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TEORIA DA PROBABILIDADE

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Academic year: 2021

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Métodos Quantitativos II Mestrado em Economia Aplicada Faculdade de Economia e Administração

Prof. Rogério Silva de Mattos

A. Kolmogorov

TEORIA DA PROBABILIDADE

(2)

1 CONCEITOS INICIAIS

1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO  Operação cujo resultado não é conhecido com certeza ou é sujeito a mecanismos de chance.

Exemplos:

 Lançamento de uma moeda  Lançamento de um dado

 Lançamento simultâneo de 2 moedas  Lançamento simultâneo de 2 dados

1.2 ESPAÇO AMOSTRAL  Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

Exemplos:

 S = {Ca, Co}

 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 S = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}  S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } 2. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2.1 DEFINIÇÃO

VA é uma função que associa elementos do espaço amostral S a números(X:SA, onde AR).

Exemplo

 Lançamento de 2 moedas

(3)

S X {Co, Co}  0 {Co, Ca}  1 {Ca, Co}  {Ca,Ca}  2

2.2 VAs DISCRETAS E CONTÍNUAS

Conjuntos Numéricos Conjuntos finitos Contáveis Intervalos ou Espaços amostrais discretos Conjuntos infinitos Incontáveis Intervalos ou Espaços amostrais contínuos

VA discreta: é aquela cujo intervalo é finito ou infinito contável Exs.: A{1,2,3,4,5,6},AN {1,2,3,4,...}, etc.

VA contínua: é aquela cujo intervalo é infinito incontável Exs.: AR(,),A[0,1]R, etc.

2.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Definição: Seja X uma VA discreta. A função de probabilidade associa elementos do intervalo/espaço da VA, representado por A, a elementos do intervalo [0,1]  R Notação: P:A[0,1] ou Pr(Xx) ou p(x) ou pX(x), xA Propriedade:

  A x X x p ( ) 1 Intervalo ou Espaço da VA

(4)

Ex.: Lançamento de um dado nãoviciado: Pr(X 2) pX(2)1/6 2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (fdp ou pdf)

Definição: Seja X uma VA contínua. A função densidade de probabilidade associa elementos do intervalo/espaço contínuo da VA, representado por A, a elementos do intervalo [0,)  R

Notação: f :A[0,) ou f(x) ou fX(x), xA

Propriedades

AfX(x)dx 1

fdp não avalia a probabilidade no ponto: Pr(Xx) fX(x)  fdp avalia a probabilidade em subintervalos de A:

   b a fX x b X a ) ( ) Pr( a,bA

Probabilidade é nula no ponto: Pr( ) lim ( ) 0

0   

   f t dt x X x h h x X h Exemplo:

X é uma VA contínua definida no intervalo A[0;0,5]  Aqui, fdp pode ser fX(x)2 (xA) para que

5 , 0 0 fX( dxx) 1  Pr(0,2 0,3) 0,32 0,2 2 , 0     X

dx ou 20%

2.5 FUNÇÃO (CUMULATIVA) DE DISTRIBUIÇÃO (fcd ou cdf)

Definição: A função cumulativa de distribuição FX(t) para uma VA X dá o valor de Pr(Xt) para qualquer valor real t (i.e., t)

 VA discreta:

   t x X X t p x F ( ) ( )  VA Contínua:

   t X X t f x dx F ( ) ( )

(5)

Exemplos:

a) VA discreta

 Lançamento de um dado não viciado  X = VF do dado A{1,2,3,4,5,6} 

        3 1 3 1 2 1 6 3 6 1 ) ( ) 3 ( ) 3 ( x x X X p x F X P ou 50% b) VA contínua

X é uma VA contínua definida no intervalo A[0;0,5].  fdp é uniforme em A[0;0,5]  fX(x)2 (xA) para que

 5 , 0 0 fX(x) 1  Pr( 0,3) (0,3) 0,32 0,6 0     F

dx X ou 60%

(6)

Propriedades de FX(t)  0FX(t)1  É monótona crescente: FX(z) FX(t) zt  lim ( )0   FX t t  lim ( )1   FX t t

2.6 VALOR ESPERADO (OU MÉDIA) DE UMA VA

Seja X uma VA com intervalo denotado por A.

             

      contínua VA ) ( ) ( ) ( discreta VA ) ( ) ( ) ( dx x xf dx x xf X E x xp x xp X E A A x X Normalmente usase XE(X) Exemplos: a) VA Discreta

X = VF no lançamento de 1 dado nãoviciado  A{1,2,3,4,5,6}  p(x)1/6  3,5 6 21 ) 6 5 4 3 2 1 ( 6 1 6 1 6 1 ) ( 6 1 6 1          

  x x x x X E

(7)

b) VA Contínua  XA[ ba, ]  a b x f   1 ) (                              

2 ) ( 2 ) )( ( ) ( 2 2 1 1 ) ( ) ( 2 2 2 a b a b a b a b a b a b x a b dx x a b dx a b x dx x xf X E b a b a b a b a 2.7 VARIÂNCIA DE UMA VA

Seja X uma VA com intervalo denotado por A:

Variância de X: 2 2 ] ) [( ) (X E X X X Var                     

      contínua VA ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( discreta VA ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 dx x f x dx x f x X Var x p x x p x X Var A X X A X x X X    

Desvio padrão de X: XVar( X)

Exemplos

a) VA Discreta

X = VF no lançamento de 1 dado não viciado A{1,2,3,4,5,6}  p(x)1/6 

92 , 2 6 5 , 17 ) 5 , 3 6 ( ) 5 , 3 5 ( ) 5 , 3 4 ( ) 5 , 3 3 ( ) 5 , 3 2 ( ) 5 , 3 1 ( 6 1 ) 5 , 3 ( 6 1 6 1 ) 5 , 3 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 6 1 6 1 2 2                  

  x x x x X Var

(8)

b) VA Contínua  XA[ ba, ]  a b x f   1 ) (  12 ) ( ) ( 2 a b X Var    Fazer

2.8 PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO (OU MÉDIA) X é uma VA e a e b são constantes  R

E(aX)aE(X)  E(aXbY)aE(X)bE(Y)  E(a)aE(aXb)aE(X)b  

A x p x g X g E( ( )) ( ) ( ) ou

    g x f x dx X g E( ( )) ( ) ( ) 2.9 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA X é uma VA e a e b são constantes  R

Var(aX)a2Var(X)

Var(aXbY)a2Var(X)b2Var(Y) qdo X e Y independentes Var(aXb)a2Var(X)

(9)

2.10 MOMENTOS  assim como a média e a variância, momentos de ordem geral ajudam a caracterizar uma função de probabilidade

Definição:

 Momento NãoCentrado de ordem k: mkE(Xk)

Momento Centrado (na média) de ordem k: mk E[(X X)k] Casos Particulares

 Média (M. NãoCentr de ordem 1): m1 E(X)X

 Variância (M. Centrado de ordem 2): 2 2 2 E[(X X) ] X m    OBS: Momentos servem para caracterizar ou sumarizar as distribuições de probabilidade (como na estatística descritiva para distribuições de freqüência). Ex.: 2

, X X

 , assimetria (m3/ m3), curtose (m4/ m4). Muitas

vezes, momentos são também parâmetros de interesse em inferência estatística. VA Discreta

     A k x k k k E X x p x x p x m ( ) ( ) ( )     

  

   A k X x k X k X k E X x p x x p x m [(  ) ] (  ) ( ) (  ) ( ) VA Contínua   

 

  IX k k k k E X x f x dx x f x dx m ( ) ( ) ( )     

  

   IX k X k X k X k E X x f x dx x f x dx m [(  ) ] (  ) ( ) (  ) ( ) OBS: m1 E(X)X = média de X 2 2 2 E[(X X) ] Var(X) X m     = variância de X

(10)

3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

“Distribuição de probabilidade’ é o termo normalmente usado para designar um modelo probabilístico, que representa matematicamente uma lei de probabilidade para um dado experimento aleatório. Referese, em geral, à função de probabilidade (VA discreta) ou à função densidade de probabilidade (VA contínua), e não deve ser confundido com o conceito de função cumulativa de distribuição.

3.1 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS A) Bernoulli (X~Bernoulli(p))

Experimentos com só 2 resultados possíveis: “sucesso” ou “falha”.  X 0 “falha” Pr(X 0) p(0)q1 pX 1 “sucesso” Pr(X 1) p(1) p  função de probabilidade: x x p p x p( ) (1 )1  E(X) pVar(X) p(1 p) pq Exemplo:

 75% dos alunos de um curso A passaram no vestibular. Qual a distribuição de probabilidde de 1 aluno de A passar ou não no próximo vestibular?

Eventos: X = 0 “não passar”; X = 1  “passar”

x x x p( )0,75 0,251       75 , 0 ) 1 ( 25 , 0 ) 0 ( p pE(X)0,75  Var(X)0,250,750,1875

(11)

B) Binomial (X ~ Bin(n,p))

Em um experimento repetido n vezes com 2 resultados possíveis em cada vez, qual a chance se obter x sucessos nas n vezes?

X = número de sucessos em n repetições  função de probabilidade: x n x p p x n x p          (1 ) ) ( 0 xnE(X)npVar(X)np(1 p) Exemplo:

 Suponha que 20 alunos do curso A vão fazer o vestibular. Qual a distribuição de probabilidade de que x alunos passem?

n = 20, p = 0,75 x x x x p         20 25 , 0 75 , 0 20 ) (  E(X)200,7515  Var(X)200,750,253,75 C) Poisson (X ~ Poisson(

))

Funciona de modo similar à Binomial, só que não tem um valor limite superior para X, que pode variar de 0 a .

X = valor numérico associado a cada resultado  Função de probabilidade:    e x x p x ! ) | ( 0x  E(X)Var(X) Exemplo:

 No. de ligações telefônicas recebidas num dia por um terminal de comunicação.   = 43  43 ! 43 ) 43 | (  ex x p xE(X)Var(X)43

(12)

D) Uniforme Discreta (X~U(n))

Representa as chances de resultados alternativos equiprováveis de um experimento.

n = número de resultados possíveis

X = valor numérico associado a cada resultado  função de probabilidade: n x p( ) 1 n1  2 1 ) (XnE  2 ) 1 )( 1 ( ) (XnnVar Exemplo

 Lançamento de 1 dado nãoviciado:

6 1 ) (xp x1,...,6  E(X)7 23,5  Var(X)(75) 217,5

3.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

A) Uniforme: X ~U(a,b)  a b x f   1 ) ( axb ba   12 ) ( ) ( 2 a b X Var   B) Exponencial: X ~Expo()  x e x f( )  x0 0   1 ) (XE  ( ) 12   X Var

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C) Normal: X ~ N(,2)  função densidade: 2 2 2 ) ( 2 1 ) (        x e x f x  E(X)   2 ) (X  Var 2 0 Normal Padrão: Z ~ N(0,1)  0  2  1 Função Gama  

   0 1 ) ( te tdt 1. Se  1: ()(1)(1) 2. Se  n (inteiro > 1): (n)n! 3. (1)0!1 4. (1/2)  C) Gama : X ~G(,)  função densidade:     / 1 ) ( 1 ) (x x e x f     0x  E(X)  2 ) (X  Var D) QuiQuadrado: X ~ 2(r)  função densidade: 2 1 /2 2 / 2 ) 2 / ( 1 ) ( x r r x e r x f     0 x

 Caso especial de uma Gama com  r/2 e  2  E(X)r

(14)

Resultados D1. Se 2 Z X  , onde Z ~ N(0,1), então X ~2(1) D2. Se 2 2 2 2 1 Z Zr Z

Y    , onde cada Zi ~ N(0,1):i 1,...,r e todas são independentes, então Y ~2(r)

E) t de Student : X ~tr  função densidade:

2

( 1)2 1 ) 2 / ( 2 / ) 1 ( ) (      r r x r r r x f  x  E(X)0  2 ) (   r r X Var Resultados D3. Se X ~tr, então X Z ~ N(0,1) D r  quando r  D4. Se r V Z X  , onde      tes independen e ) ( ~ ) 1 , 0 ( ~ 2 V Z r V N Z  , então X ~tr F) F de Snedecor: X ~F(r1,r2)  função densidade: 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 ) ( r r r r r x r x r r r r r r x f                                       x0 r1,r2 0  ( ) 2 2 1   r r X E  ) 4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 2 2 1 2 1 2 2      r r r r r r X Var r2 4 Resultados D5. Se 2 1 r V r U X  , onde      tes independen e ) ( ~ ) ( ~ 2 2 1 2 V U r V r U   , então X ~ F(r1,r2)

(15)

4. DISTRIBUIÇÕES MULTIVARIADAS DE PROBABILIDADE

Seja k

R

X um vetor aleatório kdimensional definido como:

           k X X X  1

onde X1,,Xk são VAs.

Exemplo 1:  Lançamento de 2 moedas        2 1 X X X

X1 = no. de “caras” no primeiro lançamento (0 ou 1)  X2 = no. de “caras” no segundo lançamento (0 ou 1)

S

(Ca,Ca),(Ca,Co),(Co,Ca),(Co,Co)

 Espaço de

2 ) 1 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 1 ( ), 0 , 0 ( R X   Exemplo 2:

(16)

 Coordenadas do alvo de um estande de tiro com raio 10 cm 

( 1, 2)| 12 22 100

2 1            A x x x x X X X

X1 = coordenada horizontal no intervalo [10,10]

X2 = coordenada vertical no intervalo [10,10] 4.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BIVARIADA

Sejam X1 e X2 duas VAs discretas definidas no espaçoAR2. A função de probabilidade bivariada associa cada elemento de A a um número no intervalo [0,1]. Notação: P:A[0,1], P(X1 x1,X2  x2), p(x1,x2) Propriedades:  0 p(x1,x2)1 

 

       1 2 1 ) , ( 1 2 x x x x p ou ( 1, 2) 1 ) , (1 2  



p x x A x x Exemplo:

 Lançamentos independentes de 2 moedas nãoviciadas  X1 resultado 1º. Lançamento (0  Ca; 1  Co)

X2 resultado 2º. Lançamento (0  Ca; 1  Co)

P(X1 x1,X2  x2) p(x1,x2)1/4 (fp uniforme bivariada)  A

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

 1 4 1 4 1 4 1 4 1 ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 0 (  ppp      p

(17)

4.2 FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE BIVARIADA Sejam X1 e X2 duas VAs contínuas definidas no espaçoAR2. A função de probabilidade bivariada associa cada elemento de A a um número no intervalo [0,). Notação: f :A[0,), f(x1,x2) Propriedades  0 f(x1,x2)  ( 1, 2) 1 2 ( 1, 2) 1 2 1 2 1  

 

  A x x f x x dx dx f x x dxdx

 Serve para avaliar probabilidades de regiões de A o     

 

d c b a f x x dxdx d X c b X a P( 1 , 2 ) ( 1, 2) 1 2 Valor da probabilidade num ponto é nula

o lim 2 2 ( , ) 0 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 ) , (

 

      h x h x h x h x h h f x x dxdx Exemplo: X1[a,b]  X2 [c,d]  ) )( ( 1 ) , ( 1 2 c d a b x x f   

(18)

4.3 FUNÇÃO (CUMULATIVA) DE DISTRIBUIÇÃO BIVARIADA Definição: F(x1,x2)P(X1 x1,X2  x2) VAs Discretas

 

    1 1 2 2 ) , ( ) , ( 1 2 1 2 x y x y y y p x x F VAs Contínuas

 

    2 1 2 1 2 1 2 1, ) ( , ) (x x x x f y y dy dy F 4.4 DISTRIBUIÇÃO MARGINAL VAs Discretas

    2 ) , ( ) ( 1 1 2 1 x x x p x p

    1 ) , ( ) ( 2 1 2 2 x x x p x p lExemplo X1 0 1 p2(x2) X2 0 1/5 2/5 3/5 1 1/5 1/5 2/5 ) ( 1 1 x p 2/5 3/5 1 VAs Contínuas

    1 2 2 1 1(x ) f(x ,x )dx f

    1 2 1 2 2(x ) f(x ,x )dx f

(19)

Exemplo A

x x a x b c x d

X X             2 1 2 1 2 1 , | ) , (  ) )( ( 1 ) , ( 1 2 c d a b x x f    

 

a b c d a b c d x c d a b dx c d a b x f d cd c            

1 ) )( ( ) )( ( 1 ) )( ( 1 ) ( 1 2 2 1 

 

c d c d a b a b x c d a b dx c d a b x f b ba a            

1 ) )( ( ) )( ( 1 ) )( ( 1 ) ( 2 1 1 2 4.5 DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAL VAs Discretas  ) ( ) , ( ) | ( ) | ( 2 2 2 1 2 1 2 | 1 2 2 1 1 x p x x p x x p x X x X P     p2(x2)0  ) ( ) , ( ) | ( ) | ( 1 1 2 1 1 2 1 | 2 1 1 2 2 x p x x p x x p x X x X P     p1(x1)0 Exemplo X1 0 1 p2(x2) X2 0 1/5 2/5 3/5 1 1/5 1/5 2/5 ) ( 1 1 x p 2/5 3/5 1         1 3 2 0 3 1 ) 0 ( ) 0 , ( ) 0 | ( 1 1 2 1 1 2 | 1 x x p x p x p         1 3 1 0 3 2 ) 1 ( ) , 1 ( ) 1 | ( 2 2 1 2 2 1 | 2 x x p x p x p

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VAs Contínuas  ) ( ) , ( ) | ( 2 2 2 1 2 1 2 | 1 x f x x f x x ff2(x2)0  ) ( ) , ( ) | ( 1 1 2 1 1 2 1 | 2 x f x x f x x ff1(x1)0 Exemplo A

x x a x b c x d

X X             2 1 2 1 2 1 , | ) , (  ) )( ( 1 ) , ( 1 2 c d a b x x f    (x1,x2)Aa b c d c d a b x f x x f x x f        1 1 ) )( ( 1 ) ( ) , ( ) | ( 2 2 2 1 2 1 2 | 1  c d a b c d a b x f x x f x x f        1 1 ) )( ( 1 ) ( ) , ( ) | ( 1 1 2 1 1 2 1 | 2 4.6 VAs INDEPENDENTES

Definição: Duas VAs X1 e X2 são independentes se:

p1|2(x1 |x2) p1(x1)  VAs Discretas  f1|2(x1 |x2) f1(x1)  VAs Contínuas Propriedade Simétrica: p2|1(x2 |x1) p2(x2) VAs Discretas  f2|1(x2 |x1) f2(x2)  VAs Contínuas Probabilidade Conjunta:  Se X1 e X2 são independentes: o p(x1,x2) p1(x1)p2(x2) o f(x1,x2) f1(x1)f2(x2)

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Exemplo (VAs Discretas)

 Sejam 2 VAsX1 e X2 independentes

     1 0 1 X ,     1 0 2 Xp1(x1)1 2  p2(x2)1 2

 Qual a função de probabilidade conjunta p(x1,x2)? X1 0 1 p2(x2) X2 0 ? ? 1/2 1 ? ? 1/2 ) ( 1 1 x p 1/2 1/2 1 5. VALORES ESPERADOS

5.1 VALORES ESPERADOS MARGINAIS

Seja (X1,X2) um vetor aleatório, definido em AA1A2 e com uma

certa função de probabilidade conjunta (p(x1,x2) ou f(x1,x2)).

 VA discreta:           

      ' 2 2 ' 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 A x A x x p x x p x X E x p x x p x X E  VA contínua:         

      2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A dx x f x dx x f x X E dx x f x dx x f x X E

(22)

5.2 VALORES ESPERADOS CONDICIONAIS  VA discreta: o             

      A x x A x x p x x x p x x X X E x x p x x x p x x X E x X X E ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( 1 2 1 | 2 2 1 2 1 | 2 2 1 1 2 2 1 2 | 1 1 2 1 2 | 1 1 2 1 2 2 1 2 1  VA contínua: o            

      A A dx x x f x dx x x f x x X E x X X E dx x x f x dx x x f x x X E x X X E 2 1 2 1 | 2 2 2 1 2 1 | 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | 1 1 1 2 1 2 | 1 1 2 1 2 2 1 ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( Resultados DM1. E(X1|X2 x2) E(X1) se X1 e X2 são independentes DM2. E(X2 |X1 x1) E(X2) se X1 e X2 são independentes DM3. E(X1X2)E(X1)E(X2) se X1 e X2 são independentes 5.3 COVARIÂNCIA

Conceito: Indicador do grau em que 2 VAs andam juntas linearmente

Definição: Cov[X1,X2]E[(X11)(X22)]

Propriedades

 Cov(X1,X2)

Cov(X1,X2)0  X1 e X2 andam juntas na mesma direção

Cov(X1,X2)0  X1 e X2 andam juntas em direções opostas  Cov(X1,X2)0  X1 e X2 não andam juntas

(23)

Fórmulas para Covariância  VAs discretas: o 



  1 1 ) , ( ) )( ( ) , ( 1 2 1 1 2 2 1 2 A A x x p x x X X Cov    VAs contínuas: o 

 

  2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1, ) ( )( ) ( , ) ( A A x x f x x dx dx X X Cov   Resultado

DM4. Se Y1 aX1 e Y2 bX2, então Cov(Y1,Y2)abCov(X1,X2)

5.4 CORRELAÇÃO

Covariância é sensível às escalas de medida das VAs. Um indicador melhor para o grau em que 2 VAs andam juntas linearmente é o coeficiente de correlação linear: 2 1 2 1 ] , [ 1 2 , X X X X X X Cov      Propriedades  1 1 2 1,    X X  0 2 1,XX

  X1 e X2 andam juntas na mesma direção

 0

2 1,X

X

  X1 e X2 andam juntas em direções opostas

 0

2 1,X

X

  X1 e X2 não andam juntas

                0 1 0 1 2 1 , 2 1 , 2 1 2 1 a b aX X a b aX X X X X X   X1 é função linear de X2

Referências

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