Logaritmos Profº Adriano

Propriedades gerais dos logaritmos

Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de propriedades gerais:

I) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é igual a 1.

log_a a = 1 Exemplos:

log₂ 2 = 1 log 35 = 1

Propriedades gerais dos logaritmos

II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero. log_a 1 = 0

Exemplos: log₅ 1 = 0 log₁₃ 1 = 0 log 1 = 0

Propriedades gerais dos logaritmos

III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os números menores que 1 têm logaritmos negativos.

Exemplos:

log₃ 10  2,0959 log₃ 17  2,5789 log₃ 0,5   0,6309 log 0,7   0,32466

Propriedades gerais dos logaritmos

V) Os números negativos não têm logaritmos reais. Exemplos:

log₅ ( 8) = Ǝ log₃ ( 11) = Ǝ log_0,8 ( 1) = Ǝ log ( 4) = Ǝ

Propriedades gerais dos logaritmos

IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos, enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos.

Exemplos: log_0,5 2   1

log_0,5 6   2,58496 log_0,5 0,3  1,73697 log 0,01  6,64386

Propriedades gerais dos logaritmos

VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no mesmo sentido dos números. Se N₁ > N₂, teremos:

log_a N₁ > log_aN₂

Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário. Quando N₁ < N₂, teremos:

log_a N₁ > log_a N₂ Exemplos:

log₇ 5 > log₇ 4 log 5 < log 4

Propriedades operatórias

Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo de expressões numéricas.

I) O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

log_a (y₁y₂y₃...y_n) = log_a y₁ + log_a y₂ + log_a y₃ + ... + log_ay_n Exemplos:

log₂ (2 ∙ 5 ∙ 3) = log₂ 2 + log₂ 5 + log₂ 3

Propriedades operatórias

II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

log_a (y₂/y₁) = log_a y₂ – log_a y₁ Exemplos:

Log₇ (13/5) = log₇ 13 – log₇ 5 Log (4/9) = log 4 – log 9

Propriedades operatórias

III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência.

log_a yn _{= n ∙ log} a y Exemplos: log₈ 34 _{= 4 ∙ log} 8 3 log 73 _{= 3 ∙ log 7}

Propriedades operatórias

IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do radicando pelo índice do radical.

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑝 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 𝑝 Exemplos:

Característica e mantissa

Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros:

log_a an _{= n}

Exemplos: log₂ 25 _{= 5}

log₇ 70,3 _{= 0,3}

Logaritmos decimais

Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x _{que define os}

logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.

Logaritmos decimais

I) O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente. Exemplos:

log 103 _{= 3}

log 107 _{= 7}

II)

Exemplos:

log 20,8  1,318

2 algarismos – 1 = 1 log 1024,96  3,0107

Logaritmos decimais

III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu primeiro algarismo significativo.

Exemplos:

log 0,8   0,09691 log 0,03   1,52288 log 0,005   2,30103

Logaritmos decimais

IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais.

Exemplos: log 3  0,477

log 30 = log 3 ∙ 10  1,477 log 300 = log 3 ∙ 102  2,477

Mudança de base

Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais.

A mudança de base é dada pela fórmula:

𝑙𝑜𝑔

𝑎 =

𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑙𝑜𝑔

𝑏

1) Calcule pela definição de logaritmo. a) log₂ 128

b) log₈ 16 c) log₂₅ 0,008

a) Fazendo log₂ 128 = x Por definição, teremos: 2x _{= 128}

2x _{= 2}7

b) Fazendo, também, log₈ 16 = x, teremos: 8x _{= 16} (23₎x _{= 2}4 23x _{= 2}4 Assim: 3x = 4 Portanto: x = 4 . 3

25 25x _{= 0,008} 25x = 8 . 1000 25x = 1 . 125 (52₎x _{= 5}−3 52x _{= 5}−3 Logo: 2x = − 3  x _{= } 3 . 2

cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule: a) log 200

b) log 25 8

a) log 200 = log (2 ∙ 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 102

= 0,301 + 2 = 2,301

b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 _{– log 2}5

8 32