Aqui serão mostradas equivalências dos espaços quocientes G{ZΘ baseadas em
representações de g. Será conveniente assumir que g é uma álgebra complexa, apesar de que a teoria funciona, com algumas adaptações, para álgebras reais. Esta descrição nova ajuda a estabelecer um ponte entre a órbita adjunta e a órbita aberta no produto.
3.3.1
A ação adjunta de G sobre EndpV q
Seja h a subálgebra de Cartan de g e hR como no capitulo anterior. Fixe uma câmara de Weyl h`
tes com pesos fundamentais tµ1, ¨ ¨ ¨ , µlu. Se µ “ a1µ1 ` ¨ ¨ ¨ ` alµl com ai P N, então
existe uma única representação irredutível ρµ de g com o maior peso µ. Se H P h`R,
então µpHq é o maior autovalor de ρµpHq. Se w0 é a involução principal, então w0µ é o
menor peso: isto é, pw0µqpHq “ µpw0Hq é o menor autovalor de ρµpHq sempre que H P h`R.
Se K Ă G é o subgrupo compacto maximal, então V pode ser dotado com uma forma hermitiana K-invariante p¨, ¨qµ tal que os espaços peso são ortogonais um a um. Tal forma hermitiana é única exceto escalares, porque a representação de K sobre V é irredutível.
Na seção seguinte serão estudadas as subvariedades lagrangeanas das órbitas adjuntas AdpGqH0 com H0 P clph`Rq mergulhadas nos produtos FH0ˆ FH0˚. Há uma escolha
livre para o elemento H0, produzindo a mesma flag FH0. No que segue, vamos tentar
escolher um H0 conveniente.
Seja Θ0 “ ΘH0 “ tα P Σ : αpH0q “ 0u; ou seja, H é característico para Θ0.
Seja µ o maior peso tal que para α P Σ ,xα_, µy “ 0 se e só se α P Θ
0. (Por exemplo, µ “ µi1` ¨ ¨ ¨ ` µis se ΣzΘ0 “ tαi1, ¨ ¨ ¨ , αisu.) Defina HµP hRpor µp¨q “ xHµ, ¨y. Então, os
centralizadores de Hµe H0 coincidem , pois Θ0 é o conjunto de raízes simples que anulam-se
sobre H0 assim como sobre Hµ. Portanto, as órbitas adjuntas AdpGqHµ e AdpGqH0 dão
origem ao mesmo espaço homogêneo G{ZH0 “ G{ZHµ e as flags FH0 e FHµ coincidem. A
partir de agora, tome H0 “ Hµ, com µ sendo um peso máximo, µ “ µi1 ` ¨ ¨ ¨ ` µis.
Seja G o grupo linear conexo com álgebra de Lie ρµpgq « g e considere sua
ação sobre o espaço projetivo PpV q do espaço do espaço de representações V “ V pµq. É bem sabido que esta escolha de µ garante que a órbita projetiva de G pelo subespaço de maior peso VµP PpV q seja a flag FHµ “ FΘ0.
Considere as representações duais ρ˚
µ de g e G sobre V
˚ como ρ˚
µpXqpεq “
´ε ˝ ρµpXq e ρ˚µpgqpεq “ ε ˝ ρµpg´1q se ε P V˚, X P g e g P G. Escolha uma base
tv0, ¨ ¨ ¨ , vNu de V adaptada à decomposição em espaços peso com v0 P Vµ. Denote por
tε0, ¨ ¨ ¨ , εNu à base dual εipvjq “ δij. Então ε0 gera um subespaço do peso menor de V˚,
no sentido seguinte: 1. ρ˚
µpHqpε0q “ ´µpHqε0 se H P h; e
2. ρ˚
µpXqpε0q “ 0 se X P Σαă0gα, e ρµpXq toma um espaço peso Vν e o leva numa soma
Portanto, ´µ é o menor peso de V˚. Assim, o maior peso é µ˚
“ ´w0µ. Isto significa que
a órbita projetiva do maior peso (e de ε0) sobre V˚ é a flag dual FHµ˚.
Exemplo 14. Se g “ slpn, Cq, então os pesos fundamentais são λ1, λ1 ` λ2, ¨ ¨ ¨ , λ1 `
¨ ¨ ¨ ` λn´1, onde λi é o funcional que está associado com o i-ésimo autovalor da matriz diagonal H P h. Se µ pe um peso fundamental µ “ λ1 ` ¨ ¨ ¨ ` λk, então a representação irredutível com maior peso µ é a representação de g sobre a k-ésima potencia exterior
ΛkCn de Cn. O espaço de maior peso é gerado por e1^ ¨ ¨ ¨ ^ ek (ei são os vetores base de
Cn). A G-órbita de e1^ ¨ ¨ ¨ ^ ek é o conjunto de elementos decomponíveis de ΛkCn , assim
a G-órbita projetiva é identificada com o grasmanniano Grkpnq. O flag dual de Grkpnq é Grn´kpnq, o qual é a órbita projetiva sobre Λn´kCn, identificada com o dual ΛkCn por uma escolha da forma volume sobre Cn. O espaço de menor peso sobre Λn´kCn é gerado por ek`1^ ¨ ¨ ¨ ^ en.
Mantendo o mesmo peso maior µ, considere o produto tensorial V b V˚; G é
representado em V bV˚ por g ¨pv bεq “ ρ
µpgqv bρ˚αpgqε, , o qual é isomorfo à representação
adjunta de G sobre EndpV q.
Mais uma vez, sejam v0 e ε0, geradores dos espaços de maior peso de V e
menor peso de V˚, respectivamente. Nosso quarto modelo da órbita adjunta é a G-órbita de v0 b ε0. Para provar que esta órbita é G{ZH0, considerar a aplicação momento da
representação. Esta é a aplicação ¯M : V b V˚
Ñ g˚ definida por ¯
M pv b εqpZq “ εpρµpZqvq v P V, ε P V˚, Z P g.
Como g é semissimples e g « g˚ via a forma de Cartan-Killing x¨, ¨y, podemos
tomar a aplicação momento M : V b V˚
Ñ g dada por
xM pv b εq, Zy “ εpρµpZqvq v P V, ε P V˚Z P g.
Além disso, M é equivariante com respeito às representações sobre V ‘ V˚ e g.
De fato, como ρµpAdpgqZq “ ρµpgqρµpZqρµpg´1q, temos que
xAdpgqM pv b εq, Zy “ xAdpgqM pv b εq, Adpg´1qZy “ εpρµpg´1qρµpZqρµpgqvq
“ ρµpgqv b ρ˚µpgqε “ g ¨ pv b εq.
O mesmo cálculo mostra que ¯M é equivariante com respeito à representação
No caso semissimples, a aplicação momento tem a seguinte interpretação geométrica: ρµ é uma representação fiel , deste modo g « ρµpgq Ă EndpV q. A forma
traço trpABq sobre End(V ) é não degenerada. Assim, a aplicação momento é a projeção ortogonal com respeito à forma traço de EndpV q « V b V˚ sobre ρ
µpgq « g
Como uma consequencia da equivariancia , segue que a imagem de uma G-órbita sobre
V b V˚ por M é uma órbita adjunta.
Lema 12. [8] A imagem da G-órbita G ¨ pv0b ε0q por M é a órbita adjunta de Hµ definida por µp¨q “ xHµ, ¨y.
Demonstração. Se α é uma raiz e X P gα, então
ε0pρµpXqv0q “ pρµpXqv0q b ε0 “ ´v0b pρ˚µpXqε0q.
O segundo termo se anula se α ą 0, enquanto que se α ă 0, o terceiro termo se anula. Portanto xM pε0b v0q, Xy “ 0. Mas, se H P h, então
ε0pρµpHqv0q “ µpHqε0pv0q “ µpHq,
isto é, xM pε0b v0q, Hy “ µpHq, o qual mostra que M pε0 b v0q “ Hµ. Consequentemente, M pG ¨ pv0b ε0qq “ AdpGqHµ.
Proposição 25. A G-órbita G ¨ pv0b ε0q é o espaço homogêneo G{ZHµ.
Demonstração. Tome G ¨ pv0b ε0q “ G{L. Se quer mostrar que L “ ZHµ. A equivariância
de M junto com a igualdade M pG ¨ pv0b ε0qq “ AdpGqHµ, implicam que o subgrupo de
isotropia em v0b ε0 está contido no subgrupo de isotropia em Hµ, isto é, L Ă ZHµ. Como
ZHµ é conexo, para mostrar a inclusão oposta é suficiente mostrar que a álgebra de Lie
zHµ de ZHµ está contida na álgebra de isotropia de v0 b ε0.
Para verificar isto, observe que a álgebra de isotropia de v0 é
ker µ ` ÿ αą0 gα` ÿ αPxΘ0y´ gα,
onde, xΘ0y´ é o conjunto das raízes negativas gerado por Θ0, o qual por sua vez é o
conjunto de raízes simples que anulam-se sobre H0 (ou Hµ). Nesta soma, o primeiro termo
é dado por elementos H P h tais que ρµpHqv0. O segundo termo aparece na álgebra de
isotropia pois v0 é um vetor de peso maior. Finalmente, o último termo vem do fato que
se α é uma raiz negativa e X P gα, então ρµpXqv0 “ 0 se e somente se xα_, µy “ 0. As
raízes que satisfazem esta igualdade são precisamente as raízes em xΘ0y´. Analogamente,
kerµ ` ÿ αă0 gα` ÿ αPxΘ0y` gα,
onde xΘ0y` é o conjunto de raízes simples gerado por Θ0.
Agora tome X P zHµ “ h ‘ ÿ αPxΘ0y˘ gα. Se X P ΣαPxΘ0y˘gα, então ρµpXqv0b ε0` v0b ρ ˚ µpXqε0 “ 0 pois X pertence às
álgebras de isotropia de v0 e ε0. Enquanto que se H P h, temos
ρµpHqv0b ε0` v0b ρ˚µpHqε0 “ µpHqv0b ε0´ µpHqv0b ε0 “ 0.
Portanto, zHµ está contido na subálgebra de isotropia de v0b ε0.
Corolário 9. A restrição da aplicação momento define um difeomorfismo M : G ¨ pv0b ε0q Ñ AdpGqHµ.
Via este difeomorfismo, a função altura fH : AdpGqHµÑ C define uma função,
também denotada por fH, sobre a órbita G ¨ pv0 b ε0q. Esta função tem uma expressão
simples.
Proposição 26. Seja v b ε P G ¨ pv0b ε0q. Então
fHpv b εq “ εpρµpHqvq “ trppv b εqρµpHqq.
Demonstração. Por um momento, denote por ˜fH à função fH definida sobre G ¨ pv0b ε0q.
Então
˜
fHpv b εq “ fHpM pv b εqq “ xM pv b εq, Hy,
o que é igual a εpρµpHqvq pela definição de M. Na expressão envolvendo o traço, v b ε
é considerado como um elemento de EndpV q e a segunda igualdade segue de εpSvq “ trppv b εqSq, o qual é válido para todo S P EndpV q.
3.3.2
Isomorfismo com a órbita aberta em F
Hµˆ F
Hµ˚Como já foi mencionado, as flags FHµ e FHµ˚ são obtidas como órbitas projetivas
em PpV q e PpV˚
q respectivamente. A origem de FHµ é identificada com o espaço do peso
maior rv0s, e na identificação com a órbita adjunta do grupo compacto K, esta origem é
Por outro lado, rε0s é o espaço do menor peso em V˚. A álgebra de isotropia
em rε0s contém a Σαă0gα. Assim, ε0 P PpV˚q é identificado com w0b˚ P FHµ˚, onde b
˚ é a
origem de FHµ˚. Mediante a identificação de FHµ˚ com a órbita adjunta do grupo compacto
K, a origem é ´Hµ “ w0Hµ˚.
Usamos as identificações para ver a FH0 ˆ FH0˚ como o produto das órbitas
projetivas G ¨ rv0s ˆ G ¨ rε0s Ă PpV q ˆ PpV˚q. A órbita aberta em FH0 ˆ FH0˚ torna-se
então na G-órbita diagonal de prv0s, rε0sq P PpV q ˆ PpV˚q. Denotamos esta órbita por G ¨ prv0s, rε0sq, assim,
G ¨ prv0s, rε0sq “ tpρµpgqrv0s, ρ˚µpgqrε0sq P PpV q ˆ PpV˚q : g P Gu.
Agora vamos descrever o difeomorfismo entre a órbita G ¨ pv0 b ε0q Ă V b V˚ e a
órbita G ¨ prv0s, rε0sq Ă FHµ ˆ FHµ˚ Ă PpV q ˆ PpV
˚
q. De fato, o difeomorfismo associa
g ¨ prv0srε0sq “ pρµpgqrv0s, ρ˚µpgqrε0sq com g ¨ pv0b ε0q “ ρµpgqv0b ρ˚µpgqε0.. Obtemos assim
a seguinte proposição.
Proposição 27. [8] Seja Φ : G ¨ pv0b ε0q Ñ G ¨ prv0s, rε0sq o difeomorfismo obtido pela identificação de ambas órbitas com G{ZHµ. Se v bε P G¨pv0bε0q, então Φpv bεq “ prvs, rεsq
com inversa Φ´1
prvs, rεsq “ pv b εq.
Demonstração. Nosso argumento prévio já provou isto. Mesmo assim, vale a pena observar
que as aplicações v b ε ÞÑ prvs, rεsq e prvs, rεsq ÞÑ v b ε estão bem-definidas, pois v1b ε1 “ v b ε é equivalente a v1 “ av e ε1 “ a´1ε, o que também é equivalente a prv1s, rε1sq “
prvs, rεsq.