Metodologia de otimização de redes malhadas através da programação não linear.

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D E P A R T A M E N T O D E E N G E N H A R I A C I V I L

C U R S O D E P Ó S G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L

Á R E A D E R E C U R S O S H Í D R I C O S

M E T O D O L O G I A D E O T I M I Z A Ç A O D E R E D E S

M A L H A D A S A T R A V É S DA P R O G R A M A Ç Ã O N Ã O

L I N E A R

D I S S E R T A Ç Ã O D E M E S T R A D O

K L E B B E R T E O D O M I R O M A R T I N S F O R M I G A

C A M P I N A G R A N D E - P A R A Í B A 1999

(2)

K L E B B E R T E O D O M I R O M A R T I N S F O R M I G A

M E T O D O L O G I A D E O T I M I Z A Ç A O D E R E D E S M A L H A D A S

A T R A V É S D A P R O G R A M A Ç Ã O N Ã O L I N E A R

D i s s e r t a ç ã o apresentada ao curso de

mestrado em Engenharia C i v i l da

Universidade Federal da P a r a í b a em

cumprimento às e x i g ê n c i a s para a

o b t e n ç ã o do Grau de Mestre.

Orientador: Heber Pimentel Gomes

Co-orientador: Wilson Fadio Curi

DIGITALIZAÇÃO:

SISTEMOTECA - UFCG

C A M P I N A G R A N D E - P A R A Í B A

(3)

K L E B B E R TEODOMIRO MARTINS FORMIGA DISSERTAÇÃO A P R O V A D A EM 11/03/1999 H E B E R PIMENTEL fcOMES 'Orientador- Presidente >ON F A D L O CURI Co-Orientador

VAJAPEYAM SRIRANGACHAR SRINIVASAN Componente da Banca JOSÈI C o m p i cbMIR CIRILO nente da Banca Campina Grande - PB

(4)

A g r a d e c i m e n t o s

A D e u s que em seu i n f i n i t o a m o r nos deu a s a b e d o r i a e o c o n h e c i m e n t o n e c e s s á r i o para se c h e g a r ao f i n a l dessa j o r n a d a . A o s meus pais T e o d o m i r o P e r e i r a F o r m i g a e J o v i n a M a r t i n s F o r m i g a , p e l o a m o r e c a r i n h o d i s p e n s a d o d u r a n t e t o d o o p e r í o d o de m i n h a v i d a , e p e l o l e g a d o de v i d a que me d e i x a r a m . A m i n h a a m a d a esposa C i b e l l e K a y e n n e M a r t i n s R o b e r t o F o r m i g a , p e l o c o m p a n h e i r i s m o que t e m s i d o m a r c a desde os t e m p o s de g r a d u a ç ã o , b e m c o m o p e l o a m o r e p a c i ê n c i a que t e m d e m o n s t r a d o d u r a n t e esse p e r í o d o . A o s meus f a m i l i a r e s , em e s p e c i a l as m i n h a s i r m ã s K a t h i a R é g i s F o r m i g a Paz de L i r a e K a s s i a R é g i s F o r m i g a de L i m a , que t a n t o me i n c e n t i v a r a m d u r a n t e o p e r í o d o desta p e s q u i s a . A o s meus o r i e n t a d o r e s P r o f . H e b e r P i m e n t e l G o m e s e P r o f . W i l s o n F a d i o C u r i , p e l o e n s i n a m e n t o , d e d i c a ç ã o e, p r i n c i p a l m e n t e os c o n s e l h o s sem os q u a i s n ã o se c h e g a r i a ao fim este t r a b a l h o .

A o C N P q , p e l o a p o i o f i n a n c e i r o d e s p r e n d i d o d u r a n t e t o d o o p e r í o d o em q u e c u r s e i a p ó s g r a d u a ç ã o . A o C u r s o de P ó s - G r a d u a ç ã o em E n g e n h a r i a C i v i l p e l o a c o l h i m e n t o , e em e s p e c i a l aos p r o f e s s o r e s da Á r e a de E n g e n h a r i a de R e c u r s o s H í d r i c o s , r e p r e s e n t a d o s p e l a pessoa do P r o f . C a r l o s de O l i v e i r a G a l v ã o , que me e n s i n o u a g o s t a r da H i d r á u l i c a . A o s meus c o l e g a s de c u r s o : G i l l i a n o L i m a B o r g e s , G i l v a n d r o B a r b o s a T i t o , P a u l o R o m e r o S e r r a n o G u i m a r ã e s de A n d r a d e , R a i m u n d o G l á u b e r L i m a C u n h a e V a l t e r R a g l a n G o n ç a l v e s M e d e i r o s , e t a m b é m ao P r o f e s s o r

(5)

A o s a m i g o s do L a b o r a t ó r i o : D o u g l a s S i l v a L u n a , E u n i c e P o r t o C â m a r a , H e r l e n L i r a H e n r i q u e s T o r r e s , J o r g e L u i z R a b e l o , M a l b a L i n e t e B a t i s t a de A r a ú j o , M a r c o s T i b é r i o de S i q u e i r a , M a r i a B e t â n i a A l m e i d a de O l i v e i r a , P a u l o da C o s t a M e d e i r o s , P a u l o H e n r i q u e S o u t o , R i c a r d o de A r a g ã o , R o s i l e n e F e r r e i r a S i l v a , Rossana C a v a l c a n t i A r a ú j o S i l v a , S i l v e s t r e L o p e s da N ó b r e g a , S o n i a e l i P i r e s de C a r v a l h o , p e l o c o m p a n h e i r i s m o m o s t r a d o ao l o n g o de t o d o o c u r s o . A o s f u n c i o n á r i o s do L a b o r a t ó r i o de R e c u r s o s H í d r i c o s , r e p r e s e n t a d o s p e l a pessoa de A l r e z i n h a D a n t a s V e i g a , p e l a a j u d a p r e s t a d a sem m e d i r e s f o r ç o p a r a que este t r a b a l h o fosse c o n c r e t i z a d o .

(6)

SUMÁRIO

RESUMO ABSTRACT CAPÍTULO II INTRUDUÇÃO CAPÍTULO II

OS SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 18

2.1. INTRODUÇÃO 18 2.2. CAPTAÇÃO 19 2.3. ADUÇÃO 20 2.4. TRATAMENTO 20 2.5. RESERVATÓRIO DE DISTRIBUIÇÃO 22 2.6. REDE DE DISTRIBUIÇÃO 23 CAPÍTULO III AS REDES MALHADAS 26 3.1. FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS 26

3.1.1. EQUAÇÕES DE PERDA DE CARGA 27 3.1.2. VELOCIDADE MÁXIMA ADMISSÍVEL 29

(7)

CAPÍTULO IV

OTIMIZAÇÃO ECONÓMICA DE REDES MALHADAS 36

4.1. INTRODUÇÃO 36 4.2. TÉCNICAS DE ENUMERAÇÃO EXAUSTIVA 40

4.3. PROGRAMAÇÃO LINEAR 41 4.4. PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR 43 4.5. MÉTODOS DE GRADIENTE (PROGRAMÇÃO DINÂMICA) 46

4.6. ALGORITMO GENÉTICO 47 4.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DOS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 48

CAPÍTULO V

A PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR 52

5.1. INTRODUÇÃO 52 5.2. CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE 53

5.2.1. VETOR GRADIENTE 56 5.2.2. MATRIZ HESSIANA 56 5.2.3. CONVEXIDADE E CONCAVIDADE 57

5.3. MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR 59

5.4. MÉTODOS DE BUSCA UNIDIRECIONAL 61

5.4.1. MÉTODOS DE REDUÇÕES SUCESSIVAS DE INTERVALOS 62

5.4.1.1. Métodos Direto 62 5.4.1.2. Métodos de Aproximações por Polinómios 62

5.4.2. MÉTODOS FINITOS OU APROFUNDAMENTO 62

(8)

5.5.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA COM BUSCA

ATRAVÉS DE DERIVADAS 63 5.5.1.1. Método do Gradiente 63 5.5.1.2. Método de Newton-Raphson 64 5.5.1.3. Método de Direções Conjugadas 64 5.5.1.4. Métodos Quase-Newtonianos 65 5.5.2. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA COM BUSCA SEM

O AUXÍLIO DE DERIVADAS 65 5.5.2.1. Método de Hooke e Jeeves 66

5.5.2.2. Método de Rosenbrock 66 5.5.2.3. Método de Powell 66

5.6. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES 67

5.6.1. MÉTODOS DE PENALIDADE 67 5.6.1.1. Métodos de Penalidade Interna 68

5.6.1.2. Métodos de Penalidade Externa 70

5.6.2. MÉTODOS PRIMAIS 71 5.6.2.1. Métodos de Linearização 72

5.5.2.1.1. Método de FrankeWolfe 72 5.6.2.2. Método do Gradiente Reduzido 73

CAPÍTULO VI

METODLOGIA DE DIMENSIONAMENTO DE REDES MALHADAS ATRAVÉS DA

PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR 75 6.1. INTRODUÇÃO 75 6.2. DEFINIÇÃO DA METODOLOGIA PROPOSTA 78

6.2.1. DIMENSIONAMENTO DE REDES MALHADAS CONSIDERANDO A

COTA DE CABECEIRA COMO CONHECIDA 80

6.2.1.1. Ia Etapa 81

6.2.1.2. 2a Eiapa 84

6.2.2. DIMENSIONAMENTO DE REDES MALHADAS CONSIDERANDO

A COTA DE CABECEIRA COMO VARIÁVEL 85

6.2.2.1. Ia Etapa 85

(9)

7.1.1. EXEMPLO 1 89 7.1.1.1. Ia Etapa 92 7.1.1.2. 2a Etapa 96 7.1.2. EXEMPLO 2 104 7.1.2.1. As Partes do Sistema 105 7.1.2.1.1. Linha Tronco 105 7.1.2.1.2. Grande Anel 105 7.1.2.1.3.Setores Secundários 105 7.1.2.2. Dados do sistema 108 7.1.2.3. Cota de cabeceira fixa 111

7.1.2.3.1. Ia Etapa 111

7.1.2.3.2. 2a Etapa 117

7.1.2.4. Cota de Cabeceira Variável 128

7.1.2.4.1. Ia Etapa 130 7.1.2.4.2. 2a Etapa 136 7.2. COMENTÁRIOS 143 CAPITULO VIII CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 146 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 149

(10)

índice d e Tabelas

P á g i n a

Tabela 3.1 - Velocidades m á x i m a s admissíveis recomendadas por

Granados 30

Tabela 7.1 - Dados de demanda e elevação dos nós da rede 90

Tabela 7.2 - Custos dos tubos segundo seus diâmetros 90

Tabela 7.3 - Coeficientes da e q u a ç ã o de Hazen-Williams utilizados por

diferentes autores para diâmetros em metros e v a z õ e s em m3/s 91

Tabela 7.6 - Resultados da otimização da primeira etapa com o = 10,5088 95

Tabela 7.7 - Resultados da otimização da primeira etapa com o = 10,9031 96

Tabela 7.8 - D i â m e t r o s comerciais utilizados na segunda etapa 97

Tabela 7.9 - Resultados da otimização da segunda etapa com co=10,5088 101

Tabela 7.10 - Resultados da otimização da segunda etapa com co= 10,9031 102

Tabela 7.11 - Resultados obtidos por outros métodos de otimização 103

Tabela 7.12 - Resultados obtidos por outros métodos de otimização 103

Tabela 7.13 - Pressão requerida, demanda e cotas dos n ó s do grande anel

e dos setores 108

Tabela 7.14 - Comprimentos dos trechos do grande anel e dos setores 109

Tabela 7.15 - Preço dos tubos em função dos diâmetros 110

(11)

Tabela 7.18 - Resultados da primeira etapa da otimização do Setor 4 114

Tabela 7.19 - Resultados da primeira etapa da otimização do Setor 5 116

Tabela 7.20 - D i â m e t r o s comerciais utilizados na segunda etapa do Exemplo 2 118

Tabela 7.21 - Resultados da Segunda etapa da otimização do Grande Anel 119

Tabela 7.22 - Resultados da segunda etapa da otimização do Setor 3 120

Tabela 7.25 - Resultados dos m é t o d o s W A D I S O e G R A N A D O S

para o Grande Anel 125

Tabela 7.26 - Resultados dos m é t o d o s W A D I S O e G R A N A D O S para o Setor 3 125

Tabela 7.29 - C o m p a r a ç ã o dos resultados obtidos pelos diferentes m é t o d o s 127

Tabela 7.30 - Pressões disponível e excessos de pressão obtidos pelos

m é t o d o s Granados e W A D I S O para o Grande Anel 128

Tabela 7.31 - Preços do tubos de PVC em umt/m e R$/m 129

Tabela 7.32 - Resultados da primeira etapa da otimização do Grande Anel

(12)

Página

Tabela 7.33 - Resultados da primeira etapa da otimização do Setor 3

considerando a cota de cabeceira variável ] 31

considerando a cota de cabeceira variável 133

Tabela 7.36 - Resultados da segunda etapa da otimização do Grande Anel

Tabela 7.37 - Resultados da segunda etapa da otimização do Setor 3

Tabela 7.40 - Custo total anual da rede para o caso em que a cota de

cabeceira é tida como variável 142

Tabela 7.41 - C o m p a r a ç ã o dos resultados para as duas considerações

(13)

Figura 2.2 - Esquema de uma rede malhada 25

Figura 5.1 - Tipos de m á x i m o s e mínimos de uma função 54

Figura 5.2 - F u n ç õ e s unimodais e multimodais 55

Figura 5.3 - Comportamento das funções côncavas e convexas 58

Figura 6.1 - Representação da variação do custo com a cota de cabeceira 80

Figura 7.1 - Esquema da rede do exemplo 1 89

Figura 7.2 - Curva de ajuste Custo do Tubo X D i â m e t r o do Exemplo 1 91

Figura 7.3 - Esquema da rede de abastecimento do bairro do Bessa 104

Figura 7.4 - Traçado da linha tronco e grande anel 106

Figura 7.5 - Traçado do setor 3 106

Figura 7.6 - T r a ç a d o do setor 4 107

Figura 7.7 - Traçado do setor 5 107

(14)

14

R E S U M O

A s redes de d i s t r i b u i ç ã o , que f a z e m p a r t e dos s i s t e m a s de a b a s t e c i m e n t o de á g u a , s ã o , em g r a n d e p a r t e , redes m a l h a d a s , c u j a c o m p l e x i d a d e no d i m e n s i o n a m e n t o t e m f o r ç a d o os p r o j e t i s t a s a u t i l i z a r m e t o d o l o g i a s t r a d i c i o n a i s de t e n t a t i v a e e r r o p a r a o b t e r a s o l u ç ã o do p r o b l e m a . Esses m é t o d o s , dos q u a i s o mais e m p r e g a d o é o de H a r d y - C r o s s , f a z e m t ã o s o m e n t e o b a l a n c e a m e n t o da r e d e , d e i x a n d o a c a r g o da e x p e r i ê n c i a do p r o j e t i s t a a b u s c a de u m d i m e n s i o n a m e n t o m a i s e c o n ó m i c o . N e s t e t r a b a l h o s e r á a p r e s e n t a d o u m m é t o d o que u t i l i z a t é c n i c a s de p r o g r a m a ç ã o n ã o l i n e a r para o d i m e n s i o n a m e n t o e c o n ó m i c o de redes m a l h a d a s . Esse m é t o d o é c o m p o s t o de duas etapas. N a p r i m e i r a , as v a z õ e s e os d i â m e t r o s s ã o c o n s i d e r a d o s c o m o v a r i á v e i s de d e c i s ã o , e na s e g u n d a etapa, as v a r i á v e i s de d e c i s ã o s ã o os c o m p r i m e n t o s dos s e g m e n t o s dos t r e c h o s , c o m d i â m e t r o s c o n s t a n t e s , e suas c o r r e s p o n d e n t e s v a z õ e s . Essa m e t o d o l o g i a f o i a p l i c a d a a duas redes e n c o n t r a d a s na l i t e r a t u r a , em que o d i m e n s i o n a m e n t o j á h a v i a s i d o f e i t o p o r o u t r o s m é t o d o s de o t i m i z a ç ã o . Os r e s u l t a d o s m o s t r a m que o m é t o d o da p r o g r a m a ç ã o n ã o l i n e a r a p r e s e n t a u m a e f i c á c i a m a i o r na b u s c a do c u s t o m í n i m o de u m a r e d e , q u a n d o c o m p a r a d o c o m o u t r a s m e t o d o l o g i a s de o t i m i z a ç ã o de redes m a l h a d a s e s t u d a d a s .

(15)

A B S T R A C T

T h e d e s i g n c o m p l e x i t y o f l o o p e d n e t w o r k s has f o r c e d t o use t r a d i t i o n a l t r i a l and e r r o r m e t h o d s t o a t t a i n a s o l u t i o n f o r the p r o b l e m . T h o s e m e t h o d s , w h e r e the H a r d y - C r o s s m e t h o d is the m o s t k n o w n a m o n g t h e m , o n l y c a r r y o u t e n e r g y and mass b a l a n c e o f the n e t w o r k w i t h o u t d e a l i n g w i t h t h e s y s t e m ' s c o s t , t h a t is, n o r e s t i m a t i n g n e i t h e r i m p r o v i n g t h e s y s t e m ' s c o s t . I n t h i s w o r k , a m e t h o d f o r d e s i g n i n g e c o n o m i c a l l o o p e d n e t w o r k s based o n n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g is p r e s e n t e d . T o r e d u c e t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s a n d , p r o b a b i l y , i m p r o v e the p e r f o r m a n c e o f the s o l u t i o n p r o c e d u r e , t h i s m e t h o d is c o m p o s e d o f t w o stages t o reach an o p t i m a l s o l u t i o n . I n a f i r s t stage, a n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e is a p p l i e d t o d e t e r m i n e t h e f l o w s and d i a m e t e r s o f t h e p i p e s c o n n e c t i n g t w o nodes o f t h e n e t w o r k . I n a s e c o n d stage are c h o s e n w h i c h are the u p p e r and l o w e r v a l u e s o f t h e r e s u l t s a t t a i n e d at the f i r s t stage f o r each p i p e s e g m e n t , and a n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e is a p p l i e d once m o r e t o d e t e r m i n e t h e l e n g t h o f each d i a m e t e r f o r each p i p e s e g m e n t a l o n g w i t h i t s f l o w . I n b o t h stages the o b j e c t i v e f u n c t i o n was r e l a t e d t o the cost o f t h e p i p e s and p u m p i n g r e q u i r e m e n t s . T h i s m e t h o d has been a p p l i e d t o t w o e x a m p l e s o f l o o p e d n e t w o r k s , w h i c h have been used i n the l i t e r a t u r e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f o t h e r o p t i m i z a t i o n m e t h o d s d e v e l o p e d b y o t h e r a u t h o r s . T h e o p t i m a l s o l u t i o n s a t t a i n e d f r o m the m e t h o d p r e s e n t e d h e r e i n h a v e s h o w n t o be b e t t e r t h a n the ones r e s u l t i n g f r o m the a p p l i c a t i o n o f a n y o t h e r m e t h o d , w h i c h w e r e t a k e n i n t o a c c o u n t f o r c o m p a r i s o n i n t h i s w o r k .

(16)

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 16

C a p í t u l o I

Introdução

" S ó o o x i g é n i o a t m o s f é r i c o p o d e ser t ã o e s s e n c i a l à v i d a q u a n t o a á g u a . D e n t r e t o d a s as s u b s t â n c i a s n e c e s s á r i a s aos o r g a n i s m o s a n i m a i s e v e g e t a i s , s ã o essas as m a i s r e l e v a n t e s . " ( I l d e l f o n s o P u p p i ) A á g u a c o n s t i t u i u m b e m i n e s t i m á v e l p a r a a h u m a n i d a d e . P o r esse m o t i v o , t o d a s as g r a n d e s c i v i l i z a ç õ e s e c i d a d e s d o m u n d o t e m p o r c o m u m o f a t o de t e r e m s u r g i d o s e m p r e ao l a d o de g r a n d e s r i o s e l a g o s . E m t o d a s as é p o c a s , u m a das p r i o r i d a d e s dos g o v e r n o s era c o l o c a r ao a l c a n c e dos h a b i t a n t e s das c i d a d e s , a á g u a que lhes era n e c e s s á r i a . I s s o , a t é r e l a t i v a m e n t e p o u c o t e m p o , era f e i t o de f o r m a e m p í r i c a e r u d i m e n t a r . E n t r e t a n t o , d e v i d o à r e v o l u ç ã o i n d u s t r i a l , o t a m a n h o das c i d a d e s a u m e n t o u de f o r m a e x a c e r b a d a , f a z e n d o - s e n e c e s s á r i o o e s t u d o e a i m p l a n t a ç ã o de s i s t e m a s de d i s t r i b u i ç ã o e f i c i e n t e s , que g a r a n t i s s e m a essas g r a n d e s massas p o p u l o s a s á g u a em q u a n t i d a d e e q u a l i d a d e , para s u p r i r suas n e c e s s i d a d e s .

Das p a r t e s que c o m p õ e m os s i s t e m a s de a b a s t e c i m e n t o de á g u a , as redes de d i s t r i b u i ç ã o s ã o , sem d ú v i d a , as m a i s l a b o r i o s a s para se f a z e r o d i m e n s i o n a m e n t o . Isso é o c a s i o n a d o pela g r a n d e q u a n t i d a d e de c o n d u t o s e

(17)

i n t r o d u ç ã o de d i v e r s a s s i m p l i f i c a ç õ e s , j á que, a t é a l g u n s anos a t r á s , n ã o se p o d i a c o n t a r c o m o a u x i l i o dos c o m p u t a d o r e s para a r e a l i z a ç ã o dos c á l c u l o s . E n t r e t a n t o , dado o a u m e n t o da c a p a c i d a d e de c á l c u l o dos c o m p u t a d o r e s m o d e r n o s , b e m c o m o a f a c i l i d a d e que h á nos nossos dias em se t r a b a l h a r c o m f e r r a m e n t a s c o m p u t a c i o n a i s , t o r n o u - s e v i á v e l e d e s e j á v e l a i m p l e m e n t a ç ã o do d i m e n s i o n a m e n t o das redes de d i s t r i b u i ç ã o a t r a v é s do c o m p u t a d o r . A s s i m sendo, a l é m da d e t e r m i n a ç ã o das v a z õ e s e dos d i â m e t r o s das t u b u l a ç õ e s para os t r e c h o s , que g a r a n t i s s e m a o b e d i ê n c i a das l e i s f í s i c a s do e s c o a m e n t o dos l í q u i d o s , pode-se i n t r o d u z i r ao d i m e n s i o n a m e n t o o u t r o s c r i t é r i o s , c o m o a m i n i m i z a ç ã o dos c u s t o s de i n v e s t i m e n t o e de o p e r a ç ã o do s i s t e m a . Esse t r a b a l h o t e m p o r o b j e t i v o o d e s e n v o l v i m e n t o de u m a m e t o d o l o g i a de d i m e n s i o n a m e n t o o t i m i z a d o de r e d e s m a l h a d a s , baseada em t é c n i c a s de p r o g r a m a ç ã o n ã o l i n e a r . N o C a p í t u l o I I desta d i s s e r t a ç ã o , s ã o d e s c r i t a s as c l a s s i f i c a ç õ e s e f i n a l i d a d e s das p a r t e s que f o r m a m os s i s t e m a s de a b a s t e c i m e n t o u r b a n o de á g u a . O C a p í t u l o I I I m o s t r a os f u n d a m e n t o s t e ó r i c o s para o e s t u d o e o d i m e n s i o n a m e n t o de redes m a l h a d a s . O C a p í t u l o I V f a z u m a a b o r d a g e m das p r i n c i p a i s t é c n i c a s de o t i m i z a ç ã o u t i l i z a d a s para o d i m e n s i o n a m e n t o de redes de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a . O C a p í t u l o V m o s t r a os f u n d a m e n t o s e as p r i n c i p a i s t é c n i c a s de P r o g r a m a ç ã o N ã o L i n e a r . N o C a p í t u l o V I , o n d e se e n c o n t r a a p r i n c i p a l c o n t r i b u i ç ã o desta d i s s e r t a ç ã o , é a p r e s e n t a d a a m e t o d o l o g i a d e s e n v o l v i d a para o d i m e n s i o n a m e n t o o t i m i z a d o de redes m a l h a d a s , a t r a v é s da P r o g r a m a ç ã o N ã o L i n e a r . D o i s e x e m p l o s de d i m e n s i o n a m e n t o de redes, que j á f o r a m r e s o l v i d o s p o r o u t r a s m é t o d o s de o t i m i z a ç ã o , s ã o r e s o l v i d o s e c o m p a r a d o s no C a p í t u l o V I L P o r ú l t i m o , no C a p í t u l o V I I I s ã o e x p o s t a s as c o n c l u s õ e s f i n a i s do t r a b a l h o , b e m c o m o s ã o f e i t a s a l g u m a s r e c o m e n d a ç õ e s para f u t u r a s p e s q u i s a s nessa á r e a de e s t u d o .

(18)

CAPÍTULO II - OS SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA

18

Capítulo I I

Os Sistemas d e Abastecimento d e Água

2.1. Introdução

Os sistemas de abastecimento de á g u a compreendem o conjunto de obras e equipamentos, destinados a suprir as necessidade de consumos d o m é s t i c o , p ú b l i c o e industrial de uma comunidade. Esses sistemas devem fornecer á g u a , em quantidade e qualidade, i n d i s t i n t a m e n t e , a toda a p o p u l a ç ã o , c o m o menor d i s p ê n d i o p o s s í v e l .

Segundo Garcez ( 1 9 7 4 ) , o abastecimento de á g u a a uma comunidade t ê m i n f l u ê n c i a decisiva sobre: • controle e p r e v e n ç ã o de d o e n ç a s ; • p r á t i c a s que p r o m o v e m o aprimoramento da s a ú d e ( h á b i t o s h i g i é n i c o s , limpeza p ú b l i c a ) . • m e l h o r i a do c o n f o r t o e da s e g u r a n ç a da p o p u l a ç ã o (sistema de combate a i n c ê n d i o s , piscinas, etc). • d e s e n v o l v i m e n t o i n d u s t r i a l .

A s s i m sendo, pode-se afirmar que ao lado dos sistemas de t r a n s m i s s ã o de eletricidade, o abastecimento urbano de á g u a é u m dos alicerces da sociedade moderna, j á que, sem u m sistema eficiente de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a , seria i m p r a t i c á v e l e altamente insalubre se v i v e r nas cidades.

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partes: c a p t a ç ã o , tratamento, sistema de a d u ç ã o , r e s e r v a t ó r i o de d i s t r i b u i ç ã o e rede de d i s t r i b u i ç ã o .

2.2. Captação

A c a p t a ç ã o é composta pelo conjunto de estruturas e equipamentos, r e s p o n s á v e i s por retirar a á g u a , em seu estado bruto da natureza. Quanto ao t i p o de manancial a c a p t a ç ã o pode ser realizada em:

• M a n a n c i a l S u b t e r r â n e o : a á g u a s u b t e r r â n e a pode ser captada a t r a v é s de: bicas ou fontes ( á g u a aflorante); a q u í f e r o s f r e á t i c o s ou subsuperficiais ou rasos; e a q u í f e r o s profundos. A s bicas, fontes e l e n ç ó i s subsuperficiais normalmente fornecem uma v a z ã o pequena, ao c o n t r á r i o dos a q u í f e r o s profundos, j á que esses, por p o s s u í r e m , na m a i o r i a dos casos, grandes espessuras e de terem u m a m a i o r capacidade de recarga, s ã o capazes de fornecer v a z õ e s maiores. Esses a q u í f e r o s , geralmente, se encontram confinados entre duas camadas i m p e r m e á v e i s .

• M a n a n c i a l S u p e r f i c i a l : para os mananciais superficiais existem v á r i o s tipos de c a p t a ç ã o cujas c a r a c t e r í s t i c a s s ã o f u n ç ã o da c o n f o r m a ç ã o do leito do manancial, associado à topografia e à geologia do local, bem como da velocidade, qualidade e e l e v a ç ã o do n í v e l da á g u a . As formas de c a p t a ç ã o mais u t i l i z a d a s s ã o : c a p t a ç ã o direta, barragem de n í v e l , canal de d e r i v a ç ã o , torre de tomada, p o ç o de d e r i v a ç ã o e r e s e r v a t ó r i o de r e g u l a r i z a ç ã o . (Dacach, 1979).

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CAPÍTULO II - OS SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA _{2 0}

2.3. Adução

O sistema adutor compreende toda estrutura r e s p o n s á v e l por levar a á g u a entre dois pontos do sistema, que antecedem a rede de d i s t r i b u i ç ã o , ( c a p t a ç ã o -tratamento; tratamento - r e s e r v a t ó r i o de d i s t r i b u i ç ã o ; etc). Esse sistema t e m por c a r a c t e r í s t i c a a n ã o o c o r r ê n c i a de s a í d a em marcha ao l o n g o da t u b u l a ç ã o , ou seja, n ã o existe sangria destinada a abastecer pontos i n t e r m e d i á r i o s . E n t r e t a n t o , existem adutoras em que o c o r r e m d e r i v a ç õ e s para o abastecimento de outros pontos do sistema. Essas d e r i v a ç õ e s s ã o denominadas subadutoras ( A z e v e d o N e t t o e A l v a r e z , 1991).

Segundo Azevedo N e t t o e A l v a r e z ( 1 9 9 1 ) , as linhas de a d u ç ã o podem se classificar:

1. Quanto a natureza da á g u a que elas transportam em: • a d u ç ã o de á g u a bruta;

• a d u ç ã o de á g u a tratada.

2. Quanto a energia u t i l i z a d a para a m o v i m e n t a ç ã o da á g u a em: • a d u ç ã o por gravidade;

• a d u ç ã o p o r recalque; • a d u ç ã o mistas.

3. Quanto ao m o d o de escoamento, para as adutoras por gravidade, em: • a d u ç ã o em conduto l i v r e ;

• a d u ç ã o em conduto f o r ç a d o .

2.4. Tratamento

S ã o muitas as impurezas que normalmente e s t ã o presentes na á g u a em sua forma natural. Essas impurezas podem ser p a r t í c u l a s em s u s p e n s ã o , material c o l o i d a l , s o l u ç õ e s de sais, compostos o r g â n i c o s e gases d i s s o l v i d o s na á g u a . D e v i d o ao seu alto poder de e r o s ã o e transporte, bem como sua excelente qualidade de solvente, as á g u a s , em todo o seu percurso, t ê m i n ú m e r a s

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s a ú d e do homem ( M a r t i n s , 1973).

O sistema p ú b l i c o de abastecimento é r e s p o n s á v e l por fornecer à comunidade á g u a de boa qualidade, sob o ponto de vista f í s i c o , q u í m i c o , b i o l ó g i c o e b a c t e r i o l ó g i c o . Para isso, deve se efetuar o tratamento da á g u a em i n s t a l a ç õ e s denominadas e s t a ç õ e s de tratamento ( A z e v e d o N e t t o e A l v a r e z ,

1991).

Segundo Garcez ( 1 9 7 4 ) a finalidade do tratamento de á g u a pode ser: • H i g i é n i c a - e l i m i n a ç ã o de b a c t é r i a s e outros m i c r o o r g a n i s m o s (algas,

p r o t o z o á r i o s , etc); e l i m i n a ç ã o ou r e d u ç ã o de s u b s t â n c i a s nocivas ao homem; e e l i m i n a ç ã o ou r e d u ç ã o de teores excessivos de m a t é r i a o r g â n i c a .

• E c o n ó m i c a - r e d u ç ã o da corrosividade e dureza da á g u a .

« E s t é t i c a - r e m o ç ã o ou r e d u ç ã o da cor, t u r b i d e z , o d o r e sabor.

Segundo Dacach (1979), os processos de tratamento aos quais a á g u a é submetida s ã o :

• r e m o ç ã o de s u b s t â n c i a s grosseiras em f l u t u a ç ã o ou em s u s p e n s ã o a t r a v é s de grades, c r i v o s e telas;

• r e m o ç ã o de s u b s t â n c i a s finas em s u s p e n s ã o , ou em s o l u ç ã o , e de gases d i s s o l v i d o s a t r a v é s da a e r a ç ã o (para gases), s e d i m e n t a ç ã o simples, s e d i m e n t a ç ã o precedida de c o a g u l a ç ã o e f i l t r a ç ã o lenta e/ou r á p i d a (para p a r t í c u l a s s ó l i d a s o u c o l o i d a i s ) ;

• c o r r e ç ã o do odor e sabor, a t r a v é s de tratamentos q u í m i c o s e leitos de contato com c a r v ã o ativado;

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CAPÍTULO II - OS SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA ₂₂

• r e m o ç ã o de b a c t é r i a s ou outros m i c r o o r g a n i s m o s , a t r a v é s da d e s i n f e c ç ã o ( r e m o ç ã o seletiva) e e s t e r e l i z a ç ã o ( e l i m i n a ç ã o total da atividade microbiana).

2.5. Reservatório d e Distribuição

S ã o unidades destinadas a compensar as f l u t u a ç õ e s de consumo e garantir o abastecimento da rede de d i s t r i b u i ç ã o em casos de e m e r g ê n c i a , mantendo as p r e s s õ e s n e c e s s á r i a s para o b o m f u n c i o n a m e n t o da rede ( A z e v e d o N e t t o e A l v a r e z , 1979).

Garcez ( 1 9 7 4 ) cita algumas finalidades dos r e s e r v a t ó r i o s de d i s t r i b u i ç ã o : a) Garantia de quantidade de á g u a

• armazenamento para atender à s v a z õ e s de consumo, p e r m i t i n d o u m escoamento uniforme na a d u ç ã o , p o s s i b i l i t a n d o , dessa forma, a u t i l i z a ç ã o de d i â m e t r o s menores e u m funcionamento mais e c o n ó m i c o das unidades de bombeamento e tratamento.

• armazenamento para atender à s demandas de e m e r g ê n c i a s , evitando i n t e r r u p ç õ e s no f o r n e c i m e n t o de á g u a no caso de acidentes no sistema de a d u ç ã o , ou na e s t a ç ã o de tratamento, e oferecendo maior s e g u r a n ç a ao abastecimento, quando houver uma demanda de e m e r g ê n c i a destinada ao combate de i n c ê n d i o s .

b) M e l h o r i a das c o n d i ç õ e s de p r e s s õ e s da á g u a na rede de d i s t r i b u i ç ã o , p o s s i b i l i t a n d o uma m e l h o r d i s t r i b u i ç ã o de á g u a aos consumidores e u n i f o r m i d a d e de p r e s s õ e s nos hidrantes.

Segundo M a r t i n s ( 1 9 7 3 ) os r e s e r v a t ó r i o s de d i s t r i b u i ç ã o podem ser classificados da seguinte maneira:

I . Quanto à p o s i ç ã o relativa na rede: r e s e r v a t ó r i o s de montante;

r e s e r v a t ó r i o s de jusante; r e s e r v a t ó r i o s i n t e r m e d i á r i o s .

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r e s e r v a t ó r i o s enterrados; r e s e r v a t ó r i o s n ã o enterrados, r e s e r v a t ó r i o s elevados.

I I I . Quanto a sua forma g e o m é t r i c a : r e s e r v a t ó r i o s de s e ç ã o retangular; - r e s e r v a t ó r i o s de s e ç ã o c i r c u l a r , etc. I V . Quanto ao material de c o n s t r u ç ã o : r e s e r v a t ó r i o s de concreto armado; r e s e r v a t ó r i o de a ç o ; r e s e r v a t ó r i o de alvenaria, etc.

2.6. Rede d e Distribuição

Garcez ( 1 9 7 4 ) define rede de d i s t r i b u i ç ã o como o conjunto de t u b u l a ç õ e s p e ç a s e obras, destinadas a c o n d u z i r a á g u a a t é os pontos de tomada das i n s t a l a ç õ e s prediais ou de consumo p ú b l i c o , tendo como c a r a c t e r í s t i c a u m grande n ú m e r o de d e r i v a ç õ e s em seus condutos.

Os condutos da rede de d i s t r i b u i ç ã o distinguem-se em p r i n c i p a i s e s e c u n d á r i o s . Os condutos p r i n c i p a i s , chamados t a m b é m de t r o n c o , s ã o c a n a l i z a ç õ e s de d i â m e t r o s maiores, r e s p o n s á v e i s pelo abastecimento de grandes á r e a s , a t r a v é s dos condutos s e c u n d á r i o s . Esses ú l t i m o s possuem d i â m e t r o s menores que os p r i m á r i o s , e e s t ã o ligados diretamente aos ramais prediais, fazendo com que a sua á r e a de s e r v i ç o se restrinja apenas a sua v i z i n h a n ç a ( M a r t i n s , 1973).

Quanto à d i s p o s i ç ã o dos tubos, as redes de d i s t r i b u i ç ã o podem ser classificadas em: ramificadas, malhadas e mistas.

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CAPÍTULO II - OS SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA ₂₄

As redes ramificadas s ã o compostas essencialmente de uma linha p r i n c i p a l da qual partem as t u b u l a ç õ e s transversais, dando ao conjunto o f o r m a t o de espinha de peixe, como mostra a F i g u r a 2.1 (Dacach, 1979). Essas redes t ê m por c a r a c t e r í s t i c a a f l u ê n c i a da v a z ã o em apenas u m sentido da t u b u l a ç ã o . Esse t i p o de d i s p o s i ç ã o de tubos se restringe a sistemas de abastecimento de pequenas comunidades e a p e r í m e t r o s irrigados. Tais r e s t r i ç õ e s se devem ao fato de que qualquer avaria em u m trecho da rede pode i n t e r r o m p e r o fornecimento de á g u a para todos os trechos à jusante deste. Outra desvantagem se d á pela falta de c i r c u l a ç ã o de á g u a nos extremos da rede, sendo essa á g u a parada u m ambiente p r o p í c i o à p r o l i f e r a ç ã o de m i c r o o r g a n i s m o s , que podem tornar a á g u a i m p r ó p r i a para o consumo humano. A vantagem desse t i p o de rede reside no seu menor custo, em r e l a ç ã o a uma rede malhada de mesmo porte ( G o u t e r et al, 1986), a l é m do fato de ter u m d i m e n s i o n a m e n t o menos c o m p l e x o .

Tubulação

Figura 2.1 - Esquema de uma rede r a m i f i c a d a

As redes malhadas s ã o compostas por tubos que se i n t e r c o m u n i c a m uns com os outros, formando c i r c u i t o s fechados chamados de malhas ou a n é i s ( F i g u r a 2.2). A maior vantagem desse t i p o de rede, c o m r e l a ç ã o à s ramificadas, e s t á na s e g u r a n ç a de o p e r a ç ã o , j á que um p r o b l e m a em u m determinado ponto, n ã o i m p l i c a r á no corte de fornecimento de á g u a em parte da rede. Por n ã o ter

(25)

d i m e n s i o n a m e n t o desse t i p o de rede é mais c o m p l e x o do que o das redes ramificadas. A l é m disso, por u t i l i z a r uma quantidade maior de tubos, essas redes se t o r n a m mais onerosas que as ramificadas de mesmo porte.

Tubulação secundária

(26)

CAPÍTULO 111 - AS REDES MALHADAS _{2 6}

Capítulo I I I

As Redes Malhadas

3.1. Fundamentos Hidráulicos

O f l u x o de á g u a nas redes malhadas ocorre em condutos f o r ç a d o s , onde impera o escoamento t u r b u l e n t o , que é regido por dois grupos de e q u a ç õ e s , e q u a ç õ e s da continuidade ou c o n s e r v a ç ã o de massa e e q u a ç õ e s de energia. Para efeito de c á l c u l o , ao longo de u m trecho, este escoamento é considerado como permanente e u n i f o r m e .

Considerando a á g u a como i n c o m p r e s s í v e l , a e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e estabelece que num escoamento permanente, a v a z ã o Q m a n t é m - s e constante ao l o n g o de u m conduto. A s s i m sendo, para qualquer s e ç ã o do conduto v e r i f í c a - s e que:

sendo A a á r e a da s e ç ã o transversal da t u b u l a ç ã o e V a v e l o c i d a d e m é d i a de c i r c u l a ç ã o de á g u a nesta s e ç ã o .

N o s n ó s da rede essa e q u a ç ã o assume a f o r m a de:

Q = A . V = cte. (eq. 3.1)

n

(27)

Qentra(i) s ã o as v a z õ e s que chegam ao n ó pelos trechos i = l , 2 , . . . , m ; e

Qsai<j) s ã o as v a z õ e s que saem do n ó a t r a v é s dos trechos i = l , 2 , . . . , n

Considerando duas s e ç õ e s de um mesmo conduto (de 1 para 2), segundo a e q u a ç ã o da energia, a soma da energia c i n é t i c a , potencial e de p r e s s ã o em 1 é igual à soma destas mesmas energias na s e ç ã o 2, mais as perdas de energia produzidas entre as duas s e ç õ e s . Esta e x p r e s s ã o t a m b é m conhecida c o m o e q u a ç ã o de B e r n o u l l i é representada por:

— + Z , + ^ = - ^ - + Z2 + ^ - h , _ 2 (eq. 3.3)

7 2g y 2g

em que:

Pl P2

— , termos representativos da energia de p r e s s ã o nas duas s e ç õ e s V V

i l

z l , z2 - energia potencial nas s e ç õ e s 1 e 2

—— ——- energia e m é t i c a nas s e ç o e s 1 e 2 2g 2g

hj-2 - perdas de energia ( o u de carga) entre as duas s e ç õ e s .

3.1.1. Equações de Perda de Carga ao Longo do Conduto

A perda de energia que ocorre ao longo de uma t u b u l a ç ã o decorre da a t u a ç ã o de dois componentes: o efeito da viscosidade da á g u a ( a t r i t o i n t e r n o ) ; e os choques entre si das p a r t í c u l a s do l í q u i d o ( i n é r c i a ) .

As perdas de carga totais, ao longo do c o n d u t o , s ã o diretamente p r o p o r c i o n a i s ao c o m p r i m e n t o do tubo ( L ) , e a uma p o t ê n c i a ( a ) da v e l o c i d a d e m é d i a de escoamento ( V ) , e inversamente p r o p o r c i o n a i s a uma p o t ê n c i a ((3) do d i â m e t r o ( D ) , sendo t a m b é m i n f l u e n c i a d a pela natureza dos tubos (rugosidade). Dessa forma, pode-se expressar essas perdas por:

(28)

CAPÍTULO III - AS REDES MALHADAS ₂₈

V a

h = k — L ( 3 . 4 )

d '

onde o coeficiente k é obtido em f u n ç ã o da natureza dos tubos e do regime de escoamento, do n ú m e r o de Reynolds e da rugosidade relativa.

E x i s t e m na l i t e r a t u r a diversas e q u a ç õ e s para determinar a perda de carga ao l o n g o do conduto. Entretanto duas f ó r m u l a s s ã o as mais utilizadas por poderem ser aplicadas a uma ampla faixa de s i t u a ç õ e s . S ã o elas a e q u a ç ã o de D a r c y - W e i s s b a c h - t a m b é m chamada de f ó r m u l a u n i v e r s a l da perda de carga, e a e q u a ç ã o de H a z e n - W i l l i a m s . Darcy- Weissbach f V2 f V2 h = L ou 0 , 0 8 2 6 — - L D 2g D ( 3 . 5 ) o n d e f é o c o e f i c i e n t e a d i m e n s i o n a l de a t r i t o que é f u n ç ã o da r u g o s i d a d e do t u b o s, d o n ú m e r o de R e y n o l d s ( R e ) e do d i â m e t r o d o t u b o ( D ) . Para o r e g i m e de f l u x o t u r b u l e n t o o c o e f i c i e n t e / p o d e ser o b t i d o p e l a e q u a ç ã o de C o l e b r o o k e W h i t e que é: 1 V f -21og

_{+ •}

2,51 J 1 D R e V F ( 3 . 6 ) Hazen- Williams

U m a das v e r s õ e s da f ó r m u l a de Hazen W i l i a m s é a seguinte:

1 v1-8 5 o1-8 5

(29)

L é o c o m p r i m e n t o em metros; D o d i â m e t r o em metros.

O coeficiente de perda de carga ( C ) de H a z e n - W i l l i a m s é f u n ç ã o do material do tubo. A grande a c e i t a ç ã o da f ó r m u l a p e r m i t i u que fossem o b t i d o s valores bem determinados de C, que podem ser encontrado nos c a t á l o g o s de tubos ou em manuais de h i d r á u l i c a ( H w a n g , 1981).

A f ó r m u l a de H a z e n - W i l l i a m s é largamente empregada no dimensionamento de sistemas de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a , j á que os d i â m e t r o s das t u b u l a ç õ e s destes se encontram na faixa de 50 a 3.000 m m , valores para o qual esta f ó r m u l a f o i desenvolvida e pode ser aplicada satisfatoriamente ( A z e v e d o e A l v a r e z , 1991).

3.1.2. Velocidade Máxima Admissível

N o transporte de uma determinada v a z ã o ( Q ) por uma t u b u l a ç ã o , sabe-se, a t r a v é s da e q u a ç ã o da continuidade, que quanto maior for a velocidade do f l u x o menor s e r á o d i â m e t r o n e c e s s á r i o do t u b o , i m p l i c a n d o em uma t u b u l a ç ã o c o m menos custo. P o r é m , ao se aumentar a velocidade de c i r c u l a ç ã o da á g u a , o c o r r e r ã o maiores perdas de carga, as t u b u l a ç õ e s p o d e r ã o ser danificadas pelos golpes de a r í e t e , h a v e r á maiores desgastes nos tubos e nas demais p e ç a s ( c o n e x õ e s , registros, v á l v u l a s , e t c ) , a rede s o f r e r á maiores v i b r a ç õ e s e outros f e n ó m e n o s associados ao aumento da velocidade do f l u x o .

V i s a n d o evitar os efeitos danosos que as altas velocidades de f l u x o podem causar à s redes de d i s t r i b u i ç ã o , v á r i o s pesquisadores procuraram i m p o r alguns l i m i t e s de v e l o c i d a d e para o f l u x o de á g u a nessas redes. Granados ( 1 9 9 0 ) admite, para os sistemas de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a de u m modo geral, valores de velocidades m á x i m a s a t é 2,0 m/s para d i â m e t r o s menores ou iguais a 250 m m para os d i â m e t r o s entre 300 e 1.000 m m . Granados recomenda

(30)

CAPÍTULO III - AS REDES MALHADAS ₃₀

velocidades entre 2,1 e 3,0 m/s (Tabela 3.1), e para d i â m e t r o s maiores que 1.000 mm é proposto a seguinte f ó r m u l a :

Vm a x = 2 + D (eq. 6.16)

para D em metros.

Diâmetro Velocidade Diâmetro Velocidade (mm) (m/s) (mm) (m/s) <250 2 600 2,6 300 2,1 700 2,7 350 2,2 800 2,8 400 2,3 900 2,9 450 2,4 >1.000 2 + D ( m ) 500 2,5

Tabela 3.1 - Velocidades m á x i m a s a d m i s s í v e i s recomendadas por G r a n a d o s ( 1 9 9 0 )

Clement e Galant ( 1 9 8 6 ) recomendam valores de velocidades situados entre 1,8 e 3,0 m/s, enquanto W a l s k i ( 1 9 8 5 ) admite velocidades m á x i m a s de a t é 2,4 m/s no h o r á r i o de pico de consumo. A l z a m o r a e T á r r e g a ( 1 9 8 7 ) propuseram velocidades entre 0,6 e 2,25 m/s, enquanto Silvestre ( 1 9 8 2 ) admite que as velocidades devem, de u m modo geral, situar-se entre 1 e 2 m/s.

3.2. Análise Hidráulica das Redes Malhadas

Para que uma rede malhada atenda à s e q u a ç õ e s fundamentais da h i d r á u l i c a ( e q u a ç õ e s da c o n t i n u i d a d e e e q u a ç õ e s da energia), é n e c e s s á r i o que sejam obedecidas as seguintes c o n d i ç õ e s :

1. em qualquer nó o b a l a n ç o das v a z õ e s deve ser n u l o , ou seja, a v a z ã o que entra no n ó é a mesma que sai;

(31)

independente do percurso seguido. Assim sendo, em u m anel, a soma das perdas de carga no sentido h o r á r i o devem ser iguais à s do sentido anti-h o r á r i o .

A p r i m e i r a c o n d i ç ã o é a a p l i c a ç ã o da e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e ao caso das redes, enquanto que a segunda c o n d i ç ã o e x p r i m e a e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o da energia para os a n é i s da rede. Estas c o n d i ç õ e s atuam como r e s t r i ç õ e s no modelamento m a t e m á t i c o da rede.

Para se atender a essas c o n d i ç õ e s , foram desenvolvidas algumas t é c n i c a s de dimensionamento que executam o balanceamento das perdas de carga na rede. Dessas t é c n i c a s as mais u t i l i z a d a s s ã o o m é t o d o do seccionamento f i c t í c i o e o m é t o d o de H a r d y - C r o s s . Esses m é t o d o s de dimensionamento de redes malhadas s ã o baseados em t e n t a t i v a e erro, e fazem c o m que a parte referente a economia de p r o j e t o e a o p e r a ç ã o da rede f i q u e m a cargo da e x p e r i ê n c i a dos projetistas.

Essas metodologias, p r i n c i p a l m e n t e o m é t o d o de H a r d y Cross, s ã o m u i t o empregadas para se fazer a s i m u l a ç ã o do funcionamento de uma rede, onde é v e r i f i c a d o se, para uma determinada c o n d i ç ã o de f u n c i o n a m e n t o , as p r e s s õ e s nos n ó s s e r ã o atendidas. Para se fazer essa s i m u l a ç ã o existem diferentes pacotes de programas que podem ser usados como o K Y P I P E ( W o o d , 1980) W A T S Y S ( O l d e , 1985), W A T E R ( F o w l e r 1990) e C R E D E ( 1 9 9 7 ) .

3.2.1. Método do Seccionamento Fictício

Este m é t o d o baseia-se na t r a n s f o r m a ç ã o da rede malhada o r i g i n a l em uma r a m i f i c a d a f i c t í c i a , de r e s o l u ç ã o mais fácil. Essa t r a n s f o r m a ç ã o se d á

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CAPÍTULO III - AS REDES MALHADAS ₃₂

a t r a v é s do seccionamento do c i r c u i t o fechado, que d a r á o r i g e m a extremidades l i v r e s na rede.

A escolha dos pontos de seccionamento é feita de f o r m a que a á g u a percorra sempre o menor trajeto, para se atingir u m d e t e r m i n a d o p o n t o da rede. Esses cortes s ã o feitos geralmente em n ó s onde haja c o n v e r g ê n c i a de f l u x o s . A p ó s ser realizado o seccionamento da rede procura-se determinar as v a z õ e s e os d i â m e t r o s para cada trecho.

Depois de serem estabelecidas as v a z õ e s e os d i â m e t r o s dos trechos, verifica-se para os n ó s , onde ocorreram os seccionamentos, se as d i f e r e n ç a s das alturas p i e z o m é t r i c a s em todos os extremos, em que o seccionamento f o i efetuado, s ã o menores que 10%. Caso isto seja v e r d a d e i r o , a rede pode ser considerada dimensionada e balanceada. Se as alturas p i e z o m é t r i c a s n ã o estiverem dentro dessa faixa de t o l e r â n c i a , deve-se variar os d i â m e t r o s previamente escolhidos, o local do seccionamento, ou as v a z õ e s nos trechos, repetindo-se o processo a t é que as c o n d i ç õ e s impostas i n i c i a l m e n t e sejam satisfeitas.

3.2.2. Método de Hardy-Cross

O m é t o d o de H a r d y Cross, é uma das mais antigas m e t o d o l o g i a s utilizadas para o d i m e n s i o n a m e n t o s i s t e m á t i c o das redes malhadas, sendo ainda uma das t é c n i c a s mais u t i l i z a d a s . U m dos m o t i v o s que levaram a essa grande a c e i t a ç ã o , por parte dos projetistas, se deve à sua fácil a d a p t a ç ã o à i n f o r m á t i c a .

O m é t o d o de H a r d y - C r o s s faz o balanceamento das p r e s s õ e s nos n ó s , c o r r i g i n d o a d i s t r i b u i ç ã o de v a z õ e s i n i c i a l m e n t e assumida. T a l d i s t r i b u i ç ã o deve satisfazer a e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e em todos os n ó s . O conceito chave para este m é t o d o é i m p o r uma c o r r e ç ã o de v a z ã o em todos os tubos de um anel, aplicando essa c o r r e ç ã o à d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l de f l u x o assumida. A s v a z õ e s nos trechos s ã o repetidamente c o r r i g i d a s a t é que a e q u a ç ã o da energia aplicada à s redes seja atendida, dentro de l i m i t e s p r á t i c o s a c e i t á v e i s , para todos os a n é i s .

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cada ponto de s a í d a de á g u a da rede e os pontos onde existem c o n v e r g ê n c i a de fluxos. E m seguida, uma d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l das v a z õ e s circulantes em cada trecho é assumida. Essa d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l d e t e r m i n a r á o sentido e a quantidade do f l u x o que passa em cada trecho, e d e v e r á c u m p r i r a e q u a ç ã o da continuidade em todos os n ó s , de maneira que a soma das v a z õ e s que chegam a cada n ó seja igual a soma das v a z õ e s que saem.

L o g o a p ó s à d i s t r i b u i ç ã o dos fluxos i n i c i a i s , os d i â m e t r o s de cada trecho s ã o escolhidos em f u n ç ã o da v a z ã o transportada e da v e l o c i d a d e i n i c i a l de f l u x o a d m i t i d a para cada d i â m e t r o de tubo escolhido. A s s i m , cada trecho t e r á o seu d i â m e t r o i n i c i a l e sua perda de carga definidos.

Usando este m é t o d o , a s o l u ç ã o do grupo de e q u a ç õ e s n ã o lineares dos f l u x o s das redes é encontrada pelas sucessivas c o r r e ç õ e s das v a z õ e s i n i c i a l m e n t e arbitradas. O p r o c e d i m e n t o é repetido a t é que o c r i t é r i o de p r e c i s ã o , p r é - e s t a b e l e c i d o , para as p r e s s õ e s nos n ó s , seja satisfeito.

A e x p r e s s ã o da c o r r e ç ã o , que é sucessivamente usada para u m anel, pode ser obtida da e x p r e s s ã o geral da r e l a ç ã o perda de c a r g a - v a z ã o :

hi = K , 0 a (eq. 3 . 9 )

sendo:

h; a perda de carga no trecho /;

K j uma constante do trecho, que é f u n ç ã o do d i â m e t r o , do c o m p r i m e n t o e da e q u a ç ã o de perdas adotada;

Q a v a z ã o no t r e c h o ;

a a p o t ê n c i a da f ó r m u l a usada.

A d o t a n d o um sentido, arbitrado, para o f l u x o (que pode ser o sentido h o r á r i o , como o a n t i - h o r á r i o ) como p o s i t i v o e percorrendo um anel neste sentido, tem-se que a d i f e r e n ç a de perda de carga s e r á dada por:

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CAPÍTULO lil - AS REDES MALHADAS 34

n

A h =

Z

h

i (eq. 3.10)

i=i

onde:

hj é a perda de carga no trecho / do anel, considerando a perda como p o s i t i v a para o caso de a d i r e ç ã o da v a z ã o no sentido arbitrado como p o s i t i v o e vice-versa;

n o n ú m e r o de trechos do anel.

A s s i m , procura-se determinar uma c o r r e ç ã o da descarga A Q , que igualaria as duas perdas de carga. Esse A Q i r i a ser somado à s v a z õ e s nos trechos de sentido p o s i t i v o e s u b t r a í d a nos trechos onde o f l u x o fosse considerado como n e g a t i v o . A s s i m , a c o r r e ç ã o de v a z ã o irá obedecer à seguinte e q u a ç ã o : m X K1( Q1± A Q )a= 0 (eq. 3.11) i=l onde: m é o n ú m e r o de trechos do anel.

A e q u a ç ã o acima, desenvolvida em uma s é r i e de p o t ê n c i a s , t e r á a seguinte forma:

m

1=1

Q i l a Q ^ A Q + a ^ y ^ Q °t"2A Q2 - " ± A Qa = 0 (eq.

3.12)

C o m o o valor de A Q é m u i t o pequeno quando comparado c o m Q, todos os termos que contenham A Q com p o t ê n c i a m a i o r o u igual a 2 podem ser desprezados. Desta forma a e q u a ç ã o ( 3 . 1 2 ) fica reduzida a:

m r i

^ K j j Q j ± a Q °t _ 1A Q ] = 0 (eq. 3.13)

(35)

AQ = — ~ ( 3 . 1 4 )

i=l

Onde A Q é a c o r r e ç ã o do f l u x o a ser aplicada em u m anel, devendo para cada anel ser calculada uma c o r r e ç ã o . Qualquer p r e c i s ã o desejada dentro de u m l i m i t e p r á t i c o prescrito pode ser a l c a n ç a d a executando-se mais i t e r a ç õ e s . N o caso de u m ú n i c o anel, é fácil v e r i f i c a r que existe apenas uma taxa de c o r r e ç ã o da v a z ã o em cada trecho. E importante notar que a p ó s a a p l i c a ç ã o da taxa de c o r r e ç ã o A Q , a e q u a ç ã o de continuidade em todos os n ó s t a m b é m estariam satisfeitas.

Quando na rede houver mais de u m anel, p o d e r ã o existir alguns trechos comuns aos a n é i s . A c o r r e ç ã o a ser aplicada em cada u m desses trechos, seria igual a c o r r e ç ã o do anel em q u e s t ã o , menos a c o r r e ç ã o dos outros a n é i s , aos quais esse trecho pertence, mudando-se assim o b a l a n ç o realizado para o p r i m e i r o anel. C o m o as c o r r e ç õ e s a serem feitas em u m anel s ã o afetadas pelas outras, devido à e x i s t ê n c i a de trechos comuns, h a v e r á u m n ú m e r o de tentativas maior para a o b t e n ç ã o do resultado d e f i n i t i v o . D e v i d o a essas n o v a s c o r r e ç õ e s , a c o n v e r g ê n c i a t o r n a - s e m u i t o l e n t a p i o r a n d o c o m o a u m e n t o do s i s t e m a , c h e g a n d o e m a l g u n s casos, a t é a n ã o c o n v e r g i r .

(36)

CAPÍTULO IV - OTIMIZAÇÃO ECONÓMICA DE REDES MALHADAS ₃₆

Capítulo I V

Otimização Económica d e Redes Malhadas

4.1. Introdução

Os m é t o d o s v i s t o s no c a p i t u l o a n t e r i o r , l e v a m em c o n t a apenas o b a l a n c e a m e n t o h i d r á u l i c o da rede, de f o r m a a a t e n d e r à s c o n d i ç õ e s i m p o s t a s pelas e q u a ç õ e s da c o n s e r v a ç ã o de massa nos n ó s e c o n s e r v a ç ã o de e n e r g i a nos a n é i s . N ã o se p o d e negar a i m p o r t â n c i a desses m é t o d o s p a r a a e v o l u ç ã o da b u s c a p o r u m m e l h o r d i m e n s i o n a m e n t o dos s i s t e m a s de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a . E n t r e t a n t o , c o m as f e r r a m e n t a s h o j e d i s p o n í v e i s , p r i n c i p a l m e n t e a c a p a c i d a d e de r e s o l u ç ã o n u m é r i c a d o c o m p u t a d o r e seus p r o g r a m a s t o r n a - s e p o s s í v e l a i n t r o d u ç ã o , e x p l í c i t a , de o u t r o s c r i t é r i o s ao d i m e n s i o n a m e n t o das redes que c o m p õ e m esses s i s t e m a s . Para a r e s o l u ç ã o desses p r o b l e m a s , v á r i o s p e s q u i s a d o r e s l a n ç a r a m m ã o de f e r r a m e n t a s m a t e m á t i c a s , baseadas na á r e a da p e s q u i s a o p e r a c i o n a l . P r o b l e m a s que p r o c u r a m m a x i m i z a r o u m i n i m i z a r u m a f u n ç ã o n u m é r i c a de u m a o u m a i s v a r i á v e i s , o n d e essas v a r i á v e i s e s t ã o s u j e i t a s a d e t e r m i n a d a s r e s t r i ç õ e s , s ã o c h a m a d o s de problemas de otimização. M u i t o s p r o b l e m a s de o t i m i z a ç ã o f o r a m e n c o n t r a d o s i n i c i a l m e n t e nas c i ê n c i a s f í s i c a s e na g e o m e t r i a , onde a n e c e s s i d a d e de r e s o l v ê - l o s fez

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s u r g i r o c á l c u l o d i f e r e n c i a l e o c á l c u l o das v a r i a ç õ e s , que s ã o t é c n i c a s c l á s s i c a s de o t i m i z a ç ã o c o n h e c i d a s h á m a i s de 150 anos. Os p r o b l e m a s de o t i m i z a ç ã o que n ã o p o d e m ser r e s o l v i d o s a t r a v é s de m é t o d o s c l á s s i c o s de c á l c u l o s ã o g e r a l m e n t e c h a m a d o s de problemas de programação ( F r i t z s c h e , 1 9 7 8 ) .

A t é os anos 40 m u i t o p o u c o era c o n h e c i d o sobre m é t o d o s para a o t i m i z a ç ã o n u m é r i c a de f u n ç õ e s de m u i t a s v a r i á v e i s . C o m a e v o l u ç ã o da i n f o r m á t i c a o c o r r e u o d e s e n v o l v i m e n t o de m é t o d o s de o t i m i z a ç ã o , c o m d e s t a q u e ao m é t o d o S i m p l e x , b á s i c o d e n t r o da P r o g r a m a ç ã o L i n e a r , e d e s e n v o l v i d o n a q u e l a d é c a d a c o m f i n s i n i c i a l m e n t e de l o g í s t i c a m i l i t a r . Os p r i m e i r o s m é t o d o s de o t i m i z a ç ã o em P r o g r a m a ç ã o N ã o L i n e a r e r a m b a s t a n t e r e s t r i t o s e t o r n a r a m - s e m a i s s i g n i f i c a t i v o s no f i n a l da d é c a d a de 50 c o m a i n t r o d u ç ã o de m é t o d o s de m é t r i c a v a r i á v e l , capazes de s o l u c i o n a r p r o b l e m a s de m u i t a s v a r i á v e i s em p e q u e n o t e m p o ( M a t e u s e L u n a , 1 9 8 6 ) . O o b j e t i v o da o t i m i z a ç ã o é e n c o n t r a r a m e l h o r s o l u ç ã o , e n t r e t o d a s as s o l u ç õ e s , em p o t e n c i a l , de u m d e t e r m i n a d o p r o b l e m a ( M a t e u s e L u n a , 1 9 8 6 ) . Os p r o b l e m a s n ã o l i n e a r e s , em g e r a l , n ã o p o d e m ser r e s o l v i d o s ^ u t i l i z a n d o t é c n i c a s c l á s s i c a s de c á l c u l o d i f e r e n c i a l , d e v e n d o - s e u t i l i z a r , para r e s o l v ê - l o s , m é t o d o s n u m é r i c o s i t e r a t i v o s que g e r a m s o l u ç õ e s i n t e r m e d i á r i a s a cada passo do p r o c e s s o , e, p o r t a n t o , n e c e s s i t a n d o do a u x í l i o do c o m p u t a d o r . Esses m é t o d o s a c a r r e t a m a l g u m a s d i f i c u l d a d e s t a i s c o m o : a n e c e s s i d a d e de u m a s o l u ç ã o i n i c i a l para se c o m e ç a r o p r o c e s s o i t e r a t i v o ; o e s c a l o n a m e n t o de v a r i á v e i s de f o r m a que se r e d u z a os e r r o s n u m é r i c o s c o m p u t a c i o n a i s ; a a p r o x i m a ç ã o d o p r o b l e m a o r i g i n a l para u m a f u n ç ã o m a t e m á t i c a , a e x i g ê n c i a de c o n t i n u i d a d e e d i f e r e n c i a b i l i d a d e das f u n ç õ e s e n v o l v i d a s , e n t r e o u t r a s .

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CAPÍTULO IV - OTIMIZAÇÃO ECONÓMICA DE REDES MALHADAS _{3 8} O m o d e l o c i e n t í f i c o de o t i m i z a ç ã o r e p r e s e n t a t i v o de u m s i s t e m a , é a s í n t e s e da a n á l i s e de m u i t a s v a r i á v e i s o n d e se p r o c u r a a d i s t r i b u i ç ã o e f i c i e n t e de r e c u r s o s l i m i t a d o s e n t r e d i v e r s a s a t i v i d a d e s c o m p e t i t i v a s . Dessa f o r m a , p r o c u r a - s e u m a s o l u ç ã o para u m p r o b l e m a de d e c i s ã o c o n s i d e r a n d o - s e u m o b j e t i v o p r e v i a m e n t e d e f i n i d o . Esse o b j e t i v o p o d e ser o de m a x i m i z a r l u c r o s e b e n e f í c i o s o u de m i n i m i z a r c u s t o s , s a t i s f a z e n d o p o r é m a r e s t r i ç õ e s f í s i c a s , de m ã o - d e - o b r a , de m a t e r i a l , etc. Q u a n d o o o b j e t i v o e as r e s t r i ç õ e s p o d e m ser q u a n t i f i c a d a s e r e p r e s e n t a d a s a t r a v é s de e q u a ç õ e s e i n e q u a ç õ e s , t e m - s e u m modelo matemático r e p r e s e n t a t i v o do s i s t e m a ( F r i t z s c h e , 1 9 7 8 ) . A s s i m , o p r o b l e m a c o n s i s t i r á em o t i m i z a r ( m a x i m i z a r o u m i n i m i z a r ) u m a f u n ç ã o d e n o m i n a d a função objetivo ( F O ) , r e s p e i t a n d o u m c o n j u n t o de restrições. Estas r e s t r i ç õ e s d e t e r m i n a m u m a r e g i ã o no e s p a ç o n - d i m e n s i o n a l , o n d e as s o l u ç õ e s do p r o b l e m a de o t i m i z a ç ã o d e v e m e s t a r c o n t i d a s . Essa r e g i ã o é d e n o m i n a d a r e g i ã o v i á v e l o u f a c t í v e l . O c o n j u n t o de s o l u ç õ e s v i á v e i s que o t i m i z a a f u n ç ã o o b j e t i v o d e n o m i n a - s e Solução Ótima. E x i s t e h o j e u m a g r a n d e q u a n t i d a d e de a r t i g o s e l i v r o s p u b l i c a d o s que e s t ã o r e l a c i o n a d o s à o t i m i z a ç ã o de redes ( L a n s e y e M a y s 1 9 8 9 ) . V á r i o s p e s q u i s a d o r e s t ê m e m p r e g a d o as m a i s d i v e r s a s f e r r a m e n t a s m a t e m á t i c a s de o t i m i z a ç ã o para a s o l u ç ã o desse p r o b l e m a , d e n t r e as q u a i s p o d e - s e c i t a r : a T é c n i c a s de E n u m e r a ç ã o E x a u s t i v a , a P r o g r a m a ç ã o L i n e a r , a P r o g r a m a ç ã o N ã o l i n e a r , a P r o g r a m a ç ã o D i n â m i c a e o A l g o r i t m o G e n é t i c o . A p r e o c u p a ç ã o c o m a e c o n o m i a no d i m e n s i o n a m e n t o de s i s t e m a s de a b a s t e c i m e n t o de á g u a s u r g i u nos anos 4 0 . q u a n d o h o u v e u m a a c e l e r a ç ã o no p r o c e s s o de u r b a n i z a ç ã o ( H a m b e r g e S h a m i r , 1 9 8 8 ) . N a

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d é c a d a de sessenta, c o m a c o n s o l i d a ç ã o do uso de c o m p u t a d o r e s , nos c e n t r o s de p e s q u i s a s e nas u n i v e r s i d a d e s , o c o r r e u o d e s e n v o l v i m e n t o e a p l i c a ç õ e s das t é c n i c a s de o t i m i z a ç ã o m a t e m á t i c a a p r o b l e m a s p r á t i c o s c o m o : a l o c a ç ã o de r e c u r s o s na i n d u s t r i a , p l a n e j a m e n t o de r o t a s de t r a n s p o r t e s , etc. C o m i s s o , s u r g i r a m as p r i m e i r a s i d e i a s sobre a a p l i c a ç ã o de t é c n i c a s de s i m u l a ç ã o e o t i m i z a ç ã o no d i m e n s i o n a m e n t o de redes de a b a s t e c i m e n t o de á g u a . N o entanto, f o i somente no f i n a l da d é c a d a de 60, e i n í c i o dos anos 70, que ocorreu o surgimento de m é t o d o s mais elaborados para a o t i m i z a ç ã o de redes de abastecimento. Esses m é t o d o s eram baseados em t é c n i c a s h e u r í s t i c a s de busca, ou no emprego da P r o g r a m a ç ã o L i n e a r e da P r o g r a m a ç ã o D i n â m i c a ( W a l s k i et a l . , 1987).

A d é c a d a de oitenta f o i caracterizada pela c o n s o l i d a ç ã o das m e t o d o l o g i a s existentes (Santana e Soares 1997). N a c o n f e r ê n c i a " C o m p u t e r i n W a t e r Resources", realizada na cidade de N o v a I o r q u e em 1985, ocorreu uma s é r i e de s e ç õ e s denominadas "The Batlle of the Networks Models" ( A B a t a l h a dos M o d e l o s de Redes). Nesse encontro, diversos grupos de pesquisa apresentaram suas s o l u ç õ e s para uma rede h i p o t é t i c a previamente estabelecida. U m a a n á l i s e dos resultados obtidos pelas diferentes metodologias e a l g o r i t m o s empregados f o i feita por W a l s k i et al. ( 1 9 8 7 ) , onde se v e r i f i c o u que as diferentes s o l u ç õ e s otimizadas apresentavam uma d i f e r e n ç a de a p r o x i m a d a m e n t e 10% entre a de menor e a de m a i o r custo.

A d é c a d a de noventa tem se caracterizado pela s o f i s t i c a ç ã o dos a l g o r i t m o s , onde cada vez mais tem-se procurado o d e s e n v o l v i m e n t o de um modelo especialista, capaz de n ã o s ó fazer o d i m e n s i o n a m e n t o e c o n ó m i c o da rede, mas t a m b é m de determinar o l a y o u t , bem c o m o a o p e r a ç ã o da mesma ( G o u t e r , 1992).

A seguir é mostrado um resumo das p r i n c i p a i s t é c n i c a s de o t i m i z a ç ã o , utilizadas para o d i m e n s i o n a m e n t o de redes encontradas na l i t e r a t u r a .

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CAPÍTULO IV - OTIMIZAÇÃO ECONÓMICA DE REDES MALHADAS _{4 0}

4.2. Técnicas d e Enumeração Exaustiva

A e n u m e r a ç ã o exaustiva é uma t é c n i c a que s i m u l a todas as c o m b i n a ç õ e s p o s s í v e i s , para os d i â m e t r o s comerciais dos tubos, onde e n t ã o é feita a s e l e ç ã o do menor custo da rede que s a t i s f a ç a as r e s t r i ç õ e s de p r e s s ã o nos n ó s . A p r i n c i p a l desvantagem que esta t é c n i c a apresenta é a quantidade de c á l c u l o s e n v o l v i d o s . Por exemplo, considerando uma rede de 30 trechos e u m c o n j u n t o de 5 d i â m e t r o s candidatos à s o l u ç ã o , h a v e r á u m t o t a l de 53 0 p o s s í v e i s s o l u ç õ e s

para o problema. Se u m computador m u i t o potente analisar cerca de 1.000.000 s o l u ç õ e s por segundo, seria n e c e s s á r i o mais de 2 9 . 0 0 0 . 0 0 0 anos para v e r i f i c a r todas as p o s s í v e i s s o l u ç õ e s do problema.

E m v i r t u d e disso, Gessler (1985) p r o p ô s o uso da e n u m e r a ç ã o seletiva. de modo a restringir severamente a quantidade de s o l u ç õ e s p o s s í v e i s para a rede, r e s t r i ç õ e s essas que t i v e r a m por base a e x p e r i ê n c i a do autor. L o u b s e r and Gessler ( 1 9 9 0 ) sugeriram algumas diretrizes para a r e d u ç ã o da quantidade de c á l c u l o efetuado pelo computador. As p r i n c i p a i s s ã o :

1. agrupar uma s é r i e de trechos e fazer c o m que o mesmo d i â m e t r o seja u t i l i z a d o em t o d o o g r u p o ;

2. armazenar progressivamente as c o m b i n a ç õ e s de d i â m e t r o s que p r o p o r c i o n a m o menor custo e que satisfazem as r e s t r i ç õ e s , e l i m i n a n d o assim p o s s í v e i s c o m b i n a ç õ e s de custos maiores;

3. checar as c o m b i n a ç õ e s que v i o l a m as r e s t r i ç õ e s e e l i m i n a r aquelas que i n c l u e m tamanhos do tubo iguais ou menores aos rejeitados.

Apesar do a u x í l i o dessas diretrizes, no caso de grandes redes ainda é n e c e s s á r i o um t e m p o c o m p u t a c i o n a l elevado para se chegar a uma s o l u ç ã o de menor custo, e n ã o existe nenhuma garantia de que a s o l u ç ã o ó t i m a tenha sido descartada por essas diretrizes que "podam" o e s p a ç o das p o s s í v e i s s o l u ç õ e s (Simpson et al. 1994).

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U m dos resultado dessa t é c n i c a de o t i m i z a ç ã o f o i o programa W A D I S O (Gessler e W a l s k i , 1985), u t i l i z a d o por Leal ( 1 9 9 5 ) para fazer a o t i m i z a ç ã o de u m sistema de abastecimento de á g u a em J o ã o Pessoa-PB.

4.3. Programação Linear

D e n t r e as metodologias desenvolvidas nestes ú l t i m o s anos para a o t i m i z a ç ã o de sistemas de d i s t r i b u i ç ã o de á g u a , as t é c n i c a s baseadas na p r o g r a m a ç ã o linear formam u m dos mais importantes grupos. Dentre as diversas t é c n i c a s u t i l i z a d a s , o gradiente de p r o g r a m a ç ã o linear ( G P L ) , é considerado como a que teve u m a v a n ç o mais significante (Bhave e Sonak 1992).

O m é t o d o G P L d e c o m p õ e o problema da o t i m i z a ç ã o em duas etapas: na p r i m e i r a , algumas v a r i á v e i s s ã o tidas como constantes, enquanto outras s ã o otimizadas a t r a v é s da p r o g r a m a ç ã o linear ( P L ) ; na segunda etapa, uma t é c n i c a de pesquisa é u t i l i z a d a para determinar como as v a r i á v e i s , tidas como constantes na p r i m e i r a etapa, devem ser modificadas de forma a melhorar a s o l u ç ã o p r e l i m i n a r m e n t e obtida. As duas etapas s ã o repetidas a t é que n ã o haja r e d u ç ã o nos custos da rede.

A t é c n i c a G P L f o i o r i g i n a l m e n t e proposta por A l p e r o v i t s e Shamir ( 1 9 7 7 ) . N a p r i m e i r a etapa do m é t o d o a v a z ã o nos tubos f o i considerada como constante. Por assumir a v a z ã o nos tubos como constantes e conhecidas, a rede pode ser o t i m i z a d a a t r a v é s de t é c n i c a s de p r o g r a m a ç ã o linear, u t i l i z a n d o - s e uma m e t o d o l o g i a semelhante à empregada por K a r m e l l i et al. (1968). Por esse m é t o d o , cada trecho da rede é composto por uma ou mais s é r i e s de tubos c o m d i â m e t r o s comerciais, e os c o m p r i m e n t o s desses sub-trechos s ã o tidos como v a r i á v e i s de d e c i s ã o . Para restringir a quantidade de tubos a ser empregada em cada trecho, e consequentemente o n ú m e r o de v a r i á v e i s do problema, os d i â m e t r o s comerciais, que i r ã o ser u t i l i z a d o s em cada trecho, podem ser