localized within the digital radiographic image obtained. This approach helps the orthodontist marking of points and to complete automatic cephalometric cephalometric analysis, ie the calculation of the angles and distances is made by the computer and not by the specialist. However, the accuracy of marking is subject to the qualification of the user and the quality of the scanned image. A fully automated system that detects the cephalometric points, can reduce the time required to perform an analysis, greatly improving accuracy and reducing errors due to subjectivity of the expert. Thus this monograph presents an approach for automatic detection of cephalometric points, which aims to use an anatomical structure that was calculated by an average from the alignment of a number of other anatomical structures, aiming to approximate the cephalometric point to the region that it must belong . The tests demonstrate the effectiveness of the proposed approach allowing to reduce the amount of errors and time marking of cephalometric points.
Keywords: Image Processing. Cephalometry. Automatic detection of cephalometric points
Figura 1 Desenho anatômico 14
Figura 2 Contorno anatômico e o traçado de orientação 15
Figura 3 Pontos cefalométricos 15
Figura 4 Traçado de Rickeets e suas medidas 16
Figura 5 Uma imagem monocromática e a convenção utilizada para o par de
eixos (x, y) 19
Figura 6 Um conjunto de 24 formas não alinhadas e seu respectivo alinhamento 31
Figura 7 Mão etiquetada utilizando 56 pontos 32
Figura 8 Forma média deformada utilizando a primeira componente principal 34
Figura 9 Exemplo da radiografia utilizada 37
Figura 10 Marcação do conjunto de pontos 38
Figura 11 Resultado do alinhamento e cálculo da forma média 39
Figura 12 Cópia da imagem marcada no projeto Odontoradiosis 40
Figura 13 Marcação feita pelo autor 42
Figura 14 Dados coletados e a forma média 43
Figura 15 Dados alinhados a forma média 43
principal 46
Figura 18 Pontos cefalométricos aproximados calculados através da forma média 48
Figura 19 Pontos cefalométricos aproximados calculados através da variação de b1= 3 ∗
√
λ1 49
Figura 20 Pontos cefalométricos aproximados calculados através da variação de b1= −3 ∗
√
Tabela 1 Descrição dos índices das estruturas e dos pontos cefalométricos 41
Tabela 2 Comparação entre os pontos cefalométricos calculados pela forma média e os pontos marcados pelo especialista 44
Tabela 3 Comparação entre as coordenadas dos pontos cefalométricos e a deformação forma média para b1= −3 ∗
√
λ1 46
Tabela 4 Comparação entre as coordenadas dos pontos cefalométricos e a deformação forma média para b1= 3 ∗
√
PDI Processamento Digital de Imagens ACP Análise de Componentes Principais
PCA Principal Component Analysis
KLT Transformada discreta de Karhunen-Loève
AAM Active Appearance Models
PDM Point Distribution Model
1 INTRODUÇÃO. . . 11 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . 13 2.1 CEFALOMETRIA . . . 13 2.1.1 TRAÇADO CEFALOMÉTRICO . . . 13 2.1.2 PONTOS CEFALOMÉTRICOS . . . 15 2.1.3 ANÁLISES CEFALOMÉTRICAS . . . 16
2.2 METODOLOGIAS DE DETECÇÃO AUTOMÁTICA DOS PONTOS CEFALOMÉTRICOS . . . 16
2.3 FUNDAMENTOS DE IMAGENS DIGITAIS . . . 18
2.3.1 DIGITALIZAÇÃO, AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO UNIFORMES . . . 20
2.4 CONCEITOS GERAIS, VETORES ALEATÓRIOS E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS . . . 20
2.4.1 VETOR ALEATÓRIO E VETOR DE MÉDIAS . . . 21
2.4.2 VARIÂNCIA, COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO . . . 21
2.4.3 VARIÂNCIA TOTAL . . . 23
2.4.4 COMBINAÇÕES LINEARES . . . 23
2.4.5 VETOR DE MÉDIAS, MATRIZES DE COVARIÂNCIAS E DE CORRELAÇÃO POPULACIONAIS . . . 24
2.4.6 AUTOVALORES E AUTOVETORES . . . 25
2.4.7 TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL: DECOMPOSIÇÃO DE MATRIZES DE COVARIÂNCIAS E DE CORRELAÇÃO EM SEUS AUTOVALORES E AUTOVETORES . . . 26
2.5 ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS . . . 27
2.5.1 COMPONENTES PRINCIPAIS EXATAS EXTRAÍDAS DA MATRIZ DE COVARIÂNCIAS . . . 28
2.5.2 DEFINIÇÕES IMPORTANTES . . . 29
2.6 ANÁLISE DE PROCRUSTES . . . 29
2.7 CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PONTUAL DE DISTRIBUIÇÃO . . . 31
2.7.1 ETIQUETAGEM DO CONJUNTO DE TREINAMENTO E ALINHAMENTO DOS DADOS . . . 32
2.7.2 ESTUDO DAS VARIAÇÕES ADMISSÍVEIS . . . 33
2.8 PROJETO ODONTORADIOSIS . . . 34
3.2 MARCAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS
CEFALOMÉTRICOS . . . 37
3.3 CALCULANDO A FORMA MÉDIA . . . 38
3.4 MODELO DE AVALIAÇÃO . . . 39
4 RESULTADOS. . . 40
4.1 MARCAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS CEFALOMÉTRICOS . . . 40
4.2 CÁLCULO DA FORMA MÉDIA . . . 43
4.3 UTILIZANDO A FORMA MÉDIA PARA UMA ESTIMATIVA INICIAL DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS CEFALOMÉTRICOS . . . 44
4.4 AVALIAÇÃO DO MODELO PONTUAL DE DISTRIBUIÇÃO BASEADO NA FORMA MÉDIA . . . 45
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 51
1 INTRODUÇÃO
A cefalometria radiográfica corresponde às mensurações da imagem radiográfica da cabeça (ossos, dentes e tecido mole). As aplicações da cefalometria na Ortodontia são diversas, entre elas: estudo do crescimento e desenvolvimento craniofacial do paciente, diagnóstico radiográfico de possíveis patologias instaladas e detecção de alterações nas várias regiões do crânio, permitindo a avaliação do local exato da anormalidade morfológica, estrutura dentária, esquelética e/ou tegumentar (VEDOVELLO, 2007). Em 1931, Broadbent (BROADBENT, 1931) estabeleceu o uso da cefalometria como meio de diagnóstico moderno e desde então, este método vem sendo utilizado como parte dos registros, para auxiliar o diagnóstico e o planejamento dos tratamentos ortodônticos.
A abundância de informações radiográficas passou a ser organizada em análises cefalométricas. Estas, por sua vez, começaram a ser usadas para classificar os casos de acordo com o tipo de má oclusão, para definir o grau de desvio da normalidade e para medir a extensão das mudanças ocorridas durante o tratamento ou durante o período de observação (BAUMRIND; FRANTZ, 1971). A análise e o diagnóstico, a partir da cefalometria, são realizados através dos traçados cefalométricos ou análises cefalométricas que são compostos por um conjunto de pontos cefalométricos que, por sua vez, unidos a outros, específicos das estruturas ósseas, dentárias e tegumentar por meio do desenho de linhas permitem a realização das mensurações (ângulos e distâncias) ditadas pelas diferentes análises cefalométricas (VEDOVELLO, 2007).
A determinação dos pontos cefalométricos tem se mostrado não reprodutível quando estes são comparados por diversos observadores. Essa não reprodutibilidade, segundo Houston (1982), é consequência da falta de precisão na determinação dos pontos cefalométricos, bem como dos erros de medida por instrumentos manuais (régua, compasso, lápis). Desta forma, diversos trabalhos vêm sendo realizados para avaliar as medidas cefalométricas obtidas manualmente ou por meio de imagens digitalizadas, e sempre a margem de erro tem se mostrado significante, em especial devido às diferenças na localização destes pontos (NETO, 1998). Estes erros, por sua vez, possuem um importante significado, pois segundo pesquisadores da área, a má localização dos pontos pode mudar significativamente o diagnóstico e o planejamento do tratamento ortodôntico (NETO, 2004; NETO; CHILVARQUER, 2000; BROCH; ROSLER, 1981).
marcação manual de pontos cefalométricos, trabalhos vêm sendo desenvolvidos com o objetivo de automatizar a localização destes pontos. Um desses trabalhos é o trabalho de Rueda & Raya (2006) intitulado An Approach for the Automatic Cephalometric Landmark Detection Using Mathematical Morphology and Active Appearance Models onde os autores utilizam de técnicas de processamento de imagens digitais e Active Appearance Models descrita por Cootes, Taylor & Pt (2004). Baseada nos trabalhos de Cootes, Taylor & Pt (2004) e de Rueda & Raya (2006) esta monografia apresenta uma alternativa para a detecção automática dos pontos cefalométricos, a qual consiste em alinhar um conjunto de estruturas anatômicas e seus respectivos pontos cefalométricos usando a análise de Procrustes. Ao alinhar todas as formas, uma forma média é obtida. Essa forma média pode auxiliar o ortodontista durante a marcação do contorno anatômico e dos pontos cefalométricos em novas imagens.
Na seção 2 serão apresentados os principais conceitos de cefalometria e os principais conceitos matemáticos que são utilizados para o cálculo da estrutura anatômica média e para o desenvolvimento de alguns tópicos abordados nos trabalhos de Cootes, Taylor & Pt (2004) e de Rueda & Raya (2006). Ainda na seção 2 é apresentado o projeto Odontoradiosis, que forneceu as radiografias e os dados necessários para esse trabalho. Na seção 3 são descritas as etapas necessárias para o desenvolvimento desse trabalho e, por fim, na seção 4, serão apresentados os resultados alcançados.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 CEFALOMETRIA
Cefalometria é a ciência que estuda as dimensões das estruturas do crânio e da face. Uma análise cefalométrica consiste em caracterizar as distâncias e ângulos entres as estruturas anatômicas retiradas de uma radiografia da cabeça (RUEDA; RAYA, 2006). Esse processo é iniciado com a localização dos pontos cefalométricos, seguida pelo desenho de linhas que são traçadas entre os pontos para medir ângulos e distâncias, os quais servirão para a comparação com os padrões indicados para a mesma idade, etnia e sexo. Somente assim um diagnóstico e uma previsão de tratamento podem ser estabelecidos. Duas abordagens podem ser utilizadas para a realização dos traçados cefalométricos: uma abordagem manual e uma abordagem auxiliada por computador.
Para executar uma marcação manual é necessário posicionar a radiografia cefalométrica em um negatoscópio (aparelho dotado de iluminação especial para observação das chapas radiográficas) e fixar o papel de acetato na radiografia com fita adesiva. Em seguida o especialista deve marcar as principais estruturas anatômicas utilizando um lápis, e somente depois de marcar todas essas estruturas, o especialista deve marcar os pontos cefalométricos, as linhas e os planos, que compõem o traçado de orientação. Essa abordagem é um processo tedioso, que consome tempo e está sujeito a erros.
A marcação auxiliada por computador normalmente é realizada mediante a digitalização dos pontos cefalométricos e das estruturas anatômicas direta ou indiretamente na radiografia cefalométrica. Esses pontos e desenhos das estruturas são transferidos para um computador por meio de uma mesa digitalizadora ou localizados na própria imagem radiográfica digital obtida. O software, em seguida, conclui automaticamente a análise cefalométrica, ou seja, calcula as distâncias e os ângulos necessários para finalizar a análise (VUCINIC; TRPOVSKI; SCEPAN, 2010).
A marcação automática tende a auxiliar no desenho de todas as estruturas e encontrar a localização dos pontos cefalométricos da forma mais precisa possível com o mínimo de intervenção do especialista.
2.1.1 Traçado Cefalométrico
O traçado cefalométrico ou cefalograma é o desenho das estruturas anatômicas visualizadas na radiografia cefalométrica. É composto pelo desenho anatômico e
pelos traçados de orientação (RAVELI et al., 2007). Com uso do cefalograma é possível fazer as medições lineares e angulares com o intuito de facilitar o diagnóstico e o planejamento ortodôntico (FILHO, 2007).
No desenho anatômico, todas as principais estruturas anatômicas são demarcadas. Para o traçado deve-se ter um conhecimento preciso das estruturas anatômicas do crânio e da face (RAVELI et al., 2007). Essas estruturas vão auxiliar o especialista na construção do traçado de orientação. Na figura 1 estão todas as principais estruturas para a marcação do traçado de orientação.
Figura 1: Desenho anatômico
Fonte: Junior et al. (2005).
O traçado de orientação é um conjunto de pontos, linhas e planos cefalométricos, marcados sobre o desenho anatômico, onde serão realizadas medidas de grandeza linear ou angular referente à análise cefalométrica que estiver sendo feita no momento. A figura 2 mostra um exemplo de contorno anatômico e do traçado de orientação.
Figura 2: Contorno anatômico e o traçado de orientação
Fonte: Uchiyama et al. (2006).
2.1.2 Pontos Cefalométricos
A partir do desenho anatômico faz-se a demarcação de alguns pontos denominados pontos cefalométricos. A localização dos pontos cefalométricos pode ser determinada por inspeção das estruturas anatômicas, ou construída geometricamente, a partir do traçado de orientação (FILHO, 2007). Cada ponto cefalométrico possui um nome e é designado por meio de abreviações, como: Ponto Sela (S), Ponto Orbitário (Or), Ponto Násio (N), Ponto Pório (Po), por exemplo. A figura 3 mostra a marcação de um conjunto de pontos cefalométricos.
Figura 3: Pontos cefalométricos
2.1.3 Análises Cefalométricas
A partir do agrupamento das medidas retiradas do traçado de orientação surgiram as análises cefalométricas. Essas análises têm o objetivo de fornecer informações sobre o tamanho e formas dos componentes cranio-faciais, suas posições relativas e orientações. Várias análises foram publicadas, por exemplo, a análise de Tweed, a análise de Downs, a análise de Stainer e a análise de Rickeets (JUNIOR et al., 2005). Essas análises utilizam padrões para avaliar as características ósseas, dentais e faciais de cada paciente. Cada autor de análise utilizou um conjunto de pontos, linhas e planos cefalométricos próprios para avaliar as posições dentárias e esqueléticas, através de medidas angulares e lineares. Um exemplo de análise cefalométrica é apresentada na figura 4.
Figura 4: Traçado de Rickeets e suas medidas
Fonte: Junior et al. (2005).
2.2 METODOLOGIAS DE DETECÇÃO AUTOMÁTICA DOS PONTOS
CEFALOMÉTRICOS
Os trabalhos que tratam da detecção automática dos pontos cefalométricos podem ser classificados em quatro categorias, com base nas técnicas, ou na combinação de técnicas que têm sido empregadas: técnicas de processamento de imagens, em conjunto com o conhecimento prévio da estrutura do crânio (PARTHASARATHY et al., 1989; TONG et al., 1990); abordagens baseadas em modelos (HUTTON; CUNNINGHAM; HAMMOND, 2000; EL-FEGH et al., 2008); abordagens de computação flexível (CHAKRABARTTY et al., 2003; EL-FEGHI;
SID-AHMED; AHMADI, 2006) e abordagens híbridas (GRAU et al., 2001; SAAD; EL-BIALY; AHMED, 2005).
É comumente aceito que a precisão na identificação dos pontos cefalométricos seja inferior a 0,5 milímetros. Por outro lado, medidas com erros próximos de 2mm são consideradas aceitáveis e também são usados como referência para avaliar a taxa de sucesso do reconhecimento automático (VUCINIC; TRPOVSKI; SCEPAN, 2010).
Hutton, Cunningham & Hammond (2000) utilizaram a evolução da aplicação de modelos de contornos ativos para detecção de pontos cefalométricos. Foram selecionados randomicamente 63 cefalogramas, os quais tiveram seus pontos marcados no computador por um especialista com a finalidade de produzir um padrão, e testados usando um esquema drop-one-out. Em média, 13% dos 16 pontos marcados ficaram dentro de 1mm, 35% dentro de 2mm, e 74% dentro de 5mm. Eles concluíram que a ferramenta desenvolvida não é tão eficiente para a detecção completa dos pontos, mas poderia ser utilizada em uma análise inicial, reduzindo desta forma, o tempo com a localização dos pontos.
El-Fegh et al. (2008) desenvolveram um modelo de aproximador funcional baseado no erro quadrático mínimo. Este modelo utiliza imagens de referência para cada grupo de indivíduos, considerando a variabilidade morfológica do crânio humano, onde são marcados 9 pontos cefalométricos iniciais. Assim, na detecção dos pontos em uma nova imagem, uma imagem de referência correspondente é localizada, e através de uma aproximação funcional, os 9 pontos cefalométricos iniciais são então marcados na nova imagem. A partir destes 9 pontos, outros podem ser localizados, também pela aplicação do aproximador. O modelo foi testado em mais de 80 imagens para marcar 20 pontos, sendo possível localizar com precisão de 2mm cerca de 90% dos pontos.
Chakrabartty et al. (2003) aplicaram a técnica de classificação de padrões support vector machine para modelar os limites entre os diferentes pontos cefalomátricos e também entre as estruturas de fundo das imagens. Os resultados foram obtidos através da detecção de 8 pontos cefalométricos em uma amostra de 40 imagens e demonstram uma precisão média de aproximadamente 95% na detecção dos pontos, considerando um erro de 5mm entre a posição real do ponto e a localização apresentada pelo classificador.
El-Feghi, Sid-Ahmed & Ahmadi (2006) utilizaram uma rede neural do tipo Perceptron Multicamadas como um aproximador funcional, para localizar automaticamente 20 pontos cefalométricos. Dois experimentos foram realizados
usando um conjunto de 210 imagens, sendo 105 para treinamento e 105 para teste. Os resultados demonstraram que foi possível localizar mais de 81% dos 20 pontos em todas as imagens com uma precisão menor ou igual a 2mm.
Grau et al. (2001) desenvolveram uma ferramenta onde a detecção dos pontos é composta por duas etapas: a primeira identifica as linhas que possuem alto contraste, como a linha do queixo ou espinha nasal; a segunda usa as linhas detectadas na primeira etapa para determinar a busca das áreas, e assim, aplicar um algoritmo baseado em técnicas de morfologia matemática. A relação entre os pontos marcados e linhas são determinados por meio de um processo de treinamento. O sistema foi testado para localizar 17 pontos em 20 imagens, e mais de 90% foram identificados com precisão inferior a 2mm.
Saad, El-Bialy & Ahmed (2005) descreveram um modelo de contorno ativo associado a técnica de Simulated Annealing para a identificação automática de 18 pontos cefalométricos, o qual utilizou um conjunto de dados de padrões de forma e textura, construído com base em 20 imagens marcadas manualmente. Os resultados demonstraram uma média de erro de 3,1mm entre a localização do ponto feita pelo modelo proposto e a localização real do ponto.
2.3 FUNDAMENTOS DE IMAGENS DIGITAIS
Muitas das técnicas de detecção automática de pontos cefalométricos necessitam que as características da imagem que representam as estruturas anatômicas estejam destacadas. Para isso, utiliza-se de algumas técnicas de processamento digital de imagens para destacar essas estruturas.
Uma imagem monocromática pode ser representada por uma função f (x, y) da intensidade luminosa, onde seu valor, em qualquer ponto de coordenadas espaciais (x, y), é proporcional ao nível de cinza da imagem naquele ponto (FILHO; NETO, 1999). A Figura 5 mostra que em processamento de imagens a orientação dos eixos xe y é diferente da utilizada pela geometria analítica. Em processamento de imagens, essa notação pode ser entendida como (linha, coluna).
Figura 5: Uma imagem monocromática e a convenção utilizada para o par de eixos (x, y)
Fonte: Adaptado de Santos (2008)
Segundo Gonzales & Woods (2000) a função f (x, y) pode ser caracterizada por dois componentes: a quantidade de luz incidindo na cena (iluminação) e a quantidade de luz refletida pelos objetos da cena (reflectância). O produto entre a iluminação i(x, y)e a reflectância r(x, y) resulta em f (x, y).
f(x, y) = i(x, y)r(x, y) (1)
onde
0 < i(x, y) < ∞ (2)
e
0 < r(x, y) < 1 (3)
A intensidade de uma imagem monocromática f nas coordenadas (x, y) é denominado nível de cinza ou tom de cinza (L) da imagem nesse ponto. Esse valor L pertence ao intervalo:
Lmin≤ L ≤ Lmax (4)
2.3.1 Digitalização, Amostragem e Quantização Uniformes
Dado um sinal analógico de vídeo obtido de um dispositivo de aquisição, por exemplo, uma câmera fotográfica, esse sinal deve ser submetido a uma discretização espacial e em amplitude para tomar o formato desejável ao processamento computacional (FILHO; NETO, 1999).
O processo de discretização espacial é conhecido como amostragem e a quantização é o processo de discretização em amplitude. Basicamente, a amostragem converte a imagem analógica em uma matriz de M por N pontos (FILHO; NETO, 1999).
f(x, y) = f(0, 0) f(0, 1) . . . f(0, M − 1) f(1, 0) f(1, 1) . . . f(1, M − 1) .. . ... ... ... f(N − 1, 0) f(N − 1, 1) . . . f(N − 1, M − 1) (5)
O lado direito da equação 5 representa uma imagem digital, onde cada elemento da matriz denomina-se elemento de imagem ou pixel. Valores altos de M e de N implicam uma imagem de maior resolução.
O processo de digitalização de uma imagem envolve decisões a respeito do número de níveis de cinza permitidos para cada pixel. Em processamento digital de imagens ( PDI ) é comum assumir que esse número é uma potência inteira de dois; isto é:
G= 2w (6)
em que G é o número de níveis de cinza. A quantização faz com que cada um destes pixels assuma um valor inteiro, na faixa de 0 a 2w− 1. Quanto maior o valor de w, maior o número de níveis de cinza presentes na imagem digitalizada (FILHO; NETO, 1999).
2.4 CONCEITOS GERAIS, VETORES ALEATÓRIOS E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Nessa seção serão discutidos alguns conceitos sobre vetores aleatórios, matrizes de covariâncias e de correlação e os estimadores mais comuns de parâmetros de distribuições multivariadas. O objetivo nesta seção é mostrar como esses conceitos são utilizados, pois são de fundamental importância para o entendimento da técnica de análise de componentes principais, empregada nesse trabalho para a construção do modelo pontual de distribuição.
2.4.1 Vetor Aleatório e Vetor de Médias
Segundo Mingoti (2007), X é um vetor contendo p componentes, onde cada componente desse vetor é uma variável aleatória, isto é, Xi é uma variável aleatória, ∀i = 1, 2, . . . , p. Então um vetor X aleatório pode ser representado por:
X = X1 X2 .. . Xp ou X0 = [X1, X2, X3, . . . , Xp]
Seja X um vetor aleatório. O vetor µ = E(X) é chamado de vetor de médias do vetor X = [X1, X2, X3, . . . , Xp]0, então X = E(X1) E(X2) .. . E(Xp) = µ1 µ2 .. . µp
onde µi= E(Xi) é a média, ou a esperança, da variável aleatória Xi, i = 1, 2, . . . , p. A média µi é utilizada para sintetizar a informação de tendência central da distribuição de valores da variável Xi.
2.4.2 Variância, Covariância e Coeficiente de Correlação
A variância do i-ésimo componente do vetor X é dado por:
Var(Xi) = σi2= σii (7)
O desvio padrão denotado por σi ou √
σi fornece a informação sobre a disposição dos dados em relação a média, ou seja, mostra se os valores estão próximos ou distantes da média. Assim, grandes valores de σi indicam uma maior dispersão de valores em relação a média da distribuição (MINGOTI, 2007).
Já a covariância entre os valores da i-ésima e j-ésima variáveis do vetor aleatório X é dada por:
cov(Xi, Xj) = σi j= E(Xi− µi)(Xj− µj)
(8) Quando i = j, a expressão 8 torna-se a variância da variável Xi. A covariância é utilizada para medir o grau de relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias.
Basicamente, quando valores de Xiacima da média µitendem a estar associados aos valores de Xj acima da média µj, ou vice-versa, a covariância σi j tende a ser positiva. Então, à medida que a variável Xi cresce (ou decresce) numericamente, a variável Xj também cresce (ou decresce) linearmente. Quando os valores de Xi acima da média µi tendem a estar associados aos valores de Xj abaixo da média µj, ou vice-versa, a covariância σi j tende a ser negativa. Assim, à medida que a variável Xi cresce (ou decresce) numericamente, a variável Xj também decresce (ou cresce) linearmente (MINGOTI, 2007).
A covariância tem informação sobre o relacionamento linear entre duas variáveis. Entretanto é difícil julgar se a relação é forte ou não observando-se apenas os seus valores numéricos, uma vez que não se tem um valor de referência mínimo ou máximo. Quando se têm muitas variáveis, o procedimento mais comum é guardar os valores de σi j numa matriz chamada de matriz de covariâncias, definida a seguir:
Cov(X ) = Var(X ) = Σpxp= σ11 σ12 . . . σ1p σ21 σ22 . . . σ2p .. . ... . .. ... σp1 σp2 . . . σpp (9)
A matriz de covariâncias é uma matriz simétrica, isto é, σi j = σji, ∀i 6= j. Segundo Mingoti (2007) a matriz de covariância é não negativa definida, ou seja, a0Σa ≥ 0 para todo o vetor de constantes apx1 ∈ ℜp. Essa condição implica que os autovalores da matriz Σpxp denotados por λ1, λ2, . . . , λp, são não negativos, ou seja, λi≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . , p.
Algumas matrizes de covariâncias são positivas definidas, ou seja, a0Σa > 0, onde apx1∈ ℜpe apx1 é não nulo. Então, os autovalores de Σpxp são todos positivos e a matriz Σpxp é não singular, sendo seu determinante maior que zero. Assim sendo, a matriz Σpxpterá matriz inversa, denotada por Σ−1pxp sendo que Σ−1pxpΣpxp= ΣpxpΣ−1pxp= Ipxp onde Ipxp é a matriz identidade. Então, uma matriz que não tenha a propriedade de simetria e que não seja não negativa definida ou positiva definida não poderá ser uma matriz de covariâncias.
Por fim, o coeficiente de correlação mede o grau de relacionamento linear entre duas variáveis. Quanto mais o coeficiente tende a 1, mais indicações temos que as variáveis Xi e Xj possuem um relacionamento linear positivo (crescimento). Quanto mais o coeficiente se aproxima de -1, maior a tendência de um relacionamento linear negativo (decrescimento) entre as variáveis. Uma correlação próxima de 0 é uma indicação que há um não-relacionamento linear entre as variáveis em questão
(MINGOTI, 2007). O coeficiente de correlação entre as i-ésima e j-ésima variáveis de um vetor X é definido por:
ρi j= σi j √ σi jσi j = σi j σiσj (10) onde −1 ≤ ρi j≤ 1, i, j = 1, 2, . . . , p. Quando i = j a equação 10 se iguala a 1. Quando o número de variáveis é muito grande, o procedimento mais comum é guardar os valores de ρi j em uma matriz chamada de matriz de correlação.
ρpxp= 1 ρ12 ρ13 . . . ρ1p ρ21 1 ρ23 . . . ρ2p ρ31 ρ32 1 . . . ρ3p .. . ... ... . .. ... ρp1 ρp2 ρp3 . . . 1 (11) 2.4.3 Variância Total
A variância total do vetor aleatório é definida como:
traço (Σpxp) = σ11+ σ22+ . . . + σpp (12) O traço da matriz Σpxp é uma forma de sintetização da variância global da distribuição multivariada, uma vez que esta é a soma das variâncias das variáveis do vetor X . Altos valores de variâncias totais indicam uma maior dispersão global das variáveis (MINGOTI, 2007).
2.4.4 Combinações Lineares
Seja X um vetor aleatório, composto por p-variáveis, com vetor de médias µ e matriz de covariâncias Σpxp. Dado um vetor de constantes conhecidas a onde apx1∈ ℜp. Seja Z uma variável aleatória e uma combinação linear das variáveis de X definida por:
Z= a1X1+ a2X2+ . . . + apXp (13) A média (esperança matemática) da variável Z é definida por:
µZ = E(Z) = a1µ1+ a2µ2+ . . . + apµp (14) onde µi= E(Xi).
A variância de Z é dada por: σz2= a0Σpxpa= p
∑
i=1 a2iσi2+∑
i=1 aiajσi j (15)Mais de uma combinação linear do vetor X pode ser expressa na forma:
Yrx1= BrxpXpx1 (16)
onde r é o número de combinações lineares e Brxp é a matriz de transformação linear. Portanto, as médias de y e a sua matriz de covariância podem ser representadas por:
µY = Brxpµ (17)
ΣY = BrxpΣpxpB
0
rxp (18)
As combinações lineares tem um papel importante na análise de dados multivariados, pois através delas pode-se sumarizar as informações das p-variáveis originais (MINGOTI, 2007).
2.4.5 Vetor de Médias, Matrizes de Covariâncias e de Correlação Populacionais Na maioria das vezes as matrizes de covariâncias e de correlação precisam ser estimadas através de dados amostrais. Seja uma amostra de tamanho n, onde, para cada elemento da amostra, tenha-se observado os valores de p-variáveis, ou seja, tem-se n vetores aleatórios distribuídos da forma:
X1= X11 X21 .. . Xp1 X2= X12 X22 .. . Xp2 , . . . , Xn= X1n X2n .. . Xpn
sendo que o primeiro índice indica a variável amostral e o segundo o elemento amostral (MINGOTI, 2007). Essas variáveis também podem ser guardadas em uma matriz chamada matriz de dados. A informação de cada vetor Xié armazenada numa linha dessa matriz e a coluna representa os dados observados de uma variável. Assim, temos:
Xnxp X11 X21 . . . Xp1 X12 X22 ... Xp2 .. . ... ... ... X1n X2n . . . Xpn
O vetor de médias µ é definido por:
X = 1 n[X1+ X2+ . . . + Xn] = X1 X2 .. . Xp (19)
onde Xié a média amostral da i-ésima variável, sendo i = 1, 2, . . . , p (MINGOTI, 2007). A matriz de covariâncias amostrais é definida por:
Spxp S11 S21 . . . S1p S12 S22 ... S2p .. . ... ... ... Sp1 Sp2 . . . Spp (20)
sendo Si j = Sji, i 6= je Sii definidos por:
Sii= ∑ n
l=1 Xil− Xi 2
n− 1 (21)
que é variância amostral da i-ésima variável,
Si j = ∑nl=1 Xil− Xi Xjl− Xj n− 1 (22)
que é a covariância entre a i-ésima e j-ésima variáveis (MINGOTI, 2007).
2.4.6 Autovalores e Autovetores
Em álgebra linear é comum o aparecimento de questões sobre como encontrar parâmetros que satisfaçam a equação abaixo:
AX= λ X (23)
onde A é uma matriz quadrada X é um vetor e λ é um escalar. A solução trivial para esse problema é X = 0, mas essa solução não nos traz uma informação relevante, portanto, é necessário encontrar outros valores de X e λ que satisfaçam a equação
23 (KITANI; THOMAZ, 2006).
Pode-se multiplicar o termo da direita da equação 23 pela matriz identidade, sem que isso modifique a igualdade, ou seja:
AX = λ IX (24)
Podemos modificar a equação 24 para igualar essa equação a zero, isto é:
(A − λ I)X = 0 (25)
Se a matriz A for de dimensão pxp, teremos um sistema de p equações e p incógnitas (KITANI; THOMAZ, 2006).
a11− λ1 a12 . . . a1p a21 a22− λ2 . . . a2p .. . ... . .. ... ap1 . . . app− λp x1 x2 .. . xp = 0 (26)
Uma solução seria calcular o determinante da equação 26 igual a zero, ou seja, det(A − λ I) = 0. Essa equação é chamada de equação característica da matriz A, e produz um polinômio de grau p em λ . Esse polinômio tem p raízes (λ1, λ2, . . . , λp), e de cada raiz λj(autovalor) obtém-se valores xjque irão compor o autovetor de X (KITANI; THOMAZ, 2006).
Mais informações sobre autovalores e autovetores podem ser encontradas em (BARROSO et al., 1976) e (CALLIOLII; DOMINGUES; COSTA, 1978).
2.4.7 Teorema da Decomposição Espectral: Decomposição de Matrizes de Covariâncias e de Correlação em seus Autovalores e Autovetores
Seja Σpxp uma matriz de covariâncias. Então, existe uma matriz ortogonal Opxp, isto é, O0O= OO0 = Ipxp, tal que:
O0ΣO = λ1 0 λ2 . .. 0 λp = Λ (27)
onde λ1≥ λ2≥ . . . λp, são os autovalores ordenados em ordem decrescente da matriz Σpxp (MINGOTI, 2007). A matriz Σpxp é similar a matriz Λpxp pois, apresenta as seguintes propriedades:
det(Σpxp) = Σpxp = Λpxp = p
∏
i=1 λp traço (Σpxp) =traço (Λpxp) = λ1+ λ2+ . . . + λpA i-ésima coluna da matriz Opxp é o autovetor normalizado ei correspondente ao autovalor λi, i = 1, 2, 3, . . . , p denotado por:
ei= ei1 ei2 .. . eip
Portanto, a matriz O é formada por O =h e1 e2 . . . ep i
e pelo teorema da decomposição espectral tem-se a seguinte igualdade:
Σpxp= O 0 ΛO = p
∑
i=1 λieie 0 i (28)sendo ei um vetor de comprimento igual a 1, ou seja,
keik = (e2i1+ e2i2+ . . . + e2ip)
1 2 = 1
onde, e0iej= 0, ∀i 6= j, pela ortogonalidade da matriz Opxp (MINGOTI, 2007).
2.5 ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS
Análise de componentes principais ( ACP ) ou Principal Component Analysis, comumente chamada de PCA , foi introduzida por Pearson (1901) e está fundamentada no artigo de Hotelling (1933). Segundo Mingoti (2007), o seu principal objetivo é explicar a estrutra de variância e covariância de um vetor aleatório, composto por p-variáveis aleatórias, através da construção de compilações lineares das variáveis originais. Em outras palavras o PCA é um procedimento matemático que usa uma transformação ortogonal para converter um conjunto de variáveis aleatórias possivelmente correlacionadas em um conjunto variáveis não correlacionadas entre si chamadas de componentes principais.
Esta transformação é definida de tal forma que o primeiro componente principal tem a maior variância quanto possível, e cada componente, por sua vez tem a maior variância possível sob a restrição de que seja ortogonal aos outros componentes anteriores. Dependendo do campo de aplicação, o PCA também pode ser chamado
de Transformada discreta de Karhunen-Loève ( KLT ).
Com p-variáveis originais pode-se obter p-componentes principais. Entretanto, deseja-se obter uma redução no número de variáveis a serem avaliadas, ou seja, a informação contida em p-variáveis originais é substituída pela informação contida em k(k < p)componentes principais não correlacionadas (MINGOTI, 2007).
Portanto, o sistema de variabilidade das variáveis originais é aproximado pelo sistema de variabilidade do vetor que contém as k componentes principais. A qualidade da aproximação vai depender do número de componentes mantidas no sistema e pode ser medida através da avaliação da proporção de variância total explicado por essas componentes principais (MINGOTI, 2007).
2.5.1 Componentes Principais Exatas Extraídas da Matriz de Covariâncias
Seja X um vetor aleatório e seu respectivo vetor de médias µ e a matriz de covariâncias Σpxp, com seus respectivos autovalores normalizados ei que satisfazem as seguintes propriedades:
• e0iej= 0 para todo i 6= j
• eiei= 1 para todo i = 1, 2, . . . , p • Σpxpei= λieipara todo i = 1, 2, . . . , p
sendo o autovalor ei = (ei1 ei2 . . . eip). Seja um vetor aleatório formado por Y = O0X onde Opxp é a matriz ortogonal de dimensão pxp, formada pelos autovalores normalizados da matriz de covariâncias (MINGOTI, 2007), ou seja,
Opxp= e11 e21 . . . ep1 e12 e22 . . . ep2 .. . ... ... ... e1p e2p . . . epp = [e1 e2 . . . ep] (29)
Segundo Mingoti (2007), o vetor Y é composto das combinações lineares das variáveis aleatórias do vetor X com a matriz Opxp e tem vetor de médias igual a O
0
µ e matriz de covariâncias Λpxp, que é uma matriz diagonal, isto é,
Λpxp= λ1 0 λ2 . .. 0 λp (30)
cujos elementos são iguais a aii= λi, i = 1, 2, . . . , p.
Mingoti (2007) ainda afirma que as variáveis aleatórias que formam o vetor Y são não correlacionadas entre si. Então, surge a idéia de utilizar as combinações lineares em Y , como uma forma de representar a estrutura de covariâncias do vetor X , tentando obter uma redução do espaço de variáveis, passando da dimensão p, para uma dimensão k (k < p).
2.5.2 Definições Importantes
A proporção da variância total de X que é explicada pela j-ésima componente principal é definida como:
Var[Yj] Variância Total de X = λj Traço (Σpxp) = pλj
∑
i=1 λi (31)A proporção da variância total que é explicada pelas k primeiras componentes principais é dada por:
k
∑
j=1 Var[Yj] Variância Total de X = k∑
j=1 λj Traço (Σpxp) = k∑
j=1 λj p∑
i=0 λi (32)Se as primeiras componentes principais explicam a maior parte da variância total do vetor X , pode-se restringir o estudo somente as Yk componentes.
2.6 ANÁLISE DE PROCRUSTES
A análise de Procrustes é uma forma de análise estatística utilizada para estudar a distribuição de um conjunto de objetos. A forma de um objeto é representada por um conjunto de n pontos, que pode estar em qualquer dimensão aplicável. Normalmente os pontos estão em duas ou três dimensões. Para comparar a forma de dois ou mais objetos, estes devem ser sobrepostos. A sobreposição ótima é encontrada calculando a melhor translação, rotação e escala aplicada aos objetos, ou seja, o objetivo é aplicar uma transformação em cada objeto que minimize uma medida de diferença entre os formatos, chamada de distância de Proscustes.
Matematicamente, a distância de Procrustes entre dois objetos (x1 e x2) pode ser representada por:
Pd2= n
∑
j=1 (xj1− xj2)2+ (yj1− yj2)2 (33)Essa distancia mede a qualidade da sobreposição de dois objetos. Quanto mais próximo de zero mais o objeto x2 se aproxima do alinhamento ideal com o objeto x1.
Por fim, para alinhar um conjunto de formas, ou seja, minimizar o efeito de rotação, translação e escala dos objetos em relação a média, basta seguir os seguintes passos:
1. Calcule a forma média.
2. Calcular o centro de massa de cada forma e posicionar cada forma em seu centro de massa.
3. Aplicar escala para que cada forma tenha o tamanho igual.
4. Alinhar a posição de cada forma e a forma média em relação ao seu centro de massa.
5. Alinhar a posição de cada forma e a forma média por rotação. 6. Calcule novamente a forma média
7. Se a forma média variar volte para o item 1
A forma média ou Procrustes mean shape pode ser calculada por:
x= 1 N N
∑
i=1 xi (34)onde N é o número de formas.
O centro de massa é calculado através da equação abaixo:
(x, y) = 1 n n
∑
j=1 xj,1 n n∑
j=1 yj ! (35)então, para reposicionar a forma em relação ao seu centro de massa devemos transladar os pontos de forma que:
(x, y) → ((x − x), (y − y), . . .) (36) A variação da escala pode ser removida redimensionando os objetos de forma que o valor quadrático médio da distância a partir do ponto transladada para a origem seja 1. Então temos:
s= r
(x1− x)2+ (y1− y)2+ . . .
onde k é o números de pontos da forma. A escala torna-se 1 quando as coordenadas dos pontos ajustadas da seguinte maneira:
(x, y) → (x − x) s , (y − y) s (38) Para remover a rotação, consideremos duas formas já alinhadas em relação a escala e a translação. Seja ((x1, y1), . . .)os pontos da forma 1 e ((w1, z1), . . .)os pontos da forma 2. O angulo θ que melhor sobrepõe a forma 2 em relação a forma 1 é calculado por: θ = tan−1 k
∑
i=1 (wiyi− zixi) k∑
i=1 (wixi− ziyi) (39)A figura 6 mostra um conjunto de 24 formas não alinhadas, e respectivamente, a sua forma média alinhada.
Figura 6: Um conjunto de 24 formas não alinhadas e seu respectivo alinhamento
Fonte: Adaptado de Stegmann (2000).
2.7 CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PONTUAL DE DISTRIBUIÇÃO
Active Appearance Models ou AAM , apresentados por Cootes, Taylor & Pt (2004), são capazes de modelar a forma e a textura da grande variabilidade existente em um conjunto de treinamento. Para isso é necessário um conjunto de imagens bastante homogêneo para aumentar a robustez do modelo. Nessa monografia, apresentaremos somente uma das partes do desenvolvimento de AAM conhecida como PDM ou modelo pontual de distribuição ( MPD ).
O PDM tem o objetivo de obter um modelo que represente a forma média de um objeto e os desvios admissíveis para sua forma a partir de um conjunto de objetos de treinamento. Em outras palavras, o PDM consiste em estudar a variação das coordenadas dos pontos ao longo do conjunto de treinamento. O processo de modelagem é descrito nos passos abaixo:
1. Etiquetagem do conjunto de treinamento 2. Alinhamento dos dados
3. Estudo das variações admissíveis
4. Escolha do número de modos de variação para representar o objeto.
2.7.1 Etiquetagem do Conjunto de Treinamento e Alinhamento dos Dados
Etiquetar os objetos significa demarcar o objeto com um conjunto de pontos mantendo a correspondência entre todos os objetos, ou seja, o primeiro ponto marcado no objeto 1 deve corresponder ao mesmo ponto no objeto 2. Se a etiquetagem for manual é preferível que o especialista ou usuário conheça bem essa tarefa de forma que a correspondência entre os pontos sejam mantida. A figura 7 apresenta o exemplo de um objeto etiquetado.
Figura 7: Mão etiquetada utilizando 56 pontos
Fonte: Adaptado de Stegmann & Gomez (2002).
Para ser possível comparar pontos equivalentes em diferentes objetos estes devem estar alinhados. Antes é necessário estabelecer a correspondência entre os
objetos, ou seja, construir um vetor de coordenadas para cada objeto no seguinte formato:
X = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)T onde n é a quantidade de pontos.
A seguir é necessário alinhar os objetos através da sua rotação, translação e redimensionamento (escalamento). O objetivo é minimizar a soma quadrática das distâncias entre pontos equivalentes. Existem diversas técnicas para o alinhamento de objetos. Uma delas é a análise de Procrustes descrita na seção 2.6.
2.7.2 Estudo das Variações Admissíveis
Após etiquetar e marcar todo o conjunto de treinamento, os dados coletados são reunidos em uma matriz da forma:
Xp= [X1X2. . . Xp]
onde p é a quantidade de objetos marcados. Para o estudo das variações admissíveis basta aplicar o PCA à matriz de covariâncias dos pontos marcados. Como foi explicado na seção 2.5, os autovetores da matriz de covariância dos objetos alinhados corresponde aos seus respectivos autovalores ordenados de modo que o primeiro autovalor possui a maior proporção da variância total explicada. Então pode-se reduzir os autovetores à um número t(t < p) de forma que os autovetores restantes representem a maior parte da variância total. Portanto, segundo Cootes, Taylor & Pt (2004) qualquer objeto do conjunto de treinamento pode ser aproximado por:
x ∼= x + Φb (40)
onde Φ corresponde aos t primeiros autovetores e b é um vetor t dimensional ao qual
b= ΦT(x − x) (41)
O vetor b define o conjunto de parâmetros do modelo deformável. Variando os elementos de b pode-se variar o objeto x usando a equação 40. Como a variância de bisobre o conjunto de treinamento e dada por λi, então os seus limites são da ordem de:
−3pλi< bi< 3 p
λi
O número de autovetores pode ser escolhido de forma que represente a maior parte da variância total dos dados ou de forma que o os termos residuais sejam
considerados ruído (COOTES; TAYLOR; PT, 2004). A quantidade de parâmetros deve representar pelo menos 96% da variação total. O cálculo da variância total e o cálculo da porção de variabilidade pode ser encontrado na seção 2.5.2. A figura 8 mostra um exemplo de deformação, variando entre os valores mínimo e máximo de variância.
Figura 8: Forma média deformada utilizando a primeira componente principal
Fonte: Adaptado de Stegmann & Gomez (2002).
2.8 PROJETO ODONTORADIOSIS
O projeto intitulado "Odontoradiosis: ferramenta computacional de auxílio à área odontológica na realização da análise facial e do traçado cefalométrico obtido a partir da deteção semi-automática dos pontos cefalométricos"(BASTOS et al., 2009) propõe o desenvolvimento de uma ferramenta computacional que tem o objetivo de auxiliar os profissionais de odontologia que realizam os exames de análise facial e traçado cefalométrico. Esse projeto ainda propõe a deteção semi-automática dos pontos cefalométricos permitindo uma otimização no tempo necessário para realizar um traçado cefalométrico.
Para auxiliar o especialista, diversas ferramentas de processamento digital de imagens estão implementadas. Essas ferramentas possibilitam realçar as estruturas anatômicas, facilitando a sua marcação. A marcação das estruturas é feita através do ajuste de uma estrutura anatômica de referência, formada por um conjunto de pontos interligados, marcados por um especialista. Para o ajuste das estruturas anatômicas foram implementadas três transformações geométricas: rotação, translação e escala.
Nesse projeto constitui-se também um banco de imagens formado pela digitalização das radiografias fornecidas pela Clínica Odontológica da Universidade Estadual de Feira de Santana e um banco de análises cefalométricas resultante da marcação de cinquenta dessas imagens.
Para o desenvolvimento desse trabalho foram utilizadas as radiografias do banco de imagens e as marcações do desenho anatômico e dos pontos
cefalométricos. Essas marcações foram realizadas por um grupo de especialistas em ortodontia que participaram do projeto. Por se tratar de um projeto de código aberto, algumas rotinas foram utilizadas para o desenvolvimento de outro programa de forma que fosse possível ajustar e redesenhar as estruturas anatômicas para que estas se adequem ao desenvolvimento da monografia.
3 METODOLOGIA
Após descrever as técnicas necessárias para o desenvolvimento deste trabalho, nessa seção será descrita cada etapa da metodologia.
Inicialmente será descrito como foi criada a base de imagens utilizada para fazer as marcações das estruturas e dos pontos cefalométricos. Em seguida, será apresentado como os dados foram organizados e como a forma média foi calculada através do alinhamento do conjunto de estruturas anatômicas resultante da marcação das imagens de treinamento e do desenvolvimento do PDM para a forma média e os resultados serão apresentados, considerando a ordem de aplicação de cada técnica.
A marcação das imagens foi feita pelo autor utilizando um programa desenvolvido pelo mesmo. Esse programa utilizou algumas rotinas desenvolvidas no projeto Otontoradiosis. Essas rotinas são utilizadas para o desenho das estruturas anatômicas e a marcação dos pontos cefalométricos. O cálculo da forma média, o desenvolvimento do PDM e a apresentação dos resultados foi feita utilizando o software Matlab.
3.1 CRIAÇÃO DA BASE DE IMAGENS
Neste trabalho decidiu-se utilizar somente radiografias de indivíduos do sexo masculino e feminino com idade entre 7 e 10 anos. Essas radiografias foram digitalizadas e disponibilizadas pelo projeto Odontoradiosis no formato Tiff. Todas as imagens tem o tamanho de 950 por 1300 pixels. A figura 9 mostra um exemplo dessas radiografias.
Figura 9: Exemplo da radiografia utilizada
Fonte: Próprio autor.
São utilizadas 40 imagens entre as imagens marcadas no projeto Odontoradiosis. Dessas 40 imagens 26 foram utilizadas para o cálculo da forma média e do PDM e as outras 14 para os testes.
As imagens que formarão o conjunto de treinamento do PDM devem ser variadas o suficiente para representar os diversos casos clínicos. Em particular, é necessário considerar as variações anatômicas e morfológicas da cabeça humana, a qualidade da imagem, a variabilidade das estruturas presentes em um cefalograma, a variação de capturar o raio-x (i.e. estruturas duplas que aparecem por causa da posição não-ortogonal do paciente durante a captura da radiografia) e a variabilidade da fonte Rueda & Raya (2006).
3.2 MARCAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS
CEFALOMÉTRICOS
Para gerar a forma média é necessário marcar as estruturas anatômicas e os pontos cefalométricos em cada imagem de treinamento. Essa marcação foi feita pelo proprio autor utilizando os dados fornecidos pelo projeto Odontoradiosis. A marcação foi feita comparando uma imagem devidamente marcada pelo especialista com uma mesma imagem sem marcação. Ao fim do processo a forma correspondente à aquela imagem será gerada. Essa forma será descrita por n pontos em 2 dimensões, onde cada forma foi representada como um vetor de 2n elementos. Dado um conjunto de
pontos (xi, yi)o vetor da forma será representado da seguinte forma:
X = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)T
Dadas s marcações, serão geradas Xs marcações. Antes de iniciar a análise estatística é necessário representar as formas em um mesmo quadro de coordenadas, ou seja, deve-se alinhar todas as formas e calcular a forma média conforme descrito na seção 2.6.
3.3 CALCULANDO A FORMA MÉDIA
Há uma quantidade considerável de métodos para alinhar formas. Nesse trabalho utilizamos a análise de Procrustes para alinhar e calcular a forma média do conjunto de treinamento. Para exemplificar esse processo utilizaremos um conjunto de marcações feitas sobre imagens da mão. Esses dados podem ser obtidos em (STEGMANN, 2000). A figura 10 mostra algumas imagens utilizadas para a marcação e a nuvem de pontos resultante da marcação de quarenta imagens.
Figura 10: Marcação do conjunto de pontos
Fonte: Adaptado de Stegmann (2000).
O resultado do alinhamento e a forma média (marcada em vermelho) pode ser observada na figura 11.
Figura 11: Resultado do alinhamento e cálculo da forma média
Fonte: Adaptado de Stegmann (2000).
3.4 MODELO DE AVALIAÇÃO
A parte final do processo consiste em avaliar o quão distante estão os pontos cefalométricos da forma média dos pontos cefalométricos marcados no projeto Odontoradiosis. Os pontos marcados no projeto Odontoradiosis também serão comparados aos pontos da estrutura, aplicando a deformação máxima e mínima a uma das estruturas. Por fim, serão apresentadas tabelas mostrando a média da distância e o desvio padrão entre a localização correta dos pontos e a localização dos pontos calculados pela forma média e pelo PDM.
4 RESULTADOS
Nessa seção serão apresentados os testes, bem como os resultados obtidos através do uso da forma média para aproximar a localização dos pontos cefalométricos.
4.1 MARCAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS
CEFALOMÉTRICOS
A marcação das estruturas anatômicas e dos pontos cefalométricos foi feita pelo proprio autor utilizando os dados fornecidos pelo projeto Odontoradiosis. Utilizando as imagens marcadas no projeto foi possível coletar os dados e utiliza-los para o cálculo da forma média. A marcação foi feita comparando uma imagem marcada com a mesma imagem sem marcação. Cada marcação foi armazenada como um vetor descrito na seção 3.
Figura 12: Cópia da imagem marcada no projeto Odontoradiosis
Fonte: Próprio autor.
Ao todo, foram marcadas 26 imagens utilizando radiografias de indivíduos do sexo masculino e feminino com idade de 7 a 10 anos. Cada estrutura tem 82 pontos resultando em um vetor de 164 elementos. Cada marcação deve manter a correspondência de pontos entre elas, ou seja, o primeiro ponto na marcação da
imagem I1 também deve corresponder ao mesmo ponto na marcação da imagem I2. Assim, podemos garantir a correspondência e ao mesmo tempo enumerar e identificar cada ponto cefalométrico ou estrutura anatômica nas diferentes marcações. As estruturas e os pontos cefalométricos foram enumeradas de acordo com a tabela 1.
Tabela 1: Descrição dos índices das estruturas e dos pontos cefalométricos. Índice Ponto cefalométrico Estrutura anatômica
0-17 - Sínfise 2 Ponto B -4 Ponto Pogônio -6 Ponto Mentoniano -17 Ponto D -18-26 - Sela túrcica 26 Ponto Sela -27-37 - Órbita 34 Ponto Orbitário -38-61 - Mandíbula 62-81 - Fossas nasais 63 Ponto ENP -74 Ponto ENA -79 Ponto A
-Fonte: Próprio Autor.
As imagens usadas como modelo para marcação contém quatro estruturas anatômicas marcadas sínfise, sela túrcica, órbita e fossas nasais. A figura 13(a) mostra um exemplo da marcação de uma imagem. Na figura 13(a) também é mostrado o índice de cada ponto na marcação. Na figura 13(b) é mostrado (em amarelo) a localização dos pontos cefalométricos.
Figura 13: Marcação feita pelo autor
4.2 CÁLCULO DA FORMA MÉDIA
Após a marcação das 26 imagens, os dados foram armazenados em uma matriz de tamanho 164x26, ou seja, 82 pontos e 26 marcações. A figura 14 mostra todas as marcações feitas.
Figura 14: Dados coletados e a forma média
Fonte: Próprio autor.
Utilizando a análise de Procrustes para alinhar todas as estruturas em torno da marcação média, obtemos o resultado apresentado na figura 15.
Figura 15: Dados alinhados a forma média
A forma média pode ser utilizada como um modelo para aproximar as estruturas que serão marcadas pelo especialista. Como a média representa apenas a informação de tendência central de cada ponto, a estrutura média vai depender do conjunto de treinamento utilizado. Esses dados serão posteriormente utilizados para o cálculo do modelo pontual de distribuição.
4.3 UTILIZANDO A FORMA MÉDIA PARA UMA ESTIMATIVA INICIAL DAS ESTRUTURAS ANATÔMICAS E DOS PONTOS CEFALOMÉTRICOS
A forma média pode ser utilizada como uma aproximação inicial para as estruturas anatômicas, permitindo ao especialista apenas ajustar todas essas estruturas. O único ajuste feito nessa estrutura é aplicar uma escala nos pontos, pois a resolução das imagens de teste não é a mesma das imagens de treinamento.
A tabela 2 mostra a comparação entre os pontos cefalométricos calculados pela forma média e os pontos marcados pelo especialista. O ponto A foi excluído da comparação, pois nem todas as imagens de teste possuíam dados sobre a marcação desse ponto.
Tabela 2: Comparação entre os pontos cefalométricos calculados pela forma média e os pontos marcados pelo especialista.
Ponto cefalométrico Média (mm) Desvio padrão (mm)
S 15,0 6,7 Or 15,6 6,3 ENP 22,9 9,8 ENA 34,8 17,9 Me 36,0 13,2 D 35,8 13,3 B 36,8 13,1 Pog 35,5 13,4
Fonte: Próprio Autor.
Os resultados acima mostram que os pontos cefalométricos calculados pela forma média tendem a estar entre 15,0 mm e 36,8 mm da localização correta dos pontos cefalométricos, fornecendo ao especialista uma estimativa inicial de localização dos pontos, objetivando reduzir o tempo de marcação.
4.4 AVALIAÇÃO DO MODELO PONTUAL DE DISTRIBUIÇÃO BASEADO NA FORMA MÉDIA
Como foi descrito na seção 2.7 a forma média pode ser manipulada de tal forma que podemos estudar quais são os efeitos de sua deformação. Aplicando o PCA à matriz de covariância do dados obtemos duas matrizes: uma matriz e autovetores e uma matriz diagonal de autovalores. Sabe-se que os autovalores estão ordenados do autovalor de maior variância para o de menor variância. Então, com esses dados é possível descrever quais componentes contribuem mais para variância total.
A figura 16 mostra o gráfico relativo a proporção explicada pelas 10 primeiras componentes.
Figura 16: Porcentagem explicada pelas 10 primeiras componentes
Fonte: Próprio autor.
Para atingir 97% de proporção explicada foram necessárias apenas as 15 primeiras das 164 componentes principais. O restante será descartado, pois sua contribuição para a variância total é muito pequena. Como foi explicado na seção 2.7, qualquer forma do conjunto de treinamento pode ser aproximada pela equação x ∼= x + Φb. A figura 17 mostra a deformação da forma média pelo primeiro componente principal e b1= −3 ∗
√
λ1, b1= 0, b1= 3 ∗ √
Figura 17: Variação da forma média deformada pela primeira componente principal
Fonte: Próprio autor.
As tabelas 3 e 4 mostram a comparação entre o posicionamento correto dos pontos cefalométricos e o posicionamento desses mesmos pontos calculados pela variação máxima e mínima para a primeira componente.
Tabela 3: Comparação entre as coordenadas dos pontos cefalométricos e a deformação forma média para b1= −3 ∗
√ λ1.
Ponto cefalométrico Média (mm) Desvio padrão (mm)
S 21,6 8,8 Or 28,1 5,8 ENP 35,6 10,4 ENA 49,3 15,5 Me 48,4 13,9 D 49,1 14,1 B 47,7 14,1 Pog 48,2 14,6
Tabela 4: Comparação entre as coordenadas dos pontos cefalométricos e a deformação forma média para b1= 3 ∗
√ λ1.
Ponto cefalométrico Média (mm) Desvio padrão (mm)
S 17,1 7,4 Or 14,1 7,4 ENP 20,8 9,2 ENA 30,4 18,7 Me 35,5 12,8 D 34,2 12,7 B 38,6 12,5 Pog 34,9 12,7
Fonte: Próprio Autor.
Considerando os dados utilizados, os resultados apresentados pela tabela 4 são bem melhores em relação a tabela 3. Isso mostra que a deformação máxima tem uma aproximação melhor dos pontos cefalométricos em relação a deformação mínima. Por outro lado a deformação máxima não apresenta um resultado melhor que a forma média, com exceção do ponto Or, onde houve uma pequena melhora. É importante destacar que esta análise pode variar considerando outras bases de dados.
As figuras 18, 19 e 20 mostram a posição dos pontos cefalométricos aproximados. Para melhor visualização da distância entre a localização correta do ponto e a sua localização sugerida pelo sistema, foi plotado um círculo em torno do ponto, de raio igual à média da distância entre a posição correta e o ponto aproximado. Para evitar uma confusão na visualização dos pontos, alguns círculos foram pintados de cores diferentes.
Figura 18: Pontos cefalométricos aproximados calculados através da forma média
Figura 19: Pontos cefalométricos aproximados calculados através da variação de b1= 3 ∗√λ1
Figura 20: Pontos cefalométricos aproximados calculados através da variação de b1= −3 ∗√λ1
Fonte: Próprio autor.
É importante salientar que apesar da tabela 4 mostrar que a variação da forma para b1 = 3 ∗
√
λ1 é, em média, melhor que a aproximação para b1 = −3 ∗ √
λ1, a variação positiva não apresentou visualmente um resultado melhor que a variação negativa para essa imagem. Essa diferença se dá devido à variação de uma estrutura para outra.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta desse trabalho foi a de fornecer ao especialista uma marcação aproximada dos pontos cefalométricos, com o objetivo de se reduzir o tempo de marcação e por consequência, de execução da análise, e o erro devido a imprecisão na marcação manual. Para isso uma estrutura anatômica média foi gerada através do alinhamento de um conjunto específico de marcações obtidas do projeto Odontoradiosis.
Essa estrutura média, em geral, mostrou-se eficiente, pois não apresenta uma grande diferença entre a posição aproximada e a posição ideal dos pontos cefalométricos. O uso do modelo pontual de distribuição não apresentou uma melhora significativa em relação a marcação média, mas pode ser uma alternativa para a marcação de novas imagens devido a grande variação nas estruturas anatômicas.
Conforme mencionado, esta monografia foi baseada no trabalho de Rueda & Raya (2006), o qual apresenta a marcação automática do desenho anatômico e de 48 pontos cefalométricos. Seus resultados são excelentes marcando 91,44% dos 48 pontos cefalométricos com precisão menor ou igual a 5 mm. Esta excelência está relacionada à metodologia aplicada, que utiliza a análise de Procrustes para alinhar o conjunto de dados e em seguida é obtido um modelo pontual de distribuição.
Em seguida, um conjunto de técnicas é aplicado às texturas das imagens de treinamento para a obtenção de uma textura que descreva a forma e a variação da aparência do objeto. O modelo pontual de distribuição e a textura média são combinados utilizando a análise de componentes principais que, em seguida, essa combinação é utilizada no algoritmo de segmentação de novas imagens.
Essa monografia reproduziu apenas a parte da análise de Procrustes e da construção do modelo pontual de distribuição. Mesmo utilizando uma parte reduzida do trabalho desenvolvido por Rueda & Raya (2006) a análise da forma média resultante e o estudo do modelo pontual de distribuição já apresentaram resultados bastante promissores.
REFERÊNCIAS
BARROSO, L. C. et al. Cálculo Numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Habra, 1976.
BASTOS, I. L. O. et al. Esquema cad para realização de traçados e análises cefalométricas.XXIX Congresso da Sociedade Brasileira de Computação - Anais do XI Workshop de Informática Médica, jul. 2009.
BAUMRIND, S.; FRANTZ, R. C. The reability of head film measurements.American Journal Orthodontics, v. 60, p. 45–66, 1971.
BROADBENT, B. H. A new x-ray technique and its aplication to orthodontics.Angle Ortodont, v. 1, p. 45–66, 1931.
BROCH, O. S. J.; ROSLER, M. Error in landmark identification in lateral radiographic headplates.European Journal of Orthodontics, v. 3, p. 9–13, 1981.
CALLIOLII, C.; DOMINGUES, H.; COSTA, R.Álgebra Linear e Aplicações. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Atual, 1978.
CHAKRABARTTY, S. et al. Robust cephalometric landmark identification using support vector machines. In: Proceedings of the 2003 International Conference on Multimedia and Expo - Volume 3 (ICME ’03) - Volume 03. [s.n.], 2003. (ICME ’03), p. 429–432. ISBN 0-7803-7965-9. Disponível em:
<http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1170746.1171707>. Acesso em: 07 fev. 2012. COOTES, T.; TAYLOR, C.; PT, M. M. Statistical Models of Appearance for Computer Vision. 2004.
EL-FEGH, I. et al. Automated 2-d cephalometric analysis of x-ray by image registration approach based on least square approximator. Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc, p. 3949–52, 2008. Disponível em:
<http://www.biomedsearch.com/nih/Automated-2-D-cephalometric-analysis/19163577.html>. Acesso em: 07 fev. 2012.
EL-FEGHI, I.; SID-AHMED, M. A.; AHMADI, M. Automatic localization of craniofacial landmarks using multi-layer perceptron as a function approximator.Pattern Recogn. Lett., Elsevier Science Inc., New York, NY, USA, v. 27, p. 544–550, April 2006. ISSN 0167-8655.
FILHO, M. V.Cefalometria: Técnicas de diagnóstico e procedimentos. 1. ed. [S.l.]: Nova Odessa: Napoleão, 2007.
FILHO, O. M.; NETO, H. V. Processamento digital de imagens. 1. ed. Rio de Janeiro: Brasport, 1999.
GONZALES, R. C.; WOODS, R. E.Processamento digital de imagens. 1. ed. São Paulo: Blucher, 2000.
