2.1 Fibrações de Lefschetz sobre órbitas adjuntas
2.1.2 Difeomorfismo entre as variedades de nível regulares
Para mostrar que as imagens inversas de dois pontos regulares são difeomorfas, vamos construir campos vetoriais transversais às variedades de nível regulares (fibras) de tal maneira que para uma fibra dada, os fluxos desses campos vetoriais estejam bem definidos até um tempo fixo em toda a fibra (como OpH0q não é compacto, não se espera
que os campos vetoriais sejam completos). O difeomorfismo é obtido de tais fluxos.
Formando fluxos
Os campos vetoriais transversais que desempenharão os papeis indicados acima estão definidos por
Zpxq “ 1
}rx, Hs}2rx, rτ x, Hss, (2.4)
onde τ : g Ñ g é a conjugação com respeito à forma real compacta u e }¨ } é a norma associada à forma hermitiana H definida em ( ?? ).
Algumas observações sobre este campo vetorial:
1. Z está bem definida se rx, Hs ‰ 0, isto é, se x R h. Portanto, Z pode ser considerada como um campo vetorial sobre gzh, o qual restringe a um campo vetorial sobre o conjunto dos pontos regulares de OpH0qzh.
2. Se x P OpH0qzh, então Zpxq é tangente a OpH0q, pois rx, rτ x, Hss P im(ad(xqq é
tangente a OpH0q em x. Portanto, Z, de fato, restringe-se a um campo vetorial em
3. Como, pela hipótese, para H P hR, τ H “ ´H, segue que rτ x, Hs “ ´rτ x, τ Hs “ ´τ rx, Hs.
4. A diferencial de fH em x P OpH0qzh satisfaz
pdfHqxprx, rτ x, Hssq “ ´xH, rx, rτ x, Hssy
“ xH, rx, τ rx, Hssy “ ´xrx, Hs, τ rx, Hsy
“ Hprx, Hs, rx, Hsq “ }rx, Hs}2
o qual é ą 0 se rx, Hs ‰ 0. Portanto pdfHqxpZpxqq “ 1. Isto garante que Z é
transversal às superficies de nível de fH.
5. O campo vetorial iZ também é transversal. Isto acontece porque os espaços tangentes à superfície de nível f´1
H pcq, para um valor regular c P C, são subespaços complexos
de g. Portanto se Zpxq R TxfH´1pcq, então iZpxq R TxfH´1pcq.
Lema 1. [7] Seja Z : gzh Ñ g definido por Zpxq “ 1
}rx, Hs}2rx, rτ x, Hss,
onde }¨ } é a norma correspondente à forma hermitiana Hp¨ , ¨ q. Então, existe M ą 0 tal que para todo x P gzh a desigualdade seguinte é válida:
}dZx} ď 2M p}adpHq} ` M }H}q
}x} }rx, Hs}2.
A constante M ą 0 depende somente do colchete de g.
Demonstração. É suficiente mostrar que a diferencial de Z, dZx é limitada como sendo
função de x. Tome ν P g, então
dZxpνq “ ´
2ReHprν, Hs, rx, Hsq
}rx, Hs}4 rx, rτ x, Hss ` 1
}rx, Hs}2prν, rτ ν, Hss ` rx, rτ ν, Hssq. Para estimar }dZxpνq} (e assim }dZx}), vamos usar as seguintes desigualdades:
1. |ReHprν, Hs, rx, Hsq| ď |Hprν, Hs, rx, Hsq| ď }rx, Hs} ¨ }adpHq} ¨ }ν}, pela desigual- dade de Cauchy-Schwarz, onde }adpHq} é o operador norma de adpHq.
2. O colchete de uma álgebra de Lie finita dimensional é uma aplicação bilinear contínua, portanto existe M ą 0 tal que para todo X, Y P g, tem-se }rX, Y s} ď M }X} ¨ }Y }. Consequentemente,
(a) }rx, rτ x, Hss} ď M }rτ x, Hs} ¨ }x}. Como τ é uma isometria da forma hermitiana H e H P hR, segue que }rτ x, Hs} “ } ´ τ rx, Hs} “ }rx, Hs}. Portanto, o segundo termo de esta desigualdade é igual a M }rx, Hs} ¨ }x}.
(b) }rν, rτ x, Hss} e }rx, rτ ν, Hss} são limitados superiormente por M2}H} ¨ }x} ¨ }ν}. Aplicando a desigualdade triangular a }dZxpνq}, e combinando o resultado com a
expressão previa, obtêm-se }dZxpνq} ď 2 ˆ M }adpHq} ¨ }x} }rx, Hs}2 ` M2 }H} ¨ }x} }rx, Hs}2 ˙ }ν},
Agora vamos encontrar estimativas para }x}
}rx, Hs}2 sobre subconjuntos abertos de OpH0q as quais permitirão mostrar que, sobre tais conjuntos abertos, }dZx} é limitado
e, consequentemente, que Z é Lipschitz.
Lema 2. Existe C ą 0 tal que se x P OpH0q, então }x} ą C.
Demonstração. O ponto é que numa álgebra de Lie semissimples, uma órbita adjunta OpXq é fechada se ad(X) é diagonalizável. Em particular, OpH0q é fechada e não contém
a origem. Portanto, OpH0q não se aproxima a 0 e dai segue que infxPOpH0q}x} ą 0.
O lema seguinte é da álgebra linear e será usado para estimar a }dZx}.
Lema 3. Sejam Dn e Xn sequencias de matrizes complexas tais que 1. Cada Dn é diagonalizável e lim Dn “ 8,
2. lim Xn “ 0.
Então, existe uma subsequencia nk com λnk P C tal que lim
k λnk “ 8 e λnk é um autovalor da matriz Mnk “ Dnk` Xnk.
Demonstração. Denote por an a entrada diagonal de Dn que tem o maior valor absoluto
entre todas as entradas diagonais de Dn. Então lim an“ 8, pois lim Dn“ 8. Considere a
sequencia
Mn“
1
npDn` Xnq.
Assim, temos limp 1
an
qXn “ 0. Por outro lado, p1{anqDné uma sequencia limitada, portanto
existe uma subsequencia nk tal que lim
k p1{ankqDnk “ D. Consequentemente, lim k 1 ank Mnk “ D.
Pode-se refinar a subsequencia nk tal que a entrada ank de Dnk mantenha-se sempre na
mesma posição para todo k. Assim D é uma matriz diagonal com 1 como um autovalor, pois existe uma entrada diagonal tal que para todo k, a entrada de p1{ankqDnk nesta
posição é 1. O limite lim
k p1{ankqMnk “ D garante que para todo ε ą 0 existe k0 P N tal que se k ě k0,
então p1{ankqMnk tem um autovalor µnk com |µnk ´ 1| ă ε. Tomando ε “
1
2, obtêm-se |µnk| ą
1
2. Portanto, λnk “ ankµnk é um autovalor de Mnk e lim λnk “ 8.
O lema seguinte mostra que a órbita adjunta OpH0q não é assintótica à subál-
gebra de Cartan h.
Lema 4. [7] Seja OpH0q X h o conjunto finito das singularidades de fH em OpH0q. Dado ε ą 0, denote por Oε o conjunto dos x P OpH0q, que tem distancia às singularidades menor a ε:
Oε“ tx P OpH0q : }x ´ y} ą ε para todo y P OpH0q X hu. Denote por p : g Ñ ÿ
αPΠ
gα à projeção dada pela decomposição g “ h ‘
ÿ
αPΠ
gα. Então temos as seguintes propriedades:
1. Dado ε ą 0, existe δ ą 0 tal que se x P Oε, então }ppxq} ą δ. 2. Existe uma constante Γε ą 0 tal que se x P Oε, então
}x ´ ppxq} }ppxq} ă Γε.
Demonstração. Ambas propriedades são provadas por contradição.
1. Assuma que a afirmação é falsa. Então existe ε ą 0 e uma sequencia yn P Oε tal
que lim
n ppynq “ 0. Tome yn “ Hn` Yn, com Hn P h e Yn “ ppynq. A hipótese de
contradição garante que lim yn“ 8, pois de outra forma existiria uma subsequencia ynk com lim
k ypnkq “ y. Isto implica que lim Hnk “ y dado que lim Ynk “ 0. Como h
e OpH0q são fechadas, segue que y P OpH0q X h, contradizendo o fato que yn não se
aproxima em OpH0q X h. Consequentemente, lim Hn “ 8.
Agora podemos aplicar o Lema (3) tomando Dn “ adpHnq e Xn “ adpYnq. Isto
mostra que existe uma subsequencia nk tal que ad(ynkq “ Dnk ` Xnk tem um
autovalor λnk com lim λnk “ 8. Mas isto é uma contradição pois yn P OpH0q e,
portanto, os autovalores de ad(yn) são os mesmos que os autovalores de ad(H0).
2. Assuma que a afirmação é falsa. Então existe uma sequencia yn P Oε tal que
lim }yn´ ppynq} }ppynq} “ 8. Isto é, lim }ppynq} }yn´ ppynq} “ 0
ou alternativamente
lim ppynq }yn´ ppynq}
“ 0.
Tome Hn “ yn´ ppynq P h, Dn “ adpHnq e Xn “ adpppynqq. Como na prova do
Lema (3), seja an o autovalor de Dn com maior valor absoluto, tal que }Dn} “ |an|.
Como a aplicação adjunta ad:g Ñ glpgq é injetiva, existem constantes C1, C2 ą 0
tais que para todo Z P g temos que C1}adpZq} ě }Z} ě C2}adpZq}. Em particular
}Hn} ě C2}Dn}. Portanto, limppynq |an| “ 0 e obtemos lim Xn |an| “ 0.
Agora, para chegar a uma contradição, procedemos como na prova do Lema(3): existe uma subsequencia nk tal que p1{|ank|qpDnk` Xnkq converge a um limite que tem um
autovalor igual a 1. Portanto, de um certo k0 em diante, cada p1{|ank|qpDnk ` Xnkq
tem um autovalor com valor absoluto ą 1{2, o que implica que ad(ynkq “ Dnk` Xnk
tem uma sequencia de autovalores que converge a 8. Contudo, como no item(1), isto é uma contradição pois yn P OpH0q e, consequentemente, os autovalores de ad(yn)
são os mesmos que os de ad(H0).
Agora é possível mostrar que }dZx} é limitado em Oε.
Lema 5. Dado ε ą 0 existe Lεą 0 tal que }dZx} ď Lε se x P Oε. Demonstração. Pelo Lema (1), temos
}dZx} ď M p}adpHq} ` M }H}q
}x} }rx, Hs}2
se x R h. Em particular, esta desigualdade é válida para x P Oε. Portanto é suficiente
estimar a }x} }rx, Hs}2.
Seja δ ą 0 dado como no item (1) do Lema (4) tal que }ppxq} ą δ se x P Oε
. Como H é regular, a restrição de ad(H) a ΣαPΠgα é uma aplicação linear invertível.
Portanto, existe C ą 0 tal que se y P ΣαPΠgα e }y} ą δ então }adpHqy} ą C}y}. Isto
implica que se x P Oε, então
onde H1
“ x ´ ppxq P h. Consequentemente, escolhendo }rx, Hs} ą Cδ como um dos fatores do denominador e }rx, Hs} ą C}ppxq}, segue que
}x} }rx, Hs}2 ă 1 C2δ ¨ }x} }ppxq}.
Agora, }x}2 “ }x ´ ppxq}2` }ppxq}2 pois x ´ppxq P h é ortogonal a ppxq P ΣαPΠgα. Portanto,
ˆ }x} }ppxq} ˙2 “ }x ´ ppxq} 2 ` }ppxq}2 }ppxq}2 “ }x ´ ppxq}2 }ppxq}2 ` 1. Pelo Lema(4) item (2),
}x ´ ppxq}2 }ppxq}2 ă Γ 2 ε, assim }x} }ppxq} ă a Γ2 ε` 1
se x P Oε. Isto completa a prova, pois Lε “ M p}adpHq} ` M }H}q C2δ a Γ2 ε` 1
satisfaz a desigualdade desejada.
Uma estimativa similar mostra que Z é limitada em cada Oε.
Lema 6. Dado ε ą 0 existe Mεą 0 tal que }Zpxq} ď Mε se x P Oε. Demonstração. Seja M como no Lemma 1. Então,
}Zpxq} “ 1 }rx, Hs}2}rx, rτ x, Hss} ď M }x} ¨ }rx, Hs} }rx, Hs}2 “ M }x} }rx, Hs} assim como na prova do Lema anterior, }x}
}rx, Hs} é limitado sobre Oε.
O Lema 5 garante que Z é Lipschitz sobre Oε com constante Lε. O mesmo é
verdade para o campo vetorial eiθZ com θ P R pois }dpeiθZq} “ }dZ}. Pelo lema anterior, eiθZ é limitado sobre Oε. Usando esses dois fatos, a teoria das equações diferenciais garante
que todas as soluções de Z com condição inicial xp0q P Oε são estendidas a um intervalo
de definição comum que contém 0.
Corolário 4. Denote por φθt o fluxo local do campo vetorial eiθZ. Então, dado ε ą 0 existe σε ą 0 tal que φθtpxq é bem definido se t P p´σε, σεq e x P Oε. Baixo estas condições, φθtpxq P Oε.
Proposição 19. Se c1 e c2 P C são valores regulares, então as variedades de nível fH´1pc1q e f´1
H pc2q são difeomorfas.
Demonstração. Sobre o conjunto de valores regulares, defina a relação de equivalência c1 „ c2 se fH´1pc1q e fH´1pc2q são difeomorfos. Tem que ser mostrado que existe uma única
classe de equivalência. Para fazer isso, é suficiente mostrar que se c P C é um valor regular, então existe uma vizinhança U de c tal que para todo d P U , f´1
H pdq e f ´1
H pcq são
difeomorfos. De fato, isto garante que as classes de equivalência são subconjuntos abertos (e, consequentemente, fechados). Porém, o conjunto de valores regulares é conexo em C
pois é o complemento de um conjunto finito. Fixe um valor regular c. Como f´1
H pcq não intercepta o conjunto dos pontos singulares,
existe ε ą 0 tal que f´1
H pcq Ă Oε.
Seja σε como no Corolário 4. Então φθtpxq é definido para t P p´σε, σεq e x P Oε. Em
particular, é definido também para x P f´1
H pcq. Para um x fixo, a curva γθ : t P p´σε, σεq ÞÑ fHpφθtpxqq P C tem derivada γ1 θptq “ pdfHqφθ tpxqpe iθZpφθ tpxqqq.
Porém, pela definição do campo Z, pdfHqypZpyqq “ 1, assim temos que γθ1ptq “ e iθ. Portanto, fHpφθtpxqq “ γθptq “ γθp0q ` żt 0 γ1 θpsqds “ fHpxq ` teiθ.
Isto é, fHpφθtpxqq “ fHpxq ` teiθ. Em particular, se x P fH´1pcq, então φ θ tpxq “ f ´1 H pc ` te iθ q, o qual significa que φθtpfH´1pcqq Ă f
´1
H pc ` te iθ
q. A outra inclusão é obtida aplicando o fluxo inverso φθ´t, e assim se conclui que φθtpfH´1pcqq “ fH´1pc ` teiθq. Deste modo φθt é um difeomorfismo entre f´1 H pcq e f ´1 H pc ` te iθ q .
Isto mostra que todo valor regular na bola aberta Bpc, σεq é equivalente a c, isto é, sua
fibra é difeomorfa à fibra em c.
Agora vamos a demonstrar o item (3) do teorema principal.