Área de Figuras Planas

Áreas de Figuras Planas

Áreas de Figuras Planas

• Área

• Toda superfície ocupa uma extensão do plano.

Determinar a área de uma superfície significa medir

essa extensão.

• Para isso, é necessário definir uma unidade: o

quadrado de lado 1, possui igualmente, área 1.

1

1

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• Retângulo

• Se tivermos um retângulo de dimensões 2 cm x 3 cm, a área

ocupada por sua superfície é obtida decompondo cada dimensão em unidade do comprimento dado (centímetros nesse caso).

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• Retângulo

• Logo, para se obter a área de um retângulo, multiplicamos suas dimensões:

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• Quadrado

• Um quadrado, nada mais é que um caso particular do retângulo em que suas dimensões são iguais.

• Um quadrado de lado 3 cm, portanto, terá área igual a 3 cm x 3 cm = 9 cm2.

• A fórmula para calcular a área do retângulo é válida para calcular a área do quadrado:

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• Paralelogramo

• Se no retângulo ABEF recortarmos o triângulo BEC e

posicionarmos rente ao lado AF obteremos uma nova figura geométrica chamada paralelogramo.

• Como a área do retângulo é dada pelo produto: A_r = b. h,

podemos concluir que a área do paralelogramo também é b.h, uma vez que ambas as figuras cobrem a mesma superfície do plano.

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• Paralelogramo

• A área do paralelogramo foi obtido a partir da área do retângulo, logo são figuras equivalentes.

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• Triângulo

• A área do triângulo também pode ser obtida a partir do retângulo, dividindo-o por meio de sua diagonal.

• O retângulo acima foi dividido em dois triângulos retângulos de mesmas dimensões. Se juntos eles cobrem a mesma superfície que o retângulo, então suas áreas juntas é igual a área do

retângulo.

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• Triângulo

• Como as dimensões dos dois triângulos são as mesmas, então A_t1 = A_t2 = A_T.

• Portanto, a área de um triângulo é:

2

.

2

A

A

A

A

2.

h

b







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• Triângulo

• Apesar de termos enunciado essa regra para um triângulo

retângulo, ela é válida para um triângulo de qualquer tipo, pois sempre podemos dividir um triângulo de modo a compor um retângulo.

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• Trapézio

• A área do trapézio pode ser obtida fazendo cortes triangulares em sua figura e recompondo novas formas planas conhecidas capazes de serem somadas.

• Exemplo:

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• Trapézio

• Considere o trapézio MNPQ da figura, de bases B e b e altura h. • Prolongando-se a base maior de base maior de um segmento de

medida b, portanto igual a medida da base menor.

• Note que os triângulo MNX e YPX são congruentes, portanto a área do trapézio é igual a área do triângulo MQY.





2

.h

b

B

A





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• Trapézio

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• Losango

• A área do losango pode ser obtida decompondo o losango em 4 triângulos congruentes.

• Calcula-se a medida da área de um dos triângulos e multiplica-se por 4.

2

.

8

.

.

4

2

.

4

2

.

.

4

D

d

A

D

d

A

A

A













































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• Losango

• Outro modo de se chegar ao mesmo resultado, seria decompondo o losango num retângulo.

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• Regularidade x Irregularidade

• As figuras apresentadas aqui são polígonos, ou seja, figuras compostas por linhas consecutivas que se fecham delimitando uma porção do plano.

• Essas linhas se chamam lados e a intersecção de duas delas determinam um ângulo.

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• Regularidade x Irregularidade

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• Regularidade x Irregularidade

• Os polígonos irregulares possuem lados diferente e diferentes medidas angulares.

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• Área de polígonos regulares

• Todo polígono regular de lado L pode ser decomposto em n triângulos de base L e altura a.

• Exemplos

• O segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um lado chama-se apótema.

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• Área de polígonos regulares

• Portanto a área do polígono é dado pela somatória das áreas dos triângulos que ele comporta:

• Um pentágono tem 5 triângulos, logo A₅ = 5. A_t; • Um hexágono tem 6 triângulos, logo A₆ = 6. A_t; • Um decágono tem 10 triângulos, logo A₁₀ = 10. A_t.

• Um polígono de n lados terá n triângulos, logo A_n = n. A_t. • Entretanto a área do triângulo é: , logo: , porém:

• ; portanto ; .

2

.a

L

2

.

. a

L

n

A



tro

semiperíme

L

n



2

.

_A

_p

_a



.

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• Exemplos

• Calcular a área do hexágono regular de lado 8 cm.

• Um hexágono regular possui 6 triângulos equiláteros, portanto, • A_hex = p.a.

• O semiperímetro do hexágono, neste caso, é equivalente a: • .24 2 8 . 6 2 .   L n

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• Exemplos

• E o apótema é equivalente à altura do triângulo:

• Cálculo do apótema pelo Teorema de Pitágoras, : • 2 2 2 2 _      a L L

a

a

a

a

a

a

L

L

































3

4

48

16

64

4

64

64

4

8

8

2

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• Exemplos

• Logo, a área do hexágono é dada por:

2 3 96 3 4 . 24 . cm A A a p A hex hex hex   

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• Área de polígonos irregulares

• O processo que permite calcular áreas de polígonos irregulares é semelhante ao cálculo de polígonos regulares;

• Divide-se o polígono em vários triângulos, calcula-se a área de cada um e depois fazemos a somatória. A diferença é que, neste caso, os lados e as alturas dos triângulos são diferentes.

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . _{1 2 2 3 3 4 4 5 5} 1 h L h L h L h L h L Área     

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• Área do círculo e suas partes

• Vimos que para calcular a área de um polígono, basta multiplicar o semiperímetro pelo apótema.

• Podemos imaginar a circunferência como sendo um polígono de infinitos lados, em que o apótema equivale ao raio.

• O comprimento da circunferência é C = 2..r, portanto, o seu semiperímetro é p = .r. Assim, a área do círculo é dada por:

2 . . . . r Área r r Área a p Área     

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• Área do setor circular

• A área do setor circular é diretamente proporcional à medida do ângulo central.

área ângulo central

círculo: .r2 _360 setor: A_s 

360

.

.

r

A







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• Área da coroa circular

• A área da coroa circular é dada pela diferença entre as áreas do círculo de raio R e o círculo de raio r, em que R > r.

• Portanto, a área da coroa é dada por:

2 2 2

)

(

.

.

r

R

A

r

R

A















Referências Bibliográficas

IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática

Elementar Volume 2. São Paulo: Atual, 2010.

IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática

Elementar Volume 2. São Paulo: Atual, 2010.

DANTE, Luiz Roberto; Matemática Contextos e Aplicações Vol. 1. São Paulo: Ática, 2012.

LOPES,Luiz F.;CALLIARI,L. R. Matemática Aplicada na Educação

Profissional. Curitiba: Base, 2010.

SOUZA,J. R. Coleção Novo Olhar Matemática.V.2.São Paulo: FTD, 2010. RIBEIRO,J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. vol.2.São Paulo: Scipione, 2010.

BASSANEZI,R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher,1996. CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4. ed. Lisboa: Gradiva, 2002.