Unidade 1 - Geometria de posição

UNID

ADE I

G

eometria de

Posição

O

BJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Ao final desta unidade você terá subsídios para:

Distinguir os entes geométricos ponto, reta e plano no espaço e seus ■

subconjuntos, utilizados na construção do conhecimento geométrico. Identificar as posições relativas de pontos, retas e planos no espaço. ■

Aplicar as propriedades relativas a pontos, retas e planos no espaço. ■

Determinar ângulos e distâncias relativas a pontos, retas e planos no ■

espaço.

R

OTEIRO DE ESTUDOS

Seção 1 – Ponto, reta e plano no espaço: posições relativas ■

Seção 2 – Retas e planos no espaço: ângulos ■

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Para início de conversa

É certo que o estudo dos conceitos geométricos desempenha um papel importante, pois desenvolve um tipo especial de pensamento que nos permite compreender, interpretar, descrever e representar o mundo em que vivemos. Nas disciplinas de Geometria I e II foram estudadas as relações entre pontos, retas, segmentos de retas e semirretas contidas num mesmo plano, bem como algumas propriedades das figuras planas. Esse estudo desenvolvido até aqui nada mais é que uma particularização de ideias mais gerais que vamos estudar agora.

Nesta unidade serão acrescentados ao rol de axiomas adotados em geometria plana alguns que relacionam as retas, semirretas, segmentos de retas, pontos e planos no espaço, estudo esse que requer um pouco mais de dedicação, pois a passagem do plano para o espaço não é tão simples assim. Todavia, com o domínio dos conceitos trabalhados em geometria plana, você vai incorporar os novos conhecimentos sem grandes dificuldades. Num primeiro momento, para facilitar o entendimento, você pode lançar mão de objetos como folhas de papel ou placas de isopor para representar planos, e canetas ou varetas para representar retas, já que o desenho de objetos tridimensionais implica o domínio de técnicas mais refinadas. Mas somente o domínio das propriedades fundamentais das figuras geométricas planas é que permitirá uma argumentação geométrica consistente nos casos em que as relações não são visíveis numa figura ou modelo.

Geometria III

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seção 1

Ponto, reta e Plano no esPaço: Posições

relativas

Iniciaremos o estudo da geometria no espaço, porém não podemos deixar de lembrar o que aprendemos na geometria plana, pois os axiomas serão válidos para o estudo no espaço.

Sendo o plano uma particularização do espaço, será necessário adicionar àqueles postulados mais alguns. Podemos resumi-los da seguinte maneira:

Por dois pontos do espaço passa uma e somente uma reta. •

Dada uma reta do espaço, há pontos que pertencem à reta e pontos que não •

pertencem a ela.

Três pontos não colineares determinam um único plano. •

Qualquer que seja o plano, dentro e fora dele existem infinitos pontos. •

Se uma reta possui dois pontos distintos em um plano, então essa reta está •

contida nesse plano.

Se dois planos distintos possuem um ponto comum, então a intersecção entre •

eles é uma reta que passa por esse ponto.

Qualquer plano α divide o espaço em duas regiões que denominaremos I e II e que não contêm α, de forma que:

a) se os pontos G I H II∈ e ∈ , então o segmento GHα =

{ }

b) se os pontos A I B I∈ e ∈ , então o segmento ABα =

{ }

Esse último axioma refere-se à separação do espaço por um plano. Cadauma das duas regiões I e II em que o plano subdivide o espaço, se reunida ao plano, é denominada de semiespaço. Dessa forma é possível definir o semiespaço como a figura geométrica formada pela reunião de um plano com uma das regiões do espaço por ele dividido.

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Sendo dados dois pontos do espaço C e D e um plano π, como verificar se C e D estão contidos num mesmo semiplano definido por π?

É fácil: basta considerar o segmento CDe o plano π. Se eles tiverem um ponto em comum, C e D estão em semiespaços distintos. Se não tiverem, estão num mesmo semiespaço.

Para classificar as posições relativas de duas retas no espaço, você deve levar em consideração que já foram definidas duas posições para retas no plano: paralelas e concorrentes.

No espaço teremos apenas essas duas situações? Além de paralelas e concorrentes, teremos uma terceira situação: reversas. Retas reversas são retas que não estão situadas em um mesmo plano.

Quando temos duas retas paralelas é possível encontrar um plano que contenha as duas retas, e o mesmo ocorre com retas concorrentes. Porém, para retas reversas não é possível determinar um plano que contenha as retas ao mesmo tempo.

Portanto, é possível resumir as posições relativas entre duas retas no espaço da seguinte maneira:

{

retas não coplanares reversas

       

Vimos nos axiomas que três pontos não colineares determinam um, e somente um plano. Vejamos a seguir outras formas de determinar um plano.

Como consequência dos dois primeiros axiomas, pode-se conceber um plano em diversas posições no espaço: na posição vertical, na horizontal, inclinado. Portanto, quando consideramos um plano em determinada afirmação, ele pode estar em qualquer dessas posições.

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Uma situação a ser considerada é se tivermos uma reta e um ponto exterior à reta. Podemos afirmar que uma reta determina um plano, pois sabemos que nela existem infinitos pontos; logo, podemos ter dois pontos distintos na reta. Ora, se temos dois pontos na reta e um ponto que é exterior à reta, temos três pontos não colineares. Portanto, conseguimos determinar um plano a partir de uma reta e um ponto localizado fora da reta.

Consideremos duas retas concorrentes: elas também definem um plano. Chamando a interseção das retas de I e tomando em cada reta um ponto distinto de I, denotados por A e B, temos que A, B e I não são colineares; logo, A, B e I determinam um plano. Assim, duas retas concorrentes determinam um plano.

Outra situação que determina um plano é quando temos duas retas paralelas. A justificativa fica para você fazer!

Como se deve fazer para justificar a impossibilidade de encontrar um plano que contenha duas retas reversas?

Quanto à posição de uma reta no espaço em relação a um plano, são registradas três situações distintas:

Reta secante a um plano: uma reta é secante a um plano se e somente se eles •

possuem apenas um ponto em comum. Esse ponto é chamado de traço da reta sobre o plano.

Reta paralela a um plano: uma reta é paralela a um plano se e somente se eles •

não possuem ponto comum.

Reta contida em um plano: uma reta está contida em um plano se e somente •

se todos os pontos da reta pertencem ao plano. Dos axiomas sabemos que se uma reta possui dois pontos distintos em comum com o plano, essa reta está contida no plano.

Algumas propriedades estão presentes quando se estabelecem relações entre retas e planos. Dentre elas destacam-se as seguintes:

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1

P Se uma reta é secante a um plano, então ela é concorrente ou reversa às retas desse plano.

2

P Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa às retas desse plano.

3

P Se uma reta não contida em um plano é paralela a uma reta desse plano, então ela é paralela a esse plano.

Em se tratando de dois planos, as posições relativas podem ser as seguintes: coincidentes, secantes e paralelos.

Dois planos são coincidentes quando têm todos os pontos em comum.

Dois planos são secantes quando possuem pontos em comum e a intersecção deles é uma reta comum. Ocorre daí o fato de, em geometria analítica, a equação da reta no espaço ser expressa pela equação de dois planos. Assim, para achar o ângulo formado por esses dois planos, calcula-se o ângulo formado pelos vetores normais desses planos.

Você seria capaz de justificar por que o ângulo formado por dois planos secantes é o mesmo ângulo formado pelos vetores normais a esses planos?

Dois planos são paralelos se e somente se eles não têm ponto em comum. Uma das principais propriedades envolvendo dois planos é a seguinte:

1

P Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a outro plano, então esses planos são paralelos.

Essa propriedade pode ser constatada facilmente. Considere duas retas concorrentes r e s que se cortam no ponto A, contidas no plano β, ambas paralelas ao plano α. Isso significa que não podem ter pontos em comum com o plano α, dado que são paralelas a ele. Supondo que os planos α e β se cortam segundo uma reta t (contida nesses dois planos), as retas r e s paralelas ao plano α não têm pontos em comum com ele e, portanto, não têm ponto comum com t, que está contida em

.

α Sendo que t também está contida emβ, é coplanar com as retas r e s, e não possui pontos em comum com elas, só pode ser paralela a t passando por A. Como não é possível traçar duas paralelas a t passando por A (ponto de intersecção de r e s), pois

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contradiz o postulado da unicidade da paralela, conclui-se que os planosα e β são paralelos.

seção 2

retas e Planos no esPaço: ânGulos

No plano, você estudou que duas retas coplanares que se intersectam formam quatro ângulos, congruentes dois a dois, sendo estes denominados opostos pelo vértice. Os ângulos adjacentes são suplementares.

 a b 180 a b a c b d      c d

No caso particular em que os quatro ângulos são congruentes, as retas são denominadas perpendiculares e os ângulos congruentes são retos. Um exemplo clássico de retas perpendiculares são as retas que contêm as diagonais de um losango.

Bem, até aqui, vimos conceitos já conhecidos. Mas é possível verificar ângulos formados por retas reversas, como o ângulo formado por duas retas que contêm as arestas opostas de um tetraedro regular?

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Definem-se os ângulos formados por duas retas reversas, os ângulos formados por uma dessas retas e pela paralela à outra traçada por um dos pontos da primeira. Quando esses ângulos forem congruentes e retos, as retas reversas são ditas ortogonais. r r’ s ' rr

Já o ângulo formado entre uma reta e um plano dados não é tão simples de ser medido. Antes de defini-lo temos que relembrar como se determina a projeção ortogonal sobre o plano.

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o traço da perpendicular ao plano que passa pelo ponto.

P

P�

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A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta nesse plano.

P P’  Q Q’ r r’

Se a reta for perpendicular a um plano, sua projeção sobre ele se resume a um ponto e ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto. Diz-se que a reta é ortogonal às demais retas do plano que não passam pelo traço da reta sobre o plano.

O ângulo formado entre uma reta oblíqua a um plano e o plano é o ângulo agudo constituído pela reta e por sua projeção ortogonal sobre o plano.

 r

r’ 

s

O ângulo θ formado pela reta r e plano α é o ângulo que a reta r estabelece com sua projeção ortogonal r’. A reta s forma um ângulo reto com o plano α.

Para tratar do ângulo entre planos é necessário definir antes alguns elementos como diedro, ângulo diedro, diedros consecutivos, bissetor de um diedro e ângulo poliédrico.

Quando dois planos α e β interceptam-se segundo uma reta d, essa reta divide o plano α em dois semiplanos: um à direita e outro à esquerda de d. E o plano β também fica dividido em dois semiplanos: um inferior e outro superior a d.

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 

d

Segundo Dolce, ângulo diedro, diedro ou ângulo diédrico é a reunião de dois semiplanos de mesma origem não contidos num mesmo plano. A origem comum dos semiplanos é chamada de aresta do diedro, e os semiplanos são as faces do diedro.

Outra definição: diedro é uma figura formada por dois semiplanos limitados pela mesma reta. A reta é chamada de aresta do diedro e os semiplanos são faces do diedro.

Note que o primeiro diedro representado no item (a) da figura é formado pelo semiplano direito de α e o semiplano superior de β; o segundo ângulo diedro (b) é formado pelo semiplano esquerdo de α e o semiplano superior de β; o terceiro ângulo diedro (c) é formado pelo semiplano esquerdo de α e o semiplano inferior de β; e o quarto (d) é formado pelo semiplano direito de α e o semiplano inferior de β.     d d a) b)

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Para determinar a medida do diedro traçamos um plano perpendicular à sua aresta. O ângulo das semirretas corresponde ao ângulo do diedro.

Para obter a medida do ângulo entre dois planos secantes tomamos a medida do menor diedro formado pelos planos.

  d a b  Ângulos poliédricos

Seja um plano α que contém um polígono (n >3) de n vértices A A A1, , ,...2 3 An

e um ponto V fora desse plano. Chama-se ângulo poliédrico de n arestas a reunião das semi-retas VA VA1, 2,...,VAn

  

, onde: V é o vértice do ângulo poliédrico, 1, 2,..., n

VA VA  VA são as arestas do ângulo poliédrico e AVA1ˆ 2, A VA2ˆ 3,... A VAn-1ˆ n são

os ângulos das faces do ângulo poliédrico.

1 A 2 A 3 A n A

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Um ângulo poliédrico formado por três faces é dito ângulo triédrico; se formado por quatro faces é dito tetraédrico; se formado por cinco faces é pentaédrico; e assim por diante.

O ângulo poliédrico possui n diedros, sendo que cada um é determinado por duas faces consecutivas.

A reunião de todas as faces do ângulo poliédrico é chamada de superfície do ângulo poliédrico.

Um ângulo poliédrico é regular se as faces são congruentes entre si.

Propriedades

1

P Num ângulo poliédrico convexo, o ângulo de uma das faces é menor que a soma das demais.

2

P Num ângulo poliédrico convexo, a soma dos ângulos das faces é menor que 360 .°

Se a soma dos ângulos das faces de um ângulo poliédrico for igual a360 ,° as faces do ângulo poliédrico estarão num mesmo plano (condição de ladrilhamento ou pavimentação do plano).

A: 1. Se as faces de um ângulo poliédrico convexo medem respectivamente:

10 , 30 , 40 , 60 e x° ° ° ° , qual é o intervalo de variação dos valores que x pode assumir?

Resolução: sabendo que x deve ser menor que a soma dos demais ângulos (

1

P) e que a soma (P2) das medidas dos ângulos das faces deve ser menor que 360 ,° você verifica que o intervalo de variação de x deve satisfazer as duas condições:

140 e 220 então 140 . x < ° x< ° x < °

B: Qual é o número máximo de arestas de ângulo poliédrico regular, sabendo

que uma das faces é 80° ?

Resolução: sabendo que em um ângulo poliédrico regular todas as faces têm a mesma medida, então o número de vezes que posso combinar ângulos de 80° graus de maneira a perfazer uma medida inferior a 360° é... 4.

C: Quantos tipos de ângulos poliédricos são possíveis de se formar com todas

as faces iguais a 75 ?°

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faces idênticas de 75° é possível, com quatro também, mas com 5 já ultrapassa

360° e não é possível. Então a resposta é dois .

Neste capítulo você verificou as posições relativas de pontos, retas e planos no espaço. Revisou os conhecimentos adquiridos em geometria plana, ampliando para a geometria espacial. Assim você já se encontra preparado para alçar novos voos em busca do detalhamento e aprofundamento no estudo das figuras espaciais. Na próxima unidade você terá contato com os poliedros, sua história e algumas propriedades apresentadas por essa classe de figuras tridimensionais.

Para complementar este conteúdo, aproveitando algumas páginas da web que detalham e ilustram o assunto, acesse os links:

http://www.colegioweb.com.br/matematica/determinacao-de-planos-http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/indice.php http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/element/element.htm http://www.portalimpacto.com.br/09/material2010/medio_e_vest/materia_ mate.html http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-94-95 3-,00.html

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1. Considere o cubo desenhado na figura.

A B C D E _F G H

1.1. Utilizando letras da figura, indique: 1.1.1. Duas retas coplanares; 1.1.2. Duas retas paralelas; 1.1.3. Duas retas concorrentes;

1.1.4. Duas retas paralelas ao plano ABC;

1.1.5. Duas retas concorrentes não contidas no plano ABC; 1.1.6. Uma reta paralela e outra perpendicular ao plano EFA; 1.1.7. Dois planos paralelos;

1.1.8. Dois planos secantes oblíquos. 1.2. Qual é a posição relativa das retas:

1.2.1. EH e DB? 1.2.2. BC e CB?

1.3. Qual é a posição relativa do plano e da reta: 1.3.1. Plano EFG e reta AC?

1.3.2. Plano AEC e reta AG? 1.3.3. Plano ABD e reta EB?

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2. Indique se as alternativas são verdadeiras ou falsas. Não ter ponto comum é condição:

a) necessária para que duas retas sejam reversas; b) suficiente para que duas retas sejam paralelas;

c) necessária para que duas retas distintas sejam paralelas; d) suficiente para que duas retas sejam reversas;

e) necessária e suficiente para que duas retas coplanares sejam paralelas. 3. Classifique as seguintes afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) qualquer reta que concorre com uma de duas reversas, concorre com a outra;

b) qualquer plano que contém uma de duas reversas intercepta a outra; c) existe sempre uma reta que se apoia em duas retas reversas;

d) existe um único plano que contém uma de duas retas reversas e é paralelo à outra;

e) por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas.

4. Classifique as alternativas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se dois planos distintos são paralelos, então:

a) toda reta de um deles é paralela ao outro;

b) toda reta de um deles é paralela ou reversa a qualquer reta do outro; c) toda reta paralela a um deles é paralela ao outro;

d) existe uma reta de um deles concorrente com uma reta do outro;

e) quando eles são interceptados por um terceiro plano, suas intersecções são paralelas.

5. Classifique as seguintes afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas desse plano;

b) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a todas as retas desse plano;

c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com todas as retas desse plano;

d) Uma reta perpendicular a duas retas distintas de um plano é perpendicular a esse plano;

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e) Uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular a esse plano.

6. Classifique as alternativas como verdadeiras ou falsas. Se dois planos são perpendiculares:

a) existe em um deles uma reta oblíqua ao outro; b) uma reta de um deles pode ser paralela ao outro;

c) se uma reta é perpendicular a um deles, essa reta é paralela ao outro; d) se uma reta é paralela a um deles, essa reta é perpendicular ao outro; e) existe um terceiro plano perpendicular a cada um deles simultaneamente. 7. Classifique as afirmativas como verdadeiras ou falsas.

Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si; a)

Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si; b)

Um plano que é perpendicular a um de dois planos paralelos também é c)

perpendicular ao outro;

Uma reta que é perpendicular a um de dois planos perpendiculares e tem um d)

ponto comum com o outro está contida nesse outro;

É sempre possível obter por uma reta um plano perpendicular a um plano e)

dado.

8. Quais os possíveis valores de x para que x°, 70° e 90° sejam faces de um triedro?

9. Quais os possíveis valores de y para que y°, 60° e 85° sejam faces de um triedro?

10. Seja o triedro trirretângulo (três faces de 90°) de vértice V e arestas VA =

VB = VC. Calcule:

a) os ângulos da face ABC;

b) os ângulos das faces do triedro de vértice A.

11. Qual é o número máximo de arestas de um ângulo poliédrico cujas faces são todas de 50°?

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12. As faces de um ângulo hexaédrico convexo medem, respectivamente,

15°, 25 ,35 ,45 , e 150° ° ° °z °. Entre que valores inteiros o ângulo z pode variar, considerando que os valores dos ângulos das faces estão em ordem crescente?

13. Qual afirmação é falsa?

a) Se dois planos são perpendiculares a uma reta, então eles são paralelos. b) Se duas retas são perpendiculares a um plano, então elas são paralelas. c) Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles, então a reta também é perpendicular ao outro.

d) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

e) Se uma reta é perpendicular a um plano, então toda reta paralela a ela é perpendicular a esse plano.

14. Uma reta AB forma um ângulo de medida 30° com um plano a. Se A ∈ α

e AB medem 12 em, então a distância do ponto B ao plano α é: a) 12cm b)10cm c)5cm d)8cm e)6cm

15. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) Se duas retas distintas não são paralelas elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas.

c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém.

e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, elas determinam um e um só plano.

16. Dois planos α β e são secantes cuja reta comum é r. Dois pontos distintos

A e B são tais que B r,A∈ ∈ α, AB r , e AB mede 8cm⊥ e a projeção ortogonal A’ de AB sobre β, mede 4cm. Qual a medida do ângulo agudo formado por α β e ?

17. Uma reta é secante às faces de um diedro α βr e é ortogonal a r. Se os ângulos agudos que s forma com α β e , medem, respectivamente, 50 e 20° °, qual é a medida do diedro?

18. Calcule a medida de um diedro, sabendo que duas semirretas de mesma origem, perpendiculares às suas faces , formam um ângulo de 70º .

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19. Observe a figura ao lado e indique os pares de retas que são reversas.

r _{s t}

w

u v

20. Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas sempre está firme. A que se atribui tal fato?21. Calcule a medida de um diedro, sabendo que uma reta perpendicular a uma de suas faces forma com o bissetor desse diedro um ângulo de 20°.

22. Calcule o ângulo formado pelos diedros bissetores de dois diedros adjacentes e suplementares.

23. Verifique se existem os ângulos poliédricos cujas faces medem: a) 70°, 80° e 130°

b) 45°, 75° e 120° c) 90°, 120° e 150° d) 70°, 80°, 90° e 100°

24. Verifique se é possível construir os ângulos poliédricos cujas: a) três faces são triângulos equiláteros;

b) três faces são quadrados;

c) quatro faces são triângulos equiláteros; d) três faces são pentágonos regulares; e) cinco faces são triângulos equiláteros; f) três faces são hexágonos regulares.

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Respostas

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DA UNIDADE I

01)

1.2.1.reversas. 1.2.2. paralelas.

1.3.1. paralelos.

1.3.2. reta contida no plano 1.3.3. secantes. 02) V FVFF 03) FFVVF 04) VVFFFV 05) FFVFV 06) VVFFV 07) FFVVV 08) ₂₀0 _<x0 _<1600 09)

₂₅

_<

_y

_<

₁₄₅

_{60 ,60 ,60}

_{60 ,45 ,45}

Por três pontos passa um único plano. Por quatro pés da mesa passarão mais de quatro planos, então cada vez que três pés determinarem um plano a mesa ocupará uma posição diferente. Já uma mesa com três pernas terá somente uma posição definida e não oscilará.

21) ₁₄₀0

22) ₉₀0

23) a) sim b) não c) não d)sim

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