Trabalho, Potência e Energia

Trabalho, Potência e Energia



Quando a matéria tem energia, ela pode ser usada para realizar trabalho. Um fluido pode ter

várias formas de energia. Por exemplo: em um jato - energia cinética, em uma represa - energia

potencial, vapor aquecido – energia térmica. Trabalho é força atuando ao longo de uma

distância, quando a força é paralela à direção do movimento.



Trabalho é realizado quando o dedo pressiona a alavanca e esta se move.



Trabalho é realizado quando o pistão exerce uma força de pressão no líquido ao longo de uma

distância.

Trabalho, Potência e Energia



Outro exemplo de execução de trabalho: O vento exerce uma força nas pás, esta força produz

um torque e o trabalho é dado por:

Trabalho, Potência e Energia



Uma turbina é uma máquina usada para extrair energia de um fluido em movimento:



Além da máquina do slide anterior temos outros tipos de turbina:

Turbinas Kaplan

Usada para baixas alturas de carga e altas vazões de água. A água entra radialmente no compartimento do rotor por todos os lados, mudando a direção para o fluxo axial. Isto causa uma força dereaçãoque movimenta a turbina.

Trabalho, Potência e Energia

É usada para baixas e médias alturas de carga. Consiste de um anel externo com pás estacionárias fixas e um anel interno com as pás que giram formando o rotor. As pás fixas controlam o fluxo de água para o rotor. A água escoa radialmente para dentro da turbina e muda de direção enquanto passa pelo rotor. Quando passa pelas pás do rotor a água perde pressão e velocidade . Isto causa uma força de reação que gira a turbina.

Trabalho, Potência e Energia

As rodas Pelton são as preferidas quando a fonte de água tem grande altura de carga e baixa vazão. Consta de um ou mais jatos descarregando dentro de pequenas bacias colocadas no perímetro do rotor. Usam a velocidade da água e por este motivo são chamadas de turbinas de impulso. As turbinas Kaplan e Francis são turbinas de reação.

Trabalho, Potência e Energia

Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.

Bomba de diafragma:

Ar é direcionado para a parte inferior do cilindro, levantando o pistão e junto o diafragma. Quando o diafragma sobe, a válvula de retenção no lado da entrada é aberta e o líquido flui para o interior da bomba. Quando o pistão chega ao topo a cavidade da bomba é preenchida e a bomba está pronta para a descarga.

Ar comprimido é então forçado para a parte superior da câmara do diafragma., empurrando o diafragma para baixo e evacuando a cavidade da bomba. Durante este movimento a válvula de retenção do lado da saída é aberta e a bomba está pronta para outro ciclo.

Trabalho, Potência e Energia

Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.

Trabalho, Potência e Energia

Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.

Trabalho, Potência e Energia

Trabalho e energia têm as mesmas dimensões primárias, e mesmas unidades. Potência, que expressa uma taxa de trabalho ou energia, é definida por:

Se considerarmos a quantidade de trabalho obtida pelo produto da força pelo deslocamento, temos:

Onde V é a velocidade do corpo em movimento.

Quando um eixo gira, a quantidade de trabalho é obtida pelo produto do torque pelo deslocamento angular:

Onde w é a velocidade angular.

Uma lâmpada de 60W utiliza 60 J/s de energia elétrica.

Um atleta bem condicionado pode manter uma potência de cerca de 300W = 0,4 hp por uma hora. Um fusca 1970 tem um motor que alcança 50 hp.

W t W tempo trabalho P t        lim0 FV t x F tempo trabalho P t       lim0 Tw t T tempo trabalho P t         0 lim

Equação da Energia

A equação da Energia para um sistema é:

Também conhecida por Primeira Lei da Termodinâmica ou Lei da Conservação de Energia. E diz o seguinte:

A energia térmica é positiva quando é adicionada ao sistema (Calor que entra no sistema) e é negativa quando é removida do sistema (Calor que sai do sistema). Já o trabalho é positivoquando é executado pelo sistema na vizinhança e negativoquando trabalho é feito sobreo sistema.

dt dE W Q   Taxa líquida de energia térmica que entra no sistema

Taxa líquida em que o sistema executa trabalho na vizinhança Taxa de variação da energia interna do sistema

Equação da Energia

Para aplicar a equação da conservação de energia a um Volume de Controle, utilizamos o Teorema do Transporte de Reynolds. Considerando a propriedade extensiva N como sendo a Energia (N = E) e a propriedade intensiva

= E/m = e, obtemos:

e = (energia cinética + energia potencial + energia interna) / (por unidade de massa).

( 1 )













SC VC

A

d

V

e

d

e

dt

d

W

Q















u

gz

V

u

e

e

e



_c



_p









2

2





_







































SC VC

A

d

V

u

gz

V

d

u

gz

V

dt

d

W

Q















2

2

2 2















VC SC sistema

A

d

V

d

t

dt

dN

_

_

_





Guardaremos a equação anterior ( I ) e faremos agora algumas considerações sobre trabalho.

TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:

O trabalho é classificado nestas duas categorias. Como sabemos, trabalho envolve força atuando ao longo de uma distância. Quando esta força está associada a distribuição de pressão então trata-se de trabalho de escoamento. Por outro lado, trabalho de eixo é qualquer trabalho que não está associado a distribuição de pressão. Este segundo tipo é normalmente realizado por (ou sobre) um eixo e é comumente associado a uma bomba ou turbina. Segundo a convenção de sinais, trabalho da bomba é negativo e trabalho da turbina é positivo, então:

Equação da Energia

b t bomba turbina eixo

W

W

W

W

W



















Equação da Energia

TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:

Devemos ter sempre em mente que trabalho é força vezes distância. Na figura abaixo, na seção 2, o fluido que está dentro do Volume de Controle irá empurrar o fluido que se encontra fora do VC, na direção do escoamento. A magnitude da força é P₂A₂. Durante um intervalo de tempo t, o deslocamento do fluido na seção 2 será:

x₂=V₂t. Então, o trabalho realizado será:

Este trabalho, na seção 2, é positivo porque o fluido dentro do VC está realizando trabalho na vizinhança. Da mesma forma, na seção 1:

   

F

x

P

A



V

t



W











_{2 2 2 2 2 2}





_



































 







2 2 2 2 2 2 2 2 0 2

lim

P

m

V

A

P

V

A

P

t

W

W

t























1 1

P

m

W





Equação da Energia

.

TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:

O trabalho de escoamento líquido para a situação da figura é dado por:

Generalizando para uma superfície de controle qualquer:

E, finalmente:





































2 1 1 2

P

m

P

m

W

W

W



_escoamento









A

d

V

P

W

SC escoamento







_

_



















eixo SC eixo escoamento

V

d

A

W

P

W

W

W











_









































Equação da Energia

Recuperando a equação ( I ):

Sabendo que (u + p/) corresponde à propriedade do fluido denominada entalpia específica (h), chegamos à forma integral da equação da conservação de energia, aplicada a um volume de controle.

eixo SC eixo escoamento

V

d

A

W

P

W

W

W











_



































_









_







































SC VC

A

d

V

u

gz

V

d

u

gz

V

dt

d

W

Q















2

2

2 2







_                      SC VC SC eixo gz u V dA V d u gz V dt d A d V P W Q 



 







 



2 2 2 2





_                     SC VC eixo V dA P u gz V d u gz V dt d W Q 



 







2 2 2 2





_







































SC VC eixo

gz

h

V

d

A

V

d

u

gz

V

dt

d

W

Q















2

2

2 2

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

Partindo da forma integral da equação da conservação de energia, considerando: a) Escoamento permanente;

b) Tubulação com uma entrada e uma saída; c) Fluido incompressível.

(dividindo por )

Os fatores que envolvem energia térmica são agrupados em um termo que representa as perdas por atrito. h_L. O trabalho de eixo, proporcionado por bomba e turbina contribuem para o fornecimento para as alturas de carga, h_T e h_B. No caso da figura, h_T = 0, pois não há turbina.





_                     SC VC eixo V dA P u gz V d u gz V dt d W Q 



 







2 2 2 2







 



_      _                 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 P P m u u m z z g m V V m W W Q _T _B    





g m Q u u m h h z g V P z g V P T B                          2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2   g m L T B h h h z g V P z g V P _{  }                  2 22 ₂ 1 2 1 1 2 2  

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

Os termos desta equação representam uma Altura de carga (head), têm dimensão primária de comprimento, e representam um conceito de energia.

Altura de carga = (Energia ou trabalho) / (mg) L T B

h

h

h

z

g

V

P

z

g

V

P

_

_

_



































2 22 ₂ 1 2 1 1

2

2





Equação da Energia (Escoamento em tubos)

L T B

h

h

h

z

g

V

P

z

g

V

P

_

_

_



































2 22 ₂ 1 2 1 1

2

2





Diferença de energia mecânica entre as seções 1 e 2 Altura de carga fornecida por bombas Altura de carga extraída por turbinas Perdas de carga devido aos efeitos

São introduzidas duas constantes₁e₂ na equação da energia. São os fatores de correção da energia cinética.

Na figura abaixo, energia cinética é transportada através da SC nas seções 1 e 2. Para chegarmos a uma equação para esta energia cinética, comecemos pela vazão em massa:

Para converter esta integral em taxa de energia cinética multipliquemos por (V2_/2).

O fator de correção da energia cinética é dado por: (Energia cinética real) / (unidade de tempo)

=

(Energia cinética) / (tempo) {considerando uma distribuição uniforme de velocidades}

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

L T B

h

h

h

z

g

V

P

z

g

V

P









































22 ₂ 2 2 1 2 1 1 1

2

2















A

VdA

VA

m











_















A A c

dA

V

dA

V

V

E

2

2

3 2







2 2 3 3 A V dA V A    



Se a densidade do fluido for constante:

Quando o perfil de velocidades é uniformemente distribuído, = 1.

Quando o escoamento é laminar, o perfil de velocidades é parabólico e = 2. Quando o escoamento é turbulento o perfil de velocidades é achatado e

 1 (na prática =1).

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

L T B

h

h

h

z

g

V

P

z

g

V

P









































22 ₂ 2 2 1 2 1 1 1

2

2









2 2 3 3 A V dA V A    



dA V V A A 3 1



       

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

RELEMBRANDO O CÁLCULO DA MÉDIA DE UMA FUNÇÃO

CONTÍNUA:

Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de igual amplitude Δ:

Para cada um destes subintervalos tomamos o valor da função (X₁, X₂,...X_n) em seus pontos médios (t₁, t₂...t_n).

A área de cada coluna de altura Xj é (Xjx Δ). E a

soma de todas as áreas dá um valor aproximado da área abaixo da curva:

n a b  

 

tdt X X b a n j j





   1

 

t dt X X n a b b a n j j





   1

 

tdt X a b X n b a n j j





 _   1 1 1

Média das n observações.

Então, a velocidade média em uma seção de área A é dada por:



 A VdA A V 1

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA

CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:

A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo circular é dada por:

Velocidade média:

Ou seja, para escoamento laminar em um tubo circular a velocidade média é a metade da velocidade na linha central (máxima).

        ₂ 0 2 1 r r V V _MAX

 

2

4

2

2

4

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2 0 2 0 2 0 0 2 0 4 2 2 0 0 2 0 3 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 MAX MAX r MAX r MAX r MAX r MAX A

V

r

r

r

V

r

r

r

r

V

V

dr

r

r

r

r

V

rdr

r

r

r

V

V

rdr

r

r

V

r

VdA

A

V





















































































































































dA V V A A 3 1



       

Equação da Energia (Escoamento em tubos)

CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA

CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:

A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo circular é dada por:

Cálculo do fator de correção:

Para resolver a integral, adota-se a troca de variáveis: (e também dos limites de integração: u = 1 p/ r = 0

e u = 0 p/ r = r₀)         ₂ 0 2 1 r r V V _MAX





                                                         









0 0 0 0 3 2 0 2 2 0 0 3 2 0 2 3 2 0 0 3 3 2 0 3 1 16 2 1 2 1 2 1 1 r r MAX MAX r A rdr r r r rdr r r V V r rdr V V r dA V V A                ₂ 0 2 1 r r u 2 4 1 8 4 8 8 2 16 1 0 4 1 0 3 0 1 3 2 0 2 0                                            

_

_

u du u du u r r   dA V V A A 3 1



        dr r r du ₂ 0 2  

Potência

L T B

h

h

h

z

g

V

P

z

g

V

P

_

_

_



































22 ₂ 2 2 1 2 1 1 1

2

2









A altura de carga da bomba (e da turbina) na equação da energia é definida como sendo a razão entre a taxa de trabalho sendo realizada e a vazão em massa multiplicada por g:

Então:

Bombas (ou turbinas) não transmitem (ou absorvem) toda energia ao (do) escoamento devido a atrito mecânico, dissipação viscosa e vazamentos. Estas perdas são contabilizadas no cálculo da eficiência, η, que é definida pela razão entre a potência de saída do dispositivo e a potência que lhe foi fornecida:

Onde o termo no numerador corresponde à potencia fornecida pela bomba ao escoamento, e o termo no denominador é a potência que foi fornecida à bomba (normalmente por meio de um eixo ligado a um motor).

g m W h B B    g m W h T T    B B B B mgh VAh Qh W     W_T mgh_T VAh_T Qh_T entrada B entrada saida B W W P P     

Potência

EXEMPLO:

Um tubo de diâmetro constante de 50 cm transporta água (10º C) a uma vazão de 0,5 m3_{/s. Uma bomba é usada}

para elevar a água de uma posição de 30m para 40m. A pressão na seção 1 é 70 kPa manométrica e a pressão na seção 2 é de 350 kPa também manométrica. Que potência deve ser fornecida ao escoamento pela bomba? Assuma que h_L= 3 m de água e que α₁= α₂= 1.

V₁= V₂

h_T= 0 (não há turbina no sistema)

A altura de carga fornecida pela bomba compensa o aumento da carga de pressão, o aumento na elevação e as perdas na tubulação. L T B h h h z g V P z g V P _{  }       _{ }        _{ } 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2    









m h h z z P P h B L B 5 , 41 3 30 40 9810 70000 350000 1 2 1 2                         B B B B mgh VAh Qh W     kW Qh W_B  _B 98100,541,5204

Potência

EXEMPLO:

Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica apresenta uma vazão de 14,1 m3_/s.,

para uma diferença de cota de 61 m. A perda de carga através da entrada, tubulação e saída totaliza 1,5 m. A eficiência combinada da turbina e do gerador é de 87%. Qual é a potência elétrica que está sendo gerada?

V₁= V₂ = 0 P₁= P₂= 0

hB= 0 (não há bomba no sistema)

A altura de carga fornecida à turbina é igual à diferença de elevação da barragem menos a altura correspondente às perdas viscosas.

Potência fornecida à turbina (Potência de entrada):

Potência elétrica gerada:

L T B h h h z g V P z g V P _{  }                  22 ₂ 2 2 1 2 1 1 1 2 2     m h h z h T L T 5 , 59 5 , 1 61 1     

 

m MW s m m N Qh P_{entrada T} 9810 14,1 59,5 8,23 3 3               MW P P_saída _entrada0,878,237,16