MODELO MATEMÁTICO ARIMAX DE UM
PROPULSOR ELETROMECÂNICO UTILIZADO
EM NAVES DO TIPO MULTIRROTOR
Leila Ana Valer
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Manuel Martín Pérez Reimbold Dsc. Orientador
Ijuí, RS, Brasil c
MODELO MATEMÁTICO ARIMAX DE UM
PROPULSOR ELETROMECÂNICO UTILIZADO
EM NAVES DO TIPO MULTIRROTOR
Leila Ana Valer
Dissertação de Mestrado apresentada em Abril, 2016
Manuel Martín Pérez Reimbold Dsc. Orientador
Ijuí, RS, Brasil, Abril, 2016
Ainda que a minha mente e meu corpo enfraqueçam, Deus é a minha força, Ele é tudo o que eu preciso. Salmo 73:26
Agradecimentos
À Deus pela vida, serenidade, força e fé.
Aos meus pais, Deocir e Maria, por acreditar em meu sonho e apoiar de forma incon-dicional para que se tornasse realidade.
Às minhas irmãs Luciane e Lucimara, meus cunhados Lauro e Diego, meus sobrinho Kauã e sobrinha Nathalia, pelo incentivo, conforto e torcida pelo meu sucesso.
Ao meu professor orientador Manuel Martín Pérez Reimbold, pelos ensinamentos, pela con ança, pela motivação e compreensão. Um exemplo de pessoa e pro ssional que quero seguir. Minha eterna gratidão.
À todos os professores do mestrado pelos ensinamentos.
Aos colegas da turma 2014 e demais colegas pela amizade e trocas de experiências. De forma especial, aqueles que se tornaram amigos e que me incentivaram a continuar o curso: Jenni, Gui, Rita, Douglas e Márcia.
À Geni, pela atenção, disponibilidade e amizade. À UNIJUÍ e ao GAIC, pela estrutura física. À FAPERGS pelo apoio nanceiro.
Resumo
As aeronaves do tipo multirrotor vêm sendo utilizadas como plataforma padrão para o estudo da motricidade e percepção espacial. A capacidade de decolagem e aterrissagem de modo vertical, bem como sua navegação horizontal são desa os de investigação na área de controle. Isto demanda a obtenção do modelo matemático do conjunto de propulsão eletromecânico. Assim, surge a necessidade de compreender e modelar matematicamente a dinâmica deste sistema de forma a otimizar, posteriormente, o seu controle. Portanto, o objetivo deste trabalho é obter o modelo matemático do sistema de propulsão eletro-mecânico, usando para tal a teoria de identi cação de sistemas. A metodologia utilizada consiste na compreensão do sistema de propulsão e construção da plataforma de testes para a coleta de dados. Seguida da aplicação de testes de estacionariedade para a análise dos dados, e cálculo das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial para deter-minação da estrutura e ordem do modelo. Posteriormente, os parâmetros são estimados pelo método de mínimos quadrado estendido. Por m, pela comparação da simulação do modelo com os dados da plataforma e a análise residual, o modelo é validado. Diante disso, conclui-se que o modelo proposto é capaz de descrever as características do sistema de propulsão eletromecânico e poderá contribuir para novas técnicas de controle.
Palavras-chave: Identi cação de Sistemas, Testabilidade, Aeronaves VTOL.
Abstract
Multirotor aircrafts are being utilized as standard platform in the study of motivity and spatial perception. The lito capacity and vertical landing, as well as its horizontal navigation, are challenges of investigation in the control area. This demands the obtain-ment of the mathematical model of the electromechanical propulsion set. In this regard the necessity of comprehending and modelling mathematically the dynamics of this sys-tem in order to later optimize its control arises. Therefore, the goal of this study is to obtain the mentioned mathematical model by using the theory of system identi cation. The methodology used consists of comprehending the propulsion system and then building the test platform to collect data. All these procedures are followed by the application of stationarity tests to analyze the collected data and calculus of the autocorrelation functi-ons and partial autocorrelation to determine the model± structure and order. Later, the parameters are estimated by the extended least squares method. In the end, by compa-ring the simulation model with the platform data and the residual analysis, the model is validated. This way, it is possible to conclude that the proposed model is capable of describing the electromechanical propulsion system and may, therefore, contribute to new control techniques.
Keywords:System identi cation, Testability, VTOL Aircrafts.
Lista de Abreviaturas
Siglas - Inglês - Português
ACF - Autocorrelation function - Função de Autocorrelação ADF - Augmented Dickey & Fuller - Dickey e Fuller Aumentado
AIC - Akaike's Information Criterion - Critério de Informação de Akaike AR - Autoregresive - AutoRregressivo
ARMA - AutoRegressive Moving Average - AutoRregressivo Média Móvel
ARX - AutoRegressive Exogenous inputs - AutoRregressivo com Entradas Exógenas ARMAX - AutoRegressive Moving Average Exogenous inputs - AutoRregressivo Média Móvel com Entradas Exógenas
ARIMA - AutoRegressive Integrated Moving Average - AutoRregressivo Integrado Mé-dia Móvel
ARIMAX - AutoRegressive Integrated Moving Average Exogenous inputs - AutoRre-gressivo Integrado Média Móvel com Entradas Exógenas
ARIX - AutoRegressive Integrated Exogenous inputs - AutoRregressivo Integrado com Exógenas
BJ - Box Jenkins - Box Jenkins
BLDC - Brushless Direct Current - Corrente Contínua sem escovas vii
DC - Direct Current - Corrente Contínua D - Duty cicle - Ciclo de trabalho
ESC - Eletronic Speed Controler - Controlador Eletrônico de Velocidade FCC - Function Cross Correlation - Função de Correlação Cruzada FIR - Finite Impulse Response - Resposta Finita ao Impulso
FT - Transfer Function - Função de Transferência
GAIC - Group Industrial Automation and Control - Grupo de Automação Industrial e Controle
KPSS - Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin - Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin LS - Least Squares - Mínimos Quadrados
LSE - Least Squares Extended - Mínimos Quadrados Estendidos GLS - Generalized Least Squares - Mínimos Quadrados Generalizados OE - Output Error - Erro na Saída
PP - Philips & Perron - Philips & Perron PC - Personal Computer - Computador pessoal
PID - Proportional Integral Derivative - Proporcional Integral Derivativo PVC - Polyvinyl chloride - Policloreto de Vinila
PWM - Pulse Width Modulation - Modulação por Largura de Pulso MA - Moving Average - Média Móvel
MEMS - Microelectromechanical Systems - Sistemas microeletromecânicos
NARX - Nonlinear Autoregresive Modelo with Exogenous Inputs - Modelo Não-linear Autorregressivo, com entradas Exógenas
RPM - Rotation Per Minute - Rotações Por Minuto RV - Rakhmatov e Vrudhula - Rakhmatov e Vrudhula
SARIMA - Seasonal Auto Regressive Integrated with Moving Average - AutoRregres-sivo Integrado Média Móvel Sazonal
UNIJUI - Regional State University of Northwestern Rio Grande do Sul - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
IV - Instrumental Variables - Variáveis Instrumentais
VTOL - Vertical take-o and landing - Decolagem e pouso vertical USB - Universal Serial Bus - Barramento serial universal
Lista de Símbolos
A - Amperes
w - Amplitude do intervalo α - Ângulo de ataque do aerofólio Φ- Ângulo de deslizamento da pá β - Ângulo geométrico da pá γ - Ângulo da força resultante
β1 - Coe ciente de deslocamento (drift) no teste ADF
β2 - Coe ciente de tendência (trend) no teste ADF
δ - Coe ciente de presença de raiz unitária no teste ADF dL - Componente de sustentação
N - Comprimento do registro dos dados disponíveis CL - Coe cientes de lift
CD - Coe cientes de drag
CT - Coe ciente de empuxo
CQ - Coe ciente de torque
b0, b1, b2, · · · , br - Coe ciente da variável exógena
T - Conjunto de índices de uma série temporal
β(k) - Constante de proporcionalidade para teste de linearidade D - Constante do teste de linearidade
r - Comprimento radial c- Corda do elemento
IESC - Corrente consumida pelo ESC
γt - Covariância na defasagem k
ρ - Densidade do ar D - Diâmetro da hélice
VESC - Diferença de potencial do ESC
CO2 - Dióxido de Carbono
N ∼ (0, σ2) - Distribuição normal
µt IIDN (0, σµ2) - Distribuição normal identicamente distribuída
u(k) - Entrada externa no sistema SE(ˆδ) - Erro padrão de ˆδ
εt - Erro de estacionariedade do teste KPSS
E[.]- Esperança matemática
F (0, 1) - Estatística F
τ - Estatística tau do teste ADF LM - Estatística do teste KPSS f - Frequência dada em (Hz) ˆ
ρk - Função de Autocorrelação na defasagem k
wj(s) - Função peso
H(q)- Função de transferência do processo G(q)- Função de transferência do ruído
na, nb, nc, ndenf - Graus dos polinômios A, B, C, D, F
h0 - Hipótese nula dos testes ADF e KPSS
dT - Incremento de força propulsiva dF - Incremento de força resistiva dQ - Incremento de torque resistivo δ - Índice do grau de linearidade Tp - Largura do pulso PWM
s- Lag do truncamento do estimador do erro da variância da regressão do teste KPSS Pk - Matriz de autocorrelação
µ- Média de uma distribuição normal ˆ
y - Média amostral
s - Número de atraso da série para o teste ADF k - Número de observações
ϕ(q)- Operador autorregressivo não-estacionário ∆- Operador de primeira diferença
∆yt - Operador das diferenças
q - Operador de atraso d - Ordem de integração
p, d, q, r - Ordem do modelo ARIMAX
a0, a1, a2, · · · , ap - Parâmetros do processo AR
c0, c1, c2, · · · , cq - Parâmetros do processo MA
A(q), B(q), C(q), D(q)eF (q) - Polinômios arbitrários rt - Passeio aleatório
εt - Processo de covariância estacionário com média zero
δi, · · · , δq - Raízes do polinômio Característico
dD - Resultante de forças dR - Resultante de forças N - Rotação da hélice v(k)- Ruído branco
ε(k)- resíduo do modelo Yt - Série temporal estocástica
yt - Série de saída
Xt - Série de entrada
N - Tamanho da amostra de dados
TON - Tempo que a carga é mantida ativa
ξDt - Tendência determinística do modelo do teste KPSS
TOF F - Tempo que a carga está desativada
ut - Termo de erro de ruído branco
t(1) - Teste t
k1, k2 - Valores constantes
smax - Valor máximo para m no teste ADF
σ2 - Variância
u1, u2, uk - Variáveis de entradas do sistema
y1, y2, yk - Variáveis de saídas do sistema
VR - Velocidade resultante
Vt - Velocidade tangencial da pá
V0 - Velocidade de voo da aeronave
V - Velocidade da aeronave
Vr - Velocidade resultante 2π
60rN - Velocidade tangencial
Lista de Tabelas
1.1 Vantagens e desvantagens das diferentes con gurações de multirrotores [2]. 8
2.1 Características físicas dos componentes da plataforma . . . 17
3.1 Classi cação e comportamento não-linear [36]. . . 29
4.1 Resultado dos teste ADF e KPSS para série de saída . . . 68
4.2 Resultado dos teste ADF e KPSS para série de saída diferenciada . . . 70
4.3 Resultado dos testes ADF e KPSS para série de entrada . . . 71
4.4 Resultado do teste ADF e KPSS para os dados de entrada diferenciada. . . 72
4.5 Parâmetros do modelo ARIMAX(4,1,4,1) . . . 75
Lista de Figuras
1.1 Áreas de aplicações de aeronaves não tripuladas. . . 6
1.2 Diferentes con gurações de multirrotores [3]. . . 7
2.1 Sistema de propulsão eletromecânico . . . 12
2.2 Força resultante no aerofólio da pá de uma hélice [7]. . . 12
2.3 Componentes de velocidade e ângulos de escoamento [7]. . . 13
2.4 Motor brushless DC . . . 14
2.5 Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC [2]. . . 15
2.6 Forma da onda PWM [2]. . . 15
2.7 Variações do Duty cycle [2]. . . 16
2.8 Plataforma Experimental [2]. . . 16
2.9 Programa Computacional [2]. . . 17
2.10 Motor brushless e sensor óptico [2]. . . 18
2.11 Dados do sistema. . . 18
3.1 Diagrama representativo da identi cação de sistemas [27]. . . 23
3.2 Exemplo de série com tendência linear . . . 26
3.3 Exemplo de sazonalidade . . . 27
3.4 Série estacionária . . . 29
3.5 Exemplo de série não estacionária . . . 30
3.6 Análise do cruzamento dos resultados dos testes KPSS e ADF . . . 34
3.7 Diagrama da classi cação do modelo linear ARIMAX de acordo com a ordem 37 3.8 Diferentes representações do modelo ARIMA . . . 38
3.9 Processo assumido por Box e Jenkins [29] . . . 39
3.10 Efeitos de intervenções [29] . . . 44
3.11 Funções de Intervenção . . . 44
3.12 Representação de um sistema dinâmico simples . . . 45
3.13 Função de transferência para p = 0. . . 47
3.14 Função de transferência para p = 1. . . 48
3.15 Função de transferência para p = 2. . . 48 1
Lista de Figuras 2
3.16 Comportamento de alguns modelos ARIMA(p,d,q) [25]. . . 54
3.17 Fluxograma da metodologia utilizada . . . 62
4.1 Corrente em função da largura do pulso PWM (Duty Cycle) [2] . . . 66
4.2 Dados para estimação do modelo: (a) saída e (b)entrada . . . 66
4.3 Dados para validação do modelo: (a)saída e (b) entrada . . . 67
4.4 Grá co dos dados de saída após uma diferenciação. . . 69
4.5 Grá co dos dados de entrada após uma diferenciação. . . 71
4.6 Grá co da FAC da saída diferenciada . . . 73
4.7 Grá co da FACP da saída diferenciada . . . 74
4.8 Grá co da PACF da entrada diferenciada . . . 75
4.9 Grá co do modelo estimado ARIMAX(4,1,4,1) e dos dados medidos . . . . 76
4.10 Grá co do erro do modelo estimado em relação a saída . . . 77
4.11 Grá co da autocorrelação residual . . . 77
4.12 Grá co da correlação cruzada entrada/resíduo . . . 78
B.1 Teste de simetria para um modelo linear . . . 88
B.2 Teste de simetria para um modelo não-linear . . . 89
C.1 Teste de dependência de amplitude para um modelo linear . . . 90
C.2 Teste de dependência de amplitude para um modelo não-linear . . . 91
E.1 Comandos utilizados para estimar o modelo . . . 93
Sumário
1 Introdução 6 1.1 Considerações Iniciais . . . 6 1.2 Motivação . . . 9 1.3 Objetivos . . . 9 1.3.1 Objetivo Geral . . . 9 1.3.2 Objetivos Especí cos . . . 9 1.4 Expectativas . . . 9 1.5 Estrutura do Documento . . . 102 O Sistema Propulsor Eletromecânico 11 2.1 Introdução . . . 11
2.1.1 Princípio de funcionamento do sistema de propulsão eletromecânico 11 2.1.2 A Hélice . . . 12
2.1.3 Motor BLDC (Brushless Direct Current) . . . 14
2.1.4 O ESC - Eletronic Speed Controler . . . 14
2.2 Plataforma Experimental . . . 16
2.3 Contribuições anteriores . . . 19
3 Identi cação de sistemas 22 3.1 Introdução . . . 22
3.2 Conceitos básicos sobre séries temporais . . . 24
3.2.1 Tendência . . . 26
3.2.2 Sazonalidade . . . 27
3.2.3 Linearidade . . . 28
3.2.4 Estacionariedade . . . 29
3.2.5 Teste de estacionariedade ADF . . . 31
3.2.6 Teste de estacionariedade KPSS . . . 32
3.2.7 Transformação da série em estacionária . . . 34
3.3 Representações Lineares Autorregressivas . . . 35 3
Sumário 4
3.3.1 Modelos Autorregressivos Uni variados . . . 38
3.4 Modelos Autorregressivos Multi variados . . . 43
3.4.1 Análise de Intervenção . . . 43
3.4.2 Modelo de Função de Transferência . . . 45
3.4.3 Modelo AutoRregressivo Integrado Média Móvel com Entradas Exó-genas (ARIMAX) . . . 48
3.5 Determinação da Estrutura . . . 51
3.5.1 Função de Autocorrelação (ACF) . . . 52
3.5.2 Função de Autocorrelação Parcial (PACF) . . . 53
3.5.3 Função de Correlação Cruzada (FCC) . . . 54
3.6 Estimação de Parâmetros . . . 56
3.6.1 Método de Mínimos Quadrados (LS) . . . 56
3.6.2 Método de Mínimos Quadrados Estendido (LSE) . . . 58
3.7 Validação do modelo . . . 60
3.7.1 Métodos Subjetivos - Simulação e Análise Residual . . . 60
3.7.2 Métodos Quantitativos - Indicadores Estatísticos . . . 61
3.8 Fluxograma da metodologia . . . 62
3.8.1 Aspectos computacionais da metodologia . . . 62
3.8.2 Estimação e Validação do modelo . . . 64
4 Resultados e Discussões 65 4.1 Coleta e processamento dos conjuntos de dados do sistema . . . 65
4.2 Análise dos dados de saída . . . 67
4.3 Análise dos dados de entrada . . . 70
4.4 Análise das Funções de Autocorrelção (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF) . . . 73
4.5 Estimação do modelo . . . 75
4.6 Validação do modelo . . . 76
5 Conclusão 79 5.1 Considerações nais . . . 79
5.2 Proposições para trabalhos futuros . . . 80
Referências Bibliográ cas 82
A Teste do princípio de superposição e homogeneidade 87
Sumário 5
C Teste de Dependência de Amplitude de Entrada 90
D Excitação do sistema com entradas periódicas 92
E Comandos utilizados para a estimação do modelo 93
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações Iniciais
Os veículos não tripulados são veículos de pequeno porte caracterizados pela ausência física de um controlador, sendo, por isso, utilizados em situações que possam acarretar perigo à vida humana. Estes veículos são encontrados nos meios terrestre, aquático e/ou subaquático e aéreo. No entanto, este estudo se restringe aos veículos aéreos.
Em aeronaves não tripuladas, a ausência do piloto embarcado possibilita a redução do tamanho, menor custo de fabricação e manutenção e maior exibilidade nas manobras. Quanto ao deslocamento da aeronave, ele pode ser realizado de forma autônoma através de uma rota pré programada, por controle remoto ou por uma combinação de ambos os sistemas. A combinação dos dois sistemas é utilizada quando se quer um meio termo entre complexidade e custo [1].
Figura 1.1: Áreas de aplicações de aeronaves não tripuladas.
As primeiras aeronaves foram desenvolvidas pelos militares, onde eram utilizadas para espionar o inimigo nas guerras, sem causar risco humano. Atualmente, estas naves vêm sendo aplicadas também no meio civil, em diversas áreas, com a nalidade de scalizar,
Capítulo 1. Introdução 7 inspecionar e monitorar através de lmagens e imagens aéreas. A gura 1.1 ilustra algumas das atuais aplicações.
As naves são concebidas de acordo com sua função, podendo ser propulsionadas por motores de combustão, motores a jato ou elétricos. Neste documento, será tratado, ex-clusivamente de naves com motores elétricos, mais especi camente, os multirrotores.
Os multirrotores são caracterizados por possuírem em sua estrutura múltiplos rotores ou múltiplos motores. Diferentes modelos são projetados considerando a quantidade e o posicionamento de seus rotores. O funcionamento da aeronave é dependente desta distribuição [2]. Os motores podem ser posicionados na estrutura em forma de "I", "X", "IY", "Y"e "V". A gura 1.2 ilustra as diferentes con gurações de multirrotores.
Figura 1.2: Diferentes con gurações de multirrotores [3].
As con gurações, em geral, permitem que as aeronaves decolem e aterrissem de modo vertical. Esta característica, juntamente com capacidade de navegação em horizontal, são desa os de investigação na área de controle de navegabilidade. Isto justi ca o seu uso como plataforma padrão de estudo nesta área.
Capítulo 1. Introdução 8 na parte frontal e as con gurações em "X", "Y"e "V"(X4, X6, Y6, V8 e X8) possuem dois motores na parte frontal. Dentre os modelos apresentados na gura 1.2 existem as aeronaves do tipo coaxial, cuja estrutura é representada pelas con gurações IY6, Y6 e X8.
A aeronave coaxial possui um rotor na parte inferior e outro na parte superior girando em sentidos opostos. Vale ressaltar que a quantidade mínima de rotores para um voo estável é três, portanto não é apresentado a con guração com dois rotores [4].
Tabela 1.1: Vantagens e desvantagens das diferentes con gurações de multirrotores [2].
Tipo Núm. de rotores Coaxial Vantagens Desvantagens
Y 3 Não Baixo Custo Sem proteção contra fa-lhas
I4 4 Não Simplicidade e baixo custo Sem proteção contra fa-lhas
X4 4 Não Simplicidade e baixo custo Sem proteção contra fa-lhas
I6 6 Não Limitada proteção contra falha e grande capacidade de carga
Grandes dimensões e pre-ços elevados
X6 6 Não Limitada proteção contra falha e grande capacidade de carga
Grandes dimensões e pre-ços elevados
Y6 6 Sim Pequeno, boa estabilidade
e resistência ao vento Baixa e ciência e mecanis-mos complexos IY6 6 Sim Pequeno, boa estabilidade
e resistência ao vento Baixa e ciência e mecanis-mos complexos I8 8 Não Proteção contra falhas e
potente Grandes e caros V8 8 Não Proteção contra falhas e
potente Grandes e caros X8 8 Sim Atinge grandes altitudes e
resistência ao vento Ine ciente
A estrutura de multirrotor que vem sendo adotada como plataforma padrão na pes-quisa de mobilidade e percepção tridimensional é o quadrirrotor [2]. O quadrirrotor mesmo possuindo algumas limitações, apresenta melhor custo benefício dentre as demais con -gurações. Isto pode ser visto na tabela 1.1 onde são apresentadas as principais vantagens e as desvantagens de cada uma das con gurações apresentadas na gura 1.2.
De acordo com a tabela 1.1 observa-se que não há proteção contra falhas no funcio-namento de algumas aeronaves. Assim, em alguns modelos, a falha de um dos rotores pode desestabilizar a aeronave e provocar queda e, consequentemente, a perda total do equipamento. Uma forma de solucionar este problema é conceber controladores e cientes que consigam reverter e estabilizar esta falha rapidamente. Entretanto, para desenvolver sistemas de controle é necessário conhecer primeiramente a dinâmica comportamental de cada propulsor.
Capítulo 1. Introdução 9
1.2 Motivação
As aeronaves do tipo multirrotor vêm sendo utilizadas como plataforma padrão para o estudo da motricidade e percepção espacial. Estas aeronaves possuem a capacidade VTOL (Vertical take-o and landing), ou seja, a capacidade de decolar e aterrissar de maneira vertical e ao mesmo tempo conseguem realizar o voo pairado. Estas duas características trazem uma in nidade de desa os de investigação na área de controle. Isto requer a obtenção do modelo matemático do conjunto de propulsão. Deste modo, para evitar problemas de navegação é fundamental que cada propulsor esteja operando corretamente. Assim, surge a necessidade de compreender e modelar matematicamente a dinâmica deste sistema de modo que se possa, a posteriori, otimizar o seu controle.
1.3 Objetivos
Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para melhor compreensão, encontram-se divididos em Objetivo Geral e Objetivos Especí cos, detalhados a seguir.
1.3.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é propor um modelo matemático autorregressivo que represente a dinâmica de um propulsor eletromecânico utilizado em naves do tipo multir-rotor, através de uma sequência metodológica de testes aplicados nos dados de entrada e saída do sistema.
1.3.2 Objetivos Especí cos
Para alcançar o objetivo geral, alguns objetivos especí cos são necessários:
• Estabelecer uma sequência metodológica de testes aplicados sobre os dados obtidos na primeira fase da técnica de identi cação de sistemas;
• Obter critérios para a escolha da representação do modelo;
1.4 Expectativas
São expectativas deste trabalho:
• Contribuir para o enriquecimento da literatura de identi cação de sistemas, especi-almente na análise de dados para a escolha da representação do modelo;
Capítulo 1. Introdução 10 • Obter um modelo matemático autorregressivo de um propulsor eletromecânico para
auxiliar futuramente no projeto e desenvolvimento dos mesmos.
1.5 Estrutura do Documento
Este trabalho está organizado conforme a estrutura a seguir:
No Capítulo 2 caracteriza-se o sistema de propulsão eletromecânico. Inicialmente, descreve-se o funcionamento do sistema de propulsão eletromecânico e, em seguida, indi-vidualmente os componentes do mesmo. Ainda neste capítulo, aborda-se a plataforma de testes utilizada neste trabalho e por m relata-se alguns trabalhos relacionados ao sistema e a teoria de identi cação de sistemas.
No Capítulo 3 aborda-se as etapas da identi cação de sistemas. Primeiramente, faz-se o estudo de séries temporais e de testes de estacionariedade para análifaz-se de dados, a m de obter critérios de escolha para a representação e estrutura dos modelos linea-res autorreglinea-ressivos. Seguindo, realiza-se o estudo da análise de intervenção e descrição dos principais modelos lineares. Por m, descreve-se sobre o algoritmo de estimação de parâmetros e os métodos de validação.
No Capítulo 4 refere-se ao estudo de caso do sistema de propulsão eletromecânico utilizado em multirrotores. No primeiro momento apresenta-se a metodologia adotada no trabalho e, em seguida, aplica-se os estudos do capítulo 3 para a obtenção do modelo. Neste capítulo faz-se a análise dos resultados e as discussões referente ao estudo de caso. E nalmente, no Capítulo 5 relata-se as conclusões deste trabalho, bem como as con-tribuições e sugestões para futuros trabalhos.
Capítulo 2
O Sistema Propulsor Eletromecânico
2.1 Introdução
O sistema de propulsão eletromecânico aplicado em multirrotores é constituído por uma hélice, por um motor elétrico de corrente contínua brushless e por um controlador de velocidade ESC (Eletronic Speed Controler). O controle dos movimentos do multirrotor depende do bom funcionamento deste conjunto [2]. Desta forma, torna-se necessário com-preender o seu funcionamento e conhecer os parâmetros envolvidos para, posteriormente, desenvolver controles de movimentos mais e cientes. Portanto, neste capítulo apresenta-se os componentes deste sistema, a plataforma de testes e alguns trabalhos relacionados a este estudo.
Este capítulo está dividido como segue. Na Seção 2.1.1 aborda-se o princípio de funci-onamento do sistema de propulsão eletromecânico. Na seção 2.1.2 trata-se da caracteriza-ção e funcionamento da hélice utilizada no sistema. Na secaracteriza-ção 2.1.3 caracteriza-se o motor elétrico brushless e sua funcionalidade. Na seção 2.1.4 relata-se o que é ESC e quais são as suas funções no sistema. Na Seção 2.2 caracteriza-se a plataforma de testes e descreve-se seu funcionamento. Por m, na seção 2.3 relata-se alguns trabalhos relacionados a este estudo.
2.1.1 Princípio de funcionamento do sistema de propulsão
eletro-mecânico
O sistema de propulsão eletromecânico é dividido em três módulos: O gerador de PWM (Modulação por largura de pulso - Pulse Width Modulation), o controlador de velocidade ESC e o conjunto motor-hélice de acordo com a gura 2.1. O gerador de PWM é responsável por enviar um sinal de tensão para o ESC. O ESC ao receber este sinal, o divide em três outros sinais, normalmente trapezoidais e defasados entre si em
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 12 120o. Estes sinais ampli cados energizam os enrolamentos do motor brushless de forma
comutativa gerando um campo eletromagnético. Por meio do campo eletromagnético entre o enrolamento energizado e os imãs permanentes ocorre a rotação do motor. Ao eixo do rotor está conectada uma hélice que, ao girar, desloca a aeronave. A energia para este funcionamento é fornecida por uma bateria.
Figura 2.1: Sistema de propulsão eletromecânico
A seguir aborda-se, de maneira informativa, as características relevantes de cada com-ponente do sistema de propulsão eletromecânico. Cabe ressaltar que não será abordado as equações que regem os fenômenos físicos destes componentes, deixando este estudo para futuros trabalhos.
2.1.2 A Hélice
A hélice é o elemento propulsivo do sistema de propulsão elétrico de uma aeronave, conforme ilustra a gura 2.2. A e ciência do sistema de propulsão está diretamente ligada a escolha adequada da hélice [5]. Sua função é converter o binário do motor em empuxo, in uenciando na escolha do tamanho e do peso máximo do multirrotor [6].
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 13 A resultante aerodinâmica do aerofólio é decomposta na direção de voo em força propulsiva da hélice, denominada tração ou empuxo e, na direção do plano de rotação da hélice, em força resistiva ao movimento da hélice [7], conforme a gura 2.2. O movimento realizado pelas pás da hélice é uma combinação de rotação, giro em torno do seu eixo e translação, ou seja, o deslocamento da aeronave. A gura 2.3 ilustra as consequências da combinação destes movimentos.
Figura 2.3: Componentes de velocidade e ângulos de escoamento [7].
Na gura 2.3 observa-se que a partir dos movimentos de rotação e translação, aparecem a velocidade resultante (Vr) do vento relativo sobre o aerofólio da pá, que é em função
da velocidade tangencial da pá (Vt) (rotação) e da velocidade de voo da aeronave (V0),
A velocidade resultante altera o ângulo de ataque do aerofólio (α) em relação ao ângulo geométrico da pá (β). O ângulo formado entre a velocidade resultante e o plano de rotação da hélice é chamado de ângulo de deslizamento da pá (φ) [8].
As duas formas principais para o cálculo do desempenho de uma hélice é a teoria do momento desenvolvida por Rankine e Froude e a teoria do elemento de pá, colocada em uma forma prática por Drzewiecki [9]. A teoria do momento é derivada da segunda lei de Newton, onde a força é dada pelo produto da massa pela aceleração. Essa teoria assume que não há derrota em seu per l; a hélice não adiciona rotação ao ar; o ar é viscoso e incompressível e a hélice tem um número in nito de lâminas [10]. Entretanto, a maioria destas suposições não sao realistas. Por isso, esta teoria é usada somente para prever a hélice ideal e teoricamente a sua e ciência máxima [10] [9].
O estudo da teoria do elemento de pá permite a escolha da hélice ideal pois, é possível estimar os coe cientes de tração, potência e torque que são parâmetros determinantes para mensurar a e ciência da hélice.
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 14
2.1.3 Motor BLDC (Brushless Direct Current)
A mais de um século, os motores são um importante dispositivo para conversão de energia elétrica em energia mecânica e vice versa. A m de se adaptar a diferentes aplica-ções, surgiram motores de diversos tipos e tamanhos. Dentre as diferentes con guraaplica-ções, que variam conforme a aplicabilidade do motor, encontra-se o motor síncrono [11], cuja funcionalidade é dada pela interação entre os campos eletromagnéticos. A gura 2.4 apresenta os componentes da estrutura do motor brushless.
Figura 2.4: Motor brushless DC
O motor brushless DC (Direct Current), da gura 2.4, é uma máquina síncrona girante que possui ímãs permanentes no rotor e enrolamentos de aço (bobinas) no estator [11]. A potência elétrica é fornecida ao motor brushless DC por uma fonte de tensão contínua e por um sistema de controle que realiza a comutação eletrônica [12]. O sistema de controle eletrônico fornece a sequência de comutação de acordo com o sinal dos sensores de posição, ativando as fases do enrolamento para manter o motor em funcionamento [13].
Os motores BLDC apresentam maior e ciência, menor ruído e menor relação entre suas dimensões e potência que podem realizar [12]. Estes motores são utilizados em eletrodomésticos, no setor automotivo, aeroespacial, médica e automação industrial, por sua e ciência e con abilidade, baixa manutenção, menor peso e custo.
O conhecimento da função de transferência do motor BLDC é importante para o projeto de análise de desempenho e controle do motor. A velocidade e o torque do motor dependem da força do campo magnético gerado pelos enrolamentos quando energizados pela corrente. A modelagem matemática caixa branca do motor BLDC é apresentada por [11] e não será apresentada neste documento, pois este não é o objetivo deste trabalho.
2.1.4 O ESC - Eletronic Speed Controler
O ESC é um componente fundamental do sistema de propulsão eletromecânico. Ele é o circuito eletrônico responsável pela alteração da corrente entre os polos do motor e com
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 15 isso determina a velocidade de rotação do mesmo [2]. Esta comutação é realizada por três sinais defasados em 120o que energizam as três fases do motor conforme a gura 2.5.
Figura 2.5: Representação das três fases da corrente fornecida pelo ESC [2]. A partir desta alteração, um campo magnético é criado e faz com que ocorra o giro rotacional do motor no mesmo sentido do campo magnético. Deste modo, a velocidade de rotação do motor depende da rapidez com que ocorre a troca desse campo magnético [2]. O responsável pelo controle de velocidade de rotação é um microcontrolador. Este ao receber o sinal PWM (Pulse Width Modulation) de entrada, o defasa em três sinais. O controle através do PWM é feito pela variação da potência aplicada em função do tempo. A gura 2.6 apresenta a forma de um pulso de PWM.
Figura 2.6: Forma da onda PWM [2].
Na gura 2.6 observa-se que o período do sinal é dividido em ON e OFF. O sinal pulso é originado a partir de um interruptor ou de um dispositivo capaz de abrir e fechar o circuito. O período consiste no pulso, que é o tempo em que a carga é mantida ativa (TON)
(interruptor fechado), e no tempo que a carga se encontra desativada (TOF F)(interruptor
aberto) [2].
O ciclo ativo do sistema é denominado de Duty cycle(D), cujo valor é dado pela porcentagem em que a corrente está ativa. A velocidade de rotação do motor depende da quantidade de energia fornecida pelo sinal, assim quanto maior o período ativo do
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 16 pulso, maior a velocidade de rotação. A gura 2.7 mostra forma de onda com variação do tamanho do pulso em porcentagem.
Figura 2.7: Variações do Duty cycle [2].
O estudo das características de cada componente do sistema de propulsão auxilia na escolha dos mesmos para a construção da plataforma de testes. Na seção que segue será descrita a plataforma experimental desenvolvida neste trabalho e a caracterização dos componentes utilizados.
2.2 Plataforma Experimental
Para que ocorra a modelagem via Identi cação de Sistemas é fundamental obter dados que represente o comportamento do processo real. Para desenvolver este trabalho, foi construída a plataforma da gura 2.8 para os teste e coleta dos dados. Esta foi projetada com o auxílio dos alunos bolsistas do curso de engenharia elétrica no laboratório GAIC (Grupo de Automação Industrial e Controle), localizado no DCEEng (Departamento de Ciências Exatas e Engenharias) da UNIJUI (Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul).
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 17 Tabela 2.1: Características físicas dos componentes da plataforma
Componente Características
Motor marca Turnigy, modelo 2830/1000kv
Hélice dimensões: 9x3.80
Sensor óptico T CRT 5000
ESC marca: RedBrick 24A
Sensor de Corrente marca: Lem, LA25NP
Bateria LitioIon polímero
Gangorra materiais: PVC e alumínio
A plataforma da gura 2.8 é constituída por uma gangorra e um console de controle. A gangorra tem o princípio de uma alavanca, onde em suas extremidades são posiciona-dos os motores. Ao longo do braço da estrutura, o suporte do motor pode ser deslocado. Isso possibilita a utilização de motores de maior e menor potência elétrica, e a sua uti-lização para ensaios com outras características e nalidades. A tabela 2.1 apresenta as características físicas dos componentes da plataforma.
O console de controle faz a ligação entre a gangorra, o computador e o usuário. Este dispositivo é totalmente eletrônico e sua função é adquirir e veri car dados como a ve-locidade de rotação (V), a corrente consumida pelos motores (I) e, o Duty cycle (D) do PWM que controla a velocidade do motor.
Figura 2.9: Programa Computacional [2].
Os dados são coletados e tratados por três microcontroladores. Estes gerenciam o processo de aquisição das variáveis físicas, controlam o mostrador de dados, modulam a largura do pulso que varia a velocidade dos motores e, enviam os dados ao PC (Per-sonal Computer) via porta USB (Universal Serial Bus). O programa desenvolvido no PC conforme ilustrado na gura 2.9 permite visualizar os dados em forma tabulada e grá ca, e imprime relatórios em arquivo do tipo .txt das variáveis envolvidas no ensaio experimental.
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 18 por um sensor óptico apresentado na gura 2.10. A onda quadrada é enviada para um conversor, este o converte em um sinal analógico, que varia linearmente de acordo com a frequência da onda. A conversão para RPM (Rotações Por Minuto) é feita a partir da leitura do sinal analógico, que é convertida em Hertz e posteriormente em RPM [2].
Figura 2.10: Motor brushless e sensor óptico [2].
A proposta do modelo é obter a relação matemática entre a grandeza física corrente, i(k) e a velocidade de rotação do motor, v(k) do sistema de propulsão eletromecânico. Os dados coletados para o presente estudo e obtenção do modelo matemático são apresentados gra camente na gura 2.11.
Figura 2.11: Dados do sistema.
Analisando-se gra camente os dados de entrada e saída da gura 2.11, percebe-se claramente a presença de ruído nos dados de saída, bem como, a semelhança do compor-tamentos de ambos os sinais. Para que a amostra de dados seja representativa do sistema,
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 19 os sinais amostrados i(k) e v(k) devem conter as características fundamentais do sinal ori-ginal. Para tanto, é necessário que estes obedeçam ao Teorema de Shannon/Nyquist [14], de nido por:
fa≥ 2fs, (2.1)
sendo, faé a frequência de amostragem e fsé a frequência do sinal a ser amostrado. O sinal
de excitação são degraus com diferentes amplitudes. Os critérios do projeto estabelecem que a faixa de frequência de amostragem seja de 5 a 10 vezes a frequência do sinal a ser amostrado. O valor adotado para o intervalo de amostragem (T a) é de 0, 04s.
Após a coleta dos dados, e utilizando as técnicas de modelagem de identi cação de sistemas, é possível obter o modelo matemático do sistema propulsor eletromecânico uti-lizado em aeronaves multirrotores. A próxima seção relata investigações realizadas sobre o sistema em estudo, bem como a contribuição de pesquisas anteriores na área de identi- cação de sistemas, na qual este trabalho está inserido.
2.3 Contribuições anteriores
Os trabalhos pesquisados na literatura técnica, envolvendo multirrotores não tripu-lados, são voltados para o projeto, construção e controle. O quadrirrotor tem sido a plataforma padrão para investigar a motricidade e percepção tridimencional, pois seus movimentos aerodinâmicos possuem inúmeros desa os. Trabalhos que objetivam o pro-jeto e construção de aeronaves para aplicação no meio civil são propostos por POUNDS and CORKE [15], PAULA [1], GUIMARÃES [16], SOUZA [17]. A modelagem da di-nâmica e da aerodidi-nâmica para desenvolver o controle dos movimentos de atitude do multirrotor é encontrado em BANGURA and MAHONY [18].
A utilização de tecnologias inovadoras tem ocasionado redução de tamanho e custos desses sistemas. No entanto, esse fator trás limitações no desempenho e controle das aeronaves. Sendo assim, as técnicas de controle devem ser renovadas e com isso outros modelos matemáticos devem ser obtidos. Por vezes, a modelagem conceitual do sistema torna-se trabalhosa e difícil pelos diversos fenômenos físicos ocorrendo simultaneamente. A partir disso, estuda-se técnicas alternativas de modelagem que amenizem este problema. A Identi cação de Sistemas é uma técnica alternativa de modelagem matemática uti-lizada na modelagem de sistemas dinâmicos nas mais diversas áreas. Bedendo [19] em sua pesquisa aplica a teoria de identi cação caixa cinza para modelar o desempenho comportamental de microtransdutores MEMS (Microelectromechanical Systems) basea-dos em deformação elástica e ação eletrostática. Neste estudo ele utiliza modelos mate-máticos autorregressivos, com entradas exôgenas (ARX) e entradas exôgenas com média
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 20 móvel(ARMAX). A contribuição de seu trabalho foi na investigação e análise de méto-dos de discretização. Tais métométo-dos consistem na transformação de uma representação no domínio de tempo contínuo para o tempo discreto, de modo que essa transformação seja exata.
Na mesma linha de pesquisa, Moreira [20] realiza a modelagem matemática da di-nâmica de elastomassas MEMS aplicando critérios da modelagem caixa preta. A con-tribuição desse trabalho foi a investigação na área da econometria, onde são estudados dentre outros modelos o modelo Autorregressivo (AR), a m de estabelecer critérios para a escolha do modelo. Neste trabalho investiga-se as Funções de Autocorrelação e Auto-correlação Parcial para a seleção da ordem do modelo. O método de escolha da ordem mostra-se e ciente, porém não há critérios para de nir o grau do polinômio da entrada dos modelos autorregressivos com entrada exôgena.
Posteriormente, Faccin [21] trabalha com modelos não lineares e procura obter um modelo não-linear NARX (Nonlinear autoregressive model with exogenous input) para descrever a dinâmica de MEMS baseado na deformação elástica. Para a escolha do modelo utiliza a técnica de agrupamento de termos, encontrado em Aguirre [22], deste modo obtém uma família de modelos. A partir da comparação desses modelos, constata que o modelo com mais acurácia foi o modelo linear. Desta forma, conclui-se que o sistema modelado é linear.
Os trabalhos de Romio [23] e de Machado [24] aplicam a técnica de identi cação de sistemas para obter um modelo matemático capaz de predizer tempo de vida de baterias de dispositivos móveis. Romio [23] obteve um modelo ARX e valida-o através da sua comparação com o modelo analítico RV (Rakhmatov e Vrudhula). O modelo Rakhmatov e Vrudhula é considerado na literatura, um modelo de alta acurácia para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Para a simulação do modelo, o autor utiliza a ferramenta Ident que está implementada no programa MatLab. Além disso, o autor apresenta a conversão para o modelo contínuo através do discretizador Tustin.
A pesquisa de Machado [24] aplica e compara os modelos AR, ARX, ARMAX, OE (Erro na Saída - Output Error) e BJ (Box Jenkins). Dentre eles o modelo AR apresentou um erro menor quando comparados com os dados reais da plataforma. O diferencial do modelo AR é a ausência da série de entrada no modelo, segundo o autor o modelo AR é uma estrutura de modelo simples e de fácil implementação computacional.
A investigação de Andrade [25] realiza um estudo sobre série temporais e os modelos autorregressivos integrados média móvel (ARIMA)e média móvel com entrada exôgena (ARIMAX). A partir da combinação do Critério de Informação de Akaike (AIC) escolhe a ordem e atrasos do modelo e utiliza o algoritmo de Mínimos Quadrados Estendidos (LSE)
Capítulo 2. O Sistema Propulsor Eletromecânico 21 para a estimação dos parâmetros do modelo. Como o estudo de caso, obteve o modelo ARIMAX na série temporal de perdas de propano em uma unidade de processamento de gás natural.
O trabalho de Paula [1] constrói um quadrirrotor para obter imagens em alta de ni-ção. Para a modelagem matemática caixa preta dos motores utiliza a ferramenta polyfit do programa MatLab. O modelo Obtido é o modelo ARX e os modelos de controle ado-tados foram a técnica PID e a Lógica Fuzzy, que obtiveram melhores resulado-tados para a estabilidade da aeronave.
A pesquisa de Ost [2] faz o estudo dos veículos aéreo não tripulados e realiza a mode-lagem do conjunto ESC (Eletronic Speed Controler) - Motor - Hélice de um multirrotor. A técnica utilizada é a identi cação de sistemas. O modelo obtido é o modelo ARMAX com sete atrasos autorregressivo, quatro atrasos de entrada exôgena e cinco atrasos média móvel. O modelo representa a dinâmica do sistema de forma satisfatória. A contribui-ção deste estudo foi a identi cacontribui-ção dos testes de estacionariedade aplicados aos dados de entrada e saída do sistema.
A partir da revisão bibliográ ca se veri ca que a técnica de identi cação de sistemas não está codi cada, e que os critérios de escolha, especialmente, da estrutura do modelo não estão claros na literatura técnica. Alguns trabalhos mencionados anteriormente inves-tigam outras áreas do conhecimento com a nalidade de estabelecer critérios de escolha da estrutura e ordem dos modelos autorregressivos MOREIRA [20] e OST [2]. No entanto, grande parte dos trabalhos realizados nesta área visam apenas a aplicação da técnica e não questiona-la. Neste trabalho, propõe-se investigar testes aplicados sobre os dados que possam identi car de forma direta a estrutura mais adequada para os dados. Para aplicar a metodologia proposta, obtém-se um modelo matemático do sistema de propulsão eletromecânico utilizado em naves do tipo multirrotor.
Capítulo 3
Identi cação de sistemas
3.1 Introdução
Modelagem Matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas e fenômenos físicos reais através de representações matemáticas. Estas representações são modelos matemáticos que permitem analisar e predizer o comportamento de um sistema, sob diversas condições de operação, bem como auxiliar no ajuste de seu desempenho [26]. Em geral, um modelo busca representar as características mais relevantes da dinâmica do sistema real [22]. Estas características são de nidas de acordo com o propósito do modelo. As técnicas em modelagem podem ser agrupadas em três grupos distintos. No primeiro grupo encontra-se a modelagem matemática conceitual ou caixa branca. Esta técnica fornece modelos baseados em leis e princípios físicos que regem o fenômeno em questão. Desta forma, exige do pesquisador um total domínio físico do sistema [22]. No entanto, há situações onde a complexidade das equações físicas torna o seu desenvolvimento analítico difícil e trabalhoso. Assim, o esforço para se obter tais modelos nem sempre gera resultados satisfatórios do ponto de vista da usabilidade dos mesmos.
O segundo grupo é conhecido como modelagem caixa preta ou identi cação de sistemas onde nenhum conhecimento prévio do sistema é utilizado para a formulação do modelo [27]. Neste caso, o modelo é obtido através da análise e estudo das informações contidas nos dados de entrada e saída. Estes dados são coletados a partir de dados reais ou por uma bancada experimental ou ainda por simulações do processo em programa computacional. O fato de não considerar os fenômenos físicos traz a possibilidade de escolha da estrutura mais adequada para o projeto. Por outro lado, ocorre a di culdade da escolha dessas estruturas em virtude do número elevado de parâmetros.
O terceiro grupo é denominado de modelagem caixa cinza, que consiste na combinação da técnica de modelagem caixa preta e caixa branca. Estes modelos utilizam as informa-ções dos dados de entrada e saída do sistema e incorporam alguma informação física do
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 23 mesmo. Isto faz com que esta técnica exija do pesquisador o domínio do processo sico, bem como das técnicas de modelagem caixa preta. Por isso, desta técnica podem resultar modelos mais representativos e signi cativos do sistema físico [28].
No sistema de propulsão eletromecânico ocorre diversos fenômenos físicos que não são facilmente observados e veri cados. Sendo assim, tanto a modelagem conceitual quanto a caixa cinza tornam-se inviáveis de serem utilizadas. Além disso, todas as informações do sistema estão presentes nos dados de entrada e saída que são matéria prima para a modelagem caixa preta. Deste modo os modelos via identi cação de sistemas ou caixa preta tendem a ser mais consistentes. Estes fatores foram determinantes para a escolha da técnica de modelagem caixa preta para modelar o sistema de propulsão eletromecânico em estudo. Esta técnica tem seus modelos formados a partir da função de transferência. A função de transferência descreve o comportamento dinâmico de um sistema através da relação de causa e efeito existente entre o sinal de entrada e o sinal de saída [22]. A gura 3.1 apresenta o diagrama que representa a técnica de identi cação.
Figura 3.1: Diagrama representativo da identi cação de sistemas [27].
A literatura apresenta a técnica de identi cação de sistemas dividida em etapas, en-tretanto os critérios para o avanço da primeira etapa para as demais não estão totalmente estabelecidos, o que di culta a aplicação da mesma. O estabelecimento de critérios para a escolha da representação do modelo também é motivação para este estudo. Sendo assim, investiga-se testes aplicados aos dados caracterizados por uma série temporal. A econo-metria trabalha com a modelagem de série de tempo a partir de testes de estabilidade e as representa por equações a diferença. Neste sentido, neste trabalho estuda-se estes testes com o intuito de obter critérios para a escolha das representações matemáticas para o modelo.
Na análise de séries temporais destaca-se o trabalho de Box e Jenkins (BJ) de 1970. Neste estudo, BJ partem do pressuposto que os dados falam por si mesmos e carre-gam todas as informações necessárias para o modelo. A partir desta ideia propuseram a classe de modelos lineares autorregressivos e média móveis conhecido como modelo
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 24 ARIMA(Autorregressivo Integrado e Média Móvel) seguindo as seguintes etapas [29] [30]: • Identi cação. Etapa que de ne o grau de integração, grau da parte autorregressiva
e da parte média móvel;
• Estimação. Fase que estima os parâmetros pela minimização da soma dos quadrados dos resíduos, ou maximização da função de verossimilhança;
• Validação. Realiza testes estatísticos para veri car a aderência do mesmo aos dados e analisa se o ruído possui características de um ruído branco.
Neste capítulo aborda-se conceitos básicos sobre as séries temporais e os teste de estaci-onariedade, com o propósito de obter critérios para a seleção da representação e estrutura do modelo linear autorregressivo e média móvel. Além disso, investiga-se critérios para a presença da variável de entrada em modelos lineares autorregressivos e média móvel, aplicados na identi cação de sistemas dinâmicos.
Este capítulo está organizado como segue. Na seção 3.2 de ne-se e classi ca-se as série temporais e realiza-se o estudo de testes utilizados para caracteriza-las. Na seção 3.3 aborda-se as principais representações lineares autorregressivas e média móveis uni variadas. Na seção 3.4 relata-se o estudo da teoria da análise de intervenção e seus efeitos e, em seguida, estuda-se os modelos multi variados. Nas seção 3.5 contextualiza-se as funções de autocorrelação utilizadas na determinação da ordem do modelo. Na seção 3.6 descreve-se o algoritmo utilizado para a estimação dos parâmetros do modelo. Na seção 3.7 relata-se os métodos usados para validação de modelo. E, por m, na seção 3.8 apresenta-se um uxograma das etapa da metodologia aplicada, bem como, a descrição dos comandos do MatLab que foram utilizados em cada etapa.
3.2 Conceitos básicos sobre séries temporais
Série temporal é uma realização de um processo estocástico e é de nida como uma sequência de observações feitas ao longo de um intervalo de tempo [30]. A série temporal é representada por Y (t), t ∈ T , onde Y é a variável de interesse e T é o conjunto de índices. A forma com que as séries são amostradas classi ca-as em séries temporais contínuas, quando o conjunto de índices é um intervalo nito, i.e., T = t : t1 < t < t2, (por exemplo,
medições de um eletrocardiograma por três segundos), em séries temporais discretas, quando T é um conjunto de nitos pontos equidistantes, i.e., T = 1, 2, 3, · · · , t, (por exemplo, número de amostras de um processo físico em função do tempo) [31].
A série é dita uni variada quando o conjunto de observações são obtidas pela amostra-gem de uma variável física ou sinal dependente do tempo, em intervalos equidistantes. No
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 25 entanto, em casos como na engenharia, onde duas ou mais variáveis físicas (temperatura, pressão, vazão, etc.) são amostradas simultaneamente para a construção do modelo de um sistema dinâmico [32], estas séries são denominadas de multi variadas.
A característica inerente de uma série temporal é a dependência entre cada observa-ção. Assim, a análise de série temporal se preocupa em desenvolver técnicas para analisar esta dependência [33]. Isto requer desenvolver modelos dinâmicos e estocásticos que sa-tisfaçam problemas como: previsão de séries temporais uni variadas aplicadas em série econômicas, negócios etc; determinação da função de transferência em sistemas sujeito a inércia encontrados na engenharia; análise dos efeitos de eventos não usuais de intervenção de um sistema; análise de séries de tempo multi variáveis e melhoramento de técnicas de controle de sistemas discretos [30].
As séries temporais podem ser classi cadas ainda em determinísticas e estocásticas. Quando a série pode ser representada por uma função matemática é dita determinís-tica. Entretanto, a maioria dos fenômenos e sistemas que aparecem na natureza possuem também um comportamento aleatório. Desta forma, um processo ou modelo matemá-tico é dito estocásmatemá-tico quando eles são capazes de descrever sistemas ao longo do tempo delineados por leis probabilísticas [2].
As séries de tempo são estudadas e aplicadas nas mais diversas áreas como: econo-metria, negócios, engenharias, ciências naturais, especialmente geofísica e meteorologia, e ciências sociais [30]. Em situações da engenharia, como no caso deste estudo, e demais ciências que envolvem sistemas dinâmicos, a amostra de dados entrada/saída do sistema, em geral, é obtida a partir de sensores que amostram os sinais contínuos em discretos. Estas séries temporais geralmente contêm o componente determinístico e o componente estocástico pela presença de perturbações (interferências ou ruído).
A análise dos dados pode ser feita sob duas abordagens distintas. A abordagem no domínio do tempo é baseada na análise da função de covariância e utiliza modelos paramétricos, isto é, possuem parâmetros que devem ser estimados. E a abordagem no domínio da frequência é baseada na análise da função densidade espectral e análise de Fourier, e utiliza modelos não paramétricos. As duas abordagens são apropriadas, porém, neste trabalho será utilizado a abordagem no domínio do tempo, pois se objetiva estudar e obter modelo paramétrico.
As principais características de séries temporais são a estacionariedade, linearidade, tendência e sazonalidade [32]. As séries em geral, podem apresentar uma ou mais destas características, no entanto para a apresentação, análise e predição de valores de séries temporais estas características são tratadas separadamente [32]. A análise destas caracte-rísticas auxilia na escolha da representação matemática mais adequadas para o modelo. A seguir, apresenta-se cada uma destas particularidades, porém, o interesse deste trabalho
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 26 está voltado para a estacionariedade.
3.2.1 Tendência
A tendência de uma série de dados é a sua caracterização de longo prazo. Ou seja, o comportamento dos valores ao longo da série pode ser crescente, decrescente ou estável [31]. Os casos mais frequentes de tendência são: a constante, quando a média varia em torno de uma média constante (série estacionária), polinomial quando a média varia em torno de uma função polinomial de grau um ou mais, e exponencial quando a média varia em torno de uma função exponencial. A gura 3.2 apresenta o exemplo grá co de uma série com tendência.
Figura 3.2: Exemplo de série com tendência linear
Na gura 3.2 observa-se claramente que a série possui uma tendência linear e crescente. A literatura técnica contém métodos que veri cam qual a tendência presente na série de dados. [31] cita dois métodos utilizados na análise de séries temporais para detectar a tendência:
• Ajustar uma função suave de tempo com os dados, do tipo polinomial, exponencial ou outra qualquer;
• Estimar a tendência num determinado ponto através da suavização dos valores da série ao redor deste ponto.
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 27 O primeiro método utiliza os modelos de regressão polinomial ou exponencial, onde através da análise do diagrama de dispersão é possível visualizar a sua trajetória. No entanto, em alguns casos os dados não apresentam uma função de nida, como a linear ou exponencial, assim torna-se necessário um ajuste com uma função matemática como a Kernel ou outra classe de modelos [34].
O segundo método para a análise da tendência de uma série de tempo utiliza modelos autorregressivos. A análise é feita pela estimação da tendência dos valores próximos a um ponto e não utiliza a série completa. Este método se aplica em casos onde se deseja avaliar parte da trajetória ou quando o comportamento da série é muito instável [34].
O conhecimento do tipo de tendência presente nos dados pode agilizar no processo da escolha da representação do modelo. Em muitos casos é necessário eliminar a tendência. Uma das formas é diferenciar os dados até torna-los estacionários. Em alguns casos, em séries com crescimento exponencial, há necessidade de tomar diferenças logarítmicas dos dados originais.
3.2.2 Sazonalidade
O componente de sazonalidade é a presença de um padrão que utua periodicamente ao longo das observações conforme apresenta a gura 3.3. Frequentemente esta compo-nente aparece em série temporal econômica, onde os dados descrevem padrões que se repetem em determinado período. Séries temporais sazonais são encontrados em sistemas de distribuição como energia, gás e água, onde a previsão de exigências dos consumidores representa o problema básico [32]. No entanto, esta característica é pouco comum em problemas da engenharia.
Figura 3.3: Exemplo de sazonalidade
Há diversos procedimentos utilizados para estimar o efeito sazonal, destes, os mais usuais são os métodos de regressão, quando a sazonalidade é determinística, i.e., a com-ponente sazonal não varia com o tempo; e o método de média móvel, quando a sazona-lidade é estocástica, i.e., a componente sazonal varia com o tempo [31]. A metodologia
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 28 proposta por Box e Jenkins ajusta a componente sazonal no modelo ARIMA denominado de modelo SARIMA cuja estrutura que será apresentado na seção 3.3.1. Estudos mais detalhados desta característica não são escopo deste trabalho.
3.2.3 Linearidade
A linearidade indica que a forma da série de tempo depende de seu estado, de modo que o estado atual determina o padrão da série. Se uma série de tempo é linear, então ela pode ser representada por uma função linear do valor presente e os valores passados [32]. Um dos primeiros passos na identi cação do sistemas é a de considerar um modelo linear para o sistema. Mas, em muitos casos, os quais o grau de não-linearidade é alto, um modelo linear não pode ser uma boa aproximação para o sistema. Para agilizar o processo de identi cação do modelo, é desejável determinar o nível da não-linearidade. Para isso, testes de não-linearidade devem ser aplicados aos dados. A teoria sobre alguns destes testes são encontrados no apêndice A, como critério de informação, e não são aplicados no estudo de caso deste trabalho. Duas características principais de sistemas lineares são a superposição
y(k) = f [u1(k) + u2(k)] = f [u1(k)] + f [u2(k)] (3.1)
e a homogeneidade
y(k) = f [αu(k)] = αf [u(k)]. (3.2)
O princípio da superposição a rma que a resposta produzida pela aplicação da com-binação linear de duas ou mais excitações diferentes é igual a comcom-binação linear das respostas individuais a cada uma das excitações. A homogeneidade estabelece que o ca-rácter da resposta qualitativa não depende da amplitude da entrada. Essas características não são satisfeitas em sistemas não-lineares, pelo menos não em todo o seu funcionamento [35]. Quando o sistema fere o princípio de superposição e a homogeneidade, este pode ser considerado não-linear. [36] e [37] através de testes estabelecem uma classi cação da não-linearidade e seus comportamentos, conforme apresenta a tabela 3.1.
Existem na literatura diversos testes que produzem esta informação e que permitem observar o comportamento não-linear auxiliando, a posteriori, na escolha da representação do modelo. [37], em seu estudo utilizou os testes de simetria, dependência de amplitude da entrada e a aplicação de entradas periódicas para classi car o comportamento não-linear. O estudo destes testes são apresentados no apêndice A.
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 29 Tabela 3.1: Classi cação e comportamento não-linear [36].
Classi cação Comportamento Descrição
F raca
Resposta assimétrica Geração de harmônicas Multiplicidade de entrada
Característica da resposta dependente da entrada violando o Princípio da
Superposição dos Efeitos.
O sistema sujeito a uma entrada senoidal produz uma saída não senoidal
de mesma frequência.
Uma saída corresponde a mais de uma entrada em regime permanente. Média Estabilidade dependente da entrada A estabilidade do sistema depende daamplitude da entrada aplicada.
Forte
Multiplicidade de Saída Geração de Sub harmônicas Comportamento Caótico
Uma entrada leva a mais de uma saída em regime permanente.
O sistema sujeito a uma entrada senoidal produz uma saída não senoidal de frequência menor que a entrada.
O sistema apresenta respostas altamente irregulares para entradas simples.
3.2.4 Estacionariedade
A estacionariedade pode ser obtida de um processo onde todos os parâmetros relevantes para a dinâmica do sistema são xos e constantes durante o período de observação [2]. A gura 3.4 apresenta um exemplo grá co de uma série estacionária, onde se observa que os valores utuam em torno de uma média.
Figura 3.4: Série estacionária
A série é estacionária no sentido estrito (forte) quando todos os momentos (caracte-rísticas), de sua distribuição de probabilidade, não variam ao longo do tempo [38]. No entanto, na maioria dos casos é difícil veri car se todos os parâmetros que caracterizam a distribuição não dependem do tempo. Sendo assim, é necessário outra forma de
caracteri-Capítulo 3. Identi cação de sistemas 30 zação. Os momentos mais utilizados para caracterizar uma distribuição de probabilidade é a média, que é de nida como o valor médio da amostra de dados, a variância que mede o grau de dispersão dos dados em relação ao valor médio e a covariância que mensura o grau de dispersão entre um dado e seu subsequente.
Uma condição menos restrita é formulada com base nos dados admitindo que uma série seja fracamente estacionária ou de segunda ordem quando a média e a variância são constantes e a covariância, depende do intervalo entre as amostras e não do tempo [38]. Tais propriedades são expressas matematicamente pelas equações (3.3) a (3.5).
M ´edia ⇒ E(Yt) = µ (3.3)
V ariˆancia ⇒ var(Yt) = (Yt− µ)2 = σ2 (3.4)
Covariˆancia ⇒ γk = E[(Yt− µ)(Yt−k− µ)], (3.5)
onde Yté uma série temporal estocástica, e γk, a covariância na defasagem k, é a
covariân-cia entre os valores de Yt e Yt−k. Portanto, uma amostra de dados é estacionária quando
seus parâmetros característicos se mantém xos e constantes ao longo do período de sua observação [2]. Uma série não estacionária é apresentada pela gura 3.5.
Figura 3.5: Exemplo de série não estacionária
O conhecimento da série ser ou não estacionária reside no fato de que, se trabalha na presença de um processo que possui a mesma forma em qualquer instante de tempo [39]. Isto possibilita na simpli cação da obtenção de estimativas do processo. É importante
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 31 identi car se os dados apresentam estacionariedade ou não, pois caso a série seja não estacionária isso deve ser levado em consideração no modelo.
Neste contexto, dois testes para veri cação da estacionariedade são estudados neste trabalho. O teste ADF (Augmented Dickey & Fuller) e o teste KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt e Shin) que serão explanados nas próximas seções.
3.2.5 Teste de estacionariedade ADF
O teste de estacionariedade ADF de Dickey & Fuller (1979) consiste em um teste estatístico de hipótese que se fundamenta na existência da raiz unitária. Uma série que possui raiz unitária é dita ser não estacionária.
O teste é de nido a partir de um processo estocástico de raiz unitária dado pela equação:
yt= ρyt−1+ ut, −1 ≤ ρ ≤ 1 (3.6)
Onde ut é um termo de erro de ruído branco de nido por um processo aleatório
estacionário com média zero e variância constante. Quando ρ = 1 ocorre o caso da raiz unitária, caracterizando um passeio aleatório, ou seja, um processo estocático não estacionário [2]. Portanto, o teste visa a veri cação se o valor de ρ é estatisticamente igual a um [22].
Subtraindo yt−1 em (3.6), tem-se:
yt− yt−1 = (ρ − 1)yt−1+ ut (3.7)
Reescrita por:
∆yt = αyt−1+ ut, (3.8)
onde α = (ρ − 1) e ∆ é o operador de primeira diferença. Se α = 0 em (3.8) então ∆yt = ut. Como ut é um ruído branco, ele é estacionário, isto implica que a primeira
diferença de uma série temporal de passeio aleatório é estacionária [22].
O teste de Dickley-Fuller Aumentado é conhecido na literatura como teste ADF (Aug-mented Dickley-Fuller) e requer o estudo sobre a seguinte regressão:
∆Yt = β1+ β2t + δyt−1+ s
X
i=1
αi∆yt−1+ εt (3.9)
onde β1 é o intercepto (termo indepentente), também denominado como drift
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 32 unitária e s é o número de atrasos utilizados da série. εté um termo erro de ruído branco,
ou seja processo aleatório estacionário e ∆yt−1 = yt−1− yt−2, ∆yt−2= yt−2− yt−3 etc [38].
Sendo assim, terá uma raiz unitária se δ = 1, caso β2 = 0 e o teste está baseado em testar
a hipótese nula δ = 1 em (3.9).
Para isso são apresentados três testes estatísticos: K(1) = N (δ − 1) t(1) = (ˆδ − 1)
SE(ˆδ) F (0, 1) (3.10)
onde ˆδ é o valor estimado de δ de 3.9 utilizando o método dos mínimos quadrados ordi-nários, SE(ˆδ) é o erro padrão de ˆδ e F (0, 1) é a estatística F usual que testa a hipótese conjunta de β2 = 0e δ = 1 em (3.9). O teste utilizado não pode ser o teste t, pois sob a
hipótese nula β2 = 0, o valor t do coe ciente estimado de yt−1 não segue a distribuição t
[22]. Da mesma forma não é possivel utilizar a estatística de Fischer F (0, 1) [2].
Para contornar o problema, Dickey e Fuller, calcularam por meio de simulação de Monte Carlo os valores críticos da estatística τ (tau) e demonstrando que sob hipótese nula, o valor de t estimado do coe ciente δ = 1 segue a estatística tau.
Na implementação do teste ADF um fator que deve ser considerado é a escolha do número de lag ou atraso s. Uma forma de determinar o s é apresentado por [40] e é dado por: smax = " 12 N 100 14# (3.11) onde N é o tamanho da amostra. A escolha de smax cresce juntamente com o tamanho
da amostra.
Os testes de raiz unitária com hipótese nula de não estacionariedade são questionados por [40]. Segundo o autor, o teste tende aceitar a hipótese nula com maior frequência do que a rejeitar. Isso ocorre principalmente pelo fato de terem um baixo poder em processos autoregressivos estáveis e com raízes próximas a um [2]. A partir disso, surge o teste KPSS que será detalhado na próxima seção.
3.2.6 Teste de estacionariedade KPSS
O teste KPSS foi criado por Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin tem como nalidade determinar a estacionariedade em uma série. Surgiu para complementar o teste ADF e é considerado o mais e ciente teste de estacionariedade [2]. Para sua de nição considere a seguinte equação:
