Notas de aula
Fundamentos de Matemática I
Prof Me Samuel Lima Picanço
1. Conjuntos Numéricos
1.1. Números Naturais
Os números naturais (N) são aqueles que aprendemos natu-ralmente. Uma criança não precisa frequentar escola para aprender a contar Desde pequena, quando indagada sobre sua idade, ela já mostra os dedinhos, mesmo que fale uma quantidade diferente daquela que está mostrando. Sendo as-sim, o conjunto dos números naturais é:
N = {0, 1, 2, 3, · · · }
As operações básicas estão definidas em N mas com certas restrições. Por exemplo, quando você frequentava as séries inicias, a professora não passava "contas"do tipo
3 − 8.
Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto nu-mérico para estas operações se tornem possíveis.
1.2. Números Inteiros
Os números inteiros (Z) são usados para contar quantidades inteiras, positivas e negativas. Durante o campeonato de fu-tebol por exemplo, se o seu time não tiver uma defesa muito boa, provavelmente irá levar mais gols do que fez. O número que representa o saldo de gols nesse caso é um número ne-gativo. O conjunto dos números inteiros é:
Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Note que todo número natural é também inteiro e podemos escrever que N ⊂ Z (N está contido em Z).
ASsim como em N, as operações definidas em Z têm cer-tas restrições, como por exemplo, não está definido nesse o conjunto o número
1 ÷ 2
por exemplo. Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto numérico para que sejam possíveis tais operações:
1.3. Números Racionais
Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escri-tos como o resultado de uma divisão entre inteiros, sendo que o divisor deve ser não nulo. Em outras palavras, defini-mos Q assim:
Q = na
b, a, b ∈ Z, b 6= 0 o
A partir desta definição irei agora exemplificar os núme-ros racionais e você irá perceber que eles estão presentes o tempo todo em sua vida.
Exemplos
1) 2 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 2
2 = 4 2= −6 −3= 18 9 = · · ·
Com este exemplo fica evidente que todo número in-teiro é também racional e podemos escrever Z ⊂ Q. Agora nos resta averiguar os números racionais não inteiros:
2) 0, 5 é racional pois existem várias divisões cujo resul-tado é 0, 5.
Basta você imaginar na situação em que um real deve ser dividido para duas crianças e cada uma delas irá ficar com cinquenta centavos (0,50).
0, 5 =1 2= 50 100 = −2 −4 = · · ·
3) 1, 25 é um número racional pois existem várias divisões cujo resultado é 1.25.
A partir daqui vamos estabelecer uma maneira de escrever estes números no formato de uma divisão (fração) entre dois inteiros. Note que tanto 0,5 quanto 1,25 são números racionais que possuem representação decimal finita. Isso significa que vieram de uma divisão com resto zero. Como nossa base de numeração é a decimal, todas as divisões por 2, por 5, ou por qualquer número que é um produto dos fatores 2 e 5, é finita. Sendo assim, todas os números racionais com representação decimal finita podem ser representados por uma divisão por uma potência de dez. Uma potência de 10 é um número que,em sua composição só aparece o alga-rismo 1 uma vez e o restante dele é formada por zeros.
1, 25 =125 100=
5 4 5
4 é a fração irretudível que representa 1,25. Ela é ob-tida da simplificação de125
100. Dividimos numerador e denominador por 25 (nesse caso).
Note que o numerador da fração é 125, ou se você preferir, 1,25 quando se "esconde"a vírgula. O deno-minador é formado por uma potência de dez (lembra?) e a quantidade de zeros corresponde à quantidade de casas decimais de 1,25, nesse caso, duas.
regra. Nosso objetivo é escrever uma fração que re-presenta 1,25 e, como não sabemos qual é esta fração, iremos chamá-la de x.
1, 25 = x (1) Em (1) vamos transformar o lado esquerdo em um nú-mero inteiro. Para isto, basta analisar o núnú-mero de casas decimais e multiplicar por uma potência de 10 cujo número de zeros corresponda ao número de ca-sas. Aqui temos duas casas então devemos multiplicar por 100.
1, 25(×100) = x(×100) (2) Lembre-se que, o que fazemos em um dos lados de-vemos fazer também no outro.
125 = 100x
Como o 100 está multiplicando, vai para o outro mem-bro dividindo. Sendo assim:
x=125 100
Isto explica o que fizemos de forma direta lá atrás. Tente não decorar o jeito de fazer e sim entender o que está se passando.
Faça você mesmo agora, escreva cada um dos seguin-tes números como uma divisão entre dois inteiros: 1,2; 0,62; 12,5; 0,025; 0,002
Os próximos exemplos trazem as dízimas periódicas que são números racionais que possuem representação decimal infi-nita, porém periódica. Esses números são resultado da di-visão em que o divisor tem algum fator diferente de 2 ou 5.
4) 0, 333 · · · é um número racional pois é o resultado de uma divisão entre dois inteiros.
Nossa missão agora é determinar qual é a fração que representa esta dízima. Esta é uma dízima simples pois, após a vírgula, só aparece o período (algarismos que se repetem). Para as dízimas simples você poderá usar a seguinte regra:
No numerador escreva o período (nesse exemplo o pe-ríodo é 3). No denominador escreva apenas algaris-mos 9, cuja quantidade vai ser igual à quantidade de algarismos do período.
0, 333 · · · = 3
%período
9&quantidade de algarismos do período
=1 3
Note que1
3é a forma simplificada da fração que gerou a dízima 0, 333 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz. Observe ainda que, se a dízima for maior que 1, então nos será conveniente separar a parte inteira da parte decimal, como no exemplo a seguir:
5) 1, 35 · · ·
Aqui usamos o traço para indicar quem é o período. Nesse caso, o período é formado pelos algarismos 3 e 5. 1, 35 · · · = 1 + 0, 35 · · · = 1 +35 99= 99 + 35 99 = 134 99 Agora vem a pergunta? Por que, ou de onde veio, esta regra? Novamente irei usar x para representar a fração desconhecida.
0, 333 · · · = x (3) Agora, na equação 3, busquemos uma maneira de aca-bar com a parte infinita. Primeiro vamos analisar a quantidade de algarismos do período e percebemos que se multiplicarmos por 10, teremos duas equações em que os lados esquerdos terão a mesma parte infi-nita.
0, 333 · · · (×10) = x(×10) (4)
3, 333 · · · = 10x (5) Agora fazemos (5) - (3), membro a membro e parte infinita do lado esquerdo irá se cancelar:
3, 333 · · · − 0, 333 · · · = 10x − x (6)
3 = 9x
O 9 que está multiplicando vai dividindo e pronto:
x=3 9 =
1 3
E se a dízima não for simples? Dizemos que uma dízima não é simles (composta) se, do lado direito da vírgula, além do período, aparecer também algum algarismo que não se repete. Irei chamá-lo de intruso.
6) 0, 2666 · · ·
Nesse caso o intruso é formado pelo algarismo 2 e o período por 6.
No numerador escreva o intruso seguido do período. Em seguida subtraia o intruso. No denominador con-tinua valendo a regra do 9, porém, agora irá aparecer zero também. A quantidade de zeros é equivalente à quantidade de algarismos do intruso.
0, 2666 · · · = 26
%intruso + período
− 2%intruso 9
|{z}
quantidade de algarismos do período
0 |{z}
quantidade de algarismos do intruso
=24 ÷2 90÷2 = 12÷3 45÷3 = 4 15 4
15 é a forma mais simples da fração que representa
0, 2666 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz. Mas novamente você pode se perguntar: de onde veio
esta regra? Lá vai a explicação:
Iremos usar x para representar a fração desconhecida.
0, 2666 · · · = x (7)
Em (7) vamos tentar separar o intruso do período. Nesse exemplo, basta multiplicarmos por 10 pois o intruso é composto apenas por um algarismo.
0, 2666 · · · (×10) = x(×10)
2, 666 · · · = 10x (8)
Vamos agora separar a parte inteira da parte decimal.
2 + 0, 666 · · · = 10x
A parte fracionária agora você já sabe como fica: 6 9
2 +6 9 = 10x 24
9 = 10x
O 10 multiplicando vai dividindo e pronto:
x=24 90=
4 15
Faça você mesmo agora: escreva a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas: 0, 2 · · · ; 20, 13 · · · ; 0, 123 · · · ; 2, 312 · · ·
Os números racionais, como vimos, podem ser todos repre-sentados por uma fração de inteiros. Quais seriam então os números que não podem ser representados por uma divisão entre dois inteiros?
1.4. Números Irracionais
Os números irracionais (I) são aqueles que não podem ser escritos por meio de uma divisão entre dois inteiros. Ao se expressar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado é um por exemplo, nos deparamos com um problema:
Fig. 1. Representação do cálculo da diagonal
O número que expressa a medida da diagonal desse qua-drado não é racional. Podemos resolver o problema usando o famoso Teorema de Pitágoras e a diagonal será a hipote-nusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1.
x2= 12+ 12 Resolvendo-se a equação temos que:
x2= 2
E aqui vemos que não existe número racional capaz de ser a solução desse problema.
Hoje sabemos que esse número é o√2. Sendo assim, sur-gem os números que, assim como este último, não têm re-presentação decimal finita. Diferentemente das dízimas pe-riódicas, os números irracionais têm representação decimal infinita, porém não periódica.
Podemos destacar como números irracionais todas as raízes de índice n não exatas. Além destas temos o π, o famoso número de Euler (e), dentre outros que você irá aprender ao longo do curso.
Vale dizer que um número é racional ou irracional, ou seja, não pode ser ao mesmo tempo pertencente aos dois conjun-tos.
1.5. Números Reais
O conjunto formado pela reunião dos elementos de Q e I é denominado conjunto dos números Reais (R).
R = Q ∪ I
O conjunto dos números reais é formado pelo números que você utiliza em seu dia a dia. Praticamente todos os núme-ros que você precisa para contar, medir, somar, dividir, no seu trabalho, são reais. Na disciplina de cálculo diferencial e integral serão os únicos números que você irá precisar. Os números reais podem ser representados por uma reta, chamada reta real, em que cada ponto está associado a um número.
Fig. 2. Reta Real
Vamos agora resolver alguns exercícios com operações bá-sicas com os números reais.
1.6. Exercícios Resolvidos
1.6..1 Resolva as operações expressando a resposta na forma de fração
a) 0, 5 + 0, 25 = É claro que somar estas quantidades não é algo nada difícil de se fazer, ainda mais se você as-sociar cada uma delas a moedinhas de 50 e 25 cen-tavos, respectivamente. Mas aqui iremos explorar as frações. 0, 5 = 50 100 = 1 2 e 0, 25 = 25 100= 1 4
Nosso problema agora se resume em somar
1 2+
1 4
E vale ressaltar que para somar duas frações é neces-sário que os denominadores delas sejam iguais. O de-nominador de uma fração indica em quantas partes o todo foi dividido. Pense em duas pizzas de mesmo tamanho. Você só pode comparar ou somar fatias de uma pizza com a outra se os pedaços forem de mesmo tamanho. Para que isto ocorra é necessário que o ´nu-mero de fatias seja o mesmo.
Fig. 3. Representação das frações por pizzas
Note que é evidente a diferença entre os tamanhos de cada fatia. Caso queiramos comparar ou somá-las, devemos antes fazer algum procedimento que nos permita deixá-las do mesmo tamanho. Tal procedi-mento será ilustrado a seguir, primeiro por meio do desenho.
Fig. 4. Representação das pizzas com fatias de mesmo tamanho
Observe que ter 1 fatia em 2 na primeira pizza é o equivalente a ter duas fatias em 4. Agora que os denominadores são iguais, podemos simplesmente somar os numeradores: 2 4+ 1 4 = 3 4
É claro que não iremos desenhar pizzas todas as vezes que quisermos somar duas ou mais frações, mesmo porque isso poderia ser trabalhoso demais para deno-minadores muito grandes. Então, qual será o proce-dimento? A ideia é deixar os denominadores iguais e para isto, vamos buscar o menor número que os divide ao mesmo tempo.
Nesse exemplo foi o 4. Logo o novo denominador será 4. Mas se alteramos o denominador, obviamente deveremos alterar o numerador para obtermos frações equivalentes.
4+4
A pergunta é: qual número multiplicamos pelo antigo denominador para obter o 4? Esse mesmo número deverá ser multiplicado no numerador. Na primeira fração foi o 2 e na segunda o 1. Caso não consiga fazer de cabeça, divida o novo denominador pelo antigo. Use o resultado para multiplicar no numerador:
2 4+ 1 4 = 3 4
b) 1, 236 · · · + 3, 25 Nesse exercício temos uma dízima periódica (composta por sinal). Vamos escrever as frações separadamente: 1, 236 · · · = 1 + 1, 236 · · · = 1 +236 − 23 900 1 +213 ÷3 900÷3 = 1 + 71 300 = 300 + 71 300 = 371 300 Esta é só a primeira fração. A próxima será mais sim-ples de se obter: 3, 25 =325 ÷25 100÷25 = 13 4 Agora nos resta somar as frações:
371 300+
13 4
O mínimo múltiplo comum entre 300 e 4 é o próprio 300.
300+300
Agora vamos dividir 300 por cada um dos antigos de-nominadores e multiplicar o resultado pelo respectivo numerador: 371 300+ 975 300 = 371 + 975 300 = 1346 300 1346÷2 300÷2 = 673 150
c) (0, 222 · · · )2− 0, 025 + 1, 333 · · · Este exemplo irei re-solver de modo mais direto:
2 9 2 − 25 1000+ 1 + 3 9
Note que apareceu um termo a mais que é justamente o 1 (parte inteira da última dízima).
2 9 2 − 25 1000+ 9 + 3 9
Para calcular potência de uma fração lembre-se de ele-var o numerador e depois o denominador:
4 81− 25 1000+ 12 9
Vamos simplifcar as frações possíveis antes de conti-nuar: 4 81− 25 1000+ 12 9 = 4 81− 25÷25 1000÷25+ 12÷3 9÷3 4 81− 1 40+ 4 3
Vamos recordar aqui um procedimento que você aprendeu nas séries inicias para determinar o mínimo múltiplo comum entre 2 ou mais números. Faremos a decomposição simultânea de 81, 40 e 3, em fatores primos.
Do lado direito só podem aparecer números primos. Comece pelo menor e vá aumentando, conforme a di-visão for acontecendo:
Note que a divião por 2 não é mais possível. Vamos ao próximo primo, que é o 3, e depois, finalmente, ao 5.
Agora os fatores que aparecem na decomposição de-vem ser multiplicados. Este será o novo denominador.
2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 23× 34× 5 = 3240
Divida este número por cada um dos antigos denomi-nadores e multiplique o valor obtido pelo numerador:
160 3240− 81 3240+ 4320 3240 160 − 81 + 4320 3240 = 4399 3240
1.6..2 Simplifique as expressões a seguir: √
24 +√54 = Expressões com números irracionais muitas vezes se tornam uma pedra no sapato dos estu-dantes na área de exatas.
O procedimento é simples. Decomponha os radican-dos (números que aparecem dentro da raiz). Em se-guida separe os fatores que se repetem de acordo ao índice (número sobre escrito dentro da raiz). Nesse caso é 2. 24 = 2 × 2 | {z } 2 f atores 2 × 2 × 3 54 = 3 × 3 | {z } 2 f atores ×3 × 2 p 22× 2 × 3 +p32× 2 × 3
Os fatores que têm expoente igual ao índice podem ser cortados e escritos fora da raiz. Assim:
2√×2 × 3 + 3√×2 × 3
Os fatores que ficaram dentro da raiz serão multipli-cados.
2√6 + 3√6
Observe aqui que as raízes ficaram iguais. Assim como usamos a ideia das frutas, aqui também vale a analogia.
2√6 + 3√6 = 5√6 Portanto: √
2. Intervalos Reais
Um intervalo real nada mais é que um subjconjunto de R. Usamos a ideia de intervalo para representar um conjunto infinito. Dizemos que um conjunto é infinito se a quanti-dade de elementos dele não puder ser contada.
Considerando a e b dois números reais quaisquer, um inter-valo real terá uma das seguintes formas:
[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} ]a, b[= {x ∈ R|a < x < b} ]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} [a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b} ] − ∞, a[= {x ∈ R|x < a} ] − ∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a} [a, +∞[= {x ∈ R|x ≥ a} ]a, +∞[= {x ∈ R|x > a}
Aqui vale a observação que ∞, apenas um símbolo. Pode-mos ainda representar estes intervalos geometricamente e isto será muito útil. Faremos isto conforme os exemplos exijam.
Exemplos
1) Expresse o conjunto {x ∈ R|2x − 3 < x + 1} em nota-ção de intervalo:
Solução:
Devemos resolver uma inequação para representar o conjunto na forma de um intervalo:
2x − 3 < x + 1
Assim como numa equação de 1ograu, resolvemos a
inequação isolando a variável:
2x − x < 1 + 3 =⇒ x < 4
Podemos representar a solução assim:
] − ∞, 4[
Este resultado significa que, qualquer valor de x me-nor que 4, torna verdadeira a afirmação 2x − 3 < x + 1.
2) Determine o conjunto solução da seguinte inequação:
−3x + 5 ≤ 2x + 4 Solução:
Novamente, isolando-se a variável, teremos:
−3x − 2x ≤ 4 − 5 −5x ≤ −1
Antes de continuarmos, observe a desigualdade
−3 < −1
. Ela é verdadeira e, você aprendeu que, numa equa-ção, se multiplicarmos ambos os lados por algum va-lor, a igualdade não se altera. Com as inequações, se o valor multiplicado for negativo, veja o que acontece:
−3 × (−1) < −1 × (−1) 3 < 1 o que é falso, obviamente
Este erro pode ser corrigido se invertermos o sinal de desigual também. E faremos sempre! Ao multiplicar o (-1) numa inequação, o sinal se inverte:
−5x × (−1) ≤ −1 × (−1) 5x ≥ 1 =⇒ x ≥1
5
Vamos representar esta solução graficamente:
Fig. 5. Solução Gráfica da Inequação
3) Estude o sinal da expressão −2x + 8 Solução:
Estudar o sinal de uma expressão significa dizer quais valores de x torna aquela expressão positiva, negativa ou nula.
É claro que posteriormente iremos desenvolver ma-neiras mais diretas para resolver esta questão,mas por enquanto, vamos usar um procedimento eficiente. Lembre-se que, na reta real, o zero está entre os núme-ros negativos e os positivos. Então, vamos primeiro descobrir qual valor de x anula a expressão. Faremos isto igualando a zero.
−2x + 8 = 0 =⇒ −2x = −8 =⇒ x =−8 −2 x= 4
Significa que em 4 a expressão muda de sinal. O que eu sugiro aqui é que você escolha dois números, um menor que 4 e outro maior que 4. Substitua-os na expressão e verifique o que acontece:
Para x < 4 (x = 3) =⇒ −2 × 3 + 8 =⇒ −6 + 8 = 2
2 > 0
Como esta é uma expressão de grau 1, o sinal só se altera uma vez.
Concluímos que se x < 4 a expressão é positiva e caso contrário, a expressão é negativa. Podemos escrever:
Se x < 4, −2x + 8 > 0
Se x = 4, −2x + 8 = 0 Se x > 4, −2x + 8 < 0
Podemos representar (e nos será muito útil) a expres-são graficamente:
Fig. 6. Solução Gráfica do Estudo do Sinal
4) Estude o sinal da expressão x2+ 2x − 8 Solução:
Esta é uma expressão de 2o grau e iremos resolver este problema usando a fatoração de polinômios tra-balhada em aulas anteriores:
x2+ 2x − 8 não é um trinômio quadrado perfeito (ve-rifique você mesmo). Outra forma de fatorar esta ex-pressão é buscar dois números cujo produto é -8 e a soma é 2.
Depois de fazer algum exercício mental você pode ve-rificar que os números procurados são 4 e -2. Então podemos escrever:
x2+ 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
Agora podemos estudar o sinal da expressão traba-lhando com o produto do lado direito da igualdade acima. Vamos chamar os fatores de A e B respectiva-mente: (x + 4) | {z } A (x − 2) | {z } B
Estudando o sinal de A (usando a mesma ideia do exemplo anterior) temos:
x+ 4 = 0 =⇒ x = −4
É notório que A > 0 se x > −4 e A < 0 se x < −4. Analogamente:
x− 2 = 0 =⇒ x = 2
Daí temos que B > 0 se x > 2 e B < 0 se x < 2. Vamos representar estas informações graficamente: Note que
Fig. 7. Solução Gráfica do Estudo do Sinal de Cada Expressão
Fig. 8. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões
é importante respeitar a relação de ordem dos reais, ou sejam, números menores escritos à esquerda. Agora iremos multiplicar a expressão A pela expres-são B, usando a representação gráfica. Observe que na terceira reta (a que representa A · B) os sinais foram obtidos fazendo-se a multiplicação dos sinais das re-tas anteriores.
Podemos escrever então que:
x2+ 2x − 8 > 0 se x < −4 ou se x > 2 x2+ 2x − 8 < 0 se − 4 < x < 2 (x está entre - 4 e 2)
x2+ 2x − 8 = 0 se x = −4 ou se x = 2 5) Estude o sinal da expressão −x2− x + 2
Solução:
Aqui, novamente, iremos transformar a expressão em um produto de fatores mais simples. Até agora você viu apenas duas possibilidades para um trinômio de grau 2. Ou ele é quadrado perfeito ou é da forma x2+ Sx+ P, sendo S a soma de dois números cujo produto é P. Nesse exemplo, vamos colocar inicialmente o -1 em evidência:
−(x2+ x − 2)
Sendo assim, a expressão dentro dos parênteses pode ser fatorada mais facilmente pois o número que mul-tiplica x2é 1.
Devemos buscar agora dois números cujo produto seja -2 e a soma seja 1. Os números são 2 e -1. Então:
−(x2+ x − 2) = −[(x − 1)(x + 2)]
O sinal de menos antes dos colchetes significa que -1 multiplica a expressão. Podemos usar a distributivi-dade no fator x − 1 e a expressão se torna:
(−x + 1)(x + 2)
Assim como no exemplo anterior, vamos chamar os fatores de A e B: (−x + 1) | {z } A (x + 2) | {z } B
Estudaremos agora o sinal de A.
−x + 1 = 0 =⇒ x = 1
Lembre-se de fazer "testes"em A com valores me-nores e maiores que 1. Descobrimos que, quando
x< 1, A > 0 e quando x > 1, A < 0 Estudando o sinal de B:
x+ 2 = 0 =⇒ x = −2
Ao escolher valores em B, menores e maiores que 2, descobrimos que quando x < 2, B < 0 e quando x> 2, B > 0.
Vamos representar o estudo do sinal de cada expressão graficamente e em seguida fazer o produto dos sinais das expressões:
Fig. 9. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões
Analisando a solução gráfica, podemos escrever:
−x2− x + 2 > 0 quando − 2 < x < 1 −x2− x + 2 < 0 quando x < −2 ou x > 1
−x2− x + 2 = 0 quando x = −2 ou x = 1 Lembre-se que o segredo para que você fique bom nisso é exercitar. Não meça esforços para praticar o que estudou.
3. Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é o tamanho desse número. Cada número da reta real tem uma distância até o zero e desingaremos de módulo esta distância. Usaremos | | para representar o módulo.
Exemplo
|2| = 2 pois o "tamanho"do 2 é duas unidades. | − 2| = 2 pois o "tamanho"do -2 é duas unidades Você já deve ter ouvido dizer que o módulo de um número nunca é negativo, ou que o módulo de um número é o número sem o sinal. Mas o verdadeiro sentido disso é: para medir alguma coisa não usamos valores negativos.
3.1. Definição:
Se x é um número real, então:
|x| =
x se x ≥ 0 −x se x < 0
Exemplo
1) Determine a solução da inequação |x| > 1
Solução:
Nesta desigualdade, estamos interessados em valores de x que possuem tamanho maior que 1. Vamos re-presentar isso graficamente:
Fig. 10. Representação para |x| > 1
Note que os extremos do intervalo não fazem parte do conjunto, por isso o representamos com uma "bo-linha"vazia.
Os números que têm tamanho maior que 1 são esses da região hachurada da figura 10. Sendo assim:
|x| > 1 =⇒ x < −1 ou x > 1 2) Qual é a solução para a inequação
|x + 3| ≤ 4 ?
Solução:
Enquanto você não tiver confiança de fazer mais rapi-damente, use o seguinte artifício:
x+ 3 = A
E agora o problema se resume em resolver a inequa-ção:
|A| ≤ 4
Estamos interessados agora em saber quais são os nú-meros que possuem tamanho menor ou igual a 4. Pen-sando como no exemplo anterior podemos concluir que esses números são todos aqueles compreendidos entre -4 e 4. (Na dúvida, represente graficamente!) Portanto, A está compreendido entre -4 e 4 e iremos representar assim:
−4 ≤ A ≤ 4
Mas queremos resolver a inequação na variável x. Lembre-se que A = x + 3, portanto:
−4 ≤ x + 3 ≤ 4
Esta é uma inequação simultânea e podemos resolvê-la isoresolvê-lando a variável.
−4 − 3 ≤ x ≤ 4 − 3 Logo
−7 ≤ x ≤ 1
3) Determine a solução para a equação |x + 2| = 2.
Solução:
Olhando para a equação interpretamos o seguinte: es-tamos interessados em saber quais os números cujo tamanho é 2.
Sendo assim, os números que possuem tamanho 2 são o próprio 2 e o -2.
x+ 2 = 2 ou x + 2 = −2 Resolvendo cada uma das equações temos:
x= 0 ou x = −4
Portanto, a solução para a equação é o conjunto
S= {−4, 0}
Para o próximo exemplo, usaremos uma informação impor-tante sobre o módulo de um número real.
√ x2= |x|
Posteriormente iremos demonstrar esta igualdade. 4) Qual é a solução da equação
x2− 4x + 4 = 0? Resolução:
Você já deve estar pensando que, como esta é uma equação de 2o, para resolvê-la deveremos usar a fa-mosa Fórmula de Bhaskara. Sim, esta é uma equação de 2ograu porém iremos usar outro método de
reso-lução.
Observe que o lado esquerdo da igualdade é um trinô-mio quadrado perfeito:
x2− 4x + 4 = (x − 2)2
Então a equação pode ser reescrita como:
(x − 2)2= 0
Para eliminar o expoente 2 do primeiro membro ire-mos usar a operação inversa (radiciação) em ambos os lados:
q
(x − 2)2=√0
Usando a ideia de que√x2= |x|:
|(x − 2)| = 0
Estamos agora interessados em saber quais os núme-ros cujo tamanho é zero. O único número real cujo tamanho é zero é o próprio zero.
x− 2 = 0 =⇒ x = 2
Portanto a solução da equação é o conjunto unitário S= {2}
5) Determine o conjunto solução da equação
x2+ 6x + 9 = 16
Novamente o lado esquerdo da equação de 2o é for-mado por um trinômio quadrado perfeito. Vamos es-crever sua forma fatorada:
(x + 3)2= 16
Escrevendo a raiz quadrada dos dois lados: q
(x + 3)2=√16
Usando a informação√x2= |x|:
|(x + 3)| = 4
Agora vem a pergunta: quais são os números cujo mó-dulo é 4? A resposta é: -4 e 4.
x+ 3 = 4 ou x + 3 = −4 Resolvendo cada uma das equações:
x= 4 − 3 ou x = −4 − 3 x= 1 ou x = −7 A solução da equação então será o conjunto S= {−7, 1}
Talvez você não tenha percebido mas o que fizemos nos exemplos 4 e 5 foi resolver uma equação de 2o grau por um processo bem diferente do que você está acostumado. Vamos resolver mais alguns exemplos assim:
6) Determine o conjunto solução da equação
x2+ 6x − 7 = 0 Resolução:
Esta equação de 2oestá no formato que você
acostu-mou a ver. Note que o trinômio não é quadrado per-feito. Ele pode ser fatorado como soma e produto, como vimos anteriormente,mas aqui iremos usar um procedimento chamado de "completar os quadrados". O objetivo dele é completar o trinômio para que ele se torne um quadrado perfeito. Preste muita atenção no que será feito porque aparentemente você achará difícil, mas verá com a prática que não é:
Primeiro passo: verifique se o número que multplica o x2é 1. Se não for, divida a equação inteira por ele. Nesse caso já é 1. Segundo passo: pegue o termo que multiplica o x e divida-o por 2(só o módulo). Nesse exemplo é o 6.
6 ÷ 2 = 3
Terceiro passo: pegue o resultado da divisão do passo anterior e eleve ao quadrado.
Se o termo independente fosse 9, então o trinômio se-ria quadrado perfeito. Como não é, vamos para o pró-ximo passo.
Quarto passo: acrescente ao termo independente uma quantidade que o torne igual ao resultado obtido no terceiro passo. Nesse caso devemos acrescentar ao -7 um número que faça o resultado ser 9. Esse número é 16. Só que,numa equação, o que você acrescentar de um lado, deve também acrescentar no outro.
x2+ 6x − 7 + 16 = 16 Agora organizando o lado esquerdo:
x2+ 6x + 9 = 16
Note que a equação agora se tornou idêntica à do exemplo 5 e irei deixar para você resolvê-la. Tente re-solver o exemplo também fatorando o trinômio como soma e produto.
7) Qual é o conjunto solução da equação
10x2− 9x + 2 = 0? Resolução:
Note que aqui o termo que multiplica o x2não é 1. Nesse caso, vamos dividir e equção toda por 10.
10x2− 9x + 2
10 =
0 10
O lado direito continuará zero e o lado esquerdo fi-cará:
x2− 9 10x+
2 10= 0
O próximo passo agora é dividir o termo que multi-plica x por 2. 9 10 2 = 9 10· 1 2 = 9 20
Observe que agora devemos elevar este termo ao qua-drado 9 20 2 = 81 400
Agora a pergunta é: qual deverá ser o número acres-centando a 2
10 para que o resultado seja 81 400? ? + 2 10= 81 400 ? = 81 400− 2 10
O mínimo múltiplo comum entre 400 e 10 é o 400.
? = 81 400− 80 400 ? = 1 400
Descobrimos que devemos acrescentar em ambos os lados 1 400. x2− 9 10x+ 2 10+ 1 400 = 1 400 Lembre-se que 2 10+ 1
400 = Logo a equação torna-se: x2− 9 10x+ 81 400= 1 400
O primeiro membro desta última equação é um trinô-mio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (verifi-que): x− 9 20 2 = 1 400
Vamos calcular agora a raiz quadrada em ambos os lados: s x− 9 20 2 = r 1 400
Não se esqueça que √ x2= |x|: x− 9 20 = 1 20
Quais são os números cujo tamanho vale 1
20? Esses números são 1 20 e − 1 20. Logo: x− 9 20= 1 20 ou x − 9 20= − 1 20 x= 1 20+ 9 20 ou x = − 1 20+ 9 20 x=10 20 ou x = 8 20 Simplificando as frações: x=1 2 ou x = 2 5
A solução da equação é o conjunto S = 1 2,
2 5
8) Qual é o conjunto solução da equação
x2+ 2x + 2 = 0? Resolução:
Vamos resolver a equação completando os quadrados, como fizemos anteriormente.
Primeiro observe que o número que multiplica x2é 1. Só nos resta agora dividir o termo que multiplica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.
Significa que devemos acrescentar algum número no lado esquerdo para que o termo independente (2) se torne 1. Esse número é o -1.
x2+ 2x + 2 − 1 = −1
Agora, o primeiro membro da equação pode ser es-crito de forma fatorada, já que é um trinômio qua-drado perfeito.
x2+ 2x + 1 = −1 =⇒ (x + 1)2= −1 O procedimento agora é análogo ao que fizemos ante-riormente. Calculamos a raiz quadrada em ambos os lados
q
(x + 1)2=√−1
Note que do lado direito desta igualdade aparece uma quantidade inexistente no conjunto dos números reais. Como estudamos somente os números reais (pelo me-nos nesta disciplina), dizemos que a equação não tem solução:
S= { }
Os últimos exemplos que resolvemos foi uma aperitivo para o que vamos estudar agora.
4. Equações de 2
o
Grau
Uma equação de 2ograu tem a forma
ax2+ bx + c = 0 sendo a, b, c ∈ R e a 6= 0. A condição de a ser diferente de zero você vai entender já ja´. Por enquanto, pense que é somente pelo fato de que, se afor zero, o termo de grau 2 "some" e a equação passa a ser de primeiro grau.
Para resolver equações de grau 2 você poderá todas as vezes que quiser, usar o método de completar os quadrados, como visto anterioremente. Porém iremos desenvolver agora uma fórmula resolutiva, conhecida como Fórmula de Bhaskara. Ela se baseia na ideia estudada.
Começaremos dividindo a equação por a:
ax2+ bx + c = 0(÷a) (9)
x2+b ax+
c
a = 0 (10)
Na equação 10, devemos agora dividir o termo que multi-plica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.
b a 2 =⇒ b a· 1 2= b 2a b 2a 2 = b 2 4a2 b2
4adeve ser o termo independente. Para que isto ocorra, de-vemos somar alguma quantidade na equação. Para descobrir que quantidade é esta, resolvemos o seguinte problema:
? +c a= b2 4a2 Isolando a incógnita: ? = b 2 4a2− c a
Podemos melhorar o lado direito da igualdade reduzindo as frações ao mesmo denominador:
? = b 2 4a2− 4ac 4a2 =⇒ ? = b2− 4ac 4a2
A quantidade a ser somada em ambos os lados da equação
então éb
2− 4ac
4a2 .
Portanto, na equação(10) vamos acrescentar b
2− 4ac 4a2 dos dois lados: x2+b ax+ c a+ b2− 4ac 4a2 =b 2− 4ac 4a2 (11) Em (11), c a+ b2− 4ac 4a2 = b 2 4a2
Substindo este resultado:
x2+b ax+ b2 4a2= b2− 4ac 4a2 (12)
O primeiro membro de (12) é um trinômio quadrado perfeito (verifique)! Sua forma fatorada é:
x+ b 2a 2 A equação (12) torna-se: x+ b 2a 2 =b 2− 4ac 4a2 (13)
Finalmente agora calculamos a raiz em ambos os lados da equação: s x+ b 2a 2 = s b2− 4ac 4a2 (14) Lembre-se que √ x2= |x|. x+ b 2a = √ b2− 4ac 2a (15)
Vamos chamar o número b2− 4ac de ∆. Na equação (15), ao calcular o módulo do lado esquerdo, aparecerão dois nú-meros no lado direito. Um positivo e outro negativo.
x+ b 2a= ±
√ ∆
Ao isolar o x no primeiro membro, temos: x= −b 2a± √ ∆ 2a ou x=−b ± √ ∆ 2a
Note que o a aparece na fórmula dividindo uma expressão. Logo seu valor tem que ser diferente de zero. Muitas pessoas passam a vida inteira resolvendo equações de 2o grau com esta fórmula e não sabem de onde ela veio. A partir de agora, pratique a resolucão de equações desse tipo com e sem a fórmula. Isso fará de você um excelente calculista!
5. Exercícios Propostos
5.1. Elimine o módulo: a) | − 5| + | − 2| = b) | − 5 + 8| = c) |2a| − |3a| = d) | − a| = 5.2. Resolva as equações: a) |x| = 2 b) |x + 1| = 3 c) |2x − 1| = 1 d) |x − 2| = −1 e) |2x + 3| = 0 5.3. Resolva as Inequações a) |x| ≤ 1 b) |3x − 1| < −2 c) |2x − 1| < 3 d) |3x − 1| <1 3 e) |2x − 3| > 35.4. Fatore o polinômio de 2odado:
a) x2− 3x + 2 b) x2− x − 2 c) x2− 2x + 1 d) x2− 6x + 9 e) 2x2− 3x + 1 f) x2− 25 g) 3x2+ x − 2 i) 4x2− 9 j) 2x2− 5x
5.5. Resolva a inequação dada:
a) x2− 3x + 2 > 0 b) x2− 5x + 6 ≥ 0 c) x2− 3x > 0 d) x2− 9 < 0 e) x2− x − 2 ≥ 0 f) 3x2− x ≤ 0 g) 4x2− 4x − 1 < 0 h) 4x2− 4x − 1 ≤ 0 5.6. Simplique as expressões: a) x 2− 1 x− 1 b) x 3− 8 x2− 4 c) 4x 2− 9 2x + 3 d) 1 x− 1 x− 1 e) 1 x2− 1 x− 1 f) 1 x2− 1 9 x− 3 g) 1 x− 1 5 x− 5 h) 1 x− 1 p x− p i) (x + h) 2− x2 h j) 1 x+h− 1 x h
5.7. Resolva as inequações: a) 2x − 1 x+ 1 < 0 b) 1 − x 3 − x≥ 0 c) x− 2 3x + 1 > 0 d) (2x − 1)(x + 3) < 0 e) 3x − 2 2 − x ≤ 0 f) x(2x − 1) ≥ 0 g) (x − 2)(x + 2) > 0 h) 2x − 1 x− 3 > 5 i) x 2x − 3 ≤ 3 j) x− 1 2 − x< 1
Referências
[1] IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1. São Paulo: Atual Editora, 2006
[2] DANTE, Luiz. Matemática, Vol. único. São Paulo: Editora Ática, 2008.
[3] LIMA, Elon Lajes. A Matemática do Ensino Médio, vol. 1 Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Samuel Lima Picanço
Escola de Ciências Exatas e da Computação, Pontifícia Universidade Católica de Goiás whatsapp: 96472143
