INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
SABRINE COSTA OLIVEIRA
(RE)CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DE PROFESSORES SOBRE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
Vitória 2016
SABRINE COSTA OLIVEIRA
(RE)CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DE PROFESSORES SOBRE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
Vitória 2016
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo Campus Vitória como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientadora: Prof. Dra. Sandra Aparecida Fraga da Silva
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) O48r Oliveira, Sabrine Costa.
(Re)Construção do pensamento geométrico de professores sobre transformações geométricas / Sabrine Costa Oliveira.- 2016. 168 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Sandra Aparecida Fraga da Silva.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2016.
1. Geometria - Estudo e ensino. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3.Professores - Formação. I. Silva, Sandra Aparecida Fraga da. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
DECLARAÇÃO DO AUTOR
Declaro, para fins de pesquisa acadêmica, didática e técnico-científica, que esta Dissertação pode ser parcialmente utilizada, desde que se faça referência à fonte e ao autor.
Vitória, 19 de julho de 2016.
Para Maura e Walace, que me deram a vida. Aos meus irmãos, Caroline e Mathews, pelo apoio nesta jornada.
AGRADECIMENTOS
Para chegar até aqui caminhei em uma longa estrada. Nela encontrei muitas pessoas, algumas me ofereceram simples e importantes palavras de incentivo e outras me deram a mão e caminharam junto comigo esta jornada. Iniciar este curso de Mestrado não foi fácil, o ano de 2014 começou conturbado e não existiam certezas, apenas dúvidas de um futuro. Mas, desistir de um sonho, de uma grande oportunidade de desenvolvimento em minha profissão, aquela que eu acredito ser a mais bela entre todas as profissões... Não, eu não podia desistir e, então, fui à luta e hoje estou aqui para agradecer a todos que de alguma forma estiveram presentes nesta caminhada. Em primeiro lugar, agradeço a Deus, “porque Dele, por Ele, e para Ele são todas as
coisas” (Rm 11:36). Agradeço pela sabedoria e inspiração na escrita deste trabalho e
por ter aumentado minha fé nos momentos em que caminhar tornou-se uma tarefa árdua.
Agradeço à minha família. Meus pais, Maura e Walace, pelo amor imenso e por incentivado os meus estudos durante toda minha vida. Preciso agradecer pelas dificuldades que passamos, pois hoje eu posso gritar: Eu consegui! Aos meus irmãos Caroline e Mathews, pelo companheirismo e palavras de incentivo durante a realização deste trabalho.
Um agradecimento muito especial à minha orientadora Sandra Fraga. Nossa estrada é longa e você sempre esteve ao meu lado, com palavras de incentivo, com novas ideias, novos projetos, e sempre com um coração tão generoso para compartilhar seus conhecimentos. Obrigada por ter acreditado no meu potencial. Obrigada pela prontidão em responder meus e-mails e mensagens desesperados. Obrigada por compreender os momentos de ansiedade. Obrigada por tudo, serei eternamente grata.
Às minhas amigas Danielly Fraga e Jéssica Monteiro, amigas da faculdade para a vida inteira. Perdoe-me as ausências nos encontros e boa sorte na caminhada de vocês. Aos meus amigos Lauro Sá e Wanessa Badke – que juntos formamos a Troika – agradeço pela prontidão em escutar as angústias e que agora comemoram essa vitória ao meu lado.
A minha amiga Helayne, perdoe-me por ter recusado vários convites para estar ao seu lado me divertindo quando precisava focar no término deste trabalho. Obrigada pela compreensão.
Aos meus compadres Tatiana e Jonatas, que compreenderam minha ausência no crescimento do meu afilhado Samuel.
A toda família Educimat, meu muito obrigado pelo aprendizado proporcionado nesta caminhada.
À professora Dilza, meu muito obrigado pelas sugestões ricas no desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus membros da minha banca – Alex, Rodolfo e Isabel – agradeço as ricas contribuições para a construção deste trabalho.
Aos professores participantes do curso Investigações sobre Transformações
Geométricas, por terem acreditado na proposta e me proporcionado muitos
Não crescemos quando as coisas ficam fáceis, e sim quando enfrentamos nossos desafios. (Rafael Gouveia Monteiro, 2014)
RESUMO
Esta pesquisa teve por objetivo analisar indícios de (re)construção do pensamento geométrico e de práticas docentes de professores que participaram de formação sobre transformações geométricas. Para isso, foi elaborado um curso de extensão sobre o tema em uma abordagem investigativa com o uso de materiais manipulativos. Optou-se por realizar uma pesquisa de natureza qualitativa, caracterizada como pesquisa do tipo intervenção pedagógica, pois é o pesquisador quem identifica e propõe ações para solucionar o problema, com o objetivo de transformar a prática docente. Os dados foram construídos por meio de observações, registradas em áudio e vídeo dos encontros presenciais, do diário de bordo da pesquisadora, de questionários e de atividades realizadas. O curso semipresencial foi realizado no Laboratório de Ensino de Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Vitória e envolveu dez professores atuantes no ensino fundamental entre os meses de setembro a dezembro de 2015. Foi uma oportunidade para ampliar conhecimentos sobre transformações geométricas com professores dos anos finais do ensino fundamental, em um grupo com práticas colaborativas e metodologia que privilegiou o diálogo e reflexões sobre o conteúdo abordado. Com o objetivo de identificar indícios de (re)construção do pensamento geométrico e de práticas docentes sobre transformações geométricas dos participantes, elaborou-se um quadro de referência que associa conteúdos, objetivos e capacidades e os relaciona relacionando-os com aportes teóricos da pesquisa. Em síntese, os professores (re)construíram seus conhecimentos em momentos de reflexão por meio de atividades investigativas sobre transformações geométricas e em práticas docentes incentivadas pelo curso. Além disso, ocorreram nos diálogos e relatos mudanças na compreensão sobre o ensino de geometria, em especial os conceitos de isometrias e homotetias. As atividades aplicadas e discutidas neste estudo subsidiaram a construção do caderno de atividades sobre transformações geométricas em uma abordagem investigativa e com o uso de materiais manipulativos, produto educacional desta pesquisa. Este material está disponível na página do programa Educimat e espera-se que seja utilizado tanto por professores em suas aulas quanto em formações de professores. Nosso desejo é que esse caderno contribua com um trabalho significativo utilizando materiais manipulativos sobre transformações geométricas em aulas de matemática.
Palavras-chave: Transformações Geométricas. Formação de Professores. Geometria. Pensamento Geométrico. Materiais Manipulativos.
ABSTRACT
This research aims to examine evidence of (re) construction of geometric thinking and teachers' teaching practices to participate in training on geometric transformations. For this, we carried out an extension course on the topic in investigative approach with the use of manipulatives. The qualitative research is characterized as a pedagogical intervention research, since it is the researcher who identifies and proposes an action to solve the problem, with the aim of transforming teaching practice. The blended course was held in the Mathematics Teaching Laboratory of the Federal Institute of the Holy Spirit and involved ten teachers working in elementary school during the months of September to December 2015. The data were constructed by means of audio and video recording of face meetings, the logbook of the researcher, questionnaires and conducted activities. The course was a space to expand knowledge about geometric transformations with teachers from the final years of elementary school, in a group with collaborative practices a methodology that favored dialogue and reflections on the content addressed. In order to identify evidence of (re) construction of geometric thinking and teaching practices about geometric transformations of participants, we developed a framework that lists content, objectives and capabilities relating them with theoretical contributions of the research. In summary, we found that teachers (re) built their expertise in moments of reflection through investigative activities geometric transformations and the teaching practices encouraged by the course. In addition, we found the reports a change in the understanding of the teaching of geometry. The activities applied and discussed in this study supported the construction activity book about geometric transformations in an investigative approach and the use of manipulatives, educational product of this research. This material is available on the program page Educimat and is expected to be used by both teachers in their classes as in teacher training. Our desire is that this book will contribute to a significant work using manipulatives about geometric transformations in math classes
Keywords: Geometric Transformations. Teacher training. Geometry. Geometric thinking. Manipulatives.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Barras bordada em ponto cruz. ... 23
Figura 2 – Barra em ponto cruz e seu avesso perfeito. ... 24
Figura 3 – Esquema dos elementos fundamentais ao ensino de Geometria. ... 43
Figura 4 – Três tipos de materiais didáticos. ... 52
Figura 5 – Translação do segmento AB. ... 56
Figura 6 – Exemplo de translação em gráfico de ponto cruz. ... 56
Figura 7 – Rotação do segmento OA. ... 57
Figura 8 – Descobrindo o centro de rotação de duas figuras já rotacionadas. ... 58
Figura 9 – Encontro das mediatrizes dos segmentos BB' e EE'. ... 59
Figura 10 – Encontro de todas as mediatrizes mostra o centro da rotação de duas figuras. ... 60
Figura 11 – Exemplos de reflexão do ponto O e do Triângulo ABC. ... 61
Figura 12 – Eixo de reflexão sobre a figura. ... 62
Figura 13 – Reflexão com o eixo sobre a figura. ... 62
Figura 14 – Exemplo de reflexão deslizante do segmento AB. ... 63
Figura 15 – Reflexão deslizante do Hexágono (1). ... 63
Figura 16 – Exemplos de duas homotetias do mesmo triângulo ABC. Com razão 0,5 obtemos a imagem A''B''C'' e com razão -1 obtemos a imagem A'B'C'. ... 64
Figura 17 – Construção do grupo 1. ... 80
Figura 18 – Mapa conceitual do Grupo 3. ... 81
Figura 19 – Construção do grupo 4. ... 82
Figura 20 – Imagem do livro que mostra o eixo de reflexão sobre o segmento PQ. . 85
Figura 21 – Barra de ponto cruz contendo isometrias. ... 86
Figura 22 – Um dos gráficos utilizados no encontro. ... 86
Figura 23 – Produção da professora Maiara. ... 87
Figura 24 – Produção da professora Júlia. ... 87
Figura 25 – Construção de mosaico da professora Maiara. ... 91
Figura 26 – Construção do professor Jonatas. ... 91
Figura 27 – Atividade final Alberto - análise sobre translação. ... 98
Figura 28 – Resolução de atividade e definição de translação de Maiara. ... 99
Figura 29 – Resolução da questão 9 da professora Júlia. ... 100
Figura 31 – Construções de Rotações no geoplano isométrico. ... 102
Figura 32 – Construções de rotações no geoplano quadrado. ... 102
Figura 33 – Professor Jonatas tentando encontrar o centro de rotação. ... 102
Figura 34 – Rotações de quadriláteros em 30° no sentido anti-horário. ... 105
Figura 35 – Logomarcas apresentadas por Jenifer. ... 111
Figura 36 – Imagens apresentadas por Alberto. ... 111
Figura 37 – Logomarca postada por Júlia. ... 112
Figura 38 – Logomarca postada por Débora. ... 112
Figura 39 – Definição de reflexão da professora Jenifer, 7/10/15. ... 112
Figura 40 – Definição de Reflexão da professora Jenifer, 2/12/15. ... 112
Figura 41 – Construção de uma redução - professor Jonatas... 113
Figura 42 – Construção de uma ampliação - professora Jenifer. ... 113
Figura 43 – Ampliação do hexágono – professora Débora. ... 114
Figura 44 – Duas ampliações diferentes do hexágono. ... 114
Figura 45 – Homotetia de razão 2, professora Júlia. ... 115
Figura 46 – Homotetia da flecha rosa de razão 2, evidenciando o centro – professora Jenifer. ... 115
Figura 47 – Erro de medida – lado A’D’ do quadrado A'B'C'D' mede 8 – professor Alberto. ... 115
Figura 48 – Os segmentos não unem os pontos correspondentes – professor João. ... 116
Figura 49 – Solução do professor Jonatas - atividade final. ... 117
Figura 50 – Atividade de ampliação desenvolvida por Alberto. ... 119
Figura 51 – Atividade com malhas, desenvolvida por Jonatas. ... 121
Figura 52 – Recomendação do livro didático, realizada por João. ... 123
Figura 53 – Prática de sala de aula - pós-curso João. ... 124
Figura 54 – Experiência com material manipulável - professor João. ... 124
Figura 55 – Rotação de triângulos feitos no Scrach. ... 125
Figura 56 – Aluna manipulando o software. ... 125
Figura 57 – Atividade de ampliação realizada por Jenifer. ... 127
Figura 58 – Atividade de hilograma desenvolvido por Débora. ... 128
Figura 59 – Hilograma de coruja simétrico. ... 128
Figura 60 – Atividade com molde vazado desenvolvido por Júlia. ... 130
Figura 62 – Júlia compartilha o material pronto. ... 131
Figura 63 – Protótipo de geoplano construído com materiais alternativos. ... 132
Figura 64 – Rebatimento de forma, atividade desenvolvida por Amanda. ... 133
Figura 65 – Atividade de rebatimento, desenvolvida por Amanda. ... 133
Figura 66 – Manipulação no GeoGebra - eixo na reflexão sobre a figura. ... 134
Figura 67 – Reflexão de Amanda sobre a posição do eixo na reflexão. ... 134
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Tempo de atuação docente. ... 74 Gráfico 2 – Formação continuada dos cursistas. ... 74
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Formação X Desenvolvimento Profissional. ... 33
Quadro 2 – Classificações da geometria segundo Parzysz (2006, p. 3). ... 45
Quadro 3 – Inter-relações entre as investigações de Van Hiele, Pais e Parzysz. ... 46
Quadro 4 – Quadro de Referência. ... 65
Quadro 5 – Distribuição da carga horária de acordo com as atividades planejadas. 71 Quadro 6 – Cronograma resumido das atividades do curso. ... 72
Quadro 7 – Professores que concluíram a formação. ... 75
Quadro 8 – Definições sobre isometrias, construídas juntos aos professores. ... 85
Quadro 9 – Atividade 2 sobre ampliação baseada na diagonal do quadrado. ... 88
Quadro 10 – Atividade de ampliação com retângulos no geoplano. ... 88
Quadro 11 – Registros sobre translação relacionada a arrastar algo. ... 96
Quadro 12 – Translação relacionada à ideia de deslocamento... 97
Quadro 13 – Definições de translação relacionadas à ideia de mover. ... 97
Quadro 14 – Comentário de Jonatas no fórum 1, 18/10/15. ... 103
Quadro 15 – Transcrição do áudio - 2º encontro, 07/10/15. ... 106
Quadro 16 – Transcrição parte II - Eixo de reflexão sobre a figura. ... 107
Quadro 17 – Participação de Jenifer no fórum 1, 14/10/15. ... 107
Quadro 18 – Participação de Jonatas no fórum 1, 18/10/15. ... 108
Quadro 19 – Transcrição do áudio - 3º encontro, 21/10/15. ... 109
Quadro 20 – Reflexão da professora Jenifer - 3º encontro, 21/10/15. ... 110
Quadro 21 – Aprendizagem do professor Alberto sobre o curso. ... 119
Quadro 22 – Reflexão de Jonatas sobre sua aprendizagem no curso. ... 121
Quadro 23 – Reflexão pós-curso do professor João. ... 123
Quadro 24 – Reflexão de Maiara sobre seu aprendizado no curso. ... 125
Quadro 25 – Reflexão da Professora Jenifer. ... 127
Quadro 26 – Reflexão de Débora sobre sua participação no curso. ... 129
Quadro 27 – Reflexão de Júlia sobre materiais manipulativos. ... 130
Quadro 28 – Reflexões de Amanda sobre seus objetivos de aprendizagem no curso. ... 133
Quadro 29 – Reflexões de Amanda sobre seu processo de aprendizado. ... 134
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SIGLAS
Capes – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
Ebrapem – Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática
Eja – Educação de Jovens e Adultos
Educimat – Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Vitória
Enem – Encontro Nacional de Educação Matemática EVA – Etil Vinil Acetato
Fapes – Fundação de Amparo a Pesquisa do Espírito Santo
Ifes – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Lem – Laboratório de Ensino de Matemática
MDF – Medium Density Fiberboard Paex – Programa de Apoio à Extensão
Pibid – Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Pivic – Programa Institucional Voluntário de Iniciação Científica
Proeja – Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na Modalidade de Educação de Jovens e Adultos
Projovem – Programa Nacional de Inclusão de Jovens
Sbem-ES – Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Espírito Santo Secim – Seminário de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática Semat – Semana de Matemática do Ifes
Sipem – Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática TPG – Transformações Geométricas no Plano
SUMÁRIO
1 SELECIONANDO GRÁFICOS ... 20
2 SELECIONANDO LINHAS DA FORMAÇÃO DE PROFESSORES ... 26
2.1 REVISÃO DE LITERATURA ... 26
2.2 FORMAÇÃO DE PROFESSORES E PRÁTICA DOCENTE ... 29
2.3 NOSSA PROPOSTA DE FORMAÇÃO ... 35
3 SELECIONANDO O TECIDO DA CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO ... 37
3.1 PROCESSOS DE (RE)CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO . 37 3.2 ENSINO DE GEOMETRIA E DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS .... 48
3.2.1 Materiais manipulativos e o ensino de geometria ... 50
3.2.2 Estudo das transformações geométricas ... 53
3.3 NOSSA PROPOSTA DE ESTUDO ... 64
4 EM BUSCA DO AVESSO PERFEITO ... 68
4.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 68 4.2 CONTEXTO DA PESQUISA ... 70 4.3 PARTICIPANTES DA PESQUISA ... 73 4.4 ETAPAS DA PESQUISA ... 76 4.5 DESCRIÇÃO DA INTERVENÇÃO ... 78 4.6 AVALIAÇÃO DA INTERVENÇÃO ... 92
4.6.1 Avaliação dos participantes ... 93
4.6.2 Nossa avaliação ... 93
5 BORDANDO ... 96
5.1 TRANSLAÇÃO ... 96
5.2 ROTAÇÃO ... 101
5.3 REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UMA RETA ... 105
5.4 HOMOTETIA ... 113
5.5 DESDOBRAMENTOS EM PRÁTICAS DOCENTES ... 117
6 DIVULGANDO O BORDADO ... 135
7 ARREMATANDO AS LINHAS ... 138
7.1 CONSIDERAÇÕES DO CURSO ... 138
7.2 CONSIDERAÇÕES DA PESQUISA ... 140
REFERÊNCIAS ... 145
APÊNDICE A – Planejamento do Curso ... 150 ANEXO A – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ... 167 ANEXO B – Termo de Cessão de Imagem E Voz ... 168
1 SELECIONANDO GRÁFICOS
Inicio1 este trabalho contando minha trajetória educacional, na tentativa de destacar a
origem do desejo de ser professora e as primeiras inquietações que contribuíram para formar as ideias contidas nesta pesquisa.
O meu desejo de ser professora tornou-se evidente quando aos nove anos pedi de presente de aniversário um quadro negro, uma caixinha de giz e um apagador para minha tia. O presente serviu para que eu ‘alfabetizasse’ meu irmão com uma cartilha e uma mesinha de estudos, e ele só ingressou na escola no antigo Pré-III (atual 1º ano) e nunca teve dificuldades de aprendizagem. Durante o ensino fundamental e médio, esse desejo cada vez mais aparente era reforçado nas reuniões com amigos para estudo em vésperas de provas.
Em 2010, quando ingressei no curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes), escutei de vários professores que o objetivo desse curso, iniciado em 2008, era formar professores de Matemática e não bacharéis. Isso muito me alegrava, afinal, não me imagino fazendo outra coisa a não ser ensinar. Durante o curso de Matemática, sempre estive envolvida em projetos de iniciação científica e iniciação à docência. Participei como bolsista do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid), de junho de 2011 a fevereiro de 2014, desenvolvendo em coparticipação com a professora regente atividades didáticas para a transformação do quadro atual, no que se refere ao ensino de matemática. Também participei como voluntária no Programa Institucional Voluntário de Iniciação Científica (Pivic), no período de junho de 2011 a julho de 2013, em dois projetos, sob orientação da professora Sandra Fraga, intitulados: “Materiais didáticos envolvendo matemática
e diferentes bordados manuais de artesanato: investigando e explorando conceitos geométricos com alunos (as) do Proeja” e “Geometria das transformações em atividades didáticas e no ponto cruz”. Nesse contexto, ministramos oficinas para
professores e licenciandos de Matemática sobre transformações geométricas envolvendo gráficos e bordados de ponto cruz. Por meio de questionários, muitos
1Utilizo, nesse primeiro momento, o verbo em primeira pessoa do singular para me referir a vivências
professores relataram que não se sentem seguros para lecionar esse conteúdo e por isso não o abordam em suas aulas.
Concomitantemente à graduação e ao desenvolvimento dos projetos já citados, em outubro de 2012 iniciei minha experiência docente como professora de duas turmas de 8º ano em uma escola pública da rede municipal de Cariacica/ES. Na mesma rede de ensino, no ano seguinte iniciei o primeiro ano letivo como professora de sete turmas (três de 6º ano, duas de 7º ano e duas de 9º ano) em duas escolas.
No meu trabalho de conclusão de curso realizei uma análise de soluções de atividades didáticas, elaboradas na iniciação científica e aplicadas em duas turmas de 8º ano em uma escola estadual em Vitória/ES parceira do Pibid/Ifes. O trabalho intitulado
“Isometrias por meio de atividades didáticas envolvendo bordado em ponto cruz: investigando a produção de alunos” foi apresentado em abril de 2014 e representa
uma continuidade de trabalhos desenvolvidos na graduação.
Em julho do mesmo ano, realizei a prova do mestrado com o objetivo de prosseguir com as pesquisas sobre transformações geométricas em um âmbito maior, com ênfase na formação de professores de Matemática dos anos finais do ensino fundamental. A escolha pelas transformações geométricas como objeto de estudo ocorreu por percebermos2, no desenvolvimento dos projetos de iniciação científica,
que os professores tanto em formação inicial quanto em continuada, apresentavam dificuldades em trabalhar transformações geométricas e na utilização de materiais manipulativos, que servem como suporte para esse conteúdo. As dificuldades apresentadas por professores no que se refere às transformações geométricas coincide com as apresentadas nos referenciais teóricos que embasaram os projetos de iniciação científica, que afirmam que este conteúdo não vem sendo abordado em aulas de matemática por insegurança ou falta de conhecimento por parte do professor (CATUNDA et al., 1988). Inicialmente, a proposta desse projeto era formar um grupo de formação apenas para os professores supervisores do Pibid, porém percebemos
2 A partir daqui, o texto passará a ser escrito na primeira pessoa do plural (nós), por se tratar de um
trabalho em colaboração entre orientanda e orientadora, desde as pesquisas iniciais de iniciação científica.
que o grupo ficaria limitado com poucos professores e que seria difícil encontrar um horário de reunião que atendesse a todos.
Nesse sentido, após leituras e orientações, a proposta foi oferecer um curso de extensão sobre transformações geométricas para professores dos anos finais do ensino fundamental. Organizado como um espaço propício à discussão e reflexão do conteúdo de transformações geométricas, com o uso de materiais manipulativos e atividades investigativas, favorecendo a construção de conhecimentos sobre o tema e aprendizagens docentes. Assim, nosso problema de pesquisa é:
Como uma proposta de formação docente sobre transformações geométricas age em (re)construção de pensamento geométrico e em práticas docentes de professores dos anos finais do ensino fundamental?
Diante desta questão norteadora, o objetivo geral da pesquisa é identificar indícios de
(re)construção do pensamento geométrico e de práticas docentes de professores ao participarem de formação sobre transformações geométricas. Com base nesse
objetivo geral, foram analisados os seguintes objetivos específicos:
Identificar conhecimentos que os professores possuem sobre transformações geométricas;
Relacionar ações do curso com o processo de (re)construção do pensamento geométrico, em especial, sobre transformações geométricas;
Verificar em relatos de experiências sobre práticas docentes dos participantes indícios de (re)construção do pensamento geométrico relacionado à proposta do curso;
Elaborar um caderno de atividades investigativas sobre transformações geométricas com o uso de materiais manipulativos.
Para alcançar os objetivos propostos, elaboramos um curso de extensão para professores de Matemática dos anos finais do ensino fundamental, realizado no Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) durante os meses de setembro a dezembro de 2015, com total de oitenta horas. Assim, o curso representou um espaço para ampliar e constituir uma rede de saberes sobre transformações geométricas com vistas a (re)construir conhecimentos baseado
em práticas colaborativas, adotando uma metodologia que privilegiasse o diálogo e reflexões acerca do conteúdo abordado.
Nesse sentido, a pesquisa de caráter qualitativa está estruturada em sete capítulos, descrita de forma resumida a seguir. Utilizamos nos títulos de cada capítulo frases que fazem associações com o bordado em ponto cruz. A paixão por este tipo bordado é antiga e está relacionada com outra habilidade da pesquisadora, sendo utilizado como recurso para investigar transformações geométricas em outro estudo. Na arte de bordar em ponto cruz, a primeira coisa a fazer é selecionar o gráfico que vamos bordar. Em seguida, devemos selecionar os materiais que serão utilizados, como: linhas, tecido, agulhas. Já para iniciar o bordado utilizamos como recurso a contagem de pontos, que são representados pela letra x; cada x representa um ponto, assim um único bordado contém muitos pontos. Dessa maneira, permeamos as metáforas da arte de bordar na nossa escrita como se estivéssemos bordando a pesquisa, ponto a ponto, e o resultado está apresentado nesta dissertação. A seguir um exemplo de barras bordadas em ponto cruz.
Figura 1 – Barras bordada em ponto cruz.
Fonte: Produzido pela pesquisadora, 2015.
O primeiro capítulo, intitulado Selecionando gráficos, representa o início de tudo, e mostra resumidamente à trajetória do interesse pelo estudo das transformações geométricas e os motivos da escolha desse tema e, em seguida, da justificativa e dos objetivos desta pesquisa. O capítulo 2, intitulado Selecionando linhas da Formação de
professores, aborda uma revisão de literatura sobre outras pesquisas e estudos que
pesquisa, e ainda discute teóricos sobre a formação de professores, apresentando em seguida a nossa proposta de formação.
No capítulo 3, Selecionando o tecido do pensamento geométrico, apresenta os referenciais teóricos da pesquisa divididos em duas seções: uma sobre o ensino de geometria e transformações geométricas, e outra sobre a construção do pensamento geométrico. Em seguida, apresentamos a nossa proposta de análise para a (re)construção do pensamento geométrico.
O capítulo 4, intitulado Em busca do avesso perfeito, apresenta os procedimentos metodológicos envolvidos no desenvolvimento deste trabalho. No bordado em ponto cruz, ter um avesso perfeito é olhar o pano ao lado oposto do bordado e observar o mesmo desenho, porém em linhas e não em x. Precisamos ficar preocupados com a maneira de fazer e isso deve ser feito desde início do bordado, assim entendemos nossos procedimentos metodológicos no qual apresentamos o curso, os participantes e a descrição da intervenção. Na figura 2, ilustramos um bordado com avesso perfeito.
Figura 2 – Barra em ponto cruz e seu avesso perfeito.
Fonte: Produzido pela pesquisadora, 2014.
O capítulo 5, intitulado Bordando, representa o auge deste trabalho, nossa análise dos dados construídos ao longo da nossa pesquisa ao dialogar com nossos referenciais teóricos. No capítulo 6, o bordado está quase pronto e já pode ser divulgado, apresentamos a estrutura do produto educacional. No capítulo 7, intitulado
Assim, ponto a ponto, entre escolhas e bordados chegamos ao presente trabalho/bordado e desejamos que ele possa colaborar com o processo de ensino e aprendizagem de geometria e construção do pensamento geométrico.
2 SELECIONANDO LINHAS DA FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O projeto do curso de formação supracitado constitui uma das ações do programa de extensão Formação Continuada de Professores que Ensinam Matemática e do projeto de pesquisa aprovado pela Fapes3 Laboratório de Matemática do Ifes/Vitória: atividades, reflexões e formação de professores. Essa preocupação em oferecer
cursos de formação para professores tem sido tema central de estudos de diversos pesquisadores da área da Educação Matemática.
A seção a seguir destaca algumas pesquisas que foram realizadas na linha de ensino e aprendizagem da Geometria e do conceito de transformações geométricas e/ou em formações de professores. Julgamos conveniente inserir trabalhos desenvolvidos em diferentes níveis de ensino, incluindo professores e alunos. Esse levantamento contribui para a compreensão das práticas desenvolvidas pelo grupo de professores, a fim de identificar aspectos que dialogam com esta pesquisa.
Na segunda seção, apresentamos nosso referencial teórico relacionado à formação de professores, nos reportando a Ponte (1992, 1998, 2014) e outros autores que abordam esse tema. Em seguida, apresentamos a nossa proposta de formação desenvolvida no curso sobre transformações geométricas.
2.1 REVISÃO DE LITERATURA
O trabalho de Rodrigues (2012) apresenta um estudo sobre potencialidades e possibilidades da inserção das transformações geométricas na educação básica. Para analisar essas potencialidades foi planejado, elaborado, executado e avaliado um conjunto de atividades, desenvolvidas pela própria autora dessa obra, para introduzir o tema na escola básica. A pesquisa que originou a obra foi aplicada em dois grupos, denominados grupo A e grupo B. O grupo A era formado por 29 professoras dos anos iniciais do ensino fundamental, participantes de um curso de formação, e foram realizados três encontros de 8 horas cada um. Com o grupo B, formado por com 36 alunos do 6º ano, em que a pesquisadora lecionava matemática, foram utilizadas 12 aulas para a aplicação da proposta.
Segundo a obra em questão (RODRIGUES, 2012), ao fim da pesquisa ficou evidenciado, por parte das professoras, dificuldades com a nomenclatura e com realização dos movimentos e exploração espacial, enquanto que os alunos de 6º ano apresentaram uma forte concepção técnica da Matemática, ou seja, relacionavam as transformações geométricas restritamente “a um conjunto de procedimentos algorítmicos” (RODRIGUES, 2012, p.147), e por isso, tiveram dificuldades em reconhecer as atividades propostas relacionadas à Matemática.
A dissertação de Medeiros (2012) realiza uma análise para validar a inserção do estudo das transformações geométricas no plano nos cursos de formação continuada à distância de professores de Matemática. Nessa obra a autora utilizou como sujeitos de sua investigação os alunos matriculados na disciplina de Tópicos em Geometria, do curso “Novas Tecnologias no Ensino da Matemática”, em nível de Pós-Graduação
Lato Sensu a distância da Universidade Aberta do Brasil, em parceira com a
Universidade Federal Fluminense, no ano de 2011. Segundo essa obra, as análises das respostas de questionários iniciais serviram para identificar que os alunos e os tutores do curso possuíam vagas noções a respeito do conhecimento sobre transformações geométricas. O desenvolvimento do tema nas sexta e sétima semanas da disciplina Tópicos em Geometria realizou-se por meio de discussões em fóruns temáticos envolvendo os vídeos sugeridos e a leitura dos textos indicados. Ao final da disciplina, os participantes responderam um questionário que mostrou êxito no esclarecimento de conceitos sobre transformações geométricas, e, segundo tal obra, os professores “concordaram que as TGP4 podem e devem ser utilizadas como
um conteúdo integrador entre os ramos da Matemática (aritmética, álgebra e geometria) e da Matemática com outras áreas do saber” (MEDEIROS, 2012, p.98).
O estudo de Magni (2011) identificou e analisou mudanças de concepções de professores do ensino fundamental, a respeito do processo de ensino e aprendizagem de Geometria, enquanto participantes de processo de formação continuada. Baseada em Pires (2000)5 e Pietropaolo (1999)6, a obra afirma que os professores são
4 TGP – Transformações Geométricas no Plano.
5 PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear à ideia de rede. São Paulo: FTD,
2000.
6 PIETROPAOLO, R. C. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática: um estudo dos
resistentes a mudanças, pois suas concepções e crenças, construídas ao longo de suas vidas escolares funcionam como obstáculos no processo de reflexão sobre novas ideias (MAGNI, 2011). Nesse contexto, a finalidade dessa pesquisa foi contribuir para o debate sobre os saberes necessários para que o professor desenvolva um currículo significativo em Matemática. Magni (2011) investigou um grupo com nove professores de Matemática, atuantes nas séries (anos) finais do ensino fundamental e no ensino médio, que participavam do projeto de Pesquisa e Formação da Pós-Graduação em Educação Matemática da Uniban. No decorrer do projeto foram realizadas reuniões quinzenais para discutir e refletir teorias e práticas sobre os conteúdos relativos à Geometria, resolução de atividades propostas e aplicação dessas atividades em sala de aula, e discussões no ambiente virtual visando complementar e integrar os participantes. Segundo essa autora, seu trabalho mostrou que os professores participantes ressignificaram seus respectivos conhecimentos geométricos, compreenderam sua importância no currículo e se sentiram mais seguros para ensinar, embora não se dispusessem facilmente a efetuar mudanças. As pesquisas de Rodrigues (2012) e Medeiros (2012) se aproximam da nossa proposta, pois ambas objetivavam oferecer um curso de formação para professores com a finalidade de ampliar e discutir conceitos sobre transformações geométricas. Essas leituras foram importantes para ilustrar a estrutura de um curso de formação e como ocorreu o planejamento de cada uma, de acordo com a dinâmica de cada pesquisa. A pesquisa de Magni (2011) se aproxima da nossa por também oferecer uma formação para professores de Matemática atuantes no ensino fundamental, com estrutura semelhante, e um curso semipresencial organizado em encontros quinzenais presenciais e discussões em ambiente virtual.
Esses trabalhos evidenciam a importância de discutir conceitos geométricos em cursos de formação continuada com professores do ensino fundamental. A relevância de nosso estudo é confirmada nos estudos de Rodrigues (2012) e Medeiros (2012), que obtiveram resultados satisfatórios ao propor uma formação continuada envolvendo o conteúdo de transformações geométricas.
2.2 FORMAÇÃO DE PROFESSORES E PRÁTICA DOCENTE
As pesquisas sobre formação de professores, incluindo aspectos de conhecimento e aprendizagem, de currículo e avaliação, focados em alunos ou em materiais manipulativos, cresceram significativamente nos últimos anos. Nos dois últimos eventos do ano de 2015 de Educação Matemática, XIX Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática (EBRAPEM)7 e do VI
Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM)8, localizamos
nos anais dos grupos de discussão sobre formação de professores 56 e 29 trabalhos, respectivamente.
Segundo Curi e Pires (2008), educadores do mundo todo se preocuparam muito pouco com a formação de professores e isso foi observado pelas datas de referências dos teóricos citados em trabalhos sobre o tema. Uma causa possível para isso, segundo as autoras, é que o professor deixou de ser visto como um reprodutor/um transmissor de conhecimento para se tornar um profissional que cria possibilidades para a sua construção/produção. Logo, pensar na formação de professores e compreender como atuam baseados em quais conhecimentos e/ou crenças tornou-se fundamental e importante.
A relevância de pesquisas sobre formação de professores é reconhecida por autores como Garcia (1999, p.26), que define a formação de professores como uma:
[...] área de conhecimentos, investigação e de propostas teóricas e práticas que, no âmbito da Didáctica e da Organização Escolar, estuda os processos por meio dos quais os professores - em formação ou em exercício - se implicam, individualmente ou em equipa, em experiências de aprendizagem através das quais adquirem ou melhoram os seus conhecimentos, competências e disposições, e que lhes permitem intervir profissionalmente no desenvolvimento do seu ensino, do currículo e da escola, com o objectivo de melhorar a qualidade da educação que os alunos recebem (grifos nosso).
Corroborando essa ideia, Ponte (2014) afirma que a formação de professores está baseada em dois aspectos: conhecimento profissional e desenvolvimento profissional. Segundo ele, em relação ao primeiro tópico, o professor necessita ter uma formação matemática apropriada e competências didáticas para conduzir o processo de ensino e aprendizagem de Matemática. E, em relação ao desenvolvimento profissional, o
7 Realizado em 30 de outubro a 2 de novembro, em Juiz de Fora – MG. 8 Realizado em 15 a 19 de novembro, em Pirenópolis – GO.
autor destaca que o professor é protagonista do seu processo de crescimento durante as oportunidades de formação. Segundo ele:
[...] a formação representa um movimento de “fora para dentro”, do curso e do formador para o formando, enquanto o desenvolvimento profissional constitui um movimento de “dentro para fora”, do professor em formação para o ambiente onde está inserido (PONTE, 2014, p.346).
Nessa perspectiva, a obra supracitada aponta que o processo de formação deve contribuir para o desenvolvimento da identidade profissional, considerando teoria e prática de forma integrada, implicando no desenvolvimento profissional como um todo, nos seus aspectos cognitivos, afetivos e relacionais. Nóvoa (2002) afirma que estar em formação demanda um investimento pessoal, um trabalho criativo e livre sobre os percursos e os projetos próprios, para a construção da identidade profissional.
Diante do exposto, emergem alguns questionamentos como, por exemplo: que modelo de formação alcança todos esses aspectos? Se existe, é bem sucedido? Quais são as implicações desse modelo para a prática profissional do professor? Segundo Ponte (2014), geralmente, os modelos de formação assumem um caráter
“escolar”, centrado na transmissão de conteúdos formativos, sem levar em
consideração a atividade a ser desenvolvida pelo formando. Seus estudos possibilitaram a elaboração do que ele denomina de um dispositivo prático de
formação. Ele destaca sete ideias fundamentais que auxiliam o processo de
aprendizagem e formação em ambientes formativos e que proporcionam espaços de reflexão, participação em práticas sociais, com um envolvimento pessoal forte e um suporte dado pelo grupo social em que participa. São eles: colaboração; prática como
ponto de partida da formação; foco na aprendizagem do aluno; integração entre conteúdo e pedagogia; investigação profissional; mudança nos contextos profissionais; e tecnologias e uso de recursos.
Essas ideias trazidas por Ponte (2014) justificam-se por inúmeras pesquisas realizadas em diversos programas de formação contínua de professores de Matemática bem sucedidos em Portugal. Segundo ele, cursos de formação com práticas colaborativas é um elemento importante nos dispositivos de formação, pois nesses espaços surgem oportunidades do professor exteriorizar suas inquietações,
pensamentos e práticas docentes, e todos os participantes tem algo a ensinar e a aprender uns com os outros. Em relação a isso, Ponte (1998, p.10) destaca que:
o desenvolvimento profissional é favorecido por contextos colaborativos (institucionais, associativos, formais ou informais) onde o professor tem oportunidade de interagir com outros e sentir-se apoiado, onde pode conferir as suas experiências e recolher informações importantes (grifos nossos).
Nesses ambientes, as experiências e reflexões são orientadas pelo formador/investigador, fornecendo um suporte à prática do professor, estimulando-o a uma mudança na própria prática profissional, cercado por momentos de reflexão. Nesse sentido, Nóvoa (2002) advoga que a troca de experiências e o compartilhamento de saberes estabelecem redes de formação mútua e ocorrem entre todos os participantes de um grupo em formação, em que cada professor é chamado a desempenhar, simultaneamente, o papel de formador e formando.
A formação ainda deve integrar conteúdo e pedagogia, tentando articular estratégias e/ou metodologias que facilitem o entendimento dos conteúdos, considerando os aspectos matemáticos, didáticos e pedagógicos. Para isso, é importante conhecer dificuldades apresentadas pelos alunos em determinados tópicos da Matemática, ter tentando partir de conhecimentos prévios dos alunos e criar espaços para a negociação de significados.
Outra ideia considerada por Ponte (2014) é que uma formação de professores deve privilegiar espaços de investigação sobre a própria prática para que, com base em atitudes reflexivas da prática, as intervenções sejam mais significativas. Em relação a isso, concordamos com Bolzan (2002), que afirma:
Ao refletir sobre sua ação pedagógica, o professor estará atuando como um pesquisador da sua própria sala de aula, deixando de seguir cegamente as prescrições impostas pela administração escolar (coordenação pedagógica e direção) ou pelos esquemas preestabelecidos nos livros didáticos, não dependendo de regras, técnicas, guia de estratégias e receitas decorrentes de uma teoria proposta/imposta de fora, tornando-se ele próprio um produtor de conhecimento profissional e pedagógico (BOLZAN, 2002, p.17, grifos nossos).
Segundo Nóvoa (2002), a formação contínua de professores deve basear-se em processos de reflexão na prática e sobre prática, por meio de investigação-ação e de investigação-formação. Ainda pelos pressupostos estabelecidos pelo autor, esses
momentos envolvidos por uma reflexão crítica facilitam a apropriação de saberes mobilizados pelos professores no exercício docente.
As tecnologias e os recursos didáticos também são considerados importantes por Ponte (2014) para a formação de professores. Esses recursos, que podem ser digitais (aplicativos, softwares etc.) ou convencionais (régua, compasso, geoplano etc.), fornecem potencialidades para um trabalho significativo nas aulas de matemática, e devem ser discutidos para fornecer subsídios ao professor para identificar e selecionar os recursos pretendidos.
Ainda na obra em análise, verificamos que cada formação deve considerar o que pode ser útil no processo formativo para o desenvolvimento profissional e, além disso, deve reconhecer a efetiva necessidade de cada grupo de professores em formação, inicial ou em serviço, levando em consideração os conteúdos prioritários, o tempo e os recursos disponíveis.
Desde 1992, o pesquisador João Pedro da Ponte investiga a formação de professores por meio de ensaios de programas de formação em uma perspectiva de projeto
pedagógico. Esse projeto promovia dinâmicas de grupo, envolvendo os professores
na realização de atividades práticas, com a proposta de produzir materiais pedagógicos e refletir sobre a sua utilização em sala de aula. Tal dinâmica permitiu observar os desafios que esse trabalho enfrentaria, o que pode se constatar a seguir:
De um modo geral, os professores reagem muito bem às propostas de actividades práticas. Envolvem-se, ficam entusiasmados, consideram positivo encarar a Matemática de forma activa. A troca de experiências tende igualmente a proporcionar satisfação. No entanto, verificou-se nestes estudos que não é muito fácil que os professores comecem a produzir propostas pedagógicas para as suas aulas, que a discussão pedagógica sobre a utilização destas actividades não tende a ser muito conseguida, e que o processo de os envolver na reflexão sobre as suas próprias práticas é extremamente difícil (PONTE, 1992, p.30, grifos nossos).
A incorporação de novas práticas docentes é um processo que não acontece de maneira espontânea, pois é necessário abandonar práticas construídas após anos de experiência. Ibiapina (2008, p.53) advoga que:
A alteração desses quadros se dá a partir do momento em que se traz à tona as necessidades formativas e os conhecimentos prévios e se cria condições para o preenchimento das lacunas formativas e reelaboração desses
conhecimentos por intermédio de estudos e reflexão sistematizados colaborativamente.
No decorrer dos estudos apresentados em Ponte (1992, 1998, 2014) sobre formação de professores, diferenciam-se duas perspectivas de formação: uma do tipo
“reciclagem” e outra que promove o desenvolvimento profissional.
Para Ponte (1998, 2014), a formação do tipo “reciclagem” está associada à ideia de frequentar cursos com carga horária de aproximadamente 50 horas (ou 1 mês de duração) e tem o objetivo de atender a uma carência do professor, sendo baseado na teoria e geralmente não há parte prática, ou seja, foca em aspectos teóricos de assuntos ou da disciplina.
O desenvolvimento profissional traz a ideia de capacitação profissional, envolve diversas etapas, e é um processo sempre incompleto. Nessas etapas incluem-se reflexão, estudo, leitura, atividades com projetos, trocas de experiências e atividades práticas. No desenvolvimento profissional considera-se a teoria e prática de forma interligada e o professor deixa de ser objeto para ser sujeito da formação (PONTE, 1998).
Em síntese, apresentamos no quadro a seguir algumas diferenças entre formação e desenvolvimento profissional evidenciadas pelo estudo.
Quadro 1 – Formação X Desenvolvimento Profissional.
Formação Desenvolvimento Profissional
Está associada à ideia de frequentar cursos de pequena duração.
Desenvolve-se de diversas formas, envolve processos de reflexão e estudo e inclui a realização de cursos, mas não se limita a isso. Movimento de fora para dentro. Movimento de dentro para fora.
Possui um caráter emergencial, para atender a alguma carência do professor.
Processo inacabado, sempre há algo novo a aprender, baseia-se no que o professor tem e que aspectos podem ser desenvolvidos.
Concentra-se em aspectos teóricos de assuntos ou por conteúdo, geralmente não há parte prática.
Envolve a pessoa do professor como um todo, em seus aspectos cognitivos, afetivos e relacionais.
Teoria e prática estão interligadas. Fonte: Elaborado pela pesquisadora, 2016.
No debate sobre formação de professores, tornou-se um campo fértil para pesquisas investigar sobre o conhecimento do professor, suas características, seu processo formativo e que conhecimentos são essenciais para o ensino. Nóvoa (2002) afirma
que é difícil definir conhecimento profissional, pois ele é composto por uma dimensão teórica, uma prática e uma experiencial.
O conhecimento produzido pelo professor também tem particularidades que foram estudadas e apresentadas em Shulman (1986), ao defender que cada área do conhecimento possui uma especificidade própria que justifica a necessidade de investigar o conhecimento produzido pelo professor tendo em vista a disciplina que ele leciona.
O processo formativo docente, segundo a perspectiva apresentada nessa obra, deve considerar duas premissas dentro das competências necessárias ao ensino. Para tal referencial, o professor deve produzir: conhecimento de conteúdo específico e conhecimento pedagógico de conteúdo. Shulman (1986) define conhecimento de conteúdo específico como dominar os conceitos e as ideias de uma área de conhecimento, considerando as formas de construção de conhecimento dentro de uma determinada área. O conhecimento pedagógico de conteúdo, conforme essa visão, é o mais importante e se caracteriza como um elo entre o conteúdo e a pedagogia, sendo produzido pelo professor na soma de tentativas de ensinar um tópico em particular aos alunos. Nesse tópico estão incluídas:
[...] as representações mais úteis de tais ideias, as analogias mais poderosas, ilustrações, exemplos, explanações e demonstrações – em outras palavras, os modos de representar e formular o conteúdo que o tornam compreensível para os outros [...] (SHULMAN, 1986, p.9).
Nesse viés, para ensinar o professor precisa entender e compreender os dispositivos facilitadores e aqueles que podem causar obstáculos, tanto epistemológicos quanto didáticos, da disciplina a lecionar. Essa compreensão deve considerar diferentes estratégias, fazendo uso de diversas perspectivas ou abordagens, criando relações entre outros ramos da disciplina a ser lecionada, bem como possíveis relações da mesma com outras. Dessa forma, o conteúdo a ser ensinado passa por uma transformação e o professor deve adaptá-lo, considerando os diversos níveis de habilidades, conhecimentos e formação de seus alunos. Nesse sentido, os PCNs afirmam que:
o conhecimento matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado para se tornar passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático teórico não são passíveis de comunicação direta aos alunos (BRASIL, 1998, p.30).
Essa transformação requer “a identificação de representações alternativas para a apresentação do conteúdo: a escolha de modelos, analogias, metáforas, exemplos, simulações, etc.” (SZTAJN, 2002, p.19). Por essa ótica, o professor deve possuir uma visão integrada dos conteúdos matemáticos, recorrendo a um mesmo conceito em diversos contextos e avaliar qual é a mais adequada para cada momento.
2.3 NOSSA PROPOSTA DE FORMAÇÃO
A apropriação de ideias discutidas na seção anterior sobre o processo formativo de professores, assim como os tipos de formação sugeridos, contribuiu para elaborarmos uma proposta de formação com práticas colaborativas e de cunho investigativo sobre transformações geométricas.
Nossa intenção foi desenvolver um curso de formação que privilegiasse o desenvolvimento profissional docente, aprofundar o processo de (re)construção do pensamento geométrico, em especial, a respeito de transformações geométricas baseada em atividades práticas, e reconhecer a necessidade de reflexão da/e sobre a prática docente.
Diante disso, organizamos um curso de extensão sobre transformações geométricas, destinado a professores de Matemática dos anos finais do ensino fundamental. O curso semipresencial, com carga horária de 80 horas, foi organizado em encontros presenciais quinzenais além de atividades não presenciais. Os encontros presenciais foram destinados ao estudo e à resolução de atividades sobre o tema abordado, em uma abordagem que privilegiou a investigação matemática e o uso de materiais manipulativos.
As atividades não presenciais, via ambiente virtual, visavam complementar as discussões dos encontros presenciais e criar um espaço dinâmico para a troca de experiências e reflexões. No decorrer do curso, cada participante deveria escolher uma prática desenvolvida no curso e aplicá-la em sua sala de aula e compartilhar experiências vivenciadas baseadas nas rodas de conversas no último encontro presencial. Essa dinâmica de frequentar curso, produzir/aplicar atividades sobre o tema em suas salas de aulas e trazer retorno do desenvolvimento para reflexão do
grupo é algo pouco comum em cursos de formações de professores e se assemelha à proposta apresentada em Ponte (1992) envolvendo projeto pedagógico.
As contribuições de Ponte (1992, 1998, 2014) sobre a formação de professores são importantes e pertinentes para este trabalho. O nosso curso, no primeiro momento, apresentou um indicativo semelhante a cursos de “reciclagem”, tal como definido nas obras em questão, pois apresentava um tema delimitado e uma carga horária compacta. Porém, entendemos que o curso sobre transformações geométricas oferecido no contexto desta pesquisa apresentou aspectos de desenvolvimento profissional pelas características descritas pelas obras em análise para formação desse tipo.
O objetivo do desenvolvimento profissional é “tornar os professores mais aptos a conduzir um ensino da Matemática adaptado às necessidades e aos interesses de cada aluno e a contribuir para a melhoria das instituições educativas, realizando-se pessoal e profissionalmente” (PONTE 1998, p.3). Buscamos durante o curso desenvolver práticas que colaborassem para a adoção de uma postura diferenciada frente à Geometria, em especial as transformações geométricas, e a utilização de materiais manipulativos.
3 SELECIONANDO O TECIDO DA CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
Este capítulo é dedicado ao estudo do processo de construção do pensamento geométrico e das transformações geométricas. Na primeira seção, discutimos como se desenvolve o processo de construção do pensamento geométrico baseado nos estudos desenvolvidos pelo casal Van Hiele (1984a, 1984b), Pais (1996, 2013) e Parzysz (2006). Na segunda seção, discutimos teóricos que apontam aspectos relevantes sobre o ensino de geometria, em especial sobre o ensino de transformações geométricas. Apresentamos ainda um estudo matemático sobre as transformações geométricas no plano euclidiano. Em seguida, tratamos de nossa proposta para análise de indícios de (re)construção do pensamento geométrico e das transformações geométricas.
3.1 PROCESSOS DE (RE)CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO O processo de desenvolvimento do pensamento geométrico tem sido estudado principalmente à luz de teorias que investigam dificuldades no processo dedutivo da Geometria. Dentre as diversas inquietações que movem esses estudos encontra-se o motivo de que os alunos se desenvolvem bem em outras áreas da Matemática, porém apresentam dificuldades em dominar os elementos do pensamento geométrico (NASSER, 1990).
Na tentativa de compreender o processo de construção do pensamento geométrico, analisamos diferentes pesquisas que tratam do desenvolvimento desse pensamento. Assim, destacamos a relevância dos estudos realizados pelo casal Van Hiele, ao investigarem dificuldades de seus alunos em Geometria e desenvolverem um modelo na tentativa de compreender como os mesmos produzem conhecimento a respeito da Geometria.
O Modelo de Pensamento Geométrico de Van Hiele, criado pelos professores holandeses Pierre Marie Van Hiele e sua esposa Dina Van Hiele-Geldof, emergiu dos trabalhos de doutorado do casal (VAN HIELE, 1984a; VAN HIELE-GELDOF, 1984b)9,
concluídos em 1957. Nos anos de 1950, Pierre e Dina Van Hiele eram professores de
9 Usamos esta referência para remetermo-nos à tradução dos trabalhos originais publicados pelo
Geometria no ensino secundário, na Holanda, onde observaram que seus alunos apresentavam dificuldades na construção do pensamento geométrico. Com base em suas experiências docentes, elaboraram um modelo que permite analisar como se constrói o processo de compreensão de conceitos relacionados à Geometria. O modelo está organizado em duas partes: a primeira descreve a estrutura cognitiva, composta por níveis a serem percorridos pelo aluno para a compreensão de um conceito geométrico; a segunda apresenta orientações de ensino ao professor de como auxiliar os alunos no desenvolvimento de conceitos geométricos, composta por fases de aprendizado10.
Como Dina faleceu logo após finalizar sua tese, Pierre ficou responsável por aperfeiçoar e disseminar a teoria. A divulgação dos trabalhos dos Van Hiele foi dificultada por causa da língua original de publicação dos trabalhos, o holandês. Em 1957, Pierre Van Hiele apresentou o artigo “O pensamento da criança e Geometria” no Congresso de Educação Matemática na França, despertando a atenção de pesquisadores internacionais, porém o artigo só foi publicado em francês dois anos depois (NASSER, 1990).
O modelo é composto por cinco níveis de compreensão do pensamento geométrico, denominados: visualização, análise, ordem, dedução e rigor (HERSHKOWITZ, 1994). Os níveis são apresentados a seguir em uma descrição resumida, baseada em Hershkowitz (1994), Crowley (1994) e Kallef (2008).
O nível 0 (ou básico) é o da visualização ou reconhecimento, em que os alunos percebem os conceitos geométricos em termos de aparência física, por meio de considerações visuais. As figuras geométricas são reconhecidas pela sua forma (aparência) e não pelas suas propriedades. Nesse nível, um aluno consegue aprender um vocabulário geométrico, identifica formas específicas e reproduz uma figura dada. O nível 1 é o de análise, em que os alunos começam a diferenciar características de figuras geométricas por meio de observação e experimentação. Nesse nível, um aluno raciocina sobre os conceitos geométricos, estabelecendo as propriedades utilizadas
10Como o foco desse trabalho é entender como se desenvolve o processo de pensamento
geométrico, enfatizamos os níveis de compreensão do pensamento e não vamos descrever as fases de aprendizagem descritas pela Teoria de Van Hiele.
para conceituarem as classes e formas, porém ainda não são capazes de explicar as relações entre propriedades, pois não as visualizam.
O nível 2 é o da ordem (dedução informal), no qual os alunos conseguem estabelecer inter-relações de propriedades tanto dentro de uma figura quanto entre figuras. Assim, as classes de figuras são reconhecidas, a dedução de propriedades de uma figura é compreendida e a inclusão ou a interseção de classes são entendidas, porém um aluno pertencente a esse nível não compreende o significado de uma dedução como um todo ou o papel dos axiomas.
O nível 3 é o da dedução (dedução formal), em que os alunos são capazes de compreender o significado da dedução como uma forma de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. Os alunos pertencentes a esse nível são capazes de construir uma demonstração de mais de uma maneira, e compreendem o papel dos termos não definidos (axiomas, postulados, definições e teoremas).
O nível 4 é o do rigor, em que os alunos são capazes de compreender a importância do rigor nas demonstrações e de estudar as geometrias não euclidianas. Nesse nível é possível comparar os diferentes sistemas dedutivos e a geometria é visualizada no plano abstrato.
De acordo com o modelo de Van Hiele, o processo de construção do pensamento geométrico ocorre por meio de atividades exploratórias, em que os alunos descobrem os conceitos geométricos por meio de experimentação, observação e manipulação de materiais, em uma postura investigativa, preparando o caminho para uma prova formal posterior (VAN HIELE-GELDOF, 1984b).
Segundo Hershkowitz (1994), o modelo de Van Hiele foi modificado e reduzido aos três primeiros níveis pelo próprio Van Hiele (1987, apud HERSHKOWITZ, 1994), que acreditava que era praticamente impossível atingir o quarto nível no ensino secundário. Van Hiele (1999), já considerando os três primeiros níveis de compreensão do pensamento geométrico, destaca que se o aluno não alcançar o terceiro nível de compreensão (dedução informal) a sua aprendizagem no estudo da
Geometria euclidiana não será bem sucedida, pois envolve a dedução formal (o papel dos axiomas, definições, teoremas e suas inter-relações).
Villiers (2010) afirma que são várias as razões que justificam a não assimilação dos conceitos geométricos. Em primeiro lugar, as definições apresentadas no livro didático pertencem ao nível três de compreensão do modelo de Van Hiele, e são apresentadas aos alunos de forma pronta, simplesmente para serem assimiladas e utilizadas como verdades em demonstrações. Outra razão considerada pela obra em curso é que professores e alunos pertencem a níveis diferentes de pensamento geométrico, ou seja, os alunos não entendem o que professor explica, pois pertencem a um nível inferior de pensamento geométrico e o currículo desenvolvido pertence a um nível superior ao dos alunos.
Ainda é importante destacar outras características do modelo de Van Hiele para o pensamento geométrico:
(a) Hierarquia: os níveis obedecem a uma sequência, isto é, para atingir certo nível o individuo deve passar antes pelos níveis inferiores;
(b) Linguística: cada nível tem sua própria linguagem, conjunto de símbolos e sistema de relações. Por exemplo, no nível básico, o aluno se refere a ângulos de mesma medida como “iguais” e, no nível dois, como “congruentes”.
(c) Intrínseco e Extrínseco: o que está implícito num nível torna-se explicito no próximo nível.
(d) Avanço: o progresso entre os níveis depende mais de instrução do que da idade ou maturidade do aluno.
(e) Desnível: não há entendimento entre duas pessoas que estão raciocinando em níveis diferentes ou se a instrução é dada num nível mais avançado que o atingido pelo aluno (NASSER, 1990, p.95)
Para Nasser (1990, p. 93), um ponto positivo da Teoria do Van Hiele é o fato dela ter se originado dentro de uma sala de aula. Hershkowitz (1994, p.7) destaca que “a generalidade e a globalidade do modelo do Van Hiele são ao mesmo tempo sua força e sua fraqueza”. Embora essa teoria seja importante para o estudo do desenvolvimento do pensamento geométrico, concordamos com Hershkowitz (1994) que a ordem fixa hierarquizada de progressão dos níveis de compreensão do modelo de Van Hiele cria ‘rótulos’ para classificar o pensamento geométrico como se esse fosse construído de forma fragmentada, desconsiderando todo o processo de aprendizagem dos conteúdos.
Nesse sentido, destacamos que as contribuições apresentadas pela Teoria de Van Hiele contêm aspectos importantes a serem considerados na busca para compreender o desenvolvimento do pensamento geométrico, contudo entendemos e concordamos com as críticas realizadas. É importante nos posicionarmos em relação a essa teoria. Notamos, por exemplo, que um aluno pode conhecer e estabelecer relações concretas sobre triângulos e pertencer ao nível 3 dessa teoria. Porém, esse mesmo aluno pode pertencer ao nível 1 se o conteúdo considerado for círculo. Assim, classificar os alunos em níveis fechados e hierárquicos não condiz com a realidade do pensamento geométrico como um todo. O mais importante é conhecer os níveis e suas propriedades para ajudarmos os alunos a construírem o pensamento geométrico com base nos diferentes níveis existentes para cada conteúdo geométrico.
Salientamos que este trabalho não classificará o pensamento geométrico por níveis, mas serão descritos posteriormente os aspectos considerados, relacionando-os com os pressupostos da teoria.
Pais (2013) também apresenta um estudo relacionado ao pensamento geométrico defendendo três aspectos fundamentais que influenciam a construção desse pensamento: o intuitivo; o experimental; o teórico. Segundo essa obra, estes três aspectos formam a estrutura básica de uma teoria epistemológica da Geometria, desenvolvida por Gonseth (1945)11, em que a construção do conhecimento teórico
geométrico considera as dimensões teóricas e experimentais. Nesse contexto, Pais (2013) analisa quatro elementos fundamentais que influenciam o processo de ensino e aprendizagem da Geometria euclidiana plana e espacial. São eles: objeto; desenho; imagem mental; conceito.
O termo objeto é considerado por Pais (2013) como um recurso manipulativo, utilizado na fase inicial da aprendizagem, com o objetivo de destacar aspectos visuais de um conceito. Por exemplo, os objetos associados ao conceito de cubo podem ser um dado ou um cubo construído de madeira, plástico ou outros materiais. Nesse sentido, os objetos são entendidos como recursos didáticos, que contribuem para a expansão
