1 2 MatrizesDeterminantes

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA

MATEMÁTICA I

Exercícios

Matrizes e Determinantes

LICENCIATURAS EM: CONTABILIDADE FINANÇAS EMPRESARIAIS GESTÃO ANO LECTIVO 2009/10

I. Matrizes de números reais

1. Considere as seguintes matrizes de números reais:

A  1 −1 −2 2 2 −5 3 −1 0 1 −1 2 , B  −1 0 2 1 1 −2 , C  2 3 −1 , D  −2 1 −1 e E  2

a. Indique o tipo de cada uma das matrizes.

b. Identifique na matriz A os elementos a13, a22 e a34.

2. Considere as matrizes reais

A  0 2 −3 4 −1 2 4 1 −1 , B  2 0 −1 3 1 2 1 2 3 e C  1 −1 2 0 1 1

Calcule, quando possível:

a. A B, 3A, A  2B, AT_{e C}T_. b. AB, BA, BC e CB.

c. AA  B, A  BA e A2 _{ AB}

d. AT_BT_CT_{, A}TBCT_{e A}TCBT

3. Sendo A e B matrizes do mesmo tipo em que condições se tem: a. A  B2 _{ A}2 _{ 2AB  B}2

b. A  BA − B  A2 _{− B}2

4. Indique os valores de a, b, c e d de modo que a matriz A 

1 a −1 7 4 b c −3 d seja simétrica. 5. Seja A  2 −2 −4 −1 3 4 1 −2 −3 e I  1 0 0 0 1 0 0 0 1 a. Verifique que AI  IA  A.

b. Mostre que A é uma matriz idempotente, ou seja, tal que A2  A.

6. Sejam A  1 2 1 0 −1 1 0 0 2 e B  1 2 1 2 −1 1 4 3 3

. Mostre, por definição, que:

a. As filas de A são linearmente independentes. b. As filas de B são linearmente dependentes.

7. Diga, justificando, o que se pode concluir àcerca da dependência das linhas e colunas das matrizes A  1 2 1 1 0 −1 1 −1 0 0 2 1 e B  1 2 1 1 0 0 −1 1 −1 0 0 0 2 1 2

8. Sem efectuar qualquer cálculo diga, justificando, qual a característica das seguintes matrizes:

A  2 1 3 1 −1 0 −1 5 2 3 0 0 3 0 2 , B  2 1 3 0 −1 1 0 0 3 , C  0 1 0 0 0 0 0 0 0 , D  2 1 3 0 0 1 0 0 0 E  2 1 3 1 0 0 1 1 0 0 0 2 , F  2 1 3 1 0 0 1 1 0 0 1 1 e G  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9. Utilizando condensação determine a característica das seguintes matrizes de números reais:

A  2 1 1 1 , B  5 3 2 2 2 0 4 0 1 , C  2 −3 4 3 1 5 −1 0 −1 0 2 0 , D  1 2 0 −1 −1 0 2 1 0 2 2 0 1 0 2 −1 , E  1 2 0 3 3 1 2 −1 5 5 2 5 7 4 4 1 e F  1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

10. Discuta a característica das seguintes matrizes em função do parâmetro real a.

A  a −1 3 4 −a −1 a −1 −4 e B  2 1 −1 1 2 1 0 a 2 a 4 2 11. Considere a matriz A  1 k k 1 k 4 1 0 −4 .

a. Sem efectuar qualquer cálculo diga, justificando, o que se pode concluir quanto à

dependência das filas de A quando k  4?

12. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares pelo método da condensação da matriz ampliada: a. 2x 2y  z  2 2x y  3z  8 2x 5y  3z  −12 b. x z  w  2 y− z − w  2 3x y  z − 2w  4

13. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x y  z  1 x− 2y − z  0

−x  5y  3z  0

a. Mostre que o sistema é impossível.

b. Sendo A a matriz do sistema, indique a sua característica e, se possível, escreva uma linha

como combinação linear das restantes.

14. Utilizando o método de triangulação de Gauss, discuta cada um dos seguintes sistemas de

equações lineares, em função dos parâmetros correspondentes:

a. x 2y  z   4x y  3z  15 3x− y  2z  7 ,  ∈ IR. b. x y  z  1 x ay − z  0 x y  b a, b ∈ IR. c. x 2y − 5z  2b x y − 6z  b x ay − 2z  1 a, b ∈ IR. d. x y  z  3 −x  2y − 3z  0 2x− y  az  b a, b ∈ IR. e. x y  z  1 x 2y  z  1 x 2y  z   ,  ∈ IR. f. x− 2y  2z  w  1 x− y  z  k  1w  1 kx y − z  kw  0 k ∈ IR. 15. Mostre que:

a. A inversa duma matriz quando existe é única.

b. Se A é uma matriz invertível e ≠ 0 então também são invertíveis AT _eA. c. Se A e B são matrizes invertíveis então também o são AB e BA tendo-se:

AB−1 _{ B}−1_A−1 _{e BA}−1 _{ A}−1_B−1

16. Calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

A  2 1 1 1 , B  −1 2 1 2 , C  2 3 −2 2 2 0 −4 0 1 e D  4 6 −4 4 4 0 −8 0 2

18. Sendo A, B e C matrizes invertíveis, resolva, em ordem a X, as seguintes equações: a. 2A 3X  −B

b. AXB  C

c. AX  2ICT  B  C (I é uma matriz identidade) d. XAT_2B−1_{ A  0} e. AX  IT_B2 _{ C} 19. Dadas as matrizes: A  1 0 −1 2 1 1 , B  1 3 1 0 −1 1 1 −3 −1 e C  1 2 −2 1 0 1

a. Calcule a matriz X que satisfaz a seguinte equação: 2C − BXT_T _{ 3A}

b. Sem efectuar qualquer operação que conclui quanto à (in)dependência das filas de C? c. Qual a característica de C?

d. Exprima a 3ª linha de C como combinação linear das restantes.

20. Seja A 

3 −1 2 2 1 1

a −1 2

, com a ∈ IR.

a. Determine o valor de a para o qual a matriz não é invertível. b. Fazendo a  2, calcule A−1.

21. Sendo A  2 −1

1 0 e B 

1 2

−1 0 determine X tal que A BX

T _{ I.} 22. Sendo A  2 8 −4 1 0 −1 1 4 k , com k ∈ IR.

a. Determine k de modo que A seja invertível b. Para k  0 determine A−1. 23. Considere as matrizes A  1 2 7 0 1 2 1 2 8 e B  2 0 0 1 1 1 0 2 −1

Determine a matriz X que satisfaz A2 _{ AX  B, explicitando previamente X.}

24. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x y  z  1 x− 2y − z  0

−2x  5y  3z  0

a. Escreva o sistema usando notação matricial.

25. Sabendo que AX  B representa um sistema de equações lineares possível determinado, o que

conclui quanto à natureza de AX  C, com C ≠ B? Justifique.

26. Seja A  1 −1 2 1 1 −1 −1 −5 7 , X  x y z e B  1 2 −4 .

a. Escreva o sistema de equações lineares associado à equação AX  B. b. Verifique que AX  B não pode ser resolvido por explicitação da matriz X.

c. Mostre que o sistema é possível indeterminado e determine a solução geral. d. Escreva, se possível, uma linha de A como combinação linear das restantes. 27. Discuta em função do parâmetro real os sistemas de equações lineares:

a. x y  z  1 x y  z  0 2x 3z   b. x y  z  3 −x  2y − 3z  0 x y  

28. Para o sistema do exercício 14.a. faça k  0 e escreva uma solução geral.

29. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Prove que os sistemas de n equações a n incógnitas,

AX  B e A−1X  C possuem a mesma solução se e só se B  A2_C.

Soluções:

2.a.ii. AB  3 −4 −5 7 3 0 10 −1 −5 , BA  −4 3 −5 12 7 −9 20 3 −2 , CB  1 3 3 4 3 5 , iii. AA  B  A2 _{ AB } −1 −9 2 11 14 −16 10 5 −14 , A  BA  −8 −2 2 16 18 −25 20 9 −11 , iv. ATBTCT  ATCBT  24 32 2 10 0 −11 . 8. rA  3, rB  3, rC  1, rD  2, rE  3, rF  2, rG  0. 9. rA  2, rB  3, rC  3, rD  3, rE  2, rF  4. 10. rA  2 se a  2 3 se a ∈ IR \ −2, 2 , rB  2 se a  2 3 se a ≠ 2

11. b. rA  3  k ≠ 0 ∧ k ≠ 4 12. a. x y z  23 4 −5 1 2 b. x y z w  −2  3w 6− 3w 4− 4w w , w ∈ IR. 13. b. rA  2. L3  L1 − 2L2. 14. a.  ≠ 1 ∧  ∈ IR  SPD   1 ∧  ≠ 8  SImpossível   1 ∧   8  SPI c/ GI1 b. a ≠ 1 ∧ b ∈ IR  SPD a  1 ∧ b ≠ 1₂  SImpossível a  1 ∧ b  1 2  SPI c/ GI1 c. a ≠ 5 ∧ b ∈ IR  SPD a  5 ∧ b ≠ 1 5  SImpossível a  5 ∧ b  1₅  SPI c/ GI1 d. a ≠ 4 ∧ b ∈ IR  SPD a  4 ∧ b ≠ 3  SImpossível a  4 ∧ b  3  SPI c/ GI1 e.  ∈ IR ∧  ≠ 1  SImpossível  ∈ IR ∧   1  SPI c/ GI1 f. k  −1₂  SImpossível k  0  SPI c/ GI2 k ∈ IR\−1₂, 0  SPI c/ GI1

16. A−1  1 −1 −1 2 , B −1 _ − 1 2 1 2 1 4 1 4 , C−1  −1 9 1 6 − 2 9 1 9 1 3 2 9 −4 9 2 3 1 9 , D−1  − 1 18 1 12 − 1 9 1 18 1 6 1 9 −2 9 1 3 1 18

17.A3_B2_−1 _{ B}−1_2_A−1_3_eA3_B2_C3_−1 _{ C}−1_3_B−1_2_A−1_3_.

18. a. X  −2 3A− 1 3B  −1 −4 3 −1 −4 3 b. X  A−1CB−1 c. X  A−1B  CCT_−1_{− 2I d. X  −2ABA}T_−1 _{e. X  A}−1 _CB−1_2_T _{− I} 19.a. X  B−12C − 3ATT  1 1 2 − 7 2 −3 2 1 8 − 7 8 d. L3  2₅L1  1₅L2

20. a. Para a  3 a matriz não é invertível. b.

3 −1 2 2 1 1 2 −1 2 −1  1 0 −1 −2 3 2 3 1 3 −4 3 1 3 5 3

21. X  B−1−AT _{ I } −1 −1

0 0

22. a. A matriz é invertível para k ≠ −2. b.

2 8 −4 1 0 −1 1 4 0 −1  −1 4 1 1 2 1 16 − 1 4 1 8 −1 4 0 1 2 23. X  −A  A−1B  5 −10 −6 5 −4 1 −3 0 −9 24. b. X  1 1 −1 T

26. b. Basta mostrar que A não é regular. 26. c. XT  _{x y z}  3 2 − 1 2z 1 2  3 2z z d. L3  2L1 − 3L2. 27. a.  ≠ 1  SPD

  1  SPI c/ GI1 b. O sistema é possível determinado∀ ∈ IR.

28. O sistema é de GI2. A solução geral é X 

x y z w  −w  1 z z w , com z, w ∈ IR.

II. Determinantes

1. Recorrendo ao método de condensação e/ou ao teorema de Laplace, calcule o determinante das

seguintes matrizes de números reais:

A  2 0 1 1 1 0 0 1 1 , B  2 −3 4 3 1 5 0 2 0 , C  1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 , D  1 2 0 −1 −1 0 2 1 0 2 2 0 1 0 2 −1 , E  1 2 0 3 3 1 2 −1 5 5 2 5 7 4 4 1 e F  1 5 3 2 0 2 2 0 2 4 0 1 3 7 1 3

2. Calcule as adjuntas e as inversas das matrizes A e B do exercício 1.

3. Seja A 

3 −1 2 2 1 1

a −1 2

, com a ∈ IR.

a. Determine o valor de a para o qual a matriz não é invertível. b. Fazendo a  2, calcule AdjA e A−1.

4. Sendo A 

2 8 −4 1 0 −1 1 4 k

, com k ∈ IR.

a. Determine k de modo que A seja invertível.

b. Para k  0 determine A−1, usando a matriz adjunta.

5. Recorrendo à Regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:

a. 2x 2y  z  2 2x y  3z  8 2x 5y  3z  −12 b. x y  z  1 x 2y − z  0 x y  1

6. Considere o sistema de equações lineares

x 3y  3z  b x 3ay  3az  b

x 3y  az  b

a. Determine os valores de a e b de modo que o sistema tenha apenas a solução nula. b. Fazendo a  0 e b  1, determine, por explicitação, a matriz X  x y zT_.

7. Dado o sistema de equações lineares x 2y − kz  k kx y  z  1 2 k  1x  2y  2z  k k ∈ IR

a. Calcule o determinante de A, matriz dos coeficientes do sistema, e indique para que valores

de k o sistema é possível determinado. Obtenha a solução do sistema para k  1.

b. Sabendo que, para k  −1, a matriz A satisfaz a relação A3 _{− 4A}2 _{ 5A − 2I  0, calcule,}

com base neste resultado, a inversa de A. Confirme o resultado obtido.

(Sugestão: Começe por mostrar que A3 _{− 4A}2_{ 5A − 2I  0 é equivalente a}

A−1  1₂A2_{− 4A  5I.} 8. Considere a matriz A  1 1 1 1 2 3 1 4  , com ∈ IR.

a. Determine sabendo que o seu valor é igual ao seu complemento algébrico. b. Quais os valores de que tornam o sistema AX  0 possível e determinado?

c. Discuta em função dos parâmetros e  a natureza do sistema AX  0  1T_. 9. a. Recorrendo ao teorema de Laplace calcule o seguinte determinante

1 2 0 1 0 1 1 1 3 2 2 0 1 0 1 1

b. Confirme o resultado por um processo alternativo. 10. Considere a seguinte equação matricial

AXB−1  1

4I

−1

onde A, B representam matrizes regulares e I representa a matriz identidade.

a. Explicite X. b. Sabendo que A  1 −1 0 −1 3 2 2 2 5 e B  1 2 3 0 2 2 3 0 0 calcule: i. AdjA ii. X 11. Determine o valor de −2 −2a 2 2c −4 −14 −2 −6b −4 sabendo que 1 a −1 1 3 b 2 3 −c 2 7  5.

12. Se Fx  ux vx

wx yx mostre que, existindo as respectivas derivadas, se tem: F′x  u

′_{x v}′_x

wx yx 

ux vx w′x y′x

13. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes e sabendo que

d− 1 2 d d− 1 1 2 0 1 2a 2b 2c  4 calcule a 1 1 b 0 1 c 2 1 . 14. Seja C  a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a , com a ∈ IR.

a. Verifique que |C|  a  3a − 13

b. Para que valores de a a matriz é invertível?

c. Se a  −3 que pode dizer quanto à independência linear das colunas de C? E das linhas?

Justifique e, em caso de dependência, escreva uma como combinação linear das restantes.

d. Para que valores de a o sistema de equações lineares associado a CX  0 tem apenas a

solução nula?

Soluções:

1. |A|  3, |B|  4, |C|  1, |D|  |E|  |F|  0. 2. AdjA  1 1 −1 −1 2 1 1 −2 2 , A−1  1 3 1 3 − 1 3 −1 3 2 3 1 3 1 3 − 2 3 2 3 AdjB  −10 8 −19 0 0 2 6 −4 11 , B−1  −5 2 2 − 19 4 0 0 1 2 3 2 −1 11 4 3. a. a  3. b. AdjA  3 0 −3 −2 2 1 −4 1 5 A−1  1 0 −1 −2 3 2 3 1 3 −4 3 1 3 5 3

4. Igual ao exercício 19 de matrizes. 5. a. O sistema é o do exercício 21.a.

5. b. X  2 −1 0

T

6. a. Para que um sistema AX  B tenha a solução X  0 então tem que ser B  0. Como

B  b b bT_{então b  0. Para que a solução seja única então tem que |A| ≠ 0, donde sai a ≠ 1 e}

a ≠ 3. b. X  x y z  A−1_{B } 0 1 0 0 −1 3 1 3 1 3 0 − 1 3 1 1 1  1 0 0 .

7. a. |A|  k − 1−k − 2. Matriz regular para k ≠ 1 e k ≠ −2.

b. SPI, com GI1. A solução geral é X 

x y z  −3z 2z 1₂ z , com z ∈ IR. c. A−1  1₂A2 _{− 4A  5I } 0 −3 3₂ 1 1 0 −1 −1 3 2 8.a. a  1 b. a ≠ 7 c.  ≠ 7 ∧  ∈ IR  SPD   7 ∧   1 3  SPI, c/ GI1   7 ∧  ≠ 1 3  SImpossível 9.a. |A|  9 10. AdjA  11 5 −2 9 5 −2 −8 −4 2 , X  4A−1B  10 64 86 6 56 74 −4 −48 −64 11. −2 −2a 2 2c −4 −14 −2 −6b −4  24 1 a −1 1 3 b 2 3 −c 2 7  120.

13. De notar que tem que ser d ≠ 0. A solução é

a 1 1 b 0 1 c 2 1  −4 d. 14. b. a ≠ −3 e a ≠ 1.

14. c. As linhas e as colunas são linearmente dependentes. Tem-se, por ex., L4  −L1 − L2− L3.

III - Exercícios de Revisão

1. Sejam ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 5 1 0 2 2 1 1 2 a a A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 4 0 2 a B e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = z y x X .

a) Discuta, em função do parâmetro real a , o sistema de equações AX = . B

b) Faça a =1 e resolva, por explicitação da matriz das incógnitas, o sistema de equações

B AX = .

c) Utilizando a regra de Cramer confirme o resultado de y obtido na alínea anterior.

2. Considere as matrizes reais

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = x y y x C 1 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 e ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = 1 2 0 1 2 2 1 0 0 1 2 1 0 2 2 1 1 1 z z z z D . a) Calcule o determinante de C .

b) Seja E a matriz obtida de C fazendo x=1 e y=2.

b.1) Justifique se as linhas da matriz E são linearmente independentes.

b.2) Mostre que D = E .

3. Resolva a equação matricial

(

A+B

)

XTC−1 = ATBC sabendo que as respectivas matrizes são invertíveis.

4. Considere o sistema de equações lineares = = 2 x y z x y z x y z + + = + + + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ α α α α α 0 0 (α ∈ IR).

a) Discuta-o em função do parâmetro α.

b) Faça α = 2 e resolva o sistema por explicitação da matriz das incógnitas.

5. Considere as matrizes A= − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 3 1 1 1 1 1 1 1 β e B= − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 2 1 1 0 1 1 0 1 1 .

a) Utilizando o teorema de Laplace, determine os valores de β de modo que a característica de

A seja igual a 3.

b) Calcule B adj B. ( ) e utilize este resultado para determinar B−1.

6. Considere as matrizes ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 0 1 α α α A (α∈IR), X =

[

x y z

]

T e B=

[

1 2 3

]

T.

a) Determine, justificando, os valores de α para os quais o sistema AX = pode ser resolvido B

pela regra de Cramer.

b) Admita que α =1.

i) Calcule A e utilize este resultado para obter a solução do sistema −1 AX = . B

ii) Utilizando a regra de Cramer confirme o resultado de y obtido em i).

iii) Sendo C =2A, calcule det(C), utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes. Justifique.

7. Considere as matrizes reais

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α α α 1 1 1 0 0 1 A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 1 2 1 0 1 0 1 B .

a) Mostre que o sistema de equações AX = , com C C =

[

0 0 α

]

T, é possível e determinado, qualquer que seja o valor do parâmetro real α.

b) Calcule B e utilize este resultado para obter a solução do sistema −1 BX =

[

1 2 3

]

T.

c) Determine os valores de α para os quais det(A+ B)=0.

8. Considere as seguintes matrizes reais:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 1 1 1 2 1 1 α α A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 0 0 1 2 2 0 1 B .

a) Verifique que as linhas da matriz B são linearmente independentes.

b) Calcule os valores de α para os quais _A−1= _Adj(_A)_.

c) Considere α =0 e calcule A . −1

d) Usando o resultado obtido na alínea c) determine a matriz X tal que (AX)T −B =I.

9. Considere o sistema de equações lineares

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + = + + β α = 2 2 = 2 -1 z y x y x z y x

(

α,β ∈IR

)

.

a) Determine os valores de α e β para os quais (x,y,z)=(1,1,-1) é solução do sistema.

b) Discuta o sistema em função do parâmetros reais α e β.

10. Considere as matrizes reais ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = α α 1 0 1 0 1 1 1 A , X =

[

x y z

]

T e B=

[

1 0 2

]

T.

a) Discuta, em função do parâmetro real α, o sistema de equações AX = . B

b) Admita que α =2.

i) Calcule A e utilize este resultado para obter a solução do sistema −1 AX = . B

ii) Utilizando a regra de Cramer confirme o resultado de z obtido em i).

c) Determine os valores de α para os quais det(A+ I)=0.

11. Considere as matrizes reais

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 1 1 0 0 1 α α A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 4 0 2 1 2 0 2 0 2 B .

a) Determine, justificando, o valor de α para o qual a matriz A+B é simétrica.

b) Discuta, em função dos parâmetros reais α e β , o sistema A

[

x y z

] [

T = 0 1 β

]

T.

c) Admita que α =2.

i) Calcule A e utilize este resultado para obter a solução do sistema −1

[

] [

T

]

T

z y x

A = 1 1 −1 .

ii) Utilizando a regra de Cramer confirme o resultado de y obtido em i).

d) Determine os valores de α para os quais det(A)<det(B).

12. Considere as matrizes reais

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 1 1 0 0 1 α α A e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 4 0 2 1 2 0 2 0 2 B .

a) Determine, justificando, os valores de α para os quais a matriz A é singular.

b) Mostre que o sistema (A+B)

[

x y z

] [

T = 3 1 α

]

T é possível e determinado, ∀α∈IR.

c) Calcule )adj(B e utilize este resultado para determinar _{B .} −1

Soluções:

1.a)

2 2 Sistema Possível Determinado

2 Sistema Possível Indeterminado com GI=1

2 Sistema Impossível a a a a ≠ ∧ ≠ − ⇒ = ⇒ = − ⇒ b) 1 1 3 6 3 4 T X = −⎡_⎢ − ⎤_⎥ ⎣ ⎦ 2.a) C =x x( − −1) y y( + 1) b1) E = − ≠ 6 0. 3.

(

(

)

1 2

)

T T X = A B+ − A BC 4.a)

1 1 Sistema Possível Determinado

1 Sistema Possível Indeterminado com GI=1

1 Sistema Impossível a α α α ≠ ∧ ≠ − ⇒ = − ⇒ = ⇒ b) X = A B−1 =

[

0 −4 4

]

T 5. a) β ≠ − b) 1 4 0 0 . ( ) 0 4 0 4 0 0 4 B adj B I ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥}= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 1 1 1 0 2 2 1 1 1 Conclui-se que 0 4 2 2 1 1 0 2 2 B− adjB ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = =_⎢ − _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 6.a) α ≠ − 1 b. i) 1 1 1 1 1 2 2 2 ₁ 1 1 1 , 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 A− X A B− ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = −_{⎢ ⎥} = _{= ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ iii) 16C = − 7.b) 1 3 1 1 1 2 2 2 1 0 1 , 2 1 1 1 0 2 2 2 B− X ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} = −_{⎢ ⎥} =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥⎣ ⎦} − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c) det(A+B)= ⇔ = −0 α 3 ∨ α= 3

8.a) Por exemplo, B = ≠ b) 6 0 α = ∨0 =3α c) 1

1 1 1 4 2 3 2 1 1 A− − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ d) 4 0 2 14 4 7 6 2 2 X − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 9.a) α = ∧0 =4β

b)

3 IR Sistema Possível Determinado 3 1 Sistema Impossível

3 1 Sistema Possível Indeterminado c/ GI=1

α β α β α β ≠ − ∧ ∈ ⇒ = − ∧ ≠ ⇒ = − ∧ = ⇒ c) 7 8 y=

10.a) 0 Sistema Possível Determinado

0 Sistema Impossível α α ≠ ⇒ = ⇒ b.i) 1 3 1 3 4 2 4 T X = A B− = ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦ c) 1 5 1 5 det( ) 0 2 2 A+I = ⇔ =α − − ∨ α =− + 11. a) α= 2 b)

1 1 Sistema Possível Determinado

1 =0 Sistema Possível Indeterminado com GI=1

1 0 Sistema Impossível IR α α β α β α β ≠ ∧ ≠ − ∧ ∈ ⇒ = ± ∧ ⇒ = ± ∧ ≠ ⇒ c.i) 1 1 2 0 3 3 ₁ 2 1 1 , 0 3 3 1 2 1 0 3 3 A− X ⎡₋ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = −_{⎢ ⎥ = ⎢ ⎥} ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ d) det( )A <det( )B ⇔ ∈ −α

]

5, 5

[

12.a) α= ± b) 1 Por exemplo, pode-se mostrar que det(A B+ )≠0, ∀ ∈α IR

c) 1 1 1 0 3 6 8 0 4 1 1 1 ( ) 2 12 2 , 12 2 12 4 0 4 1 1 0 6 6 adj B B− ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = −_⎢ − _⎥ = −_⎢ − _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , d) 1 1 1 3 6 1 1 0 6 12 1 1 0 3 6 X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢_{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦