Introdução à Teoria da Elasticidade Não Linear

(1)

TEORIA DA ELASTICIDADE NÃO LINEAR

Márcio André Araújo Cavalcante

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Centro de Tecnologia – CTEC

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Maceió - Alagoas

Introdução à Teoria da

Elasticidade Não Linear

(2)

CARACTERÍSTICAS DE UMA ANÁLISE

LINEAR ELÁSTICA:

 Relações Cinemáticas que desprezam os

Movimentos de Corpo Rígido

:

 Relações Constitutivas Lineares (

Lei de Hooke

Generalizada

):

 Condições de contorno que não mudam durante o processo de

deformação do corpo:

 Imposição do Equilíbrio utilizando a

Configuração Inicial

ou

Indeformada

:

onde x_j são coordenadas referentes à configuração inicial ou indeformada do corpo.

onde n_j são componentes do vetor unitário normal à superfície do corpo indeformado.

(3)

CARACTERÍSTICAS DE UMA ANÁLISE

LINEAR ELÁSTICA:

e

(4)

FONTES DE NÃO LINEARIDADE:

e

Não linearidade física Não linearidade geométrica

Não linearidade nas Condições de Contorno Essenciais Não linearidade nas Condições de Contorno Naturais

(5)

DESCRIÇÕES

LAGRANGEANA

E

EULERIANA

DO MOVIMENTO:

C

_t= Configuração do corpo no tempo

t

 Descrição Lagrangeana do Movimento:

X_j são denominadas coordenadas materiais

ou Lagrangeanas.

x_i são pontos do espaço ocupados pela partícula X_jdurante o movimento.

C

₀= Configuração inicial do corpo

(6)

DESCRIÇÕES

LAGRANGEANA

E

EULERIANA

DO MOVIMENTO:

C

₀= Configuração inicial do corpo

C

_t= Configuração do corpo no tempo

t

 Descrição Euleriana do Movimento:

x_j são denominadas coordenadas espaciais

ou Eulerianas.

X_i são as partículas que passam pelo ponto x_jdurante o movimento.

(7)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

onde:

Deformação do elemento infinitesimal

dX

:

 Tensor Gradiente de Deformação:

Movimento do ponto

P

:

Movimento do ponto

Q

(

vizinho ao

ponto P

):

(8)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Densidade do Material e Variação de Volume:

Conservação da massa (

Física Newtoniana

):

onde:

Tempo 0

(9)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

(10)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Densidade do Material e Variação de Volume:

O material do corpo não pode penetrar ele mesmo, e o volume final

não pode ser comprimido a um ponto ou expandido para um volume

infinito durante o movimento.

(11)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

onde

U

,

V

e

R

existem e são únicos.

U

e

V

são tensores simétricos positivo-definidos:

R

é um tensor ortogonal próprio:

(12)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

Como

U

é um tensor simétrico positivo-definido, existe um

conjunto de eixos, denominados

eixos principais

, para os quais

U

é

diagonal

. Para estes eixos, tem-se:

U

_i

são denominados

alongamentos principais

, onde:

(representa um

alongamento simples

na direção

X

_i

)

(representa um

encurtamento simples

na direção

X

_i

)

(representa

nenhuma mudança

na direção

X

_i

)

R

_ik

representa uma

rotação de corpo rígido

do elemento

dy

para o

elemento

dx

:

(13)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

Decomposição do movimento do elemento

dX

:

1) Translação de

X

para

x

2) Deformação (

alongamento

ou

encurtamento

) definida por

U

(14)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

Para a decomposição:

A

rotação

vem antes do

alongamento

ou

encurtamento

.

Os tensores

U

e

V

são conhecidos como

tensores de alongamento à

direita e à esquerda

, respectivamente.

Embora

muito úteis

, o cálculo dos tensores

U

e

V

pode ser

bastante

complicado

, mesmo para as deformações mais simples.

(15)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensores de deformação de Cauchy-Green:

Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita:

Relação com o tensor de alongamento à direita:

Características dos tensores de deformação de Cauchy-Green:

1) São tensores simétricos e positivo definidos.

2) Resultam em um tensor identidade para movimentos de corpo

rígido.

Tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda:

(16)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensores de deformação de Cauchy-Green:

Interpretação alternativa

do tensor de deformação de

Cauchy-Green à direita:

Comprimento do vetor linha

dX

:

Comprimento do vetor linha

dx

:

(17)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensores de deformação de Cauchy-Green:

Interpretação alternativa

do tensor de deformação de

Cauchy-Green à esquerda:

Desta forma:

Onde:

(18)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensor de deformação de Green-Lagrange:

Definição:

Características do tensor de deformação de Green-Lagrange:

1) É um tensor simétrico.

2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rígido.

3) Tensor de deformação Lagrangeano.

(19)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensor de deformação de Almansi:

Definição:

Características do tensor de deformação de Almansi:

1) É um tensor simétrico.

2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rígido.

3) Tensor de deformação Euleriano.

(20)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Componentes de deslocamento para uma descrição Lagrangeana

do movimento:

(21)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensores de deformação em termos das componentes de

deslocamento (Descrição Lagrangeana)

:

Tensor de Deformação de Cauchy-Green à direita:

Tensor de Deformação de Green-Lagrange:

Tensor de Deformação de Engenharia (

Infinitesimal

):

Despreza os termos de segunda ordem do tensor de deformação de Green-Lagrange!

(22)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Componentes de deslocamento para uma descrição Euleriana do

movimento:

(23)

MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO DA MECÂNICA

DO CONTÍNUO:

 Tensores de deformação em termos das componentes de

deslocamento (Descrição Euleriana)

:

Tensor de Deformação de Cauchy-Green à esquerda:

Tensor de Deformação de Almansi:

Tensor de Pequenas Deformações Euleriano (

Infinitesimal

):

Despreza os termos de segunda ordem do tensor de deformação de Almansi!

(24)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Forças de Superfície e Forças de Corpo:

Análise do volume

V

_t

limitado pela superfície

S

_t

na configuração

deformada do corpo:

1) Na mecânica do contínuo nós consideramos a interação entre

porções vizinhas do corpo deformável de forma bastante simplificada.

2) Na realidade, tais interações ocorrem de maneira bastante complexa

(25)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Forças de Superfície e Forças de Corpo:

Na mecânica do contínuo o efeito de todas as

forças interatômicas

através de uma dada superfície

S

_t

é representado por um simples

campo vetorial

t(x,n)

definido em

S

_t

.

Além disso, o efeito de

forças externas

tal como a

gravidade

é

representado por um outro campo vetorial

b(x)

definido no volume

V

_t

.

 Em pontos onde S_t está no interior do corpo, t(x,n) representa a força

por unidade de área em S_t exercida pelo material fora do volume V_t.

 Em pontos onde S_t coincide com a superfície do corpo, t(x,n) pode

representar uma força por unidade de área exercida em S_t por um agente

externo.

 b(x) representa uma força distribuída por unidade de volume causada

(26)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Forças de Superfície e Forças de Corpo:

onde:

t(x,n)

= vetor de tensão ou força de superfície;

b(x)

= força de corpo e

n

= vetor unitário saindo da superfície S.

Desta forma:

(Força resultante no volume V_t)

(27)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Princípio da conservação do momento linear:

“A resultante das forças externas atuando num sistema é igual à taxa de variação total do momento linear do sistema.”

Densidade de momento linear:

Momento linear total no volume V_t:

(28)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Interação entre partes do corpo deformado:

Suponha o volume V_t sendo cortado por uma superficie S’_t em duas

(29)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

Desta forma:

Como e Tem-se:

O que resulta em:

Uma vez que V_t e S’_t são arbitrários!

(30)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Fórmula de Cauchy:

Considere um tetraedro infinitesimal com três faces paralelas aos

planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrário P. A quarta

(31)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Fórmula de Cauchy:

Relações geométricas utilizadas:

onde dh é a altura do tetraedro definida pela distância de P até a quarta

face dA_t.

(32)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Fórmula de Cauchy:

 Onde s_ij são as componentes de um tensor de segunda ordem

conhecido como tensor de tensão de Cauchy.



s

_ij representa a componente na direção j da força por unidade de

área atuando no elemento de superfície da configuração deformada que

tem normal na direção i.

Fórmula de Cauchy: Fazendo-se:

(33)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensor de Tensão de Cauchy:

Representação no cubo infinitesimal das componentes do tensor de

tensão de Cauchy, também conhecido como tensor das tensões

verdadeiras, por ser definido utilizando a configuração final ou

(34)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Equações diferenciais de equilíbrio:

Princípio da conservação do momento linear:

Utilizando-se a fórmula de Cauchy:

(35)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Equações diferenciais de equilíbrio:

Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V_t:

Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma

descrição Euleriana do movimento:

Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes

equações diferenciais de equilíbrio:

(36)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Princípio da conservação do momento angular:

“O momento resultante das forças externas atuando num sistema em relação a um ponto fixo é igual à taxa de variação total do momento angular do sistema em relação a este ponto.”

Densidade do momento angular em relação à origem:

(37)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Princípio da conservação do momento angular:

Em notação indicial tem-se:

Produto vetorial utilizando-se o símbolo de permutação:

(38)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

Simetria do tensor de tensão de Cauchy:

 Princípio da conservação do momento angular:

(39)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Princípio da conservação do momento angular:

Como:

e:

Tem-se:

(40)

Uma vez que a igualdade anterior vale para qualquer região V_t , tem-se:

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Princípio da conservação do momento angular:

Da equação acima pode-se deduzir:

(41)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Relação de Nanson:

Elemento de área orientado na configuração indeformada: Elemento de área orientado na configuração deformada:

(42)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Relação de Nanson:

Onde: logo: Relação de Nanson: ou

Elemento de volume na configuração indeformada: Elemento de volume na configuração deformada:

(43)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff:

Componentes da força atuante no elemento de superfície dS_t da

configuração deformada do corpo:

Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

ou ou  Também conhecido como tensor de tensão de engenharia.  É a tensão geralmente medida em ensaios experimentais.

t(X,N) é o primeiro vetor de tensão de Piola-Kirchhoff que atua na

superfície indeformada do corpo.

É um tensor de tensão energeticamente conjugado ao tensor gradiente de deformação.

(44)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff:

Componentes da força atuante no elemento de superfície dS_t da

configuração deformada mapeada até a configuração indeformada do corpo usando o tensor gradiente de deformação:

Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

Logo:

 Não apresenta significado físico.

 É um tensor de tensão simétrico energeticamente conjugado ao tensor de deformação de Green-Lagrange.

(45)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff:

Princípio da conservação do momento linear usando como referência a configuração indeformada do corpo:

(46)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff:

Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V₀:

Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma

descrição Lagrangeana do movimento:

Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes

(47)

MEDIDAS DE TENSÃO DA MECÂNICA DO

CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff:

Usando a simetria do tensor de tensão de Cauchy obtida aplicando-se o princípio da conservação do momento angular à configuração deformada do corpo, tem-se:

(48)