CADERNO DE ORIENTAÇÕES MATEMÁTICA FINANCEIRA

CADERNO DE ORIENTAÇÕES

MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

 b e c os meios da proporção.

 a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

 Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

2

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

 Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é .

 Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução:

(aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280 x = 56 Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

 Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3

= 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x

0,04x = 2

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Logo, são necessários 50 m3 de água salgada

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

 Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6

8 . x = 72

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9

Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg

15 min ----> 300Kg Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50

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Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s

20 m/s ----> 50s Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e

duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser

fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia

receita.

Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de

pães que peça:

Preço

R$

0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

Nº de pães 1

2

5

10

20

50

Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães,

pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela

quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)

Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na

redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer

com uma acontecerá o inverso com a outra.

Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.

Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de

viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.

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distância de 600km.

Velocidade

média

(km/h)

60

100

120

150

200

300

Tempo de

viagem

(h)

10

6

5

4

3

2

Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo

mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior.

Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o

mesmo valor.

Propriedade:

Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.

50 x 10 = 500 = 4 x 150 = 5 x 100 = K

Exercícios sobre grandezas proporcionais

1) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os

números x e y.

2) Sabendo que x, y, z e 120 são diretamente proporcionais aos números 150, 120, 200 e

600, determine os números a, b e c.

3) Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades

inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas

condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais

velho foi:

4) Na bandeira brasileira, o comprimento e a largura são proporcionais a 10 e 7. Carla quer fazer

uma bandeira com 2 m de comprimento. Quantos metros deverá ter a largura?

a) 1,20 b) 1,30 c) 1,40 d) 1,50 e) 1,70

5) Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5.

Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z .

6) Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h, ele completa uma certa distância em 6 minutos.

Em 8 minutos, com a mesma distância, sua velocidade será:

6

7)

Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse

combustível.

8) Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para

cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta?

9) (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários

dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24,

30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos?

10) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento,

a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste

diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?

11) Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício

projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício?

12) (Ag. de Trânsito - Cesgranrio - 2005) Uma equipe de 30 agentes de trânsito vai ser dividida

em dois grupos que atuarão em duas regiões diferentes, uma de 6 km² e outra, de 9 km². Se essa

equipe for dividida em partes diretamente proporcionais às áreas das duas regiões, quantos

agentes trabalharão na região de maior área?

(A) 18 (B) 15 (C) 12 (D) 9 (E) 6

13) (Prova Técnico Judiciário

– Área Administrativa – 4ª Região) - No quadro abaixo, têm-se as

idades e os tempos de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa

circunscrição judiciária.

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de

laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se

João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era:

a) 40

b) 41

c) 42

d) 43

e) 44

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PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

 A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:  Calcular 10% de 300.  Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

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Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação

10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Exercícios de Porcentagem

a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?

c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

Calcule as porcentagens correspondentes: e) 2% de 700 laranjas f) 40% de 48 m g) 38% de 200 Kg h) 6% de 50 telhas i) 37,6% de 200 j) 22,5% de 60

Fator de atualização

O fator de atualização, denominado pela letra f, é determinado pela razão entre duas grandezas em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). O fator de atualização se aplica em diversas situações quando se deseja comparar valores obtidos em tempos diferenciados.

Como foi dito anteriormente, o fator de atualização compreende a razão entre determinados valores. Quando trabalhamos com razão entre grandezas, sabemos que teremos uma divisão entre elas, e que, ao dividir dois valores quaisquer, só poderemos obter três tipos de resultados.

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• Valores iguais: • Valores diferentes:

Ou seja, a grandeza do numerador é maior do que a do denominador:

Entretanto, a matemática financeira está intimamente ligada aos conceitos da porcentagem, portanto vale lembrar que esta diferenciação das grandezas será expressa em valores decimais que

correspondem a porcentagens. Vejamos então alguns exemplos nos quais determinaremos o fator de atualização.

Suponhamos que a divisão da grandeza A pela B resulte em 1,10. Com isso, podemos afirmar que a grandeza A é 10% maior do que B, ou ainda, A é 110% de B.

Sendo assim, generalizaremos as circunstâncias em que os valores são diferentes, pois quando eles forem iguais o fator de atualização será neutro.

• Se f > 1, f = 1+ t; então a taxa é t = f – 1 (número decimal) • Se f < 1, f = 1 – t; então a taxa é t = 1+ f (número decimal)

O fator de atualização é utilizado quando queremos comparar valores e determinar se houve um aumento nesses valores em tempos diferentes, um desconto ou se não houve variação. Também é possível determinar a taxa de juros acumulada.

Exemplos de aplicação

!. se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, entao a taxa de inflação do bimestre janeiro/fevereiro é de: A) 11% B) 11,1% C) 11,2% D) 11,3% E) 11,4% Solução 100+6%=106 100 + 5%= 105 Basta multiplicar 1,06 * 1,05 = 1,113 1,113 é uma inflação de 11,3% Alternativa (D)

2. Uma loja em liquidação baixou o preço de seus artigos em 20%. Passando o período de desconto, para que voltem ao que eram antes, os preços devem ser reajustados em:

25% 20% 18% 15% 10%

X---0,8x

0,8x.i=x

10

Resposta= 25%

3. A tabela a seguir mostra a variação do preço do dólar em uma semana qualquer, em termos percentuais. No valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o preço do dólar ao longo da semana? Segunda-feira 1,54% Terça-feira -2,01% Quarta-feira 0,85% Quinta-feira -0,73% Sexta-feira 0,49% Solução Dólar Inicialmente: 100% * X = X Dólar Segunda-Feira: X + (1,54% * X) = X + (1,54 X / 100) = X + 0,0154 X = 1,0154 X Dólar Terça-Feira: 1,0154 X - (2,01 * 1,0154 X / 100) = 1,0154 X - 0,0211854 X = 0,9942146 X Dólar Quarta-Feira: 0,9942146 X + (0,85 * 0,9942146 X / 100) = 0,9942146 X+ 0,0084508241 X = 1,0026654241 X Dólar Quinta-Feira: 1,0026654241 X - (0,73 * 1,0026654241 X / 100) = 1,0026654241 X - 0,00731945759593 X = 0,99534596650407 X Dólar Sexta-Feira: 0,99534596650407 X + (0,49 * 0,99534596650407 X / 100) = 0,99534596650407 X + 0,004877195235869943 X = 1,000223161739939943 X = 100,0223... X / 100 = 100,0223 % * X

Inicialmente tinha 100% e tornou-se 100,0223...%

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4. O preço de uma camisa passou de R$50,00 para R$59,00. Qual foi o aumento percentual desse preço? Sendo R$ 50 = 100% do preço, utiliza-se a regra de 3:

R$ 50 = 100 % R$ 59 = x x = 118%

Como o aumento é de acordo com a diferença entre os dois valores, logo: Aumento = 118 -100 = 18%.

Atividades

1. Escreva o fator de atualização correspondente a cada situação a) 3% de aumento b) 3% de desconto c) 15% de aumento d) 15 % de desconto e) 230% de aumento f) 3000% de aumento

2. Interprete cada fator de atualização definindo se é aumento ou desconto, e qual o valor da taxa. a) f= 1,13

b) f= 0,70 c) f= 2 d) f= 0,95 e) f= 30

3. Avalie o efeito acumulado de cada situação a seguir, definindo qual é o aumento ou desconto equivalente. a) Aumento de 3% e aumento de 5%

b) Aumento de 10% e desconto de 20% c) Três aumentos de 10%

d) Dois aumentos de 6% e três descontos de 4%.

4. Em uma promoção, o preço de um celular passou de R$ 499,00 para R$ 399,00. Qual foi o desconto dado nessa promoção?

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5. João tinha 30 amigos no Facebook. Em duas semanas, esse número de amigos aumentou 240%. Quantos amigos João tem agora?

6. Investi R$11 000,00 num fundo de aplicação de um banco e hoje, após 3 meses, tenho R$ 11 440,00. Qual foi o rendimento percentual obtido nesse período de 3 meses?

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios exemplo sobre juros simples:

1)Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

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3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:

P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

01) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15 meses, com

uma taxa de 3% ao mês?

R. 270,00

02) A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$ 2.400,00 em 6 meses?

R. 5%

03) Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano?

R. 15 MESES

04) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10

meses.

R. 6.250,00

05) Um capital de R$ 16.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine a

taxa anual.

18%

06) (SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1 – 2012) – Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para

pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período,

Renato deverá pagar, de juros

(A) R$ 45,00.

(B) R$ 90,00.

(C) R$ 180,00.

(D) R$ 450,00.

(E) R$ 900,00.

R. D

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07) (SEAP1103/001-AgEscVigPen-V1 – 2012) – Elias pediu emprestado R$ 2.600,00 a juro simples

com uma taxa de 2,5% ao mês. Se o montante da dívida ficou em R$ 3.250,00, o tempo, em meses,

que ele demorou para quitar sua dívida foi

(A) 7.

(B) 8.

(C) 9.

(D) 10.

(E) 11.

R. D

Atividade de revisão

Faça o teste proposto em

http://rachacuca.com.br/quiz/117188/exercicios-de-juros-simples-i/

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O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)

n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$9.054,00

Atividades

1. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições:

a) capital: R$300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses; b) capital: R$2500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano;

c) capital: R$100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos;

2. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois.

16

3. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinado Ana quitou a dívida com R$500,00, determine:

a) O número inteiro mais próximo de x; b) O valor que Ana deveria devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples.

.

4 Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35).

a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado?

b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de R$450,00?

5) Uma dívida, contraída a juros compostos, aumentou de R$200,00 para R$242,00 em dois meses. Admitindo que a taxa mensal de juros é fixa, determine:

a) O valor da taxa. b) O montante dessa dívida meio ano após a data em que foi contraída.

6) Um investidor comprou R$1.000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$3000,00. Admita que a valorização mensal dessas ações tenha sido de 8% a.m. Qual é o valor de n? (Use log2 = 0,3 e log3 = 0,48).

7) O Sr. Lima investiu R$5000,00 em um fundo de ações. No 1º ano as ações do fundo valorizaram -se 35%; no 2º ano, valorizaram-se 20% (em relação ao 1º ano) e no 3º ano desvalorizaram-se 30% (em relação ao 2º ano).

a) Que valor o Sr. Lima terá ao final dos três anos? b) Qual foi o rendimento percentual da aplicação nesses três anos?

Soluções

1

a)





 





72

,

24

$

R

00

,

300

$

R

72

,

324

$

R

C

M

J

72

,

324

$

R

0824

,

1

).

300

(

02

,

1

).

300

(

02

,

0

1

).

300

(

)

i

1

.(

C

M

300

C

02

,

0

i

meses

4

t

4 4 t











































.

17

b)





 





50

,

1989

$

R

00

,

2500

$

R

50

,

4489

$

R

C

M

J

50

,

4489

$

R

7958

,

1

).

2500

(

05

,

1

).

2500

(

05

,

0

1

).

2500

(

2500

C

05

,

0

i

meses

12

ano

1

t

4 12







































. c)





 





08

,

56

$

R

00

,

100

$

R

08

,

156

$

R

C

M

J

08

,

156

$

R

5608

,

1

).

100

(

16

,

1

).

100

(

16

,

0

1

).

100

(

100

C

16

,

0

i

anos

3

t

3 3





































.

2.

Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos:

a)

_M

_C

_.(

₁

_i

₎

₍

₄₈₀

_).



₁

₀

_,

₀₁



₍

₄₈₀

_).

 

₁

_,

₀₁

₍

₄₈₀

_).



₁

_,

₁₂₆₈



_R

_$

₅₄₀

_,

₈₈

480

C

01

,

0

i

meses

12

ano

1

t

12 12 t



































. b)



1

0

,

02



(

480

).

 

1

,

02

(

480

).



1

,

2682



R

$

608

,

73

).

480

(

)

i

1

.(

C

M

480

C

02

,

0

i

meses

12

ano

1

t

12 12 t

_

_

_

_

_

























.

3

Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos:

a)





_R

_$

₄₁₀

_,

₃₄

2184

,

1

500

x

025

,

1

.

x

)

500

(

)

025

,

0

1

.(

x

500

500

M

x

C

025

,

0

i

meses

8

t

8 8

_

_

_

_

_





























. Inteiro x = 410. b)

_M

₍

₄₁₀

_,

₃₄

_).(

₁

₀

_,

₀₂₅

_.

₈

₎

_M

₍

₄₁₀

_,

₃₄

_).(

₁

₀

_,

₂

₎

_M

₍

₄₁₀

_,

₃₄

_).(

₁

_,

₂

₎

_R

_$

₄₉₂

_,

_,

₄₀

34

,

410

C

025

,

0

i

meses

8

t



































4

18

a)

6

,

5

meses

02

,

0

13

,

0

05

,

1

log

34

,

1

log

34

,

1

log

t

34

,

1

)

05

,

1

(

200

268

)

05

,

1

(

)

05

,

0

1

.(

200

268

_

_

t

_

t

_

_

t

_

_

_

_1,05

_

_

_

_. b)

17

,

5

meses

02

,

0

35

,

0

05

,

1

log

25

,

2

log

25

,

2

log

t

25

,

2

)

05

,

1

(

200

450

)

05

,

1

(

)

05

,

1

.(

200

450

_

t

_

t

_

_

t

_

_

_

_1,05

_

_

_

_.

Logo, no mínimo 18 meses.

5

Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos:

a) i 1,1 1 i 0,1 10%a.m. 10 11 i 1 100 121 i 1 100 121 ) i 1 ( ) i 1 .( 200 242_{ } 2 _{ } 2 _{             .} b) 30 , 354 $ R ) 7715 , 1 ).( 200 ( ) 1 , 1 ).( 200 ( M ) 1 , 0 1 .( 200 M meses 6 ano meio 6 6 _{   }    . 6

Solução. Essa situação representa uma aplicação a juros compostos de R$1000,00 por n meses com resgate de R$3000,00 sendo a taxa de 8% a.m.

meses

12

04

,

0

48

,

0

2

04

,

2

48

,

0

2

44

,

1

6

,

0

48

,

0

)

1

(

2

)

48

,

0

(

3

)

3

,

0

(

2

48

,

0

10

log

2

3

log

3

2

log

2

48

,

0

n

10

3

.

2

log

48

,

0

08

,

1

log

3

log

3

log

n

3

)

08

,

1

(

1000

3000

)

08

,

1

(

)

08

,

1

.(

1000

3000

2 3 2 08 , 1 n n n















































. 7

Solução. As taxas não são fixas e ocorrem de forma sucessiva.

a) M5000.(10,35).(10,2).(10,3)5000.(1,35).(1,2).(0,7)R$5670,00. b) 1 i 1,134 i 1,134 1 i 0,134 13,4% 5000 5670 i 1 ) i 1 ( 5000 5670              .

19

Atividades juros compostos

1. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6.000,00 a taxa de 1% ao mês?

2. O capital de R$ 2000, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal?

3. Qual de ve ser o tempo para que a quantia de R$ 30000,00 gere o montante de R$ 32781,81, quando aplicada a taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos?

4. calcule o montante produzido por R$ 5000,00, aplicado a taxa de juros de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

5. Um capital foi aplicado a juros de 18% ao ano, durante 2 anos.. Quanto rendeu de juros: a) em porcentagem?

b) em reais?

6. Uma dívida de R$ 700,00 foi contraída a juros compostos de 2% ao mês, para ser quitada em 4 meses. a) quanto deverá ser pago para quitar a dívida?

b) qual a taxa de juros acumulada nesse período de 4 meses?

7. Carlos deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimentos. Se o rendimento médio desse fundo foi de 1% ao mês, quanto Carlos tinha ao final desse período?

Respostas 1. R$ 369,12 2. aproximadamente 2% 3. 3 meses 4. R$ 7092,59 5. a) 39,24% b) R$ 353,16 6 a) R$ 757,70 b) 8,24% 7. R$ 1144,62