APLICAÇÃO DA METODOLOGIA IMERSPEC PARA ANÁLISE DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO INDUZIDA POR VÓRTICES

APLICAÇÃO DA METODOLOGIA IMERSPEC PARA ANÁLISE DE PROBLEMAS DE

VIBRAÇÃO INDUZIDA POR VÓRTICES

1 _{Andreia Aoyagui Nascimento,} 2 _{Felipe Pamplona Mariano ,} 3 _{Elie Luis Martinez Padilla e} 3 _{Aristeu da} Silveira Neto

1 _{Discente do curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica UFU/MG.}

2 _{Professor da Escola de Engenharias Elétrica Mecânica e de Computação UFG/GO.} 3 _{Professor da Faculdade de Engenharia Mecânica UFU/MG.}

1,3 _{Laboratório de Mecânica dos Fluidos, Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia. Av.}

João Naves de Ávila, 2121, Bloco 5P, Campus Santa Mônica, Uberlândia - MG, CEP 38408-100.

2, _{Escola de Engenharias Elétrica, Mecânica e de Computação, Universidade Federal de Goiás, Av. Universitária, n.º}

1488 - quadra 86 - bloco A - 3º piso - Setor Leste Universitário, Goiânia - Goiás - CEP: 74605-010 e-mail: epadilla@mecanica.ufu.br

RESUMO - No presente trabalho, é mostrada a primeira aplicação do método pseudoespectral de Fourier acoplado com o método da fronteira imersa, para em problemas associados à engenharia de perfuração e extração de petróleo e gás em águas profundas. Trata-se do problema de vibração induzida por vórtices (VIV) de um corpo rígido cilíndrico ancorado por uma mola transversal ao escoamento. A forças hidrodinâmicas podem provocar a vibração da estrutura devido ao desprendimento de vórtices à jusante do mesmo, assim este fenômeno de vibração pode resultar na falha estrutural, especialmente devido ao fenômeno de ressonância (lock-in). A dinâmica do movimento estrutural é representada pela equação da Segunda Lei de Newton e a modelagem do fluido pelas equações de Navier Stokes. A representação da interface fluido-corpo foi possível com o método da fronteira imersa. Resultados como a amplitude de deslocamento do corpo rígido e a variação da frequência com o aumento da velocidade reduzida são apresentados e comparados com os trabalhos de referência mostrando uma boa concordância.

Palavras-Chave: Método Pseudoespectral de Fourier, Método da Fronteira Imersa, Vibração induzida por vórtices.

INTRODUÇÃO

O fluxo em torno de um cilindro circular tem sido um assunto de interesse para os engenheiros, sendo objeto de pesquisas de simulações numéricas (Lima e Silva, 2002; Bharti

et al. 2006) e procedimentos experimentais

(Govardhan e Williamson, 2001; Telkova, 2008). Este tipo de escoamento modela uma grande quantidade de problemas físicos como, por exemplo: estruturas como pontes e chaminés; oleodutos submersos no mar, os quais podem vibrar devido às correntes oceânicas, o que resulta em danos nos risers na produção de petróleo.

O cilindro imerso em um escoamento gera uma esteira de vórtices, a partir da elevação da força de sustentação, o que consequentemente causa a vibração estrutural, ou seja, a vibração induzida por vórtices (VIV).

Uma das características fundamentais de vibração induzida pelo vórtices é a capacidade de fazer a estrutura oscilar, na sua frequência natural (fn). A medida que a frequência de

liberação de vórtices (fs) se aproxima da

frequência natural e a razão (fn / fs) tender a 1,0 a

amplitude de oscilação da estrutura se eleva, e a estrutura estará oscilando na frequência de

"lock-in"

Vibrações induzidas por vórtices (VIV) tem sido considerada como uma das causas para as falhas por fadiga das estrutura.

No entanto, este fenômeno pode ser muito útil em energia renovável, (Bernitsas et al., 2008).

O presente trabalho apresenta a solução do problema de escoamento em torno de um cilindro circular ancorado por mola na direção transversal ao escoamento.

O método numérico utilizado para predizer as características do escoamento e das respostas dinâmicas de VIV para um cilindro circular modelado é o método pseudoespectral de Fourier (Canuto, et al., 1988, 2006) juntamente, com o método da Fronteira imersa (Iaccarino, 2005), o qual é utilizado para modelar a geometria que está elasticamente ancorada.

As características do escoamento são analisadas através da formação dos vórtices, modos das frequência de resposta e os diagramas de trajetória, para diferentes números de Reynolds.

MODELAGEM MATEMÁTICA E NUMÉRICA

O estudo do escoamento sobre cilindro utilizou as seguintes dimensões: cilindro com diâmetro D, centrado a distância de 6,25D do perfil uniforme de entrada e 7,5D de altura, a largura do domínio é 15D, domínio euleriano (Lx)

42D, sendo este segmentado pela zona de buffer (Lb) com 15D, zona de imposição direta da

condição de fluxo uniforme (Lp) 2D, e domínio útil

25D, como mostrado na Figura 1.

Figura. 1. Visualização do domínio de cálculo do problema de VIV de um cilindro circular ancorado por molas.

O escoamento é imposto através da condição de contorno de velocidade uniforme à montante do cilindro, como mostrado na Figura 1. Dado o desprendimento de vórtices à jusante do cilindro, aparecem forças provindas da diferença de pressão e atrito do escoamento com o corpo imerso. Como o cilindro possuí um grau de liberdade, modelado através de uma mola e amortecimento, tem-se como resposta o deslocamento na direção transversal ao escoamento.

As equações da continuidade, Equação 1, e quantidade de movimento, Equação 2, são utilizadas para modelar o escoamento incompressível de um fluido newtoniano. O

movimento da estrutura imersa é modelada como um corpo rígido, obedecendo a Segunda Lei de Newton, Equação 3:

∇ ⃗

u

_i

=0,

(1)

∂ ⃗

u

_i

∂

t

+ ∇ (⃗

u

i

u

⃗

j

)=−∇

P

i

+ ν ∇

2

⃗

u

_i

+

f ,

(2)

F

_R

=

ma

_y

+

c v+ky ,

(3)

onde, u e P são, respectivamente, os campos de velocidade e pressão do escoamento, k é rigidez da mola, c é o coeficiente de amortecimento es-trutural, m é massa do cilindro, FR é o somatório

das forças resultantes, ay, v e y são,

respectiva-mente, a aceleração, velocidade e deslocamento do centro de massa do cilindro em relação ao re-ferencial fixo.

Método Pseudoespectral de Fourier

A solução a das equações de Navier-Stokes utilizando o método pseudospectral de Fourier consiste na transformação das Equações 1 e 2 para o espaço espectral utilizando a Transformada de Fourier, assim a Equação 1 pode ser escrita como mostrado na Equação 4:

∂ ̂

u

_i

∂

t

+

ik

j

(

̂

u

i

∗

u

j

)=−

ik

i

P

̂

i

−ν

k

j

2

̂

u

_i

+ ̂

f ,

(4) onde k é número de onda, e k2 _{= k}

j kj, ûi é o vetor

velocidade transformado para o espaço Fourier, i é o número complexo

i=

√

−1.

O produto de convolução (ui*uj) é resolvido aplicando o método

Pseudoespectral de Fourier (Canuto et al., 2006; Souza, 2005; Mariano, 2007, 2011; Canuto et al., 1988).

A fim de simplificar a solução da Equação 4, foi utilizado o método de projeção, neste método as variáveis são projetadas no plano de divergência nula, definido pela transformação da equação da continuidade para o espaço espectral de Fourier (Canuto, et al., 2006), por consequência, desacopla-se o termo de pressão da solução dos campos de velocidades, Equação 5.

̂

u

_it

− ̂

u

_i0

Δ

t

+℘(̂

TNL

m t

)=−ν

k

2

̂

u

_it

+℘ (̂

f )

, (5) onde

℘(̂

TNL

_mt

)

é o termo não linear projeta-do.

Método da Fronteira Imersa

O método da Fronteira Imersa (MFI) utiliza dois domínios independentes: Lagrangiano, “Γ”, e o Euleriano, “Ω”, como mostrado na Figura 2, sendo o lagrangiano responsável por modelar a superfície imersa e o euleriano o fluido que a envolve.

Figura. 2. Esquema do método da fronteira imersa.

Dentre os vários métodos existente para o cálculo da fronteira imersa, este trabalho fez uso do Método Direct-Forcing (MDF), desenvolvido por Mohd-Yusof (1997). Este método, extrai a força diretamente da solução numérica, a qual é determinada pela diferença entre as velocidade interpoladas e a velocidade física (Mariano, 2011; Souza, 2005).

A relação entre os domínios euleriano e lagrangiano é feita através do termo fonte de força, o qual aparece na Equação 2 e é modelado como na Equação 6:

f

_i

=

{

F

i

( ⃗

X , t) se ⃗x= ⃗

X

0 se ⃗x≠ ⃗

X

}

(6)

onde f é a força euleriana e F é a força lagrangiana, sendo que o termo fonte de força só será diferente de zero na interface imersa. Uma observação importante é quando não ocorre coincidência entre os pontos do domínio, a força lagrangiana deve ser distribuída para o domínio euleriano.

Assim o conceito pode ser aplicado à Equação 5, obtendo-se a Equação 7:

̂

u

t

− ̂u

∗

+ ̂

u

∗

− ̂u

0

Δ

t

+ ̂

rhs+ ̂f

x

=

0,

(7)

onde rhs é o agrupamento dos termos advectivos e difusivos em um tempo t, e termo e u∗ _é

denominado parâmetro temporário,

̂

u

∗

− ̂u

0

Δ

t

+ ̂

rhs=0.

(8)

O termo lagrangiano é dado pela Equação 8 para todos as posições lagrangianas,

F

_x

=

U

t

_{− U}

∗

Δ

t

,

∀

X

l. (9)

Na Equação 9, Ut _{é a condição de contorno, U}∗ _é

a velocidade de interpolação, a última atualização da velocidade é dada pela Equação (10).

̂

u

t

=̂

u

∗

+ ̂

f

x

Δ

t ,

(10)

O MDF tem como vantagem a forma de obter o termo força de forma automática, ou seja, sem utilizar os ajustes de constantes manipulados pelo usuários, (Mittal e Iaccarino 2005).

Modelagem do movimento de corpo rígido A modelagem do corpo rígido fixado por uma mola numa das extremidades, permite deslocamentos na direção transversal. Esta movimentação é similar ao movimento descrito por um problema massa-mola, e pode ser escrita matematicamente pela Equação 11:

F

_yl

=

m a

_y

+

c v +ky ,

(11)

onde Fyl, representa a força hidrodinâmica

oriunda do cálculo da fronteira imersa. Esta equação pode ser reescrita adimensionalmente de acordo com os trabalhos de Chern, et al. (2014), como mostrado na equação 12:

d

2

Y

dt

2

+

4 π ζ

U

r∗

dY

dt

+

(

2 π

U

r∗

)

2

Y =

2C

l

t

∗

π

m

∗

,

(12)

onde Y, é a variável de deslocamento normalizado do centro do cilindro, Ur*, é a

velocidade reduzida, ζ, é o amortecimento

estrutural, Cl, o coeficiente de sustentação e m*, a

razão mássica.

O avanço temporal utilizado na discretização das equações fluidodinâmicas e estrutural, se restringe ao método Runge-Kutta Otimizado com 6 passos (Allampalli et al. 2006).

Os parâmetros utilizados para a simulação estão sugeridos no trabalho de Dettmer e Peric (2006).

• razão mássica de 149,1.

•

frequência natural fn =7,016 hz

•

Re/Ur* = 14,96

Para a simulação foi utilizado, a malha de 512 x 256 nós de colocação, CFL de 0,1 e o incremento temporal assumiu valores de 10-3 _a

10-4_.

RESULTADOS

Nesta seção são apresentados os resultados qualitativos para a simulação com número de Reynolds 100, oscilando em frequência de ressonância, ou seja, lock-in.

Além disso, resultados quantitativos estão apresentados nas tabelas 1 e 2, mostrando a comparação com os valores numéricos obtidos por Dettmer and Peric,(2006), o qual, em seu trabalho compara, os resultados numérico obtido para malha de 5374 elementos, com os resultados teórico obtidos por Roshko.

A Figura 3 apresenta o campo de vorticidade no escoamento sobre o cilindro, é possível notar que a esteira de vórtices gerada, apresenta a configuração (2S), ou seja, dois vórtices únicos contra rotativos alinhados (Williamson and Roshko, 1988). A liberação dos vórtices à jusante do corpo imerso gera as forças de arrasto e sustentação, sendo que esta última é responsável por deslocar o cilindro.

Figura 3. Campo de vorticidade do escoamento sobre cilindro, Re=100.

A evolução do deslocamento normalizado, vertical, do centro de massa do cilindro é exibido na Figura 4. Nesta, a forma de onda de batimento aumenta em cada ciclo e a amplitude de vibração aumenta gradualmente antes que ele atinja um valor superior a 0,3D.

Figura 4. Evolução do deslocamento, Y/D do centro de massa do cilindro, Re= 100.

A Tabela 1 apresenta os valores das razões de frequências (fν*/fn*) para os números de

Reynolds de 100 à 130, onde a frequência fn é

obtida a partir da evolução do coeficiente de sustentação, na quarta coluna está apresentada os valores das (fν*/fn*) , obtidas por Dettemer e

Peric,(2006).

Tabela 1 – Razão de frequências de liberação de vórtices e a frequência de ressonância reduzida cilindro.

As amplitudes máximas relativas (Y/D) das oscilações do centro do cilindro são apresentadas na Tabela 2, sendo a segunda coluna obtida no presente trabalho e a terceira coluna obtida por Dettemer e Peric (2006).

Tabela 2 – Amplitude máxima do deslocamento do centro do cilindro.

Re

100

0,1796

1,000

1,00

110 0,17461

1,069

1,00

120 0,17805

1,190

1,20

130 0,18152

1,314

1,25

St

f

ν *

_/f

n *

Dettmer And

Peric (2006)

Re

Y/D

100

0,35

0,38

110

0,01

0,01

120

0,004

0,000

130

0,003

0,000

Dettmer And

Peric (2006)

Observando a Tabela 1, pode-se afirmar que ao elevar o número de Reynolds, a liberação de vórtices também se eleva, porém a amplitude relativa desenvolvida pelo cilindro, Tabela 2, se reduz, ou seja, para o número de Reynolds igual a 100, o cilindro se encontra na frequência de

lock-in (ressonância), tendo o maior

deslocamento dentre as outras e a razão de frequências o valor unitário.

CONCLUSÃO

No presente trabalho foi exposto resultados de cálculos computacionais para escoamento bidimensionais com interação fluido-estrutura, com o uso do método pseudoespectral de Fourier e do método da fronteira imersa.

Os resultados obtidos nas simulações foram considerados próximos as referências comparadas, tanto para as razões de frequências, quanto para o deslocamento do centro do cilindro. Como se pôde observar conseguiu-se reproduzir outros resultados numéricos encontrados na literatura.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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CANUTO, C.; QUARTERONI, A.; HUSSAINI, M. Y.; ZANG, T. A., 2006. Spectral Methods-Fundamentals in Single Domains. New York: Springer.

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WILLIAMSON,C.H.K. 1989. Oblique and parallel modes of vortex shedding in the wake of a circular cylinder at low reynolds numbers. J.Fluid Mech., p. 579–627.

AGRADECIMENTOS

PETROBRAS, CAPES, CNPQ, FAPEG, FAPEMIG, Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia e a Escola de Engenharias Elétrica, Mecânica e de Computação da Universidade Federal de Goiás pelo suporte estrutural e financeiro.