Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 10: Derivadas de Ordem Superior e Regra da Cadeia
Objetivos da Aula
• Definir e determinar as derivadas de ordem superior; • Conhecer e aplicar a regra da cadeia;
• Utilizar a notação de Leibniz para escrever a regra da cadeia.
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Derivadas de Ordens Superiores
Suponha f : I → R derivável em I. Em aulas anteriores definimos a função derivada de f e a mesma coisa pode ser feita para f0 : I → R, ou seja, podemos definir a função segunda derivada de f , denotada por f00, como sendo uma função de I em R que é a derivada da função derivada. De outra forma, f00= (f0)0 e pela notação de Leibniz,
f00(x) = d 2f dx2(x) = d dx df dx (x) Vejamos um exemplo.
Exemplo 1. Seja f (x) = x3− x. Encontre f00(x).
Solução: Por definição, a função f00é a derivada da função f0. Como f0(x) = 3x2−1, então por definição,
f00(x) = lim h→0 f0(x + h) − f0(x) h = lim h→0 [3(x + h)2− 1] − [3x2− 1] h = lim h→0 3x 2+ 6xh + 3h2− 1 −3x 2+ 1 h = lim h→0 h(6x + 3h) h = 6x + 3.0 = 6x Analogamente, podemos definir a terceira derivada de uma função f (x) como sendo a derivada da função segunda derivada de f (x).
f000(x) = d 3f dx3 = d dx d2f dx2
Generalizando, podemos definir a derivada de ordem n como sendo a derivada da função derivada de ordem n − 1 de f (x). Desse modo, f(n)(x) = d nf dxn = d dx dn−1f dxn−1 , n = 1, 2, 3, ...
Solução: df dx = 4x 3− 24x − sen x d2f dx2 = 12x 2− 24 − cos x d3f dx3 = 24x + sen x d4f dx4 = 24 + cos x
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Regra da Cadeia
Considere a função F (x) = (x2+ 3x)2. Sabemos que F (x) é a composta das funções y = x2+ 3x
e g(y) = y2 e que F (x) = (g ◦ f )(x). Pelo o que foi ministrado em aulas anteriores, sabemos derivar separadamente f (x) e g(y), contudo, ainda não sabemos derivar uma função composta. A regra de derivação para uma função composta é a chamada regra da cadeia, enunciada abaixo:
Teorema 1 (Regra da Cadeia). Sejam g(y) e y = f (x) duas funções deriváveis, com Img ⊂ Df. Então a
função composta g(f (x)) é derivável e vale a regra:
[g(f (x))]0= g0(f (x)).f0(x) (1) Em notação de Leibniz, temos:
dg dx = dg dy dy dx (2)
Vejamos alguns exemplos de utilização e aplicação da regra da cadeia. Exemplo 3. Calcule a derivada de F (x) =√x2+ 1.
Vamos resolver esse exemplo de duas formas.
Solução(1): Determinamos as funções y = f (x) e g(y) tais que F = (g ◦ f )(x). E observando a função F , observamos que f (x) = x2+ 1 e g(y) =√y. Logo, utilizando a fórmula (1), obtemos que
F0(x) = g0(f (x)).f0(x) = 1 2pf(x).2x = x √ x2+ 1 Solução(2): Uma outra forma de resolver esse exemplo é chamando y = x2+ 1 e assim, obtemos que F (y) =√y. Assim, pela fórmula (2), obtemos que
dF dx = dF dy dy dx = 1 2√y.2x = 1 √ x2+ 1 Portanto, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas no teorema 1 para calcular a derivada de uma função composta. Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 4. Derive y = sen x2 e z = sen2x.
Solução: Escrevendo t = x2 e y = sen t. Logo, por (1), obtemos que
y0 = y0(t(x)).t0(x) = cos(t(x)).2x = 2x cos(x2)
Agora, escrevendo y = sen x, obtemos que z = y2. Logo, utilizando (2) obtemos que
dz dx =
dz dy
dy
dx = 2y. cos x = 2 sen x cos x = sen 2x
Exemplo 5. Derive y = (x3− 1)100.
Solução: Escrevendo u = x3− 1, obtemos que y = u100. Logo,
dy dx = dy du. du dx = 100u 99.3x2 = 300x2(x3− 1)99 Exemplo 6. Calcule f0(x), sendo que f (x) = √3 1
x2+ x + 1.
Solução: Fazendo f (u) = √31
u e u(x) = x 2+ x + 1, temos que f0(x) = f0(u(x)).u0(x) = −1 3 3 √ u2(2x + 1) = −1 3(2x + 1) 3 p (x2+ x + 1)2 Exemplo 7. Encontre a derivada da função g(t) = t − 2
2t + 1 9
. Solução: Fazendo y = t − 2
2t + 1, obtemos que g(y) = y
9. Logo, pela regra da cadeia, obtemos que
dg dt = dg dy dy dt = 9y 8dy dt (3) Calculando dy dt, tem-se dy dt = d dt t − 2 2t + 1 = (t − 2) 0(2t + 1) − (t − 2)(2t + 1)0 (2t + 1)2 = 2t + 1 − 2t + 4 (2t + 1)2 = 5 (2t + 1)2 Logo, (3) torna-se dg dt = 9 t − 2 2t + 1 8 5 (2t + 1)2 = 45(t − 2)8 (2t + 1)10 Exemplo 8. Se h(x) = sen (cos(tg x)), determine f0(x).
Solução (1): Fazendo y = f (x) = cos(tg x) e g(y) = sen y, segue da regra da cadeia que h0(x) = g0(f (x)).f0(x) = cos(f (x)).(cos(tg x))0 = cos(cos(tg x)).(cos(tg x))0
Considerando agora que y = f (x) = tg x e g(y) = cos y, aplicamos a regra da cadeia novamente e obtemos que
[cos(tg x)]0= −sen (f (x)). sec2x = −sen(tg x). sec2x logo,
h0(x) = − cos(cos(tg x)).sen(tg x). sec2x
Solução (2): Escrevendo y = cos(tg x) então h(y) = sen y. Pela regra da cadeia,
dh dx = dh dy dy dx (4)
Como y = cos(tg x) é uma função composta, então podemos escrever u = tg x, temos que y = cos u. Logo, pela regra da cadeia, obtemos que
dy dx = dy du du dx (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos que dh
Exemplo 9. Seja f : R → R uma função derivável e seja g(x) = f(cos x). Calcule g0π 3 supondo f0 1 2 = 4.
Solução: Utilizando a regra da cadeia, obtemos que
g0(x) = f0(cos x).(cos x)0= −f0(cos x) senx logo, g0 π 3 = −f0 cos π 3 sen π 3 = −f0 1 2 √ 3 2 = −2 √ 3 Exemplo 10. Calcule d 2y
dx2 sabendo que y = cos 5x.
Solução: Chamando u = 5x, segue da regra da cadeia que dy
dx = dy du
du
dx = −sen u.5 = −5sen(5x) Derivando novamente, temos que
d2y dx2 = d dx dy dx = d dx(−5sen 5x) = −5 d dx(sen 5x) Chamando novamente u = 5x, temos que
d dx(sen 5x) = 5 cos(5x) logo, d2y dx2 = −25 cos(5x) Exemplo 11. Seja f : R → R uma função derivável até 2aordem e seja g dada por g(x) = f (x2). Calcule
g00(2), supondo que f0(4) = 2 e f00(4) = 3. Solução: Segue da regra da cadeia que
g0(x) = f0(x2).2x = 2x.f0(x2) e que g00(x) = (g0(x))0 = (2x.f0(x2))0 = 2f0(x2)+2x.(f0(x2))0 = 2f0(x2)+2x.(f00(x2).2x) = 2f0(x2)+4x2.f00(x2) Sendo assim, g00(2) = 2f0(22) + 4.22.f00(22) = 2.f0(4) + 16f00(4) = 2.2 + 16.3 = 52 Exemplo 12. A função diferenciável y = f (x) é tal que, para todo x ∈ Df,
xf (x) + sen (f (x)) = 4 (6)
Mostre que
f0(x) = −f (x) x + cos(f (x))
Solução: Derivando a equação (6) em relação a x, obtemos que d dx[xf (x) + sen (f (x))] = d dx[4] d dx[xf (x)] + d dx[sen f (x)] = 0 f (x) + xf0(x) + cos f (x).f0(x) = 0 f0(x) [x + cos f (x)] = −f (x) f0(x) = −f (x) x + cos f (x) Exemplo 13. Seja y = x3, em que x = x(t) é uma função derivável até 2a ordem. Verifique que
d2y dt2 = 6x dx dt 2 + 3x2d 2x dt2
Solução: Derivando em relação a t e utilizando a regra da cadeia, obtemos que dy dt = dy dx dx dt = 3x 2dx dt Derivando mais uma vez em relação t, obtemos que
d2y dt2 = d dt dy dt = d dt 3x2dx dt
Utilizando a regra do produto, temos que d2y dt2 = d dt3x 2 dx dt + 3x 2 d dt dx dt = d dt3x 2 dx dt + 3x 2d2x dt2
Pela regra da cadeia, obtemos
d dt3x 2 = 6xdx dt Assim, d2y dt2 = 6x dx dt 2 + 3x2d 2x dt2 Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 145 − 147, 179 − 185 e do livro texto.
Sugestão de exercícios
