0920-20Sistemas20continuos

SISTEMA ANALÓGICO

Os sistemas contínuos podem ser simulados através de computadores analógicos e podem ser representados em diagrama de blocos.

Existem muitos programas que processam em computadores digitais e simulam sistemas analógicos. Entre este está o módulo SIMULINK do MATLAB.

Os sistemas diferenciais, representados no tempo ou na freqüência, podem ser facilmente escritos em diagrama de blocos, que podem ser processados em computadores analógicos ou processados em computadores digitais através de simuladores analógicos.

Entre as vantagens oferecidas pelos simuladores analógicos estão: 1. Não é necessário escala de tempo;

2. Não é necessário escala de tensão; 3. Não é necessário ajustes elétricos;

4. Processa diversas simulações no mesmo computador; 5. A preparação de uma simulação é menos trabalhosa.

Tempo

y’(t) = -1,5.y(t) + 20, y(0) = -10

1. Exemplo: Freqüência y'(t) y(t) 13.33 Resultado final O sciloscópio s 1 Integrador 1.5 G anho 20 Constante

1,5.y(t)

s.Y(s) + 10 = -1,5.Y(s) + 20/s Solução

y(t) = (40 – 70.e-1,5.t_{)/3 Y(s) = (20 – 10.s)/(s.(s +1,5))}

( )

_∑

( )

= = n i i t E k t S 1 . … E₁(t) E₂(t) E_n(t) k Parâmetros S(t) = f(t) k S(t) = k

( )

_∑

( )

= = n i i t E t S 1 … E₁(t) E₂(t) E_n(t) ( )

_∫∑

( ) = + =S E t dt t S n i i . 1 0 S₀ … E₁(t) E₂(t) E_n(t) Constante Soma Ganho Integração Função DIAGRAMA DE BLOCOS

DIAGRAMA DE BLOCOS

• Principais blocos para a representação com transformada de Laplace

± ± E₁(s) E₂(s) S(s) = ± E₁(s) ± E₂(s) FT(s) E(s) S(s) = FT(s).E(s) E(s) S₁ = E(s) S₂ = E(s) S₃ = E(s) Soma Função de transferência Bifurcação

2. EXERCÍCIO

Deixa no primeiro membro um termo de maior derivada e no segundo membro todos os outros termos. Esta regra aplica-se também a cada equação de sistemas de equações diferenciais.

Fazer o diagrama de blocos que represente a seguinte equação diferencial:

y" = e(t) - 4.y' - 3.y

y" + 4.y' + 3.y = e(t), y(0) = 3, y'(0) = 1

S(t) saída entrada e(t) 1 -4.y' -3.y e(t) y' -4 3 y -3

SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS

≡

≡

≡

≡

E(s) G₁(s) G₂(s) S(s) E(s) G(s) S(s) +± F(s) E(s) G(s) S(s) S(s) E(s) G(s) _+± S(s) F(s) E(s) G₁(s). G₁(s) S(s) E(s) G(s) _+± S(s) F(s) G(s) E(s) G(s) S(s) S(s) G(s) E(s) G(s) S(s) +± F(s) 1/G(s)

SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS

≡

≡

≡

≡

≡

E(s) G(s) S(s) E(s) E(s) G(s) S(s) +± H(s) E(s) G(s) S(s) +± E(s) G(s) S(s) E(s) 1/G(s) E(s) G(s)/(1 G(s).H(s))± S(s) E(s) G(s)/(1 G(s))± S(s) E(s) S(s) +± F(s) ± P(s) E(s) S(s) +± P(s) +± F(s) E(s) S(s) + ₊ ± F(s) ± P(s)

SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS

≡

≈

≡

Demonstração Derivada

≡

⇒ ⇒ E(s) G(s)/(1 G (s).H(s))± S(s) E(s) G(s) S(s) +± H(s) i j E(s) G(s)/(1 + G (s).H(s)) S(s) E(s) G(s) = k S(s) + -H(s) = 1/s E(s) G(s) = s S(s) k >> s E(s) s.k/(s + k) S(s) _E(s) s.k/k S(s) E(s) s S(s) E(s) k/(1 + k/s) S(s) i = E(s) ± j j = H(s).S(s) i = E(s) ± H(s).S(s) S(s) = G(s).i S(s)= G(s).(E(s) ± H(s).S(s)) S(s)/E(s) = G(s)/(1 G(s).H(s))±

?

⇒

Simplifique o diagrama de blocos. 3. EXERCÍCIO 13 3 s.Y(s) 1/s Y(s) +-4.Y(s) 4 S(s) ++ 1/(s + 4) Y(s) ++ 3 +++ 13 1/(s.(s + 4)) + 3.s -3.Y(s) E(s) E(s) 13 1/(s2 + 4.s + 3) Y(s) +++ 3.s E(s) 3.Y(s) 1/(s.(s + 4)) Y(s) 3 +++ + 3.s -+ E(s) entrada S(s) saída ++ -13 3.Y(s) 1/s

3 sistema a ser estudado

s.Y(s) 1/s Y(s) ++ -4.Y(s) 4 E(s) entrada ++ -13 3.Y(s) 1/(s + 4) Y(s) 1/s ₊₊ 3

3 sistema a ser estudado

3 condições iniciais

4. EXERCÍCIO V_s(s) (A₁) (A₂) _V a(s) I_a(s) T(s) θ'_m(s) θ_L(s) f.c.e.m. +

-(

)

(

11 . ₁. 1₁

)

. 1 . β α T s T s + + +

-(

)

(

12 . ₂. 2₂

)

. 1 . β α T s T s + + k tiristor + -

(

s.La + Ra

)

1 k_a k_m k_v k_T

(

J_M J_L

)

s. + 1 s N. 1

a) Fazer o diagrama abaixo usando somente integradores e ganhos. b) Encontrar a função de transferência.

Sistema de controle típico para as indústrias de metal e papel, onde o controle é crítico, pois um fator essencial de qualidade do produto é exatamente a precisão do controle da velocidade do motor.

4. a) EXERCÍCIO E(s) S(s) (A_k)

(

)

(

k s.T_k. k_k

)

T . s . β α + + 1

1 ⇒ S(s) + s.Tk.βk.S(s) = αk.E(s) + s.Tk.E(s) ⇒ (αk.E(s) - S(s))/s = Tk.(βk.S(s) - E(s))

E(s) S(s) α_k + - s.T_k 1 + -k β 1 I_a(s) E(s)

(

s.La +Ra

)

1 ⇒ R_a.I_a(s) + s.L_a.I_a(s) = E(s) ⇒ (E(s) - R_a.I_a(s))/s = L_a.I_a(s) E(s) I_a(s) + - s.L_a 1 R_a A_k ≡ A₁ ≡ A₂

4. b) EXERCÍCIO V_s(s) (A₁) (A₂) V_a(s) I_a(s) f.c.e.m. + -

(

)

(

11 . ₁. 1₁

)

. 1 . β α T s T s + + + -

(

)

(

2 2

)

2 2 . . 1 . 1 . . β α T s T s k + + + -

(

s.La +Ra

)

1 k_a

(

J_Mm TJ_L

)

s k k + . . s N k_m. . 1 θ_L(s) m v k k s N k_m. . 1 (A₁) (A₂) V_a(s) θ_L(s) f.c.e.m. + -

₍

(

)

₎

1 1 1 1 . . 1 . 1 . β α T s T s + + + -

(

)

(

2 2

)

2 2 . . 1 . 1 . . β α T s T s k + + + -

(

_{a a}

)(

_{M L}

)

T m J J R L s s k k + + . . . . m v k k V_s(s)

(

)

T m L M a k k J J k s . . . +

4. b) EXERCÍCIO V_a(s) V_s(s) + -

₍

(

)

₎

1 1 1 1 . . 1 . 1 . β α T s T s + + + -

(

)

(

1 2 . ₂. ₂2

)

. 1 . . β α T s T s k + + (A₁) (A₂)

(

)(

)

(

a a

)(

M L

)

T m L M a a J J R L s s k k J J R L s s + + + + + . . . . . . .

(

)

T m L M a k k J J k s . . . + s N k_m. . 1 θ_L(s) m v k k + -

₍

(

)

₎

1 1 1 1 . . 1 . 1 . β α T s T s + + (A₁) ( )( ) ( )( ) ( a a)( ) m T ( m T ( a a)( M L))( ) a L M a a T m a k T s J J R L s s k k k k k T s R L s T s J J R L s s k k k . . . 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . . . 2 2 2 2 2 2 β α β + + + + + + + + + + + s N k_m. . 1 θ_L(s) m v k k V_s(s)

4. b) EXERCÍCIO V_s(s) _{( ( )( ))( )( )} ( )( ) ( ( )( ))( ) ( 2 2 2 2 )( 1 1) ( ( )( ))( 2 2)( 1) 1 1 1 2 2 . . 1 . . . 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . 1 . . . . . . . α β β β α α β T s T s J J R L s s k k k k k T s k T s J J R L s s k k k k k T s R L s T s T s J J R L s s k k k k L M a a T m a v m a L M a a T m T m a a L M a a T m a m + + + + + + + + + + + + + + + + + + + s N k_m. . 1 θ_L(s) V_s(s) _{( ( )( ))( )( )} θ_L(s) ( )( ) ( ( )( ))( ) ( )( ) ( ( )( ))( )( ) ( sL R sT k k k k k s sL R J J sT k sT k k k k k s sL R J J sT sT )Ns T s T s J J R L s s k k k L M a a T m a v m a L M a a T m T m a a L M a a T m a . . . . 1 . . . 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . 1 . . . 1 . . . . . . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 α β β β α α β + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

PRINCIPAIS BLOCOS 1 s+1 Transfer Fcn |.| Magnitude-Angle to Complex eu Math Function Re Im Real-Imag to Complex Product Memory s 1 Integrator |u| u Complex to Magnitude-Angle |u| Abs 1 Gain Re(u) Im(u) Complex to Real-Imag f(u) Fcn Sign <= Relational Operator sin Trigonometric Function Sum CONTÍNUOS MATEMÁTICA FUNÇÕES E TABELAS Functions & Tables

Nonlinear PRINCIPAIS BLOCOS XY Graph STOP Stop Simulation

NÃO LINEAR SINAIS E SISTEMAS DISSIPADORES

FONTES

Scope

0

Display

Switch

Dead Zone Saturation Demux Mux

Chirp Signal

Clock

1

Constant

12:34

Digital ClockSine Wave

Discrete Pulse Generator Pulse Generator Repeating Sequence Random Number Uniform Random Number Ramp Step Sinks Singnals & Systems

PRINCIPAIS BLOCOS

FONTES

Timer

SimPowerSystems Extra Library

5. EXERCÍCIO

Um fluxo de solução, com 1 lb de sal por galão, entra em um tanque cheio com 100 gal da solução, a uma taxa de 5 gal/min, e deixa o tanque com à mesma taxa da entrada. A concentração da solução de entrada é subitamente alterada para 2 lb de sal por galão e é misturada uniformemente por agitação, no tanque. Ache a quantia de sal no tanque em função do tempo t, e determine quanto tempo levará para que a quantidade de sal alcance de 150 lb.

8

Fluxo de saída Tanque V(t) = 100 gal C_s(t₀) = 1 lb/gal f_s(t) = 5 gal/min C_s(t) = ? Fluxo de entrada f_e(t) = 5 gal/min

( )

lb/gal 0 t 2, 0 t 1, t C_e ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < =

A equação diferencial da concentração de saída em função da concentração de entrada e dada por: C_s’(t) + 0,05.C_s(t) = 0,05.C_e(t)

5. EXERCÍCIO

C_s’(t) + 0,05.C_s(t) = 0,05.C_e(t)

Condição inicial C_s(t₀) = C(t₀) = 1 lb/gal

( )

⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 / 2 0 / 1 t gal lb t gal lb t C entrada de Função _e Pede-se: V(t).C_s(t) = 100.C_s(t) = ? lb e V(t_n).C_s(t_n) = 100.C_s(t_n) = 150 lb ⇒ t_n = ? t t, se Q (t) < 150 Cs'(t) _Cs(t), Cs(t0) = 1 _{Q (t) = 100.Cs(t)} Ce(t) Cs’(t) = 5.(Ce(t) - Cs(t))/100 100 Volu m e d o tan q ue .05 Vazão 199.9 Q (t) final 13.86 Q (t) = 150, t = ? Q (t) Memória s 1 In teg rador2 s 1

In teg rad or1

1 Con stan te 2 Concetração d e en trad a Ch ave M M M M M

5. EXERCÍCIO

C_s’(t) + 0,05.C_s(t) = 0,05.C_e(t)

Condição inicial C_s(t₀) = C(t₀) = 1 lb/gal

( )

⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 / 2 0 / 1 t gal lb t gal lb t C entrada de Função _e Pede-se: M(t) = V(t).C_s(t) = 100.C_s(t) = ? lb e V(?).C_s(?) = 100.C_s(?) = 150 lb

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

dt t C t dC dt t C t C t dC t C t C t C s s s e s e s s 0,05. 2 . 05 , 0 . 05 , 0 . 005 , 0 ' = − ⇒ = − ⇒ = +

( )

(

)

( )

(

(

( )

) ( )

)

( )

t s s s t t c C t c t C t ce C 0,05. ln ln 2 ln 0,05. 2 . 0,05. 2 ln − = − ⇒ − − − = ⇒ = − − −

( )

( )

(

/20

)

2

.

100

.

100

C

_s

t

e

t

t

M

=

=

−

− Cálculo de c: t₀ = 0, C_s(0) = 1 = 2 – c.e-0/20 ⇒ c = 1

(

)

2 .

(

20

)

13,86294 100 150 ln 150 2 100 /20 _⎟⎟ − ≅ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = ⇒ = − − t e t

_{t = 13,9 min}

τ = 1/0,05 = 20

( )

/20 . 2 t s t ce C = − −

6. EXERCÍCIO

Um tanque esférico de raio R encontra-se, inicialmente, com metade de seu volume cheio de água. No fundo do tanque tem um furo circular de raio r, através do qual, a água escoa sob influência da gravidade. Achar o fluxo de escoamento da água em função do tempo e determine em quanto tempo o tanque ficará vazio.

Pede-se: f_e(t) = ?, e y(t_n) = 0 ⇒ t_n = ?

A equação diferencial da cota do nível do tanque

e dada por e o fluxo de

escoamento da água é dado por

( )

₍

( )

_{( )}

( )

_{( )}

₂

₎

. . 2 . ' t y R t y t f t f t y e s − − = π

( )

t r g y

( )

t f_s =π. 2. 2. . Considerar: π = 3,1416, R = 5m, r = 3%.R e g = 9,81m/s2 x(t) y(t) dy φ = 2.r φ = 2.R (0,R) x2 _{= (2.R – y).y} x y f_s(t) f_e(t)

6. EXERCÍCIO

( )

t r g y

( )

t f_s =π. 2. 2. .

( )

_{( )}

_{( )}

( )

R . t y . t y t y . g . . r t ' y 2 2 2 2 − = t₀ = 0 f_s(t) = ? y(t_n) = 0 ⇒ t_n = ? y(t₀) = 5 m Considerar: π = 3,1416, R = 5m, r = 3%.R e g = 9,81m/s2 f_e(t) = 0

6. EXERCÍCIO r2 _{= x(t)}2 _{= 2.y(t).R – y(t)}2 f_e(t) = 0 f_s(t) = S_r.v(t) ⇒ f_s(t) = π.r2_.v(t) Lei de Torricelli ⎩ ⎨ ⎧ = a instantâne altura a é h gravidade da aceleração a é g . . 2 g h v dV(t) = π.x(t)2_.dy(t) f_e(t) – f_s(t) = dV(t)/dt t₀ = 0 f_s(t) = ? y(t_n) = 0 ⇒ t_n = ?

( )

t r g y

( )

t f_s =π. 2. 2. .

dV(t) = π.(2.y(t).R – y(t)2 _).dy(t)

( )

32

( )

52 2 52 . 15 14 . . 2 . . 5 2 . . 3 4 R t g r t y R t y − = − +

( )

2 52 . 15 14 . . 2 . 0 0 r g t R t y = ⇒ = − + g r R t . 2 . . 15 14 2 2 5 = y(t₀) = 2.R

( )

( )

(

)

( )

( )

(

( )

( )

)

( )

( )

t R y

( )

t r g t c y dt g r t dy t y R t y dt t y g r t dy t y R t y + − = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ − = − . . 2 . . 5 2 . . 3 4 . . 2 . . . . 2 . . . 2 . . . . 2 2 2 5 2 3 2 2 3 2 1 2 2

( )

52 . 15 14 0 R c R y = ⇒ = ⇒

7. EXERCÍCIO ) x ( ' f ) x ( f x x n n n n 1 1 1 − − − − = Sabe-se que:

7. EXERCÍCIO ) x ( ' f ) x ( f x x n n n n 1 1 1 − − − − =

Sabe-se que: A raiz da função f(x) = x

2 _{– a é} a raiz quadrada de a, então f’(x) = 2.x, ou seja, substituindo as funções na equação inicial obtém-se

facilmente: _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ₋ − 1 1 . 5 , 0 _n n n x x a x

Módulo com integrador

Em geral, para encontrar o valor de C_i, (i = 0) considera-se a função de entrada na integral igual a zero, (estado em equilíbrio) E12(t ≤ t₀) = 0, implicando na igualdade, E1(t ≤ t₀) = E2(t ≤ t₀), logo, C₀ = S₀ = S(t ≤ t₀).

E 1(t)

E 2(t)

E 12(t)

S(t)

s

1

Integrador

(

) ( )

_∫

+Δ

( )

+ = Δ + t t t i i i i dt t E t S t t S 12

( )

t = S +

_∫

E

( )

t dt =C +

_∫

E

( )

t dt S _i 12 _i 12

ou

Módulo com integrador – Exemplo

E12(t ≤ t₀) = 0 = E1(t ≤ t₀) - E2(t ≤ t₀) = 20 - 5.S₀ ⇒ S₀ = 4 ⇒ C₀ = S₀.

E1(t0) = 20

E12(t0)

E2(t0)

S(t0) = S0

s

1

Integrado r

5

G an ho

E2(t ≤ t0) = 5.S(t ≤ t0) = 5.S0

k é o valor máximo que não produza ruídos inaceitáveis em f’(t).

Deriv ada de uma função

I(t) S(t) 1 f'(t) s 1 Integrador k Ganho do deriv ador 1 f(t) f(t ≤ t₀) = 20

Módulo com integrador – Derivada

I(t ≤ t0) = C0, S(t ≤ t0) = 0 = f(t ≤ t0) - I(t ≤ t0) = 20 - C0 ⇒ ⇒ C0 = 20 ⇒ f’(t ≤ t0) = k.S(t ≤ t0) = 0.

Módulo com máximo

h(t) é o valor máximo entre todos os valores das funções de entrada, em cada instante do tempo t.

h (t) = Máx(f1(t),

f2(t),f3(t),

f4(t), f5(t))

f1(t)

f2(t)

f3(t)

f4(t)

f5(t)

max

Mín Máx

Módulo com máximo

– Função dos valores máximos

fma(t) é uma função crescente ⇒ fma’(t ≤ t₀) ≥ 0.

M 0

Função dos v alores máximos

M (t) 1 fma(t) max M ínM áx M emória 1 f(t) fma(t) = Máx(f(t), M(t)

Módulo com mínimo

h(t) é o valor mínimo entre todos os valores das funções de entrada, em cada instante do tempo t.

h (t) = Mín (f1(t),

f2(t),f3(t),

f4(t), f5(t))

f1(t)

f2(t)

f3(t)

f4(t)

f5(t)

min

Mín Máx

Módulo com mínimo

– Função dos valores mínimos

fmi(t) é uma função decrescente ⇒ fmi’(t ≤ t₀) ≤ 0.

M0

Função dos v alores mínimos

M(t) 1 fmi(t) min MínMáx Memória 1 f(t) fmi(t) = Mín(f(t), M(t)

Módulo com chave

u1(t)

u2(t)

u3(t)

S(t)

C have

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

⎩

⎨

⎧

<

≥

=

P

t

u

se

t

u

P

t

u

se

t

u

t

S

2

,

3

2

,

1

Módulo com chave

– Máximo de uma função crescente limitada

( )

(

₍

₍

)

₍

₎

₎

₎

fma

( )

t

P

t

Tempo

final

t

t

Mín

f

Máx

e

t

t

Mín

t

Max

_{m f} m f m f

−

≥

⎩

⎨

⎧

=

,

'

,

,

,

P = 0,5 M 0 Valor máximo 1 M ax(t) M emória Chave 2 fma'(t) 1 t, f(t) A função fma’(t) é decrescente e fma’(t) ≥ 0. O valor de t_m, fma’(t_m) ≥ P, será a última ocorrência verdadeira e M0 pode assumir qualquer valor.

Módulo com chave

– Mínimo de uma função decrescente limitada

P = -0,5 Valor mínimo M 0 1 M in(t) M emória Chave 2 t, f(t) 1 fmi'(t)

A função fmi’(t) é crescente e fmi’(t) ≤ 0.

O valor de t_m, fmi’(t_m) ≤ P, será a última ocorrência verdadeira e M0 pode assumir qualquer valor.

( )

(

₍

₍

)

₍

₎

₎

₎

fmi

( )

t

P

t

Tempo

final

t

t

Mín

f

Mín

e

t

t

Mín

t

Min

_{m f} m f m f

−

≤

⎩

⎨

⎧

=

,

'

,

,

,

f(t) t M áx(f(t)) d(M áx(f(t)))/dt 0.008303 9.5 Valor final. Valor máximo. Tempo. Entrada. 1.574 9.5 Tempo no máximo Valor máximo. Seno t, f(t) fma'(t) Max(t) M áximo f(t) fma(t) Função dos valores máximos Derivada M áximo. fma(t) fma'(t) Derivada Clock Diagrama de blocos

Derivada da função de valores máximos

Função de valores máximos

Influência do ganho do derivador Parâmetro

da chave

t

_m

Função de valores máximos

Tempo do valor máximo

t

_m

f(t) t M ín(f(t)) d(M ín(f(t)))/dt -0.07954 -9.5 Valor final. Valor m ínimo. Tempo. Entrada. 4.715 -9.5 Tempo no mínimo. Valor mínimo. Seno fm i'(t) t, f(t) Min(t) M ínimo f(t) fm i(t) Função dos valores mínimos Derivada. M ínimo. fm i(t) fm i'(t) Derivada Clock Diagrama de blocos

Derivada da função

de valores mínimos

Influência do ganho do derivador Parâmetro

da chave

Função de valores mínimos

t

_m

Função de valores mínimos

Tempo do valor mínimo

Derivada e mínimo

8. EXERCÍCIO

Simular o sistema de equações diferenciais, definido abaixo, sabendo-se, que o mesmo, está, inicialmente, em estado estacionário.

Sistema em cascata k₁2_.y 1"(y) + 2.k1.d1.y1'(t) + c1.y1(t) = E(t) k1 = 0,2, d1 = 0,1 e c1 = 4 k₂2_.y 2"(y) + 2.k2.d2.y2'(t) + c2.y2(t) = 3.y1(t) k2 = 0,4, d2 = 0,3 e c2 = 9 3 , 2 , 8 2 , 10 , 6 ) ( ₀ 0 0 0 0 = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ + < ≤ < = t t t t t t t t t E y₁(t ≤ t₀) = 1,5 y₂(t ≤ t₀) = 0,5 Valores iniciais:

8. EXERCÍCIO Sistema em cascata E(t) = 6, t < 3 E(t) = 10, 3 <= t < 5 E(t) = 8, t => 5 y(t) Timer E(t) yi(t) Subsystem 2.005 0.6646 Display

8. EXERCÍCIO _{Sistema em cascata} Valores iniciais: k₁2_.y 1"(y) + 2.k1.d1.y1'(t) + c1.y1(t) = E(t) k1 = 0,2, d1 = 0,1 e c1 = 4 k₂2_.y 2"(y) + 2.k2.d2.y2'(t) + c2.y2(t) = 3.y1(t) k₂ = 0,4, d₂ = 0,3 e c₂ = 9 3 , 2 , 8 2 , 10 , 6 ) ( ₀ 0 0 0 0 = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ + < ≤ < = t t t t t t t t t E y₁(t ≤ t₀) = 1,5 y₂(t ≤ t₀) = 0,5 y'(t) y(t) y2(t) 1 yi(t) (3 1) [y1(t) y2(t)] (4 9) [y1(t) y2(t)] 1 s Integrador 1 s Integrador [2*0.1/.2 2*.3/.4] 2.d/k [1/.2^2 1/.4^2] 1/(k.k) 1 E(t)