1
RESPOSTAS - Exercícios do Estudo de Funções.
f : A→ , A , y= f x
( )
Prof. Me. Ayrton Barboni 1) Estudar a monotonicidade das funções
a) 2
( ) 3 4
f x =x − x+
Temos que f x'( )=2x−3. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )=0 2x− =3 0 =x 3/ 2
2º) Sinal de f ': − + − + 3/2 3/2
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− , 3/ 2] e estritamente crescente em [3/ 2, + [. b) 3 2 ( ) 4 1 f x =x − x + Temos que 2 '( ) 3 8 f x = x − x. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 2 8 / 3 '( ) 0 3 8 0 S {0, } f x = x − x= = 2º) Sinal de f ': + − + + − + 0 8/3 0 8/3
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [0,8 / 3] e estritamente crescente em ]− , 0] e [8 / 3,+ [.
c) 2
( ) 5 3
f x = x− x
Temos que f x'( )= −5 6x. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )=0 −5 6x=0 =x 5 / 6
2º) Sinal de f ': + − + − 5/6 5/6
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [5 / 6, + [ e estritamente crescente em ]− , 5 / 6]. d) 4 2 ( ) 4 3 f x =x − x + Temos que 3 '( ) 4 8 f x = x − x. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 3 '( ) 0 4 8 0 S { 2, 0, 2 } f x = x − x= = − 2º) Sinal de f ' − + − + − + − + − 2 0 2 − 2 0 2 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− −, 2] e [0, 2]
estritamente crescente em [− 2, 0] e [ 2,+ [. e) 2 ( ) x f x =x e Temos que 2 '( ) x(2 ) f x =e x+x . Estudo do sinal de f ':
2 1º) P/ 2 '( ) 0 x(2 ) 0 S { 2, 0} f x = e x+x = = − 2º) Sinal de f ': + − + + − + − 2 0 − 2 0
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [ 2, 0]− e estritamente crescente em ]− −, 2] e [0, + [.
f) f x( )=x ex
Temos que '( )f x =ex(1+ . Estudo do sinal de x) f ': 1º) P/ '( ) 0f x = ex(1+x)=0 = −x 1
2º) Sinal de f ' − + − + − 1 − 1
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− −, 1] e estritamente crescente em [ 1,− + [.
g) f x( )=x.ln ,x x0
Temos que f x'( )=lnx +1. Estudo do sinal de f ':
1º) P/ 1 '( ) 0 ln 1 0 S { } f x = x+ = = e− 2º) Sinal de f ': − + − + 0 1 e− 0 1 e− 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 1
]0,e− ] e estritamente crescente em 1 [e− ,+ . [ h) 2 ( ) ln f x = x , x 0 Temos que '( ) 2 x f x = . Estudo do sinal de f ': 1º) P/ '( ) 0 2 0 x
f x = = não tem solução
2º) Sinal de f ' − + − + 0 0
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− , 0[ e estritamente crescente em ]0, + [. i) 2 ( ) /( 9) f x =x x − , x −3 e x 3 Temos que 2 2 2 ( 9) ( 9) '( ) x x f x − + − = . Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 2 2 2 ( 9) ( 9) '( ) 0 x 0 x f x − + −
= = não tem solução
2º) Sinal de f ': − − − − − − − 3 3 − 3 3
3 2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções
a) 2
( ) 3 2
f x =x − x+
Temos que f x'( )=2x−3. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )=0 2x− =3 0 =x 3/ 2
2º) Sinal de f ': − + − + 3/2 3/2
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− , 3/ 2] e estritamente crescente em [3/ 2, + [.
Temos que 2
3 / 2 3 / 2 3 / 2
( ) ( ) 3( ) 2 1/ 4
f = − + = −
4º) Ponto mínimo local: m(3/2, − 1/4).
b) 4 2 ( ) 2 f x =x − x Temos que 3 '( ) 4 4 f x = x − x. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 3 '( ) 0 4 4 0 S { 1, 0, 1} f x = x − x= = − 2º) Sinal de f ' − + − + − + − + 1− 0 1 1− 0 1
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− −, 1] e [0, 1]
estritamente crescente em [ 1, 0]− e [1, + [. Temos que 4 2 1 1 1 ( ) ( ) 2( ) 1 f − = − − − = − , f( )0 =( )0 4−2( )0 2 = e 0 4 2 1 1 1 ( ) ( ) 2( ) 1 f = − = − .
4º) Pontos de mínimo local: m1( − 1 , − 1) e m2(1, − 1)
Pontos de máximo local: M(0 , 0).
c) 3 ( ) 5 6 f x = x − x Temos que 2 '( ) 15 6 f x = x − . Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 2 '( ) 0 15 6 0 S { 10 / 5, 10 / 5} f x = x − = = − 2º) Sinal de f ' + − + + − + − 10/ 5 10/ 5 − 10/ 5 10/ 5
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [− 10/ 5, 10/ 5] e estritamente crescente em ]− −, 10/ 5] e [ 10/ 5, + [. Temos que ( 10/ 5) 4 10 5 f − = e ( 10/ 5) 4 10 5 f =− .
4º) Pontos de mínimo local: m ( 10/ 5, 4 10) 5 −
Pontos de máximo local: M ( 10/ 5, 4 10) 5
− .
d) 2
( ) 6 8
f x =x − x+
4 1º) P/ f x'( )=0 2x− =6 0 =x 3
2º) Sinal de f ': − + − + 3 3
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− , 3] e estritamente crescente em [3,+ [.
Temos que 2
3 3 3
( ) ( ) 6( ) 8 1
f = − + = −
4º) Ponto mínimo local: m(3, − 1). e) f x( )=xln ,x x0
Temos que f x'( )=lnx+1. Estudo do sinal de f ':
1º) P/ 1 '( ) 0 ln 1 0 f x = x+ = =x e− 2º) Sinal de f ': − + − + 0 1 e− 0 1 e− 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 1
]0,e− ] e estritamente crescente em 1 [e− ,+ . [ Temos que 1 1 1 ( ) 1. f e− = − e− = −e−
4º) Ponto mínimo local: 1 1 m (e−,−e− ). f) f x( )=ex2 Temos que '( ) 2 x2 f x = x e . Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )=0 2x ex2 =0 =x 0 2º) Sinal de f ': − + − + 0 0
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− , 0] e estritamente crescente em [0, + [.
Temos que 02
(0) 1
f =e =
4º) Ponto mínimo local: m (0, 1).
g) ( ) x2 f x =e−
Temos que f x'( )= −2x e−x2. Estudo do sinal de f ': 1º) P/ f x'( )=0 −2x e−x2 =0 =x 0
2º) Sinal de f ': + − + − 0 0
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em [0, + [ e estritamente crescente em ]− , 0].
Temos que 02
(0) 1
f =e− =
5 h) 2 ( ) 2 /( 1) f x = x x + Temos que 2 2 2 '( ) 2( 1) /( 1) f x = − x − x + . Estudo do sinal de f ': 1º) P/ 2 '( ) 0 2( 1) 0 S { 1, 1} f x = − x − = = − 2º) Sinal de − + − − + − 1− 1 1− 1
3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em ]− −, 1] e [1, + [
estritamente crescente em [ 1, 1]− . Temos que 1 2( 1)2 ( 1) 1 ( ) 1 f − − − + = = − , 1 2(1)2 (1) 1 ( ) 1 f + = = . 4º) Pontos de mínimo local: m( − 1 , − 1)
Pontos de máximo local: M(1, 1). 3) Estudar a concavidade das funções
a) 3 2 ( ) 4 3 f x =x − x + x Temos que 2 '( ) 3 8 3 f x = x − x+ e f ''( )x =6x−8. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0 6x− =8 0 =S {4 / 3} 2º) Sinal de f '' − + − + 4 / 3 4 / 3
3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]− , 4 / 3[ e concavidade p/ cima em e ]4 / 3, + [. b) 4 3 ( ) 2 f x =x − x Temos que 3 2 '( ) 4 6 f x = x − x e 2 ''( ) 12 12 f x = x − x. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 ''( ) 0 12 12 0 S {0,1} f x = x − x= = 2º) Sinal de f '' + − + + − + 0 1 0 1
3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]0, 1[ e concavidade p/ cima em ]− , 0[ e ]1, + [. c) f x( )=x.ln ,x x0 Temos que f '( )x =lnx+1 e f ''( )x 1 x = . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0 1/x=0 =S {} 2º) Sinal de f '' + + 0 0
6 d) 2 ( ) ln , 0 f x = x x Temos que f '( )x =2 /x e f ''( )x 22 x − = . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 ''( ) 0 2 / 0 S {} f x = − x = = 2º) Sinal de f '' − − − − 0 0
3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em −{0}.
e) f x( )=x e. x Temos que '( ) (1f x = +x e). x e ''( ) (2f x = +x e). x. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ ''( ) 0f x = (2+x e). x =0 + =2 x 0 = −S { 2} 2º) Sinal de f '' − + − + −2 − 2
3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]− −, 2[ e concavidade p/ cima em ] 2,− + [. f) 2 ( ) . x f x =x e Temos que 2 '( ) (2 ). x f x = x+x e e 2 ''( ) ( 4 2). x f x = x + x+ e . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 2 2 2 2 ''( ) 0 ( 4 2). x 0 S { , } f x = x + x+ e = = − − − + 2º) Sinal de f '' + − + + − + − −2 2 − +2 2 − −2 2 − +2 2
3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em ]− −2 2, − +2 2[ e concavidade p/ cima em ]− ,− −2 2[ e ]− +2 2,+ [.
4) Determinar pontos máximos ou mínimos de funções utilizando estudo concavidade
a) 2
( ) 3 4
f x = x − x
Temos que f'( )x =6x−4. Se f x'( )=6x− =4 0, então x =2 / 3. Questão: Teremos em x =2 / 3 ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. Temos que f ''( )x =6. Logo, f '' é positiva para todo x real e, sendo assim, a concavidade de f estará voltada para cima em x =2 / 3. Fato que nos permite concluir que aí teremos um ponto de mínimo local de f.
Sinal de f '' + + 2/3
7 Conclusão:
Ponto mínimo local: 2
2 / 3 2 / 3 ( ) 3( ) 4( ) 4 / 3 f x = − = − . Logo, m(2/3, − 4/3). b) 4 2 ( ) 2 f x =x − x Temos que 3 '( ) 4 4 f x = x − x. Se 3 '( ) 4 4 0, f x = x − x= então x −{ 1, 0,1}. Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x.
Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, com esta informação, resolveremos a questão. Temos que 2 ''( ) 12 4 f x = x − . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 , ''( ) 0 12 4 0 S { 3 / 3 3 / 3} f x = x − = = − 2º) Sinal de f '' + − + + − + − 3/ 3 3/ 3 − 3/ 3 3/ 3 Conclusão:
• = − é menor que x 1 − 3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,
4 2
( 1) ( 1) 2( 1) 1
f − = − − − = − e m( 1, 1)− − é ponto mínimo local de f.
• =x 0 é valor entre − 3/ 3 e 3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 4 2
(0) 0 2(0) 0
f = − = e M(0,0) é ponto máximo local de f.
• = é maior que x 1 3/ 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,
4 2
(1) (1) 2(1) 1
f = − = − e m(1, 1)− é ponto mínimo local de f.
c) f x( )=e−x2
Temos quef '( )x = −2xe−x2. Se f '( )x = −2xe−x2 =0, então x {0}. Questão: Teremos em x =0 ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. Temos que 2 2 ''( ) 2 x (1 2 ) f x = − e− − x . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 2 , ''( ) 0 2 x (1 2 ) 0 S { 2 / 2 2 / 2} f x = − e− − x = = − 2º) Sinal de f '' + − + + − + − 2/ 2 2/ 2 − 2/ 2 2/ 2 Conclusão:
• =x 0 é valor entre − 2/ 2 e 2/ 2 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 02
(0) 1
8 d) 3 2 ( ) 2 6 12 1 f x = x + x − x+ Temos que 2 '( ) 6 12 12 f x = x + x− . Se f'( )x =0, então x −{ 2,1}. Questão: Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x.
Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes para cada valor de x.
Temos que f ''( )x =12x+6. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0 12x+ =6 0 =S {−1 2/ } 2º) Sinal de f '' − + − + 1/ 2− 1/ 2− Conclusão:
• = −x 2 é valor menor que −1/ 2 e a concavidade de f é voltada p/baixo.
Logo, 3 2
2 2 2 2
( ) 2( ) 6( ) 12( ) 1 33
f − = − + − − − + = e M( 2− ,33) é ponto máximo
local de f.
• =x 1 é valor maior que −1/ 2 e a concavidade de f é voltada p/cima.
Logo, 3 2
(1) 2(1) 6(1) 12(1) 1 3
f = + − + = − e m(1, − 3) é ponto mínimo local de f.
e) f x( )=xln ,x x0
Temos que f'( )x =lnx+1. Se f '( )x =0, então x{e−1}. Questão:
Teremos em 1
x=e− ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. Temos que f ''( )x =1/x. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0 1/x=0 =S { } 2º) Sinal de f '' + + 0 0 1 e− Conclusão:
• A concavidade de f é voltada p/cima em
1 x=e− . Logo, 1 1 1 1 ( ) ln( ) f e− =e− e− = −e− e m(e−1, 1 e−
− ) é ponto mínimo local de f
f) 2 ( ) , 1 1 x f x x x = − Temos que 2 2 '( ) 2 ( 1) f x x x x = − − . Se f '( )x =0, então x {0, 2}. Questão:
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal em cada um destes valores de x.
9 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes para cada x . Temos que 3 ''( ) 2 / ( 1) f x = x− . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 3 ''( ) 0 2 /( 1) 0 S { } f x = x− = = 2º) Sinal de f '' − + − + 1 0 1 2 Conclusão:
• =x 0 é valor menor que
1
e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo,2
(0) 0 / (0 1) 0
f = − = e M( 0 , 0) é ponto máximo local de f.
• =x 2 é valor maior que
1
e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo,2
(2) 2 /(2 1) 4
f = − = e m(2, 4) é ponto mínimo local de f.
5) Determinar, se houver, os pontos de inflexão das funções
a) 4 2 ( ) 6 12 1 f x =x − x + x+ Temos que 3 '( ) 4 12 12 f x = x − x+ e 2 ''( ) 12 12 f x = x − . Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 ''( ) 0 12 12 0 S { 1,1} f x = x − = = − 2º) Sinal de f '' + − + + − + −1 1 1− 1 Conclusão:
• A f '' é zero em x = −1 e “troca de sinal” na vizinhança de − 1. Logo,
4 2
1 1 1
( 1) ( ) 6( ) 12( ) 1 16
f − = − − − + − + = − e I ( 1, 16)1 − − é ponto de inflexão de f . • A f '' é zero em x =1 e “troca de sinal” na vizinhança de
1
. Logo,4 2 1 1 1 (1) ( ) 6( ) 12( ) 1 8 f = − + + = e I (1,8)2 é ponto de inflexão de f . b) 4 3 ( ) 2 f x =x − x Temos que 3 2 '( ) 4 6 f x = x − x e 2 ''( ) 12 12 f x = x − x. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0
12
x
2−
12
x
=
0
=
S {
0,1}
2º) Sinal de f '' + − + + − + 0 1 0 1 Conclusão:• A f '' é zero em x =0 e “troca de sinal” na vizinhança de 0. Logo,
4 3
(0) (0) 2(0) 0
f = − = e I (0, 0)1 é ponto de inflexão de f .
• A f '' é zero em x =1 e “troca de sinal” na vizinhança de
1
. Logo,4 2
1 1
(1) ( ) 2( ) 1
10 c) f x( )=e−x2 Temos que f'( )x = −2x e−x2 e f''( )x = −2e−x2(1 2− x2). Estudo do sinal de f '': 1º) P/ 2 2 2 ''( ) 0 x (1 2 )
0
S {
2 / 2, 2 / 2}
e f x = − − − x=
= −
2º) Sinal de f '' + − + + − +−
2 / 2 2 / 2−
2 / 2 2 / 2 Conclusão:• A ''f é zero em x =
−
2 / 2 e “troca de sinal” na vizinhança de−
2 / 2. Logo, ( 2 / 2)2 1/ 2( 2 / 2)
f
−
=e− − =e− e 1/ 2 1 2 / 2I (− ,e− ) é ponto de inflexão de f • A f '' é zero em x = 2 / 2 e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2 . Logo, ( 2 / 2)2 1/ 2 ( 2 / 2) f =e− =e− e 1/ 2 1 2 / 2 I ( ,e− ) é ponto de inflexão de f . d) 3 ( ) 1 f x =x + Temos que 2 '( ) 3 f x = x e f''( )x =6x. Estudo do sinal de f '': 1º) P/ f ''( )x =0 6x
=
0
S {0}= 2º) Sinal de f '' − + − + 0 0 Conclusão:• Note que '(0)f = f ''(0)=0, mas f '''(0)=6 ( 0) e f '' “troca de sinal” na vizinhança de x =0, assim teremos ponto de inflexão horizontal em x = 0. Logo, f(0)=(0)3+ =1 1 e I(0, 1) é ponto de inflexão horizontal de f.
Observe, neste exemplo, que a 'f não troca se sinal na vizinhança de 0, logo não poderia ter ponto de máximo ou mínimo em x = 0.
6) Obter, se houver, as assíntotas das funções: a) ( ) , 1 1 x f x x x = − 1º) Assíntota horizontal:
Temos que lim lim 1 (finito) 1 x x x x x x → − = → = . Logo, r: y =1 é assíntota horizontal. 2º) Assíntota vertical
Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
1 1 1 lim ( ) lim 1 0 x x x f x x → − → − − = = = − − e 1 1 1 lim ( ) lim 1 0 x x x f x x → + → + + = = = + − .
O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x =1 como assíntota vertical.
11 3º) Assíntota inclinada: y=a x b+
(Deverá ocorrer lim ( )
x f x a x → = e lim
( )
x b f x ax → = − ambos finitos)Temos lim 1 lim 1 0 1 x x x x a x x → → − = = = − e 1 0 1 lim x x x x b → − − = = (finitos). Logo, r:
y
= 0 x + 1
é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). Obs: Utilizamos x → apenas por comodidade, visto que os limites têm o mesmo valor. b) 2 ( ) , 1 1 x f x x x = − 1º) Assíntota horizontal: Temos que 2 2lim lim lim
1
x x x
x x
x
x x
→ − = → = → = . Logo, não há assíntota horizontal.
2º) Assíntota vertical
Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
2 1 1 1 lim ( ) lim 1 0 x x x f x x → − → − − = = = − − e 2 1 1 1 lim ( ) lim 1 0 x x x f x x → + → + + = = = + − .
O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x =1 como assíntota vertical.
3º) Assíntota inclinada: y=a x b+
(Deverá ocorrer lim ( )
x f x a x → = e lim
( )
x b f x ax → = − ambos finitos) Temos 2 1lim lim lim 1
1 x x x x x x x a x x x → → → − = = = = − e 2 1. 1 lim x x x x b → − − = = 2 1 1 ( 1) lim lim 1 x x x x x x x x → − → − − − = == = (ambos finitos).
Logo, r:
y
= 1 x + 1
é assíntota inclinada. c) 3 2 8 ( ) x , 0 f x x x + = 1º) Assíntota horizontal: Temos que 3 3 2 2 8lim lim lim
x x x x x x x x → → → +
= = = . Logo, não há assíntota horizontal.
12 2º) Assíntota vertical
Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
3 2 0 0 8 8 lim ( ) lim 0 x x x f x x → − → − + = = = + e 3 2 0 0 8 8 lim ( ) lim 0 x x x f x x → + → + + + = = = + .
O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x =0 como assíntota vertical.
3º) Assíntota inclinada: y=a x b+
(Deverá ocorrer lim ( )
x f x a x → = e lim
( )
x b f x ax → = − ambos finitos) Temos 3 3 3 2 3 3 8 8lim lim lim 1
x x x x x x x a x x x → → → − − = = = = e lim 3 28 1. x x x x b → − − = 3 2 2 2 8 8 ( ) lim lim 0 x x x x x x x → → − − − = = = (ambos finitos).
Logo, r:
y
= 1 x + 0
é assíntota inclinada. d) f x( ) senx, x 0x
=
1º) Assíntota horizontal:
Temos que lim sen lim[finito] 0
x x
x
x x
→ = → = (finito). Logo, :r y =0 é assíntota horizontal.
2º) Assíntota vertical
Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
0 0 sen lim ( ) lim 1 x x x f x x
→ = → = (finito), limite fundamental.
O fato de não haver limite tendendo ao infinito implica que não existe assíntota vertical.
3º) Assíntota inclinada: y=a x b+
(Deverá ocorrer lim ( )
x f x a x → = e lim
( )
x b f x ax → = − ambos finitos) Temos 2 finito2 sen sen [ ]lim lim lim 0
x x x x x x a x x x → → → = = = = e lim sen 0. x x x x b → − = sen lim 1 x x x → = = (ambos finitos).
13 e) ( ) 2, 1 ( 1) x f x x x = − 1º) Assíntota horizontal:
Temos que lim 2 lim 2 lim 1 0 (finito) ( 1) x x x x x x x x → − = → = → = . Logo, r: y =0 é assíntota horizontal. 2º) Assíntota vertical
Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
2 1 1 1 lim ( ) lim ( 1) 0 x x x f x x → − → − + = = = + − e 1 1 2 1 0 ( ) ( 1) lim lim x x x f x x + → + = → + − = = +
O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x =1 como assíntota vertical. 3º) Assíntota inclinada: y=a x b+ Temos 2 2 1 ( 1) lim lim 0 ( 1) x x x x a x x → → − = = = − e 2 0 ( 1) lim 0 x x x x b → − − = = (finitos).
Logo, r:
y
= 0 x + 0
é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). f) 2 ( ) , 2 2 x f x x x = − + 1º) Assíntota horizontal: Temos que 2 2lim lim lim
2
x x x
x x
x
x x
→ + = → = → = . Logo, não há assíntota horizontal.
2º) Assíntota vertical
Vemos que x = − 2 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-ção do domínio de f e, também, que
2 ( 2) ( 2) 4 0 lim ( ) lim 2 x x x f x x − → − − → − − = = = − + e 2 ( 2) ( 2) 4 0 lim ( ) lim 2 x x x f x x + → − + → − + = = = + +
O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: x = −2 como assíntota vertical. 3º) Assíntota inclinada: y=a x b+ Temos 2 2 2
lim lim lim 1
x x x x x x x x x x a → → → + + = = = = e 2 1. 2 lim x x x x b → + − = = 2 2 2 2 ( 2) lim lim 2 x x x x x x x x → → − + + − + = = = − (ambos finitos).
14 7) Esboçar o gráfico das funções dadas
a) b) c) d) e) f) g) h) f(x) = x - x3 2 2 0 3 x f(x) = x - x4 2 1 0 2 y x -1 f(x) = x . x 1 0 y x ln x y f(x) = x - xarctg x y f(x) = x ex 0 x y f(x) = 2 0 x - x2 1 x y f(x) = e 0 /x 1 x y f(x) = 0 x - 12 x ( ) 1
15 i)
8) A função f, real de variável real, tem seu gráfico cartesiano descrito abaixo. Sabendo- se que possui derivadas até terceira ordem, pede os esboços gráficos de f ' e f ''.
a) I1(0, 3) e I2(?, 2) são pontos de inflexão de f.
m1(-1, 2) e m2(3, 0) são pontos mínimos de f.
M(1, 4) é ponto máximo de f.
b) f x '( ) 0 em x( ]− −, 1[ ]1, 3[ ), visto que f é decrescente nestes intervalos. f x '( ) 0 em x( ]−1,1[ ]3 , + [ ), visto que f é crescente nestes intervalos. f x ='( ) 0 em x −{ 1, 1, 3}, visto que f tem pontos de máximo e mínimo.
x y f(x) = 0 x + 2 2 x
16 c) f ''( )x 0 em x ]0 [, ? , pois f tem concavidade voltada para baixo neste intervalo. f ''( )x 0 emx( ]− , 0[ ]? , + [ ), pois f tem concavidade voltada para cima nestes intervalos.
