respectivamente, e ε(k) é o ruído branco.
O modelo ARMA consiste da união de dois processos independentes AR e MA. O modelo ARMA é caracterizado estacionário se, as raízes do polinômio característico do
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 43 processo AR estão fora do círculo unitário. E da mesma forma ele será invertível se o polinômio característico do processo MA possui suas raízes fora do círculo unitário [30].
Na próxima seção apresenta-se os modelos autorregressivos para séries multi variadas.
3.4 Modelos Autorregressivos Multi variados
A identi cação de sistemas considera uma ou mais entradas exógenas em seus modelos autorregressivos. Entretanto, a literatura técnica não trás uma justi cativa consistente sobre a inclusão da variável de entrada nos modelos. Isto motiva a investigação da teoria da análise de intervenção das séries temporais e seus efeitos. Desta forma, antes da apre- sentação dos modelos autorregressivos multi variados apresenta-se um estudo da análise de intervenção.
3.4.1 Análise de Intervenção
As séries temporais são frequentemente afetadas por algum tipo de evento ou circuns- tâncias especiais em um determinado instante de tempo conhecido a priori. Este evento é denominado de intervenção, cuja análise foi proposta por Box e Tiao em 1975 [45]. O interesse da análise de intervenção é detectar alguma evidência de mudança ou o efeito, de um tipo esperado, na série temporal Yt em estudo associado ao evento [30]. Para se
modelar a natureza e estimar a magnitude desse impacto no comportamento da série são utilizados os modelos de função de transferência.
Cruz [46] estudou o comportamento da concentração de CO2 (Dióxido de Carbono)
considerando o fenômeno das rajadas de vento como uma variável de intervenção. Neste trabalho, considera-se a corrente do motor como a variável de intervenção da velocidade de rotação do motor. As variáveis de intervenções são observadas na mudança do nível, na direção ou inclinação da série em estudo, além disso, podem interferir na variância dos erros.
A gura 3.10 (adaptado de Glass et al, 1975, Mc Dowall et al, 1980), ilustra os efeitos de uma intervenção comumente encontrados em uma série de tempo [29].
Na gura 3.10 percebe-se que a mudança da série temporal sob efeito de intervenção pode ser quanto a manifestação, gradual ou abrupta e quanto a duração, permanente ou temporária. Os efeitos de intervenção podem ser afetados pela presença de ruídos como tendência, efeito sazonal e erro aleatório. Características de um processo não-estacionário vistos na seção 3.2.4.
A intervenção que ocorre por um longo período de tempo, é representado pela função degrau. No entanto, quando a intervenção é dada por um curto período, esta variável
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 44
Figura 3.10: Efeitos de intervenções [29]
é representada pela função impulso. Na seção que segue trará mais detalhes sobre estes eventos.
Eventos de Intervenção
Na modelagem de sistemas dinâmicos, para se analisar o desempenho do sistema, o sinal de entrada deve ser apropriado. Geralmente são escolhidos algum dos sinais típicos: impulso, degrau, rampa e parábola [47]. Este sinal de entrada no sistema passa a ser uma variável de intervenção incorporada no modelo matemático. De forma sistemática, a de nição e a representação das principais intervenções são apresentadas na gura 3.11.
Figura 3.11: Funções de Intervenção
Uma intervenção impulso, também denominada de intervenção pontual, possui sua duração num curto e especí co período de tempo. Esta função, tem valor unitário no tempo da intervenção e valor nulo no restante de seus tempos. Na engenharia, este sinal é utilizado para injetar a energia inicial no sistema, de modo a obter como resposta o
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 45 regime transiente do mesmo [20].
Na intervenção degrau os valores antes da intervenção são nulos e cujos valores sub- sequentes são unitários. Este tipo de intervenção possui uma duração que se inicia no primeiro tempo t0 até o nal da série temporal. Este sinal é utilizado na análise de sis-
temas porque é possível detectar nitidamente o regime transiente e o regime estacionário do sistema [47].
A intervenção rampa tem valores antes e durante a intervenção nulos e os valores subsequentes aumentando linearmente com o tempo. Este tipo de intervenção possui uma duração que se inicia no primeiro tempo t0 até o nal da série temporal. A resposta
a um sinal de rampa gera informações adicionais sobre o erro do regime estacionário [47]. Sabe-se que a função impulso (I(T )
t ) pode ser derivada da diferenciação da função
degrau (S(T ) t ). Ou seja, I (T ) t = S (T ) t − S (T ) (t−1) = (1 − B)S (T )
t . Sendo assim, um modelo de
intervenção pode ser bem representado tanto com a função degrau quanto com a função impulso [46].
O efeito da intervenção é a mudança do nível ou inclinação na série temporal de saída. No entanto, pode acontecer da série de entrada conter ruídos, isso pode obscurecer o seu real efeito. As três fontes de ruídos que podem esconder estes efeitos são a tendência, o efeito sazonal e o erro aleatório. A seguir, descreve-se a teoria dos modelos autorregressivos com entradas exógenas utilizados na identi cação de sistemas.
3.4.2 Modelo de Função de Transferência
Funções de Transferência (FT) são funções que descrevem o comportamento dinâmicos de um sistema através de dados de entrada e saída [22]. Um sistema dinâmico simples, onde contém apenas uma variável de entrada e uma variável saída é representado pela gura 3.12.
Figura 3.12: Representação de um sistema dinâmico simples
O objetivo da modelagem de um sistema dinâmico é encontrar a relação entre as duas séries temporais, deste modo, trata-se de uma análise de série temporal bivariada (x(k), y(k)). Este modelo prevê a série de saída y(k), com base em valores passados e
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 46 presente da série de entrada x(k) e valores passados da própria série, dado por:
y(k) = δ1y(k − 1) + · · · + δry(k − r)+
+ ω0x(t − b) + ω1x(k − b − 1)+
+ · · · + ωsx(k − b − s) + ε(k)
(3.43)
Ou
y(k) − δ1y(k − 1) − · · · − δpy(k − p) = ω0x(k − b)+
ω1x(k − b − 1) + · · · +
+ ωrx(k − b − r) + ε(k)
(3.44)
onde δ1, · · · , δp e ω0, · · · , ωr são parâmetros a serem estimados, εt é o ruído, em geral um
ARIMAX (p, d, 0, r). Os polinômios δ(q) = 1 − δ1q−1 + · · · + δpq−p e ω(q) = ω0q−1 +
ω1q−1 + · · · + ωrq−rq−b são de graus p e r da correspondente série de saída e entrada
respectivamente e b é o atraso de resposta a entrada.
Utilizando-se o operador de atraso, a equação (3.44) pode ser escrita da forma:
δ(q)y(k) = ω(q)qbx(k) + ε(k) (3.45)
Ou reescrita como:
y(k) = ω(q)q
b
δ(q) x(k) + ε(k), (3.46)
onde o termo y(k) = δ−1(q)ω(q)qbx(k) representa os efeitos de caso de intervenção em
termos da série de entrada determinística x(k). ε(k) representa a série de ruídos indepen- dente da variável de intervenção.
Supondo que ε(k) siga um modelo ARIMA (p, d, q, 0), A(q)y(k) = C(q)ε(k), com A(q)y(k) = E(q)(1 − q)d, apresentado na seção 3.3.1, onde b é o tempo morto da variável de intervenção, descrito na seção anterior. A Função de Transferência é considerada apropriada para modelar a natureza e estimar a magnitude dos efeitos da intervenção no modelo [30].
De modo que (3.46) pode ser escrita como:
y(k) = V (q)x(k) + ε(k), (3.47)
Onde V (q) = P∞
−∞
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 47 de uma função de transferência é chamada de pesos da resposta impulso. Se a soma destes pesos é nita, ou seja, P |vj| < ∞ o sistema é considerado estável. O modelo de função
de transferência é dito ser causal se vj = 0 para j < 0, isto é, o sistema não responde
à série de entrada até que ela tenha sido realmente aplicada no sistema. A maioria dos processos físicos são causais.
A estrutura da Função de Transferência determina o efeito da intervenção. Portanto, conhecendo-se o problema a priori, a forma da Função de Transferência e os seus parâ- metros, conhece-se o tipo de efeito de intervenção. Considere o seguinte modelo de uma única intervenção:
y(k) = V (q)x(k) = ω(q)
δ(q)x(k), (3.48)
Na prática, os valores de p e r no sistema (3.48), raramente ultrapassam o grau 2. A seguir descreve-se algumas respostas ao impulso típicas, considerando-se p e r = 0, 1, 2 e b = 2. As guras 3.13 a 3.15 foram adaptadas de [45].
Caso 1: Quando p = 0, a função de transferência contém somente um número nito de pesos de respostas ao impulso iniciando com Vb = ω0 e terminando com Vb+r = −ωr.
Caso2: Quando p = 1, os pesos de respostas ao impulso mostram uma queda expo- nencial iniciando com Vbse r = 0; Vb+1 se r = 1; Vb+2 se r = 2.
Caso3: Quando p = 2, os pesos de respostas ao impulso mostram tanto um amorteci- mento exponencial como um amortecimento senoidal de acordo com a natureza das raízes do polinômio δ2(q) = (1 − δ1q − δ2q2). Seguem um decaimento exponencial se as raízes
são reais, isto é, se δ2
1 + 4δ2 ≥ 0 ; e seguem um decaimento senoidal se as raízes forem
complexas, i.e., se δ2
1 + 4δ2 < 0.
Figura 3.13: Função de transferência para p = 0.
Em síntese, os quadros das guras 3.13, 3.14 e 3.15, extraídas de [45], apontam que, ao confrontar as funções de transferências com os respectivos grá cos, observa-se que o nú- mero de parâmetro no numerador está relacionado com a ocorrência de picos, semelhante a um modelo média móvel. Enquanto que, a existência de parâmetros no denominador é
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 48
Figura 3.14: Função de transferência para p = 1.
Figura 3.15: Função de transferência para p = 2.
caracterizada por um comportamento de decaimento exponencial ou senoidal, análogo a um processo autorregressivo.
Na próxima seção apresenta-se o modelo geral dos processos autorregressivos multiva- riados, o modelo ARIMAX e suas subdivisões.
3.4.3 Modelo AutoRregressivo Integrado Média Móvel com En-
tradas Exógenas (ARIMAX)
O modelo ARIMAX(p,d,q,r) é considerado um modelo geral dos modelos autorregres- sivos multi variados. A partir deste modelo podem se originar outros de acordo com o diagrama apresentado pela gura 3.7. A representação ARIMAX é capaz de representar processos lineares estacionários e processos lineares não estacionários homogêneos com entradas exógenas [25]. É utilizado para séries cujos valores atuais dependem de seus va- lores passados, de valores passados da entrada exógena e/ou valores passados de um ruído aleatório, mais um ruído aleatório no instante atual (ruído branco). Esta representação é apresentada pela seguinte estrutura polinomial:
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 49 yk = B(q) A(q)x(k − nk) + C(q) A(q) e(k) (1 − q), (3.49)
onde A(q), B(q), C(q) são matrizes polinomiais. x(k) é a entrada, e nk é o atraso de entrada. y(k) é a saída e e(k) é o sinal de perturbação. na ,nb , nc são os graus dos polinômios A(q), B(q) e C(q), respectivamente e 1
(1−q) representa o fator de integração no
modelo.
Os polinômios são de nidos por:
A(q) = 1 − a1q−1− · · · − anaq−na (3.50)
B(q) = b1q−1+ · · · + bnbq−nb (3.51)
C(q) = 1 + c1q−1+ · · · + cncq−nc (3.52)
O modelo ARIMAX pode ainda ser expresso da seguinte forma:
p X j=0 dj Mdyk−j = b0xk+ r X j=1 bj Md xk−j+ q X j=0 cjak−j, (3.53)
para k = 0, ±1, ±2, · · · , em que y e x são vetores de saída e entrada observáveis, a é um vetor de ruídos aleatórios não observáveis. Md é o operador de diferença e d indica o
número de vezes que as séries devem ser diferenciadas para alcançar a estacionariedade. A partir do modelo linear ARIMAX, vários modelos lineares são derivados. Quando as séries são estacionárias pode-se utilizar para a modelagem uma representação mais simples denominado ARMAX [2] [20] [19]. Ainda considerando a estacionariedade nas séries de dados, pode-se obter um modelo Autorregressivo com entrada exógenas (ARX) ou um modelo Média móvel com entrada exógena (MAX). No entanto, quando não há estacionariedade nas séries, utiliza-se os modelo integrados, tais como, o modelo Au- torregressivo integrado média móvel com entradas exôgenas (ARIMAX), Autorregressivo integrado com entradas exógenas (ARIX) e o modelo Média móvel integrado com entradas exógenas (IMAX). A seguir destaca-se alguma particularidades de cada modelo.
Modelo AutoRregressivos com Entrada Exógena: ARX(p,0,0,r) e ARIX(p,d,0,r) Os modelos autorregressivos com entradas exógenas ARX(p,0,0,r) e ARIX(p,d,0,r), também escritos como ARX(p,r) e ARIX(p,d,r), respectivamente, são modelos paramé- tricos idênticos aos modelos AR e ARI da análise de séries uni variadas. A diferença
Capítulo 3. Identi cação de sistemas 50 nestes modelos é a presença da entrada exógena. Portanto, de ne-se estes modelos como aqueles que expressam o valor atual de uma série de tempo y(k) por um número nito de seus valores anteriores, por um número nito de atrasos de entrada e por um ruído aleatório (branco). Para séries estacionárias considera-se o modelo ARX(p,r) e para não estacionário ARIX(p,d,r).
A estrutura do modelo ARX e ARIX são semelhantes e é obtida da representação 3.49 considerando os polinômios C(q) = 1 e A(q) é um polinômio arbitrário de autorregressores da saída e B(q) é um polinômio arbitrário da entrada exógena, dado pela equação geral:
y(k) = B(q)
A(q)x(k) + ε(k) (3.54)
Ou expresso por:
y(k) = a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + · · · +
+ apy(k − p) + b1x(k − 1) + b2x(k − 2)+
+ · · · + arx(k − r) + ε(k),