ASPECTOS NUMÉRICOS E FÍSICOS DE SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES
DE SAINT-VENANT
André Luiz Andrade Simões1, Romualdo José Romão Brito2*, Harry Edmar Schulz3, Rodrigo de Melo Porto4, Raquel Jahara Lobosco5
2
Instituto Superior Politécnico de Tete, Moçambique
1,2,3,4,5
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, Brasil.
*Email: [email protected]
RESUMO
As equações de Saint-Venant são deduzidas a partir dos princípios de conservação de massa e quantidade de movimento com o uso de hipóteses simplificadoras. Freqüentemente tais equações são empregadas em sua forma uni-dimensional com o intuito de prever o comportamento de ondas de cheia em canais, ondas ocasionadas pela ruptura de barragens e, em alguns casos, para prever a posição de ressaltos hidráulicos. O equacionamento geral compõe um sistema de equações diferenciais parciais do tipo hiperbólico e não linear (em ambos os casos, unidimensional e bidimensional). As soluções analíticas são ainda muito raras para esse sistema, sendo necessário o uso de métodos numéricos para obtenção de soluções. A sua utilidade aponta para a necessidade de sua apresentação didática aos estudantes e profissionais de Engenharia, o que justifica o presente texto. Este trabalho utiliza as equações de Saint-Venant aplicadas a problemas com superfície livre em uma e duas dimensões. São discutidos aspectos físicos das soluções e detalhes matemáticos, como a imposição adequada das condições de contorno e a estabilidade de esquemas numéricos, por meio do uso da análise de von Neumann aplicada à forma linearizada das equações unidimensionais.
INTRODUÇÃO
Em situações nas quais as alterações sofridas pelo fluido em movimento são pequenas e ocorrem de modo progressivo, é razoável supor, para fins práticos, que o escoamento seja permanente, ao menos em intervalos curtos de tempo. Há, todavia, casos em que esta simplificação não é adequada, como, por exemplo, durante a passagem de ondas de cheia em canais, rios ou sistemas de drenagem, alterações de nível e vazões produzidas pela parada ou partida de bombas ou turbinas hidráulicas, ondas originadas por manobras de comportas em canais de irrigação, rompimentos de diques ou barragem, etc. Como exemplos de eventos menos abruptos, temos a previsão do comportamento de correntes marítimas e conseqüentes elevações da maré, que são eventos de considerável relevância para a navegação e a dispersão de poluentes, e a ocorrência de transporte de sedimentos durante escoamentos variáveis, com implicações ambientais e na navegação. Antes de iniciar a dedução das equações, cabe mencionar que o escoamento turbulento é sempre não permanente, apesar de ser considerado, em alguns problemas, como permanente em média, ou, em alguns textos, como “estacionário”. Assim, os termos escoamento variável e escoamento permanente empregados neste texto se referem ao comportamento médio das variáveis. A seguir são expostos brevemente alguns conceitos elementares sobre escoamentos variáveis, especificamente
alguma terminologia ligada ao estudo de ondas. Essas definições foram extraídas das referências Lamb (1945) e Porto (2006).
Conceitos básicos
Uma onda é definida como uma variação temporal e espacial da altura do escoamento (distância vertical do ponto mais baixo da seção até a superfície livre) e da taxa de vazão. O comprimento de onda (L) é a distância entre duas cristas sucessivas, a amplitude da onda é a altura entre o nível máximo da superfície livre e o nível d’água em repouso e a altura H é a diferença de cotas entre as cristas e os cavados (vales). Há diferentes tipos de classificações para as ondas, como ondas capilares, nas quais o fator predominante na propagação é a tensão superficial, e ondas de gravidade, cuja ação principal é a atração gravitacional. O termo água rasa se refere ao caso em que a relação entre L e a profundidade da água y, distância entre o fundo do canal e o nível estático da água, for maior que 20. Caso contrário, define-se o que se chama de águas profundas. Uma onda é chamada de onda oscilatória se não há transporte de massa na direção de propagação (são ondas normalmente ocasionadas pelos ventos e de grande relevância para Hidráulica Marítima). Ondas de translação são aquelas que envolvem deslocamento de massas líquidas da sua posição original, como ondas de cheia em rios e canais. As ondas de translação podem ser classificadas como onda solitária, que possui um tramo de ascensão e outro de depleção e um único pico, e trem ou sistema de ondas, que é um grupo de ondas consecutivas. Uma onda de translação que tenha um tramo de depleção (a frente de onda) de modo íngreme é chamada de surto ou vagalhão. Em relação às ondas em canais, estas são ditas ondas positivas se a altura da água atrás da onda (a intumescência) é maior que a altura da água no escoamento não perturbado no canal. Se a altura da água atrás da onda é menor que a altura da água do escoamento não perturbado no canal, a onda é classificada como negativa.
Para ondas de gravidade de amplitude pequena, considerando escoamento ideal e sem efeitos significativos decorrentes da tensão superficial, a celeridade (c=velocidade relativa de propagação da onda em relação ao meio líquido) pode ser calculada aproximadamente por meio da equação 1 (Lamb, 1945):
L h 2 tgh 2 1 gL c ou , L h 2 tgh 2 gL c 2 (1)
em que L é o comprimento da onda, h a altura do escoamento e tgh a tangente hiperbólica. Esta equação é normalmente chamada de equação da celeridade de Airy, em homenagem a Sir George Biddle Airy (1801-1892), certamente o primeiro a apresentar o seu desenvolvimento, em 1845 (Porto, 2006).
É interessante notar que se L>>h, condição relativa às águas rasas, a tangente hiperbólica tende ao valor do arco e então a celeridade de tais ondas é calculada simplesmente por: h / L 1 gL c ou , gh c 2 (2)
A Figura 1 ilustra este comportamento. A partir de L/h = 20 as equações fornecem praticamente os mesmos resultados. No caso de ondas de águas profundas, em que h>>L, a tangente hiperbólica tende à unidade e a celeridade passa a ser calculada por:
2 1 gL c ou , 2 gL c 2 (3)
Este é o valor constante da curva gerada pela equação 1, apresentada na Figura 1.
Figura 1 – Comportamento da celeridade adimensionalizada em função de L/h (y=h)
DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES PARA O CASO 1D
As equações que modelam os problemas tratados neste artigo têm como origem o princípio de conservação de massa e de quantidade de movimento (2ª lei de Newton). Trata-se de uma formulação simplificada em relação ao equacionamento geral para fluidos newtonianos (equação da continuidade completa e equação de Navier-Stokes) e, por esta razão, considera-se válido apreconsidera-sentar parte da sua dedução para o caso unidimensional com o intuito de evidenciar as limitações inerentes ao modelo e valorizar aspectos físicos e matemáticos presentes nas equações. Como referência sobre o os procedimentos adotados para as deduções, cabe destacar os trabalhos de Chaudhry (2008) e Porto (2006).
Conservação de massa
A equação de conservação da massa para volumes de controle e em sua forma integral pode ser escrita como:
0 ndA V dVol t sc vc
(4) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 5 10 15 20 25 c 2/( gL ) L/y Eq. 1 Eq. 2Assume-se que o escoamento é unidimensional e incompressível. O canal é considerado prismático e não há aporte lateral de vazão. O volume de controle adotado mantém tais simplificações e corresponde a um volume de controle com uma entrada (seção 1), uma saída (seção 2), parte da superfície de controle é a superfície livre e a superfície restante corresponde ao contorno sólido. Com tais hipóteses, a equação anterior, quando aplicada ao referido volume de controle, é simplificada para:
0 Q Q dx t A 1 2 x
(5)em que: A = área da seção transversal, Q = vazão. Utilizando o teorema do valor médio e fazendo x0, obtém-se a equação da continuidade na forma conservativa:
0 x Q t A (6) Quantidade de movimento
O princípio de conservação de quantidade de movimento linear para volumes de controle pode ser escrito como:
sc vc ndA . V V dVol V t F (7)em que: F = força resultante. A dedução da equação diferencial a partir de (7) pode ser encontrada em Porto (2006) e Chaudhry (2008). A única diferença entre a equação apresentada aqui e aquela apresentada por esses autores está nas forças devidas às pressões (F1 e F2), que são calculadas por meio das seguintes equações:
cos h g A 2 F cos h g A 1 F 2 2 1 1 (8)
em que: h com uma barra superior é a distância desde a superfície livre até o centróide da seção transversal. Além das hipóteses anteriores, considera-se que o coeficiente de Boussinesq () é uma constante e que os efeitos da aceleração de Coriolis são negligenciáveis. A equação resultante, obtida a partir da conservação de quantidade de movimento é:
QV gAhcos
gA
Io If
x t Q (9)Esta é a equação de quantidade de movimento na forma conservativa, que junto com a equação 6 forma um sistema hiperbólico semelhante às equações de Saint-Venant. Io e If são as declividades de fundo e da linha de energia, respectivamente.
Equações simplificadas para o caso de águas rasas
Continuidade
Para obtenção da equação da continuidade aplicada ao caso de águas rasas, por meio da equação 6, a única simplificação necessária é a de canal retangular, como apresentado a seguir. Nesta situação Hm=A/B=Bh/B=h, logo:
x V h x h V t h x V B A x h V t h
0 x Vh t h (10) Quantidade de movimentoUtilizando a mesma simplificação adotada na obtenção da equação 10, a equação 9 é manipulada algebricamente para dedução da equação de quantidade de movimento linear para águas rasas 1D. Desprezando a não uniformidade do perfil de velocidades (b=1) e o efeito do cos no cálculo das forças de pressão, vem:
f o f o gBhI I x h gBh VhV x B t Vh B I I gA x h gA QV x t Q
f o 2 2 ghI ghI h 2 g hV x t Vh (11)Para calcular a declividade da linha de energia If, assume-se que é válida uma equação de resistência desenvolvida para o regime uniforme e permanente. Utilizando a equação de Chézy, deve-se assumir ainda que o canal retangular é largo (B>>h). Com esta hipótese, a equação mencionada assume a seguinte forma:
C h V V h 2 B / Bh 1 C V V P / A 1 C V I 2 2 2 2 f (12)Sabe-se que C=(8g/f)0,5, em que f é o fator de resistência de Darcy-Weisbach. Assim, nota-se imediatamente que C não é uma grandeza adimensional. Sendo preferível trabalhar com grandezas adimensionais, utiliza-se aqui a equação de Darcy-Weisbach no lugar da equação de Chézy: gh 8 V V f If (13)
ASPECTOS MATEMÁTICOS E MÉTODOS NUMÉRICOS
As equações 10 e 11 formam o sistema de equações para águas rasas em uma dimensão. Com uma notação compacta, as equações podem ser escritas como:
s x f t q (14) em que: hV h q (15) 2 1 1 2 2 2 2 2 q 2 g q q q h 2 g hV hV f (16) f o ghI ghI 0 s (17)
Do mesmo modo, em sua forma não conservativa, as equações de Saint-Venant podem ser escritas na forma vetorial como apresentado a seguir:
J x U A t U (18) em que: V h U (19) V g H V A m (20) f o I I 0 g J (21)
Os autovalores da matriz A definem a que classe pertence o sistema de equações. Para calcular os autovalores de A, sabe-se que:
V
gH 0 0 V g H V det m 2 m (22)Calculando as raízes desta equação, obtém-se:
m
1V gH
m
2 V gH
(24)
Nota-se imediatamente que os autovalores correspondem às velocidades absolutas das ondas, uma vez que c=(gHm)0,5. Para escoamentos subcríticos e supercríticos os autovalores assumem valores reais e diferentes. Isto permite classificar as equações como um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas, assim como as equações de Euler e do escoamento variável em tubos, por exemplo. A mesma conclusão é obtida com o cálculo dos autovalores da matriz Jacobiana do vetor f, como apresentado a seguir:
1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 q q 2 gq q q 1 0 q f q f q f q f f D
Esta matriz também pode ser escrita em termos das variáveis primitivas:
V 2 gh V 1 0 f D 2
Os autovalores (i) desta matriz podem ser calculados com a equação característica (em que I=matriz identidade):
2V
1
V gh
0 2V V gh 0 V 2 gh V 1 det V 2 gh V 1 0 0 0 det Df I det 2 2 2 2 2 Resolvendo o polinômio, tem-se:
2 gh V 4 V 4 V 2 0 gh V V 2 2 2 2 , 1 2 2
V gh
V gh V V 2 2 1 gh V 2 Vê-se que a única diferença entre os autovalores calculados com o jacobiano está na expressão para a celeridade, ocasionada por ter sido utilizada a condição de águas rasas.
Método das características
O sistema hiperbólico obtido para condutos livre é não linear e só admite solução analítica em casos ainda mais simplificados. Por este motivo, o uso de métodos numéricos é natural e comum em aplicações que envolvem as equações de Saint-Venant. O método das características, certamente um dos mais difundidos na prática da engenharia hidráulica, é
freqüentemente escolhido em simulações de escoamentos variáveis em condutos forçados. Dada a semelhança entre as equações, o desenvolvimento do método para as equações de Saint-Venant é parecido, exceto pela dependência de c com Hm, o que exige uma simplificação adicional em relação aos condutos forçados.
Considera-se as equações de Saint-Venant escritas com a forma não conservativa, como apresentado a seguir: 0 x V H x h V t h m (25)
Io If
g x h g x V V t V (26)Seguindo os procedimentos usuais para o desenvolvimento do método, a equação da continuidade é multiplicada por e somada à equação da quantidade de movimento, resultando em:
o f
m x gI I h g x V V t V x V H x h V t h (27)Com o intuito de identificar as derivadas materiais de h e V, os termos desta equação foram reagrupados resultando em:
m
g
Io If
x h g V t h x V V H t V (28) ou
Io If
g dt dh dt dV (29)A equação anterior permite concluir que:
m m m 2 m H / g H / g H g V H g V dt dx (30)
Com este resultado, verifica-se que dx/dt pode ser igual a cada um dos autovalores da matriz convectiva do sistema hiperbólico:
1 m gH V dt dx (31) 2 m gH V dt dx (32)
Ao substituir os valores de na equação 29, obtém-se duas equações diferenciais ordinárias válidas ao longo das características:
1 f o m dt dx I I g dt dh H g dt dV : C (33)
2 f o m dt dx I I g dt dh H g dt dV : C (34)Assim como ocorre no problema de condutos forçados, as equações diferenciais parciais válidas para o plano espaço-tempo foram substituídas por duas equações diferencias ordinárias que devem ser integradas ao longo das curvas características. Do ponto de vista matemático, a diferença básica entre as equações está no fato de que os primeiros elementos dos autovetores da matriz convectiva do sistema formado pelas equações de Saint-Venant são funções de uma das variáveis dependentes, especificamente de y, uma vez que Hm=A/B e A=A(h). A matriz convectiva das equações para condutos forçados possui autovetores que não incluem quaisquer das variáveis dependentes.
Lembrando que V g H V
A m , o seu primeiro autovetor, com componentes e é definido de modo que:
1 2 1 1 m 1 2 1 1 m gH V V g H V (35)Portanto, é permitido escrever:
1 g H gH V 1 g H V g H V m m m m (36)De modo similar, determina-se o segundo autovetor. Como conclusão, verifica-se que os autovetores são funções de y, uma das variáveis dependentes do sistema:
1 g Hm 1 (37) 1 g Hm 2 (38)
Integrando as equações 33 e 34 ao longo das curvas características, vem
P A f o P A m P A dt I I g dh H g dV (39)
P B f o P B m P B dt I I g dh H g dV (40)Uma vez que Hm depende de h, assim como If, que também depende de V, deve-se empregar alguma aproximação para calcular as integrais. Como no caso de condutos forçados, assume-se que os valores de V e h em A e B (que correspondem ao tempo anterior) são válidos ao longo de AP e BP. Integrando, obtém-se:
h h
g
I I
t H g V V p A o f A mA A p (41)
h h
g
I I
t H g V V p B o f B mB B p (42)Para simplificar a escrita, as quantidades conhecidas (em A e B) podem ser agrupadas em duas constantes:
A mA A f o A h H g t I I g V C (43)
B mB B f o B h H g t I I g V C (44)Substituindo C+ e C- nas equações 41 e 42 e utilizando a definição de celeridade para este problema, pode-se escrever:
p A p h c g C V (45) p B p h c g C V (46)
As formas anteriores são normalmente utilizadas em programas computacionais. Entretanto, deve-se destacar que se houverem soluções, no sentido fraco, descontínuas, as equações não fornecem resultados corretos.
Método de MacCormack com viscosidade artificial
O esquema de MacCormack (1969) é um método do tipo preditor corretor de dois passos que possui acurácia de segunda ordem tanto no tempo quanto no espaço. Este método é capaz de
capturar ondas de choque e foi empregado por Gharangik e Chaudhry (1991) para analisar escoamentos não permanentes unidimensionais em canais. Além do seu uso para identificar a ocorrência de ressaltos hidráulicos, o trabalho de Anderson (1995), por exemplo, também apresenta aplicações ligadas à simulação de ondas de choque normais em bocais convergente-divergentes, ondas de expansão (leque de rarefação) e ondas de choque bidimensionais em placa plana. O desenvolvimento do código com este método é relativamente simples e segue os seguintes passos:
1) Preditor. Adota-se uma aproximação avançada para a derivada espacial para calcular a derivada temporal no instante n e, em seguida, utiliza-se esta derivada para calcular q em t+t. O resultado obtido desta forma é identificado com uma barra superior.
n i n i n 1 i n s x f f t q (47) t t q q q n n i 1 n i (48)
2) Corretor. O valor predito calculado é utilizado para calcular a derivada temporal de q em n+1. Para tanto, adota-se uma discretização atrasada para a derivada espacial. Esta alternância entre derivadas avançadas e atrasadas produz um método de segunda ordem. Com este resultado, efetua-se uma média entre as derivadas temporais calculadas em n e n+1 para que seja realizado o cálculo final de q em n+1.
1 n i 1 n 1 i 1 n i 1 n s x f f t q (49) t t q t q 2 1 q q 1 n n n i 1 n i (50) Viscosidade artificial
A solução obtida por um esquema de diferenças finitas possui erros dissipativos se o termo principal do erro local de truncamento possui ordem par. Se este erro possui um termo principal com ordem ímpar, então o esquema passa a ter erros dispersivos. Os erros dispersivos normalmente produzem oscilações nos resultados junto a ondas íngremes, o que pode provocar instabilidade numérica. Com o intuito de corrigir esta falha, utiliza-se normalmente limitadores de fluxo ou, de forma mais simplificada, uma viscosidade artificial, que neste texto é dada pela seguinte equação (Anderson, 1995, p.363):
n
1 i n i n 1 i n 1 i n i n 1 i n 1 i n i n 1 i x n i q 2q q y y 2 y y y 2 y C S (51)em que Cx é um parâmetro arbitrário adimensional. Valores típicos para Cx estão compreendidos no intervalo 0,01 a 0,3 (Anderson, 1995, p.238) para o caso de escoamento supersônico em bocais. Existem diferentes formulações para a viscosidade artificial. Esta escolha foi feita com base na experiência obtida com a solução do problema de localização de uma onda de choque normal no interior de um bocal convergente-divergente. De acordo com LeVeque (2004, p.72), os primeiros a propor este tipo de técnica foram von Neumann e Richtmyer. O uso da viscosidade artificial altera o método de MacCormack para a seguinte forma:
1) Preditor. Deve-se somar a viscosidade calculada no tempo n quando for calculado q no passo preditor. Para o cálculo de cada componente q em n+1, deve-se somar a componente S correspondente (nota-se que há consistência dimensional nesta soma):
n i n n i 1 n i t t S q q q (52)
2) Corretor. deve-se somar a viscosidade calculada com base nos valores obtidos no passo preditor. n i 1 n n n i 1 n i t t S q t q 2 1 q q (53)
CONSISTÊNCIA, ESTABILIDADE E CONVERGÊNCIA
Um esquema numérico de discretização deve ser consistente com a equação diferencial original, estável e convergente. A consistência de uma equação na forma discreta existe se o erro de truncamento tende a zero quando os espaçamentos da malha tendem a zero. Este é um aspecto importante, pois um dos requisitos para haver convergência do método numérico é a consistência. O segundo requisito necessário para que ocorra convergência é a estabilidade. Este é um conceito de grande relevância e que é bastante empregado em hidráulica computacional, como em problemas que requerem a solução das equações do golpe de aríete e Saint-Venant. Um método numérico é estável se os erros ou perturbações presentes na solução não crescem sem limites. Esse tal crescimento descontrolado pode produzir números que atingem os limites da máquina, com valores irreais como 10200, por exemplo. Condições de contorno ou iniciais incorretas podem ser responsáveis por este tipo de erro, assim como o acúmulo de erros de arredondamento ocorrido durante o processamento. Se as condições de contorno e iniciais forem corretas, o acúmulo de erros de arredondamento passa a ser o responsável por uma possível instabilidade de um método numérico. Para uma discretização consistente, se o refinamento progressivo da malha produz resultados que se aproximam da solução analítica da EDP, diz-se que há convergência. De acordo com o teorema da equivalência de Lax, pode-se escrever que um esquema numérico consistente é convergente se e somente se ele for estável (ver prova em Dautray e Lions, 2000, p.37).
Estabilidade e o método de Lax-Friedrichs
Embora a metodologia analítica para análise de estabilidade seja bem conhecida para problemas lineares, considera-se válido explorá-la neste trabalho com uma aplicação direta às equações de Saint-Venant linearizadas. A discussão é desenvolvida com base no esquema de discretização centrado e, em seguida, com o esquema numérico de Lax-Friedrichs. O método de Lax-Friedrichs é uma variação sutil e necessária do esquema centrado. No esquema centrado, as derivadas espaciais são aproximadas por diferenças finitas centradas de segunda ordem no instante “n” e as temporais por diferenças finitas avançadas de primeira ordem na posição “i”, como apresentado a seguir:
x 2 ) q ( f ) q ( f x ) q ( f in1 in1 (54) t q q t q n i 1 n i (55)
Há um grave problema com a escolha das aproximações 54 e 55 para os sistemas hiperbólicos de um modo geral, que é a instabilidade numérica. Para um sistema hiperbólico linear é possível provar que o esquema centrado é incondicionalmente instável. Com o intuito de verificar a estabilidade de um método numérico, normalmente é utilizada a análise de estabilidade de von Neumann. Como o sistema deve ser linear para que essa análise seja empregada, considera-se um estado de referência “0” que permite definir h = h0 + y e V = V0 + v, em que h0 e V0 são constantes e y e v são perturbações em torno desses valores constantes. Inicialmente, empregando a regra do produto e desprezando os termos fonte, as equações para águas rasas são reescritas na forma não-conservativa, como apresentado a seguir: 0 x h g x V V t V 0 x h V x V h t h (56)
Substituindo as definições anteriores para h e V na equação 5 e eliminando as derivadas de constantes, obtém-se: 0 x y g ) x v v x v V ( t v 0 ) x y v x y V ( ) x V y x v h ( t y 0 0 0 (57)
Desprezando os termos que envolvem produtos de flutuações, o sistema é linearizado, assumindo a seguinte forma:
0 x y g x v V t v 0 x y V x v h t y 0 0 0 (58)
Aproximada com o esquema centrado, a equação 58 pode ser escrita da seguinte maneira:
0 v y x 2 t V x 2 t g x 2 t h x 2 t V v y x 2 t V x 2 t g 2 x t h x 2 t V v y 1 0 0 1 v y 1 0 0 1 n 1 i 1 i 0 0 0 n 1 i 1 i 0 0 0 n i i 1 n i i (59)
A aplicação do método de von Neumann requer a identificação das matrizes A e B
presentes na seguinte relação:
T Un 1 B T Un A (60)em que: TU é um operador de translação. Para a equação 59, as matrizes são:
1 0 0 1 A0 , 1 0 0 1 B0 , x 2 t V x 2 t g 2 x t h x 2 t V B B 0 0 0 1 1 .
Note-se que = -1 corresponde à posição i-1 da malha espacial, = 0 ao índice i e = 1 ao índice i+1. Para n+1 identifica-se as matrizes A e para o instante n as matrizes B. O próximo passo consiste em calcular o símbolo do esquema numérico, definido como:
exp(Ik ) B exp(Ik ) A ) k ( S 1 (61)em que: S(k) = símbolo ou raio espectral, k Rm e I = unidade imaginária. Substituindo as matrizes, obtém-se: ) e e ( x 2 t V x 2 t g 2 x t h x 2 t V 1 0 0 1 ) k ( S Ik Ik 0 0 0 (62)
1 Isenk x t V Isenk x t g Isenk x t h 1 Isenk x t V ) k ( S 0 0 0 (63)
Se o módulo de um dos autovalores do símbolo for maior do que a unidade o esquema é instável. Sendo assim, é necessário calcular os autovalores de S(k), o que pode ser feito com a solução da função característica.
1 Isenk gh V x t 1 Isenk gh V x t )] k ( S [ autov k sen I x t gh )] k ( S [ autov 1 Isenk x t V 0 0 0 0 2 2 2 2 0 2 0 (64)Nota-se na equação 64 a definição do número de Courant (Cn):
0 0
n V gh x t C (65)Teorema 1. O esquema numérico centrado é incondicionalmente instável. Prova. |autov[S(k)]|>1 Cn.
A partir dessa conclusão de cunho geral, de que o esquema centrado não é adequado para as equações linearizadas, verifica-se que o problema não linear não pode se utilizar desse esquema. O método de Lax e Friedrichs, já mencionado, altera o esquema centrado com o uso da seguinte aproximação para a derivada temporal:
t ) q q ( 2 1 q t q in1 n 1 i n 1 i (66)
Seguindo os mesmos procedimentos, é possível demonstrar a condição de estabilidade do método de Lax-Friedrichs. O sistema de EDP’s linearizado e discretizado com este método assume a seguinte forma:
0 v y 5 , 0 x 2 t V x 2 t g 2 x t h 5 , 0 x 2 t V v y 5 , 0 x 2 t V x 2 t g 2 x t h 5 , 0 x 2 t V v y 1 0 0 1 n 1 i 1 i 0 0 0 n 1 i 1 i 0 0 0 1 n i i (67) Portanto, o símbolo é:
k cos Isenk x t V Isenk x t g Isenk x t h k cos Isenk x t V ) k ( S 0 0 0 (68)
Calculando os seus autovalores, obtém-se:
k cos gh V x t Isenk k cos gh V x t Isenk )] k ( S [ autov 0 0 0 0 (69)Teorema 2. O método de Lax-Friedrichs é estável se Cn < 1.
Prova. O módulo do segundo autovalor de S(k) é:
1 C 1 1 ) 1 C ( k sen k cos k sen C )] k ( S [ autov 2 n2 2 2 2 2n n
Sob a forma de gráfico, a Figura 2 ilustra o comportamento de |autov[S(k)]| para diferentes números de Courant. Uma descrição detalhada do método de análise empregado pode ser encontrada em Dautray e Lions (2000) e, uma abordagem ligeiramente diferente, em Chaudhry (2008, p.392).
Figura 2 – Comportamento de |autov[S(k)]| em função de Cn
CONDIÇÕES E INICIAIS E DE CONTORNO
As condições iniciais para um dado problema de escoamento variável em canais podem ser estabelecidas com a equação diferencial ordinária que representa o escoamento permanente e gradualmente variado (equação 70):
2 f o Fr cos I I dx dy (70)
Se a profundidade é conhecida em todos os pontos do domínio no instante inicial, também é possível especificar as velocidades. Para um caso simples em que s=0, os invariantes de Riemann são conhecidos ao longo das características, pois são funções de V e y
0 0,4 0,8 1,2 0 1 2 3 |au tov[ S (k )] | k Cn = 0,25 Cn = 0,50 Cn = 0,75 Cn = 1,0 Cn = 1,2
apenas. Isto dá a opção de especificar V ou y ao longo das características em qualquer ponto, sendo a outra variável calculada com os invariantes de Riemann. Impor as condições iniciais desta forma tem a vantagem de aproximar o problema da realidade física. Pode haver casos em que o interesse maior não é o de obter uma solução em regime variável, mas sim em regime permanente. Em uma situação como esta, a solução da equação 70 seria suficiente se não houvesse descontinuidade. Havendo descontinuidades, pode ser vantajoso integrar as equações de Saint-Venant em suas formas conservativas até o estado estacionário e, como condição inicial, não é estritamente necessário o uso da solução da equação diferencial ordinária.
Os autovalores calculados anteriormente indicam de que maneira as condições de contorno devem ser estabelecidas. Observando as diferentes possibilidades, conclui-se que, se o escoamento for subcrítico, 1>0 e 2<0. Isto significa que apenas uma variável primitiva deve ser fixada no contorno, enquanto a outra pode flutuar livremente em função do que ocorre no domínio, sendo isto feito por meio de extrapolação ou com o uso das equações obtidas com o método das características. Se Fr>1, 1>0 e 2>0, o que implica impor valores para as duas variáveis se este regime ocorrer na entrada. Se o escoamento for supercrítico na saída, V e y são calculadas com extrapolação ou com as equações desenvolvidas com o método das características. Se a característica aponta para dentro do domínio a variável deve ser imposta, enquanto que, se a característica aponta para fora do domínio, a variável deve ser deixada livre para assumir valores que estejam relacionados à solução do problema nos nós próximos ao contorno.
Algumas condições de contorno típicas de problemas de engenharia podem ser encontradas em Chaudhry (2008, p.375-376). A presença de um reservatório na extremidade de montante do sistema pode ser tratada com a equação da energia, resultando na seguinte relação entre y e V:
g 2 V K 1 h h 2 1 n 1 res 1 n 1 (71)Esta equação é obtida considerando-se uma distribuição de pressões hidrostática e a ocorrência de perda de carga localizada na entrada do reservatório, com coeficiente K. Para calcular a velocidade no instante n+1, utiliza-se a característica negativa. Se a perda de carga e a energia cinética forem desprezadas, não há necessidade de resolver a equação do segundo grau.
Figura 3 – Reservatório na extremidade de montante Fonte: Chaudhry (2008)
Para um reservatório situado no contorno de jusante, a equação da energia, considerando que há dissipação localizada, resulta em:
g 2 V K 1 y y 2 1 n Nx res 1 n Nx (72)Para um contorno deste tipo, a característica positiva deve ser empregada para fechar o sistema de equações do contorno. Uma comporta pode ser modelada com a seguinte equação:
1 n Nx c d 1 n Nx C A 2gy Q (73)
em que: QNxn+1=vazão através da comporta no instante futuro (n+1) e no último nó do domínio, ou seja, em Nx, Cd=coeficiente de vazão, Ac=área de abertura da comporta e yNxn+1 a altura desde o fundo até a superfície livre imediatamente a montante da comporta. Neste caso a equação característica positiva deve ser empregada para fechar o sistema de equações no contorno.
Outros exemplos de condições de contorno são apresentados a seguir, na Figura 4. Na extremidade a montante, a abertura da comporta é inferior à altura crítica e, portanto, o escoamento é supercrítico. Nesta posição as características são positivas e “transportam” informações para dentro do domínio, o que exige a imposição de valores para h e V. Na extremidade direita, após o ressalto hidráulico, apenas uma característica aponta para dentro do domínio. Sendo assim, uma variável é fixada e a outra deve ficar livre para flutuar, sendo calculada por extrapolação ou com a característica positiva.
Figura 4 – Condições de contorno com escoamento supercrítico a montante e subcrítico a jusante.
APLICAÇÕES
Foram desenvolvidos códigos que funcionam em Matlab® ou, com poucas adaptações, em outras linguagens de programação, especialmente no software GNU Octave (uma versão gratuita muito parecida com o Matlab®). Os exemplos apresentados foram calculados tendo como ponto de partida o conjunto de códigos HidráulicaEESC (Simões et al., 2010a,b), que no estágio atual utiliza os métodos de Lax-Friedrichs, MacCormack, Richtmyer-Lax-Wendroff e o método das características para problemas hiperbólicos.
Exemplo 1: Ruptura de reservatório em domínio com fronteiras impermeáveis
Este item tem como objetivo apresentar o resultado de uma simulação para o caso em que as fronteiras do domínio são impermeáveis. Esta condição de contorno é imposta com V=0 e h calculado com extrapolação. Como conseqüência, espera-se que o fluido oscile no interior do domínio. Algumas imagens obtidas com o método de Lax-Friedrichs podem ser
vistas a seguir, na Figura 5. Com o código SV_Lax_Friedrichs_p_imp é possível acompanhar a evolução da posição da superfície livre por meio de uma animação das soluções em cada instante. Para esta simulação foi considerado que não há resistência (f=0). Simulações com f≠0 produzem resultados coerentes com a física do problema, assim como para o caso de declividade de fundo diferente de zero. Os valores para as condições iniciais e demais informações para este problema encontram-se listadas no referido código, que pode ser obtido no endereço http://stoa.usp.br/hidraulica/files/.
Figura 5 – Evolução da superfície livre. Instantes: 0; 0,063; 0,35; 0,56; 1,05; 1,68 [s]. Dados: x=0, 02 m, t=7E-4 s, f=0, max(max(Cn))=0,97.
Exemplo 2: Ressalto hidráulico
Considerações gerais sobre o fenômeno
Para uma onda positiva que se desloca para montante em um canal com seção transversal retangular, a partir das equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear, pode-se demonstrar que a relação entre a velocidade do escoamento com a velocidade de propagação da onda e com as alturas do líquido antes (h1) e depois da onda (h2) é dada pela seguinte equação (Massey, 2002, p.629-631; Porto, 2006, p.459-460):
2 h / h 1 gh c V1 2 2 1 (74)
em que os subscritos 1 e 2 identificam as variáveis antes e depois da onda.
Não é difícil verificar experimentalmente que, para dadas condições, a onda pode estar parada com relação ao leito do canal, ou seja, c=0. Uma onda estacionária deste tipo é conhecida como ressalto hidráulico, fenômeno que ocorre na passagem de um escoamento com Fr>1 (supercrítico) para um escoamento com Fr<1 (subcrítico). Isto pode ser constatado com a equação 74, reescrita para c=0:
2 h / h 1 h h Fr gh V 2 h / h 1 h h gh V 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 (75)
Já que h2/h1 é sempre maior que a unidade, Fr1>1, o que caracteriza escoamento supercrítico. Uma análise semelhante, utilizando a equação 74 e a equação da continuidade, permite provar que Fr2<1.
O escoamento supercrítico a montante pode ser estabelecido sob diferentes condições. Um exemplo típico é a situação na qual o escoamento no início de um canal horizontal é
0 5 10 0 5 10 15 20 25 0 5 10 5 10 15 20 25 0 5 10 0 5 10 15 20 25 0 5 10 0 5 10 15 20 25 0 5 10 0 5 10 15 20 25 0 5 10 0 5 10 15 20 25
estabelecido a partir de um escoamento proveniente de um canal de forte declividade e com curva de remanso do tipo S2 (hcrítico>h>huniforme). Outra situação é aquela na qual o fluido é descarregado em um canal, com elevada velocidade, por baixo de uma comporta. Neste texto foi simulado o caso em que o escoamento subcrítico em um canal horizontal encontra uma protuberância no fundo. Isto pode ocasionar a passagem do regime subcrítico para o supercrítico (em alguma posição sobre a protuberância o regime é crítico). Contudo, o regime supercrítico produzido por um destes meios não pode persistir indefinidamente, em um canal cuja declividade de fundo seja insuficiente para sustentá-lo. Para uma dada vazão, a rugosidade dos contornos e a declividade do canal determinam o valor da altura correspondente ao regime uniforme no canal. Para um canal de fraca declividade, essa altura é superior à profundidade crítica, condição que caracteriza o escoamento subcrítico.
Em um canal horizontal no qual as condições de entrada são supercríticas, as profundidades são crescentes ao longo de x (perfil do tipo H3). À medida que a profundidade do escoamento supercrítico aumenta, o ramo inferior do diagrama de energia específica é seguido da direita para esquerda, ou seja, a energia específica diminui. Para prosseguir com o aumento da profundidade até ser alcançado o nível crítico, seria necessário um aumento de energia específica, para obter um acréscimo adicional na profundidade, até o valor correspondente às condições de equilíbrio a jusante. Entretanto, em tais circunstâncias, o aumento de energia específica é inviável. Na condição de escoamento uniforme a energia específica permanece uniforme e a energia total diminui a uma taxa que corresponde à declividade do canal. Para qualquer h inferior à altura de equilíbrio, a velocidade é superior e, como conseqüência, os efeitos dissipativos consomem energia a uma taxa maior que a da diminuição de energia potencial. Em outros termos, o gradiente de energia é maior que a declividade de fundo e a energia específica deve diminuir. O resultado desta argumentação diz que o ressalto se forma antes de ser alcançada a altura crítica, de modo que o equilíbrio seja atingido após o ressalto. Ele representa uma descontinuidade na qual a relação simples da energia específica é temporariamente inválida porque as linhas de corrente deixam de ser retilíneas e paralelas ao longo do ressalto, principalmente ao longo do rolo do ressalto. Nesta estrutura o escoamento é altamente turbulento e, como conseqüência, há uma considerável dissipação de energia. Além disto, em função da agitação na superfície e do movimento relativo entre o rolo e o escoamento supercrítico imediatamente antes do rolo, ocorre considerável entrada de ar no meio líquido, tornando o escoamento bifásico ao longo do ressalto. As imagens da Figura 6 ilustram alguns aspectos físicos comentados anteriormente.
Figura 6 – Ressalto hidráulico em canal retangular. A primeira imagem mostra o canal utilizado nos experimentos que, naquela ocasião, estava com um degrau de fundo para estabelecer o escoamento subcrítico a montante e supercrítico a jusante. A formação do ressalto foi conseguida com a elevação da soleira existente na extremidade final do canal. As três imagens seguintes ilustram a elevada turbulência e a característica bifásica. A
última imagem contém resultados experimentais para a profundidade subcrítica na posição x correspondente à altura h=y indicada na foto (Laboratório de Hidráulica da Escola de Engenharia de São Carlos, USP).
Simulação da posição de um ressalto hidráulico
Com a breve exposição apresentada anteriormente sobre o fenômeno físico em questão pretendeu-se evidenciar que as hipóteses atreladas às equações Saint-Venant não são verdadeiras para o caso do ressalto. Apesar disto, é interessante notar que este modelo matemático é capaz de prever a ocorrência deste fenômeno e calcular a sua posição em um dado canal. Os resultados assim obtidos serão mais próximos dos resultados reais se forem
conseguidos ajustes adequados para o fator de resistência de Darcy-Weisbach, além do uso de uma malha e um método numérico apropriado.
Geometria do canal e condições iniciais
A geometria adotada para a simulação pode ser vista a seguir na Figura 7. O início do canal possui fundo variado definido por meio da seguinte função:
1 2 x sen 2 z x z (76)em que z é a altura máxima do fundo em relação ao trecho horizontal. A declividade de fundo é calculada por:
2 x cos 2 z dx x dz x Io (77)Figura 7 – Geometria do canal
As condições iniciais podem ser calculadas com a equação 70 ou escolhidas pelo usuário. Para utilizar esta equação, sugere-se o uso do método de Runge-Kutta de 4ª ou 5ª ordem. A Tabela 1 ilustra uma possível maneira de definir a geometria e as condições iniciais. Para a simulação deste exemplo, em t = 0 a água está parada no canal e com profundidade igual a 1,0 m.
Tabela 1 – Definição da geometria e condições iniciais
%Condições Iniciais e geometria (no código, h = y):
n=1; for i=1:Nx %Geometria: x(1,i)=(i-1)*dx; if x(1,i)<=2*pi zx(1,i)=0.5*dz*(sin(x(1,i)-pi/2)+1);
Io(1,i)=-0.5*dz*cos(x(1,i)-pi/2);%Lembrando que Io=-dz/dx.
else zx(1,i)=0; Io(1,i)=0; end q1(i,n)=1-zx(1,i); V(i,n)= 0;%q/y(i,n); q2(i,n)=y(i,n)*V(i,n); f1(i,n)=q2(i,n); f2(i,n)=q2(i,n)*abs(q2(i,n))/q1(i,n)+0.5*g*q1(i,n)^2; J2(i,n)=g*q1(i,n)*Io(1,i)- f*(q2(i,n)/q1(i,n))*abs(q2(i,n)/q1(i,n))/8;
Fr(i,n)=V(i,n)/((g*y(i,n))^0.5); c(i,n)=(g*y(i,n))^0.5;
Cn(i,n)=(abs(V(i,n))+c(i,n))/(dx/dt); End
Simbologia:
f= fator de resistência de Darcy-Weisbach; Fr=número de Froude;
c=celeridade;
Cn=número de Courant;
yp=profundidade em regime permanente.
Condições de contorno
Os autovalores calculados anteriormente indicam de que maneira as condições de contorno devem ser estabelecidas. Observando as referidas equações, reescritas a seguir na forma adimensional, conclui-se que, se o escoamento for subcrítico, 1>0 e 2<0. Isto significa que apenas uma variável primitiva deve ser fixada no contorno, enquanto a outra pode flutuar livremente em função do que ocorre no domínio, sendo isto feito por meio de extrapolação ou com o uso da equação característica correspondente. Se Fr>1, tem-se 1>0 e 2
>0, o que implica impor valores para as duas variáveis se este regime ocorrer na entrada. Se o escoamento for supercrítico na saída, V e h são calculadas de acordo com o que ocorre no interior do domínio. Se a característica aponta para dentro do domínio a variável deve ser imposta, enquanto que, se a característica aponta para fora do domínio, a variável deve ser deixada livre para assumir valores que estejam relacionados à solução do problema nos nós próximos ao contorno (razão pela qual é empregada extrapolação). Estas mesmas idéias são empregadas no cálculo de escoamentos supersônicos em bocal convergente-divergente, por exemplo. Neste tipo de problema, o número de Mach é análogo ao número de Froude e o problema possui três autovalores, pois há três equações (conservação de massa, quantidade de movimento e conservação de energia).
1 Fr c 1 (78) 1 Fr c 2 (79)
Resultados: método de Lax-Friedrichs
Resultados obtidos com o método de Lax-Friedrichs podem ser vistos a seguir, na Figura 8. A primeira imagem (figura 8a) mostra a forma da superfície livre e o número de Froude no domínio para t=30 s e resistência nula. Assim como no problema de ruptura do reservatório (exemplo 1 deste texto), a descontinuidade esperada foi suavizada pelo efeito difusivo inerente ao método numérico empregado. Aspectos consistentes são observados nas imagens, como uma superfície uniforme ao longo de x nas regiões após a elevação de fundo e o choque, já que f=0. Além disto, nas proximidades da crista da saliência, a profundidade
resultou próxima da crítica (ou Fr1). A Figura 8b contém os resultados para f=0,1 e ilustra o efeito da dissipação de energia na posição do ressalto e na forma da superfície livre a jusante dele, que é uma curva do tipo H2 (curva para a qual h>hc em canal horizontal). Para visualizar a evolução de h o código exibe uma animação dos resultados após a conclusão de todos os cálculos.
(a)
(b)
Figura 8 – Ressalto hidráulico (Lax-Friedrichs): (a) f=0, max(max(Cn))=0,97; (b) f=0,05, max(max(Cn)) = 0,97. Dados: y=h; L=20 m, x=0,025 m, t=0,002 s, t=30 s, q=9,0 m2/s, z=0,4 m, g=9,8 m/s2
.
Resultados: método de MacCormack
A posição do início do ressalto hidráulico calculada com o método de MacCormack foi semelhante a aquela obtida com o método de Lax-Friedrichs, como ilustrado na Figura 9a,b. Observa-se na Figura 9c o efeito dispersivo do método, por meio de um detalhe extraído da Figura 9b. Apesar de tais oscilações, o método reproduziu a descontinuidade com uma qualidade superior à obtida por Lax-Friedrichs. O uso de viscosidade artificial com Cx=0,6 não eliminou completamente a dispersão numérica, mas foi capaz de reduzir consideravelmente o seu efeito em relação a Cx=0.
(a) (b) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 x [m] X: 3.15 Y: 0.994 y [m] Fr Fundo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3
(c)
Figura 9 – Ressalto (MacCormack): (a) f=0, max(max(Cn))=0,98; (b) f=0,05, max(max(Cn)) = 0,98. Dados: L=20 m, x=0,0286 m, t=0,0023 s, t=30 s, Cx=0,6, q=9,0 m2/s, z=0,4 m, g=9,8 m/s2
. Notação semelhante à da Figura 8.
Formação de ressalto hidráulico (Método de MacCormack) – evolução temporal
O código desenvolvido é capaz de simular a formação do ressalto hidráulico de acordo com a descrição física exposta anteriormente. Ou seja, consegue-se acompanhar a evolução temporal da formação do ressalto. Para esta simulação, a elevação de fundo, dada pela equação 76, foi posicionada de acordo com a Figura 10. Nesta figura também é indicado o perfil da superfície livre e h(t=0,x)=y. Nota-se que antes e depois da elevação o perfil da superfície livre é do tipo H3, que é caracterizado por profundidades crescentes ao longo de x em um canal horizontal.
Figura 10 – Geometria e condições iniciais
Dados: z=0,4 m, q = 9 m2/s, f=0,10, x=0,10 (unidades: SI)
Para uma condição inicial como esta, se forem fixados os valores de q e h nos contornos como sendo iguais aos valores em t=0, espera-se que o código forneça o mesmo perfil da superfície livre (exceto por pequenos erros decorrentes das diferentes ordens dos métodos). Assim, é necessário introduzir uma perturbação do sistema para que ocorra a formação do ressalto. A alternativa adotada para este exemplo foi reduzir a vazão específica para 0,7q. Durante a solução, os sinais dos autovalores devem ser verificados para que as condições de contorno sejam impostas corretamente. No contorno esquerdo, se o número de Froude for maior do que a unidade, a profundidade e a velocidade são impostas com valores fixos. Caso contrário a profundidade é avaliada com extrapolação e a vazão permanece fixa. No contorno direito, se Fr>1, h=q1 e q2 são calculados com extrapolação. Se Fr<1, q1 = constante e q2 é extrapolada. A imposição das condições de contorno seguindo este critério está baseada na análise das características, como discutido anteriormente. Para verificar a mudança no sinal dos autovalores, foi utilizado o número de Froude, baseado no que ocorre nas adjacências dos contornos. Como ilustrado na Figura 11, a alteração na vazão faz com que apareça uma onda (ressalto) a partir da elevação de fundo e que se desloca para trás e um ressalto a jusante da elevação. Para visualizar a evolução da superfície livre, o código SV_MacCormack_HJ_FM permite observar a animação dos resultados.
5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 2.5 2.6 2.7 2.8 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 x [m] y+z y Fundo
Figura 11 – Evolução temporal da formação do ressalto hidráulico. Instantes: 0;0,77;3,85;6,15;16,9;29,23;100 [s]. Dados: z=0,4 m, q = 9 m2/s, f=0,10, x=0,10, t=0,0077, Cx=0,6. 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 x [m] y(t=100,x) Fr Fundo
EQUAÇÃO DE ÁGUAS RASAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
A equação para o caso de águas rasas pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas com o intuito de resolver problemas com simetria radial, como a simulação de um ressalto hidráulico circular, o enchimento de um reservatório e a ruptura de um reservatório cilíndrico. As equações para águas rasas escritas sem termos fonte, ao serem transformadas para o sistema cilíndrico são reduzidas a um sistema unidimensional, porém, com dois termos fonte oriundos da mudança de coordenadas. Sendo r a coordenada radial, o sistema de equações assume a seguinte forma:
Momentum r huu gh 2 1 hu hu de Continuida r hu hu h r 2 2 t r t (80)A forma vetorial desta equação é:
s r f t q (81) em que: 2 1 q q hu h q (82) 2 2 gh 2 1 hu hu f (83) r q q q r q r huur hu s 1 2 2 2 (84)
O vetor fluxo pode ser escrito em termos das componentes q1 e q2 da seguinte maneira:
2 1 1 2 2 2 gq 2 1 q q q f (85)
Observa-se que o vetor fluxo para o presente caso possui a mesma forma do vetor fluxo para o caso unidimensional. Portanto, os autovalores para o problema unidimensional e para o problema bidimensional com simetria radial são idênticos.
Exemplo 3: Enchimento de um reservatório cilíndrico
O código que resolve as equações para o preenchimento de um reservatório cilíndrico é semelhante aos demais, exceto pelas condições de iniciais e de contorno. As condições iniciais são h(x,0) = 18 m para x < 0,2 m, h(x,0) = 0,5 m para x > 0,2 m, h(0,2, 0) = (18+0,5)/2 e velocidade nula em toda parte. Em r=0 as condições de contorno são as mesmas dos problemas anteriores e em r=L a profundidade é interpolada com a condição de parede sólida, ou seja, velocidade igual a zero. O código é denominado enchimento_L_F, sendo que uma coletânea de resultados para diferentes instantes pode ser vista na Figura 12.
Figura 12 – Evolução da profundidade da água no reservatório
Dados: t = 0; 0,3191; 0,6383; 3,1915; 30 [s]; Nt=4701, t = 0,0064 s, Nx = 51, x = 0,1 m, L = 5 m, tt = 30 s, max(Cn) = 0,9678, código enchimento_L_F.
EQUAÇÕES DE ÁGUAS RASAS EM DUAS DIMENSÕES
Para obtenção do modelo bidimensional conhecido como equações para o caso de águas rasas em 2D ou equações de Saint-Venant em 2D, as equações de N-S e continuidade são integradas ao longo da vertical. Adicionalmente, considera-se que a aceleração vertical do fluido é nula, ou seja, Dw/Dt=0, em que w é a componente vertical da velocidade. Como resultado de tal integração, se forem desprezados os efeitos viscosos e para o caso de um canal com fundo plano, o sistema obtido é:
Momentum 0 gh 2 1 hv huv hv 0 huv gh 2 1 hu hu de Continuida 0 hv hu h y 2 2 x t y x 2 2 t y x t (86)em que: u=velocidade na direção x e v a velocidade na direção y, h é a profundidade do escoamento e g=aceleração da gravidade. Estas equações carregam a hipótese de distribuição hidrostática de pressões, assim como no caso 1D.
Neste caso, o sistema de equações 86 pode ser escrito na forma vetorial como apresentado a seguir:
0 y g x f t q (87) em que: 2 2 2 2 gh 2 1 hv huv hv q , huv gh 2 1 hu hu f , hv hu h q
Pode-se verificar que:
2 1 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 2 1 1 2 2 2 gq 2 1 q / q q / q q q g , q / q q gq 2 1 q / q q f
Reescrevendo as equações na forma quase linear (ou não conservativa), é possível calcular os autovalores da matriz convectiva, obtendo-se:
x a associados termos os para , 3 2 1 c u u c u x x x (88) y a associados termos os para , 3 2 1 c v v c v y y y (89)
Os mesmos resultados são obtidos calculando-se os autovalores das matrizes Jacobianas de f(q) e g(q).
Exemplo 4: ruptura de barragem
O uso do método de Lax-Friedrichs para o caso bidimensional é feito seguindo o mesmo princípio de utilizar um valor médio, porém, levando em conta os quatro nós adjacentes ao nó i,j, ou seja, (1/4)(qi+1,j+qi-1,j+qi,j+1+qi,j-1)n. A equação 87 na forma discreta assume a seguinte forma:
n 1 j , i n 1 j , i n j , 1 i n j , 1 i n 1 j , i n 1 j , i n j , 1 i n j , 1 i 1 n j , i 2 y g g t f f x 2 t q q q q 4 1 q (90)As condições de contorno utilizadas para este problema incluem extrapolações de primeira ordem para a profundidade h e para as componentes da velocidade que são tangenciais às paredes. As velocidades normais são iguais a zero com o intuito de reproduzir as próprias paredes. A Figura 13 contém resultados obtidos com o código ruptura_2D_L_F,
para diferentes instantes. É interessante notar que as ondas se propagam de modo simétrico, o que mostra coerência no funcionamento do código, razão pela qual foram escolhidas duas barragens com características iguais e eqüidistantes em relação à diagonal do domínio. Outras formas de visualizar os resultados estão disponíveis no código desenvolvido. Entre elas, a evolução do campo vetorial de velocidades e do gráfico de contornos para uma mesma profundidade.
Figura 13 – Ruptura de duas barragens situadas nos cantos de um domínio retangular com paredes impermeáveis. Dados: Nt=2001, t = 0,01 s, Nx = Ny = 101, x = 0,1 m, Lx = Ly = 10 m, tt = 20 s, código
ruptura_2D_L_F.
Resultados obtidos com o método de MacCormack
O método de MacCormack foi utilizado para na elaboração do código MacCormack_2D_SW, cujos resultados podem ser vistos a seguir, na Figura 14. As imagens mostradas nesta Figura correspondem a t = 0,22 s e t = 2,09 s. Tal escolha permite que elas
sejam comparadas com aquelas da Figura 13. Com estas imagens é possível observar oscilações decorrentes do efeito dispersivo do esquema numérico de MacCormack.
Figura 14 – Resultados obtidos com o método de MacCormack
Dados: Nt=2001, t = 0,01 s, Nx = Ny = 81, x = y = 0,125 m, Lx = Ly = 10 m, tt = 20 s, Cz=0,2 (fator utilizado para ponderar a viscosidade artificial).
Exemplo 5: Ondas geradas pela imposição de pulsos
Outro recurso que pode ser empregado para geração de ondas é uma função denominada
pulstran, que gera ondas quadradas. O seu uso é ilustrado nos códigos
MacCormack_2D_SW_pulsos_1 e MacCormack_2D_SW_pulsos_2. A Figura 15 contém resultados obtidos com o primeiro e ilustra configurações agitadas da superfície da água em um reservatório quadrado com vinte metros de lado.
Figura 15 – Ondas formadas na superfície livre da água de um reservatório quadrado
Dados: Nt=2001, t = 0,01 s, Nx = Ny = 81, x = y = 0,25 m, Lx = Ly = 20 m, tt = 20 s, Cz=0,2, código MacCormack_2D_SW_pulsos_1.
A Figura 16 ilustra os resultados de uma simulação semelhante à anterior, porém, para um reservatório com Lx = 20 m e Ly = 40 m. Neste caso os pulsos são gerados em uma posição diferente, como indicado na primeira imagem.
Figura 16 – Ondas formadas na superfície livre da água de um reservatório retangular
Dados: Nt=2001, t = 0,01 s, Nx = Ny = 81, x = 0,25 m, y = 0,50 m, Lx = 20 m, Ly = 40 m, tt = 20 s, Cz=0,2, código MacCormack_2D_SW_pulsos_2.
CONCLUSÕES
O presente texto introduz aspectos práticos e didáticos relacionados à solução das equações de Saint-Venant em situações uni e bi-dimensionais, situações essas que são encontradas no universo de trabalho dos ramos da engenharia que se ocupam com fluidos. A série de exemplos escolhidos envolve fenômenos que podem ser denominados de abruptos (ou contendo singularidades), por envolverem descontinuidades seja no espaço (por exemplo o ressalto hidráulico), seja no tempo (por exemplo a ruptura de uma barragem). A metodologia de apresentação seguida neste texto mostra que fenômenos como esses podem ser assimilados e quantificados com razoável facilidade pelo estudante ou profissional que se depara com eles. As ferramentas de trabalho atualmente disponíveis (códigos abertos, computadores acessíveis) permitem que as complexidades matemáticas possam ser vistas como informações básicas inerentes aos fenômenos, para as quais há procedimentos de análise já conhecidos. Assim, demonstrou-se que o foco do estudante/engenheiro deve ser direcionado para o reconhecimento do tipo de singularidade com o qual se depara, para então escolher a ferramenta (numérica) que permite superar essa singularidade. O conjunto de códigos computacionais utilizados neste texto é majoritariamente aberto ao público ou de uso
amplo (largamente aplicado), o que faz com que o leitor possa facilmente reproduzir os exemplos e dominar as técnicas aqui descritas. Entende-se que esse tipo de abordagem é necessário para que o dia-a-dia da engenharia se torne mais aprazível. Note-se que não se descarta qualquer busca de soluções analíticas ou empíricas vinculadas à pesquisa dos fenômenos básicos. A pesquisa em fluidos necessita de observação e de novos pontos de vista, de forma que princípios e ferramentas matemáticas mais abrangentes possam ser desenvolvidos. Assim, a pesquisa com certeza estará modificando continuamente a nossa forma de ver os fluidos, e de resolver problemas relativos a eles. Todavia, no presente momento do nosso conhecimento, muito se consegue resolver com relativamente pouco ferramental, o que se procurou evidenciar nesse texto. Dessa forma, o presente texto valoriza o reconhecimento do problema matemático segundo seus desenvolvimentos tradicionais e busca motivar a introdução de padrões de resolução que se baseiem no uso de programas robustos e simples, sem enfatizar ao estudante/pesquisador o conjunto de detalhes que os gerou (já suficientemente testados ao longo das décadas). Os ramos da Engenharia que tratam com fluidos certamente se beneficiarão com esse tipo de aplicação mais expedita. Como mencionado, no presente estudo o universo de soluções orbitou em torno das equações de Saint Venant, mostrando que diferentes situações podem ser suficientemente bem quantificadas utilizando os mencionados programas.
REFERÊNCIAS
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