Capítulo 1: Erros em cálculo numérico
1. IntroduçãoUm método numérico é um método não analítico, que tem como objectivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de um certo problema.
Ao contrário das metodologias analíticas, que conduzem a soluções exactas para os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este facto, antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A precisão dos cálculos numéricos é também, como veremos, um importante critério para a selecção de um algoritmo particular na resolução de um dado problema.
A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto chama-se erro.
2. Fonte e tipos de erros
A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando um modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar quatro tipos de erros.
i) Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, em regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável.
ii) Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximados. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final.
iii) Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura.
iv) Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento.
Erros inerentes ao modelo e erros inerentes aos dados são erros iniciais do problema, exteriores ao processo de cálculo; Os erros de truncatura e erros de arredondamento ocorrem no processo de cálculo duma solução numérica.
3. Erros de truncatura
Os erros de truncatura dependem do método numérico utilizado e por isso serão individualmente analisados ao estudar os vários métodos no decurso dos diferentes capítulos da disciplina.
Vamos limitar aqui a análise a um exemplo concreto que ajuda a uma melhor percepção deste tipo de erros.
A generalidade dos métodos numéricos, como veremos ao longo da disciplina, são baseados na aproximação de funções por polinómios. Por essa razão, quando um erro de um método numérico é questionado, temos de verificar a precisão com que o polinómio aproxima a verdadeira função.
Sabemos que o desenvolvimento de Taylor, que é uma série de potências infinita, representa de forma exacta uma função no interior de um intervalo de convergência. Comparando o desenvolvimento polinomial da solução numérica com o desenvolvimento em série de Taylor da solução exacta, particularmente determinado para que ordem ocorre a discrepância, torna-se possível avaliar o erro de truncatura.
Consideremos uma função f contínua e com derivadas contínuas, de qualquer ordem, nas vizinhanças de uma abcissa x=a, então f pode ser representada de forma exacta e única em qualquer ponto x na vizinhança de x=a (mais exactamente, no intervalo ]a-R, a+R[ denominado intervalo de convergência; R é o raio de convergência da série para x=a) através da série de potências: ( ) ... ! ) ( ... 2 ) ( ! 2 ) ( ' ' ) )( ( ' ) ( ) ( ) ( + − + + − + − + = x a n n a f a x a f a x a f a f x f n designada por representação em série de Taylor.
A expansão de Taylor de uma função para a=0 (corresponde a representar a função no intervalo ]-R, R[) é designada por série de MacLaurin. ... ! ) 0 ( ... 2 ! 2 ) 0 ( ' ' ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( + + + + + = xn n f x f x f f x f n
Exemplo: Representação em série de MacLaurin de ex, sin(x) e cos(x):
∑
∞ = = + + + + + = 0 2 ! ... ! ... ! 2 1 i i n x i x n x x x e∑
∞ = − = + − + − = 0 2 6 4 2 ) cos( )! 2 ( ) 1 ( ... ! 6 ! 4 ! 2 1 i i i x i x x x x∑
∞ = − − − − = + − + − = 1 1 2 1 7 5 3 ) sin( )! 1 2 ( ) 1 ( ... ! 7 ! 5 ! 3 i i i x i x x x x xNas aplicações praticas, a série de Taylor tem de ser truncada após um termo de certa ordem pois é impossível incluir um número infinito de termos. Se a série de Taylor for truncada após o termo de ordem n, será expressa como: ( ) ( ) ! ) ( ... 2 ) ( ! 2 ) ( '' ) )( ( ' ) ( ) ( 1 ) ( x R n a x n a f a x a f a x a f a f x f n n + + − + + − + − + = (1.1)
em que Rn+1(x) representa o erro originado por truncar os termos de ordem n+1 e superiores. O erro pode ser expresso por:
1 ) 1 ( 1 ( 1)! ( ) ) ( ) ( + + + = + − n n n n x a f x R ξ com a≤ξ≤x.
Como ξ não pode ser determinado de forma exacta, o erro é frequentemente aproximado fazendo ξ=a.
Fazendo h=x-a em (1.1) obtém-se:
) ( ! ) ( ... 2 ! 2 ) ( ' ' ) ( ' ) ( ) ( 1 ) ( x R n h n a f h a f h a f a f a h f n n + + + + + + = +
Exemplo: Da análise matemática sabem que existe o limite x x x ) 1 ( lim + 1 ∞
→ e que o seu valor é o número irracional e. Para que este
número seja utilizado, é necessário conhecer o seu valor. Através da sua definição não é possível calcular o seu valor exacto, tanto pela complexidade das operações a efectuar como pela impossibilidade de atingir o limite. Recorre-se então a um processo de cálculo mais simples, que fornece um valor aproximado desse número dentro de um certo grau de precisão considerado satisfatório.
∑
∑
∞ = ∞ = = = = 0 0 1 ! 1 ! 1 i i i i i e eTruncando a série, por exemplo, após os oito primeiros termos obtemos
7182539 . 2 ! 7 1 ... ! 3 1 ! 2 1 1 1 ! 1 7 0 = + + + + + = =
∑
= i i ecujas primeiras quatro casas decimais coincidem com o valor exacto de e. Quantos mais termos da série de Taylor tomarmos, mais nos aproximamos do valor exacto.
O exemplo anterior ilustra um método numérico para o cálculo do número e entre outros possíveis. Utilizando a expansão em série de Taylor, truncamos a série infinita, utilizando uma soma parcial. Este tipo de erro motivado por truncar uma série - chamado erro de truncatura – é inerente à maioria dos métodos numéricos.
4. Erros de arredondamento
Os erros de arredondamento estão associados ao facto dos computadores utilizarem um número limitado de dígitos para representarem números.
5. Valores aproximados, erros e precisão
Quando um número real não pertence ao sistema de numeração dum computador é representado por um número desse sistema por arredondamento. A discrepância entre o valor real e o valor arredondado é denominado erro de arredondamento. Duas medidas podem ser utilizadas para o quantificar: o erro absoluto e o erro relativo.
Seja
x
o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. O erro dex
, define-se como: ∆x = x − x.Define-se ainda erro absoluto de
x
, como o valor absoluto de x∆ , | x∆ |.Exemplo:
π
=3.14159265... eπ
=7 22
=3.14285714… donde ∆ =
π
0.00126449…Nos números anteriores os ... indicam que os números possuíam mais dígitos, mas que nós não queremos ou não podemos continuar a representá-los. Uma situação deste tipo ocorre sempre que um número não pode ser representado por um número exacto de casas decimais. Sempre que no decurso dos cálculos ocorra uma situação análoga temos que decidir com quantos dígitos queremos trabalhar. Este aspecto é de particular importância quando de utilizamos computadores pois este retém apenas um número fixo de algarismos.
Como estamos a lidar com aproximações, é necessário estabelecer critérios para avaliar o seu grau de precisão.
No exemplo anterior, se estivéssemos a trabalhar com 3 casas decimais
π
=3.142 e ∆ =0.0004073...<0.5×10π
-3.Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para k casas decimais correctas sse:
k x
x
x = − ≤ × −
∆ 0.5 10 .
A importância dum erro pode, em geral, ser melhor apreciada se o compararmos à quantidade a ser aproximada, ou seja, utilizando o erro relativo,
x x rx = ∆
O erro relativo como expressa o erro como fracção de x está relacionado com o erro percentual, erro percentual ou percentagem de erro define-se como |rx|×100.
Na prática o que se utiliza é um limite superior de qualquer dos erros, uma vez que para conhecermos x∆ ou rxteríamos de conhecer o valor exacto de x.
6. Propagação do erro
O objectivo primordial do cálculo de erros consiste em dados os erros de um conjunto de quantidades, determinar o erro de uma dada função dessas quantidades.
Dada uma função f(x, y, z) das variáveis x, y, z determinar um limite superior do valor absoluto do erro que vem para o valor da função, f , quando se utilizam os valores aproximados x, y , z . Este problema pode
ser resolvido com base na fórmula de propagação do erro:
z z y x z f y z y x y f x z y x x f f ≤ ∆ + ∆ + ∆ ∆ ( , , ) ( , , ) ( , , )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Exemplo: Determinar um limite superior do erro absoluto do volume de
uma esfera, 3
6 1 =
V
π
d , se o diâmetro é d=3.7±0.05 cm eπ
≅ 3.14.Resolução: Considerando
π
e d como variáveis, calculemos as derivadas parciais: 3 6 1 = V d∂π
∂
e 2 2 1 = V d d π∂
∂
Sendo
