GRAFOS UMA INSERÇÃO NO ENSINO BÁSICO. Eixo Temático: A docência na escola e na formação de professores.

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Comunicação Oral

GRAFOS – UMA INSERÇÃO NO ENSINO BÁSICO

*Andressa Wansing1 Elis Puntel2 Matheus Metz Correa3 Tassiane Martins Cassól Silveira4 Inês Farias Ferreira5 Rita de Cássia Pistóia Mariani6 Eixo Temático: A docência na escola e na formação de professores.

Resumo: O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência da Universidade

Federal de Santa Maria tem como objetivo desenvolver ações que possam articular teoria e prática no âmbito dos cursos de licenciaturas que participam do mesmo. Neste sentido, o subprojeto matemática promoveu em uma de suas ações em 2015, atividades didáticas apoiadas em recursos manipuláveis ou baseadas em temas que não estão inseridos, em geral, no currículo escolar da educação básica. Em particular, este trabalho objetiva relatar experiências dos bolsistas de iniciação à docência tendo a teoria de grafos como assunto abordado. Assim, através da constituição de uma sequência de atividades, buscou-se que os acadêmicos envolvidos pudessem se apropriar e refletir a respeito do trabalho docente via planejamento, desenvolvimento, aplicação e análise da mesma. As atividades foram organizadas em dois blocos e dinamizadas em parceria com os professores supervisores do subprojeto, em três escolas da rede pública de ensino da cidade de Santa Maria/RS. Este trabalho tem proporcionado diversas experiências relacionadas à docência, criando subsídios relevantes para o desenvolvimento profissional dos bolsistas de iniciação docência, bem como, tem oportunizado discussões e reflexões junto aos alunos de diferentes anos e turmas das escolas envolvidas.

Palavras-chave: PIBID. Teoria de Grafos. Ensino. Inserção na Escola.

1_{UFSM, Licenciatura Matemática, PIBID-CAPES, aw.wansing@hotmail.com} 2

UFSM, Licenciatura Matemática, PIBID-CAPES, elispuntel@gmail.com

3_{UFSM, Licenciatura Matemática, PIBID-CAPES, matheusmetzufsm@hotmail.com} 4_{UFSM, Licenciatura Matemática, PIBID-CAPES, cassol12@hotmail.com}

5_{Doutora PIBID-UFSM, inesfferreira10@gmail.com} 6

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1 - Introdução

O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) tem como proposta geral compor um espaço de articulação entre teoria e prática. Dentre os dezenove subprojetos que constituem esta proposta está o subprojeto matemática que, atualmente, é composto por vinte licenciandos em matemática/bolsistas; quatro professores supervisores da rede pública de ensino e duas professoras coordenadoras de área, atuando em três escolas da rede pública de ensino do município de Santa Maria/RS.

Neste contexto, para contemplar um dos aspectos previstos que corresponde à inserção dos licenciandos em sala de aula, buscou-se proporcionar-lhes um contato direto com a realidade da mesma. Assim, o subprojeto matemática, em uma de suas ações, tem desenvolvido em 2015 atividades didáticas apoiadas em recursos manipuláveis tais como: Algeplan, Frac-Soma 235, Geoplano, Material Dourado, Tangram, GeoGebra e, também, explorado assuntos que, em geral, não fazem parte do currículo escolar, como a Teoria de Grafos. Estas atividades didáticas se constituem buscando, assim, que os bolsistas de iniciação à docência possam se apropriar e refletir a respeito do trabalho docente via o planejamento, desenvolvimento, aplicação e análise de sequências didáticas. Em particular, neste relato de experiência descreveremos experiências obtidas a partir do tema teoria de grafos.

Este assunto foi escolhido, pois embora não esteja, em geral, no currículo escolar da educação básica, está inserido em diversas áreas do conhecimento no ensino superior. Além disso, permite a exploração de diversas aplicações que, quando inseridas em atividades investigativas, podem contribuir no desenvolvimento lógico e dedutivo dos alunos. Assim, na elaboração da sequência de atividades buscou-se deixar de lado o aspecto mecânico envolvendo a memorização de conteúdos matemáticos para assumir uma forma dinâmica, voltada a despertar o prazer do aluno ao decifrar mensagens matemáticas a partir de situações desafiadoras.

Dessa forma, se fez uso na elaboração da sequência de problemas que permitissem mais de uma solução, valorizando a criatividade do aluno e possibilitando a exploração de diferentes estratégias, estimulando-os a um trabalho voltado à investigação. Neste aspecto, Pais (2001), afirma que “[...] aprender a valorizar o raciocínio lógico e argumentativo torna-se um dos objetivos da educação matemática, ou seja, despertar no aluno o hábito de

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fazer uso de seu raciocínio e de cultivar o gosto pela interpretação e resolução de problemas”.

Diante disso, descreveremos a seguir a estrutura da sequência de atividades proposta envolvendo a teoria de grafos, a qual foi inicialmente, elaborada para ser aplicada nos dois níveis de ensino, fundamental e médio. Bem como, também serão abordados alguns aspectos considerados relevantes quando de sua aplicação junto aos alunos dos diferentes anos letivos e turmas nas escolas.

2 – Um pouco sobre a teoria de grafos

A teoria de grafos é relativamente recente, foi descoberta em 1736 pelo matemático suíço Leonhard Euler. Posteriormente, foi estudada por grandes matemáticos como Gustav Kirchhoff, Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Kazimierz Kuratowski, dentre outros. Esta teoria começou a ser desenvolvida através de jogos e quebra-cabeças que, aparentemente, possuíam solução trivial.

No ensino básico, a abordagem da teoria de grafos não é uma prática comum, uma vez que ela não consta em geral, nos currículos escolares atuais. Costa (2013) descreve alguns aspectos da teoria de grafos e do contexto escolar quando afirma que:

A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática Discreta com diversas aplicações em vários níveis no mundo contemporâneo, mas, apesar disso, ela não tem sido amplamente estudada nos cursos de licenciatura em Matemática nem apresentada a alunos do ensino Fundamental e Médio no Brasil. Especificamente, conceitos básicos de grafos e algumas de suas aplicações, incluindo os grafos eulerianos, podem ser bem compreendidos e interessantes para alunos das séries iniciais e possibilitam a construção de trabalhos aplicados e interdisciplinares, tópicos ressaltados pelos PCN’s. (COSTA,2013, p.9).

Esta teoria pode ser explorada em atividades de ensino tendo como estratégias a resolução de problemas. Dessa forma, permite explorar raciocínio lógico e dedutivo dos alunos. No âmbito da resolução de problemas, Leal (2009) explicita a importância dessa estratégia de ensino, quando afirma que:

Resolver problemas é umas das principais razões para o estudo da Matemática, principalmente, a resolução de problemas não-textuais. O indivíduo deve ser capaz de chegar a conclusões a partir de um dado conjunto de condições; de justificar seu pensamento, por meio de uma validação do processo de solução de um determinado problema, através de modelos, ou por meio de fatos conhecidos e argumentos lógicos. Sobretudo, o indivíduo precisa aprender a identificar padrões e fazer conjecturas, ou até mesmo usar contra-exemplos para invalidá-las. (LEAL,2009, p.2).

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Nesse contexto acreditamos que atividades que envolvam a teoria de grafos e, que sejam pautadas em investigações matemáticas podem proporcionar ao aluno a vivência de processos característicos da área de matemática como, formular questões, desenvolver conjecturas, testá-las e procurar argumentos que as demonstrem, permitindo assim, a transição do descrever para definir, e do convencer para provar, fazendo-se uso apenas da lógica matemática.

3 – A constituição da sequência de atividades

Inicialmente, foram realizadas pesquisas bibliográficas referentes à teoria de grafos.

A partir dessas, conseguimos identificar inúmeras aplicações relacionadas aos conceitos básicos da teoria tais como: redes sociais, mapas, tempo x deslocamento, entre outros. Assim, para compor as atividades foram necessários estudos e pesquisas que pudessem subsidiar a proposta.

Após este trabalho, a sequência de atividades ficou composta por seis atividades com caráter investigativo. A seguir, fazemos uma breve descrição de cada uma, identificando seus objetivos e características.

Atividade 1 - Acerte o desenho: esta atividade foi composta por três figuras, em que os

alunos deveriam reproduzi-las sem tirar o lápis do papel, passando uma única vez em cada linha, no entanto, poderiam passar mais de uma vez por um mesmo ponto. Para tanto, eram indicados alguns pontos que seriam os pontos de partida. Essa estratégia foi constituída de forma proposital para que permitisse introduzir os conceitos de vértices (pontos), arestas (linhas) e grau de um vértice. A fim de, posteriormente, no momento da socialização, se chegar à definição de grafos, bem como, de sua classificação em: eulerianos, semi– eulerianos e não-eulerianos.

Atividade 2 - PIBID Tur: o principal objetivo dessa atividade era de reforçar os

conceitos abordados anteriormente. Para tanto, foi realizada uma contextualização de um transporte escolar (Figura 1), onde os alunos deveriam apresentar um percurso e reproduzi-lo através da teoria de grafos. Para tanto, deveriam passar por todas as ruas uma única vez, saindo e voltando para a empresa. Cabe salientar que, nesta atividade foi criada uma contextualização baseada no cotidiano dos alunos envolvidos.

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Figura 1- Mapa do percurso analisado na atividade 2.

Atividade 3 - Corrente de convites: essa atividade exigia que os alunos tivessem um

pensamento mais crítico referente à teoria de grafos. Estes deveriam resolver um problema do contexto atual, as redes sociais, com algumas condições. A temática foi constituída a partir da situação em que um grupo de seis alunos propôs um encontro com a finalidade de que todos se conhecessem pessoalmente. Para tal, cada pessoa deveria convidar apenas outra, começando e terminando por um determinado integrante do grupo. Sendo que, o convite poderia somente ocorrer entre duas pessoas que já fossem amigas. Para isso, foram estabelecidas relações de amizade entre os integrantes do grupo. Assim, levando-se em consideração as condições estabelecidas os alunos deveriam, ao resolver o problema, representar a corrente de convites através de um grafo. Novamente, a fim de explorar o tema, esta atividade foi criada pelos licenciandos.

Atividade 4 - Gato, cachorro e leite: a partir de jogos de lógica, conhecidos dos alunos,

elaborou-se esta atividade onde foi possível relacionar com o conceito de grafos de estado. Em sua descrição ela continha três elementos: gato, cachorro e leite, os quais deveriam ser levados de uma fazenda para outra, um de cada vez, com a seguinte restrição: o gato não poderia ficar sozinho com o leite e nem ficar sozinho com o cachorro. Para auxiliar, na resolução deste problema, foram elaborados materiais manipuláveis, conforme mostra a figura 2.

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Atividade 5 - A matemática das cores: esta atividade envolvia alguns conceitos

geográficos envolvendo o Brasil e também, o Rio Grande do Sul. Assim foi necessário, introduzirmos o conceito de mesorregião para os alunos, pois muitos ainda não haviam visto na disciplina de Geografia. Nesta atividade, os alunos foram convidados a pintarem o mapa das mesorregiões do Rio Grande do Sul com o menor número de cores possíveis, respeitando a seguinte condição: as regiões com fronteira deveriam ter cores diferentes. No momento da socialização desta etapa da atividade, foi apresentado e discutido o teorema das quatro cores, onde este afirma que qualquer mapa pode ser pintado com no mínimo quatro cores. Após, foi solicitado que os alunos fizessem o mesmo para o mapa dos estados do Brasil. Para tanto, preparamos materiais manipuláveis, conforme ilustra a figura 3. Estes materiais foram compostos por kits contendo um mapa impresso, base de isopor e palitos coloridos. Este recurso foi uma estratégia utilizada para otimizar o tempo disponível.

Figura 3–Material manipulável elaborado na atividade 5.

Atividade 6 - Dominó das quatro cores: nesta atividade foi explorado o teorema das

quatro cores, o qual fora descrito aos alunos na atividade anterior. Dessa forma, optamos por explorar a sua ideia através de um jogo. Sendo que, para encontrar sua resolução, não

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havia a necessidade de se ter conhecimento do teorema das quatro cores, somente as regras do jogo eram suficientes, ou seja, as peças com fronteira deveriam ter cores diferentes. Para o desenvolvimento do mesmo foram elaborados kits de materiais manipuláveis com dois tamanhos diferentes, a fim de serem adequados para cada nível de ensino. Conforme mostra a figura 4, um deles, formado por quadrados de 18 cm de lado e o outro por quadrados de 24 cm de lado.

Figura 4 - Materiais manipuláveis elaborados na atividade 6.

Esta sequência de atividades foi desenvolvida junto às escolas em dois encontros, por isso foi dividida em dois blocos. Sendo adaptada para cada nível de ensino, pois continha alguns problemas mais complexos. Além disso, houve um cuidado na linguagem e terminologia utilizadas durante as intervenções para que, tanto os alunos do ensino fundamental final, como do ensino médio, pudessem melhor compreender a proposta das mesmas. Após concluir a elaboração das atividades, as mesmas foram aplicadas inicialmente, junto ao grupo do subprojeto matemática, a fim de serem testadas e serem observadas algumas adaptações que fossem necessárias. Cabe salientar que, concomitante à etapa de elaboração da sequência ocorreram discussões semanais com o grupo para melhor conduzir a sua constituição.

No próximo item serão destacados alguns pontos pertinentes sobre o desenvolvimento e a análise das inserções realizadas em turmas de diferentes anos letivos de três escolas da rede pública de ensino.

4 – Aplicação da sequência de atividades

Para a aplicação da sequência de atividades nas diferentes turmas utilizamos a dinâmica de separar os alunos em duplas, pois acreditamos que o trabalho coletivo pode

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contribuir de maneira significativa na aprendizagem. A distribuição dos encontros entre as escolas e, também, entre as turmas ocorreram de acordo com a disponibilidade de horários e períodos de cada professor supervisor vinculado a mesma. Sendo que, no turno da tarde ocorreram as atividades relacionadas aos anos finais do ensino fundamental nas escolas: Escola Estadual de Ensino Fundamental General Gomes Carneiro e Escola Básica Estadual Érico Veríssimo e, pela parte da manhã, em turmas do ensino médio na Escola Estadual de Ensino Médio Professora Maria Rocha.

Inicialmente, desenvolvemos a sequência de atividades em quatro turmas do 3º ano do ensino médio, envolvendo em torno de 100 alunos. Após, o término da aplicação dos dois blocos nessas turmas, ocorreram as intervenções no ensino fundamental. Ao todo foram duas turmas do 6º ano, cinco turmas do 7º ano e uma turma do 9º ano, envolvendo aproximadamente 150 alunos. Assim, fazendo um comparativo entre os dois níveis de ensino que atuamos, pudemos perceber claramente a necessidade de modificarmos a linguagem utilizada e também as orientações no desenvolvimento das atividades, de acordo com o nível de ensino. No entanto, também pudemos constatar a necessidade modificarmos a condução das atividades em um mesmo ano letivo, mas em turmas diferentes, pois algumas turmas eram mais agitadas, outras menos participativas.

Além dessas intervenções, tivemos a oportunidade também em 2015, de aplicar esta sequência de atividades, com as devidas adaptações, em duas oficinas realizadas com acadêmicos de cursos de outras licenciaturas, envolvidos em outros subprojetos do PIBID/UFSM, e também, com acadêmicos do curso de bacharelado e licenciatura em matemática da UFSM.

4 - Considerações finais

A teoria de grafos, conforme pudemos observar, pode ser trabalhada no ensino básico de forma a permitir aos alunos explorarem, através de atividades investigativas o pensamento lógico a fim de resolverem diferentes situações. Em alguns casos, podem ser também desenvolvidas atividades com caráter interdisciplinar como foi o caso da atividade 4 que envolvia mapas.

Segundo, Ponte (2005) a dinâmica de aulas que apresentam um caráter investigativo é constituída através de um bom planejamento e envolvimento do professor e alunos. Havendo a necessidade de, no decorrer do desenvolvimento das mesmas, ocorrer uma discussão dos resultados até então obtidos. Estas características permitiram que

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pudéssemos adquirir valiosas experiências para nosso desenvolvimento profissional, de um mesmo tema, em diferentes níveis de ensino.

Com isso, pudemos aprender através da prática como devemos nos portar enquanto educadores, devendo-se respeitar a individualidade de cada aluno, bem como desenvolver uma boa percepção do processo de aprendizagem dos mesmos.

Por último, foi oportunizado a nós, licenciandos, um primeiro contato com a docência em sala de aula, tanto no ensino fundamental, como no ensino médio. Além disso, pudemos vivenciar ao longo deste ano letivo de 2015, a realidade escolar em três escolas da rede de ensino.

5 - Referências

BRASIL. CAPES. PIBID - Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. Disponível em:<http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid>. Acesso em: 23 Jul. 2015.

COSTA, C.S. Matemática Discreta no Ensino Médio: Um trabalho com grafos

Eulerianos. 2013. 19f. Relatório (Pesquisa em Engenharia da Produção). Rio de Janeiro:

PUC, 2013.

LEAL, W.S.L.; LOZANO, A.R.G. A viabilidade do ensino de algoritmos no ensino

médio. 2009. 11f. Congresso Nacional de Educação - EDUCERE. Curitiba: PUC-PR,

2009.

PAIS, L. C. Didática da Matemática: Uma análise de influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

PONTE, J. P. da; BROCARDO, J. ; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala

de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

Universidade Federal de Santa Maria. Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a