Bioestatística. Aula teórica: Distribuição Normal. Medicina, Educação Física e Terapia Ocupacional

(1)

Ana Paula Fernandes | anapaula.fernandes@uftm.edu.br | (34) 99645 1975

Bioestatística

Aula teórica: Distribuição Normal

(2)

Cap. 4 - Distribuição Normal ou de Gauss

“Gaussiana"

(3)

Muitas variáveis biológicas apresentam uma distribuição equilibrada:

•

Os valores centrais são mais freqüentes

•

Os extremos raros (pouco freqüentes)

(4)

No histograma, o tamanho das colunas depende da amplitude do

intervalo de classe (h), a qual é influenciada pelo tamanho da amostra e pela precisão com que a medida foi feita.

curva de distribuição normal ou curva de Gauss

(5)

(6)

UTILIDADES DA CURVA NORMAL

Qual a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino

apresentar um valor entre 14,5 e 15,5?

E, se o interesse, é saber a probabilidade de ocorrer um nível de hemoglobina entre

14,5 e 15,0, seria necessário refazer a tabela a partir dos dados originais.

14,5 15,5

E a probabilidade de que ocorra uma taxa de hemoglobina menor do que 14,3?

(7)

PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL

(1) A curva normal tem a forma de um sino, com caudas assintóticas ao eixo x.

(8)

PROPRIEDADES OU CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL (2) A curva é simétrica em relação à a média ( ).  

(3) A média, a mediana e a moda são coincidentes.

μ

(9)

(4) A curva tem dois pontos de inflexão situados à distância

de um desvio padrão ( ) acima e abaixo da média

σ

x

μ

Ponto de inflexão Ponto de inflexão

μ + σ

μ − σ

(10)

(5) A área sob a curva totaliza 1 ou 100%.

x

μ

+

σ

μ

−

σ

Calcular uma determinada área, significa calcular uma probabilidade! 0,5 0,5

(11)

(6) Aproximadamente 68% dos valores de situam-se entre

os pontos

μ ± σ

x

μ

+

σ

μ

−

σ

(12)

(7) Aproximadamente 95% dos valores de situam-se entre

os pontos

μ ± 2σ

x

μ

+

σ

μ

−

σ

μ

+

2σ

μ

−

2σ

(13)

(8) Aproximadamente 99,7% dos valores de situam-se entre

os pontos

μ ± 3σ

x

μ

+

σ

μ

−

σ

μ

+

2σ

μ

−

2σ

μ

+

3σ

μ

−

3σ

68 - 95 - 99

(14)

•

Se uma variável tem distribuição normal e se sua

média e seu desvio padrão forem conhecidos, não é

mais necessário representar os dados sob a forma de

tabelas ou gráficos para se conhecer a probabilidade de ocorrência de valores de interesse.

(15)

EQUAÇÃO DA CURVA NORMAL

(8) A curva normal é determinada pelos PARÂMETROS:  

(média e desvio padrão populacional)

(16)

Média e desvio padrão

(17)

EXEMPLO!

Suponha que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg

na população de pessoas sadias.

90

95

85 μ = 90

σ = 5

Aproximadamente 68% da população de indivíduos possuem valores de glicemia entre 85 e 95 mg. INTERVALO DE CONFIANÇA!

(18)

EXEMPLO!

Suponha que que a glicemia (nível de glicose no plasma, em jejum) tem distribuição gaussiana, com média igual a 90 mg e desvio padrão 5 mg

90

95

85 μ = 90

σ = 5

Grande parte das pessoas, 95%, possuem valores de glicemia entre 80 e 100 mg.

100

80

(19)

EXEMPLO!

90

95

85 μ = 90

σ = 5

Praticamente todos, 99,7%, possuem valores de glicemia entre 75 e 105 mg.

100

80

105

(20)

EXEMPLO!

90

95

85 μ = 90

σ = 5

Aproximadamente 34% da população de indivíduos possuem valores de glicemia entre 90 e 95 mg.

(21)

CURVA NORMAL

PADRONIZADA

x

μ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ μ − 3σ μ − 2σ μ − σ

μ

σ

z

0 1 2 3 −3 −2 −1 Qualquer valor

μ = 0

σ = 1

CURVA NORMAL

TRANSFORMAÇÃO

(22)

Transformamos um

valor x em z usando a fórmula:

z =

_{desvio padrão =}

valor

− média

x − μ

σ

x = 500

z = 500 − 500

100 = 0

x = 600

z = 600 − 500

100 = 1

x = 400

z = 400 − 500

100 = − 1

(23)

Área ~ probabilidade

TABELA

DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

(24)

z=

1,1

5

1a. coluna

0,05

(25)

Exemplo

Em uma amostra aleatória de mulheres com idade entre 20 e 34 anos, a média do nível de colesterol total era de 181

miligramas por decilitro com desvio padrão de 37,6

miligramas por decilitro. Suponha que os níveis de colesterol total sejam normalmente distribuídos.

μ = 181

σ = 37,6

181

218,6 143,4

(26)

Exemplo - pergunta 1

Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol inferior a 175 miligramas por

decilitro?

μ = 181

σ = 37,6

P(x < 175) = ?

(27)

P(x < 175) = ?

x = 175

z = ?

z = 175 − 181

37,6

= − 0,1596

μ = 181

_{σ = 37,6}

z =

_{desvio padrão =}

valor

− média

x − μ

σ

(28)

z = − 0,1596

z = − 0,16

0,06

pnorm(-0.16) 0.4364405 pnorm(175, mean=181, sd=37.6) 0.4366081

P(x < 175) = P(z < − 0,16) = 0,4364

(29)

Exemplo - pergunta 2

Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol superior a 185 miligramas

por decilitro?

μ = 181

σ = 37,6

P(x > 185) = ?

x

181 ₁₈₅

(30)

P(x > 185) = ?

x = 185

z = ?

z = 185 − 181

37,6

= 0,1064

μ = 181

_{σ = 37,6}

z =

_{desvio padrão =}

valor

− média

x − μ

σ

(31)

z = 0,1064

z = 0,11

0,01

181 ₁₈₅

(32)

181 ₁₈₅

P(x > 185) = P(z > 0,11)

P(x > 185) = 1 − 0,5438

P(x > 185) = 0,4562

(33)

Exemplo - pergunta 3

Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha colesterol entre 175 e 185 miligramas

por decilitro?

μ = 181

σ = 37,6

P(175 < x < 185) = ?

x

175 185

(34)

P(x < 175) = P(z < − 0,16) = 0,4364

P(x < 185) = 0,5438

175 185

P(175 < x < 185) = 0,5438 − 0,4364 = 0,1074

(35)

No RStudio

Em uma amostra aleatória de mulheres com idade entre 20 e 34 anos, a média do nível de

colesterol total era de 181 miligramas por decilitro com desvio padrão de 37,6

miligramas por decilitro. Suponha que os níveis de colesterol total sejam normalmente

distribuídos.

(1) Qual é a probabilidade de que uma mulher com idade entre 20 e 34 anos, tenha

colesterol inferior a 175 miligramas por decilitro?

pnorm(175, mean=181, sd=37.6)

colesterol superior a 185 miligramas por decilitro?

1 - pnorm(185, mean=181, sd=37.6)

colesterol entre 175 e 185 miligramas por decilitro?

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Exercício 1

1. Os tempos, por treino, em que um atleta usa um simulador de

escada são normalmente distribuídos, com média de 20 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Calcule a probabilidade de que um atleta, selecionado aleatoriamente, utilize um simulador de escada  

(a) por menos de 17 minutos, (b) entre 20 e 28 minutos e

(37)

Exercício 2

2. O tempo de espera (em dias) para um transplante cardíaco para pessoas com idade entre 35 e 49 anos pode ser aproximado por uma distribuição normal, como pode ser visto na figura.

Calcule a probabilidade de que o tempo de espera para um paciente, selecionado aleatoriamente, seja

(a) menos de 150 dias,

(b) entre 180 e 210 dias e (c) mais de 250 dias.

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