Vibração simples de partículas

Cap´ıtulo 2

Vibra¸

c˜

ao simples de part´ıculas

Agora, aplicaremos os conceitos do cap´ıtulo anterior para resolver o pro-blema de um sistema massa-mola simples sob vibra¸c˜ao livre e for¸cada. Al´em de realizamos as simula¸c˜oes num´ericas, ser˜ao apresentados os passos b´asicos para a cria¸c˜ao de uma anima¸c˜ao simples para o problema. Em muitas si-tua¸c˜oes, os resultados num´ericos n˜ao s˜ao capazes de elucidar, por completo, o comportamento f´ısico de um determinado problema, sendo necess´aria a utiliza¸c˜ao de ferramentas que consigam repassar alguma informa¸c˜ao visual sobre o fenˆomeno.

Considere um corpo de massa m sobre uma superf´ıcie sem atrito e preso na extremidade de uma mola com constante el´astica k. A outra extremidade da mola est´a presa em uma parede r´ıgida, conforme mostra a figura 2.1. Pela segunda lei de Newton, a equa¸c˜ao do movimento ser´a:

md

2_x

dt2 = F (t) − kx (2.1)

em que F (t) ´e uma for¸ca externa respons´avel pela vibra¸c˜ao do sistema. O termo −kx representa a for¸ca el´astica para pequenas deforma¸c˜oes [1]. Ser´a considerado que o corpo est´a inicialmente em repouso e na origem (posi¸c˜ao de relaxamento da mola). A equa¸c˜ao 2.1 representa uma EDO de segunda ordem. Para obter a solu¸c˜ao, vamos represent´a-la em um diagrama de blocos, conforme mostra a figura 2.2.

Para simular o movimento, ser˜ao considerados os valores arbitr´arios: m = 1,0 kg e k = 25 N/m. O sistema ser´a analisado de duas formas: (i) em vibra¸c˜ao livre e (ii) em vibra¸c˜ao for¸cada. A vibra¸c˜ao livre ´e representada pela aplica¸c˜ao de uma for¸ca que atuar´a sobre o corpo apenas no in´ıcio do movimento (impulso). A vibra¸c˜ao for¸cada ser´a representada por uma for¸ca que acompanhar´a o corpo em todo movimento. Como a equa¸c˜ao 2.1 ´e uma EDO de segunda ordem, vamos resolver o diagrama com o m´etodo de

2 CAP´ITULO 2. VIBRAC¸ ˜AO SIMPLES

Nesta seção aplicaremos os conceitos das seções anteriores para estudar a vibração livre e forçada de uma partícula. Para isso, considere um corpo de massa m sobre uma superfície sem atrito e preso na extremidade de uma mola com constante elástica k. A outra extremidade da mola está presa em uma parede rígida, conforme mostra a figura 13. Pela segunda lei de Newton, a equação do movimento será:

𝑚𝑑_𝑑𝑡2𝑥₂ = 𝐹(𝑡) − 𝑘𝑥 (1)

em que F(t) é uma força externa responsável pela vibração do sistema. O termo – kx representa a força elástica. Será considerado que o corpo está inicialmente em repouso e na origem (posição de relaxamento da mola). A equação (1) representa uma EDO de segunda ordem. Para obter a solução, vamos representá-la em um diagrama de blocos, conforme mostra a figura 14.

FIGURA 13. SISTEMA MASSA-MOLA.

FIGURA 14. DIAGRAMA DE BLOCOS NA FORMA DIRETA 1 PARA O SISTEMA MASSA-MOLA.

Para simular o movimento, serão considerados os valores arbitrários: m = 1,0 kg e k = 25 N.m. O sistema será analisado de duas formas: (i) em vibração livre e (ii) em vibração forçada. A vibração livre é representada pela aplicação de uma força que atuará sobre o corpo apenas no início do movimento (impulso). A vibração forçada será representada por uma força que acompanhará o corpo em todo movimento. Como a equação (1) é uma EDO de segunda ordem, vamos resolver o diagrama com o método de Runge-Kutta de 4a ordem (ode4) com passo fixo de 0,001.

∫ ∫

Σ

-

m

k

F(t)

Figura 2.1: Sistema massa-mola.

3. Vibração de uma partícula

Nesta seção aplicaremos os conceitos das seções anteriores para estudar a vibração livre e forçada de uma partícula. Para isso, considere um corpo de massa m sobre uma superfície sem atrito e preso na extremidade de uma mola com constante elástica k. A outra extremidade da mola está presa em uma parede rígida, conforme mostra a figura 13. Pela segunda lei de Newton, a equação do movimento será:

𝑚𝑑_𝑑𝑡2𝑥₂ = 𝐹(𝑡) − 𝑘𝑥 (1)

em que F(t) é uma força externa responsável pela vibração do sistema. O termo – kx representa a força elástica. Será considerado que o corpo está inicialmente em repouso e na origem (posição de relaxamento da mola). A equação (1) representa uma EDO de segunda ordem. Para obter a solução, vamos representá-la em um diagrama de blocos, conforme mostra a figura 14.

FIGURA 13. SISTEMA MASSA-MOLA.

FIGURA 14. DIAGRAMA DE BLOCOS NA FORMA DIRETA 1 PARA O SISTEMA MASSA-MOLA.

Para simular o movimento, serão considerados os valores arbitrários: m = 1,0 kg e k = 25 N.m. O sistema será analisado de duas formas: (i) em vibração livre e (ii) em vibração forçada. A vibração livre é representada pela aplicação de uma força que atuará sobre o corpo apenas no início do movimento (impulso). A vibração forçada será representada por uma força que acompanhará o corpo em todo movimento. Como a equação (1) é uma EDO de segunda ordem, vamos resolver o diagrama com o método de Runge-Kutta de 4a ordem (ode4) com passo fixo de 0,001.

∫ ∫

_Σ

-

m

k

F(t)

Figura 2.2: Diagrama de blocos na forma direta 1 para o sistema massa-mola.

Kutta de quarta ordem (ode4) com passo fixo de 0,001.

2.1

Vibra¸

c˜

ao livre

A figura 2.3 mostra o diagrama de blocos no Simulink. Para representar o impulso de uma for¸ca, usamos o bloco “Step” que est´a na pasta “Sources” da biblioteca de blocos. Conforme mostra a figura 2.4(a), este bloco aplica uma fun¸c˜ao de Heaviside no sinal (fun¸c˜ao degrau). Para acessar as configura¸c˜oes da fun¸c˜ao, basta clicar duas vezes no bloco.

Para aplicar o impulso sobre o corpo, vamos utilizar dois blocos da fun¸c˜ao degrau e um bloco somador. Configure os dois primeiros blocos para inicia-rem o degrau em t e t+∆t, respectivamente. Em seguida, conecte-os no bloco somador e configure para negativo a entrada do degrau que inicia em t + ∆t (figura 2.3). Desta forma, o bloco somador ir´a subtrair o primeiro degrau (figura 2.4(a)) do segundo (figura 2.4(b)) e o sinal resultante ser´a um pulso retangular com largura ∆t (figura 2.4(c)). Para aumentar a intensidade do

2.1. VIBRAC¸ ˜AO LIVRE 3 To Workspace2 F To Workspace x Step1 Step Scope Integrator3 1 s Integrator2 1 s Integrator1 1 s Integrator 1 s Gain2 10 Gain1 1 Gain 25

Figura 2.3: Diagrama de blocos na forma direta 1 para o sistema massa-mola com impulso unit´ario (vers˜ao Simulink).

0 , 0 0 , 5 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 0 2 4 6 8 1 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0

( c )

( b )

( a )

In

te

n

s

id

a

d

e

d

o

s

in

a

l

T e m p o ( s )

Figura 2.4: Gera¸c˜ao de um pulso unit´ario com duas fun¸c˜oes de Heaviside.

sinal resultante, coloque um bloco amplificador ap´os o bloco somador. No exemplo da figura 2.3, a amplifica¸c˜ao ´e 10 N e ∆t = 0,1 s com t = 1,0 s. Fa¸ca tamb´em a conex˜ao de um bloco “To Workspace” no sinal de entrada e outro no sinal de sa´ıda. Usaremos estes dados para programar a anima¸c˜ao do

sis-tema massa-mola. A solu¸c˜ao ´e apresentada na figura 2.5. Observe que, ap´os a aplica¸c˜ao do impulso, o sistema oscila indefinidamente com uma amplitude de 0,2 m. 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 4 , 0 4 , 5 5 , 0 0 2 4 6 8 1 0

T e m p o ( s )

F

or

ça

(N

)

( b )

Po

siç

ão

(m

)

( a )

Figura 2.5: (a) Amplitude do sistema de massa-mola devido a aplica¸c˜ao de um (b) impulso unit´ario.

Durante a aplica¸c˜ao da for¸ca, o sistema adquire energia cin´etica e energia potencial el´astica. No entanto, ap´os a for¸ca ser retirada do sistema, a energia mecˆanica ´e conservada:

1 2mv 2 m´ax= 1 2kx 2 m´ax

e a amplitude de oscila¸c˜ao ser´a:

xm´ax= ± 1 ω0 vm´ax (2.2) em que ω0 = q k

m = 5 rad/s ´e a frequˆencia natural de oscila¸c˜ao e a velocidade

vm´ax pode ser calculada pela defini¸c˜ao de impulso:

F ∆t = mvm´ax

em que ∆t = 0,1 s e F = 10 N. Logo, vm´ax = 1,0 m/s. Substituindo este

2.1. VIBRAC¸ ˜AO LIVRE 5

de oscila¸c˜ao podemos calcular tamb´em a frequˆencia (f ≈ 0,8 Hz) e o per´ıodo (T ≈ 1,26 s) de oscila¸c˜ao.

Podemos estudar tamb´em o comportamento da energia com os blocos “Derivative” (dispon´ıvel na pasta “Continous”) e “To Workspace”. Com estes blocos posicionados no formato da figura 2.6, obtemos o comportamento da velocidade do corpo. Para calcular as energias potencial el´astica, cin´etica e mecˆanica, basta digitar o comando da figura 2.7 em um arquivo .m.

To Workspace2 F To Workspace1 v To Workspace x Step1 Step Scope Integrator3 1 s Integrator2 1 s Integrator1 1 s Integrator 1 s Gain2 10 Gain1 1 Gain 25 Derivative du/dt

Figura 2.6: Diagrama de blocos na forma direta 1 para o sistema massa-mola com a implementa¸c˜ao do c´alculo da velocidade (vers˜ao Simulink).

Figura 2.7: C´odigo para calcular as energias cin´etica e potencial el´astica do sistema massa-mola. Os dados s˜ao salvos em um arquivo de texto dados.txt.

O comportamento da energia cin´etica, potencial el´astica e mecˆanica est´a representado na figura 2.8. Devido ao impulso, o sistema adquire, inicial-mente, energia cin´etica e energia potencial el´astica. Ap´os a for¸ca externa ser retirada, a energia mecˆanica ´e conservada (U + K = constante). Note que a fun¸c˜ao que descreve a for¸ca na figura 2.8(b) poderia ter os mais va-riados formatos. Considerando que a ´area abaixo da curva seja unit´aria em qualquer situa¸c˜ao, o impulso ser´a sempre o mesmo, podendo, inclusive, ser representado por uma fun¸c˜ao delta de Dirac.

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 0 2 4 6 8 1 0

(b)

F

or

ça

(N

)

Tempo (s)

E

ne

rg

ia

(J

)

(a)

Figura 2.8: (a) Energia do sistema devido a aplica¸c˜ao de um (b) impulso mecˆanico de 1 Ns.

2.2

Vibra¸

c˜

ao for¸

cada

Para estudar a vibra¸c˜ao for¸cada, aplicamos os mesmos procedimentos. A ´

unica diferen¸ca est´a no sinal de entrada. Para for¸car a vibra¸c˜ao, podemos usar os blocos da pasta “Sources”. Na se¸c˜ao anterior usamos o bloco “Sine Wave”; desta vez usaremos o bloco “Repeating Sequence” que define o sinal no formato de uma onda dente de serra. O diagrama para a vibra¸c˜ao for¸cada est´a na figura 2.9. Com criatividade, vocˆe pode montar o seu pr´oprio sinal de entrada assim como fizemos para montar um pulso com dois degraus. O per´ıodo de cada “dente” da serra foi definido como 2,0 s. O comportamento da energia do sistema, amplitude de oscila¸c˜ao e a for¸ca externa est˜ao re-presentados na figura 2.10. Como o sistema n˜ao ´e conservativo, a energia mecˆanica ´e fun¸c˜ao do tempo. Repare que a frequˆencia natural de vibra¸c˜ao n˜ao est´a em fase com a frequˆencia de excita¸c˜ao.

2.3

Anima¸

c˜

ao

Nesta se¸c˜ao, estudaremos a anima¸c˜ao de um sistema massa-mola com os dados obtidos no Simulink. A anima¸c˜ao ser´a criada com um loop de v´arios gr´aficos. Cada figura possui apenas um ponto que representa a posi¸c˜ao

2.3. ANIMAC¸ ˜AO 7 To Workspace2 F To Workspace1 v To Workspace x Scope Repeating Sequence Integrator3 1 s Integrator2 1 s Integrator1 1 s Integrator 1 s Gain2 10 Gain1 1 Gain 25 Derivative du/dt

Figura 2.9: Diagrama de blocos na forma direta 1 para a vibra¸c˜ao for¸cada de uma part´ıcula (vers˜ao Simulink).

0 2 4 6 8 1 0 0 , 0 5 , 0 1 0 , 0 - 0 , 5 0 , 0 0 , 5 0 , 0 2 , 0 4 , 0 6 , 0

T e m p o ( s )

Figura 2.10: (a) Energia e (b) posi¸c˜ao da part´ıcula em um sistema massa-mola excitado por uma (c) for¸ca externa peri´odica no formato de dente de serra.

instantˆanea da part´ıcula. Assim, se a simula¸c˜ao ´e realizada em um intervalo de tempo de 10 s com passo de 0,1 s, haver´a um loop com 100 gr´aficos. Note que para criar a anima¸c˜ao, n˜ao ´e recomendado usar um passo de integra¸c˜ao

pequeno, exceto se a configura¸c˜ao do computador for adequada. Ap´os realizar a simula¸c˜ao no Simulink e exportar os dados para a janela de comando no MatLab, abra um arquivo .m e salve-o. Nele, digite o c´odigo da figura 2.11.

Figura 2.11: C´odigo para animar o movimento de uma part´ıcula sob atua¸c˜ao de uma for¸ca el´astica.

O comandolength(tout)mede o comprimento da matriztout. Assim, se este vetor possui 100 linhas (100 instantes de tempo), o comandofor rea-lizar´a um loop com 100 ciclos e, portanto, 100 gr´aficos. O comandoplotest´a representando a coordenadax(i)da part´ıcula no eixo horizontal e a

coorde-naday(i)=0no eixo vertical. As demais fun¸c˜oes deste comando representam

a forma geom´etrica do ponto ('o') com diˆametro de 40 unidades relativas

('MarkerSize',40) e face na cor vermelha ('MarkerFaceColor','r'). O

comando axis([x0,x,y0,y]) trava os eixos horizontal e vertical nos valo-res declarados. Observe que no eixo horizontal, foram utilizados os comandos

min(x) e max(x). Estes comandos encontram o menor e o maior valor da

vari´avel x. Os comandos xlabel e ylabel permitem nomear os eixos do gr´afico. O c´odigo respons´avel por capturar as figuras e transform´a-las em uma anima¸c˜ao ´e o getframe. Dentro deste comando, a fun¸c˜ao gcf signi-fica “get current figure” e ela ´e a respons´avel por gravar as informa¸c˜oes da figura atual. Os detalhes de cada figura ´e armazenada na vari´avel mov(i)

que ser´a utilizada para produzir a anima¸c˜ao. Para gerar o v´ıdeo, utilizamos o comandomovie2avi. Este comando converter´a o conjunto de gr´aficos em um v´ıdeo com extens˜ao avi. No primeiro campo deste comando, deve ser informado o vetor que armazena os gr´aficos do loop (mov). Em seguida, deve ser informado o nome do arquivo ('myfirstmovie.avi') e o m´etodo de compress˜ao do v´ıdeo ('compression','None'). Se vocˆe n˜ao possui uma boa placa de v´ıdeo e a anima¸c˜ao possui muita informa¸c˜ao, ´e sugerido compri-mir os arquivos (visite a p´agina oficial do MatLab para maiores informa¸c˜oes). No meu computador, o v´ıdeo gerado possui 70 Mb (um notebook velhinho). Em vers˜oes mais atuais do MatLab, o comando movie2avi foi substitu´ıdo

2.3. ANIMAC¸ ˜AO 9

2.12 mostram dois quadros da anima¸c˜ao. N˜ao foi necess´ario utilizar com-pressor, pois a anima¸c˜ao possui apenas um ponto. Para deix´a-la mais real, precisamos colocar a mola.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m )

Figura 2.12: Part´ıcula sob atua¸c˜ao de uma for¸ca el´astica. As figuras mostram 2/100 quadros gerados na anima¸c˜ao.

Cada espira da mola ser´a representada por trˆes segmentos de reta (seg-mentos s2, s3 e s4) conforme mostra a figura 2.13 com a mola na posi¸c˜ao de

relaxamento (xi = 0). Se a mola possui uma ´unica espira, ser˜ao utilizados

mais dois segmentos horizontais para fixa¸c˜ao (segmentos s1 e s5). As

coor-denadas x5 e x4 s˜ao fixas, pois a coordenada x5 est´a presa em uma superf´ıcie

im´ovel. A part´ıcula est´a na posi¸c˜ao xi e conectada ao segmento s1. As

co-ordenadas dos segmentos s1 at´e s4 s˜ao m´oveis, pois dever˜ao acompanhar o

movimento da part´ıcula durante a anima¸c˜ao. Os comprimentos de todos os segmentos s˜ao constantes.

FIGURA 22. POSIÇÕES DE UMA PARTÍCULA EM UM SISTEMA MASSA-MOLA. AS FIGURAS MOSTRAM 2/100 QUADROS GERADOS NA ANIMAÇÃO. Cada espira da mola será representada por três segmentos de reta (segmentos s2, s3 e s4) conforme mostra a figura 23 com a mola na posição de relaxamento (xi = 0). Se a mola possui uma única espira, serão utilizados mais dois segmentos horizontais para fixação (segmentos s1 e s5). As coordenadas x5 e x4 são fixas, pois a coordenada x5 está presa em uma superfície imóvel. A partícula está na posição xi e conectada no segmento s1. As coordenadas dos segmentos s1 até s4 são móveis, pois deverão acompanhar o movimento da partícula durante a animação. Os comprimentos de todos os segmentos são constantes.

FIGURA 23. ESPIRA DE UMA MOLA PROJETADA EM DUAS DIMENSÕES.

As coordenadas x e y dos pontos da figura 23 serão obtidas com o auxílio da figura 24. Considerando uma deformação xi ≠ 0 na mola, o seu comprimento total será

D + xi = 2d + 4w. Assim, a cateto horizontal w dos segmentos s2, s3 e s4 é dado por:

𝑤 =1₄(𝐷 − 2𝑑 + 𝑥𝑖) (1)

e o cateto vertical será:

ℎ = √𝐻2_{− 𝑤}2 ₍₂₎

em que H é a comprimento do segmento. Para calcular h devemos definir um valor mínimo para H que será obtido quando a partícula atingir sua posição xi(máx). Quando a mola estiver completamente tracionada (que será considerado, por ora, quando todos os segmentos estão na horizontal), Hmin será dado pela equação D + xi(máx) = 2d + 4Hmin ou4:

4 _{A equação (3) foi obtida a partir da equação (1), pois quando todos os segmentos estão na horizontal, w = H}

min. x (xi, 0) (-x1, 0) (-x2, -y2) (-x3, y3) (-x4, 0) y (-x5, 0) Parede fixa _s1 s2 s5 s3 s4

Figura 2.13: Espira de uma mola projetada em duas dimens˜oes.

As coordenadas x e y dos pontos da figura 2.13 ser˜ao obtidas com o aux´ılio da figura 2.14. Considerando uma deforma¸c˜ao xi 6= 0, o seu comprimento

s3 e s4 ´e dado por:

w = 1

4(D − 2d + xi) (2.3)

e o cateto vertical ser´a:

h =√H2_{− w}2 _(2.4)

em que H ´e a comprimento do segmento. Para calcular h devemos definir um valor m´ınimo para H que ser´a obtido quando a part´ıcula atingir sua posi¸c˜ao xi(m´ax). Quando a mola estiver completamente tracionada (que ser´a

considerado, por ora, quando todos os segmentos estiverem na horizontal), Hmin ser´a dado pela equa¸c˜ao D + xi(m´ax)= 2d + 4Hmin ou:

Hmin =

1

4(D − 2d + xi(m´ax)) (2.5) que ´e obtida a partir da equa¸c˜ao 2.3, pois quando todos os segmentos est˜ao na horizontal, w = Hmin.

𝐻min= 1₄(𝐷 − 2𝑑 + 𝑥𝑖(máx)) (3)

FIGURA 24. DIMENSÕES DA ESPIRA DE UMA MOLA PROJETADA EM DUAS DIMENSÕES.

A equação (3) não simula a condição de uma mola real, pois a mola, neste caso, terá a aparência de uma deformação plástica quando todos os segmentos estiverem na horizontal. Para corrigir o problema, a equação (3) deve ser:

𝐻 = 𝐶1₄(𝐷 − 2𝑑 + 𝑥𝑖(máx)) (4)

em que C é um fator de correção que trataremos mais adiante. Logo, com as equações (1), (2) e (4) e a declaração inicial das variáveis D, d e o fator de correção C, podemos calcular as coordenadas dos segmentos s1 até s5 em função da posição xi da partícula (veja a tabela 1). Com estes dados é possível inserir a mola com uma espira na animação:

clc figure

for i=1:length(tout)

% Parâmetros de construção da mola D=1.5; % Comprimento total (m)

d=0.5; % Comprimento dos conectores (m) C=1.2; % Fator de correção

w=0.25*(D-2*d+x(i)); % Cateto horizontal de um segmento da espira H=C*0.25*(D-2*d+max(x));% Comprimento de um segmento da espira h=sqrt(H^2-w^2); % Cateto vertical de um cateto da espira % Coordenadas dos segmentos da mola

x1=x(i)-d; y1=0; x2=x1-w; y2=-h;

x3=x2-2*w; y3=h; x4=-D+d; y4=0; x5=-D; y5=0;

% Representação gráfica da mola

plot([x(i),x1],[0,0],'k','LineWidth',2); hold on; % s1 plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',2); % s2 plot([x2,x3],[y2,y3],'k','LineWidth',2); % s3 plot([x3,x4],[y3,y4],'k','LineWidth',2); % s4 plot([x4,x5],[y4,y5],'k','LineWidth',2); % s5 % Representação gráfica da partícula

plot(x(i),0,'o','MarkerSize',40,'MarkerFaceColor','r'); hold off; % Definição dos eixos horizontal e vertical

axis([-D,max(x),-2,2]); xlabel('Posição x (m)'); ylabel('Posição y (m)'); % Captura da imagem mov(i)=getframe(gcf); end

% Conversão das imagens no filme

x y Parede fixa D d d w 2w w xi h 2h

Figura 2.14: Dimens˜oes da espira de uma mola projetada em duas dimens˜oes.

A equa¸c˜ao 2.5 n˜ao simula a condi¸c˜ao de uma mola real, pois a mola, neste caso, ter´a a aparˆencia de uma deforma¸c˜ao pl´astica quando todos os segmentos estiverem na horizontal. Para corrigir o problema, a equa¸c˜ao 2.5 deve ser:

Hmin = C

1

4(D − 2d + xi(m´ax)) (2.6) em que C ´e um fator de corre¸c˜ao que trataremos mais adiante. Logo, com as equa¸c˜oes 2.3, 2.4 e 2.6 e a declara¸c˜ao inicial das vari´aveis D, d e o fator de corre¸c˜ao C, podemos calcular as coordenadas dos segmentos s1 at´e s5

em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao xi da part´ıcula (veja a tabela 2.1). Com estes dados

´e poss´ıvel inserir a mola com uma espira na anima¸c˜ao. O c´odigo e alguns quadros da anima¸c˜ao est˜ao representados nas figuras 2.15 e 2.16.

2.3. ANIMAC¸ ˜AO 11

Figura 2.15: C´odigo para animar o movimento de uma part´ıcula sob atua¸c˜ao de uma for¸ca el´astica.

Observe que temos seis comandos plot no c´odigo. Os primeiros cincos s˜ao respons´aveis por representar a mola e o ´ultimo ´e respons´avel por repre-sentar a part´ıcula. Em um loop com apenas um comando plot, o MatLab

faz o gr´afico solicitado pelo comando atual e apaga a representa¸c˜ao gr´afica do comando anterior. Foi assim que fizemos a anima¸c˜ao da figura 2.12. Por´em, quando h´a mais de um comando plot durante um ciclo do loop, o MatLab

“enxerga” apenas o ´ultimo comando plot e ignora os demais. Para evitar este problema, usamos o comando hold on (ou hold all) logo ap´os o pri-meiro plot (veja o c´odigo). Com isto, todos osplot ser˜ao sobrepostos em

um mesmo gr´afico. Ap´os o ´ultimoplotdo ciclo ´e obrigat´orio inserir a fun¸c˜ao

hold off. Caso contr´ario, os gr´aficos de todos os ciclos ser˜ao sobrepostos

em uma ´unica imagem (Dica do autor: se vocˆe n˜ao tem uma boa placa de v´ıdeo, n˜ao tente fazer isso. Ele se arrependeu.).

Na organiza¸c˜ao das linhas do c´odigo, ´e importante que a representa¸c˜ao gr´afica da part´ıcula esteja ap´os a representa¸c˜ao gr´afica da mola. Com isso, parte do segmento de reta s1 ser´a sobreposto pela part´ıcula e criar´a a ilus˜ao

Tabela 2.1: Coordenadas dos pontos da figura 2.14 e 2.13. Coordenada x Coordenada y x1 = xi− d y1 = 0 x2 = x1− w y2 = −h x3 = x2 − 2w y3 = h x4 = −D + d y4 = 0 x5 = −D y5 = 0

de conex˜ao entre estes dois objetos. Al´em disso, os eixos do gr´afico devem possuir aproximadamente a mesma largura para evitar que as espiras mudem o tamanho aparente. Este efeito est´a evidente na figura 2.16 (observe a mudan¸ca aparente no comprimento dos segmentos s1, s2 e s3).

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m )

Figura 2.16: Part´ıcula sob atua¸c˜ao de uma for¸ca el´astica. 2/100 quadros s˜ao apresentados. A mola possui uma ´unica espira.

Para simular uma mola com duas espiras, adicionamos uma espira no ponto x4 da figura 2.13 e criamos mais dois pontos (veja a tabela 2.2).

Con-siderando que o comprimento da mola ´e o mesmo e o n´umero de catetos horizontais foi duplicado, o comprimento da mola ser´a D + xi = 2d + 8w.

Assim, w ´e representado por:

w = 1

8(D − 2d + xi) (2.7)

Os parˆametros h e H permanecem os mesmos. Inserindo a equa¸c˜ao 2.7 e os pontos da tabela 2.2 no modelo, obtemos a anima¸c˜ao ilustrada na figura 2.17.

2.3. ANIMAC¸ ˜AO 13

Tabela 2.2: Coordenadas dos segmentos de uma mola com duas espiras. Coordenada x Coordenada y x1 = xi− d y1 = 0 x2 = x1− w y2 = −h x3 = x2− 2w y3 = h x4 = x3− 2w y4 = −h x5 = x4− 2w y5 = h x6 = −D + d y6 = 0 x7 = −D y7 = 0 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m )

Figura 2.17: Posi¸c˜oes de uma part´ıcula em um sistema massa-mola. 2/100 quadros s˜ao apresentados. A mola possui duas espiras.

para uma mola com 2nw catetos, assim:

w = 1

4n(D − 2d + xi) (2.8)

e a mola ser´a representada pelo c´odigo apresentado na figura 2.18. O c´odigo

Figura 2.18: C´odigo para constru¸c˜ao de uma mola com n espiras.

Figura 2.19: C´odigo para anima¸c˜ao de um sistema massa-mola simples.

O fator de corre¸c˜ao na equa¸c˜ao 2.6 depende do n´umero de espiras da mola. Para obter uma rela¸c˜ao direta entre estes dois parˆametros, igualamos 2.6 com 2.8 quando w = H. Assim:

Cmin =

1

n (2.9)

Observe que nos c´odigos anteriores, usamos C = 1,2, para a mola com uma espira (n = 1), e C = 0,3 para a mola com dez espiras (n = 10). Nestas duas situa¸c˜oes, Cmin = 1 e 0,1, respectivamente. Quando estes valores

s˜ao usados, a mola adquire a aparˆencia de deforma¸c˜ao pl´astica. Logo, para simular condi¸c˜oes mais real´ısticas:

C > 1

n (2.10)

Com o sistema massa-mola inserido, podemos adicionar mais itens e tor-nar a anima¸c˜ao mais informativa. Al´em da representa¸c˜ao gr´afica do mo-vimento, podemos inserir o comportamento dos gr´aficos de for¸ca, posi¸c˜ao

2.3. ANIMAC¸ ˜AO 15 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Posição x (m) P o s iç ã o y ( m )

Figura 2.20: 2/100 quadros da anima¸c˜ao de um sistema massa-mola. A mola possui dez espiras.

ou energia e os vetores de for¸ca. O c´odigo da figura 2.21, ilustrado na fi-gura fifi-gura 2.22, apresenta o sistema massa-mola, os vetores de for¸ca, a evolu¸c˜ao temporal da for¸ca externa, respons´avel pela vibra¸c˜ao for¸cada, e a for¸ca el´astica. O leitor poder´a complementar o c´odigo conforme desejar. Tudo depender´a da imagina¸c˜ao!

Para inserir os gr´aficos, usamos o comando subplot(m,n,p) em que m

´e o n´umero de linhas,n o n´umero de colunas e pa posi¸c˜ao de um gr´afico na matriz m×n. Os vetores de for¸ca foram programados para mudar o tamanho de acordo com a sua intensidade no gr´afico for¸ca versus tempo. O compri-mento dos vetores foram normalizados em rela¸c˜ao `a for¸ca externa. Com esta anima¸c˜ao, podemos estudar situa¸c˜oes particulares como a ressonˆancia e o batimento, conforme apresentam os exemplos a seguir. Outros exemplos de vibra¸c˜ao livre e for¸cada podem ser acessadas nas refs. [2] e [3].

(Exemplo 1) Ressonˆancia: A ressonˆancia ´e o aumento gradativo e des-controlado da amplitude de vibra¸c˜ao. Para que isso ocorra, o sistema n˜ao deve ter nenhum mecanismo de amortecimento e ser excitado por uma for¸ca externa peri´odica cuja frequˆencia deve ser igual `a frequˆencia natural de vi-bra¸c˜ao. Em um sistema massa-mola com vibra¸c˜ao for¸cada, a amplitude de vibra¸c˜ao A no regime estacion´ario, ´e dada por [4]:

A = F0 k  1 −ω ω0 2 , (2.11)

em que ω ´e a frequˆencia da excita¸c˜ao externa, representada por F = F0sin(ωt),

Figura 2.21: C´odigo para anima¸c˜ao de um sistema massa-mola simples.

quando ω → ω0, podendo deformar a mola plasticamente. Para simular a

ex-2.3. ANIMAC¸ ˜AO 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 Tempo (s) F o rç a ( N ) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) Externa - Fext Elástica - Fe 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 Tempo (s) F o rç a ( N ) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) P o s iç ã o y ( m ) Externa - Fext Elástica - Fe

Figura 2.22: 2/100 quadros da anima¸c˜ao de um sistema massa-mola em ressonˆancia. As curvas em azul representam a for¸ca externa as curvas em preto representam a for¸ca el´astica.

terna no diagrama da figura 2.9. A frequˆencia angular ´e igual `a frequencia natural de vibra¸c˜ao (ω = 5 rad/s). O resultado ´e apresentado na figura 2.23 e mostra que a for¸ca el´astica aumenta continuamente e sem controle, enquanto a excita¸c˜ao externa atua de forma peri´odica no corpo. A anima¸c˜ao com-pleta ´e apresentada na ref. [5]. O aumento linear da amplitude de vibra¸c˜ao, durante a ressonˆancia, obedece a rela¸c˜ao [6]:

A = F0t 2mω0

,

em que t ´e um instante de tempo qualquer.

(Exemplo 2) Batimento: Quando a frequˆencia da excita¸c˜ao externa ´e dife-rente, mas pr´oxima da frequˆencia natural de vibra¸c˜ao, ocorre um fenˆomeno chamado batimento [6]. Devido a diferen¸ca de frequˆencia angular, haver´a instantes em que as ondas estar˜ao em fase e momentos em que estar˜ao π radianos fora de fase. Quando estiverem π radianos fora de fase, haver´a a interferˆencia destrutiva e a onda resultante ter´a amplitude nula. Quanto estiverem em fase, ocorrer´a a interferˆencia construtiva e as amplitudes se so-mam. Neste momento, a onda resultante atinge sua maior amplitude. Este ponto ´e chamado de batimento e ´e um efeito comum em aparelhos musicais. A frequˆencia de batimento, i.e., a frequˆencia de amplitudes m´aximas da onda resultante ´e dada por [7]:

ωbatimento = |ω − ω0|,

em que ω0 e ω s˜ao as frequˆencias natural e de excita¸c˜ao, respectivamente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -200 -100 0 100 200 Tempo (s) Força (N) -20 -15 -10 -5 0 5 10 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) Posição y (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -200 -100 0 100 200 Tempo (s) Força (N) -20 -15 -10 -5 0 5 10 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) Posição y (m)

Figura 2.23: 2/100 quadros da anima¸c˜ao de um sistema massa-mola em ressonˆancia. As curvas em azul representam a for¸ca externa as curvas em preto representam a for¸ca el´astica.

ω = 6, 0, ω0 = 5, 0 rad/s e 0 ≤ t ≤ 50 s. A for¸ca peri´odica externa ´e dada

por F = F0sin(ωt). O diagrama de blocos ´e o mesmo utilizado na simula¸c˜ao

da ressonˆancia. Assim, a frequˆencia de batimento permaneceu em 1,0 rad/s. Isto significa que a amplitude m´axima de vibra¸c˜ao (batimento) ´e obtida em intervalos de 2π segundos, conforme mostra a figura 2.24.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -40 -20 0 20 40 Tempo (s) Força (N) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) Posição y (m) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -40 -20 0 20 40 Tempo (s) Força (N) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e Posição x (m) Posição y (m)

Figura 2.24: 2/100 quadros da anima¸c˜ao de um sistema massa-mola em regime de batimento. As curvas em azul representam a for¸ca externa as curvas em preto representam a for¸ca el´astica.

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] S. T. Thornton, J. B. Marion, Dinˆamica Cl´assica de Part´ıculas e Siste-mas (Cengage Learning, S˜ao Paulo, 2011).

[2] Diego Duarte, Vibra¸c˜ao livre de uma part´ıcula, Canal no YouTube, https://youtu.be/ePnd5l0LOUI.

[3] Diego Duarte, Vibra¸c˜ao for¸cada de uma part´ıcula (Simulink/MATLAB), Canal no YouTube, https://youtu.be/WJNCUOMMWaE.

[4] J. L. Meriam L. G. Kraige, Mecˆanica para Engenharia - Dinˆamica (LTC, Rio de Janeiro, 2013).

[5] Diego Duarte, Ressonˆancia durante a vibra¸c˜ao de uma part´ıcula, Canal no YouTube, https://youtu.be/I4jis4ms-RQ.

[6] J. B. Neto, Mecˆanica: Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana (Edi-tora Livraria da F´ısica, S˜ao Paulo, 2013).

[7] P. A. Tipler, G. Mosca, F´ısica para Cient´ıstas e Engenheiros (LTC, Rio de Janeiro, 2014).