MáterialdeAlgebra2011(01)

CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

* Material elaborado em sua maioria pelo professor Sergio

Abrahão

MATRIZES

Noção :

Exemplo:

Vendas de automóveis em uma agência no trimestre: Marca Jan fev mar

Palio 20 18 15 Corsa 10 13 8

Ka 15 15 10

Uno 2 10 4

Este é um exemplo de matriz 4x3, onde tem-se 4 linhas e 3 colunas

            11 10 6 10 15 15 8 13 10 15 18 20

A ordem de uma matriz é dada pelo nº de linhas e de colunas que a constituem.A matriz mxn tem m linhas e n colunas.

Matriz de ordem mxn é um quadro de mxn números dispostos em m linhas e n colunas

a11 a12 a13...a1n a21 a22 a23.. a2n am1 am2 ...amxn

A matriz na qual m= n é quadrada e se representa por An e se diz ordem n

Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: aij. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

princi diago Aprese 1a) Ma É a ma Exemp 1o_{) A =} 2a) Ma É a ma Exemp 3a) Ma É a ma Exemp 4a_{) Ma} É a ma Exemp Diagonal pal Diagonal nal secund entamos aqu atriz Linha

atriz que pos

plos

= [–1, 0]

atriz Coluna

atriz que pos

plos

atriz Nula

atriz que pos

plos

atriz Quadra

atriz que pos

plos

principal : secundária dária .

ui a nomencla

ssui uma únic

2o_{) B=[1}

ssui uma únic

ssui todos os da ssui o número Os eleme a: Os elem

Matrize

atura de algu ca linha. 0 0 2] ca coluna. elementos ig o de linhas ig entos aij e mentos aij

es Espec

umas matrize guais à zero gual ao núme m que i=j em que i+

ciais

es especiais: . ero de coluna constituem +j = n+1 c as. m a diagon constituem nal a

Obser 1a) Qu 2a) Da conjun Exemp {a11, a2 3a) Da conjun Exemp {a14, a2 5a) Ma É a ma iguais Exemp rvações uando uma m da uma matr nto dos eleme

plo

22, a33, a44} é

da a matriz q nto dos eleme

plo 23, a32, a41} é atriz Diagon atriz quadrad a zero. plos matriz não é q riz quadrada entos que po é a diagonal p quadrada de entos que po é a diagonal s nal da que apres quadrada, ela de ordem n, ossuem índic principal da m ordem n, ch ossuem a som secundária d senta todos o a é chamada , chamamos ces iguais. matriz A. hamamos de ma dos dois da matriz A. os elementos a de retangu de diagonal diagonal se índices igua s, não pertenc lar. l principal d ecundária da l a n + 1. centes à diag a matriz ao a matriz ao

6a) Ma É a ma Repres Exemp Obser Para u 7a) Ma Da se Ex Tra 1º 2º Obser Se um atriz Identida atriz diagona sentamos a plos rvação uma matriz id atriz Transpo

ada uma mat , “ordenadam xemplos ansposta. Qu 1 0 ) A= 2 1 1 0 º ) B= 2 3       rvação ma matriz A é ade al que aprese matriz identid dentidade In = osta triz A, chama mente”, suas ue sofreu mu t 3 então A 4 então B     =   de ordem m enta todos os dade de orde = (aij)n × n amos de matr linhas por co dança de pos t A = = m × n, a matri s elementos d em n por In. riz transposta olunas. Indic sição (linha po z At_{, transpo} da diagonal p a de A a mat camos a matr or coluna). osta de A, é d principal igua triz obtida de riz transposta de ordem n × ais a 1. e A trocando-a de A por A × m. -t_.

Exemplos: 1- Seja a matriz :             − − − − 5 2 7 2 3 4 1 4 0 7 3 1

a) Qual é a sua ordem?

b) Quantos elementos ela tem?

c)Complete: a41=...a22=...a32=...a13=... IGUALDADE DE MATRIZES

Sejam A e B matrizes de ordem mxn . Um elemento a da matriz A e um elemento b da matriz B são correspondentes se eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.

As matrizes A e B são iguais, se e somente se , têm mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais.

Exemplo Se _      − − + + b a y x b a y x = _      − 3 1 1 5 , determine x, y, a e b

OPERAÇÕES COM MATRIZES: Adição e subtração

Sejam A e B, matrizes de mesma ordem mxn , C = A + B, onde A =

[ ]

a mxn _ij

e B =

[ ]

b mxn _ij Cij = aij + bij Exemplo: A = _      −3 5 2 1 e B= _      − −2 7 6 0 A + B = _      − + − + − + + ) 7 ( 5 ) 2 ( 3 6 2 0 1 = _      − −5 2 8 1

Propriedades: comutativa A+B = B +A

SUBTRAÇÃO

A diferença de matrizes A – B define-se por: A-B = A+(-B) Exemplo :A = _      0 4 3 7 e B = _      − − 1 4 2 5 A –B = _      1 0 5 2

Produto de um escalar por uma matriz

Se α é um escalar e A uma matriz, então αA é uma matriz tal que αij = αaij Exemplo: 2 x _      − 2 0 3 4 = _      − 4 0 6 8

Multiplicação de Matrizes

Consideremos inicialmente o problema abaixo:

A aprovação de um aluno de um determinado colégio, sem a necessidade de fazer os exames finais em uma disciplina, é determinada quando o total de pontos que o aluno consegue é igual ou superior a 50 pontos. Para obter esses pontos, as notas dos quatro bimestres devem ser multiplicadas respectivamente por 1, 2, 2 e 3 (pesos), e em seguida os produtos são somados. Assim, por exemplo, se as notas de um aluno, em Português, foram 7, 6, 5 e 8, o total de pontos será:

Total = 7 · 1 + 6 · 2 + 5 · 2 + 8 · 3 = 53

Consideremos agora a tabela das notas de um determinado aluno e analisemos a situação desse aluno quanto à dispensa ou não dos exames finais.

Essa t Consid bimest Vamos Assim Ao fina Portug Matem Ciênci Históri Geogr Inglês: Dessa abela de not deremos ago tres do ano. s chamar ess : al do ano, os guês: 8 · 1 + mática: 7 · 1 + as: 5 · 1 + 4 a: 8 · 1 + 5 · afia: 6 · 1 + 7 : 4 · 1 + 8 · 2 a forma, obte tas é a matriz ora a tabela d sa tabela de s totais de po 9 · 2 + 6 · 2 + + 5 · 2 + 5 · 2 · 2 + 6 · 2 + 2 + 6 · 2 + 7 7 · 2 + 7 · 2 + + 7 · 2 + 6 · mos a matriz z N. dos pesos at pesos de ma ontos em cad + 6 · 3 = 56 2 + 7 · 3 = 48 8 · 3 = 49 7 · 3 = 51 + 6 · 3 = 52 3 = 52 z T dos totais ribuídos às n atriz P. a uma das d 8 s de pontos. notas de cada disciplinas sã a disciplina a ão: ao longo dos 4

Ao ana discipl obtido que fo Dessa N · P = Esque Assim Defini O prod matriz os elem assim Esque alisarmos a m inas de Mate pela multipli rmam a colu a forma, indic = T ematicamente : ção duto (linha po , mentos da li obtidos. Indi ematicamente matriz T, con emática e Ciê cação orden na da matriz camos: e, temos: or coluna) de de modo qu nha i de A p camos: e: ncluímos que ências. Obse nada dos elem z P. e uma matriz ue cada elem elos element o aluno não ervemos ago mentos de um mento cij é obt tos da colun o está dispen ra que cada ma linha da m

por uma mat tido multiplic na j de B, e s sado do exa elemento da matriz N pelo triz cando-se orde somando-se o

ame final nas a matriz T foi os elementos é uma enadamente os produtos s

Em qu Da def 1. Só e ao núm 2. A m

Exer

01. Da afirma Resol O prod ue: cij = ai1 · b finição, deco existe o prod mero de linha matriz C, prod

rcícios

adas as matr tivo, calcule ução duto AB exist b1j + ai2 · b2j + orre que: duto de uma as de B. duto de Am×p izes esse produto te e C é de o + ... + aip · bpj matriz A por por Bp×n, é d o. ordem 3 × 2, j uma matriz B o tipo m × n. ou seja: B se o núme verifique se ero de coluna e existe AB e as de A é igu e, em caso al

c11 = 1 c12 = 1 c21 = 3 c22 = 3 c31 = 1 c32 = 1 Assim: 02. A m cad.jg      4 3 3 3 3 4 e a m e Ada Ma A    4 8 2 5 Qual a 1 · 2 + 2 · 3 = 1 · (–1) + 2 · 0 3 · 2 + 0· 3 = 3 · (–1) + 0 · 0 1 · 2 + 2 · 3 = 1 · (–1) + 2 · 0 : matriz A aba c      4 3 3 quasetudo Temnada Temtudo atriz B repre Ada    jogosdeca cadern a matriz custo 2 + 6 = 8 0 = –1 + 0 = 6 + 0 = 6 0 = –3 + 0 = 2 + 6 = 8 0 = –1 + 0 = ixo represen o senta a quan etas an nos o do material –1 –3 –1 nta o preço d ntidade de ca l dos filhos n de cadernos e adernos e ca as 3 papelar e jogos de ca anetas neces rias? anetas em 3 p ssários para 2 papelarias: 2 filhos: Márrio

03. Da existam 04. Da 05. Da 06. Da 07. Da existam 8. Sen a) (A + adas as matr m. adas as matr adas as matr adas as matr adas as matr m. ndo + B)2 izes izes izes izes izes, e e e e , obter: , , obter , obter o , obter A e obter os pro r AB e BA, ca os produtos A A · B , obter odutos AB e B aso existam. AB e BA. r A · B e A · C BA, caso C, caso

b) A2 + c) A2 + a) b) c) Propr a)Não b)É as c)dist d) (α.A Exerc 1) Co moch cada quant Analis a) A q b) A q c) A s d) a so e) a s 2)Con + 2 · A · B + B + A · B + B · A (A · B)t At · Bt Bt · At riedades da o é comutat ssociativa: ributiva: A( A).B = α(A cícios de ap onsideremo ilas. A mat loja na pri tidade do p sando a ma quantidade quantidade soma das q oma das quan soma de ca nsidere 3 ag B2 A + B2 a multiplicaç tiva (AB).C = A B+C) = A.B .B) plicação: os 3 lojas L triz a segu imeira sem roduto Pi v atriz, podem de fichário de caderno uantidades ntidade de c dernos e fic gências de ção A.(B.C) B +A.C L1,L2,L3, e ir descreve mana de de endida pela L1      16 12 10 15 19 30 mos afirmar s vendida p os vendida s de mochila adernos ven chários ven carros e 3 e três tipos e a quantid ezembro. C a loja. 3 2 L L      11 6 8 0 20 9 moch fichá cade r que: pela loja L2 pela loja L as vendida ndidos pelas ndidos pela modelos n de produt dade de cad Cada eleme hila ário erno 2 é 11. 3 é 30. s pelas 3 lo lojas 1,2,3 é loja L1 é 4 egociados. os caderno da produto ento da ma ojas é 40. é 52. 45. .Seja: os,fichários o vendido e atriz indica s e em a

• Preço dos automóveis.

Nas linhas estão as agências A,B,C e nas colunas os carros 1,2 e 3(na ordem citada)           15900 14990 12990 15980 15900 12890 15990 14990 13900

• Preço dos seguros de carro.

Nas linhas estão as seguradoras d,e,f e nas colunas os carros 1,2 e 3 (na ordem citada)

          1150 1100 1050 1200 1050 1150 1200 1200 1000

Sabe-se que a agência A só utiliza a seguradora d, a agência B utiliza a seguradora e, e a agência C utiliza a seguradora f, assim a diferença entre o maior e o menor preço

do conjunto carro+seguro é? a) 3050,00 b) 3150,00 c) 3060,00 d) 315,00 e) 306,00

3) A matriz abaixo fornece em reais o custo das porções de sorvete de creme, chocolate e morango ,respectivamente , usadas em uma lanchonete;

C= ) ( ) ( ) ( 2 3 1 m morango ch chcocolate c creme          

A matriz P fornece o número de porções de sorvetes usadas na composição das taças tipo P1,P2,P3

c ch m P= 3 2 1 0 2 2 1 2 1 1 1 2 P P P          

A matriz custo das taças P1,P2 e P3 respectivamente está indicada na alternativa: a)           8 9 7 b)           4 4 4 c)           4 11 9 d)           8 6 2 e)           4 2 2

4) Le mo a s Em Ma Ma Elabor

Defi

No con de a, s Norma seguin Defini Uma m quadra Uma indú evion nas v ontagem de seguinte inf m termos m atriz peça-c atriz carro-v re a matriz pe

nição de

njunto dos nú satisfazendo almente indic nte: ção matriz A, qua ada de ordem ústria autom versões Pa esses carro formação. matriciais, te carro      2 6 5 3 3 4 versão _   3 2 eça-versão.

e Matriz I

úmeros reais a condição: camos o inve adrada de ord m n, tal que: mobilística drão, luxo os. Para um P P P Carr Carr emos:      2 5 3    5 2 3 4

Inversa

s, para todo a. b rso de a por dem n, diz-se A. B produz os e superlux m certo pla Ca Pa Peça A Peça B Peça C ro Pavion ro Levion , existe b = b. a = 1 1 a ou a –1_{. An} e inversível B = B A = In s carros de xo. Peças A no de mon arro avion LevCa 4 3 6 padrão lu 2 3 um número nalogamente se, e somen e brinqued A,B,C são ntagem, é d arro vion 3 5 2 uxo superl 4 3 2 5 b, denomina e para as ma te se, existir o Pavion utilizadas n dada a segu luxo ado inverso trizes temos uma matriz B e na uir o B,

A matr Exemp 1o) Ve Resol Como 2o_{) En}

Exer

01. Ob Re riz B é denom plos rifique que a ução A · B = B · A contre a mat

rcício Re

bter a matriz esolução: minada inver matriz A = I2, a matri triz inversa d

esolvido

inversa da m rsa de A e ind é a iz B é a inver a matriz matriz dicada por A a inversa da rsa de A, isto –1_. matriz o é, B = A–1.

02. a) b)_   3 1 c)_   1 2 d)    4 1 03. a) b) (A–1

Intro

Obter a ma    4 2    4 3    − 1 2 Verificar as (A– 1₎t _{= (A}t₎–1

odução

atriz inversa d s propriedade 1₎–1 _{= A}

D

da matriz es abaixo pa

Determin

ra a matriz

nante – D

Definição

o

Chama como soluçõ Esta te denom matriz

Defi

A. Det Seja a númer Exemp B. Det Seja a Chama Para fa entre o secund Esque amos de dete Leibniz e Se ões de um “si eoria consiste minamos dete A entre duas

nições

terminante d a matriz quad ro: plos terminante d a matriz quad amos de det acilitar a mem o produto dos dária. ematicamente erminante a ki Shinsuke istema linear e em associa erminante d s barras vert de uma Matr drada de orde de uma Matr drada de orde terminante d morização de s elementos e: teoria desen Kowa, que p r”, assunto qu ar a cada ma e A e que in ticais, como n riz de Ordem em 1: A = [a1 riz de Ordem em 2: dessa matriz esse número da diagonal nvolvida por m procuravam u ue estudarem atriz quadrad dicamos por no exemplo a m 1 1]. Chamamo m 2 o número: o, podemos d principal e o matemáticos uma fórmula mos a seguir a A, um únic r det A ou co abaixo: os determin dizer que o d o produto dos dos séculos para determ r. co número re olocamos os e ante dessa m eterminante s elementos d s XVII e XVIII inar as eal que elementos da matriz o é a diferença da diagonal I, a a

Exemp C. Det Seja a Chama Para m denom 1º) Re plos terminante d a matriz quad amos determ memorizarmo minada Regra petimos a 1o de uma Matr drada de orde minante dess os a definição a de Sarrus: o _{e a 2}o _colun riz de Ordem em 3: sa matriz o n o de determi : nas à direita d m 3 número: nante de ord da matriz.

2º)

Exer

01. Resol Utilizan a) Rep det A = det A = Respo b) Rep Multiplicando

rcícios R

Calcule o d ução ndo a regra d petir a 1a e a = 1 · 2 · 4 + 2 = 8 + 4 + 0 – osta: det A = petir a 1a _{e a} o os termos e

Resolvido

determinante de Sarrus, te 2a colunas: 2 · 1 · 2 + 4 · – 16 – 0 – 24 – 28 2a _linhas:

entre si, segu indicado do

os

da matriz: eremos: 3 · 0 – 2 · 2 uindo os traç os produtos, · 4 + – 0 · 1 · ços em diago temos: · 1 – 4 · 3 · 2

det A = det A = Respo Resol x · 3 Terem Respo = 2 · 2 · 1 + 3 = 4 + 0 + 8 – osta: det A = ução 3 · 0 + 1 · 4 · mos: –10 = 8 – osta: x = 18 3 · 0 · 4 + 1 · – 16 – 0 – 24 – 2802. Res 2 + 3 · 2 · 0 – – x 2 · 4 – 2 · 2 solver em R: – 2 · 3 · 3 – 0 2 · 4 · 4 + – 1 · 0 · 0 · 4 · x + – 0 – 1 · x = 8 – · 1 – 3 · 2 · 4 0 · 2 · 1 = 0 + x 8 + 0 – 18 –– 0 – 0 = –100

Men

Dada u aij, e in suprim Exemp Chama menor Exemp

or Comp

uma matriz q ndicamos por mindo a linha plo amos co-fato r complemen plo

Determ

plementa

quadrada A= r Mij, o determ i e a coluna j or do elemen tar de aij.

minantes

ar e Co-f

(aij )nxn minante da m j da matriz A nto aij, e indic

s – Teore

fator

, chamamo matriz quadra A. camos com A

ema de L

os menor com ada de ordem Aij, o número

Laplace

mplementar m n – 1, que o (–1)i+j · Mij, e r do elemento se obtém em que Mij é o o

Assim Defin Vim produt Exemp : ição

mos até aqui

Então o de tos dos elem

plos:

Det

i a definição eterminante entos da prim

terminan

de determina de uma ma meira linha d

te de um

ante para ma atriz quadrad a matriz pelo

ma Matriz

atrizes quadr da de ordem os respectivo

de Ordem

radas de orde m n, , é os cofatores.

m n

em 1, 2 e 3. é a soma ddos

Assim det A = Nota: m: = a11 · a22 + a Observamo a12 · (– a21)

Nota: det A = Assim det A = det A = Observamo = 2 · A11 + (– m: = 2 · (–14) + = 1 os que este v –3) · A12 + 2 · (–3) · (+17) + valor coincide A13 + 5 · A14 + 2 · (–5) + 5 e com a defin 4, onde: 5 · (+18)

Assim Nota: Obs faci

Teor

Seja A eleme Exemp Utiliza Notam linha, d det A = Devem teremo m: servamos qu ilitado.

rema de

A uma matriz ntos de uma plos ndo a 2a linh

mos que a esc deveríamos c = 2 · 35 = 70 mos escolher os que calcu ue quanto ma

Laplace

quadrada de fila (linha ou a para a apli colha feita le calcular 4 co r a 4a coluna lar apenas u ais “zeros” ap e ordem n, u coluna) qua icação do teo eva-nos ao cá o-fatores: Ass para a aplica m co-fator. parecerem na , seu det alquer pelos orema de La álculo de ape sim: ação do teor a primeira lin terminante é respectivos c place, temos enas 1 co-fat ema de Lapl nha, mais o c a soma dos co-fatores. s: tor; se utilizás ace, pois, ne cálculo é produtos do ssemos a 1a este caso, os

Assim det A = det A = A. O 1a) No matrize assim calcula 2a_{) O c} quantid Exemp A 1a _co teorem Para fa e soma teremo Agora, : = 2 · A14 + 0 = 2 · 21 = 42 Observações cálculo do d es de ordem sucessivame amos com a cálculo de um dade de zero plo oluna ou 2a _l ma de Laplac acilitar, vamo ando com a os: , aplicamos o · A24 + 0 · A3 s Importante determinante n – 1, e no c ente, até rec

regra de Sar m determinan os. inha tem a m ce, calcularem os “fazer apa 3a e multiplic o teorema de 34 + 0 · A44 es de uma mat cálculo deste airmos em d rrus, por exe nte fica mais

maior quantid mos ainda trê arecer zero” e cando a 1a lin e Laplace na triz de ordem es, recaímos eterminantes mplo. simples qua ade de zeros ês co-fatores em A31 = –2 nha por –3 e 1a coluna: m n, recaímos em determin s de matrizes ando escolhe s. Nos dois c s. e A41 = 3 mu somando co s em determi nantes de ord s de ordem 3

emos uma fila

casos, se apl ultiplicando a om a 4a linha inantes de dem n – 2, e 3, que a com a maio icarmos o 1a linha por ; fazendo iss e or 2 so,

Aplicamos a regra de Sarrus,

det A = (0 – 16 – 21) – (– 14 + 12 + 0) det A = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = – 49 + 14 det A = –35

B. Uma aplicação do Teorema de Laplace

Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isto desenvolvendo o determinante de A através da 1a coluna, se ela for triangular superior, e através da 1a linha, se ela for triangular inferior. Assim:

1a) A é triangular superior

2a_{) A é triangular inferior}

Exer

01 Va Va Ap Ap

rcício Re

. Calcular o amos colocar amos multipli plicando o teo plicando nova

esolvido

determinante r 2 em evidên car a 2a linha orema de La amente o teo e ncia na 2a lin a por –3 e so place na 1a c orema de Lap nha (conseqü omar com a 3 coluna: place na 1a _c üência da P3 3a linha (teore coluna: ) ema de Jacoobi)

Po Vejam 1°) Quan Resolu Sendo temos • Lo (2 • Lo (3 • Lo ind Na qualq x. Ver num ortanto: det A mos os segu Em uma tos pontos ução: o x e y, res s uma equa Nessa eq se x = 21, ogo, x = 21 1, 21); se x = 30, ogo, x = 30 0, 12); se x = 16, ogo, x = 16 dicamos po a verdade. uer natural rificamos as mero de pont A = –68 uintes prob partida de marcaram spectivamen ação com d uação: , então 21 + e y = 21 co , então 30 + e y = 12 co , então 16 + e y = 26 co or (16, 26). essa equaç de 0 a 42, sim que os d tos marcado

SISTEM

blemas: basquete, d cada um? nte. o nume duas incógn + y = 42 => onstituem u + y = 42 => onstituem o + y = 42 => onstituem u ção admite e y será ig dados do pro os por cada jo

AS LINEA

dois jogado ero de pont nitas: > y = 21. uma solução > y = 12. outra soluçã > y = 26. uma outra s várias solu gual à difere oblema não s ogador. x + y =

ARES

ores marcar

tos que cad

o da equaç ão da equaç solução da e uções: x po ença entre 4 são suficient 42 ram juntos da jogador

ção. que ind

ção, que in

equação, q

ode assumir 42 e o valo

tes para dete

42 pontos. marcou, dicamos po ndicamos po que r um valor or atribuído rminar o or or a

2°) Um terreno de 8 000 m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1000 m2 a mais que o lote menor. Calcule a área que cada um deverá ter.

Resolução:

Sendo x e y, respectivamente, as áreas destinadas ao lote maior e ao lote menor do terreno, teremos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

x + y = 8 000 x = y + 1 000

Resolvendo esse sistema por qualquer dos métodos já estudados, obtemos x = 4500 e y = 3500, que é a única solução do sistema e que indicamos por

(4500,3500).

Logo, o maior lote terá uma área de 4 500 m2 e o menor terá uma área de 3500 m2.

Esses dois problemas mostram que seus dados podem resultar em mais de uma solução e uma única solução. Veremos também que há casos em que não há nenhuma solução.

2 - Equação linear

Entenderemos por equação linear:

• nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn ,

• como sendo a equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b

• onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.

a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2, coeficientes 2 e 3, e termo independente7);

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5);

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2, 5 e 1 e termo independente 17);

-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1);

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).

3 - A solução de uma equação linear

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são

pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... .

Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas

(lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear a1.x1 +

a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever: a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.

4 - Sistema linear

É um conjunto de mequações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 ... ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn Exemplo: 3x + 2y - 5z = -8

4x - 3y + 2z = 4 7x + 2y - 3z = 2 0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).

Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os termos independentes.

A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: x + y + 2z = 7

3x + 2y - z = 11 x + 2z = 4 3x - y - z = 2

pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:

1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.

Exemplo: Os sistemas lineares

S1:

2x + 3y = 12 3x - 2y = 5 S2: 5x - 2y = 11

6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possuem mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja, b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. Exemplo: x + y + 2z = 0 2x - 3y + 5z = 0 5x - 2y + z = 0

Exercícios de fixação:

1) Resolva e classifique os seguintes sistemas: a) 2x + 5y .- ..z = 10 ...3y + 2z = ..9 ...3z = 15 b) 3x - 4y = 13 ...6x - 8y = 26 c) 2x + 5y = 6 ....8x + 20y = 18 Resp:

a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}

b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. c) sistema impossível. Não admite soluções.

2. Verifique se:

a) (3, -1) é uma solução do sistema: 2x - 5y = 11

3x + 6y = 3

b) (4, 1, 3) é uma solução do sistema: 2x + y - z = 6

x + 3y + 2z = 13

c) (0, -1) é uma solução do sistema: x - y = 1

x + Y = -1 3x + y = 2

Regra de Crammer

Seja um sistema linear, com número de equações igual ao de incógnitas. Se , sendo D = determinante formado pelos coeficientes incógnitas, então o sistema será possível e terá solução única.

O valor de cada variável será dado por e assim, sucessivamente, onde:

- Dx é o determinante que se obtém a partir do anterior, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes;

- Dy é o determinante obtido analogamente a Dx, mas substituindo-se agora a coluna dos coeficientes de y pela dos termos independentes;

- Dz é obtido analogamente a Dx e Dy, e assim sucessivamente. Regra Prática para Sistemas Quadrados

-se sistema possível determinado

-se D = 0 e Dx = Dy = Dz = ... = 0 sistema possível indeterminado -se D = 0 e algum sistema impossível

Obs:

• Quando todos os termos independentes forem nulos, o sistema é dito homogêneo.

• Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (x = 0, y = 0, z =0).

EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR

Dado um sistema S de m equações lineares a n incógnitas pode-se associar as seguintes matrizes: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 ... ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

matriz dos coeficientes:

Matriz das incógnitas:

Matriz dos termos constantes

Exemplo x – y = 4 2x + 5y = 1

Exercícios Resolvidos:

1.Resolva os sistemas pela regra de Cramer:

3x + 2y = 16 2x + 2y = 4 – 3x Resolução: a) D = 2 -5 Dx = - 2 - 5 Dy = 2 -2 3 2 16 2 3 16 X = 4 y = 2 S = {(4, 2)} b) D = 3 - 1 Dx = 1 - 1 Dy = 3 1 5 2 4 2 5 4 x = 6 11 x D D = y = 7 11 y D D = S = 6 7, 11 11        

2. Resolva a equação matricial 1 1 4

2 5 1 x y −      =     

     usando a regra de Cramer: Resolução:

Essa equação matricial equivale ao sistema , , no qual 1 1 2 5

−

 

 

 é a matriz dos coeficientes das incógnitas. Daí:

D = 1 - 1 Dx = 4 -1 Dy = 1 4 2 5 1 5 2 1 21 3 7 x D x D = = = 7 1 7 y D y D − = = = − = 19 ≠ 0 = 76 = 38 3x – y = 1 5x + 2y = 4 = 11 = 6 = 7 x – y = 4 2x + 5y = 1 = - 7 = 21 = 7

Logo, a solução é 3 1    ₋  , ou seja, x = 3 e y = - 1. 3. Resolva o sistema 1 1 3 2 3 1 x y x y + = − =

usando a regra de Cramer.

Resolução:

O sistema dado não é sistema linear. Fazendo 1 m

x = e

1

n

y = , o sistema toma a forma de um sistema linear 2 X 2 nas

incógnitas m e n: 3 2 3 1 m n m n + = − = D = 1 1 Dm = 3 1 Dn = 1 3 2 - 3 1 -3 2 1 10 2 5 m D m D − = = = − 5 1 5 n D n D − = = = − = - 5 = - 10 = - 5

Então: 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 m x x x x n y y y = → = → = → = = → = → = Logo, 1,1 2    

  é a solução do sistema inicial.

4. Resolva o sistema 2 3 6 2 3 x y z x y z x y z − + = + + = − + = Resolução: D= 2 1 1 1 1 1 5 1 1 2 − = − Como D = 5 x y z

D = 5 0, o sistema é SPD; então podemos prosseguir.

3 -1 1 2 3 1 2 1 3 D = 6 1 1 9 D 1 6 1 D 1 1 6 9 3 -1 2 1 3 2 1 1 3 9 12 9 y = z = 5 5 5 9 12 9 solução do sistema é dada pelo termo ; ;

5 5 5 y x z Como D D D x D D D A ≠ − = = = − = = = =      

Exercícios de fixação:

1. Resolva os sistemas lineares abaixo usando a regra de Cramer:

a) 3 4 1 3 9 x y x y − = + = b) 2 4 3 2 1 x y x y + = − = − c) 4 14 2 3 28 x y x y + = − = −

2. Resolva usando a regra de Cramer: a) 1 1 4 3 2 9 x y x y + = + = b) 3 2 3 6 3 8 x y x y − = − + =

3. Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solução; determine essa solução aplicando a regra de Cramer.

a) 2 2 1 2 2 3 1 x y z x y z x y z − − = − − + = − + + = b) 2 3 3 18 3 2 5 23 5 4 2 27 x y z x y z x y z + + = + + = + + = c) 7 2 3 2 4 3 4 1 x y z x y z x y z + + = − − = + − = −

ESCALONAMENTO

Resolução de sistemas lineares por escalonamento A regra de Crammer apresenta algumas limitações:

-É aplicável somente quando o sistema tem nº de equações igual ao nº de incógnitas, e detA 0

-É ineficiente, pois exige o cálculo de muitos determinantes.

SISTEMAS EQUIVALENTES:

Obtem-se um sistema equivalente ao realizar-se as seguintes transformações: 1- Trocar as posições de duas equações quaisquer

2- Multiplicar todos os termos de uma equação por um número K, k 0

3- Somarmos , membro a membro , a uma equação uma outra, esta previamente multiplicada por um número.

Exemplos:

São sistemas equivalelntes:

2 1 2 2

3 1 4 2 5

3 1 4 2 5

SISTEMAS ESCALONADOS Sistemas onde:

1- Em cada equação existe pelo menos um coeficiente diferente de zero

2- O nº de coeficientes nulos, antes do primeiro não nulo cresce da esquerda para a direita, de equação para equação.

Exemplos:

2 1 2 2 3 2

4 1 3 2 2 3 30

1 2 3 1

Método de eliminação de Gauss:

-A 1ª incógnita x1 deve ter coeficiente a11=1 na 1ª equação *Podemos trocar a 1ª pela 3ª equação

1 2 3 1

4 1 3 2 2 3 30

2 1 2 2 3 2

Substituir a i-ésima equação pela soma da mesma com a 1ª multiplicada por k, k deve ser tal que anule os coeficientes da 1ª incógnita.

1 2 3 1

7 2 2 3 26

2 4 3 0

Multiplicou-se a equação 1 por -4 e somou-se com a equação 2. Multiplicou-se a equação i por -2 e somou-se com a equação 2.

Repete-se o processo para a próxima incógnita, na segunda equação

1 2 3 1 2 4 3 0 7 2 2 3 26 1 2 3 1 2 4 3 0 7 2 2 3 26

Multiplicando a segunda equação por 7 e somando com a terceira:

1 2 3 1 2 4 3 0 26 3 26 Logo x3=1 X2=-4 X1=4 S= 4, 4,1

Exercícios a) 3 6 4 7 17 6 6 19 R;S=(-1,1,2) b 2 2 3 – 2 3 25 4 4 1 c) 2 11 2 23 2 33 41 2 1 2 3 3 S= 2,3,4 SISTEMA INCONSISTENTE É um sistema inconsistente

QUANDO O NÚMERO DE EQUAÇÕES FOR MENOR QUE O NÚMERO DE INCÓGNITAS:

Exemplo: a)

x+y+2z =2 y+z=3

variável livre: z –Não aparece no começo de nenhuma equação. Grau de indeterminação : 1

Passa-se a variável livre para o º membro X+y = 2-2z

Y=3-z

Atribui-se a z o valor de α, α∈ R X+y = 2-2α

Y = 3-α

Subst. (II) em (I) X + (3-α) = 2-2α X= -1-α

Solução : (-1-α; 3-α,α)

Alguns exemplos de solução : (-1,3,0) , (-2,2,1) d) Duas variáveis livres:

Z-2t=1

Y e t Æ grau de indeterminação : 2

Passando y e t para os segundos membros da equação x-2z = 2-2y-3t z=1+2t Chamando α = y β = t x- 2z = 2-2α-3β z= 1+ 2β S= 4 ; ; 1 2 ;

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes

de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo

admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente

nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de

sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial

ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo:

O sistema

2x - y + 3z = 0

4x + 2y - z = 0

x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Exercício

Verificar se o sistema abaixo é consistente e determinado 0

2 0

3 2 0