CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
ADA CAROLINA GARCIA ROJAS
Fibrações de Lefschetz simpléticas sobre órbitas
adjuntas e subvariedades lagrangeanas
Campinas
2018
Fibrações de Lefschetz simpléticas sobre órbitas adjuntas
e subvariedades lagrangeanas
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Matemática.
Orientador: Lino Anderson da Silva Grama
Este exemplar corresponde à versão
final da Dissertação defendida pela
aluna Ada Carolina Garcia Rojas e
orientada pelo Prof. Dr. Lino
Ander-son da Silva Grama.
Campinas
2018
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Garcia Rojas, Ada Carolina,
G165f GarFibrações de Lefschetz simpléticas sobre órbitas adjuntas e subvariedades lagrangeanas / Ada Carolina Garcia Rojas. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
GarOrientador: Lino Anderson da Silva Grama.
GarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Gar1. Lefschetz, Fibrações de. 2. Órbitas adjuntas (Matemática). 3. Subvariedades lagrangeanas. 4. Variedades bandeira. I. Grama, Lino
Anderson da Silva, 1981-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Symplectic Lefschetz fibrations on adjoint orbits and Lagrangian
submanifolds
Palavras-chave em inglês:
Lefschetz fibrations
Adjoint orbits (Mathematics) Lagrangian submanifolds Flag manifolds
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestra em Matemática Banca examinadora:
Lino Anderson da Silva Grama [Orientador] Caio José Colletti Negreiros
Evandro Carlos Ferreira dos Santos
Data de defesa: 09-03-2018
Programa de Pós-Graduação: Matemática
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). LINO ANDERSON DA SILVA GRAMA
Prof(a). Dr(a). EVANDRO CARLOS FERREIRA DOS SANTOS
Prof(a). Dr(a). CAIO JOSÉ COLLETTI NEGREIROS
A Dios, por protegerme y mantenerme en pie siempre
A mis padres, por el amor, la confianza y el apoyo incondicional, siempre motivandome para seguir avanzando.
A mis hermanas, por mostrarme, con hechos, que no hay nada imposible y ser mis compañeras en el camino de la vida.
A mi orientador, por la paciencia, apoyo, confianza y la disciplina impuesta en el trabajo.
A los profesores del IMECC por siempre estar disponibles a orientar y compartir amablemente el conocimiento, generando nuevos retos académicos.
A los profesores de la UNT, por la amistad que me brindaron, la cual me hizo tomar confianza como estudiante y aumentaron mi cariño por la matemática.
A Louis Aurazo, por siempre confiar en mi y brindarme su apoyo económico y confianza plena.
A Rafael Michelini, por ayuddarme en la realización de la imagen que aparece en este trabajo.
A Francisco Vieira y a su esposa Zilândia Araujo, por recibirme en su hogar cuando fue necesario.
A mis colegas de estudio, por mostrar una competitividad motivadora y amis-tosa.
Al personal de la secretaria de pós-graduação do IMECC, por la amabilidad con la que siempre brindaron su apoyo.
y a CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, cuyos apoyos financieros tornaron posible la realización de este trabajo
Nesta dissertação propomos estudar a construção das fibrações de Lefschetz simpléticas sobre órbitas adjuntas de álgebras de Lie semissimples. Continuamos explorando resultados das realizações dos espaços homogêneos G{ZH « AdpGq ¨ H “ G ¨ H difeomorfos às órbitas
mencionadas através do estudo de fibrados associados e seus isomorfismos com fibrados de variedades flag, assim como ações de um grupo de Lie sobre um produto de variedades flag e aplicações momento sobre produtos tensoriais de espaços vetoriais entre outras ferramentas procedentes da teoria de Lie. Por fim, estudamos a compactificação de órbitas adjuntas a produtos de flags mediante a ação à direita do grupo de Weyl para poder entender umas identificações existentes das subvariedades lagrangeanas das órbitas.
Palavras-chave: fibrações de Lefschetz, variedades simpléticas, órbitas adjuntas, fibrações
In this work we propose to construct Symplectic Lefschetz Fibrations on adjoint orbits of semi-simple Lie algebras. We continue exploring results about realizations of homogenous spaces G{ZH0 « AdpGq ¨ H “ G ¨ H difeomorphic to such orbits through the study of
associated fibrations and its isomorphisms with flag manifolds fibrations, actions of a Lie group on a product of flag manifolds and moment maps on tensorial products of vector spaces among another tools from Lie theory. Finally, we study the compactification of adjoint orbits to the product of flags using the right action of the Weyl group to can understand some existing identifications of Lagrangean submanifolds in the orbits.
Keywords: Lefschetz fibrations, symplectic manifolds, adjoint orbits, symplectic fibrations,
G: Grupo de Lie;
g: Álgebra de Lie do grupo de Lie G; Π: Conjunto de raízes;
Π`: Conjunto de raízes positivas;
Σ: Conjunto de raízes simples;
gα: Espaço raiz correspondente à raiz α;
graphpΦq: Gráfico da função Φ;
x¨, ¨y: Forma de Cartan-Killing sobre a álgebra de Lie g;
clA: Fecho de A;
ΛkpM q: Espaço das k´formas diferenciais em M ;
ΛkinvpM q: Espaço das k´formas diferenciais invariantes em M ; Hk
Sumário . . . 11
Introdução . . . 13
1 PRELIMINARES . . . 16
1.1 Geometria de espaços homogêneos e Teoria de Lie . . . 16
1.1.1 Álgebras de Lie complexas semissimples . . . 18
1.1.1.1 Sistemas simples de raízes . . . 21
1.1.2 Grupos de Weyl . . . 22
1.1.2.1 Sistema de raízes. . . 23
1.1.3 Formas reais . . . 23
1.1.4 Decomposições de Cartan e Iwasawa . . . 24
1.1.5 Teorema de Lie-Palais . . . 26
1.1.6 Fibrados principais e associados . . . 26
1.1.6.1 Fibrados principais . . . 26
1.1.6.2 Fibrados associados . . . 28
1.2 Geometría invariante . . . 31
1.2.1 Variedades complexas . . . 31
1.2.2 Formas diferenciais e cohomologia de De Rham . . . 33
1.2.3 Variedades Simpléticas . . . 36
1.2.3.1 Representação coadjunta . . . 39
1.2.3.2 Aplicação momento . . . 41
2 FIBRAÇÕES DE LEFSCHETZ SIMPLÉTICAS SOBRE ÓRBITAS ADJUNTAS . . . 43
2.1 Fibrações de Lefschetz sobre órbitas adjuntas . . . 43
2.1.1 Singularidades da função f . . . 44
2.1.2 Difeomorfismo entre as variedades de nível regulares . . . 46
2.1.3 Estrutura simplética . . . 52
2.2 Topologia de fibras regulares . . . 53
2.3 Topologia das fibras singulares . . . 54
3 ÓRBITAS ADJUNTAS DE GRUPOS DE LIE SEMISSIMPLES E SUBVARIEDADES LAGRANGEANAS . . . 59
3.1 Órbitas adjuntas e fibrados cotangentes de flags . . . 59
3.1.3 A ação de G sobre TkbΘFΘ . . . 63
3.1.4 Aplicação momento sobre T˚ F . . . 67
3.2 Mergulho das órbitas adjuntas em produtos . . . 70
3.3 Órbitas adjuntas e representações de g . . . 71
3.3.1 A ação adjunta de G sobre EndpV q . . . 71
3.3.2 Isomorfismo com a órbita aberta em FHµˆ FHµ˚ . . . 75
3.4 Exemplo: Aplicação Racional . . . 76
3.4.1 Isomorfismo com T˚ FHµ . . . 80
3.5 Órbitas adjuntas compactificadas . . . 80
3.5.1 Gráficos lagrangeanos em órbitas adjuntas . . . 81
3.5.2 A ação à direita do grupo de Weyl . . . 81
3.5.3 A K-órbita e gráficos . . . 82
3.5.4 Estruturas hermitianas e formas simpléticas . . . 84
3.5.5 Estruturas hermitianas sobre produtos . . . 86
3.6 Gráficos lagrangeanos em produtos de flags . . . 88
Introdução
Seja G um grupo de Lie semissimples com álgebra de Lie g. Os objetivos são estudar a construção das fibrações de Lefschetz simpléticas (SLFs) em dimensões maiores que 4 usando a teoria de Lie e explorar varias realizações dos espaços homogêneos G{ZH
com ZH sendo o centralizador em G de um elemento H que pertence a uma subálgebra
de Cartan de g, tomando tais realizações para estudar a geometria das órbitas adjuntas e algumas identificações de famílias de subvariedades Lagrangeanas. Este estudo é feito utilizando os resultados mostrados nos trabalhos de Gasparim-Grama-San Martin [7], [8].
A motivação do trabalho é, para a primeira parte, que a literatura sobre as (SLFs) em 4 dimensões é vasta. Existem resultados de Donaldson[6], Gompf[10] e
Amorós-Bogomolov-Katzarkov-Pantev [2], entre outros, que garantem a existencia de SLFs sobre 4´variedades em diferentes condições. Em geral, resultados em [9] e [4], mostram que é possível construir fibrações de Lefschetz usando lápis de Lefschetz, mas tal método tem algumas dificuldades. Em geral, as construções diretas das fibras de Lefschetz em dimensões superiores eram inexistentes na literatura. A segunda parte é motivada pela primeira, pois tal exige um bom entendimento da geometria simplética de G{ZH e da
teoria de Lie vinculada.
A construção das fibrações de Lefschetz estudada aqui não faz uso do lápis de Lefschetz. Construímos nossas SLFs usando funções altura que surgem diretamente, de maneira natural, da teoria de Lie. Por outro lado, para as realizações que serão estuda-das precisamos de teoria de fibrados, variedades flag para fazer mergulhos em produto de variedades flag e isomorfismos com fibrados sobre variedades flag. Usaremos funções hamiltonianas, aplicão momento e ações do grupo de Weyl para entender a identificação de famílias de subvariedades lagrangeanas em órbitas adjuntas ou, equivalentemente, espaços homogêneos.
Na primeira parte estudamos o fato de que as órbitas adjuntas de álgebras de Lie semissimples tem associadas fibrações de Lefschetz simpléticas e o teorema principal é:
Teorema 1. [7] Seja h uma subálgebra de Cartan de uma álgebra de Lie semissimples complexa. Dado H0 P h e H P hR com H um elemento regular. A função altura fH :
OpH0q Ñ C definida por
fHpxq “ xH, xy, x P OpH0q
Lefschetz simplética sobre a órbita OpH0q.
Esta afirmação está explicada com detalhe na seção 2.1. Nas seções 2.2e 2.3
descrevemos a topologia das fibras regulares e singulares, obtendo os resultados:
Corolário 1. [7] A homologia de um nível regular Lpξq coincide com a de FH0zW ¨ H0.
Corolário 2. [7] A homologia de um nível singular LpwH0q, w P W , coincide com a de
FH0ztuH0 P W ¨ H0 : u ‰ wu
onde, com as mesmas hipóteses do teorema acima, Lpξq “ fH´1pfHpξqq com ξ P OpH0q, W é o grupo de Weyl, FH0 “ G{PH0 com PH0 sendo o subgrupo parabólico
que contém ao centralizador de H0 em G.
Continuamos com a segunda parte onde o fato de que a órbita adjunta AdpGqH0
é difeomorfa ao espaço homogêneo G{ZH0 nos leva a estudar as realizações deste último
espaço.
Em 3.1.1 verificamos que G{ZH0 tem a estrutura de um fibrado vetorial sobre
FH0 e que é isomorfo ao fibrado cotangente T
˚
FH0. Isto, através de um difeomorfismo entre
a órbita adjunta e um fibrado associado isomorfo a T˚
FH0.
O isomorfismo AdpGqH0 « T˚FH0 fornece à órbita adjunta com duas ações
diferentes: a ação transitiva natural sobre AdpGqH0 e a ação linear sobre T˚FH0 obtida por
o levantamento da ação de G sobre FH0. A última ação não é transitiva pois a seção zero
é invariante. Através de uma aplicação momento pode-se chegar a uma ação transitiva, o que ajuda a identificar T˚
F0 como espaço homogêneo de G.
Em outra realização de G{ZH0, esta é compactificada a uma variedade projetiva
algébrica FH0 ˆ FH0˚, onde FH0˚ é a variedade flag dual a FH0 (ver 3.2). Esta é obtida
pela ação diagonal gpx, yq “ pgx, gyq de G sobre FH0 ˆ FH0˚ a qual só tem uma única
órbita densa e aberta com grupo de isotropia ZH0 “ ZH0˚ e portanto é uma realização
de G{ZH0. O mergulho G{ZH0 Ñ FH0 ˆ FH0˚ induz varias estruturas geométricas sobre
G{ZH0 herdadas de FH0ˆ FH0˚. O principal aqui é que FH0 ˆ FH0˚ é uma variedade flag de
G ˆ G e portanto admite métricas Riemannianas (Hermitianas no caso complexo) que são
invariantes pelo grupo compacto K ˆ K. Tais métricas sobre FH0ˆ FH0˚ induzem métricas
O mergulho G{ZH0 Ñ FH0ˆ FH0˚ combinado com representações de g produzem
realizações de G{ZH0 como órbitas sobre V b V
˚, onde V é o espaço de uma representação
irredutível de g com o maior peso definido por H0 (ver 3.3).
As últimas duas realizações de G{ZH0 são usadas em 3.5e 3.6para construir
uma classe de subvariedades Lagrangeanas em G{ZH0 com respeito a estruturas simpléticas
1 Preliminares
Neste capítulo apresentaremos algumas definições e resultados que serão funda-mentais para o desenvolvimento deste trabalho. Definiremos os conceitos mencionados nas palavras chave e outros vinculados.
1.1
Geometria de espaços homogêneos e Teoria de Lie
Vamos começar definindo alguns conceitos básicos na teoria de Lie.
Um grupo de Lie é uma variedade suave que também é um grupo, tal que as operações de grupo são funções suaves.
Um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G é um grupo de Lie H que é um subgrupo abstrato e uma subvariedade imersa de G.
Um subgrupo fechado de um grupo de Lie G é um subgrupo abstrato e um subconjunto fechado de G.
Teorema 2. [3] Se H é um subgrupo fechado de um grupo de Lie G, então H é uma subvariedade de G e portanto um subgrupo de Lie de G. Em particular, tem a topologia induzida.
Agora vamos conhecer um pouco sobre o espaço tangente de um grupo de Lie.
Proposição 1. Todo grupo de Lie G é paralelizável, isto é, T G – G ˆ TeG.
Definição 1. Um campo vetorial X sobre um grupo de Lie G é invariante à esquerda se
X ˝ La “ dLapXq para todo a P G, ou explicitamente Xag “ pdLaqgpXgq para todo a, g P G.
Um campo vetorial invariante à esquerda tem a propriedade importante de estar determinado por seu valor no elemento identidade e do grupo de Lie, pois Xa“ dLapXeq
para todo a P G.
Seja g denotando o conjunto de todos os campos vetoriais invariantes à esquerda sobre um grupo de Lie G. A soma usual de campos vetoriais e a multiplicação escalar por números reais fazem de g um espaço vetorial. Além disso, g é fechada pela operação colchete sobre campos vetoriais. De fato, sejam X, Y dois campos vetoriais invariantes à
esquerda sobre G, a, p P G e f uma função suave sobre G. Então, tem-se:
dLarX, Y spf “ rX, Y sppf ˝ Laq “ XppY pf ˝ Laqq ´ YppXpf ˝ Laqq
“ XppdLaY qf ´ YppdLaqf “ XpY pf q ´ YpXpf q
“ pXpY ´ YpXqf “ rX, Y spf,
o que mostra que o colchete de dois campos vetoriais invariantes à esquerda é um campo vetorial invariante à esquerda. Assim g é uma álgebra de Lie, chamada a álgebra de Lie
de G. A dimensão desta álgebra de Lie é igual à dimensão de G, pela seguinte
Proposição 2. A função X Ñ Xe define um isomorfismo linear entre os espaços vetoriais
g e TeG.
Através deste isomorfismo podemos definir um colchete de Lie sobre o espaço tangente TeG por ru, vs “ rXu, Xvse.
A chave para a classificação de grupos de Lie compactos e conexos é o toro maximal. O grupo S1 é o único grupo de Lie compacto, conexo e unidimensional, e os produtos de várias cópias de S1 são os únicos grupos de Lie abelianos, conexos e compactos. Tal produto é chamado um toro.
Definição 2. [3] Um toro num grupo de Lie G é um subgrupo de Lie que é isomorfo ao produto S1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ S1. Um toro T é um toro maximal em G se para todo toro S em G com T Ă S Ă G temos T “ S.
Exemplo 1. 1. O grupo de números complexos unitários S1 é um toro maximal no grupo dos quaternions unitários S3.
2. O conjunto T “ #˜ eiθ 0 0 e´iθ ¸+ é um toro maximal em SU p2q. 3. O conjunto T “ $ ’ & ’ % ¨ ˚ ˝ cos θ ´ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ˛ ‹ ‚ , / . /
-– SOp2q é um toro maximal em SOp3q.
Observação 1. Se T é um subgrupo de Lie conexo de um grupo de Lie compacto G cuja
algebra de Lie é uma subalgebra abeliana maximal de g, então T é um toro maximal em G.
Definição 3. O posto de um grupo de Lie conexo e compacto é a dimensão de um toro
maximal.
Proposição 3. Seja G um grupo de Lie conexo e compacto com álgebra de Lie g. Então:
ii. Existe uma correspondência injetora entre o toro maximal T em G e os subespaços abelianos maximais h em g. Esta é dada por T Ø exp h, onde t é a algebra de Lie de T .
iii. Se T é um toro maximal em G com algebra de Lie t, então G “ ď
gPG
gT g´1 e g “ ď gPG
Adpgqt.
iv. O centro de G é igual a č toromaximal
T
v. Se S é um subconjunto de G, definimos o centralizador de S como o conjunto CpSq “ tg P G : gx “ xg para todo x P Su. Então, se T é um toro maximal em G, então CpT q “ T .
vi. Os toros maximais também são subgrupos abelianos maximais.
vii. Para todo X P g, o fecho de texpptXqu é um subgrupo abeliano compacto de G, e portanto, um toro.
Agora podemos dar a definição de Variedade Flag.
Definição 4. (Variedade flag) Uma variedade flag generalizada é um espaço homogêneo da forma G{K “ G{CpSq, onde G é um grupo de Lie compacto e S é um toro em G, com C(S) sendo o centralizador de S em G. Se o toro S é um toro maximal em G, diga T, então G{T é chamada uma variedade flag maximal.
Variedades flag generalizadas como variedades complexas
Uma variedade flag generalizada G{K pode ser identificada com GC{P , onde GC é a
complexificação do grupo de Lie G e P é um subgrupo parabólico de GC (um subgrupo
de Lie de GC que contém um subgrupo de Borel, ou seja, um subgrupo solúvel maximal).
1.1.1
Álgebras de Lie complexas semissimples
Definição 5. Vamos apresentar algumas definições[3]:
a. Seja g uma álgebra de Lie complexa. A representação adjunta de g é o homo-morfismo ad: g ´Ñ Endpgq, tal que adpXqpY q :“ rX, Y s, para todo X, Y P g.
b. A forma de Killing de g é a forma bilinear simétrica dada por
c. A álgebra de Lie g é chamada de semissimples se sua forma de Killing é não-degenerada.
d. Esta é chamada de simples se é não-abeliana e seus únicos ideais são t0u e g. e. A subalgebra de Cartan h de g é uma subálgebra abeliana maximal de g, tal que
@HP h, o endomorfismo adpHq é diagonalizável.
Proposição 4. [3] Seja G um grupo de Lie conexo. Então ker Ad“ ZpGq e ker ad“ Zpgq. Portanto, a álgebra de Lie de ZpGq é Zpgq
Proposição 5. [3] Se G é semissimples, então Zpgq “ 0
Demonstração. Seja X P Zpgq. Então rX, Y s “ 0 para todo Y P g, assim adpXq é o
operador nulo. Daí, xX, Xy “tr (ad(X)ad(X))“ 0. Como G é semissimples, X “ 0.
Proposição 6. [3] Uma álgebra de Lie é semissimples se e somente se é isomorfa a um produto de álgebras simples.
Definição 6. O posto de uma álgebra de Lie é a dimensão de uma subálgebra de Cartan.
Notações
A partir de agora vamos considerar as seguintes notações: • g: álgebra de Lie complexa semissimples.
• h: uma subálgebra de Cartan de g fixada.
• Seja h˚ o espaço dual de h. Para cada α P h˚, vamos denotar por g
α o autoespaço de
g correspondente, isto é:
gα “ tX P g : adpHqX “ αpHqX para todo H P hu
• Todo elemento α P h˚ tal que α ‰ 0 é chamada uma raiz de g.
• gα: auto-espaço generalizado associado a α.
• Π : conjunto de todas as raízes, é chamado o sistema de raízes de g relativo a h. • g0: conjunto de todos os elementos em g que comuta com h. Como h é abeliano
• Como os endomorfismos ad(H) são diagonalizáveis para todo H P h e comutam uma com outra. Por um teorema bem conhecido de álgebra linear (Prop 6.5 em [11]) eles são simultaneamente diagonalizáveis. Por tanto, obtemos a decomposição do
espaço de raízes (para um dado h):
g “ h ‘ ÿ
αPΠ
gα
• Para cada α P R, Hα denota o único elemento em h tal que xHα, Hy “ αpHq para
todo H P h. Este é chamado de dual da raiz α em relação à forma de Cartan-Killing.
Proposição 7. [3] Tomando em conta as notações acima, os resultados seguintes são válidos:
(a) Se α é uma raiz, então ´α também é uma.
(b) As raízes geram h˚ e os duais das raízes em relação à forma de Cartan-Killing geram
h.
(c) rgα, gβs Ă gα`β. Se α ` β R Π, o colchete é interpretado como 0. (d) A forma de Killing é não-degenerada sobre h.
(e) O subespaço rgα, g´α
s de h tem dimensão 1.
(f) Sejam Eα P gα e E´α P g´α. Então rEα, E´αs “ xEα, E´αyHα. (g ) Para todo α P Π, se kα P Π para algum inteiro k, temos k “ ˘1.
Agora, seja hR “ ÿ
α
RHα (o subespaço real de h formado pelas combinações lineares reais
de Hα, α P Π).
Proposição 8. [3] As afirmações seguintes são válidas:
(a) A forma de Killing restrita a hR, é uma forma real bilinear positiva definida. (b) Toda raiz α toma valores reais quando é restrita a hR.
(c) hR é uma forma real de h, isto é, h “ hR‘ ihR.
Geralmente, existem mais raízes que a dimensão de g, ou seja, o conjunto tHαu
não é linearmente independente.
Se a forma de Killing é não-degenerada sobre h, então temos o isomorfismo usual entre h e seu dual h˚, com xH
λ, Hy “ λpHq, @H P h. Assim podemos transferir a
forma de Killing a h˚ da seguinte maneira:
1.1.1.1 Sistemas simples de raízes
Aqui estudamos uma seleção, dentro do conjunto das raízes, de bases especiais de h e h˚.
Proposição 9. [3] Seja Π o sistema de raízes de uma álgebra de Lie semissimples complexa g (com respeito a uma subálgebra de Cartan fixada). Então existe um subconjunto
Σ “ tα1, ¨ ¨ ¨ , αlu, com l “posto de g, tal que qualquer raiz α P Π pode ser expressada unicamente como α “ n1α1` ¨ ¨ ¨ ` nlαl, onde ni são inteiros ou todos não negativos ou todos não positivos.
Definição 7. [3] Qualquer conjunto Σ com as características da proposição acima é chamado de um conjunto de raízes simples para Π (também são usados os termos: sistema fundamental, sistema simples ou base).
Definição 8. [3] Uma raiz α é chamada de positiva (α ą 0) se α “ l
ÿ
i
niαi com ni ě 0 para todo i.
Seja Π` denotando o conjunto de todas as raízes positivas, e Π´
“ t´α : α P Π`
u. A escolha do conjunto Π` também é chamada de uma ordem em Π e satisfaz as seguintes propriedades:
1. Π`
X p´Π`q “ H, Π`Y p´Π`q “ Π,
2. para cada α, β P Π` com α ` β P Π, tem-se α ` β P Π`.
Isto corresponde ao significado usual, isto é, para cada α , β P Π, temos que α ą β se e somente se α ´ β P Π`. Sejam n`“ ÿ αPΠ` gα n´ “ ÿ αPΠ´ gα. Então, g “ n` ‘ h ‘ n´
e n` e n´ são duais pela forma de Cartan-Killing, pois xg
α, g´αy ‰ 0 e xgα, gβy “ 0 se β ‰ ´α. Além do mais, h é auto-dual, pois a restrição de x¨, ¨y a h não é degenerada. Essa
é a estrutura básica das álgebras semissimples e que imita a de slp2q. A álgebra n` é
nilpotente, pois se X P gα, então, adpXqkgβ Ă gkα`β, o mesmo ocorrendo com n´ que é
isomorfa a n`. A subálgebra de Cartan h normaliza tanto n` quanto n´. Assim b “ h ‘ n`
é uma subálgebra e, como n` é um ideal de b, essa subálgebra é solúvel. A subálgebra b é
Exemplo 2. Na álgebra sl “ slpn, Cq, seja h a subálgebra das matrizes diagonais de traço
nulo, então h é uma subálgebra de Cartan de slpnq. Para i, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , n seja Eij “ parsqr,s a matriz n ˆ n cuja única entrada não nula é aij “ 1. O conjunto das matrizes Eij e Eii´ Ejj, i ‰ j é uma base de slpnq. Dado H P h, pode-se escrever
H “ diagta1, ¨ ¨ ¨ , anu com a1` ¨ ¨ ¨ ` an “ 0 e, portanto,
adpHqpEijq “ pai´ ajqEij.
Esta igualdade mostra que as raízes de h são os funcionais lineares αij “ λi´ λj, i ‰ j, onde λi é dado por
λi : diagta1, ¨ ¨ ¨ , anu ÞÑ ai. (1.1) e os espaços de raízes correspondentes são os subespaços unidimensionais gerados por Eij, i ‰ j.
Entre as raízes αij da subálgebra de Cartan h de slpnq, o conjunto
Σ “ tα12, ¨ ¨ ¨ , αn´1,nu
é um sistema simples. Isso decorre de que se αij é uma raiz com i ă j, então αij “ αi,i`1` ¨ ¨ ¨ ` αj´1,j
(pois αij “ λi´ λj) e, portanto, αij se escreve como combinação linear dos elementos de
Σ com todos os coeficientes iguais a um. Como αji “ ´αij e o número de elementos de Σ coincide com a dimensão de h, isso garante que Σ é um sistema simples. O conjunto das raízes positivas é
Π`
“ tαij : i ă ju
e, portanto, n` é a subálgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal, sendo que n´ é a subálgebra das matrizes triangulares inferiores.
Nessa escolha de Σ está subentendida uma ordem na base de Kn que diagonaliza os elementos de h. Reordenando essa base, obtém-se um outro sistema simples cujas álgebras
n` e n´ passam a ser a das matrizes triangulares superiores ou inferiores em relação à nova base ordenada [11].
1.1.2
Grupos de Weyl
O grupo de Weyl ajudará a entender melhor os sistemas simples de raízes de uma subálgebra de Cartan.
1.1.2.1 Sistema de raízes
Seja E um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. Dado um elemento não nulo α P E, uma reflexão em relação a α é uma transformação linear inversível r : E Ñ E que satisfaz
1. rpαq “ ´α
2. O conjunto Fr “ tβ P E : rpβq “ βu dos pontos fixos de s é um hiperplano de E.
Como r restrito a Fr é a identidade e rpαq “ ´α, r é involutivo, isto é, r2 “ 1.
Definição 9. [11] Um conjunto Π P E é um sistema de raízes se satisfaz 1. Π é finito, gera E e não contém 0.
2. Para todo α P Π existe uma reflexão rα em relação a α tal que rαpΠq “ Π. 3. Para todos α, β P Π, rαpβq ´ β é um múltiplo inteiro de α.
Definição 10. O grupo de Weyl de um sistema de raízes Π é o grupo gerado pelas
reflexões rα, α P Π. Este grupo será denotado por W.
O grupo de Weyl de Π é finito. A razão disto é que, como W é gerado por transformações que deixam Π invariante, todo elemento de W deixa Π invariante e se um elemento de W é a identidade quando restrito a Π, então ele é a identidade de V pois Π gera V . Dessa forma, a restrição a Π define um homomorfismo injetor de W no grupo das bijeções de Π. Como Π é finito, isso implica que W é finito[11].
1.1.3
Formas reais
Definição 11. [3] Uma álgebra de Lie real g0 é chamada de forma real de uma álgebra de Lie complexa g, se g é isomorfa à complexificação de g0, isto é, g “ g0` ig0.
Um fato importante descoberto por Weyl é que toda álgebra de Lie semis-simples complexa tem uma forma real compacta. Compacta significa que sua forma de Killing é negativa definida. Todas as formas reais compactas de g são conjugadas via um automorfismo interno.
Qualquer forma real gR pode ser caracterizada como o conjunto ponto fixo de uma involução linear-conjugada τ : g Ñ g, a qual é um automorfismo de g considerada como uma álgebra de Lie real (isto é, a conjugação complexa com respeito à forma real). Se g “ h ‘ ÿ
αPΠ
para construir uma forma real compacta g0 de g como segue. A aplicação conjugada-linear τ0 : g Ñ g definida por
τ0 |hR“ ´Id, τ0pEαq “ ´E´α
é chamada de involução estândar associada com a decomposição em espaços de raízes. O conjunto de pontos fixos de τ0 é a forma real compacta desejada. Explicitamente,
g0 “ ihR‘ à αPΠ` RpEα´ E´αq ‘ à αPΠ` RpipEα` E´αqq.
Outro fato interessante é que os elementos iHα, Eα ´ E´α e ipEα` E´αq geram uma
subálgebra de g isomorfa a sup2q. Também podemos usar o espaço de raízes para obter homomorfismos em slp2, Cq: iHα ÞÑ ˜ 1 0 0 ´1 ¸ , Eα ÞÑ ˜ 0 1 0 0 ¸ , E´αÞÑ ˜ 0 0 1 0 ¸
Exemplo 3. Em slpn, Cq, seja σpAq “ ´ ¯At. Então, σ é um antiautomorfismo. A álgebra de seus pontos fixos é
supnq “ tA P slpn, Cq : A “ ´ ¯Atu,
que é portanto, uma forma real de slpn, Cq.
1.1.4
Decomposições de Cartan e Iwasawa
Definição 12. Uma decomposição de Cartan de g é uma soma direta
g “ t ‘ s
com t “ g X u e s “ g X iu onde u é uma forma real compacta de gC.
Algumas propriedades das decomposições de Cartan: 1.
rt, ts Ă t, rt, ss Ă s, rs, ss Ă t Em particular t é subálgebra de Lie.
2. A forma de Cartan-Killing de g é negativa definida em t e positiva definida em s. 3. X P t, Y P s ñ xX, Y y “ 0.
4. t é uma álgebra de Lie compacta pois é uma subálgebra da álgebra compacta u que é compacta maximal
5. Se g é realificado de uma álgebra complexa semissimples então as decomposições de Cartan de g são dadas por g “ u ‘ iu onde u é uma forma real compacta de g.
Exemplo 4. Sejam g “ slpn, Rq, gC “ slpn, Cq e u “ supnq. Então, t “ g X u “ sopnq, enquanto s “ g X iu é o espaço das matrizes simétricas de traço zero. Nesse caso, τ pZq “
´ ¯ZT e θpXq “ ´XT. O produto interno BθpX, Y q “tr(adpXqadpθY q). Pode-se provar que Bθ é um múltiplo do produto interno trpXYTq. Essa decomposição de Cartan pressupõe um produto interno em Rn (em relação ao qual são tomadas as transpostas das matrizes). Outros produtos internos definem outras decomposições de Cartan [12].
Um outro exemplo é dado pela álgebra simplética.
Exemplo 5. Seja sppn, Rq “ tA P glp2n, Rq : AJ ` JAT “ 0u a álgebra das matrizes
simpléticas reais, onde J é dada em blocos n ˆ n por J “ ˜ 0 ´1 1 0 ¸ . Os elementos de sppn, Rq são matrizes reais da forma
˜
A B
C ´AT ¸
B ´ BT “ C ´ CT “ 0.
Uma decomposição de Cartan é dada por
t “ #˜ A B ´B A ¸+ A ` AT “ B ´ BT “ 0,
que é formada por matrizes antissimétricas, e
s “ #˜ A B B ´A ¸+ A ´ AT “ B ´ BT “ 0,
que é o conjunto das matrizes simétricas em sppn, Rq . Esses subespaços fornecem uma decomposição de Cartan de sppn, Rq [12].
Definição 13. Seja G um grupo de Lie semissimples não compacto com álgebra de Lie g
e a decomposição de Cartan dele como acima. A decomposição de Iwasawa é dada por
g “ t ‘ a ‘ n,
com t sendo o mesmo que na decomposição de Cartan, a sendo uma subálgebra abeliana maximal de s e n “ ÿ
αpHqą0
gα, onde H é um elemento regular de a e α percorre um subconjunto das raízes de a e assim n é a soma de autoespaços de ad(H) associados aos autovalores maiores que zero.
Exemplo 6. Para a álgebra slpn, Rq, uma decomposição de Iwasawa é dada por t “ sopnq,
a é a álgebra das matrizes diagonais de traço zero e n é a álgebra de Lie das matrizes
triangulares superiores com zeros na diagonal. Essa decomposição é obtida a partir da escolha de um elemento regular H “diagta1, ¨ ¨ ¨ , anu, tal que a1 ą ¨ ¨ ¨ ą an.
1.1.5
Teorema de Lie-Palais
Aqui vamos analisar se as ações das álgebras de Lie são provenientes de ações de grupos de Lie, no sentido em que, se θ : g Ñ ΓpT M q é uma ação de g, então existe uma ação φ : G ˆ M Ñ M , tal que θ é a ação correspondente a φ. Uma condição necessária para que isso aconteça é que os campos de vetores θpXq, X P g, sejam completos, uma vez que os campos de vetores ˜X obtidos de uma ação de grupo são completos.
O teorema de Lie-Palais mostra que a completitude dos campos de vetores θpXq, X P g, é uma condição suficiente para que a ação infinitesimal θ seja integrada a uma ação de um grupo de Lie G. Em particular, numa variedade compacta M , toda ação infinitesimal é proveniente de uma ação global.
A seguir, vamos enunciar o teorema de Lie-Palais, que integra uma ação infinitesimal de uma álgebra de Lie a uma ação global de grupo de Lie.
Teorema 3. Sejam g uma álgebra de Lie real com dim g ă 8 e G o grupo de Lie conexo
e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Seja θ : g Ñ ΓpT M q uma ação infinitesimal de g e suponha que os campos de vetores θpXq são completos. Então existe uma ação diferenciável φ : G ˆ M Ñ M , tal que θ é a ação infinitesimal correspondente.
Demonstração. Defina φpg, xq “ φxpgq, onde o gráfico de φx : G Ñ M é a variedade
integral Iθp1, xq. Isso define uma ação de G em M , pois,
1. se x P M , então φp1, xq “ x, já que p1, xq é o único elemento de Iθp1, xq que se
projeta em 1;
2. para g, h P G, vale φpg, φph, xqq “ φpgh, xq. De fato, se g “ eX1
¨ ¨ ¨ eXn e h “ eY1 ¨ ¨ ¨ eYn então, obtém-se φpg, φph, xqq “ φpg, ψY1 1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ψY1mpxqq “ ψX1 1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ψ Xn 1 ˝ ψ Y1 1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ψ Ym 1 pxq “ φpgh, xq.
A diferenciabilidade da ação φ segue do teorema da dependência diferenciável e da fórmula
φxpeX1¨ ¨ ¨ eXnq “ ψX11 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ψ Xn
1 pxq,
tomando sistemas de coordenadas da segunda espécie ao redor dos elementos g P G.
1.1.6
Fibrados principais e associados
1.1.6.1 Fibrados principais
Um fibrado principal P pM, Gq (muitas vezes denotado simplesmente por P Ñ
M ) se constitui do espaço total P da base M , ambos sendo espaços topológicos e do grupo
1. O grupo G age livremente à direita em P pela açao D : pp, gq ÞÑ pa, p P P , g P G. (Isto é, se pg “ p para algum p então g “ 1).
2. O espaço das órbitas dessa ação é M . Isso significa que existe uma aplicação sobreje-tora
π : P ´Ñ M,
tal que as órbitas de G são os conjuntos π´1
txu, x P M .
3. P é localmente trivial no sentido em que, para todo x P M , existe uma vizinhança
U de x e uma aplicação bijetora, denominada trivialização local, ψ : π´1
pU q ´Ñ U ˆ G, que é da forma
ψppq “ pπppq, φppqq,
onde φ : π´1
pU q Ñ G é uma aplicação que satisfaz
φppgq “ φppqg
para todo p P π´1
pU q e g P G.
Exemplo 7. a) O produto M ˆ G é um fibrado principal com grupo estrutural G, cuja ação á direita é Dhpx, gq “ px, gqh “ px, ghq. Em particular, um grupo G pode ser visto como fibrado principal em que a base se reduz a um ponto M “ t0u. Esse produto é chamado de fibrado trivial.
b) Sejam M uma variedade diferenciável e T M seu fibrado tangente. O fibrado das
bases ou fibrado das referencias de M é o conjunto BM de todas as bases de
T M . Isto é, um elemento p de BM é uma base
tf1, ¨ ¨ ¨ , fnu (1.2)
de algum espaço tangente TxM , x P M . De forma equivalente, p P BM pode ser visto como uma aplicação linear inversível (referencial) p : Rn Ñ TxM , x P M . Dada a aplicação p, o conjunto
tppe1q, ¨ ¨ ¨ , ppenqu,
onde te1, ¨ ¨ ¨ , enu é a base canônica de Rn, é uma base canônica de TxM . Vice-versa, a base 1.2 determina a aplicação p : RnÑ TxM dada por
ppx1, ¨ ¨ ¨ , xnq “ x1f1 ` ¨ ¨ ¨ ` xnfn.
A projeção BM Ñ M associa a p : Rn Ñ TxM o ponto x P M , de tal forma que a fibra BMx é o conjunto dos referenciais de TxM .
O grupo Glpn, Rq age à direita em BM por
com p P BM e g P Glpn, Rq. Essa ação é livre, pois os elementos de BM são transformações lineares inversíveis (p ˝ g “ p se e só se g “ 1). A ação é transitiva nas fibras, pois, dada a transformação linear p : Rn Ñ TxM , as demais são da forma q “ p ˝ g para algum g P Glpn, Rq. Essa construção define BM como um fibrado principal de grupo estrutural Glpn, Rq e base M . A condição de trivialização local se obtém tomando cartas de M . Através das cartas se obtêm, para todo x P M , uma vizinhança U e campos de vetores X1, ¨ ¨ ¨ , Xn definidos em U (campos coordenados) que são linearmente independentes em todo ponto de U . Esse campos definem seções de BM , que o trivializam localmente.
c) Sejam M uma variedade e ˜M seu recobrimento universal. A aplicação canônica de recobrimento ˜M Ñ M define um fibrado principal, cujo grupo estrutural é o grupo fundamental de M .
Um morfismo entre dois fibrados principais P pM, Gq e QpN, Hq é uma aplicação φ : P Ñ
Q, tal que existe um homomorfismo θ : G Ñ H satisfazendo φppaq “ φppqθpaq, p P P e
a P G. Essa condição para φ garante que a imagem de uma fibra de P está contida numa
fibra de Q. Portanto, φ induz uma aplicação f : M Ñ N , entre as bases dos fibrados, que é dada por f pxq “ πpφppqq para qualquer p P Px, onde π : Q Ñ N é a projeção de Q. Os
fibrados P e Q são isomorfos se θ é isomorfismo e φ é bijetora. Nesse caso, φ´1 : Q Ñ P
juntamente com θ´1 definem um morfismo entre QpN, Hq e P pM, Gq. No caso particular
em que G “ H e θ “id, o morfismo é denominado de endomorfismo (automorfismo no caso inversível). Se φ e θ são injetoras então a imagem de φ é um subfibrado principal de Q. Já, se M “ N , G Ă H e θ : G ãÑ H é a inclusão então P é chamado de uma G´redução de Q.
1.1.6.2 Fibrados associados
Para definir um fibrado associado são necessários um fibrado principal π : P Ñ
M e uma ação à esquerda do grupo estrutural G num espaço F .
O grupo G age à direita no produto P ˆ F por gpp, vq “ ppg, g´1vq, g P G e pp, vq P P ˆ F ,
determinando uma relação de equivalência em P ˆ F , em que pp, vq „ pq, wq se e só se existe g P G, tal que q “ pg e w “ g´1v. A classe de equivalência do par pp, vq P P ˆ F é
denotada por p ¨ v ou por rp, vs.
O conjunto E das classes de equivalência de „ é denominado de fibrado associado a P com fibra-tipo F e base M . Esse fibrado associado é denotado por E “ P ˆGF .
Observação 2. As seguintes observações justificam a terminologia empregada:
1. Se pp, vq „ pq, wq então p e q estão na mesma fibra de P . Portanto, a aplicação πE : P ˆG F Ñ M definida por πEpp ¨ vq “ πppq é bem definida, o que torna
E “ P ˆGF um fibrado sobre M .
As fibras de E Ñ M são denotadas por Ex“ π´1txu, x P M , ou Eξ “ π´1tπEpξqu, ξ “ p ¨ v P E.
2. Dado p P P , os pares pp, vq e pp, wq são equivalentes se e só se v “ w. De fato,
pp, vq „ pp, wq se existe a P G, tal que p “ pa e w “ a´1v. Como a ação de G em P é livre, segue que a “ 1 e, portanto, w “ v.
3. Cada p P P determina uma bijeção
v P F ÞÑ p ¨ v P Ex x “ πppq. (1.3) De fato, pelo item anterior, essa aplicação é injetora. Por outro lado, um elemento de Ex tem a forma q ¨ w com q P Pp. Então, q “ pa, a P G, o que implica que q ¨ w “ pa ¨ w “ paa´1
¨ aw “ p ¨ aw tem a forma p ¨ w, mostrando que a aplicação
1.3 é sobrejetora. Normalmente, usa-se a mesma letra p para indicar essa bijeção, o que justifica a notação p ¨ v para a classe de pp, vq.
Os fibrados associados admitem trivializações locais herdadas das trivializações do fibrado principal. De fato, seja χ : U Ñ P uma seção local de P . Então, a aplicação
ψχ : U ˆ F Ñ πE´1pU q definida por px, vq ÞÑ χpxq ¨ v é uma bijeção, que trivializa o
fibrado associado sobre U . Se χ1 é outra seção local, então na interseção dos domínios das
seções, vale χ1pxq “ χpxqapxq com apxq P G. Portanto, χ1pxq ¨ v “ χpxq ¨ av e, se ψχ1 é a
trivialização correspondente a χ1, então ψχ1 e ψχ estão relacionadas por
ψχ´1˝ ψχ1px, vq “ px, avq. (1.4)
Essa aplicação permuta as fibras e, as aplicações definidas entre as fibras são provenientes da ação de G.
Exemplo 8. a) Dada uma variedade diferenciável M , com dim M “ n, o fibrado das bases BM foi construído acima como referenciais do fibrado tangente T M . O grupo estrutural de BM é Glpn, Rq. Reciprocamente, T M se obtém de BM , identificando-o como o fibrado associado BM ˆGlpn,RqRn, construído a partir da ação linear canônica de Glpn, Rq em Rn. De fato, existe uma bijeção, quase tautológica, entre T M e BM ˆGlpn,Rq Rn , que é definida associando à classe de pp, vq P BM ˆ Rn o vetor tangente ppvq P TxM , x “ πppq (onde p : Rn Ñ TxM vem da definição de BM ). Essa aplicação é bem definida perlo fato de que o fibrado associado foi construído a partir da ação canônica de Glpn, Rq em Rn. De fato, se pp, vq e pq, wq “ ppa, a´1vq pertencem à mesma classe de equivalência então qpwq “ papa´1vq “ pv.
b) A construção acima de T M se generaliza aos fibrados vetoriais. Sejam P pM, Gq um fibrado principal e ρ : G ÑGlpV q uma representação de G no espaço vetorial V .
Então, G age à esquerda em V . O fibrado associado obtido dessa ação é denotado por E “ P ˆρ V . Este é um fibrado vetorial, pois é dado por uma aplicação π : E Ñ M , que satisfaz as propriedades: (i) cada fibra tem estrutura de espaço vetorial (obtida através das bijeções v ÞÑ p ¨ v, p P P ) e (ii) existem trivializações locais U ˆ V Ñ π´1pU q, que se transformam umas nas outras por aplicações lineares
entre as fibras, como segue da fórmula 1.4.
Se dimV ă 8 e P é um fibrado diferenciável, então P ˆρV é uma variedade dife-renciável. No entanto, a construção feita acima continua valendo para representações bem mais gerais que as representações de dimensão finita.
Qualquer fibrado vetorial (isto é, E Ñ M , satisfazendo as três condições acima) pode ser construído como um fibrado associado. Isso é feito definindo o fibrado das bases BE de E Ñ M , da mesma forma que foi feito acima para BM , pelos isomorfismos lineares p : Rk Ñ Ex, k “dimEx. Então, E Ñ M se obtém como fibrado associado de BE.
c) Se M é uma variedade diferenciável então os fibrados tensoriais de M são obtidos como fibrados associados de BM . Por exemplo, o fibrado cotangente T˚M é o fibrado associado BM ˆρ˚ pRnq˚ obtido através da representação canônica dual ρ˚
definida da seguinte forma: se g PGlpn, Rq e α P pRnq˚ é um funcional linear então ρ˚pgqpαq “ α ˝ g´1.
d) Se M é uma variedade diferenciável então os fibrados tensoriais de M são obtidos como fibrados associados de BM . Por exemplo, o fibrado cotangete T˚M é o fibrado associado BM ˆρ˚pRnq˚obtido através da representação canônica dual ρ˚ definida da
seguinte forma: se g PGlpn, Rq e α P pRnq˚ é um funcional linear então ρ˚pgqpαq “
α ˝ g´1 .
Alguns resultados relativos aos fibrados associados:
Proposição 10. Sejam P pM, Gq um fibrado principal e G{H um espaço homogêneo de
G. O subgrupo H age à direita em P . Denote por P {H o conjunto das órbitas dessa ação. Então, P {H se identifica ao fibrado associado P ˆGG{H, obtido pela ação canônica de G em G{H.
Proposição 11. Suponha que P pM, Gq seja um fibrado principal e φ : G Ñ H seja um
homomorfismo de grupos (de Lie). O grupo G age à esquerda em H por pg, hq ÞÑ φpgqh. Denote por P ˆφH o fibrado associado obtido dessa ação. Então P ˆφH é um fibrado principal com grupo estrutural H.
Proposição 12. Sejam G um grupo de Lie e H Ă G um subgrupo fechado. Então,
1.2
Geometría invariante
Definição 14. Seja M “ G{H com H subgrupo fechado de G e x0 “ 1 ¨ H. A aplicação ρ : H Ñ GlpTx0M q definida por h ÞÑ dhx0, onde hpg ¨ Hq “ hg ¨ H, é chamada de representação de isotropia de G{H.
1.2.1
Variedades complexas
Uma variedade complexa M é definida por um atlas cujas cartas assumem valores em Cn e as transformações de coordenadas são aplicações biholomorfas entre abertos de Cn.
As variedades complexas são, em particular, variedades reais, interpretando Cn com R2n. Se M é uma variedade complexa então cada espaço tangente TxM é um espaço vetorial
complexo.
Definição 15. Seja M uma variedade diferenciável. Uma estrutura pseudocomplexa
(ou quase complexa) numa variedade diferenciável M é um tensor J, tal que, para cada x P M , o valor Jx em x é uma aplicação linear Jx : TxM Ñ TxM que satisfaz Jx2 “ ´id. A estrutura é diferenciável se, para todo campo de vetores diferenciável X, o campo de vetores JX também é diferenciável.
Se M admite uma estrutura pseudocomplexa, então dimM é par, pois seus espaços tangentes têm dimensão par. Para caracterizar as variedades pseudocomplexas, definimos o tensor de Nijenhuis da estrutura J, que é definido por
NJpX, Y q “ J rX, Y s ´ rJ X, Y s ´ rX, J Y s ´ J rJ X, J Y s, (1.5)
onde X e Y são campos de vetores em M .
Teorema 4. (Newlander-Nirenberg) [12] Seja M uma variedade pseudocomplexa com estrutura J . Então, M é uma variedade complexa se e só se NJ “ 0. Nesse caso, a multiplicação por i em TxM coincide com J .
Uma estrutura pseudocomplexa J é dita integrável se o seu tensor de Nije-nhuis é identicamente nulo.
No contexto de variedades pseudocomplexas, uma aplicação holomorfa entre as variedades M e N munidas de estruturas pseudocomplexas JM e JN é uma aplicação diferenciável f : M Ñ N , tal que dfx ˝ JxM “ J
N
f pxq ˝ dfx para todo x P M . Isto é, as
Seja agora M “ G{H um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e H é um subgrupo fechado. Uma estrutura pseudocomplexa J em G{H é invariante pela ação de G se seus elementos são aplicações holomorfas em relação a J , isto é, para todo g P G e todo x P G{H, vale
dgx˝ Jx “ Jgpxq˝ dgx.
Uma estrutura invariante J é completamente determinada pelo seu valor na origem
x0 “ 1 ¨ H, pois, se x P G{H é dado por x “ gx0, então Jx “ dgx0 ˝ Jx0˝ pdgx0q
´1.
Exemplo 9. Se H é compacto então g “ h ‘ m, onde h é a álgebra de Lie de H e m é um subespaço invariante por AdpHq (por exemplo, m é o subespaço ortogonal a h em relação a um produto interno invariante). A aplicação X P m ÞÑ ˜Xpx0q P Tx0G{H é um
isomorfismo. A fórmula g˚X “ ^˜ AdpgqX, g P G e X P g, implica que a representação de isotropia é equivalente à representação adjunta de H em m.
Portanto, o conjunto das estruturas pseudocomplexas em G{H está em bijeção com o conjunto das estruturas complexas J0 : m Ñ m, tal que AdphqJ0 “ J0Adphq para todo h P H.
As possíveis estruturas complexas que comutam com Ad(H) são vistas através das de-composições de m em subespaços invariantes e irredutíveis. Suponha que J0 seja uma estrutura complexa em m que comuta com Adphq, h P H. Se W Ă m é um subespaço AdpHq´invariante então J0W também é invariante. De fato, se h P H então
AdphqJ0W “ J0AdphqW “ J0W.
Além do mais, se W é irredutível então J0W também é irredutível, pois, se U Ă J0W é invariante, então J0U Ă J02W “ W é invariante. A comutatividade de J0 com Adphq, h P H, mostra que as representações de H em U e J0U são equivalentes, e a própria J0 é uma equivalência entre essas representações.
Uma situação em que essas observações se aplicam é quando
m “ m1‘ ¨ ¨ ¨ ‘ ms
é uma decomposição de m em invariantes irredutíveis cujas representações de H não são equivalentes. Nesse caso, uma estrutura complexa invariante J0 deve satisfazer J0mi “ mi para todo i “ 1, ¨ ¨ ¨ , s, isto é, existem estruturas complexas invariantes em m se e só se cada mi admite uma estrutura complexa invariante.
Proposição 13. Uma estrutura pseudocomplexa no espaço homogêneo G{H é complexa se e só se o tensor de Nijenhuis NJ se anula na origem x0 “ 1 ¨ H de G{H.
Olhando uma variedade complexa como uma variedade real com uma estrutura adicional, define-se um grupo de Lie complexo como um grupo de Lie real munido de uma estrutura pseudocomplexa integrável, tal que o produto é uma aplicação holomorfa.
Seja J a estrutura complexa dada pela multiplicação por i em cada espaço tangente num grupo de Lie complexo G, então J é uma estrutura complexa bi-invariante , isto é, invariante à esquerda e à direita.
A bi-invariância se reflete na ação de G ˆ G em G por pg, hqx “ gxh´1. Essa
ação é transitiva e o grupo de isotropia na identidade 1 P G é a diagonal ∆G“ tpg, gq P G ˆ G : g P Gu,
de tal forma que G se identifica a G ˆ G{∆G.
A bi-invariância implica automaticamente a integrabilidade da estrutura. De fato, a comutatividade J1˝ Adpgq “ Adpgq ˝ J1, g P G, aplicada a g “ rtX, X P g, implica
(derivando em relação a t) que
J1˝ adpXq “ adpXq ˝ J1 (1.6)
para todo X P g. O significado disso é que g é uma álgebra de Lie sobre o corpo dos complexos, no sentido em que, se J1 for interpretado como multiplicação por i, então a
igualdade (1.6 ) diz que irX, Y s “ rX, iY s. Como, além do mais,
irX, Y s “ ´irY, Xs “ ´rY, iXs “ riX, Y s,
segue que g tem uma estrutura de espaço vetorial complexo, de tal forma que o colchete r¨, ¨s é bilinear sobre C.
Teorema 5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e suponha que exista uma aplicação J1 : g Ñ g com J12 “ ´id, tal que J1 ˝ Adpgq “ Adpgq ˝ J1 para todo g P G. Então, existe uma estrutura complexa em G que o torna um grupo de Lie complexo. Nesse caso, g é uma álgebra de Lie complexa. Além do mais, se g é uma álgebra de Lie complexa e G é conexo então G é um grupo complexo.
Exemplos clássicos de grupos de Lie complexos são dados pelos grupos de matrizes GL(n,C ), Sl(n,C), Sp(n,C) e SO(n,C), cujas álgebras de Lie são complexas.
1.2.2
Formas diferenciais e cohomologia de De Rham
Dada uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade M , uma k´forma diferencial α em M é invariante por G se, para todo g P G, vale g˚α “ α, onde g˚α é o pull-back definido por g˚αpX
1, ¨ ¨ ¨ , Xkqαpg˚X1, ¨ ¨ ¨ , g˚Xkq.
No caso em que M “ G{H é um espaço homogêneo, uma forma diferencial invariante α é completamente determinada por seu valor αx0 na origem x0 “ 1 ¨ H de G{H.
A k´forma alternada αx0 é invariante pela representação de isotropia no sentido em que,
se h P H e v1, ¨ ¨ ¨ , vk P Tx0G{H, entçao pdhx0q
˚α
x0 “ αx0, isto é,
αx0pdhx0v1, ¨ ¨ ¨ , dhx0vkq “ αx0pv1, ¨ ¨ ¨ , vkq.
Num ponto arbitrário x P G{H, a k´forma αx é dada por αx“ pg´1q˚αx0 se x “ gx0, isto
é, αxpw1, ¨ ¨ ¨ , wkq “ αx0ppdgx0q ´1w 1, ¨ ¨ ¨ , pdgx0q ´1w kq.
O espaço das k´formas diferenciais em G{H é denotado por ΛkpG{Hq, enquanto o sub-conjunto das formas invariantes é denotado por ΛkinvpG{Hq.
A diferencial exterior dα de uma k´forma diferencial α numa variedade dife-renciável M , está definida por
pdαqpX1, ¨ ¨ ¨ , Xk`1q “ ÿ i p´1qi`1XiαpX1, ¨ ¨ ¨ ,Xfi, ¨ ¨ ¨ , Xk`1q ` ÿ iăk p´1qi`jαprXi, Xjs, X1, ¨ ¨ ¨ ,Xfi, ¨ ¨ ¨ ,Xfj, ¨ ¨ ¨ , Xk`1q, (1.7)
onde X1, ¨ ¨ ¨ , Xkk`1 são campos de vetores em M .
No caso de uma forma diferencial invariante α num espaço homogêneo G{H, a expressão acima pode ser simplificada, uma vez que os termos na primeira soma são incorporados na segunda soma.
Proposição 14. [12] Seja α uma k´forma diferencial invariante em G{H. Tome elemen-tos X1, ¨ ¨ ¨ , Xk`1 em g e sejam ˜Xi, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , k, os campos induzidos em G{H. Então,
pdαqp ˜X1, ¨ ¨ ¨ , ˜Xk`1q “
ÿ
iăj
p´1qi`jαpr ˜Xi, ˜Xjs, ˜X1, ¨ ¨ ¨ , ˆXi, ¨ ¨ ¨ , ˆXj, ¨ ¨ ¨ , ˜Xk`1q. (1.8)
A fórmula (1.8) da diferencial exterior está escrita em termos dos campos de vetores ˜X, X P g, apesar da diferencial exterior depender apenas dos valores desses campos
num ponto dado. Na origem x0 do espaço homogêneo, isso pode ser explicitado da seguinte
forma. Tome um subespaço m Ă g, tal que g “ h ‘ m, onde h é a álgebra de Lie de H. Então, Tx0G{H se identifica a m pelo isomorfismo X P m ÞÑ ˜Xpx0q P Tx0G{H. Denote
por prm a projeção sobre m em relação à decomposição g “ h ‘ m. Se X, Y P m então
r ˜X, ˜Y spx0q “ ˜Zpx0q “ ˜Zpx0q, onde Z “ prmrX, Y s. Usando essa notação, a expressão em
(1.8) se traduz como pdαqx0p ˜X1, ¨ ¨ ¨ , ˜Xk`1q “ ÿ iăj p´1qi`jαx0prXi, Xjsm, X1, ¨ ¨ ¨ , ˆXi, ¨ ¨ ¨ , ˆXj, ¨ ¨ ¨ , Xk`1q (1.9) se X1, ¨ ¨ ¨ , Xk`1P m.
Teorema 6. [1] Sejam M uma variedade diferenciável, U Ă M aberto e d a diferencial exterior sobre M , então:
1. Se f é uma função real 2 vezes continuamente diferenciável sobre U , então df coincide a com a diferencial usual de f ,
2. d ˝ d “ 0 (isto é, dk`1pU q ˝ dkpU q “ 0),
Demonstração. Como o conjunto das k´formas diferenciais sobre M é um espaço vetorial,
tem uma base cujos elementos são da forma dxI “ dxi1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ dxik, onde xi são as
funções coordenadas definidas sobre M e I “ ti1, ¨ ¨ ¨ , iku. Então ω é uma k´forma se ω “ σIf pxqdxI para alguma função suave sobre M .
Vamos demostrar o segundo item. Para isso, é suficiente verificar que d ˝ df “ 0 para funções. Numa carta local df puq “ Df puq ¨ eidxî, então
d ˝ df puq “ DDf puq ¨ pei, ejqdxj ^ dxi “ B 2f BxiBxjdx j ^ dxi “ 0
pela simetria das derivadas parciais mistas, pois f é suave. Pela linearidade da diferencial, temos o resultado desejado.
Pode-se observar que, se α é uma forma diferenciável invariante, então dα também é invariante, pois g˚dα “ dg˚α “ dα.
A diferencial exterior de formas diferenciais satisfaz d2 “ 0, o que dá origem à
cohomologia de De Rham das variedades diferenciáveis. Se sabe que toda forma exata
é fechada. A k´ésima cohomologia de De Rham HdRk pM q de uma variedade M é definida como o espaço das k´formas fechadas módulo as exatas, isto é,
Hk
dRpM q “ kerdk{imdk´1,
onde dk é a restrição da diferencial exterior às k´formas. Duas formas diferenciais fechadas α e β são cohomólogas se existe γ, tal que α ´ β “ dγ. Nesse caso, escreve-se α « β. A
classe de cohomologia de α é denotada por rαs.
Se G ˆ M Ñ M é uma ação diferenciável, pode-se definir, de maneira seme-lhante, a cohomologia invariante HkinvpM, Gq como o quociente acima, em que dk é
interpretada como a diferencial exterior restrita às formas invariantes. No caso de um espaço homogêneo M “ G{H, essa cohomologia é denotada por HkinvpG{Hq.
Em geral, as cohomologias HkinvpG{Hq e HkdRpG{Hq podem ser diferentes. A
Exemplo 10. [12] Tome o espaço homogêneo Rn “ Rn{t0u obtido por translações no
grupo abeliano Rn. Se px1, ¨ ¨ ¨ , xnq é um sistema de coordenadas em Rn então as k´formas diferenciais se escrevem como
α “ÿaIpxqdxi1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ dxik
com 1 ď i1 ă ¨ ¨ ¨ ă ik ď n, onde I “ pi1, ¨ ¨ ¨ , ikq e aI : Rn Ñ R é diferenciável. A diferencial exterior em coordenadas é dada por dα “ ÿdaI ^ dxi1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ dxik. Como
as 1´formas dxi são invariantes por translações, segue que α é invariante se e só se as funções aI são constantes. Daí que, se α é invariante, então dα “ 0 e, portanto, duas formas invariantes distintas não são cohomólogas. Isso significa que HkinvpRnq “ ΛkinvpR
n
q,
que é não nulo. Por outro lado, sabe-se que, se k ě 1, então HkdRpR n
q se anula (Lema de
Poincaré). Logo HkinvpRnq ‰ HkdRpR n
q.
1.2.3
Variedades Simpléticas
Definição 16. (Espaço vetorial simplético) Dizemos que uma forma ω é simplética
ou não-degenerada se a aplicação ω˚ : V ´Ñ V˚, v Þ´Ñ ωpv, ¨q é bijeção. Um espaço vetorial V é chamado simplético se tem uma forma simplética. Um subespaço W Ă V é chamado simplético se ω |W é não degenerada.
Uma forma simplética numa variedade diferenciável M é uma 2´forma diferencial ω fechada (dω “ 0) e não degenerada, isto é, para todo x P M e v P TxM ,
existe w P TxM , tal que ωxpv, wq ‰ 0. Para cada x P M , a forma bilinear ωx é uma forma
simplética no espaço vetorial TxM . Portanto, a existência de uma forma simplética em M
acarreta que dim M é par
Definição 17. (Fibrações de Lefschetz) Seja X uma variedade complexa compacta de dimensão n com uma aplicação sobrejetiva f : X ´Ñ S2. Dizemos que f é uma fibração de Lefschetz topológica (FLT) se satisfaz as seguintes propriedades:
1. A diferencial df é sobrejetiva fora de um conjunto finito de pontos tQ1, . . . , Qηu Ă X. 2. Sempre que p P S2ztf pQ1q, . . . , f pQηqu, as fibras f´1ppq são variedades complexas
suaves de dimensão n ´ 1 homeomorfos entre si. 3. Com qi :“ f pQiq, temos qi “ qj se e só se i “ j.
4. Para cada i, seja Xi :“ f´1pqiq. Então existem pequenos discos qi P Ui e Qi P
ď
Xi Ă X com f :
ď
Xi ´Ñ Ui uma função de Morse holomorfa e em coordenadas
px0, ..., xnq P
ď
Qi e z P Ui, z “ f px0, . . . , xnq “ x20` ¨ ¨ ¨ ` x2n 5. f |pX´tXi|i“1,...,ηuq é localmente trivial.
Definição 18. (Fibração de Lefschetz simplética) Seja f : X ´Ñ S2 uma FLT tal que pX, ωq é uma variedade simplética. Dizemos que pX; f q é uma fibração de Lefschetz simplética (FLS) se para p P S2 a forma ω é não degenerada na fibra Xp; e para cada i a forma simplética ωQi é não degenerada em cada um dos dois subespaços contidos no cone
tangente de Xi em Qi.
Exemplo 11. Considere a função
f : C2 ´Ñ C px, yq Þ´Ñ xy
A continuação, vamos mostrar que f é uma fibração de Lefschetz: Quantidade de pontos críticos:
Df px, yq “ py, xq “ p0, 0q ðñ px, yq “ p0, 0q D2f px, yq “ « 0 1 1 0 ff ñ DetpD2f px, yqq “ ´1 Então, f tem um único ponto crítico não degenerado.
Fibras: f´1
ppq “ tpx, yq P C2 : xy “ pu
Homomorfismo entre fibras regulares:
Sλ : f´1pλq ´Ñ f´1p1q px, yq Þ´Ñ p ? λ λ x, ? λ λ yq Localmente Morse: C2 ´Ñϕ C2 ´Ñf C
pa, bq Þ´Ñ pa ´ ib, a `ibq Þ´Ñ a2` b2
Fibrado localmente trivial:
lθ :“ tr e2φiθ{r P R ě 0u, θ P r0, 2φs. Ulθ :“ Czlθ f´1 pUlθq ´Ñ Ulθ ˆ f ´1 p1q z “ px, yq Þ´Ñ pf pzq, Sf pzqpzqq
e assim mostramos que f é uma fibração de Lefschetz. Cada fibra de f está folheada por S1´órbitas e contém uma órbita distinguida que chamamos de equador, que são o conjunto
de pontos onde |x| “ |y|. Cada S1´órbita é dada por
Opx,yq “ S1¨ px, yq “ tθ ¨ px, yq : θ P S1u “ tpeiθx, e´iθyq : θ P S1u.
Na Figura 1, o equador pode ser visto como o círculo ponteado em duas fibras. Além disso,
enquanto maior seja o raio do ponto no plano complexo, maior será o raio no equador da fibra correspondente e no 0 temos uma singularidade.
Figura 1 – Fibração de Lefschetz f C c 2 C 0 z1 =x y1 1 z2 =x y2 2 1 1 ( , )x y ( , )x y2 2
Definição 19. ( Subvariedades lagrangeanas ) Dado um subespaço linear Y de um
espaço vetorial simplético (V,ω), seu espaço ortogonal Yω é um subespaço linear definido por
Yω :“ tv P V |ωpv, uq “ 0 para todo u P Y u
Chamamos a Y de isotrópico se Y Ă Yω. Um subespaço isotrópico Y de (V,ω) é chamado
lagrangeano se dim Y “ 1
2.
Seja pM, ωq uma variedade simplética 2n-dimensional . Uma subvariedade Y de M é uma
subvariedade lagrangeana se, em cada p P Y , TpY é um subespaço lagrangeano de TpM , isto é, ωp|TpY ” 0 e dim TpY “
1
2dim TpM .
Numa variedade simplética pM, ωq, as aplicações ιxpvq “ ωxpv, ¨q definem um
isomorfismo entre os fibrados tangente T M e cotangente T˚M . Esse isomorfismo permite
definir um dos conceitos básicos da geometria simplética, que são os campos hamiltonianos.
Seja f : M Ñ R uma função diferenciável pCk, k ě 1q com diferencial dfx, x P M . Então, ι´1
x dfx é um vetor tangente em x, o que permite definir um campo de
vetores Xf em M , que é dado explicitamente por dfxp¨q “ ωpXfpxq, ¨q.
O campo Xf é um campo hamiltoniano em M . A função f é chamada de função
hamiltoniana (ou função energia) do campo Xf. Deve-se observar que não se tem unicidade
das funções hamiltonianas, pois, se f é uma função hamiltoniana do campo hamiltoniano
X e c P R é uma constante, então f ` c também é uma função hamiltoniana de X.
Seja G ˆ M Ñ M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade simplética pM, ωq. Essa é uma ação simplética se os elementos de G preservam ω, isto é, g˚ω “ ω para todo g P G. Uma ação hamiltoniana é uma ação simplética em que
