Instrumentação e Técnicas de. Medidas

Instrumentação e Técnicas de

Medidas

Filtros

Freqüência (rad/seg) F a s e ( g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -40 -20 0 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 10-1 ₁₀0 ₁₀1 -200 -150 -100 -50 0 Amin Amáx ωp ωs Amin Amáx ωs ωp Amin Amáx ω1 ω3 ω4 ω2 Amin Amáx ω3 ω1 ω2 ω4 (A) (C) (B) (D)

Controle de Versões

2010 Versão 1 – Instrumentação e Técnicas de Medidas (ITM)

2012 Versão 2 – Pequenas alterações no texto, links, CIs não obsoletos.

Índice

25Filtros seletores de frequência...4

25.1Introdução...4 25.2Unidades e nomenclatura...4 25.3Diagramas de Bode...5 25.3.1Constante...6 25.3.2Fator S...6 25.3.3Fator (S + a)...7 25.3.4Fator (S2 + a⋅S + b)...8 25.4Funções de 1ª e 2ª ordens...10 25.5Gabaritos...11 25.5.1Desnormalização em Frequência...13 25.6Aproximações...15 25.7Etapas da Síntese...18 25.7.1Exemplo 1...19 25.7.2Exemplo 2...19 25.7.3Exemplo 3...20

25.8Cálculo dos polinômios de aproximação...20

25.8.1Para aproximação de Butterworth...21

25.8.2Exemplo 1...23

25.8.3Exemplo 2...24

25.8.4Aproximação de Chebyshev (I)...25

25.8.5Exemplo 3...27

25.8.6Exemplo 4...28

25.8.7Exemplo 5...30

25.8.8Soluções tabeladas...32

25.9Síntese de filtros ativos...34

25.9.1Realizações...34

25.10Filtros de primeira ordem RC...37

25.10.1Filtro passa baixas RC de primeira ordem...37

25.10.2Filtros passa altas RC de primeira ordem...38

25.11.1Filtros variáveis de estado...39

25.11.2Exemplo 1...44

25.11.3Exemplo 2...47

25.11.4Configurações de um único amplificador operacional...49

25.11.5Passa baixas Sallen-Key...51

25.11.6Passa baixas MFB...53

25.11.7Passa altas Sallen-Key...54

25.11.8Passa altas MFB...55

25.11.9Passa Faixa Sallen-Key...57

25.11.10Passa faixas MFB...58

25.11.11Rejeita faixa (ou Notch)...59

25.11.12Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T)...59

25.11.13Rejeita faixa MFB (modificado)...60

25.11.14Exemplo 1...61

25.11.15Exemplo 2...65

25.11.16Exemplo 3...65

25.11.17Exemplo 4...68

25.12Exercícios...68

25.13Filtros a capacitor chaveado...69

25.14Efeitos dos componentes reais...72

25.15Sensibilidade...73

25.15.1Exemplos...74

25 Filtros seletores de frequência

25.1 Introdução

Os filtros seletores de frequência são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Desta maneira, os integradores e os derivadores também podem ser classificados como filtros seletores de frequência.

Em eletrônica os filtros seletores de frequência (ou simplesmente filtros) estão presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar o ruído em sua saída (normalmente um filtro que amplifique apenas as baixas frequências). Dentre as principais aplicações estão a minimização de ruído de alta frequência, sintonia de rádios, televisões, canais de comunicação, distinguir entre números teclados em uma chamada telefônica, para eliminar ruído em som ou imagens, equalização de som, separar faixas de frequências para alto falantes, limitar frequências para amostragem de sinais antes de uma conversão A/D (conversão de um sinal analógico em um equivalente digital), analisadores de espectro, conformação de formas de onda...

Programas para o projeto de filtros ativos com ordem menor do que 16 são comuns. Alguns

deles são o FilterCAD da Linear Technology e o FilterPRO da Texas Instruments. Um bom texto

sobre filtros pode ser obtido em Analog Filters, da Analog Devices.

25.2 Unidades e nomenclatura

O estudo dos filtros está sempre relacionado a função de transferência, de um circuito, ou seja da relação entre saída e entrada, analisadas pelo domínio da frequência. Muitos autores analisam os circuitos do ponto de vista da atenuação e utilizam o dB como unidade de medida. A atenuação deve ser entendida, simplesmente, como o recíproco do ganho

Atenuação= 1 Ganho

Utilizar os termos ganho ou atenuação para valores acima ou abaixo da unidade é matematicamente correto porém pode soar estranho. A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual a unidade, portanto era mais sensato

falar em atenuação. Além disto a maioria dos filtros eram obtidos polinomialmente o que tornava a análise da atenuação mais simples.

Também é comum utilizar a unidade dB para informar ganhos ou atenuações. Isto ocorre porque o gráfico de resposta em frequência é um gráfico logarítmico e o dB é uma unidade logarítmica. Quando utilizamos dB para quantificar a amplitude da função de transferência e um eixo logarítmico para o eixo das frequências, o gráfico resultante pode ser esboçado pelo uso de retas, simplificando a análise do problema.

A conversão de um ganho T(ω) ou atenuação H(ω), especificados como V/V ou A/A, para

dB pode ser realizada pela equação

|X(ω)|dB = 20 log |X(ω)|

onde |X(ω)| é o módulo da função de transferência em V/V ou A/A.

Para fazer a transformação inversa basta usar a equação

∣X (w)∣=10

∣X (w )∣dB

20

A tabela abaixo mostra as relações existentes entre ganho e atenuação.

Relação Ganho Atenuação Unidade Relação Ganho Atenuação Unidade

v_O v_I1 >1 =G <1 =G–1 V/V ou A/A v_O v_I1 >0 =G <0 =–G dB v_O vI 1 <1 =G >1 =G–1 V/V ou A/A v_O vI 1 <0 =G >0 =–G dB 25.3 Diagramas de Bode

Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo diagrama de Bode. Supondo uma função de transferência genérica T(S) tal que

T  S =N  S  D S =K⋅

∏

i S −zi

∏

j S − p_j

então esta função pode ser analisada do ponto de vista de seu módulo e de sua fase: ∣T  j ∣dB=20⋅log10∣T  j ∣ θ(ω)=tan−1

(

ℑT ( j ω) ℜT ( j ω)

)

=

∑

tan −1

[

ℑ(j ω− z_i) ℜ(j ω−z_i)

]

−tan −1

[

ℑ(j ω− p_j) ℜ(j ω− p_j)

]

A forma fatorada da equação acima é composta de quatro componentes básicos: Constante;

Fator S; Fator (S + a); Fator (S2 _{+ a⋅S + b). A análise de cada um destes fatores separadamente}

permitirá analisar todas as funções de filtros estudados nesta disciplina. 25.3.1 Constante T ( j ω)=K Se ∣K∣>1 então ∣T ( j ω)∣dB>0 e θ( j ω)=0° Se ∣K∣<1 então ∣T ( j ω)∣dB<0 e θ( j ω)=180° 25.3.2 Fator S T ( j ω)=S

∣T ( j ω)∣_dB=20⋅log( j ω); inclinação de 20dB/década

θ(ω)=tan−1

₍

ω 0°

)

=90 ° T ( j ω)=1 S ∣T ( j ω)∣_dB=20⋅log

∣

1 j ω

∣

; inclinação de −20dB/década θ(ω)=tan−1 (0° )−tan−1

(

ω0°

)

=−90 °

Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No MATLAB: bode([1],[1 0]) 25.3.3 Fator (S + a) T ( j ω)=S +a ∣T ( j ω)∣_dB=20⋅log∣ j ω+a∣=20⋅log

(

ω2+a2

₎

1 2 ; ∣T ( j ω)∣_{dB , ω=a}=+20⋅log(a)+3dB θ(ω)=tan−1

₍

ω a

)

; inclinação de 45 ° /década Freqüência (rad/seg) F a s e (g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -40 -20 0 20 10-1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 -91 -90.5 -90 -89.5 -89 T(S) = 1/S

T ( j ω)= 1 S +a ∣T ( j ω)∣dB=−20⋅log∣j ω+a∣=−20⋅log

(

ω 2 +a2

)

1 2 ∣T ( j ω)∣dB , ω=a=−20⋅log(a )−3dB θ(ω)=tan−1

₍

ω a

)

; inclinação de 45 o /década

A constante a corresponde ao ponto de união das assíntotas e é chamado de polo. Como o

polo é real este fator é, muitas vezes, escrito como (S + σ).

Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No MATLAB: bode([1],[1 1])

25.3.4 Fator (S2 _{+ a⋅S + b)}

Em baixas frequências o fator (S2 _{+ aS + b) apresenta comportamento semelhante ao fator}

constante (S→0) enquanto que em altas frequências ele apresenta comportamento semelhante a dois

fatores S (S→∞). Jé em médias frequências este fator pode apresentar um máximo ou um mínimo.

Freqüência (rad/seg) F a s e (g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -20 -15 -10 -5 0 T(S) = 1 / (S + 1) 10-1 ₁₀0 ₁₀1 -100 -80 -60 -40 -20 0

Para polos d

d ω=

∣

1

−ω2+a⋅j ω+b

∣

=0, cuja solução é

ω_máx=

√

b⋅

√

1− a 2 2⋅b , para a2 2⋅b<1, e ω_máx=0, para a 2 2⋅b⩾1

Para a frequência do polo ω=b

∣H  j∣dB=20⋅log

∣

1 j



b2a⋅ j



bb

∣

=20⋅log



1 a⋅



b



=20⋅log 1 b20⋅log



b a A constante



b

a determina a altura do pico e é denominado de fator de mérito Q. Por esta

razão o fator (S2 _{+ aS + b) costuma ser reescrito como S}2_

Q⋅S 

2

. Para Q>5 a largura de faixa

(-3dB) em torno do máximo pode ser bem aproximada por B = _s−_i=

Q .

Para uma função de transferência com polos definidos pelo fator (S2 _{+ aS + b) é possível}

fazer com que o ganho seja de -3dB na frequência ω atuando sobre o fator de mérito Q. Isto ocorre

para Q= 1



2 . Se 0≤Q≤0,5 a função de transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois

polos iguais). A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta em frequência. A figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência.

Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No MATLAB: bode([1],[1 1/Q 1]) 25.4 Funções de 1ª e 2ª ordens

A próxima tabela mostra as funções de transferências que podem ser obtidas com os fatores de primeira e segunda ordem apresentados anteriormente.

Tipo de filtro Função de

transferência Localização dos polos e zeros

Integrador K

S

Zero no infinito Polo na origem.

Passa baixa 1ª ordem K 0

S 0

Zero no infinito

Polo sobre o eixo σ (-σ0)

Passa alta 1ª ordem K_{S }S

0

Zero na origem

Polo sobre o eixo σ (-σ0)

Freqüência (rad/seg) F a s e ( g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -40 -20 0 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 10-1 ₁₀0 ₁₀1 -200 -150 -100 -50 0

Tipo de filtro Função de

transferência Localização dos polos e zeros

Passa baixa de 2ª ordem K

02

S20

Q S 0 2

2 zeros no infinito

2 polos com raio ω0 no plano S

Passa alta de 2ª ordem K

S2

S2

0

Q S 02

2 zeros na origem

2 polos com raio ω0 no plano S

Passa faixa (2ª ordem) K

0 Q S S2 0 Q S 0 2 1 zero na origem 1 zero no infinito

2 polos com raio ω0 no plano S

Rejeita faixa (2ª ordem) K

S2

02

S20

Q S 0 2

2 zeros sobre o eixo jω ( ω0 )

2 polos com raio ω0 no plano S

Passa baixa notch (2ª ordem) K

S2 02 S2 0 Q S 0 2

2 zeros sobre o eixo jω ( zeros > ω0 )

2 polos com raio ω0 no plano S

Passa alta notch (2ª ordem) K

S20 2 S2 0 Q S 0 2

2 zeros sobre o eixo jω ( zeros < ω0 )

2 polos com raio ω0 no plano S

Na tabela acima vale a pena observar o nome ou o tipo dos filtros. Observa-se nomes relacionados as frequências que são mais amplificadas e quais as frequências são atenuadas. Os quatro principais tipos são o passa baixas, o passa altas, o passa faixa e o rejeita faixa de frequências. Estes tipos nos levam aos quatro gabaritos utilizados para projeto de filtros.

25.5 Gabaritos

Os filtros seletores de frequência apresentam quatro comportamentos principais denominados passa baixas (PB), passa altas (PA), passa faixas (PF) e rejeita faixas (RF) em função da faixa de frequências que apresentam maior ganho. Os gabaritos de atenuação são apresentadas na

Costuma ser especificados no projeto a atenuação mínima (para região de frequências a atenuar – região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser atenuadas – região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem (banda de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda de atenuação). Os requisitos são sempre convertidos nos requisitos de um filtro passa baixas normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência.

Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ωp=1 , a frequência limite

da banda de rejeição é ωs, a atenuação permitida na banda de passagem é Amáx e a mínima

atenuação exigida para a banda de rejeição Amin.

Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D) rejeita faixa

25.5.1 Desnormalização em Frequência

Transformação Passa Baixa–Passa Baixa Normalizado

Amin

Amáx

ω

p

ω

s

Para normalizar ω_p=1 ω_s=ω_ωs p Para desnormalizar Substituir S por _ωS p

Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem,

fazendo ω0=ωp ou σ0=ωp.

Transformação Passa Alta–Passa Baixa Normalizado

Amin

Amáx

ω

s

ω

p

ω_p=1

ω_s=ω_ωp

s

Para desnormalizar

Substituir S por ω_Sp

Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem,

fazendo ω0=ωp ou σ0=ωp.

Transformação Passa Faixa–Passa Baixa Normalizado

Amin

Amáx

ω3 ω1

ω2

ω4

Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição

ω₀=_[ω₁⋅ω_2]

1 2₌

[ω3⋅ω4] 1

2 , com banda de passagem entre ω₁ e ω_2.

Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo

ω_p=1 ω_s=ω_ω4−ω3 2−ω1 Para desnormalizar Substituir S por S 2 +ω₀2 B⋅S , onde B=ω2−ω1= ω0 Q

Transformação Rejeita Faixa–Passa Baixa Normalizado

Amin

Amáx

ω1 ω3

ω4

ω2

Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição

ω₀=_[ω₁⋅ω_2]

1 2₌

[ω3⋅ω4] 1

2 , com banda de passagem entre ω₁ e ω₂

Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo

ω_p=1 ω_s=ω_ω2−ω1 4−ω3 Para desnormalizar Substituir S por B⋅S S2 +ω₀2 , onde B=ω2−ω1= ω0 Q 25.6 Aproximações

Uma vez que todos os filtros podem ser normalizados e transformados em um passa baixas é necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas são polinomiais (com zeros no infinito como os filtros

Butterworth, Chebyshev I e Bessel) ou não polinomiais (com zeros finitos sobre o eixo jω como os

filtros Cauer e Chebyshev II). Nestas funções os zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida na banda e transição.

A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de filtros e algumas características de cada um destes polinômios.

Bessel – BS

• Função monotônica na banda passante;

• Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem;

• Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui;

• Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em

frequência;

• Ordem muito alta, característica de fase muita boa.

Gauss – GS

• Monotônico na banda de passagem;

• Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros

polinomiais, para um dado grau e Amáx;

• Semelhante ao filtro de Bessel;

• Ordem muito alta característica de fase muito boa.

Multiplicidade “n”

• Monotônico na banda de passagem;

• Polos reais;

• Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase;

• Pobre característica de atenuação. Ordem muito alta característica de fase muito boa.

Butterworth – BT

• Função monotônica mais planas possível;

• Ordem alta, característica de fase boa.

Halpern – HA

• Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de

corte mais abrupto dado um dado grau e Amáx;

• Ordem média característica de fase média.

• Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a

maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da banda de passagem;

• Ordem média característica de fase média.

Chebyshev (I) – CB

• Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação;

• Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e Amáx;

• A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta;

• Ordem baixa, característica de fase ruim.

Chebyshev (II) Inverso – CI

• Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase;

• Equiripple na banda de rejeição;

• Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo jω;

• Ordem baixa, característica de fase boa.

Cauer ou Elíptico – CE

• Equiripple na banda de passagem e de atenuação;

• Menor ordem – zeros sobre o eixo jω ajudam;

• Característica de fase pior que Chebyshev Inverso;

• Ordem muito baixa.

Transicionais – FT

• Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação.

Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de escolha para estas aproximações são:

• Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre...);

• Dificuldade de implementação – zeros em jω (mais difíceis Cauer e Chebyshev II);

• Sensibilidade – desvio na magnitude e fase;

• Resposta temporal (Gauss, Bessel);

• Característica de fase – incluir o equalizador de fase (Bessel e Gauss para PB,

composição com equalizador, Multiplicidade n e Transicional...);

Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na tabela abaixo.

Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro

Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio+

Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio–

Chebyshev I Monotônico Ondulado Regular Médio–

Bessel Plano Monotônico Ótima Grande

Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno

25.7 Etapas da Síntese

Uma vez colocada as principais etapas para o projeto dos filtros seletores de frequência é possível descrever em detalhes o mecanismo para o projeto de um filtro deste tipo. São necessárias pelo menos 9 etapas descritas na sequência:

(1) Examinar o problema físico e determinar os requisitos necessários;

(2) Estipular as atenuações máximas e mínimas, determinar as frequências características; (3) Normalizar as frequências do filtro;

(4) Escolher aproximação; (5) Determinar a T(S) ou H(S);

(6) Escolher a técnica de implementação; (7) Desnormalizar as frequências do filtro; (8) Analisar a rede com valores nominais;

(9) Testar o filtro. 25.7.1 Exemplo 1

Etapa 1: Minimizar o efeito de uma interferência de 60Hz e tensão eficaz de 1V sobre um sinal com banda passante de 10Hz e amplitude de 0,1V. Admite-se 11% de atenuação máxima do sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes.

Etapa 2: Filtro passa baixas (a opção mais simples)

Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% – 11%) = – 1dB Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = – 20dB Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB

Amáx = 1dB

Amin = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB

Frequência de corte 10Hz, frequência da banda de atenuação 60Hz Etapa 3: …

25.7.2 Exemplo 2

Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60Hz, mantendo o ganho aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10Hz.

Filtro rejeita faixa (notch) de segunda ordem.

T (̄s)= 1

̄s+1, desnormalizar com ̄s=

(2⋅π⋅20)2

s2+(2⋅π⋅60)2

Alternativamente escrevemos a função de segunda ordem com B e ω0 identificados

T s= s 2 ₀2 s2 B⋅s₀2= s2_{2⋅⋅60}2 s2_{2⋅⋅20⋅s2⋅⋅60}2 25.7.3 Exemplo 3

Devemos excitar um circuito com sinais na faixa de 300Hz a 3,4kHz. Uma interferência de 60Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa baixas normalizado. Diga a aproximação que devemos escolher se desejarmos o filtro de menor grau.

ω

3

ω

1

ω

2

ω

4

ω

p

ω

s

Amin

Amáx

Atenuação Atenuação

ω1=300Hz, ω2=3,4kHz, ω3=60Hz, ω4= (ω1⋅ω2)/ω3 = 17kHz, ωp=1rad/s, ωs= (ω4 – ω3)/(ω1 – ω2)=5,46rad/s.

Amáx = 3dB, Amín = 20⋅log(15) dB

O filtro com menor grau é um filtro do tipo Cauer. 25.8 Cálculo dos polinômios de aproximação

As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis aproximações empregadas para os filtros. Existe um número ilimitado de funções que satisfazem os requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas.

Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de atenuação H(ω) possa ser escrita como

∣H (ω)∣2_{=1+∣K (ω)∣}2

onde K( ω) é a função característica A(ω)=10⋅log

(

1+∣K (ω)∣2

)

Definindo ε como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação) na banda de

passagem (em alguns casos ε é o ripple na banda de passagem) da função característica K(ω),

tem-se K (ω_p)=ε A(ωp)=Amáx=10⋅log

(

1+ε 2

₎

[dB] ε=[10Amáx 10 −1] 1 2 _{, A} máx em dB

25.8.1 Para aproximação de Butterworth K (ω)=ε

₍

_ωω p

)

n ∣H (ω)∣=

[

1+ε2 ⋅

(

_ωω p

)

2⋅n

]

12 A(ω)=10⋅log

[

1+ε2⋅

(

_ωω p

)

2⋅n

]

[dB]

A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência ωp e, diferente de

outras aproximações também para a atenuação ε com auxílio da equação

ω=ε 1 n ⋅

(

ω_ω p

)

ou seja ω=ε 1 n ⋅

(

ω_ω p

)

assim A(ω)=10⋅log

[

1+ω2⋅n

_]

[dB ] , solução normalizada para ω=1 e ε=1. A determinação do grau do polinômio pode ser obtida

Amin⩽A(ωs)=10⋅log

[

1+ε

2 ⋅ω_s2⋅n

]

n⩾ log

[

(

10 0,1⋅Amin₋₁

₎

(

100,1⋅Amáx₋₁

₎

]

2⋅logω_s

onde Amáx e Amin estão em dB; ωsé calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo de

filtro que se esteja calculando.

A determinação da função de Butterworth pode ser obtida ∣H (ω)∣2=1+∣K (ω)∣2

H (S )⋅H (−S )=1+K (S )⋅K (−S )

H (S )⋅H (−S )=1+(−S2)n, solução normalizada para ω=1 e ε=1 ( S ) H (S )=H₀+H₁⋅S +H₂⋅S2+...+H_n⋅Sn

para construir o polinômio: H_k=

cos

[

(

k−1

)

⋅π

2⋅n

]

sen

(

k⋅π

2⋅n

)

para obter as raízes: S_k=ej π2⋅

(

2⋅k+ n−1

n

)

, k = 1, 2, ...

raízes sobre um circulo de raio unitário

Substituir S por ε1n_S' (desnormalização para Amáx)

Substituir S' _por S

25.8.2 Exemplo 1

Calcule o filtro Butterworth com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB

ε=

[

10 Amáx 10 ₋₁

]

1 2 _{= 0,5088} n⩾ log

[

(

10 0,1⋅Amin −1

)

(

100,1⋅Amáx−1

)

]

2⋅logω_s = 8,76 com

(

ω_s=15000 10000

)

. Usar n=9 k=1, Sk=−0.1736±0.9848i , S2+0,3472⋅S+1 k=2, Sk=−0.5000±0.8660i , S2+S +1 k=3, Sk=−0.7660±0.6428i , S2+1,532⋅S +1 k=4, Sk=−0.9397±0.3420i , S2+1,8794⋅S+1 k=5, Sk=−1 , S +1 Substituir S por S⋅

(

ε 1 n

ω_p

)

=S⋅1,4764⋅10−5 ou, utilizando as formas padrões

T (S )= ω0 9 (S +ω₀)⋅(S2+1,8794⋅ω₀⋅S +ω2₀)⋅(S2+1,5321⋅ω₀⋅S+ω₀2) x 1 (S2+ω₀⋅S+ω0 2 )⋅(S2+0,3472⋅ω0⋅S +ω0 2 ) onde ω0= ω_p ε 1 n = 6,773 ⋅ 10 4 _rad/s

Figura 5: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=butter(9,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a);

25.8.3 Exemplo 2

Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz.

ωp=1rad/s, ωs= (10/5)rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20dB ε=

[

10 Amáx 10 ₋₁

]

1 2 ≅ ₁ Freqüência (rad/seg) F a s e ( g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -50 -40 -30 -20 -10 0

Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)

104 ₁₀5 -600 -400 -200 0 T o : Y (1 )

n⩾ log

[

(

10 0,1⋅Amin −1

)

(

100,1⋅Amáx−1

)

]

2⋅logωs ≥ 3,31 S_k=ej π2⋅

(

2⋅k+ n−1 n

)

S1,2 = 0,3827 + j0,9239 ( s2+0,7654⋅s+1 ) S3,4 = 0,9239 + j0,3827 ( s2+1,8478⋅s+1 ) T s s 2 s2_{0,7654⋅} 0⋅s02 ⋅ s 2 s2_{1,8478⋅} 0⋅s02 , onde ω0=2π10000Hz.

25.8.4 Aproximação de Chebyshev (I)

A aproximação de Chebyshev (que pode aparecer com diferentes grafias dependendo da tradução feita) é equiripple na banda passante. Esta aproximação tem o corte mais abrupto dentre as

funções polinomiais para um dado grau e Amáx

K (ω)=ε⋅C_n(ω)=ε⋅cos[n⋅cos−1(ω)], para ∣ω∣⩽1

K (ω)=ε⋅Cn(ω)=ε⋅cosh[n⋅cosh −1

(ω)], para ∣ω∣>1

A normalização de funções Chebyshev pode ser feita para a frequência ωp pela equação

ω= ω_ω p ∣H (ω)∣2=1+ε2⋅C2_n(ω), onde Cn(1) = 1 A(ω)=10⋅log

[

1+ε2⋅Cn 2 ( ω)

]

Sabendo que Amáx=A(ωp)=A(1) e A(ωS)⩾Amin

A_min⩽10⋅log

[

1+ε2 ⋅cosh2

_[

_n⋅cosh−1 (ω)

]

]

n⩾ cosh−1

[

(

10 0,1⋅Amin −1

)

(

100,1⋅Amáx₋₁

₎

]

1 2 cosh−1 (ω_s) ,

onde Amáx e Amin estão em dB; ωsé calculado de 4 formas diferentes.

A aproximação de Chebyshev pode ser obtida por ∣H (ω)∣2_{=1+∣K (ω)∣}2 H  S ⋅H −S =1 K  S ⋅K −S  H (S )⋅H (−S )=1+ε2⋅C_n2( ω) onde C_n+1(ω)=2⋅ω⋅C_n( ω)−C_n−1(ω) sendo C0(ω)=1 e Cn(1)=1 C_n2_(ω)=0,5⋅

[

1+C_2n(ω)

_]

s_k=σ_k±j ω_k, k =1, 2, ... σ_k=

{

±sen

[

(2⋅k −1)⋅π 2⋅n

]

}

⋅

{

senh

[

(

1 n

)

⋅senh −1

(

1 ε

)

]}

ω_k=

{

±cos

[

(2⋅k −1)⋅π 2⋅n

]

}

⋅

{

cosh

[

(

1 n

)

⋅senh −1

(

1 ε

)

]

}

O ganho (G0) da função de transferência T(S) deve ser ajustado para que que T(0)=0dB

quando o grau do filtro for ímpar e T(0)=-Amáx quando o grau do filtro for par (em função do ripple

na banda de passagem).

G₀=a₀, para grau ímpar.

G₀=a₀⋅10

−Amáx

Ou, genericamente, G0=

1

⋅2n−1 (para grau par ou impar).

Para desnormalizar substituir S =_ωS

p

As raízes estão dispostas sobre uma elipse 25.8.5 Exemplo 3

Calcule o filtro Chebyshev com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB

ε=

[

10 Amáx 10 ₋₁

]

1 2 _{= 0,5088} n⩾ cosh−1

[

(

10 0,1⋅Amin −1

)

(

100,1⋅Amáx−1

)

]

1 2 cosh−1 ω_s = 4,41 com

(

ω_s=15000 10000

)

. Usar n = 5 k=1, S_k=−0,0895±0,9901 i , S2 0,1790⋅S0,9883 k=2, S_k=−0,2342±0,6119 i, S2 0,4684⋅S 0,4293 k=3, S_k=−0,2895, S0,2895

fazendo a desnormalização diretamente com as formas padrões,

T (S )= 0,12283⋅ωp 5 ( ̄S +0,2895⋅ω_p)⋅( ̄S2 +0,4684⋅ω_p⋅ ̄S +0,4293⋅ω2_p )⋅( ̄S2 +0,1790⋅ω_p⋅ ̄S +0,9883⋅ω2_p ) onde p=2⋅⋅104

Figura 6: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=cheby1(5,1,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a);

25.8.6 Exemplo 4

Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -3dB nas frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 3dB na frequência de 2000Hz; Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC.

Encontrar o gabarito do filtro:

Amáx = 3dB, nas frequências centrais Amin = 20dB, na frequência externa

Filtro passa faixas com f1= 1000Hz, f2= 5000Hz, f4= 8000Hz e f3=??. Este filtro é um passa

faixa onde ω3 não foi informado. Então podemos ajustá-lo de forma a deixar o filtro simétrico.

f0= (f1⋅f2)0,5 = 2236Hz Freqüência (rad/seg) F a s e ( g ra u s ); M a g n it u d e ( d B ) Diagrama de Bode -50 -40 -30 -20 -10 0

Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)

104 ₁₀5

-600 -400 -200 0

f3 = (f2⋅f1) / f4 = 625Hz.

K=3dB

Agora temos que resolver o problema do ganho. O ganho pode ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de +3dB na faixa de passagem e de -3dB em f1, há uma variação permitida de 6dB na faixa de passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0dB e a Amáx para 6dB. Após o projeto, inserimos um ganho de 3dB para ajustar os valores do projeto.

K = 0dB Amáx = 6dB

Determinar o passa baixas normalizado equivalente

Ωp = 1 rad/s

Ωs = (ω4 – ω3) / (ω2 –ω1) = 1,84 rad/s

Determinar a aproximação

Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos escolher aquela que produz o filtro com menor grau. Dentre os filtros Butterworth e Chebyshev o último costuma apresentar menor grau. Há um problema que requer atenção especial, com esta escolha do Chebyshev, teremos que testar o ganho em 2kHz após a implementação, para saber se o filtro realmente tem ganho de aproximadamente 3dB nesta frequência.

Calcular o grau do filtro ε=

√

100,1⋅Amáx_{−1 = 1,72} n= cosh−1





10 0,1⋅Amin −1 



cosh−1s = 2,00!

sk=k ± j⋅k _k=

{

±sen



 2⋅



12k n





}

⋅

{

senh



1 narcsenh 1 



}

_k=

{

cos



 2



12k n





}

⋅

{

cosh



1 narcsenh 1 



}

SK = -0,1979 ±j0,7343 = –a ± j⋅b H(S) = S2 _{+ 2⋅a⋅S + (a}2 _{+ b}2_{) = S}2 _{+ 0,3958⋅S + 0,57836} T  S = 1 S2_{0,3958⋅S 0,57836}

Aplicar a desnormalização adequada

na T(S), substituir S por (S2 _{+ ω} 02)/(ω2 – ω1)⋅S = (S2 + 140492) / (2⋅π⋅4000⋅S) T S = K⋅1



S2140492 2⋅⋅4000⋅S



2 0,3958⋅



S 2 140492 2⋅⋅4000⋅S



0,57836

Este filtro tem ganho unitário na banda de passagem e atenua 6dB nas frequências de corte. Par obter ganho de 3dB na banda de passagem e atenuação de 3dB nas frequências de corte basta fazer o ganho K=1,41 (+3dB).

25.8.7 Exemplo 5

Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35dB na frequência de 1000Hz; Atenuação de 3dB na frequência de3500Hz; A oscilação máxima na banda de passagem não deve ultrapassar 3dB; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o tipo de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico.

Atenuação f 3500 1000 3dB 35dB 0dB Ripple 3dB Amin = 35dB, fs = 3500Hz Amáx = 3dB, fp = 1000Hz É um filtro passa altas.

Se o ripple máximo é 3dB e a máxima atenuação na banda de passagem é 3dB então a menor atenuação da banda de passagem é 0dB. Assim, o ganho na banda de passagem é 0dB.

Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth.

Projetar o filtro

=



100,1⋅Amáx_{−1=0,9976 (podemos adotar ε = 1, pois Amáx = 3dB).}

n≥ log



10 0,1⋅Amin −1 2



2⋅log



fs fp



≥3,21=4 sk=cos



 2⋅ 2kn−1 n



± j⋅sen



 2⋅ 2kn−1 n



Polinômio: S2_{+2⋅a⋅S+(a}2_+b2_{) = S}2_{+0,7653⋅S+1} S3,4= –0,923879±0,382683 =–a ± j⋅b. Polinômio: S2_{+2⋅a⋅S+(a}2_+b2_{) = S}2_{+1,8477⋅S+1} T_{PBNormalizada}s= 1 s2_{0,7653 s1}⋅ 1 s2_{1,8477 s1} Desnormalizar

Primeiro: Como o filtro é Butterworth desnormalizar o ε. Para ε=1 não há desnormalização.

Segundo: Desnormalizar a frequência.

T_PBS= s 2 s20,7653⋅0⋅s02 ⋅ s 2 s21,8477⋅0⋅s02 , onde ₀=2⋅⋅3500 rad/s

Se for acrescentado, após o projeto do filtro, um estágio de ganho x5. Quanto será a atenuação na frequência de 3500Hz?

Ganho x5 corresponde a ganho de 13,97dB. Então o ganho em 3500Hz será aproximadamente 13,97dB-3dB=10,97dB.

Outra forma de calcular é multiplicar o ganho em 3500Hz (0,707) por 5. O resultado é 3,53, ou seja, 10,97dB.

Também poderíamos ter calculado substituindo K1⋅K2 por 5 e “s” por j(2⋅π⋅3500) na função

TPA(s). O resultado é 3,53 que corresponde a 10,97dB!

25.8.8 Soluções tabeladas

Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e

segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de ω e Q de cada seção. Para os filtros de grau impar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q.

Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte)

N _ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 ω4 Q4 2 1,00000 0,707107 3 1,00000 1,00000 1,00000 -4 1,00000 1,30656 1,00000 0,541196 5 1,00000 1,61803 1,00000 0,618034 1,00000 -6 1,00000 1,93185 1,00000 0,707107 1,00000 0,517638 7 1,00000 2,24698 1,00000 0,801938 1,00000 0,554958 1,00000 -8 1,00000 2,56291 1,00000 0,899977 1,00000 0,601345 1,00000 0,50599 *Ganho unitário

Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte)

N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 ω4 Q4 2 1,00000 0,577350 3 1,07869 0,691047 0,985560 -4 1,07890 0,805538 0,962319 0,5521935 5 1,08504 0,916478 0,962003 0,563536 0,928640 -6 1,09270 1,02331 0,969010 0,611195 0,920141 0,510318 7 1,10034 1,12626 0,978443 0,660821 0,921478 0,522356 0,904336 -8 1,10046 1,22567 0,982040 0,710853 0,921150 0,559609 0,894187 0,505991

Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 dB na faixa de passagem) N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 ω4 Q4 2 1,23134 0,863721 3 1,06885 1,70619 0,626456 -4 1,03127 2,94055 0,5977002 0,70511 5 1,01774 4,54496 0,690483 1,17781 0,362320 -6 1,01145 6,51283 0,768121 1,81038 0,396229 0,683639 7 1,00802 8,84181 0,822729 2,57555 0,503863 1,09155 0,256170 -8 1,00595 11,5308 0,861007 3,46568 0,598874 1,61068 0,296736 0,676575

Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 dB na faixa de passagem)

N _ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 ω4 Q4 2 0,977227 1,12865 3 0,941326 2,55164 0,368911 -4 0,963678 4,59388 0,470711 0,929449 5 0,975790 7,23228 0,627071 1,77509 0,218308 -6 0,982828 10,4616 0,730027 2,84426 0,316111 0,901595 7 0,987226 14,2802 0,797114 4,11507 0,460853 1,64642 0,155340 -8 0,999141 18,6873 0,842486 5,58354 0,571925 2,532267 0,237699 0,892354

25.9 Síntese de filtros ativos 25.9.1 Realizações

• Baixa sensibilidade aos componentes;

• Difícil de sintonizar e necessita de indutores;

• Ainda utilizados em altas frequências – indutores menores;

• Podem ser transformadas em filtros ativos

Filtros a capacitor chaveado (anos 70)

• Compatibilidade com tecnologia CMOS – fácil de integrar (precisão de 0,1%)

Corrente chaveada (final dos anos 80)

• Semelhante ao capacitor chaveado

Filtros MOSFET-C (anos 80)

• Resistores ativos obtidos com transistores MOSFET

• Resistências podem ser ajustadas por tensão – sintonia automática

• Problemas com linearidades dos MOSFET

Filtros OTA-C

• Permite atuar em altas frequências

• Problemas com relação a linearidade dos OTAs

Filtros ativos RC

• Filtros ativos RC em cascata (biquads – seções de primeira e segunda ordem);

• Redes com 1 Amp. Op.;

• Redes com vários Amp. Op.;

• Redes multirealimentadas;

• Redes Ladder RLC com simulação de indutores;

• Redes Ladder RLC com escalamento de impedância para uso com FDNR;

• Redes Ladder LC simuladas.

Comparado aos filtros passivos podemos listar as seguintes vantagens dos filtros ativos:

• Usa R e C (capacitores práticos tem comportamento mais próximo ao teórico do que

indutores);

• São baratos;

• Podem ter ganho e raramente tem perdas como nos filtros passivos;

• São fáceis de sintonizar;

• Filtros de baixa frequência podem ser obtidos com componentes de valores

modestos;

• São leves e pequenos;

• Tem baixa impedância de saída (isto permite que sejam ligados em série).

Comparando com filtros passivos podemos listar as seguintes desvantagens dos filtros ativos:

• Necessitam de alimentação;

• São limitados pelas características reais dos Amp. Ops. (resposta em frequência,

saturação, limitação de fornecer corrente, slew-rate, ganho finito, impedância de entrada finita, resistência de saída diferente de zero, );

• São mais sensíveis a variações nos componentes, o que resulta em maiores variações

de ω e Q (esta é uma das razões pela qual se aumentam número de elementos ativos

nos filtros);

• São mais ruidosos;

• Não tem isolação galvânica;

• Podem oscilar;

Nesta disciplina serão estudados alguns filtros ativos RC ligados em cascata. Nestes projetos devemos preferencialmente:

• Dividir o filtro em seções de primeira e segunda ordem;

• Interligar as seções em cascata (esta característica que facilita o projeto também é

responsável pela maior sensibilidade destes filtros a variações nos componentes);

• Evitar capacitores eletrolíticos, e dar preferência a capacitores de polipropileno, mica

e cerâmica);

• Distribuir o ganho entre todas as seções;

• Utilizar um possível passa baixas como primeiro estágio de filtragem para eliminar

as altas frequências e diminuir problemas com slew-rate;

• Colocar uma eventual seção passa altas como estágio de saída para diminuir

problemas com off-set;

• Manter a banda de passagem o mais plana possível, sempre;

25.10 Filtros de primeira ordem RC

25.10.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem

Um filtro passa baixas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência

T  S =K⋅ 0 S ₀

onde σο é chamada de frequência de corte do filtro, pois corresponde ao ponto onde o ganho

na faixa de passagem diminui 3dB (0,707 vezes menor). Este ponto é conhecido como ponto de meia potência e costuma ser utilizado genericamente como frequência de corte.

Os dois principais circuitos que implementam esta função estão apresentados na figura abaixo. Um deles é o próprio integrador com perdas. O segundo, com a mesma função, pode ser utilizada em altas frequências pois sofrem menos influência das características dinâmicas do AO.

Para o primeiro circuito v_Os  v_is =− Rf Ri⋅ 1 Rf⋅C s+ 1 Rf ⋅C e para o segundo circuito

v_Os  v_is= 1 R⋅C s 1 R⋅C .

25.10.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem

Filtros passa altas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência T  S =K⋅ S

S ₀

onde σ0 é a frequência de corte do filtro.

Os dois principais circuitos que implementam a função de transferência do passa altas são apresentados na próxima figura. O primeiro deles corresponde ao derivador modificado e o segundo uma implementação passiva com um buffer na saída. Este último pode ser utilizado em frequências mais elevadas com menos influência das limitações dinâmicas do AO.

Para o primeiro circuito v_Os  vis  =−Rf Ri⋅ s s+ 1 Ri⋅C , e para o segundo v_Os  vis = s s 1 R⋅C

25.11 Filtros de segunda ordem RC

Nesta seção serão apresentadas algumas formas de se obter filtros de segunda ordem com topologias de 1 ou mais amplificadores operacionais. As configurações de 1 amplificador normalmente apresentam características de frequência de corte, ganho e fator de mérito mais sensíveis as variações nos componentes porém são de implementação mais barata.

25.11.1 Filtros variáveis de estado

Os filtros variáveis de estado apesar de necessitarem de no mínimo três Aos apresentam muitas vantagens que tornam atrativa a sua integração. Estes filtros podem ser utilizados em funções de transferências com Q elevado (10<Q<500) e frequências de corte mais altas que aquelas possíveis para as topologias de um só amplificador. Além do mais, uma mesma topologia de circuito permite a implementação de filtros passa baixas, passa altas e passa faixa. O ajuste do Q e

de ωο são simples e relativamente independentes além de permitirem sintonia (ajuste da frequência

Por todas estas razões é muito comum encontrarmos esta topologia integrada em circuitos

como o LTC1563 e o LTC1568 da Linear Technology e os MAX270 e MAX271, MAX274 e

MAX275 da Maxim (estes últimos implementam em um só integrado filtros de até oitava ordem). O desenho básico do filtro de variáveis de estado esta representado no diagrama em blocos abaixo. O mesmo circuito, pode ser um passa altas, um passa baixa, ou um passa faixa, dependendo apenas de onde é retirado o sinal de saída do filtro.

Equacionamento da saída passa altas

v_PA=v_i−A⋅0⋅vPA s − B⋅₀2 ⋅v_PA s2 vPA v_i = s2 s2A⋅₀sB⋅₀2

Equacionamento da saída passa faixa

v_PF=−vi⋅0 s − A⋅₀⋅v_PF s − B⋅₀2⋅v_PF s2 v_PF v_i = s⋅ω₀ s2+A⋅ω₀⋅s +B⋅ω₀2

Equacionamento da saída passa baixas v_PB⋅s2=v_i⋅₀2−B⋅₀2⋅v_PB−A⋅₀⋅s⋅v_PB

v_PB vi = 0 2 s2_A⋅ 0⋅sB⋅0 2 Se A=1

Q e B=1 as funções de transferência são idênticas as dos gabaritos apresentados

anteriormente. O circuito que implementa o diagrama de blocos pode ser facilmente obtido com o circuito abaixo.

As equações para os parâmetros são

ω₀=



K3 R1⋅R2⋅C1⋅C2 Q=1 K4 1K3⋅



K3⋅R1⋅C1 R2⋅C2 K_PB=K4⋅



1K3



K3⋅



1K4



K_PA=K4⋅



1K3



1K4 K_PF=−K4

Normalmente a escolha dos componentes é feita de forma que R1=R2, C1=C2, e K3=1. Estes filtros permitem algumas modificações interessantes. Uma delas é o controle da frequência de corte usando multiplicadores e controle por tensão.

KPa=KPb=2⋅K4 1 +K4 ω₀= Ec 10⋅R⋅C Q=1 +K4 2

Se as três saídas originais do filtro forem somadas de forma apropriada, para produzir uma saída Vo, pode-se obter, neste ponto, qualquer função de transferência de segundo grau, incluindo aquelas com zeros complexo conjugados.

G( s )=αS 2 +βS+θ AS2+BS+C V_O V_I =

(

R_F⋅K_PA R_A

)

⋅S 2 +

[

(

1+RF R_A// R_B

)

⋅ω0 Q ⋅KPF

]

⋅S + R_F⋅K_PB R_B ⋅ω0 2 S2 +ω0 Q⋅S+ω0 2 O numerador vale ⋅s2 ⋅s

De onde pode se calcular diretamente as parcelas.

= 2RFK4 R_A1 +K₄ β = 2(1+ RF R_A// R_B)K4 (1 +K₄)RC θ= 2RFK4 R_B1 +K₄R2C2

Para a síntese de filtros elípticos ou rejeita faixas temos:

Gs = ⋅S 2 +θ AS2+B_S+C , β=0 R_A=2RFK4  1 +K₄ R_B= 2RFK4 θ 1 +K₄R2C2

25.11.2 Exemplo 1

A Burr Brown fabricava um integrado híbrido (UAF42), cujo diagrama em blocos está

desenhado abaixo. De posse deste integrado, de capacitores, AO e resistores, projetar um filtro de 3°

ordem de Chebyshev, passa alto, com máxima atenuação na banda de passagem de 1dB e frequência de corte de 2kHz. O filtro deve ter módulo 2 na frequência de passagem. Desenhar o circuito indicando os pinos do circuito integrado. Usar a menor quantidade de componentes.

Examinando o integrado nota-se que o é possível implementar com facilidade um filtro do

tipo variável de estado. Como o filtro é de 3°ordem o AO adicional pode ser utilizado para

implementar a seção de 1° ordem.

Da tabela dos polinômios de Chebyshev com atenuação máxima de 1dB e n=3. O filtro passa baixas normalizado é:

T  S = 0,99420

S20,49417⋅S 0,99420 ⋅

0,49417 S 0,49417  Para desnormalizar o filtro

substituir S por 0 S = 2⋅⋅2000 S = 12566 S

Finalmente, precisamos considerar que o módulo do ganho, nas frequências de passagem, deve ser 2.

T  S =2⋅ 0,99420



125662 S2 0,49417⋅ 12566 S 0, 99420



⋅ 0,49417



12566 S 0,49417



T  S =2⋅ 0,99420⋅S2 0,99420⋅S26210⋅S157904356 ⋅ 0,49417⋅S 0,49417⋅S12566  T  S =2⋅ S 2 S26246⋅S 158825544 ⋅ S S25428

O filtro de variáveis de estado já vem praticamente montado no integrado. Faltam interligar

os integradores com resistores R1 (da saída passa altas para o integrador do passa faixa) e R2 (da

saída passa faixa para o subtrator da entrada). A entrada do filtro corresponde ao pino IN3. Os parâmetros do filtro são

₀=



K3 R₁⋅R₂⋅C₁⋅C₂, e Q= 1K₄ 1K₃⋅



K₃⋅R₁⋅C₁ R₂⋅C₂ K_PA=K4⋅



1K3



1K4 . onde C1=C2=1000pF, K4=K3=1, ₀=



158825544=12602 . Como 0 Q =6210 , Q=2 .

Q=2=



R1 R₂ R₁=4⋅R₂ ₀2=126022₌ 1 4⋅R₂2⋅1000⋅10-122 R₂=39676  R₁=158705

Falta projetar o filtro de 1° ordem, com ganho 2. Isto pode ser realizado com o AO que está

sobrando no integrado. A função de transferência T  S = 2⋅S

S 25428

pode ser implementado com

T  S =−Rf Ri⋅ S S  1 C⋅Ri onde 1 C⋅R_i=25428 . Se C=1000 pF , Ri=39326 

Como Rf_R

i

=2

R_f=78652 

25.11.3 Exemplo 2

Utilizando um filtro variáveis de estado, projete um equalizador de ganho que possua as características da figura e tabela abaixo. Este equalizador deve ter sua curva de ganho ajustável por

tensão externa (vC). O desvio máximo dos parâmetros é de 5%. Use valores comerciais para os

componentes. v_C ∣T  S ∣ +4V +12dB +1V 0dB +0,25 -12dB T  S =K₀⋅ S2K 0 Q S 0 2 S20 Q S02

Como o patamar é 0dB, o ganho K0=1.

Nos extremos: K1=4 (12dB), K2=0,25 (-12dB). Projeto do filtro Se fizermos K3=K4=1, R3=R4, C=C1=C2, KPB=−KPF=KPA=1 então ₀=1 C⋅ 1



R⋅R

Q=



R1 R₂=2 R₁ R₂=4 R₁=4⋅R₂ R₂=0, 25⋅R₁ Substituindo em ω0 ₀= 1 C⋅R₁⋅ 1



0,25 C⋅R₁=3,1831⋅10−4 C=6,8 nF , R1=47k  C⋅R1=3,196⋅10 −4 . Assim R₂=R1 4 =11 ,75 k  Comercialmente R2=12k  Conferindo os desvios f₀=985,5 Hz −1,4 % , Q=1,979−1 % , K₀=10 %

Para obter o filtro controlado por vC é preciso somar

Assim vC=Ki, ou seja, vC=4V para K1=4, vC=1V para K0=1, vC=0,25 para K2=0,25.

25.11.4 Configurações de um único amplificador operacional

Filtros com um único AO normalmente não estão disponíveis em integrados mas podem ser facilmente implementados de forma discreta. As duas configurações de filtros mais utilizadas são: Ganho Infinito Realimentação Múltipla (GIRM ou MFB) e Fonte de Tensão Controlada por Tensão (FTCT ou Salen-Key). A topologia dos dois filtros é mostrada na figura a abaixo.

Biquad - FTCT (Sallen Key) Biquad – MFB

Note que no desenho das topologias MFB e Sallen-Key estão representadas as impedâncias de cada configuração. A medida que as impedâncias são trocadas por resistências ou capacitores a função do filtro muda.

Alterações no ganho das funções de transferência podem ser realizados com um divisor de tensão na entrada do filtro (desde que mantenha a impedância de entrada inalterada) ou utilizando um divisor de tensão na saída do operacional e usando este divisor para realimentar o filtro. No primeiro caso se obtém uma redução do ganho, no segundo um aumento. Estas técnicas não alteram

Sallen Key MFB PB PA PF PB PA PF Z1 R C R R C R Z2 R C C C R -Z3 C R R R C C Z4 C R R R C C Z5 - - C C R R

Parâmetros para os filtros Sallen Key

ωΟ2 Q K PB _R 1 1⋅R2⋅C3⋅C4



R₁⋅R₂⋅C₃⋅C₄ 1−m⋅R₁⋅C₄C₃⋅R₁R₂ m PA _C 1 1⋅C2⋅R3⋅R4



C₁⋅C₂⋅R₃⋅R₄ 1−m⋅R₃⋅C₂R₄⋅C₁C₂ m PF R1R4 R1⋅R3⋅R4⋅C2⋅C5



R₁R₄⋅R₁⋅R₃⋅R₄⋅C₂⋅C₅ [R₄R₁⋅1−m]⋅R₃⋅C₂R₁⋅R₄⋅C₂C₅ m 1R1⋅C5 R₃⋅C₂ R₁ R₃ R1⋅1−m R₄

Parâmetros para os filtros MFB

ωΟ2 Q K PB _R 1 3⋅R4⋅C2⋅C5



C₂/C₅



R₃⋅R₄⋅

_[

1/ R₁1/ R₃1/ R₄

_]

− R4 R₁ PA _R 1 2⋅R5⋅C3⋅C4



R₂⋅R₅⋅C₃⋅C₄ R₂⋅C₁C₃C₄ − C₁ C4 PF _R 1 1⋅R5⋅C3⋅C4



R₁⋅R₅⋅C₃⋅C₄ R₁⋅C₃C₄ − R₅ R₁⋅ C₃ C₃C₄

Os filtros passa baixas são bons para uso com Q<10. A escolha dos componentes fica muito sensível e o projeto torna-se crítico para Q elevados. A configuração MFB apresenta resultados melhores para este tipo de filtro já que os filtros Sallen-Key tem sérias restrições de sintonia e frequência.

25.11.5 Passa baixas Sallen-Key Circuito: Função de transferência: Vos  Vis = m R1⋅C4⋅C3⋅R2 s2+s⋅

[

1 R1⋅C4 1 R2⋅C4− m−1 R2⋅C3

]

 1 R1⋅R2⋅C3⋅C4

Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vos  Vis = K⋅ω₀2 s2+s⋅ω0 Q +ω0 2

C3 = C4 = C, e R1 = R2 = Rx Rx= 1 ω₀⋅C Q ≥ 0,5 m= 3−1 Q m=∣K∣

Uma das soluções de mínima sensibilidade para a maioria dos componentes é: m=K=1 R1=R2=1 C4=2Q ₀ C3= 1 2 ₀Q

Para esta solução, entretanto, a diferença entre os capacitores é proporcional a Q2_:

Outra solução muito conhecida e com um bom comprometimento entre sensibilidade e facilidade no ajuste dos componentes é a solução de Saraga:

C3=1 C4=

_

3Q R2= 1



3 ₀ R1= 1 Q₀

m=K=4 3

OBS.: Para qualquer uma das soluções podem ser realizados escalamentos de impedância. Para isto basta multiplicar os resistores e dividir os capacitores simultaneamente por um fator “b”. 25.11.6 Passa baixas MFB Circuito: Função de transferência: Vos  Vis =− 1 R1⋅R3⋅C2⋅C5 s2_+s⋅

[

1 R1⋅C2 1 R3⋅C2 1 R4⋅C2

]

 1 R3⋅R4⋅C2⋅C5

Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vos  Vis = K⋅ω₀2 s2+s⋅ω0 Q +ω0 2

Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de

C2 = C C5 = X @C2 R₄= 1 2⋅Q⋅0⋅C ⋅

[

1±



1−4⋅Q 2 ⋅∣K∣1  X

]

R₁=R4 ∣K∣ R3= 1 ω₀2_{⋅R4⋅C2⋅C5}

Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB 25.11.7 Passa altas Sallen-Key

Circuito: Função de transferência: Vos  Vis = s2⋅m s2+s⋅

[

1 R3⋅C2 1 R3⋅C1− m−1 R4⋅C1

]

 1 R4⋅R3⋅C1⋅C2

Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vos  Vis = K⋅s2 s2+s⋅ω0 Q +ω0 2

Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de

K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é:

Fazer C1 = C2 = C, e R3 = R4 = Rx Rx= 1 ω₀⋅C m=3−1 Q , para Q ≥ 0,5 m=∣K∣

As soluções alternativas, propostas para o filtro passa baixas Sallen-Key, podem ser utilizadas e o filtro pode ser desnormalizado diretamente nos componentes.

Substituir Resistores por Capacitores de valor 1/R 0

Substituir Capacitores por Resistores de valor 1/C0

25.11.8 Passa altas MFB Circuito:

Função de transferência: Vos  Vis =− s2⋅C1 C4 s2+s⋅

[

1 C4⋅R5 1 C3⋅R5 C₁ C3⋅C4⋅R5

]

 1 C3⋅C4⋅R2⋅R5

Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vos  Vis = K⋅s2 s2+s⋅ω0 Q +ω0 2

Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de

K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é:

Fazer C1 = C3 = C C4= C₁ ∣K∣ R₅= Q ω₀⋅C⋅



2⋅∣K∣1



R₂= 1 ₀⋅Q⋅C⋅



2⋅∣K∣1



Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB 25.11.9 Passa Faixa Sallen-Key

Circuito: Função de transferência: Vos  Vis = s⋅ m R1⋅C5 s2_+s⋅

[

1 R1⋅C5 1 R3⋅C2 1 R3⋅C5− m−1 R4⋅C5

]

 R1+R4 R1⋅R3⋅R4⋅C2⋅C5 Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem:

Vos  Vis = K⋅s⋅ω0 Q s2_+s⋅ω0 Q +ω02

Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de

K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é:

R1 = R3 = R4 = Rx Rx=



2 ω₀⋅C m= 4−



2 Q Q≥



2 3 K= m R1⋅C5=0⋅



2⋅



2− 1 Q



25.11.10 Passa faixas MFB Circuito: Função de transferência: Vos  Vis =− s⋅ 1 R1⋅C4 s2+s⋅

[

1 C4⋅R5 1 C3⋅R5

]

 1 C3⋅C4⋅R1⋅R5

Vos  Vis = K⋅s⋅ω0 Q s2_+s⋅ω0 Q +ω02

Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de

K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é:

Fazer C3 = C4 = C R1= Q ∣K∣⋅₀⋅C R5=2⋅Q ω₀⋅C K=−2⋅Q⋅₀

25.11.11 Rejeita faixa (ou Notch)

O filtro rejeita faixa também é chamado de “notch” pois muitas vezes é utilizado para eliminar uma determinada frequência ou uma faixa de frequências muito estreita. Isto é muito utilizado para reduzir a interferência de sinais de 60 Hz em instrumentos de precisão.

25.11.12 Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T) Circuito:

A escolha dos componentes pode ser feita da seguinte maneira: C1=C2=C, R1=R2=R C4=2C, R5=R/2 ₀= 1 R⋅C Q= 1 4−2⋅m , Q>=0,25 K=m , m<2

25.11.13 Rejeita faixa MFB (modificado) Circuito:

Observe que o circuito rejeita faixa MFB funciona como se fosse “1 - PF” MFB. O projeto pode ser feito com as seguintes relações:

C3=C4 , Rb=R5 , Ra=2 ˙R1 K= R5 R52⋅R1 ₀= 1 C⋅

_

R1⋅R5 Q=1 2



R5 R1 25.11.14 Exemplo 1

Projetar um filtro PA do tipo MFB com as seguintes características: fo=1,5kHz, Q=0,7, K=20dB. As características do filtro não podem sofrer desvio maior que 5%. Usar valores comerciais para os componentes. Garantir que o filtro funcione até uma frequência de 100kHz. Calcular o produto ganho-faixa do AO necessário para que esta especificação seja atendida. Justificar o procedimento de cálculo.