AN ´
ALISE COMPLEXA E EQUAC
¸ ˜
OES DIFERENCIAIS,
aulas te´
orico-pr´
aticas
Faculdade de Ciˆ
encias da Universidade de Lisboa, 2011
1
N´
umeros Complexos
Exerc´ıcio 1.1 Determinar o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que (a) x + iy = |x + iy|
(b) 2|x + iy| ≤ |x + iy − 1|
Exerc´ıcio 1.2 Sejam z, w n´umeros complexos tais que z ¯w 6= 1. Verificar que, se |w| = 1 ou |z| = 1 tem-se |1− ¯w−zwz| = 1.
Exerc´ıcio 1.3 Calcular as raizes quadradas de i, 1 − i, 2 + 2i.
Exerc´ıcio 1.4 Verificar que as raizes c´ubicas de i s˜ao √3+i
2 , − √
3+i
2 e −i.
Exerc´ıcio 1.5 Verificar que as raizes quartas de i s˜ao eiπ/8, ei5π/8, ei9π/8e ei13π/8 Exerc´ıcio 1.6 Determinar o conjunto {z ∈ C | z−1= 4¯z}.
Exerc´ıcio 1.7 Alguma das fun¸c˜oes ez, z2+ z ´e injectiva?
Exerc´ıcio 1.8 Alguma das fun¸c˜oes ez, z3´e sobrejectiva? Exerc´ıcio 1.9 Alguma das fun¸c˜oes z3+ 1, 1
|z|+1 ´e bijectiva?
Exerc´ıcio 1.10 Verificar as identidades
cos2z + sin2z = 1
cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w
Re(iz) = −Imz; Im(iz) = Rez Exerc´ıcio 1.11 Determinar todas as solu¸c˜oes de: sin z = 0; cos z = 3. Exerc´ıcio 1.12 ´E verdade que
log(zw) = log(z) + log(w), ∀z, w ∈ C?
Exerc´ıcio 1.13 Sejam z ∈ C \ 0 e a ∈ R. Verificar que, qualquer que seja a defini¸c˜ao da potˆencia que utilizarmos, |za| = |z|a.
Exerc´ıcio 1.14 ´E verdade que a fun¸c˜ao sin z + cos z ´e limitada? Exerc´ıcio 1.15 Se zn = 1 (onde n ∈ N) e z 6= 1, tem-se:
1 + z + z2+ · · · + zn−1= 0. Exerc´ıcio 1.16 Verificar:
sin(2x) + sin(4x) + · · · + sin(2nx) = sin(nx) sin[(n + 1)x]sin x e
cos(2x) + cos(4x) + · · · + cos(2nx) = sin(nx) cos[(n + 1)x]sin x .
Exerc´ıcio 1.17 Determinar os n´umeros complexos z tais que eiz+ e−iz = e2iz+ e−2iz. SUGEST˜AO: Observar que, se pusermos w = eiz+ e−iz, a equa¸c˜ao proposta equivale a w2− w − 2 = 0.
Exerc´ıcio 1.18 Verificar que, dado um n´umero complexo a + ib, o produto matricial · a −b b a ¸ · x y ¸
tem como resultado o vector que se identifica com o produto num´erico (a + ib)(x + iy).
2
Fun¸
c˜
oes de vari´
avel complexa: continuidade,
diferencia-bilidade
Exerc´ıcio 2.1 Onde ´e cont´ınua a fun¸c˜ao (z + 1) log z?
Exerc´ıcio 2.2 Para que valores de a e b ´e u(x, y) a parte real de uma fun¸c˜ao holomorfa em C nos casos seguintes? u(x, y) = ax2+ 2xy + by2, u(x, y) = a3x3− 3axy2, u(x, y) = ax2+ 5xy − by4.
Exerc´ıcio 2.3 Em que conjunto s˜ao holomorfas as fun¸c˜oes seguintes? Calcular as respectivas deriva-das. z +1z, (z3−1)(z1 2+1).
Exerc´ıcio 2.4 Em que conjunto ´e diferenci´avel a fun¸c˜ao f (x + iy) = x2y + ixy2? Exerc´ıcio 2.5 A fun¸c˜ao |z| n˜ao ´e diferenci´avel em nenhum ponto.
Exerc´ıcio 2.6 Determinar a fun¸c˜ao holomorfa f em C tal que Ref (x + iy) = xy ∀(x, y) ∈ R2 e f (0) = i.
Exerc´ıcio 2.7 Verificar que a fun¸c˜ao real de duas vari´aveis reais u(x, y) = xexcos y − yexsin y satisfaz ∂∂x2u2+
∂2u
∂y2 = 0 e determinar uma fun¸c˜ao v(x, y) tal que f = u + iv seja holomorfa em C. Dar
a express˜ao de f em termos da vari´avel z = x + iy.
Exerc´ıcio 2.8 Uma fun¸c˜ao holomorfa num aberto conexo e que s´o toma valores reais ´e constante. Exerc´ıcio 2.9 Uma fun¸c˜ao holomorfa em C, f = u + iv, tal que ∂u
∂x+ ∂v
∂y = 0 em todos os pontos,
Exerc´ıcio 2.10 Se as fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais u(x, y) e v(x, y) s˜ao parte real e imagin´aria, respectivamente, de uma fun¸c˜ao f holomorfa em C, verificar que u(x, y)v(x, y) ´e tamb´em parte real de alguma fun¸c˜ao holomorfa em C.
Exerc´ıcio 2.11 A fun¸c˜ao f (z) = z5/|z|4 para z 6= 0 e f(0) = 0 ´e cont´ınua mas n˜ao existe o limz→0f (z)/z. Sendo u(x, y) = Ref (x + iy) e v(x, y) = Imf (x + iy), u e v satisfazem as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann na origem. NOTA: (x + iy)5= x5− 10x3y2+ 5xy4+ i(5x4y − 10x2y3+ y5).
Exerc´ıcio 2.12 Calcular limz→0ez−1
z . Existe limz→0sin |z|z ?
3
Integrais de caminho
Exerc´ıcio 3.1 Calcular (a)R
γy dz, sendo γ a uni˜ao dos segmentos que unem 0 a i e depois a i + 2;
(b) R
γsin 2z dz, sendo γ o segmento que une i + 1 a −i; (c)
R
γze z2
dz, sendo γ a semicircunferˆencia unit´aria superior percorrida no sentido positivo usual.
Exerc´ıcio 3.2 Sendo γR a circunferˆencia de raio R > 1 e centro 0, obter uma estimativa de IR= |
Z
γR
z z3+ 1dz|
e determinar o limite de IR quando R → ∞.
Exerc´ıcio 3.3 Sendo γ a circunferˆencia unit´aria, obter a estimativa
| Z
γ
sin z
z2 dz| ≤ 2πe.
Exerc´ıcio 3.4 CalcularR
γ 1
zdz, sendo γ (a) a circunferˆencia unit´aria; (b) uma curva fechada qualquer
contida no conjunto C \ Oy+.
Exerc´ıcio 3.5 Sendo γ a circunferˆencia unit´aria, obter uma estimativa de
| Z γ 1 z +1 2 dz|. Qual ´e o valor do integral?
Exerc´ıcio 3.6 Calcular R
γ¯z
2dz sendo γ: (i) o segmento que une a origem a (1, 1); (ii) a linha
poligonal que liga a origem a (0, 1) e depois a (1, 1). Que sugere o resultado sobre a primitivabilidade de ¯z2?
Exerc´ıcio 3.7 Seja f uma fun¸c˜ao inteira, istro ´e, holomorfa em C. Calcular Z 2π
0
f (z0+ reiθ)eikθdθ
sendo k um n´umero natural.
Exerc´ıcio 3.8 Mostrar que, se f : C → C ´e cont´ınua e limitada, tem-se
lim r→+∞ Z γr f (z) z2 dz = 0, r→0lim Z γr f (z) z dz = 2πif (0).
Exerc´ıcio 3.9 Seja f uma fun¸c˜ao real cont´ınua tal que |f| ≤ 1 na circunferˆencia unit´aria γ. Mostrar que
| Z
γf (z) dz| ≤ 4.
SUGEST˜AO: h´a um n´umero u de m´odulo 1 tal que |R
γf (z) dz| = u
R
Exerc´ıcio 3.10 CalcularR
γ|z|2dz, representando γ a fronteira do quadrado de v´ertices (1, 0), (0, 1),
(−1, 0), (0, −1), percorrida uma vez no sentido positivo. Exerc´ıcio 3.11 Calcular (a) R
γ 1 zdz, sendo γ(t) = 3 + e it, t ∈ [0, 2π]; (b) R γe 1 zdz, onde γ ´e a
circunferˆencia de raio 3 com centro 5i + 1. Exerc´ıcio 3.12 Calcular (a) R
γ ez
z2dz sendo γ a circunferˆencia unit´aria; (b)
R
γ z2
−1
z2+1dz sendo γ a
circunferˆencia de raio 2 centrada em 0. Exerc´ıcio 3.13 Mostrar queRπ
0 ecos tcos(sin t) dt = π, a partir de
R
γ ez
z dz, onde γ ´e a circunferˆencia
unit´aria.
Exerc´ıcio 3.14 Seja f holomorfa em A e γ uma curva fechada seccionalmente C1 em A. Mostrar que para todo o z06∈ γ
Z γ f0(z) z − z0 dz = Z γ f (z) (z − z0)2 dz
Exerc´ıcio 3.15 Sendo γ a circunferˆencia |z| = 2 calcular (a)R
γ 1 z2−1dz (b) R γ 1 z2+z+1dz (c) R γ 1 z2+2z−3dz (d) R γ 1 z2−8dz.
Exerc´ıcio 3.16 Que valores pode tomar R
γ 1
z2+1dz, sendo γ um caminho seccionalmente C1 com
origem 0 e extremidade 1, n˜ao passando pelos pontos ±i?
Exerc´ıcio 3.17 A primeira figura (ver ficheiro Exerc´ıcios 3.17-18) representa um caminho fechado C1no plano complexo, passando pelos pontos indicados. Calcular 1
2πi
R
γ 1
zdz sendo γ: (i) a totalidade
do percurso indicado, iniciado e terminado no ponto 3, percorrido uma vez; (ii) a parte do percurso indicado com origem 3 e extremidade 2i; (ii) a parte do percurso indicado com origem√2 e extremidade 3.
Exerc´ıcio 3.18 A segunda figura (ver ficheiro Exerc´ıcios 3.17-18) representa um caminho fechado C1 no plano complexo, γ, e trˆes pontos do plano. Calcular 1
2πi R γ 1 z−zidz para i = 1, 2, 3. 5
4
Sucess˜
oes e s´
eries
Exerc´ıcio 4.1 S˜ao convergentes ou n˜ao as s´eries seguintes? P∞
n=1e 3ni n2 ; P∞ n=1 cos(in) en .
Exerc´ıcio 4.2 Se a s´erie num´ericaP∞
n=1an´e absolutamente convergente, tamb´em P∞n=1a2n o ´e.
Exerc´ıcio 4.3 Seja z um n´umero complexo de m´odulo 1. Determinar todos os n´umeros que s˜ao limites de subsucess˜oes de zn.
Exerc´ıcio 4.4 A sucess˜ao de fun¸c˜oes (1 + x)1/nconverge no intervalo [0, +∞)? Converge uniforme-mente?
Exerc´ıcio 4.5 Que h´a a dizer sobre convergˆencia ou convergˆencia absoluta das s´eries P∞
n=1 i n log n? P∞ n=1 in n?
Exerc´ıcio 4.6 A s´erie de fun¸c˜oesP∞
n=1 z
n
1+z2n converge tanto no interior como no exterior da
circun-ferˆencia unit´aria.
Exerc´ıcio 4.7 A s´erieP∞
n=1 1
nz converge uniformemente em cada disco fechado contido no semiplano
{z| Re z > 1}.
Exerc´ıcio 4.8 A s´erie P∞
n=1e−inz converge uniformemente em {z| Rez > 3}. A s´erie
P∞
n=1nzn
converge uniformemente em {z| |z| < 1/3}.
Exerc´ıcio 4.9 Desenvolver em s´erie de potˆencias centrada em 0, indicando o raio de convergˆencia: (a) 1
1+z2; (b) (1−z)1 2; (c) cos(z3).
Exerc´ıcio 4.10 Desenvolver em s´erie de potˆencias, indicando o raio de convergˆencia: (a) centrada em 3 para 1z; (b) centrada em 2 para (z−1)(z−3)1 ; centrada em 1 para z3.
Exerc´ıcio 4.11 Em que dom´ınio definem as seguintes s´eries fun¸c˜oes holomorfas? (a)P∞
n=1( z n) n; (b) P∞ n=1(nz)n; (c) P∞ n=1(z−i) n n5+2 .
Exerc´ıcio 4.12 Calcular alguns dos primeiros termos da s´erie de potˆencias de z que representa: (a)
ez
1−z; (b) e
zsin z; (c)√z2− 1.
Exerc´ıcio 4.13 Qual ´e a fun¸c˜ao soma deP∞
n=1( 1 n!zn)?
Exerc´ıcio 4.14 Obter as s´eries de potˆencias de z que representam 1
(1+z)2 e
1 (1+z)3.
Exerc´ıcio 4.15 Seja f (z) =P∞
n=1anznna bola |z| < R. Mostrar que, se z = reiαcom 0 < r < R,
tem-se f (z) =P∞
n=1anrneinα e an= 2πr1n
R2π
0 f (re
iθ)e−inθdθ.
Exerc´ıcio 4.16 Verificar que x
n n! = 1 2πi R γ exz
zn+1dz onde γ ´e a circunferˆencia unit´aria percorrida uma
vez no sentido positivo, e calcularP∞
n=0(x
n
n!) 2.
5
Problemas suplementares
Exerc´ıcio 5.1 Sejam f e g fun¸c˜oes holomorfas em A e γ um caminho em A com origem z1 e extremidade z2. Mostrar que
Z γ f0(z)g(z) dz = f (z2)g(z2) − f(z1)g(z1) − Z γ f (z)g0(z) dz. CalcularR
γz cos z dz sendo γ a semicircunferˆencia unit´aria situada no semiplano Im z ≥ 0.
Exerc´ıcio 5.2 Se P∞
n=1anzn tem raio de convergˆencia R, qual ´e o raio de convergˆencia das s´eries
P∞ n=1n3anzn, P∞ n=1anz3n e P∞ n=1a3nzn?
Exerc´ıcio 5.3 SejaP∞
n=0Fnzn a representa¸c˜ao de 1−z−z1 2 num disco centrado em 0. Qual ´e o raio
do disco? Verificar que F0= F1= 0 e Fn = Fn−1+ Fn−2∀n ≥ 2. Por conseguinte, Fn ´e a sucess˜ao
de Fibonacci.
6
S´
erie de Laurent, singularidades e res´ıduos
Exerc´ıcio 6.1 Determinar a s´erie de Laurent de 1
z2−4, v´alida numa vizinhan¸ca de 2 privada de 2. O
mesmo ´e pedir o desenvolvimento em s´erie de potˆencias de z − 2 e (z − 2)−1. Identificar o anel de convergˆencia.
Exerc´ıcio 6.2 Determinar a s´erie de Laurent de 1
z(z−4) (a) que converge para |z| > 4; (b) que
converge para 0 < |z| < 4.
Exerc´ıcio 6.3 Determinar a ordem da origem como polo de (a) cos z
z2 ; (b)
ez
−1 z2 .
Exerc´ıcio 6.4 Determinar a s´erie de Laurent que representa as fun¸c˜oes seguintes numa bola centro 0 privada de 0: (a) z sin1z; (b) z(z+1)1 . (c) ez1
−1 (neste caso identificar apenas a parte com expoentes
negativos do desenvolvimento e os primeiros termos da parte com expoentes positivos. Come¸car por observar que a fun¸c˜ao tem um polo de ordem 1 na origem.)
Exerc´ıcio 6.5 Dar o desenvolvimento de Laurent de 1
z(z−1)(z−2) que converge em: (a) 0 < |z| < 1.
(b) 1 < |z| < 2.
Exerc´ıcio 6.6 Dar o desenvolvimento de Laurent de sin z
z2 em C \ 0.
Exerc´ıcio 6.7 Determinar limz→0 para as fun¸c˜oes: e2z−1
z ; e2z
−e−z
z ; log(1−z)z .
Exerc´ıcio 6.8 Seja f holomorfa num aberto contendo uma circunferˆencia γ e a sua parte interna. Suponhamos que f tem um ´unico zero a de ordem 1 em γ ou na sua parte interna. Mostrar que
a = 1 2πi Z γ zf0(z) f (z) dz.
SUGEST˜AO: Considerar f (z) = (z − a)g(z) e aplicar a f´ormula integral de Cauchy. Exerc´ıcio 6.9 Que tipo de singularidade tˆem as seguintes fun¸c˜oes na origem? (a) 1
z− 1 sin z (b) 1 z−sin z (c) sin zz2
Exerc´ıcio 6.10 De que tipo s˜ao as singularidades de z
(ez
−1)2? Calcular o integral desta fun¸c˜ao na
circunferˆencia |z| = 2 percorrida uma vez no sentido positivo. Exerc´ıcio 6.11 Determinar os termos em 1
z e 1
z2 da s´erie de Laurent de z2+sinz 3z em torno de 0.
Exerc´ıcio 6.12 CalcularR2π
0 1
3+2 cos tdt. SUGEST˜AO: Integrar 1
z2+3z+1 na circunferˆencia unit´aria.
Exerc´ıcio 6.13 Seja f holomorfa num aberto A, a ∈ A, f0(a) 6= 0. Mostrar que, se γ(t) = a + reit,
t ∈ [0, 2π], ent˜ao, se r > 0 ´e suficientemente pequeno, 2πi f0(a)= Z γ dz f (z) − f(a) . SUGEST˜AO: estudar a fun¸c˜ao f (z)−f(a)z−a .
Exerc´ıcio 6.14 Calcular: (a)R
γ dz
(z+1)3 onde γ ´e a circunferˆencia de centro 0 e raio 2; (b)
R
γ dz ez
−1
Exerc´ıcio 6.15 Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa no disco |z| < R. Mostrar que, se |a| < r < R f (a) = 1 2πi Z γ r2− a¯a (z − a)(r2− z¯a)f (z) dz
onde γ ´e a circunferˆencia de centro 0 e raio r percorrida uma vez no sentido directo. Deduzir a f´ormula de Poisson: se 0 < s < r f (seiθ) = 1 2π Z 2π o r2− s2 r2− 2rs cos(θ − t) + s2f (re it) dt
Exerc´ıcio 6.16 Utilizar o m´etodo dos res´ıduos para calcular o integral impr´oprioR+∞
−∞ x2
−x+2 x4+10x2+9dx.
(Integrar numa semicircunferˆencia com diˆametro no intervalo [−n, n] e tomar limite quando n → ∞...) Exerc´ıcio 6.17 Mostrar que, se b > 0, R+∞
0
cos x
x2+b2 dx = πe −b
2b . (Partir dos res´ıduos de eiz
z2+b2 no
semiplano superior.)
Exerc´ıcio 6.18 Verificar que podemos definir uma fun¸c˜ao holomorfa f (z) = √z2− 1 (isto ´e: tal
que f (z)2 = z2− 1) cujo dom´ınio ´e C privado do intervalo real [−1, 1], convencionando f(2) =√3.
Determinar alguns (poucos) termos do desenvolvimento de Laurent no exterior do disco unit´ario de centro 0.
Exerc´ıcio 6.19 CalcularR
γ dz
(z8+1)2 onde γ ´e a circunferˆencia de centro 0 e raio 2.
Exerc´ıcio 6.20 CalcularR
γ e 1 z2dz (z2+1) e R γ e 1 z2dz
z onde γ ´e a circunferˆencia de centro i e raio 3/2.
7
Modelos envolvendo equa¸
c˜
oes diferenciais simples
Exerc´ıcio 7.1 Uma massa com o peso de 10kg estica uma mola 60cm e fica em equil´ıbrio. Depois a massa ´e empurrada para cima 10cm acima do seu equil´ıbrio e d´a-se-lhe uma velocidade vertical (de cima para baixo) de 50cm/seg. Determinar a lei de movimento da massa. Qual ´e a sua posi¸c˜ao 10seg depois de ter iniciado o movimento? E nesse instante est´a a subir ou a descer?
Exerc´ıcio 7.2 O sangue transporta uma substancia para determinado ´org˜ao `a raz˜ao de 3cm3/seg e sai do ´org˜ao ´a mesma raz˜ao. O ´org˜ao tem um volume de l´ıquido de 125cm3. Se a concentra¸c˜ao da
subst˜ancia no sangue que entra ´e 0.2g/cm3, qual ´e a concentra¸c˜ao da substˆancia no ´org˜ao em fun¸c˜ao
do tempo? Supomos que inicialmente n˜ao h´a substˆancia no ´org˜ao. Quando ´e que a concentra¸c˜ao atinge o valor de 0.1g/cm3?
Exerc´ıcio 7.3 Ao meio dia a temperatura era de 16o
C no local do crime. O detective mede a temperatura do corpo e obt´em 34.5o
C. Uma hora mais tarde volta a medir a temperatura do cad´aver e obt´em 33.7o
C. A que horas se deu o crime? (A temperatura normal do corpo humano ´e 37o
C.) Exerc´ıcio 7.4 Uma certa esp´ecie de peixe tem a massa inicial de 7 milh˜oes de toneladas. Na ausˆencia de pesca, a massa aumentaria a uma taxa proporcional `a massa com a constante de proporcionalidade 2 (por ano). A pesca comercial provoca diminui¸c˜ao de massa `a taxa constante de 15 milh˜oes de toneladas por ano. Quanto tempo demora o peixe a extinguir-se? Qual deveria ser a taxa de pesca para que a quantidade de peixe se mantivesse constante?
Exerc´ıcio 7.5 Verificar que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial correspondente ao modelo log´ıstico ´e
p = ap0
bp0+ (a − bp0)e−at
.
Assumindo conhecidos os valores p1 = p(t1) e p2 = p(t2) com t2 = 2t1 (t1 > 0) mostrar que os
coeficientes s˜ao a = 1 t1 lnp2(p1− p0) p0(p2− p1) , b = a p1 p2 1− p0p2 p1p2− 2p0p2+ p0p1) .
Exerc´ıcio 7.6 Uma popula¸c˜ao de 1000 indiv´ıduos de uma esp´ecie de peixe ´e lan¸cada num lago em 1990. Em 1997 a popula¸c˜ao foi estimada em 3000, e em 2004 foi estimada em 5000. Utilizar o modelo log´ıstico para prever a dimens˜ao da popula¸c˜ao em 2011. Qual ´e a dimens˜ao limite de acordo com este modelo?
Exerc´ıcio 7.7 Considere-se a equa¸c˜ao log´ıstica generalizada u0(t) = u(b(t) − c(t)u)
onde b e c s˜ao cont´ınuas e positivas em R. Esta equa¸c˜ao ´e de Bernoulli e por isso a mudan¸ca de inc´ognita u = 1/y transforma-a numa equa¸c˜ao linear. Mostrar que uma solu¸c˜ao comm u(t0) > 0 est´a
definida e mant´em-se positiva para todo o t > t0. Al´em disso, se B(t) :=R t t0b(s) ds e assumirmos limt→+∞B(t) = +∞, ent˜ao lim t→+∞u(t) = limt→+∞ b(t) c(t) desde que exista o limite do 2o
Exerc´ıcio 7.8 Numa casa em que a temperatura interior ´e 25o
C, o ar condicionado ´e desligado `as 18 horas. A temperatura exterior mant´em-se constante a -10o
C. `As 19 horas regista-se a temperatura de 19.5o
C no interior. Qual ser´a a temperatura no interior `as 6 horas?
8
Quest˜
oes de unicidade e estimativas
Exerc´ıcio 8.1 Seja f ∈ C1(Rn, Rn) e y(t) uma fun¸c˜ao diferenci´avel com valores em Rnque ´e solu¸c˜ao
de y0= f (y) definida em [0, β], tal que y(0) = y(β). Mostrar que y(t) se prolonga a R como solu¸c˜ao peri´odica, de per´ıodo β, da mesma equa¸c˜ao.
Exerc´ıcio 8.2 Seja p(t) uma fun¸c˜ao cont´ınua de per´ıodo 2π. H´a solu¸c˜oes 2π-peri´odicas para as equa¸c˜oes lineares de primeira ordem seguintes? (i) y0 = (sin2t)y, (ii) y0 = (sin2t)y + p(t), (iii)
y0= (cos t)y, (iv) y0= (cos t)y + b(t).
Exerc´ıcio 8.3 Seja f uma fun¸c˜ao real de classe C1 e y(t) uma solu¸c˜ao de y00 = f (y) definida em [0, β] tal que y0(β) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [0, 2β] como solu¸c˜ao da mesma equa¸c˜ao,
sim´etrica a respeito da recta t = β.
Exerc´ıcio 8.4 Seja y(t) uma solu¸c˜ao de y0 = cos(y) definida em [0, β] tal que y(0) = 0. Mostrar
que y(t) se prolonga a [−β, β] como solu¸c˜ao ´ımpar da mesma equa¸c˜ao.
Exerc´ıcio 8.5 Seja f cont´ınua e Lipschitziana em rela¸c˜ao `a segunda vari´avel em D = I × R. Mostrar que a solu¸c˜ao do problema
y00= f (x, y), y(x
0) = y0, y0(x0) = y1
´e o limite (uniforme em qualquer compacto ⊂ I) do m´etodo iterativo zn+1(x) = y0+ (x − x0)y1+
Z x
x0
(x − t)f(t, zn(t)) dt, n = 0, 1, 2, · · · , z0(x) ≡ y0.
SUGEST˜AO: Representando por T o operador definido pelo 2o
membro em C[x0, x0+ ∆], a equa¸c˜ao
integral ´e zn+1= T zn. Apesar de T poder n˜ao ser uma contrac¸c˜ao (para a norma usual) tem-se
|(Tn+1y − Tny)(x)| ≤ Ln∆2n/(2n)!
o que ´e suficiente para garantir a convergˆencia de Tny. O mesmo num intervalo do tipo [x
0− ∆, x0].
Exerc´ıcio 8.6 Qual ´e o dom´ınio da solu¸c˜ao n˜ao prolong´avel dos problemas (i) y0= cos y
1−x2, y(0) = y0?
(ii) y0= cos y
1−x2, y(3) = y0?
Exerc´ıcio 8.7 Consideremos as equa¸c˜oes diferenciais y0 = f (x, y), y0 = g(x, y), em que f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, y-Lipschitzians definidas numa faixa I × R. Supomos ainda f < g em todos os pontos. Se x0∈ I sejam y(x) e z(x) solu¸c˜oes em I da primeira e da segunda equa¸c˜oes, respectivamente,
com y(x0) ≤ z(x0). Provar que y(x) < z(x) ∀x > x0.
Exerc´ıcio 8.8 Seja h uma fun¸c˜ao cont´ınua com per´ıodo T e 0 < h(t) < 1/4 ∀t ∈ R. Mostrar que a equa¸c˜ao x0 = x(1 − x) − h(t) tem duas solu¸c˜oes T -peri´odicas.
Exerc´ıcio 8.9 Consideremos o sistema aut´onomo y0= f (y) onde f ´e localmente Lipschitziana num
aberto G de Rn. Representemos por y(x, ξ) o valor em x da solu¸c˜ao n˜ao prolong´avel que satisfaz a condi¸c˜ao inicial y(0) = ξ.
(i) Mostrar que o dom´ınio de y(·, y(s, ξ)) ´e I − s, onde I ´e o dom´ınio de y(·, ξ).
(ii) Mostrar que, ∀s, t tais que existem y(s, ξ) e y(t + s, ξ), ent˜ao y(t, y(s, ξ)) tamb´em existe e tem-se y(t, y(s, ξ)) = y(t + s, ξ).
(iii) Se y ´e solu¸c˜ao n˜ao prolong´avel e existe T > 0 tal que y(0) = y(T ) e f (y(0)) 6= 0, ent˜ao y ´e solu¸c˜ao peri´odica n˜ao constante.
(iv) Se y ´e solu¸c˜ao com dom´ınio (a, +∞), se existe η := limx→+∞y(x) e η ∈ G, ent˜ao f(η) = 0.
Exerc´ıcio 8.10 Mostrar que todas as solu¸c˜oes n˜ao prolong´aveis do sistema plano
(8.1) (
x0= U (x, y)
y0 = V (x, y)
onde U, V ∈ C1(R2) satisfazem xU (x, y) + y3V (x, y) = 0 ∀x, y, tˆem dom´ınio R.
Exerc´ıcio 8.11 Considerar a equa¸c˜ao de vari´aveis separ´aveis: dx
dt = x − x
3. (E)
(a) Seja φ(t) a ´unica solu¸c˜ao de (E) que verifica a condi¸c˜ao φ(0) = π. Verificar que φ est´a definida num intervalo da forma ]a, +∞[, a < 0. Indicar, justificando, o valor do seguinte limite
lim
t→+∞φ(t),
(N˜ao ´e necess´ario determinar explicitamente φ.) (b) Determinar todas as solu¸c˜oes de (E).
Exerc´ıcio 8.12 Mostrar s˜ao limitadas que todas as solu¸c˜oes do sistema (
x0 = yex
y0= −xex
Exerc´ıcio 8.13 Mostrar que s˜ao limitadas para t > 0 todas as solu¸c˜oes do sistema (
x0 = y − x3
y0= −x − y3
Exerc´ıcio 8.14 Indicar todas as solu¸c˜oes do problema de valor inicial y0= y1/3, y(0) = 0. Notar que
h´a uma maior que todas as outras e uma menor que todas as outras.
Exerc´ıcio 8.15 Sejam y e z duas solu¸c˜oes, definidas no mesmo intervalo, de y0 = f (x, y), onde f ´e real cont´ınua num dom´ınio aberto de R2. Mostrar que min(y(x), z(x)) e max(y(x), z(x)) s˜ao tamb´em
solu¸c˜oes.
Exerc´ıcio 8.16 Seja u uma fun¸c˜ao positiva e C1 tal que u0(t) ≤ Ku(t) ln u(t), a ≤ t ≤ b. Mostrar que u(t) ≤ u(a)eK(t−a)
.
Exerc´ıcio 8.17 Seja f (y) = −y ln y se 0 < y < 1 e defina-se f(y) = 0 noutro caso. Mostrar que y0= f (y) tem uma s´o solu¸c˜ao tal que y(0) = c.
9
Equa¸
c˜
oes lineares de ordem superior a 1. Sistemas
linea-res. Exponencial
Exerc´ıcio 9.1 Determinar a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao x(4)− 2x00+ x = 0.
Exerc´ıcio 9.2 Determinar a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao x000+ x00+ x0= 0. H´a solu¸c˜oes limitadas? Exerc´ıcio 9.3 Determinar a solu¸c˜ao do PVI x00+ x = t, x(0) = 0, x0(0) = 0. Esta equa¸c˜ao tem alguma solu¸c˜ao limitada?
Exerc´ıcio 9.4 A fun¸c˜ao φ1(x) = x ´e, em {x > 0}, solu¸c˜ao da seguinte equa¸c˜ao
x3y000− 3x2y00+ 6xy0− 6y = 0. (∗)
Determinar uma base de solu¸c˜oes para (*) em {x > 0}. Exerc´ıcio 9.5 A equa¸c˜ao de segunda ordem
u00+ a1(x)u0+ a0(x)u = f (x)
transforma-se na equa¸c˜ao equivalente
(eRa1y0)0+ eRa1a
0y = e R
a1f.
E, se a1´e de classe C1 e f ≡ 0, com a transforma¸c˜ao z = ye
1 2
R
a1 obt´em-se a equa¸c˜ao normal sem
termo em y0 z00+ (a 0(x) − 1 2a 0 1(x) − 1 4a1(x) 2)z = 0.
Exerc´ıcio 9.6 Sejam u, v, w as solu¸c˜oes de y000+ y = 0 tais que u(0) = 1, u0(0) = 0, u00(0) = 0; v(0) = 0, v0(0) = 1, v00(0) = 0; w(0) = 0, w0(0) = 0, w00(0) = 1. Verificar que n˜ao ´e necess´ario
determinar explicitamente as solu¸c˜oes para concluir:
u0 = −w; v0= u; w0 = v; W (u, v, w) = u3− v3+ w3+ 3uvw = 1.
Exerc´ıcio 9.7 Sejam p, q, f cont´ınuas num intervalo I. Sejam φ(x), ψ(x) duas solu¸c˜oes linearmente independentes da equa¸c˜ao homog´enea de segunda ordem
u00+ p(x)u0+ q(x)u = 0 e seja W (x) o seu Wronskiano. Mostrar que a solu¸c˜ao de
u00+ p(x)u0+ q(x)u = f (x), u(α) = 0, u0(α) = 0 ´e dada por
u(x) = −W (x)φ(x) Z x α ψ(t)f (t) dt + ψ(x) W (x) Z x α φ(t)f (t) dt. Exerc´ıcio 9.8 Seja z(x) a solu¸c˜ao de
u00+ a1u0+ a0u = 0, u(0) = 0, u0(0) = 1
onde os coeficientes ai s˜ao constantes. Mostrar que y(x) = Z x α z(x − t)f(t) dt ´e a solu¸c˜ao de u00+ a 1u0+ a0u = f (x), u(α) = 0, u0(α) = 0.
Exerc´ıcio 9.9 Determinar a solu¸c˜ao do problema
y0= µ 1 1 0 1 ¶ y, y(0) = µ 4 0 ¶ . Exerc´ıcio 9.10 Determinar a solu¸c˜ao do problema
y0= µ 3 1 0 1 ¶ y, y(0) = µ −1 2 ¶ . Exerc´ıcio 9.11 Determinar a solu¸c˜ao do problema
y0= µ 0 −7 7 0 ¶ y, y(0) = µ 3 1 ¶ . Exerc´ıcio 9.12 Determinar a solu¸c˜ao do problema
y0= µ 3 1 0 3 ¶ y + µ 0 et ¶ , y(0) = µ 1 1 ¶ .
Exerc´ıcio 9.13 Esquematizar as traject´orias das solu¸c˜oes dos sistemas seguintes no plano, procurando evidenciar o comportamento das mesmas perto da origem e no infinito.
( x0 = −5x + 2y y0= x − 4y ( x0 = 2x − y y0= x + 2y ( x0 = −x − 4y y0= 9x + 11y ( x0 = x + y y0= −4x + y ( x0 = 4x − y y0= 14x − 5y
Exerc´ıcio 9.14 Se X(x, t) ´e a matriz especial do sistema linear homog´eneo y0 = Ay no ponto t,
mostrar que
∂X(x, t)
∂t = −X(x, t)A.
Exerc´ıcio 9.15 Verificar que a matriz A = 2 1 −1 −3 −1 1 9 3 −4
tem apenas um valor pr´oprio e que
a sua exponencial ´e eAx= 1 2e−x 2 + 6x − 3x2 2x −2x + x2 −6x 2 2x 18x − 9x2 6x 2 − 6x + 3x2 . Exerc´ıcio 9.16 Se A = µ a −b b a ¶ , mostrar que eAx = eax µ cos(bx) − sin(bx) sin(bx) cos(bx) ¶ . (SU-GEST˜AO: A actua no plano, identificado com C, como a multiplica¸c˜ao por z = a + ib.)
Exerc´ıcio 9.17 Seja A uma matriz 3 × 3 com valores pr´oprios λ1 (de multiplicidade alg´ebrica 2) e λ2. Utilizando a igualdade A − λ2= A − λ1− (λ2− λ1) e o teorema de Cayley-Hamilton
(A − λ1)2(A − λ2) = 0
obt´em-se (A − λ1)j+2= (λ2− λ1)j(A − λ1)2. Concluir que
eAx= eλ1x · I + x(A − λ1) + µ x λ1− λ2 +e (λ2−λ1)x− 1 (λ1− λ2)2 ¶ (A − λ1)2 ¸ .
Exerc´ıcio 9.18 Seja A uma matriz constante tal que aij ≥ 0 sempre que i 6= j. Mostrar que eA
tem todas as entradas ≥ 0. O rec´ıproco vale tamb´em. SUGEST˜AO: as solu¸c˜oes de y0= Ay que tˆem
condi¸c˜ao inicial de componentes ≥ 0 mantˆem-se com valores ≥ 0 no “futuro”.
Exerc´ıcio 9.19 Seja A uma matriz 3 × 3 com valores pr´oprios λ1 (de multiplicidade alg´ebrica 2) e λ2. Suponhamos calculados vectores ~u, ~v, ~w tais que
(A − λ1)~u = 0, (A − λ1)~v = ~u, (A − λ2) ~w = 0. Mostrar que eAx= S eλ1x xeλ1x 0 0 eλ1x 0 0 0 eλ2x S−1 onde S ´e a matriz cujas colunas s˜ao ~u, ~v, ~w.
Exerc´ıcio 9.20 Para o seguinte sistema linear (
x0= −x + 2y
y0 = 2x + 2y
(a) Esquematizar no plano xy as traject´orias de solu¸c˜oes que s˜ao semi-rectas, com indica¸c˜ao do sentido. Determinar a solu¸c˜ao (x(t), y(t)) tal que x(0) = 0, y(0) = 1.
(b) Para esta solu¸c˜ao calcular o valor dos limites limt→±∞y(t)x(t), limt→−∞[y(t)+1
2x(t)] e limt→+∞[y(t)−
2x(t)]. Interpret´a-los na esquematiza¸c˜ao da traject´oria correspondente. 15
Exerc´ıcio 9.21 Verificar que a matriz A = µ
−1 −1/4
1 −2
¶
tem um s´o valor pr´oprio. Atrav´es do c´alculo de eAt, ou por outro m´etodo, dar a solu¸c˜ao do problema de valor inicial
(
x0 = −x −1 4y − 1
y0= x − 2y + 1
x(0) = 1, y(0) = 0. SUGEST˜AO: este sistema tem uma solu¸c˜ao particular constante.
10
Equa¸
c˜
oes com “conserva¸
c˜
ao de energia”. Quest˜
oes de
estabilidade
Exerc´ıcio 10.1 Descrever as solu¸c˜oes limitadas e suas traject´orias no plano de fases para as equa¸c˜oes u00+ 2u − 4u3= 0; u00− 2u + 4u3= 0.
(Nota: o segundo caso todas as solu¸c˜oes tˆem dom´ınio R, enquanto no primeiro algumas solu¸c˜oes tˆem como dom´ınio intervalos limitados.)
Exerc´ıcio 10.2 (a) Para que valores de k ´e limitada a solu¸c˜ao do seguinte problema? u00− 3u5+ 2u3= 0, u(0) = 0, u0(0) = k
Uma tal solu¸c˜ao tem m´aximo e m´ınimo? Em caso afirmativo, como se calculam? Exerc´ıcio 10.3 Considerar a solu¸c˜ao do problema
u00− 2u + 3u2= 0, u(0) = 1/2, u0(0) = b.
Para que valores de b se pode garantir que a a solu¸c˜ao ´e limitada? E quando tem m´aximo e m´ınimo? Como podem estes ser determinados a partir de b?
Exerc´ıcio 10.4 Considerar a solu¸c˜ao do problema u00+ a sin u = 0
(a > 0) que, num dado instante (t = 0, por exemplo) atinge um m´ınimo local com valor −π2. De que
tipo de solu¸c˜ao se trata? Qual ´e o seu m´aximo? Se o m´aximo ´e atingido no instante t1 > 0 e no
intervalo (0, t1) a solu¸c˜ao ´e crescente, escrever uma express˜ao anal´ıtica para t1.
Considerar a solu¸c˜ao do problema u00+u
2eu
2 + ue
u= 0, u(0) = a, u0(0) = b.
Para que valores de a e b se pode garantir que a solu¸c˜ao ´e peri´odica? E nesse caso como podem o m´aximo e o m´ınimo da solu¸c˜ao ser determinados? OBSERVAC¸ ˜AO: u2eu ´e uma primitiva de
Exerc´ıcio 10.5 Verificar que o sistema (
x0= x(4 − 2x − y)
y0= y(5 − 5y − x) tem as solu¸c˜oes constantes (“equil´ıbrios”)
(0, 0), (2, 0), (0, 1) e (5/3, 2/3). Pode afirmar-se que algum deles ´e exponencialmente est´avel? Nota: sistemas deste tipo aparecem em modelos matem´aticos para duas esp´ecies em competi¸c˜ao. Exerc´ıcio 10.6 Verificar que, para a equa¸c˜ao do pˆendulo simples com atrito
u00+ cu0+ a sin u = 0
(onde c e a s˜ao n´umeros positivos), a solu¸c˜ao nula ´e exponencialmente est´avel. Exerc´ıcio 10.7 Considerar o problema de valor inicial
u00+ cu0− u2+ u = 0, u(0) = 1/2), u0(0) = b.
Para que valores de b se pode garantir que a solu¸c˜ao tem limite quando t → +∞? Qual ´e o limite? Exerc´ıcio 10.8 Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1 tal que f (u)(u2− 1) > 0 ∀u 6= ±1. Suponha-se ainda que F (u) =Ru
0 f (s) ds satisfaz:
∃k > 1 F (k) = F (−1). Considere-se a solu¸c˜ao de
u00+ cu0+ f (u) = 0
(onde c > 0) que satisfaz u(0) = a, u0(0) = 0. Mostrar que se −1 < a < k a solu¸c˜ao tem limite
quando t → +∞ e indic´a-lo.
Exerc´ıcio 10.9 Considerar a equa¸c˜ao de segunda ordem n˜ao linear u00+ ue−u2− u3e−u2 = 0.
Indicar as suas solu¸c˜oes constantes. Que condi¸c˜ao deve satisfazer o n´umero a para que a solu¸c˜ao com condi¸c˜oes iniciais u(0) = a, u0(0) = 0 seja peri´odica? Quais s˜ao o m´aximo e o m´ınimo desta solu¸c˜ao?
OBSERVAC¸ ˜AO: u2e−u2
´e uma primitiva de 2ue−u2
− 2u3e−u2
. (b) A solu¸c˜ao do problema
u00+ u0+ ue−u2− u3e−u2 = 0, u(0) = 1/2, u0(0) = 0 tem limite quando t → +∞? Qual ´e o valor do limite?
Exerc´ıcio 10.10 (a) A matriz A = −1 −1 5 1 −5 1 0 1 −4
tem valores pr´oprios λ1 ≈ −4.57638 +
0.549684i, λ2≈ −4.57638 − 0.549684i, λ3≈ −0.847242.
Qual das seguintes asser¸c˜oes ´e verdadeira e porquˆe? (i) existe C > 0 tal que |eAt| ≤ C
1+t10 ∀t ≥ 0.
(ii) existe C > 0 tal que para |eAt| ≤ Ce−0.85t ∀t ≥ 0.
(b) Seja u(·, β) = (x(·, β), y(·, β), z(·, β)) a solu¸c˜ao do sistema n˜ao linear x0= −x − y + 5z + sin(xy) y0 = x − 5y + z + y(ex− 1) z0= y − 4z − yz
tal que u(0, β) = β. H´a valores de β ∈ R3 e s > 0 tais que lim
t→+∞est|u(t, β)| = 0? Explicar.
11
Quest˜
oes elementares de equa¸
c˜
oes com derivadas
par-ciais
Exerc´ıcio 11.1 Determinar a solu¸c˜ao geral de xux− yuy+ u = x; xyux− x2uy− yu = xy. Exerc´ıcio 11.2 Determinar a solu¸c˜ao do problema ux+ uy+ u = ex+2y, u(x, 0) = 0.
Exerc´ıcio 11.3 Determinar a solu¸c˜ao do problema xuy−yux= u, u(x, 0) = h(x), onde h ∈ C1(R).
Exerc´ıcio 11.4 Mostrar que n˜ao existe solu¸c˜ao u, de classe C1 numa vizinhan¸ca da origem, para a
equa¸c˜ao xux+ yuy= 1.
Exerc´ıcio 11.5 Seja u solu¸c˜ao de a(x, y)ux+ b(x, y)uy + u = 0 num aberto que cont´em a bola unit´aria fechada ¯B de R2. As fun¸c˜oes a e b satisfazem a(x, y)x + b(x, y)y > 0 ∀(x, y) tais que
x2+ y2= 1. Provar que u ≡ 0. SUGEST˜AO: min ¯
Bu = maxB¯u = 0.
Exerc´ıcio 11.6 Determinar a solu¸c˜ao do problema misto ut= βuxx, 0 < x < L, t > 0 ux(0, t) = ux(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L onde f ´e C1 em [0, L].
Exerc´ıcio 11.7 Determinar a solu¸c˜ao do problema misto (onde p ´e uma fun¸c˜ao dada, cont´ınua em [0, L]) ut= βuxx+ p(x), 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = U1, u(L, t) = U2, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L SUGEST˜AO: a solu¸c˜ao ´e da forma
u(x, t) = v(x) + w(x, t)
onde v, w s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial e v verifica as condi¸c˜oes de fronteira. Portanto w verificar´a as condi¸c˜oes de fronteira homog´eneas (U1e U2 substitu´ıdos por 0) e a condi¸c˜ao inicial.
Exerc´ıcio 11.8 Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema misto ut= uxx+ e−x, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin 2x, 0 < x < L seguindo a sugest˜ao do problema anterior.
Exerc´ıcio 11.9 Determinar a solu¸c˜ao dos problemas ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = L/2 − |x − L/2|, 0 < x < L e ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = x(L − x), 0 < x < L
Exerc´ıcio 11.10 Determinar a solu¸c˜ao do problema utt= uxx, x ∈ R, t ∈ R u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 1
Exerc´ıcio 11.11 Determinar a solu¸c˜ao do problema utt= 4uxx, 0 < x < π, t ∈ R u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t u(x, 0) = sin 5x, ut(x, 0) = x(π − x); ∀x ∈ (0, π)
Qual ´e o valor de u(1, 10)?
Exerc´ıcio 11.12 Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema utt= 4uxx, 0 < x < 1, t ∈ R u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t u(x, 0) = x(1 − x), ut(x, 0) = x(1 − x2); ∀x ∈ (0, 1).
Qual ´e a regularidade da solu¸c˜ao que se obteve? Qual ´e o valor de u(1/2, 2)? Exerc´ıcio 11.13 Considerar o problema
utt= c2uxx, x ∈ R u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x); ∀x.
Supondo que φ0, φ1 se anulam fora do intervalo (−1, 1), para que valores de x pode ser a solu¸c˜ao u
diferente de zero quando t = 1, 2 ou 10?
Exerc´ıcio 11.14 Determinar a fun¸c˜ao harm´onica no disco BRque tem na fronteira os valores dados pela fun¸c˜ao:
(a) g(Reit) = 1 + 3 sin t; (b) g(Reit) = sin3t; (c) g(x, y) = x2.
Exerc´ıcio 11.15 Verificar que logpx2+ y2´e harm´onica em R2\0. Determinar uma fun¸c˜ao harm´onica
no anel a < |(x, y)| < b e que tome em cada uma das circunferˆencias que constituem a fronteira um valor constante, dado.
Exerc´ıcio 11.16 Se u ´e uma fun¸c˜ao harm´onica, n˜ao constante, ent˜ao u2 n˜ao ´e harm´onica.
Exerc´ıcio 11.17 Exprima-se uma fun¸c˜ao harm´onica em coordenadas polares: u(r, θ). Mostrar que, se u n˜ao depende de θ (dizemos que ´e uma fun¸c˜ao radial) ent˜ao
urr+
1 rur= 0.
Utilizar esta equa¸c˜ao para identificar as fun¸c˜oes harm´onicas radiais.
Exerc´ıcio 11.18 Se uma fun¸c˜ao u ´e harm´onica num aberto D do plano e (x0, y0) ∈ D, ent˜ao
u(x0, y0) = 1
2π Z
γ
u(x, y) ds
onde γ ´e uma circunferˆencia de centro (x0, y0) e raio r tal que o disco Br(x0, y0) est´a contido em D.
(ds representa a integra¸c˜ao com respeito ao comprimento de arco). NOTA: o mesmo resultado ´e v´alido supondo apenas u harm´onica em Br(x0, y0) e cont´ınua em Br(x0, y0).
Exerc´ıcio 11.19 Do exerc´ıcio anterior concluir: uma fun¸c˜ao harm´onica num aberto D e cont´ınua em ¯
