TEORIA ESPECTRAL PARA SEMIGRUPOS

Texto

(1)Teoria Espectral para Semigrupos Maria do Carmo Carhinatto. Orientação Prof. Dr. José Gaspar Ruas Filho. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.. USP - São Carlos maio 1991.

(2) Aos meus pais, Celso e Angela. Aos meus irmãos, Luís, Rodinei e Edilaine..

(3) Não conto gozar a minha vida; nem em gozá-la penso. Só quero torná-la grande, ainda que para isso tenha de ser o meu corpo e a (minha alma) a lenha desse fogo. Fernando Pessoa.

(4) Primeiramente, agradeço a Deus pela ajuda e força espiritual que pude encontrar nos momentos de necessidade; agradeço ao Gaspar por sua orientação segura e precisa, por sua dedicação, incentivo e amizade; aos meus pais, pela compreensão, dedicação e apoio recebidos e pelos esforços feitos para que eu conseguisse concluir mais uma etapa de minha vida; aos meus irmãos, pela amizade que nos une; aos docentes e técnicos do ICMSC-USP, pelo apoio recebido durante esses anos de mestrado; ao amigo Kasuo, pela amizade e ajuda nos problemas de edição deste trabalho; a todos os amigos da pós-graduação que sempre me deram apoio, amizade; ao CNPq pelo auxílio financeiro parcial recebido; e a todos que direta e indiretamente contribuíram para que esse trabalho fosse realizado..

(5) Abstract The purpose of this work is to study the spectral theory for semigroups of bounded linear operators. A motivation for this study is the geometric theory of differential equations, where the spectral theory has fundamental importance. One of questions that interests us most is under which conditions the spectrum of semigroups can be obtained from the spectrum infinitesimal generator..

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(7) Conteúdo. Introdução. iii. 1 Semigrupos. 1. 1.1 Semigrupo Fortemente Continuo de Opefadores Lineares. 1. 1.2 Problema Abstrato de Cauchy. 5. 1.3 Espectro e Resolvente de um Operador. 7. 1.4 Teoria Espectral para Semigrupos . 11. 2 Álgebra de Banach. 17. 2.1 Álgebra . 17. 2.2 Álgebras de Banach . 19. 2.3 Teoria Espectral para Álgebras de Banach . 21. 2.4 Teoria de Representação de Gelfand . 24. „ 2.5 Topologia de Gelfand . 29. 2.6 Teoria Espectral para Semigrupos Eventualmente Contínuos 31 3 Teoria Espectral para Espaços de Hilbert 3.1 Soluções Periódicas 3-2 Um exemplo: O Semigrupo das Integrais Fracionárias. 38 39 43.

(8) 3.3 Um contra exemplo em Espaços de Banach . 59 63. Bibliografia. 11.

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(26) Pr osição 1.8 Sejam T(Vi u Co -semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Se À E li(A) e A„ Po- A) U Ra(A), para todo n E N. então eAt E Ccr(T(t)) U p(T(1)). Se e'd E Ii (T(t)), então A E /1(A). - A existência de (À/ — A)-' nos garante que (rui — T(t)) é inversivel. Pelo Lema (1.1) temos que (À/ — A) 1 existe, é limitado e R(AI — A). X. Proposição 1.9 Sejam T(t) um Co-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. 1. Se À E 111(A) e Àn Po-(A) U Ro-(A), para todo Co-(T(t)) U p(T(t)).. 72. E N, então eAt E. 2. Se em E II1 (T(t)), então À E p(A). Podemos resumir essas proposições nas seguintes inclusões espectrais em relação à divisão do espectro em pontual, residual e contínuo. Teorema 1.7 Sejam T(t) um Co-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. I. Se À E Pu(A), então eAt E Po-(T(t)). 2. Se eAt E Pu(T(t)), então existe k E N tal que. Àk E. Po-(A).. Teorema 1.8 Sejam T(t) um Co-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. 1. Se À E Ru(A) e para todo n E N temos que An gt Po-(A), então e t E Ru(T(t)). 2. Se eAt E Ru(T(t)), então para todo n E N temos que An ÇÉ Po-(A) e existe k E N tal que Àk E Ra(A). Teorema 1.9 Sejam T(t) um Co-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. 1. Se À E Cu(A) e À„ Ø Po-(A) U Ru(A) para todo n E N, então Ca(T(t)). 16. eAt. E.

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(69) concluímos que , A)11 oo quando —co. Desde que p(iA) = ip(A) podemos reformular os resultados encontrados para estimar IIR(z,iA)11. Corolário 3.3 Mani.endo as notações anteriores temos:. I. IIR(z,iA)li é uniformemente limitado quando Cf(z) oo. 2. Se R(z) > ir /2 ou R(z) < —7r/2, então IIR(z,iA)II é uniformemente limitado sobre '1•(z) E ( —oo, oo). 3. Se —7r/2 <2(z) < 7r/2, então PR(z,iA)11 é ilimitado quando(z) —oo.. 3.3 Um contra exemplo em Espaços de Banach Uma tentativa natural, após o estudo da Teoria Espectral para espaços de Hilbert, seria obter uma versão do Teorema (3.3) para espaços de Banach. O exemplo a seguir mostra que isto não é possível com as mesmas hipóteses. Dados os espaços de Banach R+ -4 C; f contínua e irroi Co(R+ ) : = .If(s)1 = O} e L1 (R+ ,. dx) = 1f : R+ C; jo I.f(x)je.dx. <00). consideremos o espaço de Banach. E co(R+) = n Li (R+, e'dx), munido da norma. Ilf11 = Ilf11. + IIfll = sup{if(x)i : x E R4.} fo w if(x)jexdx. Sobre E consideremos a família de operadores lineares. T(t)f(x) = f(x t) para t > O.. 59.

(70) Teorema 3.8 A família T(t), t > O, é um Co -semigrupo sobre E. O gerador infinitesimal é dado por Af = f' se f E D(A), onde D(A) = {f E E : f é continuamente diferenciável e f' E E). Prova- Primeiramente observemos que T(t)f(x) = f(x t) para t > O é uma família de operadores lineares limitados sobre E. Isto segue de iiT (t) f 5- 11f11.. + etIIf Iii Ilf11.. Ainda mais, tomando para cada e> O, f, E E definido por se O (x — 2t + 2c)/2c se 2t — 2e f6(x):= se 2t { 1 —{x — 2t — 26)/6 se 2t + c se O O. <x< <x < <x < <x < x>. 2t — 26 2t 2t -F c , 2t + 26 2t + 2c. para cada t ? O, temos que IIT(t)ij = 1. É imediato que T(t I- s) = T(t)T(s) e T(0) I. = Da continuidade uniforme de f em R+ segue que IIT (t) f — f 11,,,, --+ O, quando t --r 0+. Ainda, fixando xo E R+ tal que f:: if(x)le'dx < e e fro+t if(x)le'dx < e temos que fr if(x + t) — f(x)le'clx < 36 desde que t seja pequeno. Portanto, T(t), t > O, é um Co-semigrupo. Passemos à análise do gerador de T(t). Se f E D(A) então existe T(t)f — f lim — g E E. t—o+ t. Concluímos que a derivada à direita de f existe e é continua para todo x E R+. Logo, f é continuamente diferenciável e f' E E. Reciprocamente, se f E Cl(R+) com f' E E por argumentos análogos aos a prova de que T(t) é um Co-semigrupo concluímos que f E D(A). O Teorema 3.9 Com as notações do Teorema (3.8) temos 1. P cr(A) {À = E C : gt(A) < —1}.. 2. (À E C:R(À)> —1) c p(A). 3. s(A) sup{R(À) = : A E cr(A)} = —1. 4. 1 E a(T(1))•. 60.

(71) Prova- Primeiramente determinemos o números complexos À, tais que fA E D(A) e Ah, .= AfA. Três condições devem ser verificadas: 1. e)`' O quando x oo. 2. AeAs O quando x oo. 3. fr e30)rex dx < oo. Portanto, segue a primeira parte. Para a segunda afirmativa basta mostrarmos que e-ÀsT(s)f ds < oo se R(À) > —1,. 100. pois tomando R(A)f = e-AsT(s)f ds e repetindo argumentos análogos aos do Corolário (1.1) segue o resultado. Como II 1 0 e-A*7(s) f dsII,, sup{i = of e-)"7(s)f (x)dsl : x E R4.} e I fj e-À8T(s)f(x)dsl 5... It. II. f 111. temos que. II for e-A.7(s) f dsii. IIfIIi ou seja,. II. jo e-)tsT(s)fds11,0 < oo.. Além disso, II j or e—As T(S)fdS111 for e-3(À)8 1111(s) f 'Ws. (e(+'»_ e-32(À)s elifilids = IIf111 —(R(A) + 1) o. < f. 1).. Portanto,. II. j e -AsT(s)fdsll i. Finalmente, pelo fato de T(t) ser operador positivo, para todo t > O, ver [8] ou H. H. Schaefer, Banach lattices and Positives Operators, concluímos, em particular, que 1 E cr(T(1)), pois r(T(i)) = 1 para todo t O, o que prova 4. o Observemos que 2rin E p(A), para todo nEZe. = A) fil o° + IiR(2in, A)fIIi 5_ 211f fi i 2Il f II. IIR(2rin, A) fil 11R(2rin, Ou seja, encontramos um Co-semigupo definido sobre um espaço de Banach, tal que 61.

(72) 1. 27rin E p(A) para todo n E Z. 2. IIR(27rin,A)11 é uniformemente limitado, para n E Z. e, por outro lado, 1 E a(T (1))..

(73) Bibliografia [1] G. Bachman e L. Narici, Functional analysis, Academic Press, New York, 1966. [2] J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, New York, 1978. [3] L. Gearhart, Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 236 (1978), 385-394. [4] D. B. Henry, Evolutions Equations on Banach Spaces, Notas não publicadas do IME-USP, 1981. [5] D. B. Henry, Topics in Analysis, Pub. Mat. Universitat Autônoma de Barcelona, 31 (1987). [6] I. Herbst, The Spectrum of Hilbert Space Semigroups, J. Operator Theory 10 (1983), 87-94. 17] E. Hille e R. S. Phillips, Functional analysis and semigroups, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 31, Amer. Math. Soc., Providence, R.I, 1957. 18] Nagel (Ed), One-parameter Semigroups of Positive Operators, SpringerVerlag, Berlin, 1986. [9] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New-York, 1983. [10] J. Priiss, On the spectrum of Co-semigroups, Amer. Math. Soc. 284 (1984), 847-855. [11) A. E. Taylor, Introduction to Function Analysis, Wiley, New York, 1958.. 63.

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