Curso Moderno de Matemática Para o Ensino de 1º grau - Guia do professor, 7ª série, 7º v., 1975.

(1)

GRUEMA

(

Grupo de Ensino

de

Matemática Atu

a

lizada)

1"

(). ":;.. -==-~

ANNA AVERBUCH

"-

() O

I FRANCA COHEN GOnllEB

, J

....

LUCIUA BECHARA SANCHEZ

I..Y N1.?v MANHOCIA PERElBERG LlBERMAN

,,"'.oco_

.

...

M ... .,.1 Supe,~,1J,o de L. H. JACY MONHIAO , . . Un< ... _ ... ~ P .... ,

CURSO MODERNO DE

MATEMÁTICA

para o ensino de primeiro grau

EDiÇÃO DO PROFESSOR

(2)

OBJETIVOS INSTRUCIONAIS

Rdlç&1

I C(ln,t""r li rel~ção in''' .... a d~ uma rt'laçk oonllcc,<!a

2. fofetU<1r. qu~"do P<, .... ,-d. a rebçlo oomposta d~ duas rdaçóe!; dada"-R«>OfIh~ li nào oomulal;,-idadc d:I oom~lçlo de. relações.

RfWnhe<:ff que a compo.ta de .In,," (un....,.,. ~ uma ruoçio. e qu~ ~ composla de du,," bJjt(ÕeS

t

uma bJp;iio.

Obser'-.çôes de ordem didáticlII

O pr,,'e.,,'" dnc lembrar que O Ijvro se destma li 7' 'o". ,k, Cur~ hmdament"l. I1m"\o p<.>r 'lU;; "pn: .... ,'Wrr)(>;S " a"unto do ~'IIpit(llu <JC maneIra ma" mtUlIl,a U(.\ que (0I'm.11

(;nlllO'>

I. FUl'Tlll1lilllT a~ proprierlades de urna ope.-,u;ão num ounJunto.já ""'lvdada~ na, 5.'c 6,' ><!t,eI'. Z. 1(0:0:,"11= q"ando um conJumo. munIdo de uma. 0PC"''''o_ ~ um gn'lk'. se .... o ",.n·

Junto (",uo ou ,nfinuo

Obseo'''ç;::''''S de ord~m didli.tin

No capítulo"," qu .. .,.lào foi ~pr=nla<.k> o aropo das !",rmuta<;Õe'< dc ITi>< elemcntos Nio senoo

"",

m.

de n,,,,., inlcresse que

°

aluno IMmonze nOmendaluTa, nlio lO!rodu-lUnos a palavra -permu'aç,'o··. limlt"n<l,,·n ... ,' ~ con!>d.nHa uma b!Jeçlo

A (o,m~liz:.ção do conceito de grupo fo' iutroduzida na 7' .ér", 00 .Curso Fundament,,1 p.r. f"cilit"r a prática da r.,olu<;~o de equações. Esta prln,,,,, C<ln,t,l""'''. numa das ferra-nH:ntM eSlcncoa'. p"r" " "pl,,,,,çào d" Matemática a qu.IGuer j)",f,,,,1,,

Implklç.u r ""u;,·.lmci~ - A~i",n •• ~ T«I~"'II t ldenurocar uma imphcaçào Guand" a pr<:r",w ~ ,ff<lad~"a Z. Reconhecer a equivaJ~"cia como uma. dup,," ,mpliaç;K-o 3 Compreender O qu~ são Aliiom., de un>a Teoria 4 Idenuro~~,. h,pbl«C c 3 1= de um Teort'ma. S. Entendn " '1LIC ç a dçm..,ns,,,,ç~o d~ u,n Teorema.

Nlo inuoduZJm'l$ as Ulbda. de ,·.Iures ló8!<X>'< por nlo oon.id<rl.las a",,"";.'O< ao< alunos d~a (al~~ "'ária.

U·.mol O mC1odo h<:unSlico (processo d. redesrobo:rtal nas dcmonstraç';'"

'''''ples

P""I eVllar 'I'" eslOS ""l"m imposll' 30. alunos Ou H]>I"1'se11lad"" para memomaçlo r •• ~I<U5"'" t <.Iirrçlu

1 R .. """,hec.:, que a ,d,,~ào de paraleli.mo é "ma relaçlo de .. -qu,vali'ncia 2. El'tolhe, um semido para Uma rela. Oblendo ~ 1I''Ç.10 de "proxede" C "sçgl'e" J. ldentir.car segmento, eqi.iipOlente:<.

4 CO"".wr O ponto m&li" de Um "'gm~",o

i Traçar pn*~. par~lela. a uma direçà" <.lado. de p<'ntos e de ""n"",,,,,, ,''''d d,vidi, um ""8mc'1l0 ~m partes eqüipolem<:<.

6. Graduar Uma r .. la

o profewor Ile'-.m ddcr_ ... na d,yos:\o de um !.t8Jncn1o ~m panrs cqUlpOk-nI .... ]»." ... CSte wncato (unda ... ntaJ "" "'lfoduç~o do conee1t" de numero reaL b.:m ",>mo de 8r~n<le apt'<:;lçlo "" "da pn\.t,ca.

1 çomp~ra. r~ç;ona" >üb a forma d""i","1

2 Ide""f;c"r de.:"""is 'limitados periooicns e nnn p"tloXIICO' l, Repre.cntar O/;

""m

e",.

rc"i, sobre" rela. ,."d\l~ndo." 4 ldetlllficar a absCIssa de um ponl" wbrc areIa gr.t<Juada

S. CO",lrU" um pomo cUl" absci"" ,..,ja a S<1ma das ab:l<:i~sa$ de d"l$ ""m<>< dados 6. l<.Icnt,rocar o ""po adili", do. "Ú""'<OS ~IS.

7 ~erm'n~, a med,da de Um ""gmento c a dl!l"n"'" <le do .. pnnt<K. 3. R«onh~ a e"~I""c. do nú"",ro .cal '11OC""J" pro<lmo de doi. ""a" 9 Idenuficar

°

I"''''' mul"J>licali", dos rt'3(> d,ferente;; tle zero 10 1I0.0"n= PDlo!nC1a~ de rt'3JS <"Orno produlos de r"tur~ i,ua,s.

II Aplic-.r '" propn...rad~ dos grupos p"r~ a ,,,trnduç;'io da subtr.ção ç d3 di"""" de n ... m .... os rea ..

Obs~n'~Çõe5 de urdl'm didática

Preferimos nli" introduzir na 7,' 'áie do Cur$O FundamOllt.1 a (ccnjoa orx:."tÓria da a<.liçJo e da muhipljca,iío em R Icálculo rom radica,,~ delundo-a para a R' sérl.

O estuoo dos númcT<)S reai. ",,~i ligado c"<eUamcme li rela ""merada. p<,,,,bilitand,, a .epr=ntaç:l<.> 8rifica de funÇÕC< polinom,ai" bem oomo de soluç,k> de ,i"el1·m. de equa. ç&es de duas ,o>CÓgn,tas. Procura""," e~,t~T uma ronfus.'1o onu;las '''''''' oon.lala<L. ~nlre um oo",unIO denso e um conjunto contin .. o. O rito de o oo"",n\u dos ntC3onai. <Cf" dcnw nA<> aUlonu o aluno a con .. derá-Io CUrno uma 'cprc:semaçào de lodos "'"

pol'''-''

da ... ta. que wnslnu"," um oonJunto ron,inuo

A ,ntn'duçlo do C<:mJumo R nos perm,tlU, a"lIia. eswdar u ci!culo literal nos .~"'''" .m"nd" nSlm n:pet'ções enfadonh ....

(3)

Cilnllo lilrral

I

r>c!.oobri,

,~~,a, p,olic~, para efelUa, prodUl"" n01helJ. l-Reconltca:r OS p,odntos notãvelt para de",ar a latora~lo

1 Aplicar a rat{lra~:l{l á ~mplifi""(i,,. muluphca(iio o d,,·,.oo d" lnl.çÕ(;S htual! Obstn'oçôes lIe onh.'m didática

o

capilulo """ido'MI' nad" mai, i; Jo que" aplicac." do prop,kdadel Ol)eraciouais

.P

I.'Onhccida' ~c a S· ,érie "" alunos ... habnuaram a efetua, ull",aÇÓl."S .. ,,,m e>.pr", • .õl'< 1i1.Crai$ simpb, Na 7~ stl'le elC!< jâ. do capazes de manIpular nprmõC!< um pouco mal~ oomplexn

r~o polin .... ia!

!. R=ohecer uma funçio polioollual

l-Represemar graficam.me. [\0 pla"o <~rle!""''', fu,,~ÕC$ I;ncal't' e funções afi"'. J Mesol.· ... g."fie'llmenlt sinnna. J.c duas «[u;><;õos do I n grau <.'Om du,'" va"h'n 4 MOIOI,,,,, aleebncamer1le 5111nnas de dUal eIlu.açÕ<s do 1· grau ""m dua!' vani" ...

O~'naçÕt's de ordrm didática

() prol".,.,." nOlam q'IC neSle capnul" nAo abordamos a. operaçóe-s ",~m.I>',llnúm"" 1''';' ela, não p~ssam de cas{l~ paniculareo; de operaçõ .. com v.prtSSÔeS \lteralS,já eslLldadal. O alufIOd .... ·eti rl'COl'lb=. qu. Iodo polinilmio i: Uma cAI'l'1.$Slio hle."I. n" ... nem toda "'pres-~ lucrai i: um ""Iinllm",

l'rocu",m01 dar maior ênfa.e à funçll<> po:>linomlll do que ao po:>linôn1lo em ". 1>"" obse,vomos que as funções.e wnSlIlllem num d", tÓpiCOS ~. Ma!emál1Ca que mal< la rgo1 .plicaçAo lêm em ouuas '"

,as

Cin:unfrrênd.

1 Reconb«er a posiç,Io .dati"" de duas .' .... 'Unfcrên .. ü .. l-Reconheoer M p"",ção rd;t""" de uma .... Ia e de um~ ",n;unl",<",~'a J C(!nSlrU;' circunlcrén",u lang~nlC$ "u 'C<:anle.

4 Mel"";on,,r 11 me<Jida do. ,a;01. a posiçlo dos centrot e a p",iç30 relalh'" d. du,"'" c,,· .. 'Unfe,~cin

Sim ..

,i.

1 Meconheoer e """'C r"" pom01 SJm"uicos em relaçk> a uma .eta

~:

g::~::::::~ ~

'~~~1'~" s:~:~ ~:U~dmp~I~:10"I"ç~" a

um ei",

4 Det.rmin~r o

"i",

de ,imclria d. figur~s planas

S. Idenlir,çar 05 invanant., de uma oimewa

6, Rmmh~r e con'lru" a rnedialnl romo C"'O de .. mC1na de um '\cg.""''''(! e a bl~eI"l comO eixo do <;m"lria de um ';"gulo.

1. ldemif,c"r C "plicar aS proprifdad .. da mediauiz e da bi....,Irl .. g Mcconh=. e

"""'U""

as medIanas de um triânl-ul0 9 C<,"SIrUIf pt"rperultculares a uma reU. uIII,undo

~meln,,-I Eslabelece, co""'p"ndi'nciu, para ,dentific;" WIl8rui'nd:lJ. 2_ Reconh"",,, e apht~r ron,ruência de pc:>hllonos. J Reconh~, c apbt:>r o. caso< de wngruência de triângulos.

4, I'ro"af, ut;l;lanoo '" ca.<,()< de con~.uê"oia d~ tri(lngul", ... "'lações entre eleme"I'" de tri~nllulo. e quadrilàle.<'J.

3. C"oh=r e aphCII' a~ relaÇÔC$ enlre OS lngulos fo,..,ados pM paralel", com t",n ..

-usa"-6-Con~r e ~p;lçar a ",ma da. medida, d"" lingulO1 ,nll'rn"" de um ltliinguk>

Ob<;ena~ dt> (lrIkm didálirn

o cSllIdo da simetria aprC!Oculado "" livro lem do,s ohjem'",

ai 10rm"I;"0' d"",,"wolvOf" d"m;nil> do ""poÇO) li,..,!o aos movimentO< de um3 f,~",. plana 00 Ojlaço'

b) '''I'''mali ... eslOO~r a geometria at'""és de "a""f',"n~ções II<-'O",éu;<,u, f.""ndo. assim. a inte~raç;10 com a linguagem ulil;~ada em Illgebra.

O estudo da SImetria. "Iém de enriQuecer. fadltt& o .. OIt"do de wngm&ida O 0$1000 da 5lmetna d.,.., _ ,o;"'ado com ODwfYllÇÔC5 do ~ço e ~ti,'idades cnn·

a) 0.1m um espt"lho ou com 2 e-spellt')< em ã~gulo ou p.""loh obse,.-ar olm" n. im.-~'" d", I .. " •• do MII,ot'elo,<'u de OUlto' fi~ul'a-~ -e refletern.

1>, Tema, desenhar a Imagem de uma Letra no .. pclhc, Sem <> c;pelho c em ~uld. Çt>-~>car o ""pelho pora \'enficar se o de.enho ""to corre~o.

c) ~,oobrir ,;mctt;a nOS ohjeto, da 'Hla de Ruiu. por .,cmplo. ou cm de,"",,),,,,. ca,-I~~"" ele

Ii Dados

SUGFSTOF"S

DE QUESTOr..s

PARA PROVAS

(por çapílUl()~) A

-

l",

b. ". d) 8- :3.6,7.8! R = lIa. 3). 11>.61. Ib.7U ,Jf Complete R ' ... {(5,~), (6, b), (7, bJ) R IC' = {(5, 5), (6,6). (7. 7)} R-I R_{(~.), (b,bJl bl Trau: no di"~,,,ma

em verde '" seta. que repR'Senlam R em lIZUJ as ma~ que .ep" ... "<V>(a,n R '

- -

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: :::"a:"

",~:>q~~er:::"lUmm

,.,~:R~

C

r) Asgill"le wm \' ou ~" R,X- I = R-I R ( F ) 2) Dados

(' _ {Belém. TCl'CSlna. Manau •. GoIJni31 E ~ (Am~7.(!na •. Paro. Gi,i"", Serl-'I"')

~\ Rcprc.ente '" elemento" de C e de E ptl,.; <Ua'! prim<;.as letra' I~m minúsculO)

r

,.

{b,l,m.l1}

(4)

b) R'l'rescnlC no dL&!rama os elc.ne"l"" de C c de f; ri Tra<r em ,'cnk .>0 d,avnma. "<

..

Ia,

qu,"--'cp'tuntam a rd"çi<l S de (' em li. d"C!· nid" pa"

~x t 11 ~apital de

l'

úI TraCl' ~m laranJa,

n

o

di"g'ama as ..

t,,,

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Que reprt!ICnlam

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~

ti Qual a .... 1 ... ..,. ,,~ define S~'~ y fem POI C~fJIt~ [) Complete

l> _ {(b, p), (m. ~). (g, "J) S ' ~ {(p, b), (~, mJ, (g. gJ) S.S·' 3 {(p,p), (I,'). (g,g)) S-' S = {(b,bJ, (m,mJ, (?,9)).,

s

~I ASlinale "om V ou f' S, S =.'; o (FI A B

3) Sejam _A_{_}_01.'''' _14,conjUnlO1 _17.20._li_}

r:::;;:::;;;;~:';?:~:;;::J

8_1IS. 18.11. 24. 25) c_1S.6.7.B) c ;o< relações' ,1/ d. A em B delio,da por' ,,~,,+4 R de B em

_,

C definida 1><"

'"

;

ai Represenle '10 d,agam" <Jói. demem"" d. A.8eC.

b) Tr;IO"" em azul. no d,aJulma. õ\>I o.ct ... que reprrsttuam M. R

ti Trace ( t i l marrom. no diagrama, a~ SCla.~ qlK' ~pre!ICntam R. M.

d) M é

"ma fu""".,~

sim '" R é uma funçã()~ nlo

fi R

, AI é uma funcà07 n'o 4'1 Dad"" os conjunlO1 .4_16.15.1LO} 8_12.5.1. O) (' ... {4. 10. 14. O) " aS relações T de A ..." B der.nld~ ror ~., • o lriplo d~ ,." f) do /J em C ,kr.nid~ por'

M"

!em par dobro J'~

ai Complete T ... {(6, 2), (/5,5). (21. 7). (O. O)) D .. {(2.4). (5. 10), (7. 14J (Q O)) T D ... (li

A

bJ Repr=nr. 1>0 d,_grama os clelllcntto< de ,--t~----,"'----t' A. B c C

d lracc etn 'crd~ as '<'Ia, que rei>~"""l,,," , D

di Trace 011\ lura"Jn as se"", que "prtSCr1la", D T

I'j 'j" é Uma blJ"Ç:\<l"! úm

fi D

• uma b,J<.~;I,>! 11m g) n > T toma b,JC(.\o" sim

5) D3do O "'lDJllnm

l-;;;

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==:::'

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J

li ~/(O. L -I. 2.. -2. -3.4. 4 S. S 6 -61)

IJ",pos

11

SeJa " conjunwA ...

!D.

t. .•

·J.

1

e "o!,<,raç,;()

• ~1I' .; a",,-,cialjv~ Cm li • definMla ~Ia !ábu". ai A lem demontn neutro em relaçliu;\ O~,~_

ção • 1 s,m

bJ Em CIK> ~firmal1"O. qual t? O rI Qual o Slmt!lnoo de O' Cl

<Ie 111 11.

d •• ? • de'+'1 .+. di (A .• ) é um grupo? sim

21 Seja o conj\lnto L _ lb. ", ~,I, ,. ~I • a 0r>elaç~o t\. que'; ~'"","'at;1-';l • d"'nod~ pela lãhua ~o lado ~J L

.m

lem el""'''''lo Q.U!to em relação ~ A' b) Em ca .... afirmar, • .,. qual? " ~) Qual o .imél"ttI de 1>1 nlo h.

de a' O d~ li? ndo h~ de I? n~o h~ de r? nilO .~,; de ~? J) (L l!.) e Um ,rupo?

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(5)

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II SOl' o conjunto T _lxeZ\;r ó múllipk> de l} IT. +) é grupo~ $im

lmpl;r.Ç"~". '"'!";.,.li1\("i •. uion.as (" 1('O.e m. '

L) C<lnSldcI<: o ""oJUnl" 11 '"'

p.

4. 5. 7! e a, >enIORÇa' I"." <.t c <('o <: l!. , F o fi) Sul>s11tua na' 'tlltc""a' aberta' a letm y ~k .. olomol1~'" de 11. ~ e<eTC," \ o~ a

lad" d~. s.enl....:;,.. obtlda<

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, caSO'i aCllna poderiamos escr.ver

p~q" para}· -2 y ... 4

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3) RC$(>I\'. em U a~ equ.ções f"lr melo de ''''ll'!l~a~ equ"'alcnte5

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1) Desenhe uma ."llI 'e oS polll ... 8. C 11<:, de modo que A r=edc 8"' " . IJ

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S. Pro'.,. OI10I'>nalmcn'e sob'" • C quadnlatero AJJtD.

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6. ti) Marqut $Obrt t Ire, IC8rrt<;mos con'I«UIIV03 equipol.ntrs a [H

1» DiVida

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em loi • ...,gm.mo< eqiiLpokHlrs.

C""'plelc

tiA) - 3, ,,(H) .. 1.5; a(C) .. J: ,I(D) .. 2.1; a(Ef.. I ,,' I(AI_<>(I';, '" -3-(-1)"_2 bl atEl-tiAI .. -, -(-3) _ ~ 2 cI m(AEt .. 2 di (til/l-tiA)I .. /1.5-(-3)1"14.5/ ri uóO-ulDJ .. 3-2,1" 0.9

fi

miA-H) .. 4.5 1/1 loIÃÔ~ 6 lI' ",{De) = 0.9 >. < Ou_ I) C<>mplelc "'m J.47$9 _3.4761 2.J6O(I > OJJ~7J 0214

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(7)

3) Trabalhand() em li ~I

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h)9x'- 144

dê () c""jun[()-~erdade das equações 1''''(+27,

-

2 n

V=l+4. -4}

dC=:~EÕII-5sxS7}

-,

6) Apliçando a' pmpriedad", da adiç;;o em R 'implifique as expressó",'

aI (./2 f

,

h)

-i' I ./21 _ -../5 hl 2./j -3./l ~ 1-2./3\ = -

3-../3

7\ Complete. a

ri

'"

de tornar verdadei"" ", scrole"ça' 0)./5+3+ (-. /5) =3

b\

..,

12

3 + (- . /2+3)

-

o

'oi

2,/2

-I-(-3' /31 +

3./3

-

2 ./i

8) Cllcule em N o conjUnl,,-verdad. d", 5qua,õc'

0\

'

3 +

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1

V-l./3-3} b10.31 + Y = -0.024 V _

1 -

0.334:

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C e f) pmjcte-os pa",kklmcnlC a 00 9) a) Dada a r~ta graduada", c seu, ponlO> tl.

",bre " reta I

n

_•

b) C"",plct~ " quadro de ,"cordo Com" item Q

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+

,;5 - . /

7) -

3-/2 + 3-/5 -

3-/7

h)

2(-/i

-

H

_

2-/2-1 c) a(../2-J) = ~-/2-a

11) Col()que" falor C<>mUm em

evidfn~';,,-

usando a prop,ic-Jadc dis(ributi"4-Reduza OS

termos semelhantes. quando lX'ssívcl. a) 2-fi + 3../2-4-/2:

~ -/

2(2 + 3-4) ~ fi

h) 2x-4x + 8x _ x(2_4+ 8) ~ 6x cI

f

+

~

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X

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1)

12) frahalhando em R. resolva as inequações c represente 00; COn junt"'-'oluçl0 "as retas

r"

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a)3x.:57

V

~

(

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1) Co.nplC1e , ... quadros (x '" O)

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30:<)'+180 .. +60X_1Z ~ x y 9

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JllSu'bx+2.>hx' -lIbx(l5.+2>t:) I)ftQI>c"'T"b~t8 4 2

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(1)", I )6,~(m+8)(m" 7' ql n,l 10", I 16 .. .(m-8)(",_21 rI"" "'t. .. 16'"(m+8)(m_2) 'I"" 11," 110 ... (m- 16)(m + 1) 21 Pooha antes em ~""klê"cia" falor o,lmum C derol> falOre,.e possl""l:

li) J6i 24,,+4<,' .. 4(3~1I)' fI h". 12_ 2(x + 4)(1<_4) hJIs.!b Ju

6.,'

..

311(5b-I-211) 1I1 ... 'n' ",',,'-m'n'(n-m)(n.m) cI4-S.,' .!O ... 5 (:h 2)(3<. .. 2)

~I "~'

';' '" -}- (m-n)(m + n) d)45u' 2(1,,"5.0(911_4)

d 2_,'

+

16. t J2 _ 2 (X" 4)'

3) Fatore "" !Il;""M " redll'" '" toemos <c'nclhantc •. ~IIM,d" poss,vel

aJI'-+I)' 1~+51'-{(x+I)-(x+5)jf(x, 1}+(x+-5)j-4(2x+6) bl u' ',0 .. (,' -b')(," + b'; ~ (a' -b')(~' + b'J(II'''' b')

cJ(", ... 4)' Im 4)'-f(m"'4)+(m-4)Jf(m.4)_("'_4)!~16m

d)U 4,~1' Il"~'I' • {(3-4xj_(3'"4x)J1f3_4Jtj+ (3+4Jtjj~_24Jt 4. S,ml'hli'lue 'lua"""

po,~hel. '" fr-~çõe<

"a< 'lu;", 00"''''''10< que '" dnl""''''""",,-,, __

noIo sc!"m nul", aI ,~., .. (11" yj(Jt-"f) ...... Y h-2.!" 2(J'--"r,

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;:-1),

-20

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X+4)

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5) Efetue ''''

e;\l~"los

""I,cad", ent", as fruÇÔ<.'li

'~J

'->S

,h" "In'llad"r", são r>!\r hil'Ole<t, n"o "U)('I 2b S~' 2.

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-

5X

(9)

Il Consodtre O ,,~,.nt3 de

o""

coord<n:.dos \\U lado c os <:onJun.os A = I· I. O. I. 11 e

11 _lO. 1.2.3.41

<lI Repracntc tm ",,<d~ '" po."", <I"" !'C. p.~n(am a ,.Iaç)\o de A em Il

R _(O. OI. (O. 4). (2.

n.

(L 3~í-I. 4)} ~J Repre;;c!11t ~m ~lul O~ IX'nl()'; q"e repr."""·

Iam a reln,.o de A em B

s

..

(10. 2).1l.l~ 12,4.J.í-I. O)) d R t uma runç~o? não

di

!; t uma funç30? sim

21~JamosoonJuD.<><A .. {O.l.-I.I. 1.3 _31.8~10.l._1.2._2} COM.do"'\\ rdação Tde A "'" /J

r"".

~nfllda

•

nO SOSC."'" de .... os coordena<!", ao 100" ,_ '_'. ',.,' , (t) COOlplClC po:la ooumentÇiio de "'-"U!O co:;·

menc()Ç:

.,. _ ((O. O). (1,

n

(2.2)) b) T ~ uma runç;;"? não

3) I)ad~ a função monomial em ~, flx) .. -4x' ai Q".I O """r,eicotedo monômio que defino f1

-

.

b) Qual O grau de r 3.0 r) Calcule fIO) '" O f{ll .. _4 fi 1) ..

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r(-+H,

4) Se);'

~

r~.

n

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In em r;t defmid. por'

m~)1

-

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bl Ç,,"'plne <> qUa<!fÚ

"

S) 1),-..1"" M funções em R ddin,du_ pel", s ... Hc"JlçaS aba .. ,,· f{~I" 2..:' m(~) _ x'

111>'1- -3 1'1,<)_+5

/(x) .. + 4

;.-~! CompleCe O Quadro ao lado

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bJ Esa-e,,, IiQb a forma reduzida a sent."ça qlli; defino

.«xj _

fr.,!

~ !!Ix) + h(xl

+

n~x) + p(x) .. x' +-4x + 2 d QUil1 o grau do polin';",io que define

,

«

xl?

2.~

di

Ordene <l pohn6mio que define '!(xl rei", e'poc'1UO:S decrc·s<."cn!e! de x.

5(x) .. JI'+4Jt+2

(10)

b) Oad", '"

fu".,~

em R

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~

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g(x) ~ 2.<

IJ(,) '" 4 111(') '" 4-<' \(u

+

16

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., C,,"",,",," ""'

,,~,

"" , , "

fi,,,,

, '

"

!!(.,) - 4

fI!t,nfica du~, '1"" lodo :< ...,al Itm pela h I m,a~em ~. esboce ao laJo" gnlr.", d~ função /1«1" 4.

r) Complele o 4\10010 )lIln.l f(.') '" 2;.:-4'

~I~l~--,--r-;

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~

r.

-

~

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ti) bobocc aba,~o " gráflOO de f(x~

rT

~R

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I

-

I

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1-"-"-L) Se)ilm as funcõc::s

f

c 11 em R d~finidl\ll pelas !enlença< ab3i~o' !(x)=b< 4 g(.<j_5_x

., C.m,'.'

"k'"'~

~ I.~.:.

C

:fj:'

,01

;-r

,

-

2~

2 -1

-

7

"

b) Represemo no me,mo S"I.m~ de ti,,,, a

!

renT"iUul) e ~ 9 'el" ''<rde).

d Qua;, as c"orden~das do ponto 4"" pertence a ! ~ a

ri'

(3.2) 2) StJ~rn as funç«< h e '" c"m R der.nrdM$ I'I'la, ""'tenca, aba .. o

h/xl

,.

?f

7 1rJ!"<) _ 5

-/

"

<

"I Complete otr quadrm

(11)

li ~I R"""I .... d ". ~u'nles s'~ema; em R )< R e r~r"""ntc num mlo= & ,,;XOS ooordcna· dM M ~rl,r.c<", da, duas runÇÕt:> c~n ~ "S\ema

,-_2

,

.,

v

..

{(-

r

.

- I))

V-{.HRly-3_2~}

(12)

b) A .. m.le

com

um X. no quadro. qual

°

tipo da soluçilo de cada sistema.

-

-513'""", U_ so>/uç,lo

,...

,nh,,,.,,,

w/urtlo

I

"

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• ,

.

,

.

I

L

f

.

Circunfcr~nch f Sinl<tri.

11 Ix"·"I,,, tlua~ c"""nl"",nci:L'! de r~,()< I ~m c 2 em I"i, que ~\ as ç"""nferj'nc,lS sejam tang~"ta 'nl .. na. 1.,fi"j'G' wlu,"'"

t

I

.

I

-() ali circunfw::ncia. "'Fom tangentes e'lern3~

21 u) Tro ... du,,' Clrcunfcr<ncJllS de cent"'$ A e 8 de IIIod" ~ue a Inleru«il" Hja 2 p"nt'"

c tal q"" A e<l.cja no ,nterior da ClrcunferrnCla de ""ntro R

bj DIte""" que <:Sta. duas circunferênci ... MO sec.nl*,.

Q

)

3) Subendo que (A, T,) c (8, r,j são "" ct1l1ros e as medidas dos miO!< de duas c"'."Imfelên. da~ $()Cllnl<:S em P, ~

p,

.

complete com o simholo de uma n:l:tç;lo. ~ fim d~ lornar

Vl:r-dadejr~ ai

scn,ell{a'-"

',i "

<P, <p. p,?",

"

'"

Pop,,.,

AR

_•

"

4) Dc:<cnllf: um l~nJ!!ulo A8C Trace uma rru I parald .. a um de sw:s l:tdo~ e C> .,mi"tnCC> d"'le lnAngulo tm reJaçio à reta •.

EJUs,~ muila, ,oIuç6'u. O dt!unho apr"Stml~ duas.

IIIAR IIIR

(13)

la lo ã qual 05 ponto. R e S ""FIm sométrico .. 51 TuCl' uma .<:ta I em.c ç

~,

6) ~lxndo quel'l,.1PlI ~ ;$~IC'S. dolcrmine o po nlo módio M de

BC U"h7"ndO ap.:nu

um comp~"<o

lJ

9) I~nbc Ulna r.~u,." com J eo~05 de SImn""

,

G

~~

i~~-I

,,-y

_

I "

10) t'lilo wn,ldcr~ndn,,~ "-'Irolas c a fai.a branca. quantos elA _{"" de "mnrla tffll a b.nd"",,}. bm<l!ci,,,·' dOIS

11) Trace a' me<h:U,,/", d" l'IABe A

K--

--)<-

-

o,

.f

12\ ~\he as mc.t.aw/c-. e as m, ... hanas do liA/I, """,ale" co,l", O da (''''''nf.rÔII,,;, qucp,a. ... I""A.HeC

IJ) D.",."hc um 1fIl"~ul" ABC on<lc a med'alnl relal"" ao ) .. 010 BC COIncide co"'" medIana A o triJngulo dl/V.

~

_i

'

'"

""',"'"

;. bSS8 BC

(14)

14) T",e" um" e'fC\,nfcrênc'" que j»sse por ~' H. C

c ....

'~"'."<ia

I) ESlah<le,," uma OOr1C1J)!'ndênc"i" ",'1ft OS

,·.rI""",

do' p<,hg"I\QS ao lad" a r'm ,k H"r,""r a rongru':."c,a

,.

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B· S

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2) ~"hc um quadril;'lc", PQR.\ n"o ",m~ru",n.

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qu"dnlfuero ABcn lal '1LIe

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li O"S<."lIhc um P<'ntá"""" PQlI..'ir não c"n~",,,,"c a A8CDE 11.1 que Ã~

P

/5.::. ~

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;;;.

Q

t.::. l'

(;;;.Ji.

E~i$Mm outlU

'6$POSI8S.

11 MOS i" AADC (Lll)

(15)

111 ,u'YM ~ AZVM (tAL) IV l\ORS;;; l\STQ (LAL) V, !'.AOS;,; !J.SOC

.~.

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A~

VI M8C õl; l\SAO MMO ;;;/J,BMC MOO ~ l\BOC (ALA) (AtA) (LLL) D C

~H'OO""

A~tfSpOS(~J. D B

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AD

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.'"

é o .Il1lJlIeIHO '1u~ fl.'I~~\ por

P c Intercepta Aff em M C Cf) ~1l1 N.

'I) P(Me 'lU" AAPB ""ADPC

l\APB ÕI' AOPC

A i! O (IIhemos

inttf~n05

d" rtfl" P""/6;; g : S ) C N

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i:I: b~ (pomo médiO por hlpdl~stf) O

AP8 ;;; CPO (ingul03 OPOSlos p610 v.rric,,;

,

A

M B

"

1» D,mo:>n'lTc 'lU" P ~ 1'01"0 médio de

AIN

MP8 ::; NPc (Ingulos opostos PMO

vlrtke)

ãJ>

õl;

CP

(lados COTTtfspondenltlS

Mfjp

);

Nê/~~o~:::;

II~!~O';;~letnOI

d~ ,tf(as

1)3,

",,,la')

AMPB ;;; IlNPC (cuo ALA) MP;;; NP (/~dos cOlfespondeOlu em

(,iíiogul03 congruent6s)

~) Em Ulll Inanliijln i~6s\X;k'i. um ,1\15 ~n~uIOl m~de (I (t(>~r(> dO outro Quais as mt"d,d", d05 ,H\gul'>$ .tesl" l1i.i"~ul<>"'

.,..

,,.

9Q<>

,,.

7) Oa(lo:><

/J(;::

cli".

6 '" c~ AG 1 DK.

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l CI< ~rnonS<r" que AV;;:; BC

OéfA ;;: BRc (Ingulos ,etos po, hlpÔlesll)

~

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(POl hipólese)

O ;;; C (po' hipótese) óAGO i!i IlSHC (ALA)

AO 2! BC (lados correspOndtfnt6S

!:.AGO:ll ABHC)

8) Na ~,,'\I"'" UNIX" le""",

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A B

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'"

1IC A/);:; 80

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~ tnJngulos "'mfl'IJ#:nleJ) .. m(AfJC) (SOrtl4

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lU,ultt' iguttis)

(16)

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ED ;:; Cij ~ BDE ~IIÕ<., Sl-rl <tu~ ,iE ::. riC! JUSI,roqUe.

Ê:::;

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J:l5 (POl

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GRUEMA

m(B,RE) -m(RJ!A) .. m(A,RE) .Mlo m(ARE) • m(B9.E) -m(89.,A)

m

(

ADC)m~::t:)D~~;Bff%)D;~if.

~

;:!~ R':vt

7 d~J~Di~~;;;;

(

AD.B)

(Grupo

de

Ensino de Matemática Atualizada)

l!.AED :;;; tJBCD (cno ALA)

ÃE .l!: BC (lados correspond.nr., .m rri'ngulos congruente,,)

ANNA AVERBUCH

FRANCA COHEN GOTTLIEB LUCILlA BECHARA SANCHEZ MANHÜCIA PERELBERG llBERMAN

1"'*"'... ... Ma""'.".,.J

Superv;Uo dI! l. H, JACY MONTEIRO Ida U ... _ do No Po.Io,

CURSO MODERNO DE

MATEMÁTICA

para o ensino

de

primeiro grau

(17)

Da meSma coleç~(I:

Curso mod.'mo de Malemática

poro

a

elrola (/eml!nlor Vol.

_-

I .• série Vol. 2

-

2.'

série Vul. 3

-

3.a série Vo' 4 - 4."

.érie

Vol. 5

-

5. a série Vol.

6 - 6.

n série Vo' 7 - 7." série Vol.

H

_

8 ."

série C4p" < ;1."",,<1<, d, M. "j"", .. A"".b jo, .. DireilO" reurvadOI (no prelo)

COMPANHIA EDITORA NACIONAL

Rua dos G""mÕu. 6J9

01211 _ SÁO PAULO. SP 1975 Im"""", ",,8<otll iNDlCE ) Rel,,~·Õ(:s ... .. Compo~içiío de Relações GrupuS ...

I

lmPIm:s ~:!~;~

I ....

IParaletismo e Direção. .. " .. '/ Comparação de Raciona,s s(lb a Forma Oecimal .. ./Numeros Reais . Grupo (fil,+) Grupo (R",x) vC;ílculO l.iteral ... . Produtos Notiveis Falllraçáo

Fun,iio Polinomial em I>l

Sistemas de Equações .

Circunferênda .... '-.s'.!!'.elr~ ... _

Congruência.

Congruência de pOlIgonos

Congruéncia de tri!ngulos

"

lO S; 58

"

106

'"

UH

'"

""

(18)

RELAÇÕES

RELAÇ

Ã

O INVERSA

Grupo I -Exercfdos preliminares

1) Considere os conjuntos A • {escola, livro, caderno, papell B • (papéis. livros. lápis, cadernos

A

• escola

a) No diagrama, trace em vennelllo 15 Oedlll$ que represenlam a reJaçáo P de A

em B definida J'I(Ir:

~a cada palavra associo seu plural" b) No diaarama, trace em preto as flechas que rCpre$Cnlam a relação de

B em A

definida 1'01'

!ii

,-"-,

~

,\

~

\

,

"

.

'

1 -

.

,-,

.

-

:

-

.,.1

1

--B

i~

çadernoa ~a ca\Ja palavra associo seu singular" • lápis

e indicada por ,,_1 ' -_ _ _ _ - ,

r'

•

2) Considere o conjunto D-12,J,4,SI aj Na diagrama, trace em azul as flechas

que representam li. relação S sobre D

ddinida pOr; .", é múltiplO de y.

b) No diqraml, trace em laranja as flechas que representam a rdação S-' sobre O

definida por: ·x'é divisor de y.

D

c) Complete pela cnumcl'1lç;1o

s

•

S·' ..

~3,

j);(1'

7')

(.r 5')

{'/,I)j

[:01

,z),

f.JJ} h '

'1')

,($",5)....(:L:!j)

Vace abscrvlJU ~u~

NIJ exercícia 1. para caJa fletha vermelha de f'exi,lc uma preta de

r' em

sen1ido inverso No exerc;~io 2, para cada flecha a,ul ~e S exi'te uma fleeha

laranja de S" em senlido inverw

OI': U,"f \1000 GERAL

Seja uma relação R rcpresemada por flechllf< A relação que se oblém inver1endo o scntldo das flechas

e

a invl'TSQ d~ rel~ç,;o R AnOle:

Indicamos a'relação inverSll da relação R por R',

Grupo 11 _ Exercicios de Aplicaçio

\) Seja /' um çonjun1o Je pessoas e R a relação sobre I' definida por "x~paidey". Complete' AR-'édefinid3pOT' "xé

~(L <r'

P'h-'..- ,;.(,,;.

2) QUJI é

a

in"e~ da relação definida pOr;

·xéoQuíntuplodcy"?

"'.L.e:

;a.

7'

2 ,

b/'(!f

li

...ai.J-)'

3) Qual é a invcTS<l da relação definida por:

·xéoeubodey':

"

r

4) a) No diu~rama, represente por flechas

vermelhas a relaçào M sobre A definida por'

."<l'.

(19)

b) No mesmo diagmma. represente pOr fleehas verdes a relação ,\/"' sobre A.

c) Qual a sentença que define Ir'?

..J::

>r-5) Coloque Vou

F

:

a)Se(a, b) E Rentão(b,a) E R-' (vI

b)Se(a, a) E R entâo(a, a) E:l 11."' (f'l

6) Complete

a)S"SC A ~BentãoS" C

b)Se f'CA xA então"-' C

COMPOSiÇÃO DE RELAÇÕES

Grupo 111 _ Exercicios Preliminares

]) Sejam OS conjuntos de pessoas'

A = la, b, c,

di

B ..

le./.

g.

hI

Cs li,}, I<:,ml

e as ~Iações I de ti em B defLnida pOr

"x é irmã" de y" I' de B em C definida pOr:

·xépaidey· de acordo com o diagmma ao lado

a) Tnlte em prelo, no diagrama, as flechas

que rtprcsef\\am a relação '/' de ti em C: T-l(a,}), (á, 1<), (t,/JI

bJ

Qual a sentença que define a

~tação

'I? "..{"

~

~.

A B

fZ

-

...

,

•

2) Sejam os conjuntos; A - lxEl\lolx<SI B ..

I

x

E IV I 11

<

x

<

]SI C-(xE 1111 xépare20 ';;x<301 e as relaçôe$' T de A em B definida pOr:

x-

3

x

O de B em C definida por x'"

2

x

"

2. ,.

-.::

"43.-

:

.:.

: '

• d .

b) Trace. no diagmma. as flechas que representam

r

e D.

cj Trace, no diagrama, aS flcehas

Que representam a relação S de A em C dclínida por: X " 6

x

..-I

--

~

"

Voct obscrvOtl que

No exercicio I./é imagem de a pela I

jéimagem de/pela P

logo,

i

é imagem de

a

peja T

O mesmo se observa de d para k e de c para ;

No exercicio 2, 12 é imagem de 4 pela T

246 imagem de 12 pela D

logo, 24 é im4cm de 4 pela S

O mesmo ~e observa de

5

para 30.

Anote'

Dizemos que:

No exercicio I, T é a re]açto composta de P com I e escrevemos:

r-

pol

No exercieio 2. S é a relação composta de O eom T e escrevemos'

(20)

DE UM MODO GERAL

Dados os conjuntos A. B e C c as relações R de A em B e S de B em C,

construímos uma relação T associando um elemento a de A com um elemento

c de C quando existe b, tal que (a. b) E R e (h. c) E S

A relação T é denominada relação compOSta de S e R c indicamos:

T~ SoR

Atenção:

I) Os conjunt()S A. B e C nuO são necessariamente diferentes nem disjuntos 2) Na anotação T ~ S o R. aplica-se em primeiro lugar a relação

da direita e depOis a da esquerda.

Grupo IV _ fxerciçios de Aplicação

I) Considere os conjuntos dos diagramas n). b) e c) e as relações neles representadas.

oi

b)

01

Trace aS ncehas que representam as relações compOstas 2) Dados: A - {I. 2. 3) B -j<l, b, C. d) C-{x.y.zf M ~ {( 1, aj, (2, b), (2. ''l, (3. c)f ~' N ~ {(a, x), (b, y), (d. 2»)

~ ~

ce

em vermelho, no diagrama, as Ilechas

• 3

Jl"'y

r1""l

'

que rcprcscntum A1oN.

~

I>""'"

'''''F:i?42

A SI' C)

~

/ b) Trace em verde, n() diagrama, as neehas ~-_ _ _ _

-=-

___

-=-

_---1

r.

rJ."

que representam N Q M. p

.""~

. - '

'" "'j;:"'i""

~

C

1"""'"'<

c) Complete:

~

,

I!I~p,tP""~,}P'~"" )t,

M"N

~

.Y

..

...-:f:'i;#'~

...

~~~

. NoA

f

~

~"",r

cfo ( " /

~

,

~

c,/?" d-"

'f"

3)DHdos

A

-

l

a,b.c.aj

B ~ {I'O, 20, 30, 40) R -{(a, 10),(b, 20), (h, 30») (1) Complete R-' K

I

(JLO~a,

b

}

"

,~)j

biTmo'M"',,,,,

A

~

_

-

"

em vermelhO, aS nechas que represenlHm

R

&--_ ---..- - 30 e, em Verlrc-;-as que representam R -, • d 40

<) Complete R oR-'_

R-' oR ~

d) Trace no diagrama acima em aTuí,as ncçhus que represenlam

R

Q X-I

e, em lj'1!(((:~s que represent~m R-' o R

Obse'vc que; RoR-'1- IC'oR 4) Seja B~ IxE ~ Ixépuren

<:

181 e as relações sobre A' AI definida por X ~ 3x N definida por x .... 3 2

(21)

c?~~~.Ji-~r-

'

-~I,~~

"

oví

~

..L

~/~

~

o/'!-'...ck1. ____

~II.,

a<A;I&ck1

w-,.éfpj

~

a) Trace em vermelho, nos diagramas -'

,.../~ ",A dos quadrosTêli. as flechas que I A

~. representam a relação AI.

b) Trace em Yerdc~ noS diagramas dos

quadros I e ll, as flechas que representam

a relação N

ç) Trace no quadro I, em

azulas

flechas

que representam No M. (preste atenção, uma flecha vermelha seguida de uma verde)

d) Trace no quadro ll, em i~;~ni;"

as flechas Ql1e repre,entam Mo N.

(pre~le

atenção: uma

f1"~:::i~

e) Complete:

NoM=

MoN

-DE UM MODO GERAL

Dadas duas relações R e S >obre um mesmo conjunto A, qllase sempre

R oS 'i< So R.

5) Voce sabe [) que é um árvore genealógica?

lÔ um dbgrama que ínclica as relações

<le parentesco

As pessoas cujos nomes eSl~o emhaixo

são filnas das pessoas cujos nOmes eSlão imediatamente acima

Observe a árvorc genealógica

de uma parte dH dinastia de Orléans e Bragança

D. Joao VI de Portugal

b) No diagrama. represenle em ãiuT a relação P o I' sobre F

c) Complete pela enumeração 1'01'_ d)Pol'édcfinidapor

I

(

i,.

p~'zj-rm~,orr4-

1 "

~~---""";

- - "

6) Você lembm

que uma relação 11 de A em R é uma junção quando

cado elemento de A tem uma

e umo.ó imagem em B [leia R.

Dados'

A-14,2.6~ B = 11, 2, 3~

C-IS. 4. 3,2, 1. 6f

a) No diagrama. lrace as flechas que representam as relações: (em vermelho) M de A em B, dcfinida por x ... L 2 (em

ã

iúí)

N deB em C. definida por x ... x

+

J (em

-v"

erd

e

)

No M de A em C b) Assinale Vou F: M é uma funçao (V ) N é urna função (V )

NoMé uma função (V )

c

(22)

1) Çonsidere

as

relaçõcs repre$entadas através du necllas.

o) ConStrua. por meio de ncellas coloridas. as relações compostas.

b) A rtlaçâofde A em 8 ~ funçio?

A-ro

A n:laçi1o

g

de B em C ~ funçâo? 4.L"I-" A composta g o f~ funç"o?

.4J'P'>

d

A

relação h de D em E ~ função?

..4.-. __

A n:lação I de E em F ~ funçJo? -Â./."."

A composta I o h ~ função?

..4/,...,

d)

A

relação} de G em H é função?

4.,,.,...

A relação I< de H em I é função? h"::;"

A

composta I< o j é funçlo?

""M

~) Tente construir uma composta de duas

funções que

n

50

seja função

DE UM MODO GERAL

A composta de duas funções é uma função.

8) Você lembra Que uma função! de A em B

é uma IJljecíio quando:

codo e/emen/{> de 8 I/magem de um e um 56 elemenlO de A pt'/o

f.

D

a

d

os

:

A •

lU,

SI

8 -

17.

11 .91

C-{9.S.71 Represente no diagf1lma.

por meio de flecllas de cores diferentes.

as fonçóell: RdeA em8 definida por -X'~X + 6~ 10 SdcBcmC definida por

"x'

-

·x

-

2" o) As.~inale com You F:

R é uma bijeçJo ( ,,)

S é uma bijeção ( y)

b) Repre$ente em vermelho no diagrama a composta S o R.

,j S o R é uma bijeção?

9) Con&idere U funções representadu

através de nechu no diagrama ao lado.

a) Construa u compostu por flechas

colorida •. b) A função m de A em B é bijeção? A função n de B em C 6 bijeção? A composta n o m é bijeção? c) A função p de D ~m E é bijeção? A função q de E em F é bijeção? A compO!lta q o p li bijeção?

d) Veja se consegue construir

uma compOsta de duas bijtÇÕCs

que não seja bijeção.

~

DE UM MODO GERAL

(23)

GRUPOS

Grupo I _ E:o;erclclo Preliminar

Considere o conjunto A

-lO!,

(I, b,

c1

(I) Complete: O!ob"

_Á..---e.(I .. ~ ~

-<-

-

-b) A operação. tem o elemento neulro? .4,,(:>"D~ _ _ _ _

r) Qual?

e) Sabendo que. ~ associativa.. complete: (b. a) • r = ---L..

a.(o.r)~

_c_

t:. {b. ó

..

---..& j) Complete: b.{o.c)- ...L. {o.o).r - ---'---(e. b) • r" ...B... t • t .. b • b .. ...--G_ entíioo simctricode ré ~

~entiioosimétficodeoé ~

L -enlão o simétrico de b ~ ~

-~enl.ãoosim~tricodec~ ~

Vod observou Que:

A O]MiI1lç.lO • definida em A c: comUlativa e associativa.

Ela tem elemento neutro e lodo elemento tem sim~trico

"

DE UM MODO GERAL

Dado um conjunto X c Uma opCração • em X, dllemos que (X, .) é um grupo.

Se • é associativa

c • tem elemento neUllO,

lodo elemento de X tem sim~uico.

Se. ainda, • é comutativa, ditemos que:

(X, .) é um grupo romufO//vt>.

Grupo li - Exerçícios de Aplicação

I) Seja o conjunto

GK (g. '. U,

e,

m.

aI

e a operação associativa !il,

definida pda Tábua

a) Complete:

.

,

, m m ,

b) Observe a Tábua e responda:

A operação $Iern elemento neutro?

~

,.L'

()

~I(,

a,.

Em relação a SI Qual O simétrico de g' ...,....,

de,~ .L de li? de el de m? de

Q'

r) (G, (1)) é um grupo? ;d/-rFJ

. 2) No me!imo conjunto G,

conSIdere a operação associativa 8, definida pela Tábua

(24)

Ob$erve a tábua e respOnda: o)AopeNlçAo 0::0 tem elemento neulro?

_

.A-b) Qual? c) Em ,elaçAo _ €l. qui o sim<!trico de r? de o? de g? de lI? d) (O. 0) é um lllUpO?

conjunto:) n~~1b.re as propriedades dos riCOS que voc~ conhece e reSpOnda: <l}(N.+)égrup(l? i'l';'" b) (N, x) é llmpO?

!_~.~

=

==:::

==---c) (z, +) <! llrupo? .h _ d) (z • xl <! llmpO?

1:1''''''

e) (o.

+

l

é grupO? 4 =

JJ

(o. xl <! llmpO?

,

~"~';',,--

_==

==

====:-g)(o·.xjégmpO? ~

complele co 4) mos numeros na) N:< figura ao ladaturao. is

~

\

'

seguindo as setas: 3

.fI~

~

,M-

I

A

\

pc;... '"

~

'"

6 ""

:~

" ,

~====2.-J

~A~

,

6\~A

"

p=

I

A.

B.

CI

'.

-Á--lO.

18E 4 -26E~ Complete com A. B ou C 3QOE B . . . . -1500E~ J845.E~ 4OOJE~

..

d

e~

n~dc1ad: o

pe

r~ção dl e

m P

paNl calcula segumte maneira: considere um

e

lem

e

n!~·tor

exemplQ,

A

(9

B

e um elemento d: ;,(por exemplo 15) por exemplo 22). V E~etue 15 + 22 - 37 enfoque que 37 E B' I}estem enlãoA

dl

B

-

n

000. complele a tábua.

e) A operação $ é associativa Responda: dl é

comutativ

a~

T<Xl Tem elemento

neutro~

o elemento de P tem

simé1rk~

em relação a $1 A , 4 B

c

"

A B A

,

B C

-"+-"

C

"

C C

_"

₈

_,4,.-,.,

/.ti""':' & -

<>

---:;Z-

??7Vn "'.:1

.9

J

d--

_

">n

___

_

(25)

S) Considere 3 cubos coloridOS: numa caiu .. e5(1uematizadO$ corno

na fIgura ao lado.

Damos nomes aos cubos.

Modifiquemos: agom a pOsição dos cubo$ na caixa, mo~endo-os

façamos passar o cubo I> para o lugar do cubo p, o cubo (para o lllgar do cubo 6, e o CUbo p para O lugar do cubo

c.

Este movimento se indica:

Ç0

o

.

(

!,:

)

Chamemos esta modiflçação de

m,

No conjunto C ~ 16.

c,

pl, m, é

a bijeçio representada pelo diagrama acima.

<lJ

Complete

bJ

Observe

os:

diagramas abaixo e complele:

~~C

~

€3:»C

(

.

,

)

/11,-

p-bL

~

Q!!y

C

m.

-

( b ' "

'-.i:L;4J

~

cé,~C

~

R

i(,C;;

mo

"

(

_

.

~.&..pJ

'"

"

6) Considere o conjunlo das bijeções

do exerçicio S.

8 -!

""""'"""",m •. m,.,,,,

1

Se voc~ fez. m. e o seu colep efeluou

" uguj,. m, voeis efetuaram a oomJIQSlç'O

das bijeções

m,

em •.

Vejamos qual é o resultado dessa composição de bijeções:

Pela

m.

você foi de b para

c,

e seu colega, pela /li I, foi de

c

para b. Enlào, de b foi·se para b.

<I) Complete:

Pelam,. ('plSAPllra~

e, peja /11.. passa para P

-Entio, ('

~u

para.

=

f,~

a,::::

====

Pela

/11..

,

passa para _

»

e, pela m I.

-r:'

-

passa para

---C-Enlio, p passou para _ _ ""-_ _

bJ

Efelue: m. o mo

Complele: b ~ pAra ~,e

6

PISSII para ~ . enlão.

"pas$OU

,,~ c.~~

(' I'U'*' para _~c~ > . - "

'*"'

para

----p----

enlão. c passou

Plra_~

p passa para

I"

'

c

p

. - pAra ~ ; enlio. p paDOU

(26)

c) Complete a tábua da operação o em 8. (Observe que na coluna à e5Querd~ ut. a bijeçio que é aplicada em 2.° lugar.)

d) Observe a tábua que v~ completou e responda: o mo m, m. m.

:

~

mo .""1

~

I J ....

"'s

m, ..,.,/ "",,,,,.,,

""1

m.I11<J

m

.

""',

..,.,~

- ..

""4 ...

""1<

o é comutativa em B?

=~"~

-

~=

====

====:====

A operação o tem elemento neutro?

.dU"'"

Qual?

""c

e) Complete: pela 0, o símétrico d_{de m,}e mo é é

~~~

.... '.

.

~~~~

~~

==~:=~~

dem.é ..,-.,;

de ... é

=+-de m. é

Q"'~

'

=_~:-:=

==

__

de m.é «""

/J

V~ sabe Que a operaçio" em 8 é associativa. Entio responda:

(8. o) é um Irupo1

"

~"<M:::===

=

===-=:,==--(8, o) é um grupo comutativo?

_

",",..:e

"

I

i

1 1,

I

L

IMPLlCAÇAo E EQUIVALÊNCIA

Grupo I - Exercicio Prelimirnlr Considere O conjunto:

A -

li.

3.

5, 71 e as senlenoras abertas:

P."x< 4 l/:x<6

aj Substitua nas sentenças abertas a letra

x

pelos elementos de A. e eSl:reva I' ou Fao lado das sent~nça., oblidas.

b) Quais os elementos de A que tornam pc 1/ verdadeiras?

r) Qual o elemento de A Que torna p fOi\.;! e

li verdadeira? d) Qual o elemento de A que toma p e 1/ falsa$? .. ) Há em A elementos que tornam p verdac.leira co li falsa?

"

Sl'rlll'rl(a P St"JI'"ça q

1<

'

1<6

<'f

'"

,r.::.

'f L 'f

<

~

§

I

.""

Vou F V V

V

J/

r

(27)

f) Se o conjunto considerado fosse RI. vod conselJuiria encontrar numeros nalUrais

que

'

Ubst

i

I

U

(

d

~

~e~d~

d

:

i

~

n

t

~

~"ta~

sa

~

11;0

_

L

C

Voei! observou Que:

Não

e~ist

e.

em Á,

e

l

e

m

e

nl

o~e

P verdadeira li q falsa. Em

;;--l

você também não conseguiu achar elementos nestas

c

ondiç

ões

.~

LinwuQgem corrente

x<

4 implica

x<

6 Dizemos Que: LingungemJiQumlóticQ

~

x

<4

_

x<6

~

DE UM MODO OER,\L

Se p e q $ão duas sentenças abertas com a mesma variável e se a variável

p<Xle tomar valores dentro de um conjunto X. dizer que

pimpliuqoup" q

significa que:

todos os elernenlO$ de X que tornam p verdadeira tornam

também q verdadeira, isto é. o conjunto-verdade de p está contido no conjunto-verdade de q.

Grupo 11 -ElIerelcioa de Aplie8ção I) Coloque You I"(universo 2 I: x=7-x+3·IO IV