RESPOSTA PÓS-CRÍTICA DE SISTEMAS ARTICULADOS COM DIFERENTES DEFORMAÇÕES UTILIZANDO
UMA FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL Renato César Gavazza Menin
Universidade de Brasília / UnB
Faculdade de Tecnologia – Departamento de Engenharia Civil Campus Darcy Ribeiro, 70910-900 – Brasília / DF, Brasil e-mail: renatomenin@terra.com.br
William Taylor Matias Silva Universidade de Brasília / UnB
Faculdade de Tecnologia – Departamento de Engenharia Civil Campus Darcy Ribeiro, 70910-900 – Brasília / DF, Brasil e-mail: taylor@unb.br
Abstract. Este trabalho descreve o comportamento pós-crítico de sistemas de barras
articuladas no plano (2D) e no espaço (3D), utilizando a formulação co-rotacional, cujo conceito se baseia essencialmente na decomposição da configuração de referência em duas: uma configuração inicial ou de base, que é mantida fixa durante toda a análise e a configuração co-rotacionada, que varia de elemento para elemento, sendo obtida com um movimento de corpo rígido, a partir da configuração inicial do elemento. Nesta formulação, as tensões e deformações são medidas a partir da configuração co-rotacionada. Para fazer a análise, são empregadas distintas medidas de deformação, sendo demonstrado que no regime de deformações infinitesimais a resposta do sistema é a mesma independente do tipo de deformação adotado, porém para o caso de deformações finitas, as distintas medidas de deformação produzem distintas respostas para uma mesma estrutura. Nos exemplos numéricos para a obtenção da trajetória de equilíbrio é utilizado o método de comprimento de arco cilíndrico, combinado com o método de Newton-Raphson.
1. INTRODUÇÃO
Atualmente, em se tratando de análise não linear geométrica através do método dos elementos finitos, são geralmente usados três tipos de descrições cinemáticas, que podem ser distinguidas entre si basicamente pela escolha da configuração de referência. A primeira delas é a descrição lagrangiana total, na qual a configuração de referência é raramente ou nunca mudada e em geral é igual à configuração inicial ao longo de toda a análise, sendo as tensões e deformações medidas com relação à esta configuração. A segunda descrição é a lagrangiana atualizada, para a qual a última configuração em equilíbrio, uma vez atingida passa a ser a próxima configuração de referência para os passos subsequentes, sendo as tensões e deformações redefinidas assim que a configuração de referência é atualizada. Já na chamada descrição co-rotacional, a configuração de referência é dividida em duas partes, sendo as tensões e deformações medidas à partir de uma configuração co-rotacionada, ao passo que a configuração inicial é mantida como configuração de referência para medir os deslocamentos de corpo rígido.
A descrição lagrangiana total permanece sendo a formulação mais utilizada hoje em dia, ao passo que o interesse pela descrição lagrangiana atualizada está diminuindo bastante e sendo gradualmente substituída pela descrição co-rotacional. No presente trabalho, será feito a apresentação da descrição cinemática referente à formulação co-rotacional, e mais especificamente para o caso de elementos de barra bi-articulados no plano e no espaço.
A formulação co-rotacional é a descrição cinemática mais recente entre as três comentadas anteriormente, tendo um rápido desenvolvimento na mecânica dos sólidos desde o início da década de 1980, porém esta formulação ainda não foi implementada nos principais programas comerciais que utilizam o método dos elementos finitos.
O principal conceito desta formulação é a divisão ou decomposição da configuração de referência em duas parcelas:
1. A configuração inicial (C0) que é mantida fixa ao longo de toda a análise, servindo
como uma configuração de referência fixa. Usualmente se adota um sistema de coordenadas global para toda a estrutura.
2. A configuração co-rotacionada (CR) que varia de elemento para elemento. Para cada
elemento a configuração CR pode ser obtida através do deslocamento de corpo rígido
em relação à configuração C0. O sistema de coordenadas se move conjuntamente
com o elemento, sendo a deformação do elemento medida em relação ao sistema de coordenadas local da configuração CR.
No presente trabalho, são utilizadas quatro medidas distintas de deformações, sendo duas delas descritas em coordenadas materiais (deformação de engenharia e Green-Lagrange) e duas descritas em coordenadas espaciais (deformação de Biot e Almansi). A descrição cinemática do elemento é feita em relação à configuração inicial ou indeformada, supondo uma relação linear entre o par conjugado de tensão e deformação do tipo σ = Eε, sendo E o módulo de elasticidade do material e adotando-se o mesmo valor de E para as distintas medidas de deformações. Será demonstrado através dos exemplos numéricos que no caso de deformações infinitesimais, as configurações inicial e atual se confundem e portanto se obtém unicidade na resposta de uma estrutura independentemente da configuração em que se escolhe o modelo constitutivo e do tipo de deformação que se utilize, porém no regime de deformações finitas esta hipótese implica na definição de materiais diferentes e em conseqüência não se obtém unicidade na resposta. Para obter unicidade na resposta em regime de deformações finitas é necessário recorrer a transformações tensoriais que fazem o mapeamento do tensor constitutivo entre as configurações inicial ou indeformada e a atual, tema que não será tratado neste trabalho.
2. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA
Considerando-se um elemento finito de barra articulado que se move no espaço de acordo com a Fig. 1, por simplicidade será admitido como hipótese que os eixos locais (x0e,y0e,z0e) do
elemento na configuração inicial C0 estão alinhados com os sistemas de coordenadas globais
material e espacial, designados por (X,Y,Z) e (x,y,z) respectivamente. Somando-se a esta primeira hipótese, também é admitido que a origem do sistema de eixos locais em C0 está
situado na metade do comprimento inicial do elemento, designado por L0. O elemento de
barra se move da configuração inicial C0 até a configuração atual C, cujos eixos locais podem
ser definidos como (xe,ye,ze). A chamada configuração co-rotacionada, designada por CR se
move conjuntamente com o elemento até a configuração C, posicionando-se simetricamente com respeito a configuração atual. Pode ser observado também pela Fig.1 que os eixos locais co-rotacionados (xRe,yRe,zRe) coincidem com os eixos locais (xe,ye,ze) em C.
Figura 1 – Elemento finito de barra articulado nas configurações inicial e atual
Tomando-se uma partícula P0 de coordenadas (X,Y) em C0, que se move ao ponto PR de
coordenadas (xR,yR) em CR, e em seguida se move para o ponto P de coordenadas (x,y) em C,
então, o deslocamento total u da partícula, em coordenadas globais pode ser descrito por:
u = x – X (1)
Este deslocamento pode então ser decomposto em uma parte deformacional uD e outra que corresponde ao deslocamento de corpo rígido uR de modo que:
u = uR + uD = (xR – X) + (x – xR) (2) Na formulação co-rotacional, as equações do movimento deformacional são escritas em função das coordenadas locais (xe,ye,ze) em C, conforme a seguinte equação:
uDe = Q.uD (3)
sendo Q uma matriz de rotação 2x2 (treliça plana) ou 3x3 (treliça espacial) para transformar do sistema global (X,Y,Z) ao sistema local (xe,ye,ze).
ψ (+) R e y y , R e x x , R e x x x X, , 0, R e z z z Z, , 0, R e y y y Y, , 0, 0 C 0 O X 0 P u R u R e z z , C R C OR R P uD P R P uD P R x R u x 0 O X P0 u 0 u e e e
Os deslocamentos deformacionais uDe são utilizados para obter o vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente, conforme será comentado posteriormente.
2.1 Sistema de coordenadas
Os sistemas de coordenadas local (xe,ye,ze) na configuração atual C e global (x,y,z) se relacionam através da seguinte equação:
xe = Q.(x – u0) (4)
Esta relação expressa na equação acima pode ser visualizada através da Fig. 1, sendo u0 o vetor que representa o deslocamento do ponto O0 em C0 ao ponto O em C. A matriz de
rotação Q que aparece nas Eq. (3) e (4) pode ser definida, segundo Gere & Weaver (1981), no caso de treliça plana como:
Q = − y x y x C C C C (5)
Já no caso de treliça espacial, a matriz de rotação Q pode ser expressa, também segundo Gere & Weaver (1981) por:
Q = + + − + − + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 z x x z x z z x z y z x z x y x z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (6)
Deve-se ressaltar que a matriz Q apresentada na Eq. (6) é valida para todas as posições do elemento de barra no espaço, exceto quando o elemento está alinhado com o eixo Y, para o qual Cx = 0 e Cz = 0, e a matriz de rotação Q resulta em:
Q = − 1 0 0 0 0 0 0 y y C C (7)
sendo (Cx, Cy) no caso de treliça plana e (Cx, Cy, Cz) no caso de treliça espacial, os cosenos
diretores do elemento de barra na configuração atual C (direção do eixo local xe), em relação ao sistema global de coordenadas, conforme será comentado posteriormente.
Uma vez que a matriz Q é uma matriz ortogonal, ou seja QTQ = QQT = I, sendo I a matriz identidade, então a inversa da Eq. (4) pode ser escrita como:
3. DESLOCAMENTOS DEFORMACIONAIS
Nos passos seguintes, será apresentado a obtenção dos deslocamentos deformacionais em coordenadas locais, definido anteriormente na Eq. (3) por uDe. No caso de treliças planas, as coordenadas das partículas PR em CR e P em C são definidas pelas seguintes equações:
xR = + − = 0 0 . v u Y X C C C C y x x y y x R R = QTX + u0 (9) x = + + = v Y u X y x = X + u = IX + u (10)
A interpretação geométrica da Eq. (9) para o caso de uma treliça plana pode ser vista na Fig. (2). Nesta figura os cosenos diretores (Cx, Cy) do elemento de barra na configuração
atual C (direção do eixo local xe) são calculados em função do ângulo ψ entre os eixos locais
x0e e xe no sentido anti-horário, sendo designados respectivamente por (cosψ, senψ).
Figura 2 – Posição de uma partícula PR na configuração co-rotacionada CR
Lembrando que uD = x – xR, conforme definido na Eq. (2) e substituindo-se os valores de x e xR definidos respectivamente pelas Eq.(9) e (10), obtém-se:
uD = − − + − − − = − − = 0 0 . 1 1 v v u u Y X C C C C y y x x v u x y y x R R D D = (I – QT)X + u – u0 (11)
Por último, pode-se obter o deslocamento deformacional em relação às coordenadas locais através da transformação de coordenadas dada pela Eq. (3):
uDe = Q.uD = (Q – I)X + Q(u – u0) (12)
R e y y y Y, , 0, ψ (+) 0 u 0 P ψ sen . X ψ cos . Y ψ sen . Y ψ cos . X R e x x , R e y y , R P e x0 R y 0 v R O R C 0 C 0 O X Y R x e e
No caso de treliças espaciais, as coordenadas das partículas PR em CR e P em C são
definidas de forma análoga ao caso bidimensional pelas seguintes equações:
xR = + = 0 0 0 . w v u Z Y X z y x T R R R Q = QTX + u0 (13) x = + + + = w Z v Y u X z y x = X + u = IX + u (14)
Lembrando que uD = x – xR, conforme definido na Eq. (2) e substituindo-se os valores de x e xR definidos respectivamente pelas Eq.(13) e (14), obtém-se:
uD = = − − − = R R R D D D z z y y x x w v u (I – QT). − − − + 0 0 0 w w v v u u Z Y X = (I – QT)X + u – u0 (15)
sendo a matriz de rotação QT que aparece nas Eq. (13) e (15), definida pela transposta da matriz de rotação expressa na equação (6) ou (7), conforme a posição da barra em relação ao eixo global Y. Vale lembrar que o deslocamento deformacional em relação às coordenadas locais no caso tridimensional também pode ser expresso pela Eq. (12) definida para o caso bidimensional, bastando usar os vetores e matrizes correspondentes no espaço tridimensional. 3.1 Movimento deformacional em função dos deslocamentos nodais
Neste item, os deslocamentos deformacionais definidos anteriormente para um ponto genérico são particularizados para os nós das extremidades dos elementos de barra. No caso específico de treliças planas, as coordenadas nodais do elemento em C0 com relação aos eixos
locais são X2 = – X1 = ½ L0 e Y2 = Y1 = 0, sendo L0 o comprimento do elemento nesta
configuração. Os deslocamentos dos nós de extremidade podem ser então definidos por:
u =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − = = = 0 , 2 1 0 , 2 1 0 , 2 1 0 , 2 1 , , , , 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 L v L u L v L u Y X v Y X u Y X v Y X u v u v u 2 1 u u (16)De maneira similar, o movimento deformacional em função dos deslocamentos nodais pode ser expresso da seguinte forma:
uDe =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − = = = 0 , 2 1 0 , 2 1 0 , 2 1 0 , 2 1 , , , , 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 L v L u L v L u Y X v Y X u Y X v Y X u v u v u e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D 2 1 u u (17)Uma vez definida a Eq. (17), a Eq.(12) pode então ser re-escrita em função dos deslocamentos nodais: uDe = − − − + − − − − − − = y x y x x y y x x y y x e D e D e D e D C C C C L v v u u v v u u C C C C C C C C v u v u 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 2 2 1 1 (18)
Uma vez que o campo de deslocamentos do elemento é linear em X e em Y, o elemento permanece reto na configuração atual C e portanto se pode escrever que
u0 = ½ .(u1 + u2), v0 = ½ .(v1 + v2) (19)
O próximo passo é definir os valores dos cosenos diretores (Cx, Cy) em função dos
deslocamentos nodais, e em seguida achar o comprimento do elemento (L) na configuração atual, conforme apresentado na Fig. (3). Vale ressaltar que nesta dedução, a configuração inicial já não se encontra mais alinhada com os eixos globais.
Figura 3 – Movimento do elemento de barra no plano
Inicialmente é feito a rotação dos deslocamentos nodais em relação ao sistema de eixos locais na configuração inicial (x0e,y0e,z0e), definido em função do ângulo α:
u21rot = − = − − = 21 21 0 21 0 21 0 21 0 21 1 2 1 2 21 21 v u L X L Y L Y L X v v u u v u rot rot rot rot rot rot (20)
(
)
(
)
− = − = − = = − = = 1 2 21 1 2 21 0 1 2 0 21 0 1 2 0 21 sen cos v v v u u u L Y Y L Y L X X L X α α (21) L X Y rot v21 rot u2 rot o u L + 21 rot v2 e x e y ψ(+) rot u1 e o y e o x o L rot v1 αUma vez conhecido os deslocamentos nodais rotacionados, segundo a Eq. (20), é possível definir as demais variáveis cinemáticas envolvidas na formulação co-rotacional em função das relações geométricas apresentadas na Fig. (3):
Cx = cosψ = L u L0 + 21rot ; L v C rot y 21 sen = = ψ (22)
(
) ( )
21 2 2 21 0 rot rot v u L L= + + (23) Nas próximas seções, serão obtidos o vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente dos elementos através das derivadas primeira e segunda do funcional da energia de deformação respectivamente. Assim, será calculado a derivada primeira de L em relação aos deslocamentos nodais u, de modo que:cosψ 1 2 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ u L u L , senψ 1 2 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ v L v L (24)
cuja forma vetorial se expressa como
− − = ∂ ∂ ψ ψ ψ ψ sen cos sen cos u L (25)
Utilizando as Eq. (22), (23) e (24) e a relação sen2ψ + cos2ψ = 1, pode-se obter a derivada segunda de L em relação aos deslocamentos nodais u:
− − − − − − − − = ∂ ∂ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen sen 1 L L u (26)
O procedimento utilizado para o caso bidimensional pode também ser estendido de forma análoga para o caso de uma treliça espacial, na qual as coordenadas nodais do elemento em C0
com relação aos eixos locais são X2 = – X1 = ½ L0, Y2 = Y1 = 0 e Z1 = Z2 = 0 sendo L0 o
comprimento do elemento nesta configuração. Os deslocamentos dos nós de extremidade podem ser então definidos por:
u =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − − = = = 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L w L v L u L w L v L u Z Y X w Z Y X v Z Y X u Z Y X w Z Y X v Z Y X u w v u w v u u u (27)De maneira similar, o movimento deformacional em função dos deslocamentos nodais pode ser expresso da seguinte forma para o caso tridimensional:
uDe =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − − = = = 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 0 , 0 , 2 1 , , , , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L w L v L u L w L v L u Z Y X w Z Y X v Z Y X u Z Y X w Z Y X v Z Y X u w v u w v u e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D e D u u (28)Uma vez definida a Eq. (28), a Eq.(12) pode então ser re-escrita para o caso tridimensional em função dos deslocamentos nodais:
uDe = − − + − − − − − − = 2 2 2 1 1 1 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 1 Z Y X Z Y X w w v v u u w w v v u u w v u w v u e D e D e D e D e D e D I Q 0 0 I Q Q 0 0 Q 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3 (29)
sendo Q3x3 a matriz de rotação dada pela Eq.(6) ou (7) conforme a posição do elemento de
barra, 03x3 uma matriz quadrada nula de ordem 3 e I a matriz identidade de ordem 3. Uma vez
que o campo de deslocamentos do elemento é linear em X, Y e Z o elemento permanece reto na configuração atual C e portanto se pode escrever que
u0 = ½ .(u1 + u2), v0 = ½ .(v1 + v2), w0 = ½ .(w1 + w2) (30)
O próximo passo é definir os valores dos cosenos diretores (Cx, Cy, Cz) em função dos
deslocamentos nodais, e em seguida achar o comprimento do elemento (L) na configuração atual, lembrando que nesta dedução, a configuração inicial já não se encontra mais alinhada com os eixos globais. Assim como no caso bidimensional, inicialmente é feito a rotação dos deslocamentos nodais em relação ao sistema de eixos locais definidos na configuração inicial, ou seja, (x0e,y0e,z0e): u21rot = = − − − = 21 21 21 1 2 1 2 1 2 21 21 21 w v u w w v v u u w v u rot rot rot rot rot rot rot rot rot Q (31)
sendo Q a matriz de rotação definida pela Eq. (6) ou (7), com os seguintes cosenos diretores:
(
)
(
)
(
)
− = = − = = − = = 0 1 2 0 21 0 1 2 0 21 0 1 2 0 21 L Z Z L Z C L Y Y L Y C L X X L X C rot z rot y rot x (32)Uma vez conhecido os deslocamentos nodais rotacionados, segundo a Eq. (31), é possível definir as demais variáveis cinemáticas envolvidas na formulação co-rotacional de elementos de treliças espaciais em função de relações geométricas análogas às apresentadas para o caso bidimensional na Fig. (3): Cx = L u L0 + 21rot ; L v C rot y 21 = ; L w C rot z 21 = (33)
(
) ( ) ( )
21 2 2 21 2 21 0 rot rot rot w v u L L= + + + (34) Nas próximas seções, serão obtidos o vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente dos elementos através das derivadas primeira e segunda do funcional da energia de deformação respectivamente. Assim, será calculado a derivada primeira de L em relação aos deslocamentos nodais u, utilizando-se as Eq. (33) e (34) de modo que:Cx u L u L = ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1 2 , Cy v L v L = ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1 2 , Cz w L w L = ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1 2 (35)
cuja forma vetorial se expressa como
− − − = ∂ ∂ z y x z y x C C C C C C L u (36)
Utilizando as Eq. (33), (34) e (35) e a relação Cx2+ Cy2+ Cz2 = 1, pode-se obter a derivada
segunda de L em relação aos deslocamentos nodais u:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ − − + − − + − + − − − + + − + − + − − + − − + − + − − − + = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y x z y z x y x z y z x z y z x y x z y z x y x z x y x z y z x y x z y y x z y z x y x z y z x z y z x y x z y z x y x z x y x z y z x y x z y C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C L L u (37) 4. ENERGIA DE DEFORMAÇÃOAdmitindo uma relação linear entre o par conjugado de tensão e deformação, pode-se descrever a seguinte relação entre tensões e deformações nas configurações inicial e atual: σX= E.εX em C0 (38)
sendo E o módulo de elasticidade longitudinal do material. Considerando-se esta hipótese e definindo a área da seção transversal dos elementos em C0 e C como sendo respectivamente A0 e A, a energia de deformação de um elemento de treliça nas configurações inicial e atual podem ser definidas da seguinte forma:
U0 =
∫
0 0 2 0 . 2 1 L e X dX EAε em C0 (40) U =∫
L e x dx EA 0 2 . 2 1 ε em C (41)No presente trabalho, foram utilizadas quatro medidas distintas de deformação, sendo duas delas descritas em coordenadas materiais (deformação de engenharia e Green-Lagrange) e duas em coordenadas espaciais (Biot e Almansi), sendo expressas respectivamente pelas seguintes equações:
( )
(
)
− = − = − = − = − = − = − = − = − − 2 2 2 0 2 1 0 2 2 0 2 0 2 0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 λ ε λ ε λ ε λ ε L L L L L L L L L L L L almansi x biot x green X eng X (42)4.1 Vetor de forças internas
O vetor de forças internas descrito em coordenadas materiais pode ser obtido através da primeira derivada do funcional da energia de deformação em relação aos deslocamentos nodais, de modo que, derivando a Eq. (40) se obtém a seguinte expressão:
∫
∫
∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 ˆ L L e X X e X X dX EA dX EA U u u u fe ε ε ε ε (43)Já o vetor de forças internas descrito em coordenadas espaciais pode ser obtido de forma análoga ao anterior, derivando a Eq. (41) em relação aos deslocamentos nodais
∫
∫
∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = L L x e x e x x dx EA dx EA U 0 0 2 2 1 u u u fe ε ε ε ε (44)O esforço axial nos elementos de treliça nas configurações inicial e atual podem ser definidos respectivamente da seguinte forma:
Levando-se em conta a Eq. (25) para o caso bidimensional ou Eq. (36) para o caso tridimensional, além das Eq. (42) e (45) e efetuando a integração das Eq. (43) e (44), se chega às expressões do vetor de forças internas em coordenadas materiais e espaciais dados respectivamente por: u fe ∂ ∂ = N0 0 L ˆ β , u fe ∂ ∂ = Nβ L, ⇒ = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − Almansi Biot Lagrange Green engenharia def 2 0 1 0 0 0 1 . λ β λ β λ β β (46)
sendo os coeficientes β0 e β resultantes da integração das Eq. (43) e (44), em função das
diferentes medidas de deformação. É importante ressaltar que no item 2 foi suposto que o sistema de eixos locais do elemento na configuração inicial C0 esta alinhado com os sistemas
de eixos globais material e espacial. Em uma formulação mais geral, se supõe que existe uma certa inclinação entre estes sistemas de eixos e portanto se deve escrever o vetor de forças internas em coordenadas materiais e espaciais, em relação ao sistema de eixos globais através da seguinte relação: fˆge =RTfˆe, fge =RTfe (47) = T T T Q 0 0 Q R (48)
onde RT é a matriz de rotação que transforma do sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global, 0 é uma matriz nula e QT, a transposta da matriz Q, expressa na Eq. (5) para o caso bidimensional ou Eq. (6) e (7) para o caso tridimensional, com os cosenos diretores definidos nas Eq. (21) ou (32), conforme se trate de treliça plana ou de treliça espacial respectivamente.
4.2 Matriz de rigidez tangente
A matriz de rigidez tangente em relação às coordenadas materiais pode ser obtida pelo cálculo da segunda derivada do funcional da energia de deformação definida em C0 com
relação aos deslocamentos nodais;
e L X X T X X dX EA U
∫
∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = 0 0 2 2 0 2 0 2 ˆ u u u u Ke ε ε ε ε (49)Levando-se em conta as Eq. (25) e (26) para o caso bidimensional ou Eq. (36) e (37) para o caso tridimensional, além das Eq. (42) e (45) e efetuando a integração da Eq. (49), se chega à expressão da matriz de rigidez tangente em coordenadas materiais:
2 2 0 0 0 0 0 ˆ u u u Ke ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = L L N L L EA T β α
(
)
− ⇒ − = ⇒ = . 2 / 1 3 1 2 0 0 Lagr Green engenharia λ α α (50)Procedendo de forma análoga, a matriz de rigidez tangente em coordenadas espaciais pode ser obtida pela segunda derivada do funcional da energia de deformação definida em C:
e L x x T x x dx EA U
∫
∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = 0 2 2 2 2 u u u u Ke ε ε ε ε (51)Levando-se em conta as Eq. (25) e (26) para o caso bidimensional ou Eq. (36) e (37) para o caso tridimensional, além das Eq. (42) e (45) e efetuando a integração da Eq. (51), se chega à expressão da matriz de rigidez tangente em coordenadas espaciais:
2 2 u u u Ke ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = L L N L L EA T β α
(
)
⇒ − = ⇒ − = − − − − Almansi Biot 2 / 3 5 2 3 2 4 1 2 λ λ α λ λ α (52)Conforme comentado anteriormente para o vetor de forças internas, é necessário transformar do sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global através da seguinte operação: Kˆeg =RTKˆeR, K R K R e T e g = (53)
sendo RT a matriz de rotação definida na Eq. (48). 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS
Neste item, são analisadas duas estruturas constituídas por elementos de treliça, sendo uma no plano e a outra espacial, segundo a formulação co-rotacional comentada nos itens anteriores, bem como pela formulação lagrangiana total descrita em Crisfield (1991). As trajetórias de equilíbrio são obtidas utilizando-se o método de comprimento de arco cilíndrico combinado com Newton-Raphson, também descrito por Crisfield (1991).
5.1 Estrutura articulada 2D não simétrica
A primeira estrutura analisada corresponde a uma cobertura articulada plana, abatida e não simétrica, cujas características geométricas são apresentadas na Fig. (4). Esta estrutura foi estudada por Powel & Simons (1981) e apresenta 18 nós e 33 elementos de barra, com rigidez axial EA = 9.0 x 106 e sendo submetida à 3 cargas nodais P de igual magnitude.
P P P 35.0 45.0 9.445 Nó 9
Na Fig. (5), são apresentadas as trajetórias de equilíbrio não linear para a direção vertical do nó central da estrutura, representado na Fig. (4) com o número 9, utilizando-se as deformações de engenharia e Biot. Pode-se constatar que quando se adota a mesma medida de deformação para as duas formulações (co-rotacional e lagrangiana total), as trajetórias de equilíbrio coincidem, porém, no caso de deformações medianas as respostas são discrepantes quando se adota distintas medidas de deformações.
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 -20 -15 -10 -5 0
Deslocam ento Vertical - Nó 9
Carga
engenharia biot
Figura 5 – Trajetória não linear de equilíbrio para estrutura articulada 2D
Conforme se pode ver na Fig. (5), a trajetória de equilíbrio apresenta pontos limites (tangente horizontal) e turning points (tangente vertical). Para detectar os pontos limites e
turning points foi calculado o parâmetro de rigidez CST- current stiffness parameter, segundo
Crisfield (1991), que se anula quando um destes tipos de pontos é alcançado. Nas Fig. (6a) e (6c), o CST é mostrado em função do deslocamento vertical do nó central e do número de passos de carga, respectivamente. Através destas figuras constata-se que o CST se anula 6 vezes, sendo 4 correspondentes a pontos limites e 2 referentes a turning points.
Figura 6 – CST e função sinal para a estrutura articulada 2D
-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 -20 -15 -10 -5 0 Deslocamento Vertical - Nó 9 CST -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -20 -15 -10 -5 0 Deslocamento Vertical - Nó 9 Função Sign -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 10 20 30 40 50 Passos de Carga CST -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 10 20 30 40 50 Passos de Carga Função Sign a) b) c) d)
Uma outra forma de detectar pontos críticos (pontos limites e pontos de bifurcação) é através da chamada função sinal (sign) que toma o valor +1 se o número de pivots negativos da matriz de rigidez tangente triangularizada é igual entre os passos n–1 e n e toma o valor –1 quando o número de pivots é diferente entre os passos n–1 e n. Nas Fig. (6b) e (6d), a função sinal é mostrada em função do deslocamento vertical do nó central e do número de passos de carga, respectivamente. Através destas figuras constata-se que a função sign troca de sinal 4 vezes, correspondendo aos 4 pontos limites. Vale ressaltar que esta função não detecta
turning points uma vez que estes tipos de pontos não são considerados pontos críticos.
5.2 Estrutura articulada 3D em forma de cúpula
A segunda estrutura analisada corresponde a uma cúpula articulada espacial, cujas características geométricas são apresentadas na Fig. (7). Esta estrutura foi estudada por Cortivo (2002) e apresenta 25 nós e 60 elementos de barra, com rigidez axial EA = 1.0 x 104 e sendo submetida à 7 cargas nodais verticais P de igual magnitude aplicadas respectivamente dos nós 1 ao 7. Esta estrutura apresenta 6 nós restringidos nas direções x, y e z, sendo estes nós representados na vista em planta da estrutura por círculos hachuriados.
P x y x z 1 2 3 4 5 6 7 25 50 50 50
Vista em Planta Vista em Corte
P P 2.0 6.22 12.33 14.16
Figura 7 – Estrutura articulada 3D em forma de cúpula
Na Fig. (8), são apresentadas as trajetórias de equilíbrio não linear para a direção vertical do nó central da estrutura, representado na Fig. (7) com o número 1, utilizando-se as deformações de Green-Lagrange e Almansi. Pode-se constatar que quando se adota a mesma medida de deformação para as duas formulações (co-rotacional e lagrangiana total), as trajetórias de equilíbrio coincidem, porém, no caso de deformações medianas as respostas são discrepantes quando se adota distintas medidas de deformações.
Conforme se pode ver na Fig. (8), a trajetória de equilíbrio apresenta pontos limites (tangente horizontal) e turning points (tangente vertical). Conforme comentado na seção anterior, para detectar os pontos limites e turning points foi calculado o parâmetro de rigidez CST- current stiffness parameter, segundo Crisfield (1991), que se anula quando um destes tipos de pontos é alcançado. Nas Fig. (9a) e (9c), o CST é mostrado em função do deslocamento vertical do nó central e do número de passos de carga, respectivamente. Através destas figuras constata-se que o CST se anula 10 vezes, sendo 8 correspondentes a pontos limites e 2 referentes a turning points.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -60 -40 -20 0
Deslocam ento Vertical - Nó 1
Carga
green almansi
Figura 8 – Trajetória não linear de equilíbrio para estrutura articulada 3D
Uma outra forma de detectar pontos críticos (pontos limites e pontos de bifurcação) é através da chamada função sinal (sign) que toma o valor +1 se o número de pivots negativos da matriz de rigidez tangente triangularizada é igual entre os passos n–1 e n e toma o valor –1 quando o número de pivots é diferente entre os passos n–1 e n. Nas Fig. (9b) e (9d), a função sinal é mostrada em função do deslocamento vertical do nó central e do número de passos de carga, respectivamente. Através destas figuras constata-se que a função sign troca de sinal 28 vezes, correspondendo aos 8 pontos limites e as demais 20 referentes a pontos de bifurcação.
Novamente, vale ressaltar que esta função não detecta turning points uma vez que estes tipos de pontos não são considerados pontos críticos e que no presente trabalho não serão obtidas as trajetórias secundárias, restringindo-nos somente às trajetórias primárias.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Deslocamento Vertical - Nó 1 CST -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Deslocamento Vertical - Nó 1 Função Sign -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 40 80 120 160 Passos de Carga CST -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 40 80 120 160 Passos de Carga Função Sign a) b) c) d)
6. CONCLUSÕES
O presente trabalho teve como objetivo enfatizar os conceitos básicos da chamada formulação co-rotacional, baseada na decomposição dos deslocamentos em deslocamentos deformacionais e de corpo rígido, para o caso especifico de barras bi-articuladas no plano ou no espaço.
Baseado nos exemplos analisados, pode-se constatar que no caso de deformações infinitesimais, a configuração inicial e atual se confundem e portanto, se obtém unicidade na resposta estrutural, independente do tipo de deformação utilizado, porém para o regime de deformações finitas, ao se adotar uma relação linear entre o par conjugado de deformação e tensão, não se obtém unicidade na resposta, implicando na utilização de materiais diferentes. Para se obter unicidade na resposta neste caso, seria necessário fazer uso de transformações tensoriais que fazem o mapeamento do tensor constitutivo entre as configurações inicial e atual. Para o caso de se adotar o mesmo tipo de deformação para as diferentes formulações (lagrangiana total e co-rotacional), as trajetórias de equilíbrio são coincidentes.
Observou-se também que o parâmetro de rigidez CST – current stiffness parameter, realmente detectou com precisão os pontos limites e turning points. O mesmo pode ser dito em relação à função sinal (sign) que demostrou a mudança no número de pivots negativos na matriz de rigidez tangente triangularizada, na ocorrência de pontos críticos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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