1. Se 20% das bobinas de um determinado cabo eléctrico forem defeituosas, a probabilidade de, entre as 4 bobinas necessárias a um determinado cliente, escolhidas ao acaso uma ser defeituosa, pode ser representada por 𝑃(𝑘 = 2) = (4𝑘) ∙ 0,2𝑘∙ 0,84−𝑘 C
2. Sabe-se que o percentual de incidência de determinada doença é de 2% entre os indivíduos de uma cidade interiorana. Pode-se afirmar com certeza que a probabilidade de menos do que 2 pessoas apresentarem essa doença num grupo de 10.000 moradores é dada por
𝑃 = [ 1 − (10.000𝑘 ) ∙ 0,02𝑘∙ 0,0810.000−𝑘]. E
3. No lance de um dado viciado de tal forma que a probabilidade de sorteio de face ímpar seja igual ao dobro da de sortear face par, a probabilidade de, ao se jogar esse dado uma vez, aparecer a face 4 2 vezes é dada por 𝑃 = (62) ∙ (1
9) 2∙ (2
9)
6−2 E
4. (Distrib. Exp.) O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperadoigual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no instante t=0 horas. Sendo desta maneira, a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas é de 26,36%. C
5. (Normal) Considere que o comprimento médio de determinado fio condutor é 120cm , com desvio padrão 0,5cm. A percentagem de fio com comprimento superior a 121 é de 2,28%. C
Numa praia existe um serviço de aluguel de barcos, destinado aos turistas que a frequentam. O número de turistas que procuram este serviço, por hora, está associado a uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Verificou-se que, em média, em cada hora, esse serviço é procurado por 8 turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse serviço funciona ininterruptamente das 8 às 20 horas.
6. A probabilidade de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5 barcos é de 215/(5! 2,718). C
(Cabeçalho para os exercícios 7 a 11) O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro 2. Nas atuais condições, o cais da refinaria pode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia. Atingido este número, os restantes que eventualmente apareçam deverão seguir para outro porto. Utilize o anexo com tabelas (no final desse caderno) caso necessite.
7. O número esperado de petroleiros a chegarem por dia é dado por E(x) = 2 C
8. As instalações deveriam ser aumentadas de 6 petroleiros/dia de forma a assegurar cais a todos os petroleiros em 99,99% dos dias. C
9. O número mais provável de petroleiros a chegarem por dia é dado pela comparação entre valores de k de zero a três na expressão 𝑃(𝑋 = 𝑘) =𝑒−𝐸(𝑋)∙𝐸(𝑋)𝑘
𝑘! e observado o maior valor. C
10. O número mais provável de petroleiros a chegarem por dia é dado pela comparação entre valores de k de zero a três na expressão 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 1 −𝑒−𝐸(𝑋)∙𝐸(𝑋)𝑘
11. O número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente atende a uma distribuição X ~𝑃𝑜(𝜆) e é numericamente dada pela expressão ∑3𝑖=0𝑘𝑖∙ 𝑃𝑜(𝜆)𝑖 em que 𝑃𝑜(𝜆)𝑖=
𝑒−𝜆∙𝜆𝑘𝑖
𝑘𝑖! e 𝜆 é a
média da distribuição. C
12. Não é errado afirmar que o número esperado de petroleiros que não são atendidos pode ser dado por E(X-Y) onde E(x) é a expectância da distribuição e E(Y) é o valor esperado do número de petroleiros que são atendidos no porto em questão. C
13. Sabe-se que a ocorrência de determinada anomalia genética numa população de 300 habitantes ocorre à razão de 20‰. Supondo X~B(n,p), a variável aleatória da distribuição que melhor representa tal evento. Tem-se ‘n’ o número total de habitantes e ‘p’ a razão de ocorrência do evento de interesse. Pode-se afirmar que a probabilidade de se encontrar exatos 4 indivíduos nesse grupo que apresentem tal anomalia é aproximadamente 0,135. C(OBS.: ‘n’ grande)
(Texto para os 3 exercícios seguintes) Os serviços Estatais de Eletricidade de Neverland debitam mensalmente aos seus clientes um consumo teórico X de energia elétrica calculado de tal modo que a probabilidade de o consumo efetivo o exceder seja de 30,85%. Suponha que o consumo seja uma variável aleatória Normalmente distribuída e definida por X~𝑁(𝜇; 𝜎2), onde a média é de 400 kWh e desvio-padrão 40 kWh.
14. Qual o consumo teórico que lhe é mensalmente debitado? a) 440,8 KWh
b) 430,5 KWh
c) 420,0 KWh d) 410,8 KWh
e) 400,0 KWh
15. A distribuição do consumo efetivo durante 3 meses é corretamente representada por: a) 𝑁(1260; 9 ∙ 402)
b) 𝑁(1200; 9 ∙ 402) c) 𝑁(1260; 3 ∙ 402)
d) 𝑁(1200; 3 ∙ 402)
e) " … 𝑎𝑐ℎ𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑎 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑜 … "
16. Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teórico exceda o efetivo em mais de 100 kwh é: a) 0,2190 b) 0,2810 c) 0,333 d) 0,666 e) 0,3085
17. A companhia de tabacos ‘Mary Juana’ recebeu um elevado número de queixas quanto à qualidade dos cigarros da marca ‘Brisa’ que comercializa em maços de 20 unidades. Numa rápida análise às condições de produção, constata-se que 1% dos filtros que compõem o cigarro saem defeituosos. Nestas condições, determine:
a) a probabilidade de um maço conter 1 cigarro com filtro defeituoso; b) a probabilidade de um maço conter 0 cigarro com filtro defeituoso; c) a probabilidade de um maço mais do que 1 cigarro com filtro defeituoso.
18. O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. Normal com média µ e variância σ2 . Uma peça é defeituosa se o seu comprimento diferir do valor médio mais do que σ. Sabemos
que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 0,25 mm e 47,5% têm comprimento entre 0,25mm e 0,642mm.
a) Calcule a média e o desvio-padrão do comprimento das peças. 0,2 b) Determine a probabilidade de uma peça não ser defeituosa.
19. (Stevenson – Cap. 7) Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada (Média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Que percentagem de baterias acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias?
20. (Stevenson – Cap. 7) Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada (Média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias?
21. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 5000 lâmpadas UV cuja vida média é de 1000h e desvio padrão de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar que, aproximadamente, 9,87% das lâmpadas estarão compreendidas no intervalo entre 992h e a média. C
22. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 5000 lâmpadas UV. A fim de se verificar acerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1000h. Sabe-se que o desvio padrão de toda a produção é de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar que, aproximadamente, 68,26% das lâmpadas estarão compreendidas no intervalo entre 992h e a média. C
23. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 5000 lâmpadas UV. A fim de se verificar a cerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1013,6h. Sabe-se que o desvio padrão de toda a produção é de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar com 95% de certeza que a média amostral não é diferente de 1000h. C
24. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 5000 lâmpadas UV. A fim de se verificar a cerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1013,6h. Sabe-se que o desvio padrão de toda a produção é de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar com 90% de certeza que a média amostral não é diferente de 1000h. E
25. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 120 lâmpadas UV. A fim de se verificar a cerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1018,0h. Sabe-se que o desvio padrão de toda a produção é de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar com 2,5% de significância que a média amostral não é diferente de 1000h. C
26. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 256 lâmpadas UV. A fim de se verificar a cerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1018,0h. Sabe-se que o desvio padrão de toda a produção é de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar com 2,5% de significância que a média amostral não é diferente de 1000h. E
27. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) Uma população normal e de tamanho infinito apresenta uma média μ e variância populacional igual a 0,81. Pretende-se obter, a partir de uma amostra aleatória de tamanho 144 dessa população, um intervalo de confiança de 95% para μ. Considerando na distribuição normal padrão (Z) as probabilidades P(z > 1,96) = 0,025 e P(z > 1,64)
(A) 0,246. (B) 0,264.
(C) 0,294. (D) 1,764.
(E) 3,528.
28. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) Uma amostra aleatória de 9 elementos foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com media μ e variância desconhecida. O desvio padrão da amostra apresentou o valor de 1,25 e o intervalo de confiança de (1 − α) para μ: [14, 16] foi obtido com base nesta amostra. Sabe-se que para obtenção deste intervalo utilizou-se a
distribuição t de Student com os correspondentes graus de liberdade, em que a probabilidade P (− T≤ t ≤ T) = (1 − α). Se T > 0, então o valor de T e (A) 2,4. (B) 2,7. (C) 3,0. (D) 3,6. (E) 4,2.
29. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) O intervalo de confiança [48,975; 51,025], com um nível de confiança de 96%, corresponde a um intervalo para a media μ’ de uma população normalmente distribuída, tamanho infinito e variância populacional igual a 16. Este intervalo foi obtido com base em uma amostra aleatória de tamanho 64. Deseja-se obter um intervalo de confiança de 96% para a media μ’’ de uma outra população normalmente distribuída, tamanho infinito e variância populacional igual a 64. Uma amostra aleatória desta população de tamanho 400 fornecerá um intervalo de confiança com amplitude igual a
(A) 0,82. (B) 1,64.
(C) 3,28. (D) 3,60.
(E) 4,10.
30. (FCC/ICMS-SP/Fiscal de Rendas/2009) Em uma pesquisa de tributos de competência estadual, em 2008, realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma população considerada de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95,5% para a estimativa dessa proporção. Considerando normal a distribuição amostral da frequência relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuição normal padrão a probabilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, o intervalo é (A) [0,78; 0,82] (B) [0,76; 0,84] (C) [0,74; 0,86] (D) [0,72; 0,88] (E) [0,70; 0,90]
31. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud./2011) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P (Z < 0,28) = 0,61; P (Z < 1,28) = 0,9; P (Z < 1,5) = 0,933; P (Z < 1,96) = 0,975; P (Z < 2) = 0,977. A proporção p dos funcionários do sexo feminino de um órgão público e de 20%. Colheu-se uma amostra aleatória simples (AAS) com reposição de 64 funcionários desse órgão e calculou-se a proporção amostral, p, de funcionários do sexo feminino na amostra. Fazendo-se uso da aproximação pela normal para a distribuição de p, a probabilidade de que essa proporção difira de p em menos do que 10% e (A) 0,875.
(B) 0,895.
(C) 0,912. (D) 0,944.
(E) 0,954.
32. (FCC/TRT 23a Região/Analista Jud.-Estatística/2011) Considere uma variável aleatória com distribuição Normal de media μ≠0 e desvio padrão σ≠0, da qual se obtém uma amostra aleatória simples de tamanho n, e as afirmativas:
I. O intervalo de confiança de 90% para a media populacional independe do tamanho da amostra. II. Em um intervalo de confiança de 99% para a media populacional, espera-se que, extraindo todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo contenha μ 99% das vezes. III. a media amostral e uma variável aleatória com distribuição Normal com media μ e variância σ2/n. E correto afirmar que:
(A) apenas I está correta. (B) apenas II está correta. (C) apenas III está correta.
(D) apenas I e II estão corretas. (E) apenas II e III estão correta.
33. (Macetes Para Concursos) Num determinado ano foram produzidas 5000 lâmpadas UV. A fim de se verificar acerca de sua durabilidade, extraiu-se uma amostra de 16 dessas lâmpadas, obtendo-se uma média de 1000h e desvio padrão de 32h. Assim, sendo o tempo médio de vida de uma lâmpada descrito por uma variável aleatória do tipo normal, pode-se afirmar que, aproximadamente, 68,26% das lâmpadas possuem valores menores ou iguais a 1.013,6h. C
34. (FCC/TRT 23a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) A população correspondente aos salários dos empregados de um determinado ramo de atividade e considerada normal, de tamanho infinito e desvio padrão populacional igual a R$ 400,00. Uma amostra aleatória de tamanho 100 e extraída desta população obtendo-se uma média igual a R$ 2.050,00. Com base nesta amostra, deseja-se testar a hipótese se a media μ da população e igual a R$ 2.000,00, a um nível de significância de 5%. Foram formuladas as hipóteses Ho: μ = R$ 2.000,00 (hipótese nula) e H1: μ ≠ R$ 2.000,00 (hipótese alternativa). Para a tomada de decisão, o valor do escore reduzido, utilizado para comparação com o valor z da distribuição normal padrão (Z) tal que a probabilidade P (|Z| > z) = 5%, é (A) 2,50. (B) 2,25. (C) 2,00. (D) 1,75. (E) 1,25.
35. (FCC/ICMS-SP/Fiscal de Rendas/2009) O gerente de uma indústria de determinado componente eletrônico garante que a vida média do produto fabricado e igual a 100 horas. Um comprador desta indústria decide testar a afirmação do gerente e faz um teste estatístico formulando as hipóteses H0:
μ = 100 e H1: μ < 100, sendo que H0 e a hipótese nula, H1 e a hipótese alternativa e μ é a média da
população considerada de tamanho infinito com uma distribuição normal. O desvio padrão populacional e igual a 10 horas e utilizou-se a informação da distribuição normal padrão (Z), segundo a qual a probabilidade P(Z ≥ 1,64) = 5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64
componentes em um nível de significância de 5%. Então, o valor da média amostral foi, em horas, no máximo, (A) 94,75 (B) 95,00 (C) 96,00 (D) 96,50 (E) 97,95
36. (FCC TRT 1a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) Considere que os salários de todos os 530 empregados de uma empresa sejam normalmente distribuídos com uma média μ e um desvio padrão populacional igual a R$ 149,50. Uma amostra aleatória de 169 destes salários (sem reposição) apresentou uma média de X reais. Com base no resultado da amostra, deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância de 5%, se μ é superior a R$ 2.000,00 sendo formuladas as hipóteses Ho: μ = R$ 2.000,00 (hipótese nula) e H1: μ >R$ 2.000,00 (hipótese alternativa). Sabe-se que Ho não foi
rejeitada considerando a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P (z >1,64) = 0,05. O valor de X é, no máximo, (A) R$ 2.037,72. (B) R$ 2.031,16. (C) R$ 2.018,86. (D) R$ 2.015,58. (E) R$ 2.007,79.
37. (FCC/TRT 3a Região/Analista Judiciário/2009) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z > 1,64) = 0,05, P(Z > 2) = 0,02, P(0 < Z < 2,4) = 0,49, P(0 < Z < 0,68) = 0,25
Se t tem distribuição de Student com 3 graus de liberdade P(t > 1,638) = 0,10 Se t tem distribuição de Student com 4 graus de liberdade P(t > 1,533) = 0,10
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média
µ
e desvio padrão σ desconhecido. Desejando-se testar H0 :µ
= 2 contra H1 :µ
> 2 tomou-se uma amostra aleatória de 4 observaçõesque forneceu os valores: 4, 2, 2 e 2. A um nível de significância de 10%, no teste mais poderoso, a hipótese H será rejeitada se a estatística media amostral 𝑋̅, apropriada ao teste, for maior ou igual a a) 2,819
b) 2,767
c) 2,673 d) 2,541
38. (FCC/ICMS-SP/Fiscal de Rendas/2009) Seja X uma variável aleatória representando o valor arrecadado de um determinado tributo. Suponha que X tem distribuição normal (população de tamanho infinito) com media μ e desvio padrão de 500 reais. Desejando-se testar H0 : μ = 1.000 reais
(hipótese nula) H1 : μ ≠ 1.000 reais (hipótese alternativa) tomou-se uma amostra aleatória de 400
valores de X, obtendo-se para a media amostral o valor de 1.060 reais. Seja α o nível de significância do teste e suponha que a região de rejeição de H0 e {|Z| > Za/2}, onde Za/2 representa o escore da
curva normal padrão tal que P(|Z| > Z a/2) = α. Tem-se que:
(A) Se H0 foi rejeitada, existe um nível de significância β (β > α) tal que H0 não seria rejeitada.
(B) Para qualquer nível de significância α, H0 será rejeitada, uma vez que 1.060 ≠ 1.000.
(C) H0 não será rejeitada para Za/2 < 3.
(D) H0 será rejeitada para Za/2 = 2.
(E) Para Za/2 > 2 , H0 nao será rejeitada.
39. (BACEN – 2010) Em um estudo sobre a economia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para estimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de 95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$ 50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$ 400,00. Sabendo-se que z ~ N[0, 1] e que ∫01,96f (z)dz = 0,4750, onde f(z) é a função de densidade de probabilidade de z, pode-se concluir que o número de pessoas da amostra será
a) 321 b) 308
c) 296 d) 271
e) 246
40. (BACEN – CESGRANRIO - 2010) De uma população infinita X, com distribuição normal, com média µ e variância 9, extraiu-se, aleatoriamente, a seguinte amostra de 4 elementos: {x: 1,2; 3,4; 0,6; 5,6}. Com base no estimador de máxima verossimilhança de, para um grau de significância de , estimou-se o intervalo de confiança para a média em [−0,24; 5,64]. Da mesma população, extraiu-estimou-se uma amostra 100 vezes maior que a anterior e verificou-se que, para essa nova amostra, a estimativa da média amostral era igual à obtida com a primeira amostra. Com o mesmo grau de significância , o intervalo de confiança estimado, com base na nova amostra, foi
a) [2,406; 2,938] b) [2,406; 2,994]
c) [2,435; 2,965] d) [2,462; 2,938]
e) [2,462; 2,965]
41. (BACEN – CESGRANRIO - 2010) Sejam duas variáveis aleatórias X e Y com variâncias finitas e não zero. O coeficiente de correlação entre essas duas variáveis é,
𝜌 =𝐶𝑜𝑣(𝑋; 𝑌) 𝜎𝑋∙ 𝜎𝑌
onde
𝜌 = coeficiente de correlação entre X e Y; cov(X, Y) = covariância entre X e Y;
𝜎𝑋 e 𝜎𝑌 são, respectivamente, desvio padrão de X e desvio padrão de Y.
Considerando essas informações, analise as proposições a seguir. I – Se a e b são constantes, 𝐶𝑜𝑣(𝑋; 𝑌) = 1 2𝑎𝑏{𝑣𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) − [𝑎 2𝑣𝑎𝑟𝑋 + 𝑏2𝑣𝑎𝑟𝑌]}. II – Se 𝜌 = −1, (𝑋 𝜎𝑋+ 𝑌
𝜎𝑌) torna-se não estocástica.
III – Se cov(X,Y) = 0, então 𝜌 = 0 e, X e Y são estocasticamente independentes. É(São) correta(s) APENAS a(s) proposição(ões)
(A) I. (B) II
(C) I e II. (D) I e III.
42. (BACEN – CESGRANRIO - 2010) Com relação a um teste simples de hipótese, assinale a afirmativa correta.
a) Um teste bicaudal de nível de significância rejeita a hipótese nula H0: µ = µ0 precisamente quando
µ0 está fora do intervalo de confiança de nível (1−) para µ.
b) A hipótese nula a ser testada deve ser construída com muita atenção porquanto é o objeto da inferência estatística, enquanto que a hipótese alternativa só precisa ser contrária à hipótese nula. c) Se o grau de significância do teste é , significa que (1−) é a probabilidade de se cometer erro do tipo I.
d) Na definição de um teste, deve-se levar em conta que quanto menor o grau de significância do teste (), maior será o poder do teste (𝜋), uma vez que ( + 𝜋) = 1.
e) Erro do tipo II, embora definido para uma hipótese alternativa específica, ocorrerá sempre com probabilidade igual ao poder do teste.
43. (BACEN – CESGRANRIO - 2010)
Analisando a tabela ANOVA acima, considere as conclusões a seguir.
I - A análise de variância (ANOVA) testa se várias populações têm a mesma média; para tanto, são comparadas a dispersão das médias amostrais e a variação existente dentro das amostras.
II - ANOVA da tabela indica que: H0: µ1= µ2= µ3
Ha: as médias das três populações são diferentes.
III - A estatística F, calculada com a informação da tabela acima, é 2,651 e deve ser comparada com valor tabelado de F(2, 29) para um grau de significância escolhido.
É correto APENAS o que se conclui em
(A) I. (Letra ‘A’ está correta. É o nosso gabarito.)
(B) III.
(C) I e II. (Gabarito da CESGRANRIO: ‘C’! Chuva de recursos e mandados de segurança.) (D) I e III.
(E) II e III.
44. (BACEN – CESGRANRIO - 2010) Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir. I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero.
II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.
III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.
É correto APENAS o que se afirma em
45. (BACEN – CESGRANRIO - 2010) Se X é uma variável aleatória descrita por uma função conjunto de probabilidades PX(.), a função de distribuição de probabilidade de X, F(x) terá, entre outras, as
seguintes propriedades:
I – F(x) é monotônica não decrescente; II - lim
𝑥→−∞𝐹(𝑥) = 0 e lim𝑥→+∞𝐹(𝑥) = 0;
III – F(x) é contínua à direita.
É(São) correta(s) a(s) propriedade(s) (A) II, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
46. (BACEN - 2002) Tem-se amostras independentes, de mesmo tamanho 16, de duas populações normais com médias μ e θ variâncias não nulas σ2 e t2, respectivamente. Deseja-se construir intervalos de mesmo nível de confiança para μ e θ que, conjuntamente, tenham nível de confiança 90,25%. Assinale a opção que dá o valor pelo qual se deve multiplicar o desvio padrão de cada amostra, no cálculo dos intervalos de confiança individuais, para que se obtenha o nível de confiança conjunto desejado. A tabela abaixo dá valores da função de distribuição F(x) da variável aleatória t de Student: a) 0.533 b) 0.440 c) 0.630 d) 0.438 e) 0.300
47. (BACEN - 2002) Observações de duas variáveis econômicas (xi;yi) satisfazem o modelo linear onde
os são constantes, yi = α + βxi + εi, , onde os xi são constantes, α e βsão parâmetros desconhecidos
e os εi, são erros normais não diretamente observáveis, não correlacionados com média nula e
mesma variância σ2. Deseja-se testar a hipótese H
0 ≥ β contra a alternativa H1 < β. O método de
mínimos quadrados aplicado em uma amostra de tamanho 18 produziu o modelo ajustado 𝑌̂ = 2 − 2,120 ∙ 𝑋
sendo o desvio padrão do coeficiente β estimado em 1. Assinale a opção que dá o valor probabilístico (p-valor) do teste da hipótese H0 ≥ β contra hipótese H1 < β. Use a tabela da função de distribuição
da variável t de Student dada na Questão anterior. a) 0,950
b) 0,100
c) 0,025 d) 0,975
e) 0,050
48. (ESAF/MTE/AFT/2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de uma população, 15 das 40 mulheres da mostra são fumantes e 15 dos 60 homens da amostra também são fumantes. Desejando-se testar a hipótese nula de que nesta população ser fumante ou não independe da
pessoa ser homem ou mulher, qual o valor mais próximo da estatística do correspondente teste de qui-quadrado? a) 1,79. b) 2,45. c) 0,98. d) 3,75. e) 1,21.
49. (Stevenson – Cap. 12 - Adaptada) Uma amostra de 50 possuidores de cadeiras cativas e 50 compradores de entradas avulsas foi entrevistada a respeito da disposição dos assentos nos jogos de futebol, com os seguintes resultados:
Cadeiras Cativas Entradas Avulsas Aprovam 35 25 Não aprovam 15 25
Pode-se, portanto afirmar que ao nível de 0,05, usando a tabela r x k, que a aprovação não depende do tipo de assento. E
50. (Stevenson – Cap. 12 - Adaptada) Com respeito à questão anterior, caso o nível de significância fosse 0,01, ou seja, com maior confiança, 0,99, poder-se-ia dizer que, aí sim, não dependeria do tipo de assento; cadeira cativa ou entrada avulsa. C
51. (FCC/TRT 1a Regiao/Analista Jud. - Estatistica/2011) Um setor de um órgão público é composto por 80 funcionários, sendo 40 homens e 40 mulheres. Três tipos de processos (M, N e P) são analisados pelos funcionários deste setor. Uma pesquisa é realizada com todos estes funcionários perguntando qual tipo de processo prefere analisar. Cada um deu uma e somente uma resposta entre as opções M, N e P resultando no seguinte quadro:
Utilizou-se o teste qui-quadrado para concluir se a preferência pelos tipos de processos depende do sexo. Dados: Valores críticos da distribuição qui-quadrado [P (qui-quadrado com n graus de liberdade < valor tabelado) = (1 - a)]
Pode-se afirmar que uma conclusão correta é que
(A) tanto ao nível de significância de 1% como ao nível de significância de 5% a preferência pelo tipo de processo independe do sexo.
(B) ao nível de significância de 1% a preferência pelo tipo de processo independe do sexo. (C) para qualquer nível de significância superior a 5% a preferência pelo tipo de processo
independe do sexo.
(D) para qualquer nível de significância superior a 1% e inferior a 5% a preferência pelo tipo de processo depende do sexo.
(E) o valor do qui-quadrado observado para comparação com o qui-quadrado tabelado é superior a 3,84 e inferior a 6,63.
52. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud. - Estatística/2011) Um estudo corresponde ao interesse de analisar o desempenho de 3 postos independentes de atendimento ao público com 8 funcionários cada um. Decidiu-se empregar a análise de variância com o objetivo de testar a hipótese de igualdade das médias de atendimento dos 3 postos (quantidade de pessoas atendidas por mês). Durante um mês, anotou-se para cada funcionário dos postos a quantidade de pessoas atendidas. Denominando os postos por Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3 obteve-se pelo quadro de análise de variância o valor da estatística Fc (F calculado) igual a 2, para posteriormente comparar com o F tabelado (variável F de Snedecor). A porcentagem que a “variação entre os grupos” representa da “variação total” no quadro de análise de variância é igual a
(A) 8%. (B) 12%.
(C) 16%. (D) 24%.
(E) 32%.
53. (FCC/TRT 1a Região/Analista Jud. Estatística/2011) Em um modelo de regressão linear múltipla envolvendo a variável dependente e 4 variáveis explicativas, obtiveram-se as estimativas dos respectivos parâmetros utilizando o método dos mínimos quadrados. O número de observações para a dedução da correspondente equação foi de 20. Construindo o quadro de análise de variância, com o objetivo de testar a existência da regressão, tem-se para utilização da estatística F de Snedecor os graus de liberdade no numerador e no denominador com, respectivamente,
(A) 5 e 17. (B) 4 e 15.
(C) 3 e 17. (D) 3 e 15.
