Formulações de Elementos Finitos Hibridizadas para a Equação do Calor

(1)

Formulaç ões de Elementos Finitos Hibridizadas para a Equaç ão do Calor

Katia P. Fernandes∗, Sandra M. C. Malta, Abimael F. D. Loula

Laboratório Nacional de Computação Cient´ıfica, LNCC, 25651-075, Petrópolis, RJ

E-mail: katiapf@lncc.br, smcm@lncc.br, aloc@lncc.br

Resumo: Este trabalho trata da aplicaç ão do método de elementos finitos hibridizado para resolver

nu-mericamente problemas de transferência de calor bidimensionais. Esta formulaç ão hibridizada permite o desenvolvimento de métodos semi-impl´ıcitos incondicionalmente estáveis. Resultados de estudos de convergência são apresentados para aproximaç ões com diferentes n´ıveis de implicitude.

Palavras-chave: M´etodo de Elementos Finitos, M´etodo H´ıbrido, Multiplicador de Lagrange

1 Introduc¸˜ao

O Método de elementos finitos é uma técnica numérica de resolução de equaç ões diferenciais muito utilizada na resolução de problemas de diversas áreas, tais como mecânica estrutural, mecânica dos flui-dos, transferência de calor e eletromagnetismo [3]. Em 1973, Reed e Hill introduziram pela primeira vez uma variação do método de elementos finitos, conhecida como método de Galerkin Descont´ınuo (DG) [1]. Inicialmente, esse método foi utilizado na resolução de problemas hiperbólicos, sendo pos-teriormente aplicado em problemas elipt´ıcos e parabólicos. Os métodos DG foram desenvolvidos para resolver problemas onde as funç ões do espaço são descont´ınuas entre elementos. Esses métodos são de extrema importância principalmente na dinâmica dos fluidos, já que permitem evitar ou reduzir as oscilaç ões em problemas que tenham fortes gradientes ou descontinuidades [1]. Outro ferramental que se destaca são os métodos de elementos finitos hibridizados (HFEM) que tiveram sua abordagem ins-pirada nos métodos de DG com ra´ızes no método da penalização de Nitsche [5]. Segundo Raviart and Thomas[6] o HFEM foi citado na literatura pela primeira vez pelo engenheiro Pian em 1964. Dentre as vantagens que o HFEM possui estão a conservação local de massa e a possibilidade de se calcular a variável e seu gradiente com a mesma precisão [4]. Além disso, cita-se também a eliminação da des-continuidade ao longo da interface do elemento. Vale ressaltar que, diferentemente do método de DG, o problema passa a ser resolvido a n´ıvel de elemento e as variáveis vão sendo eliminadas em favor do multiplicador de Lagrange nas interfaces dos elementos; desse modo, tem-se um sistema global com-posto apenas com os graus de liberdade associados ao multiplicador, permitindo então uma diminuição da dimensão do sistema global o que reduz consideravelmente o custo computacional [7].

Deste modo, este trabalho visa a resolução de um problema bidimensional transiente difusivo utili-zando o HFEM combinado com aproximaç ões por diferenças finitas no dom´ınio temporal, para diferentes graus de implicitude. No problema estudado a solução converge para o estado estacionário. Estudos de convergência (convergência emh) são apresentados, bem como o comportamento temporal da solução em pontos da malha.

2 Formulac¸˜oes Hibridizadas

SejaΩ ⊂ R2o dom´ınio espacial, aqui consideradoΩ = [0, 1] × [0, 1], com fronteira poligonal ∂Ω, ent˜ao tem-se o seguinte problema:

(2)

Problema do Calor (PC): Encontrarc : Ω × [0, T ] → R tal que:      ∂c ∂t − ∆c = f emΩ × [0, T ] c(x, y, t) = 0 em∂Ω × [0, T ] c(x, y, 0) = c0 emΩ (1)

ondef e c0 são funç ões conhecidas pertencentes aL2(Ω).

Considera-se uma partic¸˜ao uniformeTh= K do dom´ınio Ω e ∂K o conjunto das arestas do elemento K. Sejam Eh o conjunto de todas as arestas deTh (inclusive as arestas nas fronteiras) eEh0 o conjunto

das arestas internas da partiçãoTh. Para uma função escalarϕ e uma função vetorial v, suave por partes

emT , define-se m´edias e saltos: {ϕ} = 1 2 ϕ 1_{+ ϕ}2_, _{[[ϕ]] = ϕ}1_n1_{+ ϕ}2_n2 _em_{e ∈ E}0 h {v} = 1 2 v 1_{+ v}2_, _{[[v]] = v}1_n1_{+ v}2_n2 _em_{e ∈ E}0 h (2)

onde n1e n2 são seus respectivos vetores normais unitários apontados para o exterior dos elementos. Com base nessas definiç ões pode-se definir o problema a n´ıvel de cada elemento:

Problema Local (PL): Encontrarc : K × [0, T ] → R tal que:          ∂c ∂t − ∆c = f emK [[∇c]]e= 0 ∀e ∈ Eh0 [[c]]e= 0 ∀e ∈ Eh c(x, y, 0) = c0 (3)

Multiplica-se a formulação dada em (3) pela função peso q ∈ H1(K) e integra-se por partes no dom´ınioK, obtendo a seguinte forma fraca local:

∂c ∂t, q K + (∇c, ∇q)K− Z ∂K ∇c · nqdS | {z } (I) = (f, q)K, ∀q ∈ V = H1(K) (4)

Observe que o termo (I) da equação (4) surge naturalmente da integração por partes e assegura a consistência do método. Seguindo as idéias de Nitsche [5] e Babuska [2] acrescenta-se na equação (4) um termo de simetrização e um termo de penalização, que garantem, respectivamente, as propriedades de consistência adjunta e estabilidade. Deste modo, a equação (4) torna-se:

X K ∂c ∂t, q K + (∇c, ∇q)K− Z ∂K ∇c · nqds − Z ∂K ∇q · n(c − λ)ds + + Z ∂K β(c − λ)qds = X K (f, q)K, (5) sendoβ = β0 h o termo de penalizac¸˜ao.

Como o problema (5) contém as incógnitas c e λ, para tornar o sistema poss´ıvel de resolução é necessário acrescentar a seguinte expressão:

X K Z ∂K ∇c · nµds + Z ∂K β(λ − c)µds = 0, (6)

ondeλ ∈ M = {µ ∈ L2(e), ∀e ∈ E_h0} ´e conhecido como sendo o trac¸o de c nas arestas. Fazendo uso da identidade apresentada em Arnold et. al. [1]:

XZ (∇c · n) qds = Z {c} [[q]]ds + Z 0 [[∇c]] {q} ds (7)

(3)

e aproximando a derivada temporal, em (5), através do método de diferenças finitas atrasadas, obtém-se a seguinte formulação para a equação do calor (1):

Formulac¸˜ao Hibridizada Evolutiva (FHE): Encontrar(c, λ) tal que:        cn+1_{− c}n ∆t , q + a cn+1, q= f (q) − b (λn, q) , ∀q ∈ H1(K) λn+1=cn+1 − 1 2β[[∇c n+1_]], (8)

onde as formas bilinearesa(c, q), b(λ, q) e a forma linear f (q) s˜ao dadas por:

a(c, q) = X K (∇c, ∇q)K− Z ∂K ∇c · nqdS − Z ∂K ∇q · ncdS + Z ∂K βcqdS (9) b(λ, q) = X K Z ∂K ∇q · nλ − Z ∂K βλqdS (10) f (q) = X K (f, q)K (11)

Para o c´alculo deλ utiliza-se o m´etodo SOR (Successive Over Relaxation), ou seja, define-se: λn+1_aux = cn+1 − 1

2β[[∇c

n+1_]] ₍₁₂₎

λn+1 = (1 − ω)λn+ ωλn+1_aux (13)

sendoω o parâmetro de relaxação que permite obter uma solução mais rápida para a solução.

Ao realizar simulaç ões computacionais do modelo FHE (equação (8)) observa-se, logo nos primeiros testes, que a solução converge para o estado estacionário. Porém, sua evolução temporal não se encontra próxima da solução exata, como pode ser visto na Figura 1, onde tem-se a comparação das soluç ões numéricas FHE e exata para a equação do calor.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 20 40 60 80 100 120 c t FHE Exata

Figura 1: Comparação da evolução temporal no ponto central(0, 5; 0, 5).

Através dos resultados obtidos com a FHE é poss´ıvel inferir que ela é estável, porém imprecisa. Visando melhorar a precisão da evolução temporal, adiciona-se um refinamento entre cada passo de tempo. Para isso, desenvolve-se duas formulaç ões semi-impl´ıcitas que diferem apenas no termo de penalizaç ão. Ambas as propostas serão exibidas a seguir.

De forma sucinta, a proposta aqui consiste em adicionar a cada passo de tempo, comn = 1, . . . , N , iteraç õesk = 1, . . . , K, com o intuito de melhorar a aproximação do multiplicador λ. Portanto, o novo modelo aproximado consiste em atrasar no termo de penalização o multiplicador de Lagrangeλ:

(4)

Formulac¸˜ao Hibridizada Penalti Semi-impl´ıcito (FHPSI): Achar(c, λ) ∈ H1(K) × M , tal que:        cn+1,k+1_{− c}n ∆t , q + acn+1,k+1, q= f (q) − bλn+1,k, q, ∀q ∈ H1(K) λn+1,k+1aux = n cn+1,k+1o− 1 2β[[∇c n+1,k+1_]], (14) onde: λn+1,k+1 = (1 − ω)λn+1,k+ ωλn+1,k+1aux .

A convergência do multiplicador é então verificada da seguinte maneira: q (λn+1,k+1aux − λn+1,k)2 q (λn+1,k+1aux )2 ≤ ε ⇒ c n+1 _{= c}n+1,k+1 λn+1 = λn+1,k+1 , (15)

sendoε > 0 a tolerˆancia desejada.

Através de experimentos computacionais será mostrado, na próxima seção que a FHPSI é incondicio-nalmente estável, ou seja, sua convergência independe da escolha de∆t.

Considerando agora a concentração de calorc e o multiplicador λ aproximados de forma expl´ıcita no termo de penalizaç ão, obtém-se a seguinte formulação:

Formulação Hibridizada Penalti Expl´ıcito (FHPE): Encontrar(c, λ) tal que:        cn+1,k+1_{− c}n ∆t , q + ãcn+1,k+1, q= f (q) − bλn+1,k, q− Z ∂K βcnqdS, ∀q ∈ H1(K) λn+1,k+1_aux =ncn+1,k+1o− 1 2β[[∇c n+1,k+1_]], (16)

onde a forma bilinear˜a(c, q) ´e definida como: ˜ a(c, q) = X K (∇c, ∇q)K− Z ∂K ∇c · nqdS − Z ∂K ∇q · ncdS (17)

A FHPE é condicionalmente estável, como será visto a seguir.

3 Experimentos Computacionais

Nesta seção analisa-se numericamente o comportamento das formulaç ões hibridizadas propostas em (14) e (16) e compara-se com a solução exata da equação do calor bidimensional (1), que é dada por:

c(x, y, t) = 1 2π2 + c0− 1 2π2 e−2π2t sin(πx) sin(πy), (18)

onde c0 corresponde a condição inicial. Também estuda-se as taxas de convergência para o problema

proposto.

Em todos os experimentos adotou-se malhas uniformes compostas por elementos quadráticos com 4× 4 = 16, 8× 8 = 64 e 16× 16 = 256 elementos. Utilizou-se interpolação bilinear para a concentração de calor e para o cálculo do multiplicadorλ dois pontos de integração na aresta.

Durante as simulaç ões foi poss´ıvel verificar que na FHPE o passo de tempo∆t tem relação direta com o espaçamento da malhah. Por exemplo, em uma malha com 16 × 16 elementos tem-se que o valor m´ınimo do passo de tempo é∆t = 10−6, tornando essa formulação condicionalmente estável. Por outro lado, na FHPSI pode ser empregado qualquer valor para o intervalo de tempo, sendo então um método incondicionalmente estável.

(5)

Na Figura 2 apresenta-se os resultados na norma L2(Ω) dos erros para a concentração de calor, o seu gradiente e o multiplicador no tempot = 1 . Para comparar os dois métodos fixa-se os parâmetros β0 = 12, c0 = 2, ε = 10−5 e∆t = 10−6 que correspondem ao parâmetro de penalização, a condição

inicial, a tolerância e o passo de tempo para todas as malhas, respectivamente. É poss´ıvel então verificar que taxas de convergência ótimas foram obtidas para ambos os métodos.

0.6 0.8 1 1.2 − log(h) -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 lo g (e rr o) kc − chk k∇c − ∇chk kλ − λhk

(a) soluc¸˜ao aproximada

0.6 0.8 1 1.2 − log(h) -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 lo g (e rr o) kc − cIk k∇c − ∇cIk kλ − λIk (b) soluc¸˜ao interpolante

Figura 2: Estimativas de erro para a concentração de calor, o seu gradiente e o multiplicador. Na Tabela 1 apresenta-se o tempo computacional médio dos experimentos para cada malha. Os parâmetros adotados são os mesmos exibidos anteriormente. Todas as simulaç ões foram obtidas no mesmo equipamento, sendo um total de dez repetiç ões. A evolução temporal foi realizada para o inter-valo de tempot = 0, . . . , 0, 05 com ∆t = 10−6. Escolheu-se esse intervalo de tempo para que fosse poss´ıvel realizar algumas repetiç ões, já que para intervalos maiores o tempo computacional era elevado. Pelos resultados mostrados na Tabela 1 conclui-se que a FHPSI é a mais rápida.

Tabela 1: Tempo computacional em segundos Quantidade de elementos

M´etodo 4 × 4 8 × 8 16 × 16

F HP SI 13,262 41,580 156,725 F HP E 13,280 42,199 159,509

Na Figura 3 tem-se a evolução temporal da solução no ponto central (0, 5 ; 0, 5). Os parâmetros utilizados foram os mesmos já explicitados anteriormente. Na Figura 3(a) realiza-se a comparação do método FHPSI com a solução exata do problema dada em (18). Nota-se que ao refinar a malha o erro em relação a solução exata diminui. Já na Figura 3(b) analisa-se três diferentes condiç ões inciais, sendo elas, uma acima (c0 = 2), uma abaixo (c0 = 0, 1) e uma igual (c0 = 1) ao valor da solução estacionária. Com

isso, conclui-se que que independentemente da condição inicialc0escolhida, a formulação converge para

(6)

0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 c t Exata 4x4 8x8 16x16

(a) diferentes malhas

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 c t c₀=2 c₀=1 c₀=0.1

(b) diferentes condic¸ ˜oes iniciais c0

Figura 3: Comparação da evolução temporal no ponto central(0, 5; 0, 5).

Para FHPE a evolução temporal da solução é, visualmente, igual a exibida na Figura 3 para a FHPSI. Porém ao se verificar o erro médio entre as duas formulaç ões, nota-se que a diferença entre elas é da ordem de10−6. Essa diferença foi calculada utilizando a seguinte expressão:

erro = |ci(t) − ce(t)| (19)

ondeci(t) e ce(t) correspondem aos valores da concentrac¸˜ao do calor no tempo t para FHPSI e FHPE,

respectivamente.

4 Conclus˜ao

O presente trabalho teve por objetivo realizar experimentos com formulaç ões de elementos finitos hibridizadas para problemas de transferência de calor bidimensionais.

Como esperado, ao adicionar iteraç ões entre cada passo de tempo, foi poss´ıvel recuperar a precisão da evolução temporal, obtendo assim não somente formulaç ões que convergem para a solução estacionária, mas que também representem fielmente o comportamento evolutivo.

Ao se trabalhar com diferentes condiç ões iniciais ficou constatado que a solução estacionária obtida será a mesma.

Através dos experimentos computacionais verificou-se a necessidade de uma escolha cuidadosa do passo de tempo considerando-se a FHPE. Já com a FHPSI concluiu-se que é incondicionalmente estável com relação a∆t. Contudo, em trabalhos futuros pretende-se demonstrar a estabilidade de ambos os métodos analiticamente.

5 Agradecimentos

A primeira autora agradece ao programa PCI/CNPq/LNCC e os dois ´ultimos autores agradecem ao CNPq, processos309025/2011 − 7 e 305034/2008 − 1, respectivamente, pelo suporte financeiro.

Referˆencias

[1] D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn and L.D. Marini, Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems, SIAM J. Numer. Anal., 39 (2002) 1749-1779.

[2] I. Babuska, The finite element method with penalty, Math. Comp. , 27 (1973) 221-228.

[3] P.G. Ciarlet., The Finite Element Method for Elliptic Problems, Math. Sem. Univ. Hamburg, 36 (1971) 9-15.

(7)

[4] M. Farhloul and M. Fortin, Review and complements on mixed-hybrid finite element methods for fluid flows, J. Comput. Appl. Math., 140 (2002) 301-313.

[5] J. Nitsche, Uber ein variationsprinzip zur losung von dirichlet-problemen bei verwendung von teil-raumen, die keinen randbedingungen unterworfen sind, Math. Sem. Univ. Hamburg, 36 (1971) 9-15.

[6] P.A. Raviart and J.M. Thomas, Primal hybrid finite element method for second order elliptic equa-tions, Math. Comput., 31 (1977) 391-413.

[7] J.E. Roberts and J.M. Thomas, Mixed and hybrid methods, in ” P.G. Ciarlet and J.L. Lions - Finite Elements Methods (Part 1), volume II” (P.G. Ciarlet and J.L. Lions, eds.), pp 523-639, Amsterdam, 1989.