livro_resumo_exercicios_mat7_8_9

PI

7

|

_PI

₈

|

_PI

₉

MATEMÁTICA

Recursos para a Prova Final de Ciclo

Apresentação

Esta compilação de materiais foi idealizada no sentido de fornecer aos professores adotantes do projeto Pi 9, de um modo sistematizado, os recursos necessários para uma rápida revisão de todos os conteúdos abordados ao longo do 3º ciclo, logo, uma mais eficaz ferramenta de preparação para a Prova Final de Ciclo.

Assim, esta publicação contém:

• 19 rubricas “Resumir” (de todas as unidades do 3º ciclo);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Manual);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Caderno de Atividades); • 9 “Provas globais” (Caderno de Atividades).

Deste modo, esperamos contribuir para a melhor preparação possível da sua atividade letiva.

Recursos para

a Prova Final

Resumir

Unidade 1 Números inteiros

Multiplicação de números inteiros

Exemplos:

1.+2 × (+3) = +6 2.–5 × (–7) = +35

Exemplos:

1.+4 × (–12) = –48 2.–6 × (+10) = –60

Propriedades da multiplicação:

O produto de dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos factores.

O produto de dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos factores.

Propriedade distributiva Existência de elemento absorvente Existência de elemento neutro Propriedade associativa Propriedade comutativa Propriedades da multiplicação

Para quaisquer números inteiros a, b e c: Sendo a um qualquer número inteiro: a × 0 = 0 Sendo a um qualquer número inteiro: a × 1 = a

Para quaisquer números inteiros a, b e c: a × (b × c) = (a × b) × c Para quaisquer números inteiros a e b: a × b = b × a 2 × ((–3) + 4) = = 2 × (–3) + 2 × 4 = Exemplo: (–7) × 0 = 0 Exemplo: (–2) × 1 = 2 Exemplo: 2 × ((–3) × 4) = 24 (2 × (–3)) × 4 = 24 Exemplo: (–2) × (–3) = +6 (–3) × (–2) = +6

Divisão de números inteiros

Exemplos: 1.–10 : (–5) = +2 2.+ 500 : (+100) = +5 Exemplos: 1.–100 : (+20) = –5 2.+60 : (–3) = –20 Exemplos: 1.0 : (–12) = 0 2.0 : (+10) = 0 Quadro-resumo:

O quociente entre dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto do quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

O quociente entre zero e qualquer número inteiro, diferente de zero, é igual a zero.

O quociente entre dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto do quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

Potência de base inteira e expoente natural

Uma potência de base a e expoente n é um produto de n factores iguais a a:

Expoente

a

n

_{= a}

_×

_a

_×

_…

_×

_a

Base n factores (+) × (+) = (+) (+) × (–) = (–) (–) × (+) = (–) (–) × (–) = (+) (+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–) (–) : (–) = (+) 0 : (+) = 0 0 : (–) = 0 (–) : 0 é impossível (+) : 0 é impossível Multiplicação Divisão  



Resumir

Unidade 1 Números inteiros

Da definição de potência resulta que:

Exemplos: 1.52_{= 5 × 5 = +25 2.(+1)}5_{= (+1) × (+1) × (+1) × (+1) × (+1) = +1} Exemplos: 1.(–3)2_{= (–3) × (–3) = +9 2.(–1)}4_{= (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = +1} Exemplos: 1.(–3)3_{= (–3) × (–3) × (–3) = –27 2.(–1)}5_{= (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1} Quadro-resumo:

Uma potência de base negativa e expoente ímpar é um número negativo. Uma potência de base negativa e expoente par é um número positivo.

Uma potência de base positiva é sempre um número positivo.

Da definição de potência também é evidente que:

Exemplos:

Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre igual a zero.

par ímpar

+ + sinal da

potência

positiva (+) base

Expoente par ímpar

+ –

Raiz quadrada

Exemplos: 1.Como 52_{= 25, então √∫2∫5 = 5.} 2.Como 72_{= 49, então √∫4∫9 = 7.} 3.Como 272_{= 729, então √∫7∫2∫9 = 27.} Exemplos:

1.25 = 52_{, logo 25 é um quadrado perfeito.}

2.49 = 72_{, logo 49 é um quadrado perfeito.}

3.729 = 272_{, logo 729 é um quadrado perfeito.}

Os 10 primeiros quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Raiz cúbica

Exemplos: 1.Como 23_{= 8, então} 3_{√∫8 = 2.} 2.Como 53_{= 125, então} 3_{√∫1∫2∫5 = 5.} 3.Como 123_{= 1728, então} 3_{√∫1∫7∫2∫8 = 12.} Exemplos:

1.8 = 23_{, logo 8 é um cubo perfeito.}

2.125 = 53_{, logo 125 é um cubo perfeito.}

3.1728 = 123_{, logo 1728 é um cubo perfeito.}

Chama-se cubo perfeito a um número que é igual ao cubo de um número inteiro positivo. A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3_{= b × b × b = a.}

A raiz cúbica de a representa-se por 3_√∫a.

Chama-se quadrado perfeito a um número que é igual ao quadrado de um número inteiro. A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2_{= b × b = a.}

Resumir

Unidade 2 Sequências e regularidades

Sequências numéricas

Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termos consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, …

Lei de formação: Com excepção do 1.o_{termo, cada termo obtém-se adicionando}

10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral.

O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a re pre sen ta ção do termo geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais.

11, 21, 31, 41, 51, … 11 + (n – 1) × 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) × 10 é equivalente a 10n + 1. 1.o_termo ou termo de ordem 1 2.o_termo ou termo de ordem 2 3.o_termo ou termo de ordem 3 4.o_termo ou termo de ordem 4 5.o_termo ou termo de ordem 5 Termo geral: 10n + 1 Termo geral: 11 + (n – 1) × 10 …

Sequências pictóricas

Observa a seguinte sequência.

Sequências e Geometria

É possível relacionar padrões geométricos e numéricos. A seguinte sequência é disso um bom exemplo:

Como podes observar, a cada figura corresponde um determinado número de pontos. A figura 1 é composta por um ponto, a figura 2 por quatro pontos e a figura 3 por nove pontos. Desenhando a figura seguinte segundo o mesmo padrão, obtém-se uma figura com dezasseis pontos:

A sequência pictórica anterior obedece a um padrão que não é difícil de identificar: duas maçãs vermelhas são seguidas de duas maçãs verdes, as quais são seguidas de uma maçã amarela. Desta forma, a manter-se o padrão apresentado, pode concluir-se que a próxima peça de fruta a aparecer nesta sequência será uma maçã vermelha.

Analisando cuidadosamente a sequência formada pelo número de pontos que constitui cada figura (1, 4, 9, 16, ...), conclui-se que esta sequência representa os números quadrados.

…

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-mente igual em ambos.

Resumir

Unidade 3 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se

2.o _quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x y

1.o _quadrante

3.o _{quadrante 4.}o _quadrante

A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).

Gráficos de proporcionalidade directa

Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do re-ferencial.

Variáveis directamente proporcionais

Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo. (k ≠ 0)

↓

k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

y = k × x

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-pressões analíticas:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados

pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionali-dade directa. Veículo Bicicleta Número de rodas 2 Triciclo 3 Automóvel 4 f(x) = 2x Tempo Altura Número de pernas Elefante Gato Aranha Polvo Homem 4 8 2 y1 = kx1 y2 = kx2 y3 = kx3 y x1 y3 y2 y1 x2 x3 x

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-mente igual em ambos.

Resumir

Unidade 3 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se

2.o _quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x y

1.o _quadrante

3.o _{quadrante 4.}o _quadrante

A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).

Gráficos de proporcionalidade directa

Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do re-ferencial.

Variáveis directamente proporcionais

Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo. (k ≠ 0)

↓

k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

y = k × x

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-pressões analíticas:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados

pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionali-dade directa. Veículo Bicicleta Número de rodas 2 Triciclo 3 Automóvel 4 f(x) = 2x Tempo Altura Número de pernas Elefante Gato Aranha Polvo Homem 4 8 2 y1 = kx1 y2 = kx2 y3 = kx3 y x1 y3 y2 y1 x2 x3 x

Resumir

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

Triângulo

A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o.

∠a + ∠b + ∠c = 180o

Num triângulo, a amplitude de qualquer um dos seus ân gulos externos é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.

∠d = ∠a + ∠b

A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360o. ∠d + ∠e + ∠f = 360o

Dois segmentos de recta são congruentes se têm o mesmo comprimento.

Dois ângulos são congruentes se têm a mesma amplitude.

C D

A

B

AB CD

Duas figuras dizem-se congruentes, ou geometricamente iguais, se, quando sobrepostas, coincidem ponto por ponto, ou seja, quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Os lados e os ângulos que coincidem dizem-se correspondentes ou homólogos.

a b

c d

f

Dois polígonos são congruentes se têm lados correspondentes congruentes e ângulos corres pon den tes con -gruentes.

Dois triângulos são congruentes se têm os lados correspondentes congruentes e os ângulos corres pon den tes congruentes.

Critério Lado-Lado-Lado (critério LLL)

Dois triângulos são congruentes se têm os três lados congruentes, cada um a cada um.

Critério Lado-Ângulo-Lado (critério LAL)

Dois triângulos são congruentes se têm dois lados congruentes, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado congruente.

Critério Ângulo-Lado-Ângulo (critério ALA)

Dois triângulos são congruentes se têm um lado congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado congruentes, cada um a cada um.

ABCDEF GHIJKL A F E D C B 2,24 2 2 2,24 3 3,61 116,57o 153,43o 97,13o 116,57 o 146,31o 90o G L K J I H 2,24 2 2 2,24 3 3,61 116,57o 153,43o 97,13o 116,57 o 146,31o 90o





AB ⬅ MN AC ⬅ MP BC ⬅ NP AB ⬅ MN ∠CBA ⬅ ∠PNM BC ⬅ NP ∠CBA ⬅ ∠PNM BC ⬅ NP ∠ACB ⬅ ∠MPN A B C M N P A M A B C M N P

Resumir

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

Os papagaios são quadriláteros com dois pares de lados consecutivos congruentes.

Num paralelogramo:

• os ângulos opostos são congruentes; • os ângulos consecutivos são su ple men ta res; • os lados opostos são congruentes;

• as diagonais bissectam-se e dividem o para le lo gramo em quatro triângulos congruentes dois a dois.

A D B C E a b c d

Quadriláteros

Quadriláteros Não trapézios:

Quadrilátero sem lados paralelos.

Trapézios:

Quadrilátero com lados paralelos.

Rectângulo:

Paralelogramo com quatro ângulos rectos.

Quadrado:

Paralelogramo com quatro lados congruentes e quatro ângulos rectos.

Losango:

Paralelogramo com quatro lados congruentes.

Paralelogramo obliquângulo:

Paralelogramo sem ângulos rectos.

Trapézio isósceles:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos são congruentes.

Trapézio rectângulo:

Trapézio em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases.

Trapézio escaleno:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos não são congruentes.

Paralelogramos:

Quadrilátero com dois pares de lados paralelos.

Trapézio não paralelogramo:

Quadrilátero com um único par de lados paralelos.

Num losango, as diagonais bissectam-se e são per pendi cul ar es.

Num rectângulo, as diagonais bissectam-se e são congruentes.

Num quadrado, as diagonais bissectam-se, são perpendiculares e são congruentes.

Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.

Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são congruentes e a suas diagonais são congruentes.

Área do paralelogramo = base × altura

A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360o.

altura base A B D C E A B D C B C A D A D B c

Resumir

Unidade 5 Tratamento de dados

Estatística

A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados. Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo). Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe--se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população.

Este tipo de gráfico deve apresentar as seguintes características: • deve ter um título adequado;

• os dados devem estar agrupados em classes;

• a área de cada rectângulo deve ser proporcional à frequência da classe que representa; • no eixo das abcissas representam-se as diferentes classes;

• no eixo das ordenadas representam-se as frequências de cada uma das classes;

• os rectângulos correspondentes às diferentes classes são adjacentes, isto é, não têm espaços entre si. Medidas de localização

Média de um conjunto de dados

A média de um conjunto de dados, que se representa por –x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos

va-lores observados pelo número total de observações.

Um histograma é um gráfico constituído por rectângulos adjacentes, sendo a área de cada um desses rec-tângulos proporcional à frequência da classe que representa.

7 6 5 4 3 2 1 0 [0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[ Velocidade (km/h)

Velocidades máximas dos animais analisados

Exemplo:

Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10. –

x = = 7,5

Mediana de um conjunto de dados

Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações:

• se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados; • se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto

de dados.

Exemplos:

1.Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2.Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Mediana: Mediana:

4 5 6 8 8 12 4 5 6 8 10 12

Me = 7 Me = = 7,5

Quartis de um conjunto de dados

• a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.oquartil, Q1; • a Me coincide com o 2.oquartil, Q2;

• a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.oquartil, Q3.

Exemplos:

1.Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2.Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Quartis: Quartis:

1.oQuartil: 4 6 7 8 8 12 1.oQuartil: 4 7 8 8 10 12

Q1= 5 Q1= = 5,5

2.oQuartil = Mediana = 4 5 6 8 8 12 2.oQuartil = Mediana = 4 5 6 8 10 12

Q2= 7 Q2= = 7,5

3.oQuartil: 4 5 6 7 8 12 3.oQuartil: 4 5 6 7 8 12

Q3= 8 Q3= = 9

Medidas de dispersão Amplitude = máximo – mínimo

Amplitude interquartis = 3.oquartil – 1.oquartil 5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10 8 8 + 10 2 7 + 8 2 5 + 6 2 8 10 7 8 5 6 7 + 8 2 7 8 8 7 5 7

Uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma letra.

Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o primeiro membro e a que fica à direita é o segundo membro.

x – 3 = 5 – 2x

Cada um dos membros da equação pode ser constituído por um ou mais monómios, que se designam por termos da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita chamam-se termos independentes.

x – 3 = 5 – 2x

Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.

Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).

Resumir

Unidade 6 Equações 1.o membro Termos com incógnita (x, –2x) Termos independentes (–3, 5)  2.o membro 

Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

ax = b ⇔ c . ax = c . b e ax = b ⇔a_c x = , em que c é um número diferente de zero.b_c

Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal:

Classificação de equações

Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada. Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada. Uma equação que não admite solução diz-se impossível.

De acordo com as regras anteriores, pode definir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar ra-pidamente à solução de uma equação:

Exemplo:

2(x – 6) = –12 ⇔

⇔ 2x – 12 = –12 ⇔ ←Desembaraçar de parênteses.

⇔ 2x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔←Adicionar em ambos os membros o termo +12.

⇔ 2x = 0 ⇔ ←Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes.

⇔ x = ⇔ ←Dividir ambos os membros por 2.

⇔ x = 0 ←Simplificar, tornando a fracção irredutível. C.S. = {0}

0 2

Principais passos na resolução de um problema

1.oler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido; 2.o_{escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido;}

3.o_{escrever uma equação que traduza o problema;}

4.o_{resolver a equação;}

5.overificar se a solução da equação também é solução do problema; 6.o_{apresentar a resposta ao problema.}

1.odesembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva;

2.o_{agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes no}

segundo membro);

3.o_{reduzir os termos semelhantes;}

Figuras semelhantes

Duas figuras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.

Resumir

Unidade 7 Figuras semelhantes

se verifica uma redução são congruentes

se verifica uma ampliação

Duas figuras dizem-se semelhantes se:

Razão de semelhança

A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de figuras semelhantes chama-se razão de semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.

Construção de figuras semelhantes

Para construir figuras semelhantes podem utilizar-se diferentes métodos. Por exemplo: Razão de semelhança (r > 0) r > 1 Ampliação r < 1 Redução r = 1 Congruentes

Método da quadrícula Método da homotetia Pantógrafo

A B C D O A’ C’ D’ B’

Polígonos semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se e só se os ângulos correspondentes são congruentes e os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais.

Exemplo:

Triângulos semelhantes

Para verificar se dois triângulos são semelhantes não é necessário comparar os três lados e os três ângulos dos dois triângulos. Basta utilizar um dos seguintes critérios.

Perímetros e áreas de figuras semelhantes

• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre os respectivos perímetros é igual à razão de semelhança. • Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre as respectivas áreas é igual ao quadrado da razão de

se-45o 135o 45o 135o 4 8 E F 2,8 2,8 G H 45o 45o 135o 135o 2 1,4 1,4 4 A B C D

Notação _{correspondentes}Ângulos _{correspondentes}Lados

ABCD ~ EFGH ↓ é semelhante a… ∠A ⬅ ∠E ∠B ⬅ ∠F ∠C ⬅ ∠G ∠D ⬅ ∠H AB EF BC FG = CD GH = DA HE =

Pelo critério AA, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

∠ACB ⬅ ∠DFE ∠CBA ⬅ ∠FED A B C D E F

Pelo critério LLL, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

= = 2 = = 2 = = 2 4 2 6 3 DE AB FE CB 6 3 DF AC A 3 2 3 _B C 6 4 6 D E F

Pelo critério LAL, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

= = 2 = = 2 ∠CBA ⬅ ∠FED 6 3 DE AB 4 2 FE CB A 2 3 _B C 4 6 D E F Critérios de semelhança Critério lado-lado-lado (LLL) Critério ângulo-ângulo (AA) Critério lado-ângulo-lado (LAL)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados

congruentes. Dois triângulos são semelhantes

se têm dois ângulos congruentes. Dois triângulos são semelhantes

se têm os três lados proporcionais.

1. Associa um número inteiro a cada uma das seguintes situações.

1.1.A Mariana ganhou 8 € num sorteio.

1.2.A Carla perdeu uma nota de 5 € que levava no bolso.

1.3.O João depositou 500 € na sua conta bancária.

1.4.O Sr. Fernando passou um cheque de 2600 € para pagar o conserto do seu automóvel.

2. Escreve:

2.1.um número inteiro compreendido entre –5 e 7;

2.2.um número inteiro compreendido entre –12 e –10;

2.3.um número não inteiro compreendido entre –4 e –7.

3. Sem efetuares cálculos, indica o sinal de cada uma das seguintes potências.

3.1.(–1)4 3.2.(+7)8 3.3.(–7)3 3.4.(+1)8 4. Calcula. 4.1.–(–3) + (–2) 4.2.–(–6 + 4) + (–3 –1) 4.3.(–3) = (–9) 4.4.(–12) : (–6) 4.5.(–3) = (–12) + (–36) 4.6.(–3 + 4) = (–2) + (–8) : (–8) 4.7.–7 = (–10 + 3) – (–6) 4.8.(–6) : (–3) = (–4) : (–1) 5. Calcula. 5.1.(–3)2 5.2.(–4)2_{+ (+3)}3 5.3.(–5)2_{+ (–7)}2 5.4.(–6)2_{– (–1)}250

TESTAR

[1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]

6. Escreve sob a forma de uma só potência.

6.1.(–3)3_{= (–2)}3_{: (+6)}2

6.2.(–2)3_{: (–2)}2_{= (–2)}4

7. Apresentando todos os cálculos que tiveres de efetuar, responde às questões.

7.1.Qual é o valor absoluto do produto de –5 por 12?

7.2.Qual é o quociente entre o simétrico de –6 e o valor absoluto de –2?

7.3.Qual é o quadrado do valor absoluto de 12?

7.4.Qual é o quadrado da soma de +5 com o simétrico de –6?

8. Uma capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da es-querda para a direita dá o mesmo número.

Por exemplo, 75 957 e 30 003 são capicuas.

8.1.Escreve três capicuas diferentes das referidas no exemplo.

8.2.Indica o menor quadrado perfeito que seja capicua.

8.3.Indica os quadrados perfeitos inferiores a 1000 que são capicuas.

9. Depois de copiares para o teu caderno, completa os enquadramentos colocando nos espaços vazios dois números inteiros consecutivos.

Exemplo: 2√∫7  3 (2 e 3 são números inteiros consecutivos)

9.1.?√∫2∫4 ? 9.2.?3√∫5∫5 _?

9.3.?√∫5∫7 ? 9.4.?3√∫5∫8∫3 _?

10. Sabendo que o quadrado de um número positivo é 49, calcula o cubo da soma desse número com 1.

11. Calcula a área de um quadrado cujo lado tenha o dobro do comprimento do lado de um qua-drado de 20 m2_{de área.}

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)

12. Calcula a área lateral de um cubo cujas arestas tenham o triplo do comprimento das arestas de um cubo com 30 m3_{de volume.}

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.) [3] [3] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [2] [2] [2] [2] [6] [5] [9]

1. Observa a seguinte sequência de figuras, onde estão empilhados azulejos brancos e cinzen-tos, segundo uma determinada regra.

1.1.Indica o número de azulejos brancos e o número de azulejos cinzentos necessários para construir a figura 5.

1.2.Na sequência acima representada, existirá alguma figura com um total de 66 azulejos? Explica a tua resposta.

1.3.Tendo em conta o número de cada figura (1, 2, 3, …, n, … ), escreve uma fórmula que per-mita calcular o número de azulejos cinzentos utilizados em cada uma das figuras.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.oCiclo, 2003

2. Considera a sequência de termo geral 10n – 8.

2.1.Determina os quatro primeiros termos da sequência.

2.2.Determina o termo de ordem dez da sequência.

2.3.Verifica se os números 72 e 100 são, ou não, termos desta sequência. Em caso afirma-tivo, indica a ordem de cada um desses termos.

3. De seguida, apresentam-se diversas sequências numéricas: Sequência 1: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Sequência 2: 4, 8, 12, 16, 20, 24, … Sequência 3: –5, –2, 1, 4, 7, 10, … Sequência 4: , , , , , …

3.1.Indica os três próximos termos de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.

3.2.Indica um possível termo geral de cada uma das sequências.

4. Como sabes, uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que une dois vérti-ces não consecutivos desse polígono. Observa a tabela, que relaciona diversos polígonos com o número das suas diagonais.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

5 7 2 3 3 5 1 2 1 3

TESTAR

Unidade 2 Sequências e regularidades

[4] [6] [8] [2] [3] [4] [7] [9] [5] Polígono Número de diagonais Triângulo 0

Quadrilátero Pentágono Hexágono

5. A Maria utilizou fósforos para construir as seguintes figuras.

As figuras fazem parte de uma sequência.

5.1.Representa, no teu caderno, a próxima figura da sequência.

5.2.Completa a seguinte tabela indicando os valores de a e b.

A expressão algébrica que permite determinar o número de fósforos utilizados para cons-truir a figura de ordem n é 6n – 2.

5.3.Determina o número de fósforos utilizados na figura 35.

5.4.Haverá alguma figura com 50 fósforos? Se sim, indica a sua ordem, justificando conve-nientemente.

6. As figuras seguintes são constituídas por quadrados.

6.1.Desenha a figura seguinte.

6.2.Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados da figura de ordem n.

6.3.Comenta a afirmação: “Uma das figuras desta sequência é constituída por 43 quadrados”.

6.4.Tomando a área do quadrado como unidade, determina a área de cada uma das 3 figuras.

6.5.Escreve uma expressão algébrica que permita determinar a área de cada uma das 3 fi-guras.

6.6.Dois amigos, o Rui e o Nuno, responderam à alínea 6.2.O Rui diz que a expressão algébrica é 3(n + 1) – 3, enquanto o Nuno diz que é –(3 – 3n) + 3. Será que algum deles tem razão?

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 1 Figura 2 Figura 3

[3] [6] [3] [6] [4] [3] [5] [6] [8] [8] Número da figura Número de fósforos 1 4 2 10 3 16 7 a 10 b

1. No referencial cartesiano estão assinalados quatro pontos, A, B, C e D.

1.1.Indica as coordenadas de cada um dos pontos assi-nalados.

1.2.Indica quais dos pontos assinalados têm abcissa maior do que a ordenada.

1.3.Qual dos quatro pontos assinalados está mais próximo do ponto X

(

, 2

)

? Justifica.

2. Indica, justificando, quais das seguintes correspondências são funções.

. V I II I .I I .I .I V . V

3. Observa a tabela, que representa a função m:

3.1.Indica o domínio e o contradomínio da função m.

3.2.Constrói um gráfico cartesiano que represente a função m.

3.3.Depois de copiares as seguintes expressões para o teu caderno, completa-as:

a)m(4) = ?;

b)m(?) = 10;

3.4.Indica, justificando, qual das seguintes expressões algébricas pode representar a função m.

[A]y = 2x [B]y = 5x [C]y = x1 [D]y = x1 5 2

TESTAR

Unidade 3 Funções [4] [3] [3] [8] [6] [8] [3] [3] [5] x 10 y a 20 b 30 c 40 d 50 e x 1 2 3 4 5 y 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 1 y 5 2 10 3 15 4 20

4. Qual dos seguintes gráficos mostra a relação entre a altura de uma vela e o tempo que de-corre desde o instante em que foi acesa? Num pequeno texto explica a tua opção, indicando as razões que te levaram a rejeitar os restantes gráficos.

I. II. III. IV. V. VI.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2004)

5. Considera a tabela que relaciona o comprimento do lado de um quadrado e o seu perímetro.

5.1.Determina os valores de a, b, c e d.

5.2.O perímetro do quadrado é diretamente proporcional ao comprimento do seu lado? Em caso afirmativo, indica o valor da constante de proporcionalidade e qual o seu significado no contexto do problema.

5.3.Representa por l o comprimento do lado do quadrado e por P o perímetro do quadrado. Escreve uma expressão que relacione l com P.

6. O André e o Filipe, ambos pratican-tes de skate, vivem em Braga. Num determinado dia, ambos tiveram de se deslocar ao Porto para participar numa prova de skate.

O gráfico mostra a viagem Braga--Porto-Braga, de cada um dos dois amigos.

6.1.Qual dos dois amigos saiu pri-meiro de Braga?

6.2.A que horas saiu o André de Braga?

6.3.Qual dos dois amigos chegou primeiro ao Porto?

6.4.Às 13:30 h, a que distância do Porto se encontrava o Filipe?

6.5.No percurso Braga-Porto, o Filipe esteve parado. Quanto tempo?

6.6.Qual dos dois amigos permaneceu mais tempo no Porto?

6.7.Em que instantes se encontravam os dois amigos à mesma distância de Braga?

6.8.Qual foi a velocidade média a que se deslocou o Filipe no seu percurso Porto-Braga?

[8] [6] [4] [8] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [6] Comprimento do lado (m) a Perímetro (m) 4 b c 8 6 20 d

1. Observa a figura, onde b//c.

1.1.Determina a amplitude do ângulo α. Explica o teu raciocínio.

1.2.Classifica o triângulo ABC quanto à amplitude dos ângulos e quanto ao comprimento dos lados.

1.3.Passando por C, traçou-se uma reta t, paralela à reta AB. Seja P o ponto de interseção da reta t com a reta c. Prova que os triângulos ABC e BPC são congruentes.

2. Observa os polígonos.

Indica, pela letra correspondente, todos os: 2.1.paralelogramos;

2.2.losangos; 2.3.quadrados;

2.4.quadriláteros com pelo menos dois ângulos retos, que não sejam quadrados; 2.5.polígonos com pelo menos um eixo de simetria.

3. O professor da Catarina e da Andreia pediu-lhes que descrevessem um quadrado. De seguida, apresentam-se as descrições fornecidas por cada uma delas:

Catarina: “Um quadrado é um paralelogramo com quatro lados congruentes.” Andreia: ”Um quadrado é um losango com quatro ângulos retos”.

Uma das amigas não definiu corretamente um quadrado. Qual delas foi? Explica o teu raciocínio.

4. Resolve o seguinte problema e explica o teu raciocínio.

TESTAR

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

[2] [4] [6] [2] [1] [2] [3] [2] [6] [4]

5. Constrói, no teu caderno:

5.1.o triângulo ABC, em que AB = 5 cm, BC = 8 cm e ABC = 48o;

5.2.um paralelogramo em que dois lados consecutivos meçam 6 cm e 3 cm e o ângulo por eles formado tenha 90ode amplitude;

5.3.um trapézio retângulo cuja base maior meça 6 cm e a base menor 3 cm.

6. Determina a amplitude do ângulo α e justifica que ABCD não é um paralelogramo.

7. Considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado, deter-mina quantas vezes é a área do paralelogramo ABCD maior que a área do triângulo BED. Explica o teu raciocínio.

8. Na figura seguinte BCDE é um trapézio e ABE um triângulo isósceles. Determina as amplitudes dos ângulos α, β e ε. Explica o teu raciocínio.

9. O Fábio foi visitar um enorme desfiladeiro com uns amigos. Como é muito curioso, o Fábio quis saber qual era a largura do desfiladeiro, mas nenhum dos seus amigos lhe soube dar essa in-formação. Então, o Fábio lembrou-se de um processo que havia aprendido nas aulas de Ma-temática e procedeu tal como o ilustrado na figura seguinte.

9.1.Explica, detalhadamente, qual é o processo utilizado pelo Fábio. 9.2.Se BD = 15 m, determina a largura do desfiladeiro.

10. Observa a figura, onde estão representadas duas circunferências de centros A e B, e o triân-gulo ABC. [3] [4] [5] [6] [10] [12] [10] [6] [12]

1. De entre os 500 funcionários de uma empresa foram selecionados 150 para se avaliar o grau de satisfação dos funcionários com o serviço da cantina.

1.1.O estudo realizado foi um censo ou uma sondagem? Justifica. 1.2.Qual é a população em estudo?

1.3.Qual é a amostra escolhida?

2. Durante o passado mês de agosto, foram registados todos os atrasos existentes nos voos de uma companhia de aviação. Os resultados obtidos, em minutos, encontram-se registados de seguida:

2.1.Considerando as classes [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[, [50, 60[, organiza os dados numa tabela de frequências.

2.2.Representa os dados da tabela que construíste na alínea anterior, através de um histo-grama.

2.3.Em quantos voos se registaram atrasos de pelo menos trinta minutos?

2.4.Calcula a percentagem de voos com um atraso igual ou superior a vinte minutos e infe-rior a quarenta minutos.

2.5.Sabendo que a companhia de aviação realizou, no referido mês, um total de 50 voos, de-termina a percentagem de voos que cumpriram o horário inicialmente previsto. Apre-senta todos os cálculos que efetuares.

2.6.Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou a mediana? Explica o teu raciocínio.

3. A pedido da Maria, todas as pessoas convidadas para a sua festa de aniversário vão levar, pelo menos, um CD de música.

A Maria perguntou a cada um dos convidados quantos CD tencionava levar e fez uma lista onde escreveu as respostas.

Depois de ordenadas todas as respostas, por ordem crescente, as primeiras 14 são as se-guintes:

1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5

Sabendo que a mediana de todas as respostas dadas é 4, quantas pessoas foram convidadas para a festa de aniversário da Maria? Explica o teu raciocínio.

3 16 41 25 9 10 24 7 27 13 7 38 48 8 17 30 11 53 22 14 2 55 46 6 29 21 15 39 43 19

TESTAR

Unidade 5 Tratamento de dados

[6] [2] [2] [8] [8] [3] [4] [4] [5] [12]

4. Para angariar fundos para a construção de uma nova sede, o clube de futebol Os Medalhados decidiu vender rifas a todos os seus associados. O número de rifas vendidas a cada sócio do clube variou de 1 a 4.

O gráfico seguinte mostra, de entre 50 sócios, a percentagem dos que compraram 1, 2, 3 ou 4 rifas.

4.1.Determina o número de sócios, de entre os 50, que compraram 2 rifas.

4.2.Fez-se uma lista onde se registou o número de rifas compradas por cada um dos 10 sócios. A mediana dessa lista de números é 2,5. Destes 10 sócios, houve quatro que compraram 1 rifa, três que compraram 3 rifas e um que comprou 4 rifas.

Quantas rifas poderá ter comprado cada um dos outros dois sócios? Explica o teu racio-cínio.

Adaptado de Teste Intermédio do Ensino Básico, 3.oCiclo, fevereiro – 2009

5. Os seguintes diagramas representam a precipitação diária (em mm) verificada em duas cidades estrangeiras, durante o mês de janeiro de 2006.

5.1.Em qual das cidade se verificou o dia com maior precipitação?

5.2.Indica a percentagem de dias em que, na cidade A, se verificou uma precipitação maior ou igual a 110 mm. Explica o teu raciocínio.

5.3.Durante aproximadamente quantos dias se verificou, na cidade B, uma precipitação igual ou superior a 50 mm e igual ou inferior a 170 mm? Explica o teu raciocínio.

5.4.Num pequeno texto, compara a precipitação verificada nas duas cidades durante o mês de janeiro de 2006. Nesta explicação deverás fazer, sempre que possível, referência às medidas de localização e de dispersão que conheces.

[6] [10] [4] [6] [7] [7] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 Precipitação diária verificada no

mês de janeiro de 2006 A

1. Indica, justificando, qual das seguintes expressões é uma equação. [A]–x = x + 6 [B]2x ≤ –40 [C]+10 + 3 = +13 [D]4 = 6 + 2 2. Considera a equação –2x + 4 + 3x = 2 – 5x. 2.1.Indica: a)a incógnita; b)o 1.omembro; c)o 2.omembro; d)os termos independentes.

2.2.Verifica se –1 é solução da equação.

3. Qual é a solução da seguinte equação?

3b – 5(b + 1) = 0 Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Prova de Aferição de Matemática, 3.o

Ciclo, 2002

4. Verifica se algum dos números 0, 1 ou 2 é solução da equação x + 7 = 2x + 6.

5. Traduz por meio de uma equação.

5.1.O Pedro e o Filipe fazem coleção de berlindes. O Pedro tem o triplo dos berlindes do Filipe. Os dois amigos, em conjunto, têm 40 berlindes.

5.2.Um retângulo tem 18 cm2_{de área e o seu comprimento é o dobro da sua largura.}

5.3.A Joana e a Maria são primas. A Joana é 3 anos mais velha que a Maria. A soma das ida-des das duas primas é 7 anos.

6. Resolve e classifica cada uma das seguintes equações.

6.1.2 + x = 12 6.2.4 – x = –x – 8 6.3.2(x – 10) = 2x – 20 6.4.–(–x + 4) = +(–x + 6) – 2

TESTAR

Unidade 6 _Equações [5] [1] [2] [2] [2] [4] [4] [6] [5] [5] [5] [3] [3] [4] [6]

7. Considera as seguintes equações:

A.4x – 12 = 6x + 2 B.–3x + 6x + 2 = –47 – 4x

7.1.Resolve cada uma das equações anteriores.

7.2.As equações são equivalentes? Justifica.

8. Todos os dias um pastor alentejano leva os seus 150 animais a pastar num grande campo verde. O número de ovelhas é metade do número de ca-bras e a terça parte do número de carneiros. De-termina quantos carneiros fazem parte do rebanho deste pastor.

9. O Pedro, a Fátima e o Fernando colecionam selos. A Fátima tem mais 90 selos do que o Pedro e o Fernando tem menos 30 do que a Fátima. Sabendo que, em conjunto, têm 1050 selos, de-termina quantos selos tem cada um deles.

10. Escreve a equação que cada figura sugere e, de seguida, determina o valor de x.

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. [4] [2] [8] [7] [3] [3] [5] [5]

1. As figuras A e B são semelhantes.

Figura A Figura B

Efetua as medições que entenderes necessárias e indica:

1.1.a razão de semelhança da figura B para a figura A;

1.2.a razão de semelhança da figura A para a figura B.

2. Observa a figura.

2.1.Indica a razão de semelhança que transforma o triângulo ABC no triângulo A’B’C’.

2.2.Admitindo que o perímetro do triângulo A’B’C’ é 36 cm, determina o perímetro do triân-gulo ABC.

2.3.Admitindo que a área do triângulo ABC é 9 cm2_{, determina a área do triângulo A’B’C’.}

3. Na figura, estão representados três retângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas em centímetros.

3.1.Apenas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes. Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução.

3.2.Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo B. Determina, em cen-tímetros quadrados, a área desse quadrado. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

TESTAR

Unidade 7 Figuras semelhantes

[4] [4] [4] [5] [6] [6] [8]

4. Observa a figura e comenta as afirmações.

A.D é uma ampliação de A de razão 3.

B.A e B são polígonos semelhantes de razão 2.

C.B é uma redução de C de razão .

5. Indica, justificando, quais das seguintes afirmações são falsas.

A.Dois quadrados são sempre semelhantes.

B.Dois retângulos são sempre semelhantes.

C.Dois triângulos são sempre semelhantes.

D.Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.

E.Dois círculos são sempre semelhantes.

6. Sabendo que AB//CD, determina x em cada uma das situações:

6.1. 6.2.

7. No auditório que vai acolher a peça do grupo de teatro da escola da Liliana foi colocado, a 2 m do solo, um foco de luz. Realizados os necessários testes, verificou-se que este foco, à altura indicada, iluminava uma área cir-cular com 1 m de diâmetro.

7.1.Determina a que distância do solo deve ser colocado o foco para se iluminar uma área circular com 2 m de diâmetro.

7.2.Depois de alguma discussão, decidiu colocar-se o foco a 3 m do solo. Determina o diâ-metro da área circular iluminada.

8. Prova, por redução ao absurdo, que, na figura seguinte, o segmento de reta DE não é paralelo ao segmento de reta AB.

1 2 [5] [5] [5] [8] [7] [7] [8] [6] [12]

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.” Prova que a afirmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.

2 Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões. 3.1 ((–3)2_{+ (–7)) = (–5 + 6)}

3.2 (–5 = (–2 +1))3_{: (–5)}

3.3 0456_{+ (–1)}789_{= (–}3_{√∫1∫∫∫2∫∫5) + (+1)}178_{= (–3}2_{+ √∫3∫∫6)}

3.4

√∫

(

∫∫∫

–

∫∫∫

3

∫∫∫

)

∫ ∫∫

=

∫ ∫∫∫

(

∫∫∫

–

∫∫∫

2

∫∫∫

)

∫ ∫∫∫

+

∫ ∫∫∫

3

∫

_√2∫

∫

∫∫∫

∫

_∫∫

∫

₇

∫∫∫

_–

∫∫∫

₍

∫∫∫

3

∫

_√

∫∫∫

_∫

∫

_∫

∫

₃

∫∫∫

₎

∫

3

∫∫

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem 36 mm2_{de área, determina o perímetro da figura.}

Testar

Unidade 1 Números inteiros

Potência (–9)2 ₍₊₂₇₎24 _(–35)457 ₍₊₂₄₎223 Sinal

5 Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na figura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lança-mentos.

5.1 Quais os produtos que a Maria pode obter?

5.2 A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu raciocínio.

5.3 Sabendo que o cubo da figura A tem 27 cm3_{de volume, determina a área das faces que}

con-têm números não negativos. Explica como procedeste.

6 Observa o polígono RSTU.

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um qua-drado, RR’S’S, tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2_{, determina UT.}

R S U R R’ R R’ U S S’ S S’ T T –1 1 0 Figura B Figura A –1 1 0 1 0 –1

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.” Prova que a afirmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.

2 Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões. 3.1 ((–3)2_{+ (–7)) = (–5 + 6)}

3.2 (–5 = (–2 +1))3_{: (–5)}

3.3 0456_{+ (–1)}789_{= (–}3_{√∫1∫∫∫2∫∫5) + (+1)}178_{= (–3}2_{+ √∫3∫∫6)}

3.4

√∫

(

∫∫∫

–

∫∫∫

3

∫∫∫

)

∫ ∫∫

=

∫ ∫∫∫

(

∫∫∫

–

∫∫∫

2

∫∫∫

)

∫ ∫∫∫

+

∫ ∫∫∫

3

∫

_√2∫

∫

∫∫∫

∫

_∫∫

∫

₇

∫∫∫

_–

∫∫∫

₍

∫∫∫

3

∫

_√

∫∫∫

_∫

∫

_∫

∫

₃

∫∫∫

₎

∫

3

∫∫

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem 36 mm2_{de área, determina o perímetro da figura.}

Testar

Unidade 1 Números inteiros

Potência (–9)2 ₍₊₂₇₎24 _(–35)457 ₍₊₂₄₎223 Sinal

5 Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na figura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lança-mentos.

5.1 Quais os produtos que a Maria pode obter?

5.2 A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu raciocínio.

5.3 Sabendo que o cubo da figura A tem 27 cm3_{de volume, determina a área das faces que}

con-têm números não negativos. Explica como procedeste.

6 Observa o polígono RSTU.

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um qua-drado, RR’S’S, tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2_{, determina UT.}

R S U R R’ R R’ U S S’ S S’ T T –1 1 0 Figura B Figura A –1 1 0 1 0 –1

1 Qual das seguintes correspondências não define uma função?

[A] [B] [C] [D]

2 Observa a representação gráfica da função g.

2.1 Indica o domínio e o contradomínio da função g. 2.2 Qual a imagem, por g, do objecto –1?

2.3 Qual é o objecto que, por g, tem imagem 2? 2.4 Completa as seguintes expressões:

a)g(3) = _______ b)g(_______) = 1

3 Na papelaria do Sr. António tiram-se fotocópias. A tabela seguinte relaciona o preço a pagar pelo cliente, em euros, com o número de fotocópias tiradas.

3.1 Prova que o preço a pagar é directamente proporcional ao número de fotocópias tiradas. 3.2 Determina a constante de proporcionalidade e indica qual o seu significado.

3.3 Escreve uma expressão algébrica que represente a função que ao número de fotocópias, n, tiradas associa o preço, P, a pagar pelo cliente.

Testar

Unidade 3 Funções Número de fotocópias 1 Preço (€) 0,02 2 0,04 3 0,06 4 0,08 5 0,1 y x y x y x y x 0 1 2 –1 0 1 2 3 2 – –1 y x

4 A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia, em euros.

4.1 Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?

4.2 Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?

4.3 A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cál-culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?

4.4 Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é directamente proporcional ao número de horas que trabalhará”.

5 O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô cai no chão.

5.1 Assinala com um X o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão, desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.

5.2 Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três gráficos.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B 40 Quantia a receber (€) Tempo de trabalho (h) 30 20 10 0 2 4 6 8 y x Tempo Altura Tempo Altura Tempo Altura Tempo Altura [A] [B] [C] [D]

1 Observa os quadriláteros.

Indica, pelo número correspondente: 1.1 os trapézios não paralelogramos;

1.2 os paralelogramos;

1.3 os rectângulos;

1.4 os quadrados;

1.5 os losangos não quadrados.

2 Na figura seguinte estão representados os triângulos ABC e BED. Sabe-se que A, B e E estão alinha-dos, que AC BD e que CB DE.

2.1 Prova que os triângulos ABC e BED são congruentes.

2.2 Determina a amplitude do ângulo ¡. Explica o teu raciocínio.

1 2 3 4 5 6 7 12 11 10 9 8 45o 45o 108o 27o E B A D C

Testar

3 Observa a figura.

Determina a amplitude dos ângulos _ e `. Explica o teu raciocínio

4 Determina a área da parte sombreada da figura. Apresenta todos os cálculos que efectuares.

5 Qual das seguintes afirmações é falsa? (Assinala a opção correcta.)

[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

[C] Num paralelogramo, as diagonais bissectam-se.

[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.

6 Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão sobre a mesma recta e CD BC. Colocou-se uma outra estaca em E tal que A, C e E também estão sobre uma mesma recta e AC CE. Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as árvores é igual ao comprimento do segmento de recta DE? Justifica a tua resposta.

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

5 cm 8 cm 14 cm 110o 51o 28o A B D C F C A B E D

1 O Jaime realizou um inquérito para averiguar o número de horas que os seus 23 colegas de turma uti-lizam semanalmente para estudo individual. Os resultados que obteve encontram-se no seguinte his-tograma.

1.1 Indica o número de classes do histograma e a amplitude das mesmas.

1.2 Qual foi a classe que registou uma maior frequência? Como se designa essa classe?

1.3 Quantos alunos dedicam menos de 6 horas semanais ao seu estudo individual?

1.4 Qual é a percentagem de alunos que estuda, pelo menos, 8 horas semanais?

1.5 Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou a mediana? Explica o teu raciocínio.

2 O seguinte conjunto de dados representa a duração, em horas, da carga da bateria de 10 modelos di-ferentes de telemóveis.

400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240 2.1 Determina as medidas de localização do conjunto de dados.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 Número de horas

Tempo semanal dedicado ao estudo individual

Número de alunos

4 6 8 10 12

Testar

Unidade 5 Tratamento de dados

2.2 Constrói um diagrama de extremos e quartis representativo da situação.

3 O seguinte diagrama de extremos e quartis ilustra a esperança de vida, no ano de 2000, em países cuja população ascende aos 10 milhões de pessoas.

Fonte: The New York Times Almanac 2004

3.1 Indica, aproximadamente, a esperança máxima de vida registada neste estudo.

3.2 Determina a amplitude interquartis da distribuição apresentada e refere o significado desse valor no contexto do problema.

3.3 Determina a percentagem de países cuja esperança de vida seja de, pelo menos, 54 anos.

3.4 Sabendo que este estudo incide sobre um total de 124 países, indica o número de países onde a esperança de vida é inferior a 54 anos. Apresenta todos os cálculos que efectuares.

3.5 Atendendo à representação do diagrama de extremos e quartis, qual das medidas de locali-zação te parece ter um maior valor: a média ou a mediana? Explica o teu raciocínio.

Esperança de Vida 0

1 Resolve e classifica as seguintes equações.

1.1 2(x – 6) = 2x + 4 1.2 –(–x + 12) = 2(x – 6) – x

1.3 3x – 17 = –(–2x + 10) 1.4 –(–x – 6) –2x = –x

2 Considera a equação 2x – 12 = –(x + 6). 2.1 Indica o primeiro membro da equação.

2.2 Verifica, sem a resolveres, se 3 é solução da equação.

2.3 Inventa um problema que possa ser traduzido pela equação anterior.

2.4 Prova que a equação considerada é equivalente à equação 2x – 12 = –4x.

3 A Anabela pensou num número, somou-lhe 10, multiplicou a soma por 2 e obteve o quádruplo do nú-mero em que pensou. Em que núnú-mero pensou o Anabela?

Testar

Unidade 6 Equações

4 O Manuel, a pedido da sua mãe, foi ao supermercado comprar cebolas.

Na figura seguinte está a representada a pesagem das cebolas que o Manuel pretende comprar.

Sabendo que cada quilograma de cebolas custa 1,3 €, determina quanto pagará o Manuel.

5 O André disse ao Afonso: “Tu tens o dobro dos meus cromos, contudo, para ficarmos com o mesmo número, basta que me dês 12 dos teus”.

Quantos cromos tem o André?

6 Observa os dois polígonos seguintes, que têm a mesma área.

Comenta a afirmação: “Os dois polígonos não têm o mesmo perímetro”.

7 Considera a equação 3x + k = kx – 8, na incógnita x. Prova que, independentemente do valor de k, a equação nunca será possível indeterminada.

2 kg 1 kg 200 g 4 cm Polígono A (x + 6) cm 2 cm Polígono B

1 Indica qual dos pares de figuras que se seguem representa figuras semelhantes.

[A] [B] [C]

2 Completa os espaços em branco, de modo a obteres afirmações verdadeiras.

2.1 Duas figuras dizem-se semelhantes quando têm a mesma __________________.

2.2 Se B é uma ampliação de A em que se triplicaram todos os comprimentos, então a razão de semelhança de A para B é __________________.

2.3 Quando a razão de semelhança entre duas figuras é __________________, as figuras dizem-se congruentes.

3 Considera a figura.

Utilizando o quadriculado seguinte, constrói uma ampliação da figura anterior de razão 2.

4 O André estava a construir uma ampliação do polígono JLKI, de razão 2, sendo o ponto O o centro da homotetia, mas não a conseguiu terminar.

O L J I K J’

Testar

5 Considera um segmento de recta AB com 4 cm de comprimento.

5.1 Efectuou-se uma redução do segmento de recta AB. O segmento de recta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?

[A]0,2 [B]0,3 [C]0,4 [D]0,5

5.2 Na figura abaixo, está desenhado o segmento de recta AB, numa malha quadriculada em que a unidade de comprimento é um centímetro.

Existem vários triângulos com 6 cm2_{de área.}

Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângu-los, em que um dos lados é o segmento de recta AB. Apresenta todos os cálculos que efectuares. 5.3 O triângulo que construíste na alínea anterior obteve-se de um triângulo XYZ, numa

amplia-ção de razão 3. Determina a área do triângulo XYZ.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o_{Ciclo do Ensino Básico, 2007}

6 Para determinar a distância entre dois pontos A e B, utilizou-se o seguinte esquema.

6.1 Prova que os triângulos ACE e BCD são semelhantes.

6.2 Sabendo que BC = 10 m, CD = 4 m e DE = 6 m, determina a distânia entre os pontos A e B.

A B C D E BD//AE Rio A B 1 cm

Provas globais

De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objectivo de te prepararem

para o exame que irás realizar no final do 9.

o

_{ano de escolaridade.}

As provas de exame são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado

em cada exercício, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.

Grelhas de conteúdos

Prova global 1

Unidade 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3. 4. 5.1a)5.1b) 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4 Números inteiros Sequências e regularidades Funções Triângulos e quadriláteros Tratamento de dados Equações Figuras semelhantes

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Unidade 1.1 1.2a) 1.2b) 1.2c) 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 Números inteiros Sequências e regularidades Funções Triângulos e quadriláteros Tratamento de dados Equações Semelhança

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Prova global 2

Unidade 1.1 1.2 1.3a) 1.3b) 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6a) 3.6b) Números inteiros Sequências e regularidades Funções Triângulos e quadriláteros Tratamento de dados Equações Semelhança

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Prova global 3

Prova global 1

1 Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, ci-nema português. Esta sala é composta por várias filas, todas com 23 lugares. Numa determinada sessão, para a primeira fila foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8. 1.1 Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta fila?

1.2 Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as filas, sendo que a última ficou completa. Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas filas tem o cinema. Explica o teu raciocínio.

2 Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição de um filme. A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, apro-ximadamente, pela expressão C = 21 + 2t, com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas. 2.1 Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?

2.2 Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como che-gaste à tua resposta.

2.3 No final do filme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocor-rido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.

Exame Nacional do Ensino Básico, 9.o_{ano, 2008 – 1.}a_chamada

3 A figura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se no lugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã. Numas filas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J), que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã, sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica o teu raciocínio.

Ecrã

A

4 Tal como a figura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a sala tem 225 m2_{de área e um pé-direito (distância do pavimento ao tecto) constante e igual a 15 m.}

Pre-tende-se forrar o tecto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico da sala e que custa 125 €/m2_{. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.}

5 A direcção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor logótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte.

Sabe-se que:

š

ABCD é um paralelogramo

š

DCE é um triângulo rectângulo escaleno

š

ECD = 72o

š

BC = 7 dm; ED = 3 dm; AB = 3,16 dm; CE = 1 dm 5.1 Determina a amplitude dos ângulos:

a)DCB; b)ADC.

5.2 Determina a área do logótipo.

6 O diagrama ao lado representa as idades das oitenta pessoas que participaram no concurso para escolha do melhor logótipo.

6.1 Qual é a idade da pessoa mais velha a concorrer?

6.2 Indica a percentagem de concorrentes com 32 anos, ou mais.

6.3 Determina quantos dos concorrentes tinham 22 anos, ou menos. Explica o teu raciocínio.

6.4 Sabe-se que entre os oitenta concorrentes, havia mais vinte homens do que mulheres. Quan-tas foram as mulheres que participaram?

0 10 20 30 40 50 60 Português Cinema D A E C B