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ENEGEP 2006 ABEPRO
Testes Acelerados de Vida para o crescimento da Confiabilidade de
produtos em desenvolvimento
Márcio José das Chagas Moura (UFPE) marciocmoura@gmail.com
Enrique López Droguett (UFPE) ealopez@ufpe.br
Carlos Magno Couto Jacinto (Petrobras) cmcj@petrobras.com.br
Resumo
Este artigo apresenta uma aplicação de um modelo Bayesiano para Testes Acelerados de Vida a equipamentos em desenvolvimento que serão utilizados na indústria petrolífera. Unidades do equipamento considerado serão submetidas aos seguintes cenários de teste: ramp-stress progressivo e regressivo e estresse constante. Assumindo que os tempos de falha em cada ambiente de teste são exponencialmente distribuídos, o procedimento de inferência estatística é executado usando o método Slice Sampler da classe de métodos Markov Chain Monte Carlo para avaliar métricas de confiabilidade a posteriori tais como percentis da distribuição da confiabilidade para um dado ambiente.
Palavras-chave: Confiabilidade, Inferência Bayesiana, Testes Acelerados de Vida.
1. Introdução
A escassez de dados é uma característica comumente encontrada quando se avalia a confiabilidade de um equipamento/produto. Os métodos tradicionais de avaliação da confiabilidade envolvem a análise de dados de falha de um equipamento em suas condições de uso. Tais métodos, baseados em sua grande maioria em estimadores de máxima verossimilhança, exigem grandes amostras de dados de falha, as quais são muitas vezes difíceis, se não impossíveis, de serem obtidas.
A dificuldade em obter dados consideráveis de falha sob as condições normais (nominais) de uso é principalmente encontrada em equipamentos altamente confiáveis, os quais executam suas funções de forma bem sucedida por longos períodos de tempo, tais como anos. Entretanto, mesmo para tais equipamentos uma avaliação da confiabilidade precisa ser realizada principalmente se exigem grandes investimentos em seu projeto de desenvolvimento.
Os produtos em desenvolvimento possuem uma dificuldade intrínseca na obtenção de dados de falha. Porém, uma organização para se tornar ou se manter competitiva deve superar essa limitação e avaliar o impacto (efeito) que modificações no projeto do produto implicam na confiabilidade do mesmo. Droguett & Mosleh (2006) apresentam uma metodologia para avaliação da confiabilidade de produtos em desenvolvimento a partir da teoria Bayesiana. Em uma organização competitiva, o período entre o desenvolvimento do produto e seu lançamento no mercado é demasiadamente curto na tentativa de superar a velocidade do avanço tecnológico de organizações concorrentes. É necessário, portanto, uma metodologia que forneça dados de falha de forma mais rápida do que os métodos de análise tradicionais antes que o produto em desenvolvimento torne-se obsoleto. Essa metodologia é denominada Testes Acelerados de Vida (TAV) e é cada vez mais comum entre os praticantes da Engª. de Confiabilidade.
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extrapolá-los para as condições de uso nominal. Alguns modelos bem conhecidos, como o de
Arrhenius ou o Inverse Power Law, podem ser utilizados para modelar a relação entre o
ambiente mais severo e o de uso em um TAV. Porém, nos TAVs tradicionais existem algumas restrições que merecem ser citadas: apenas um único cenário de teste é permitido para todos os itens de teste e o parâmetro de escala da distribuição do tempo de falha é uma função paramétrica pré-especificada das variáveis de estresse, conhecida como função de transformação do tempo, veja Vassiliou & Mettas (2002) para maiores detalhes.
Na tentativa de superar estas restrições, Van Dorp & Mazzuchi (2004) desenvolveram uma metodologia Bayesiana para TAVs, na qual o procedimento de inferência não é restrito à utilização de funções paramétricas de transformação do tempo. Tal metodologia apresenta uma maior versatilidade para modelar cenários de teste do que os TAVs típicos e por ser Bayesiana por natureza permite que outras fontes de informação, como a opinião de especialistas e produtos parcialmente semelhantes, sejam conjugadas para a avaliação da confiabilidade do produto no ambiente de uso.
O procedimento TAV Bayesiano é perfeitamente adequado ao processo evolutivo de desenvolvimento de produtos, já que o mesmo permite que atualizações sucessivas sobre algum parâmetro de interesse, no caso a confiabilidade, sejam realizadas à medida que novas informações (evidências) tornam-se disponíveis, além de permitir que dados de falha sejam coletados mais rapidamente para análise.
A execução de um TAV constitui-se de duas etapas. A primeira consiste no projeto do TAV, no qual são escolhidos as variáveis de estresse, como temperatura, pressão, vibração, etc., e seus níveis dentro dos limites de projeto. Além disso, nesta etapa são designados os cenários (ambientes) de teste, os quais são definidos como a combinação de valores das variáveis de estresse. Entre cenários de teste comuns, podem-se citar o estresse constante e o ramp-stress progressivo ou regressivo, como na Figura 1. A principal preocupação na fase de projeto de um TAV é que não se introduzam modos de falha no equipamento que não aconteceriam nas suas condições normais de uso. A segunda etapa é o problema de inferência estatística do TAV, o qual consiste em extrapolar os dados obtidos nas condições mais severas para as condições de uso nominal.
Ramp – Stress Progressivo Ramp – Stress Regressivo Estresse Constante
Figura 1 – Cenários (ambientes) de teste
Este artigo tem seu foco no problema de inferência estatística e apresenta um estudo de caso do procedimento Bayesiano para TAVs desenvolvido pelo Van Dorp & Mazzuchi (2004) para produtos em desenvolvimento que atuarão em indústrias petrolíferas. Devido ao seu alto custo e confiabilidade, é inviável tanto técnica quanto economicamente testar unidades do produto
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em questão sob suas condições de uso nominal. Em tal aplicação, é considerado que os tempos de falha do equipamento em cada ambiente de teste segue uma distribuição exponencial e que a opinião de especialistas será elicitada a fim de se obter a distribuição a priori da confiabilidade para cada ambiente de teste.
O presente artigo está organizado da seguinte maneira: na próxima seção será feita uma breve introdução ao problema de inferência Bayesiana. Na seção 3, o estudo de caso será realizado e na seção 4 algumas conclusões sobre o trabalho serão listadas.
2. Inferência Bayesiana
Através da aplicação da análise Bayesiana em confiabilidade é possível para o engenheiro usar informações provenientes de fontes distintas, como handbooks e opiniões de especialistas, na formulação de uma função de probabilidade para algum parâmetro de interesse.
Para um dado parâmetro, os resultados podem ser sistematicamente atualizados à medida que novas informações tornam-se disponíveis a partir da utilização do teorema de Bayes, o qual para variáveis aleatórias contínuas segue como:
(
)
=(
(
) ( )
) ( )
θ θ θ π θ θ π θ θ π d E L E L E o o | | |onde representa algum parâmetro de interesse, como o nível de confiabilidade de um produto em desenvolvimento. A função 0( ) é a distribuição a priori sobre representando a totalidade da informação disponível ao engenheiro sobre o parâmetro de interesse antes de observar a nova evidência E.
Vale frisar que a informação representada por E convencionalmente está na forma de dados empíricos, como resultados de TAVs. Porém, outras fontes de informação também podem ser utilizadas, como por exemplo, a opinião de especialistas e dados não completamente relevantes como dados de falha de uma versão anterior ao equipamento em desenvolvimento (veja Droguett & Mosleh (2006) para maiores detalhes).
A função L(E| ) é conhecida como função de verossimilhança e a função ( |E) é denominada distribuição a posteriori e constitui a informação que o engenheiro possui após a observação da evidência E, veja Martz & Waller (1982) para maiores detalhes sobre inferência Bayesiana.
A distribuição a priori modela o conhecimento do especialista, o qual pode ser um engenheiro de projeto do produto, por exemplo, acerca do equipamento em desenvolvimento antes que novas informações tornem-se disponíveis. Estas novas informações, que correspondem neste caso aos resultados do TAV e que são modeladas pela função de verossimilhança, atualizam o conhecimento do especialista e resultam na distribuição a posteriori.
Basicamente, o processo de determinação dos parâmetros da distribuição a priori consiste na elicitação da opinião de especialistas em relação a valores de tendência central da variável de interesse, no caso a confiabilidade. Cooke (1991) apresenta alguns métodos com esse objetivo. Porém, o procedimento utilizado aqui para edução da opinião de especialistas está apresentado em Firmino et al. (2006) em maiores detalhes.
A função de verossimilhança será tão mais flexível quanto for o procedimento de inferência estatística do TAV no que diz respeito à aplicabilidade a diferentes cenários de teste. Uma das limitações dos TAVs típicos é que apenas um cenário de teste é permitido para todos os itens.
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Já o procedimento desenvolvido por Van Dorp & Mazzuchi (2004) permite que diferentes cenários de teste sejam designados a diferentes itens.
Para o estudo de caso deste trabalho, a estratégia para análise dos dados obtidos nas condições mais severas será a de dados intervalares ou agrupados, nos quais os tempos de falha estão distribuídos em intervalos de tempo, não se tendo o conhecimento dos tempos individualizados de ocorrência de cada falha. A utilização dessa estratégia deve-se a uma limitação da câmara onde ocorreram os testes a qual não possuía monitoração on line do tempo de falha do equipamento.
A distribuição a priori e a função de verossimilhança para o problema Bayesiano dos Testes Acelerados de Vida estão desenvolvidas em Van Dorp & Mazzuchi (2004). A partir da determinação destas para o parâmetro de interesse em questão (confiabilidade do produto em desenvolvimento), é possível avaliar a distribuição a posteriori a qual é intratável analiticamente dado a sua complexidade matemática.
É necessário, portanto, a utilização de um dos métodos Markov Chain Monte Carlo (MCMC) para avaliação da distribuição a posteriori. Um dos métodos MCMC mais conhecidos é o
Metropolis Hastings que apesar de desenhar amostras eficientemente de distribuições
complexas necessita encontrar uma apropriada distribuição “proposta” para amostrar candidatas. Um outro método MCMC bastante utilizado em análises estatísticas é o Gibbs
Sampler o qual necessita da distribuição condicional para gerar amostras da distribuição
“meta” (veja Gilks et al. (1998) para maiores detalhes sobre métodos MCMC).
Entretanto, o método MCMC que será utilizado aqui para avaliação da distribuição a posteriori é o Slice Sampler. Tal método é mais intuitivo do que o Metropolis Hastings e o
Gibbs Sampler, além de possuir menos parâmetros de sintonização do que os mesmos (veja
Neal (1997) para maiores detalhes sobre o Slice Sampler).
3. Estudo de Caso
O equipamento em desenvolvimento para o qual se deseja avaliar a confiabilidade será utilizado na produção de petróleo. Por ser de uso contínuo e se almejar uma alta confiabilidade para tal equipamento, é inviável acelerar falhas do mesmo através do incremento de sua taxa de uso. Portanto, é necessário acelerar falhas incrementando os níveis de suas variáveis de estresse.
As variáveis que serão consideradas para avaliação da confiabilidade são a temperatura e a pressão e a combinação de valores dessas variáveis determina os cenários de teste. Os níveis dessas variáveis para cada ambiente são dados na Tabela 1, a qual também apresenta os valores das medianas da confiabilidade a priori resultantes da elicitação da opinião dos especialistas assim como o percentil de 5% da confiabilidade para o ambiente 2, o qual é o ambiente de uso do equipamento.
Ambiente e Temperatura (ºC) Pressão (psi) Medianas da Confiabilidade
1 100 10000 0.95 2 140 12000 0.90 3 160 14000 0.70 4 180 16000 0.50 5 200 18000 0.10 % 5 2 R no ambiente de uso 0.30 Fonte: Autor (2006)
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A avaliação da confiabilidade será realizada para um horizonte de previsão de 2 anos e deseja-se um nível médio de confiabilidade maior ou igual a 0.80 de forma que justifique os investimentos. Caso tal nível não seja atingido, modificações de projeto serão realizadas nos equipamentos e novos testes serão executados a fim de avaliar o impacto de tais modificações. Foram disponibilizados 10 itens de teste, os quais foram submetidos a uma combinação de ambientes (cenários de teste) de acordo com a Tabela 2. Cada item de teste j possui um cenário de teste formado por mj = 5 passos. Os itens j = 1,2,3,4 foram submetidos a um ramp – stress progressivo, os itens j = 5,6,7,8 sofreram um ramp – stress regressivo e j = 9,10
foram submetidos a um cenário de estresse constante. É considerada a possibilidade de falha no intervalo de tempo decorrido entre dois ambientes consecutivos, o qual é denominado tempo de rampa.
Item de teste Cenários de teste
j = 1,2,3,4 (1,2,3,4,5)
j = 5,6,7,8 (5,4,3,2,1)
j = 9,10 (4,4,4,4,4)
Fonte: Autor (2006)
Tabela 2 – Cenários (Ambientes) de teste
Na fase de projeto do ALT foi designado que cada item de teste permaneceria em um ambiente durante 48 hs. Ao término de cada intervalo verificava-se se o item de teste havia falhado. Se a falha tivesse ocorrido anotava-se o índice do passo e seu correspondente ambiente, caso contrário o teste prosseguia. Caso o teste terminasse e o item não tivesse falhado, classificava-se este como censurado e seu tempo de falha seria igual à duração total do teste. Os resultados do ALT estão na Tabela 3, na qual apresentam-se os índices dos passos e respectivos ambientes onde ocorreram as falhas dos itens de teste.
Item de teste j Passo mj Ambiente e
1 4 4 2 3 3 3 4 4 4 3 3 5 1 5 6 2 4 7 3 3 8 2 4 9 5 4 10 3 4 Fonte: Autor (2006)
Tabela 3 – Resultados do TAV
Com os dados elicitados do especialista na Tabela 1 e os resultados do TAV na Tabela 3, é possível avaliar a distribuição a posteriori da confiabilidade do equipamento em desenvolvimento usando o método Slice Sampler. A função de probabilidade a posteriori da confiabilidade e da taxa de falha no ambiente 2, o qual é o ambiente de uso são ilustradas na Figura 2 e Figura 3, respectivamente:
6 ENEGEP 2006 ABEPRO 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.01 6807 0.04 989 0.08 3815 0.11 6602 0.14 9817 0.18 3346 0.21 687 0.24 8683 0.28 3076 0.31 6933 0.35 0593 0.38 3699 0.41 7165 0.44 9634 0.48 2982 0.51 6737 0.55 0096 0.58 3159 0.61 6382 0.65 0113 0.68 3627 0.71 6591 0.74 9238 0.78 4607 0.81 6566 0.85 0315 0.88 3663 0.91 6937 0.95 0872 0.98 7179 Confiabilidade P ro b a b il id a d e
Figura 2 – Função de probabilidade a posteriori da confiabilidade em 2 anos de operação nas condições de uso
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 6.21 E-06 2.55 E-05 4.32 E-05 6.03 E-05 7.81 E-05 9.52 E-05 0.00 0112 9 0.00 0129 7 0.00 0146 8 0.00 0164 9 0.00 0181 8 0.00 0199 5 0.00 0217 1 0.00 0234 3 0.00 0251 8 0.00 0268 4 0.00 0286 7 0.00 0302 9 0.00 0322 7 0.00 0335 7 0.00 0357 8 0.00 0375 4 0.00 0392 3 0.00 0405 8 0.00 0426 8 0.00 0438 1 0.00 0463 5 0.00 0475 1 0.00 0491 4 0.00 0511 5
Taxa de Falha (falhas/h)
P ro b a b il id a d e
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Analisando a mediana da confiabilidade a priori na Tabela 1 e a distribuição a posteriori da Figura 2, percebe-se que o nível de confiabilidade nas condições de uso foi superestimado pelos especialistas. Além disso, a média da confiabilidade no ambiente de uso foi de R = 0.56 para um período de dois anos o que indica que o nível meta de confiabilidade de 80% não foi alcançado e portanto novas modificações no projeto do produto devem ser implementadas. O impacto destas modificações no projeto serão analisadas executando um novo TAV. Neste novo estágio de análise, a distribuição a priori da confiabilidade será dada pela distribuição a posteriori da Figura 2, procedendo assim a atualização do estado de conhecimento sobre a confiabilidade do produto em desenvolvimento.
4. Conclusões
Neste artigo, uma aplicação do modelo Bayesiano desenvolvido por Van Dorp & Mazzuchi (2004) para TAVs foi realizada para avaliação da confiabilidade de um equipamento em desenvolvimento. Os itens de teste foram submetidos aos cenários de estresse constante e
ramp-stress progressivo e regressivo, assumindo que os tempos entre falhas em cada ambiente
eram exponencialmente distribuídos.
No estudo de caso foi observado uma superestimação da confiabilidade a priori nas condições de uso assim como o fato que o equipamento não alcançou o nível meta de confiabilidade. Portanto, será necessário implementar modificações no projeto do produto para incrementar seu nível de confiabilidade, o qual será avaliado em uma nova aplicação do procedimento.
Referências
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