Investigação Operacional Apresentação da Cadeira Agosto 2019

Investigação Operacional

Apresentação da Cadeira Agosto 2019

Um camponês está na margem de um rio e quer passar para a outra

margem um lobo, uma cabra e uma couve. O seu velho barco só aguenta com o seu peso e o de uma das coisas que tem de transportar.

Quantas viagens terá que fazer, sabendo que se deixar o lobo sozinho com a cabra, o lobo come a cabra e se deixar a cabra sozinha com a couve, a cabra come a couve?

Objectivos da cadeira

O objectivo principal desta cadeira é analisar, de

forma científica, através da sua formulação,

resolução e implementação, alguns dos problemas

frequentes na área de Gestão

.

O que queremos discutir!

❖Origem e Natureza da Investigação Operacional ❖O Modelo da Programação Linear

❖Método Simplex ❖Dualidade

❖Pós- optimização, análise de sensibilidade ❖Problemas particulares de PL

✓O Problema de transportes ✓Problema da designação ✓Filas de espera

Bibliografia básica

1. Silva, E.M., Silva, E.M.; Valter, G.; Murolo, A. C.: Pesquisa

Operacional. Editora Atlas S.A. 1998.

2. Ackoff, R.L. & Sasieni, M.W.: Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro,

Livros Técnicos e Científicos, 1971

3. Bronson, R.: Pesquisa Operacional. McGraw Hill Schaum.

4. Ramalhete, M.: Programação Linear, vol I e II. McGraw Hill Schaum. 5. Ehrlich, P.J.: Engenharia Económica. Avaliação e Selecção de Projectos

A origem da IO como ciência é atribuída à coordenação das

operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.

Em 1947, George Dantzig (1914-2005) e outros cientistas do

Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram um

método denominado Simplex para a resolução dos problemas de

Programação Linear (PL).

George Dantzig (1914-2005)

Quando é que surgiu a I.O.? (Cont 2)

▪ Outros cientistas que têm dedicado os seus estudos a IO (“à pesquisa do óptimo”) são:

▪ Na Antiguidade:

Fez análises pioneiras em sistemas de contas do tipo unidades de

produção-consumo e recebeu o Prémio Nobel de Economia (1973) por desenvolver uma teoria de planeamento económico

através da análise de um sistema

do tipo unidades de produção-consumo. _{Wassily Leontief (1906 -1999)}

... No século XX:

John Von Neumann (1903-1957)

Leonid Vitalevich Kantorovich (1912 -1986)

Fez contribuições em matemática pura, matemática aplicada devido às suas contribuições seminais à realização dos primeiros computadores digitais, à teoria económica e à moderna previsão numérica do tempo.

Foi um dos primeiros a utilizar a programação linear como ferramenta na economia e esta

apareceu em uma publicação de métodos matemáticos de organização e planeamento

da produção, que publicou em 1939.

Quando é que há um problema de decisão?

▪ Quando existe pelo menos um indivíduo (agente de decisão) a quem o problema é atribuído;

▪ Quando existe mais do que uma linha de acção que esse agente pode seguir;

▪ Quando o agente de decisão tem pelo menos um objectivo a atingir quando opta por uma das decisões alternativas;

▪ Quando as alternativas de decisão não correspondem todas ao mesmo grau de satisfação do objectivo.

▪ Tomar decisões constitui uma tarefa básica da gestão…

▪ Decidir é escolher ou optar entre alternativas viáveis.

O que é a Investigação Operacional?

Tal como o nome indica: IO é a Investigação das Operações (actividades)

Investigação das Operações (actividades) duma organização

Uma abordagem científica na tomada de decisões

Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de complexos problemas nas operações (actividades) duma organização

Características Fundamentais

❖Aplicação de métodos científicos na gestão das organizações:

▪ uma abordagem quantitativa & qualitativa na tomada de decisões.

❖Orientação sistémica:

▪ O problema é analisado no contexto dum sistema que inclui diversas componentes interrelacionadas entre si.

▪ As soluções devem satisfazer toda a organização, ou seja, o sistema completo.

❖Extensibilidade:

▪ Pode ser aplicada a um largo número de organizações, tais como: Negócios, Economia, Indústria, Governos, Agências, Hospitais, Etc.

❖Metodologia Interdisciplinar

▪ Ciência horizontal que envolve conceitos e métodos de diferentes áreas, tais como:

✓ Teoria de sistemas; ciências organizacionais;

✓ Estatísticas; métodos matemáticos de optimização; ✓ Lógica simbólica e de Boole; álgebra abstracta; ✓ Economia e gestão, informática,

✓ Engenharia, ciências sociais, etc.

Os principais passos na Investigação Operacional

2º Passo: Formulação do Problema

▪ Depois de termos definido o problema é preciso formula-lo correctamente.

▪ Nesta etapa devem ficar bem definidos:

▪ Os objectivos que se pretendem alcançar com a resolução do problema. ▪ As restrições (limitações) existentes no sistema em geral.

▪ As relações de interdependência de todas as componentes integrantes do sistema

3º Passo: Construção do Modelo Matemático

▪ O que é um Modelo?

▪ uma representação simplificada de uma situação na vida real ▪ O que é um Modelo Matemático?

▪ uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas

▪ O que é um modelo matemático de um Problema de Optimização?

▪ é representado por um sistema de equações (inequações) que descrevem a essência do problema

Estrutura de Modelos Matemáticos

▪ Num Modelo matemático, são incluídos três conjuntos principais de elementos: ▪ Variáveis de decisão e parâmetros:

▪ Variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;

▪ Restrições:

▪ de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve

incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis);

▪ Função Objectivo:

▪ é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão

Exemplo 1:

❖“Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi & Rex. Para a manufactura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:

▪ A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;

▪ O pacote de ração Tobi custa 20 u.m e o pacote de ração Rex custa 30 u.m.

▪ O kg de carne custa 4 u.m. e o kg de cereais custa 1 u.m.

▪ Estão disponíveis por mês 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais. ▪ Deseja-se saber qual é a quantidade de cada ração a produzir de modo a

Modelação:

▪ Neste Problema:

▪ Variáveis de decisão:

▪ Quantidades de ração de cada tipo a serem produzidas ▪ Parâmetros:

▪ Preços unitários de compra e venda, além das quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração.

▪ Restrições:

▪ limites de carne e cereais ▪ Função Objectivo:

▪ função matemática que determine o lucro em função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada.

Programação Linear - PL

▪ Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em I.O. é a Programação Linear

▪ Razões:

▪ Leveza da teoria, e teoria de optimização muito completa; ▪ Variedade e alcance das aplicações;

▪ Possibilidade computacional de resolução de problemas de muito grande dimensão; ▪ Utilização, com propósitos diversos, em problemas de optimização não-linear

▪ Função objectivo linear

▪ Restrições técnicas e

▪ Restrições de não negatividade

▪ Forma Standard

▪ Restrições na forma de equações

0 , ... , , , ... ... ... ... ... ... ... ... : / ... c 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1         = + + + = + + + = + + + → + + + = N M N MN M M N N N N N N x x x x com b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a a Sujeito Minimizar Maxmizar x c x c x Z

Programação Linear - PL

▪ Forma Canónica

▪ Restrições na forma de inequações

0 , ... , , , ... ... ... ... ... ... ... ... : ... c 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1          + + +  + + +  + + + → + + + = N M N MN M M N N N N N N x x x x com b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a a Sujeito Maximizar x c x c x Z

Programação Linear - PL

▪ Forma Canónica

▪ Restrições na forma de inequações

0 , ... , , , ... ... ... ... ... ... ... ... : ... c 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1          + + +  + + +  + + + → + + + = N M N MN M M N N N N N N x x x x com b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a a Sujeito Minimizar x c x c x Z

Conceitos fundamentais do modelo de PL

▪ A função a maximizar (minimizar), Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_Nx_N, designa-se por função objectivo (FO).

▪ As equações (inequações) designam-se por restrições técnicas.

▪ As desigualdades x₁  0, x₂  0, x₃  0, ..., x_j  0, ..., x_N  0 designam-se por restrições de não

negatividade.

▪ As variáveis (x₁, x₂, ..., x_j, ..., x_N) designam-se por variáveis de decisão.

▪ As constantes a_ij, b_i, c_j designam-se, respectivamente, por coeficientes tecnológicos, termos

independentes e coeficientes da função objectivo.

▪ Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão (x₁, x₂, ..., x_j, ..., x_N) que satisfaça as restrições do modelo e as condições de não negatividade designa-se por solução admissível.

▪ O conjunto de todas as soluções admissíveis designa-se por conjunto de soluções admissíveis ou

região de admissibilidade.

Soluções do Modelo de PL

▪ O objectivo da PL é determinar de entre as soluções admissíveis uma que seja a “melhor” medida pelo valor da função objectivo do modelo

▪ Por “melhor” entende-se o maior ou menor valor da função objectivo, dependendo se o modelo é de maximizar ou de minimizar.

Ao resolver um problema de PL pode ocorrer uma das situações:

▪ O problema tem múltiplas soluções óptimas (uma infinidade)

▪ O problema não tem óptimo finito

Exemplo 2:

▪ Uma empresa fabrica dois produtos P₁ e P₂. O lucro unitário do produto P₁ é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P₂ é de 1800 u.m. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P₁ e de 30 horas para fabricar uma unidade de P₂.

▪ O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2.

▪ Qual é o plano óptimo de produção para que a empresa maximize seu lucro

nesses itens?

Exemplo 3:

▪ Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas

e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32

unidades por dia e a de proteínas é de 36 unidades por dia.

Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se

alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de

vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo

contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas.

Cada unidade de carne custa 3 u.m. e cada unidade de ovo

custa 2.5 u.m.

▪ Qual é a quantidade diária de carne e ovos que deve ser

consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com menor custo possível?

Exemplo 4:

▪ Uma empresa produz três tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendo que diariamente a empresa dispõe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho, determinar um plano óptimo de

produção que corresponda ao maior lucro.

▪ A tabela seguinte indica a quantidade de material e horas de

trabalho necessárias para a produção de uma porta de cada tipo, assim como o lucro unitário de cada uma delas:

▪ Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:

Exemplo 5: