Equações parabólicas quase lineares e fluxos de curvatura média em espaços euclidianos

E

DUARDO

E

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RAMAKI

H

ITOMI

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QUAÇÕES

P

ARABÓLICAS

Q

UASE

L

INEARES

E

F

LUXOS DE

C

URVATURA

M

ÉDIA EM

E

SPAÇOS

E

UCLIDIANOS

CAMPINAS 2015

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Hitomi, Eduardo Eizo Aramaki,

H638e

Hit

Equações parabólicas quase lineares e fluxos de curvatura média em espaços

euclidianos / Eduardo Eizo Aramaki Hitomi. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

Hit

Orientador: Olivâine Santana de Queiroz.

Hit

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Hit

1. Fluxo de curvatura. 2. Geometria diferencial global. 3. Equações diferenciais

parabólicas. I. Queiroz, Olivâine Santana de,1977-. II. Universidade Estadual de

Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Quasilinear parabolic equations and mean curvature flows in

Euclidean spaces

Palavras-chave em inglês:

Curvature flow

Global differential geometry

Parabolic differential equations

Área de concentração: Matemática

Titulação: Mestre em Matemática

Banca examinadora:

Olivâine Santana de Queiroz [Orientador]

Sérgio de Moura Almaraz

Mahendra Prasad Panthee

Data de defesa: 06-03-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Abstract

In this dissertation we study the mean curvature flow in Euclidean spaces from the analytic and geometric point of view. We deal initially with short-time existence and regularity of a solution for second order quasilinear parabolic equations on Riemannian manifolds, which is essential to guarantee the short-time existence of a smooth solution to the mean curvature flow. In a second part, we present some results concerning the behavior of the evolving hypersurface close to the maximal time of existence of a smooth solution, by means of Maximum Principles and evolution equations of the associated geometric components. Close to this maximal time, we analyse the formation of singularities of Type I by means of rescalings and Huisken’s Monotonicity Formula, and of Type II by means of a blow-up technique due to Hamilton. In particular, we reserve the case of curves to a separate chapter, where we present some classical results in curve-shortening flow theory.

Resumo

Nesta dissertação realizamos um estudo sobre o fluxo de curvatura média em espaços Euclidianos sob as perspectivas analítica e geométrica. Tratamos inicialmente da existência e regularidade de soluções em tempos pequenos de equações parabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Riemannianas, o que é essencial para garantirmos a existência de uma solução suave em tempo pequeno do fluxo de curvatura média. Em uma segunda parte, passamos a alguns resultados sobre o comportamento no intervalo maximal de existência de uma solução suave da hipersuperfície em evolução, por meio de equações das componentes geométricas associadas e de Princípios de Máximo. Próximo desse tempo maximal, analisamos a formação de singularidades do Tipo I por meio da Fórmula de Monotonicidade de Huisken e de rescalings, e do Tipo II por meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos o caso de curvas a um capítulo a parte e apresentamos resultados clássicos da teoria de curve-shortening flows.

Sumário

Agradecimentos xi

1 Equações parabólicas quase lineares em variedades Riemannianas 3

1.1 Caso linear . . . 3

1.2 Caso quase linear . . . 18

2 O fluxo de curvatura média 29 2.1 O fluxo de curvatura média . . . 29

2.2 Invariância . . . 32

2.3 Solução em tempo pequeno . . . 34

2.4 Exemplos . . . 36

3 Evolução pela curvatura média 43 3.1 Evolução de quantidades geométricas . . . 43

3.2 Princípios de Máximo . . . 47 3.3 Princípio de Comparação . . . 50 3.4 Consequências . . . 54 3.5 Convexidade . . . 60 4 Singularidades do tipo I 67 4.1 Fórmulas de Monotonicidade . . . 67 4.2 Singularidades do tipo I . . . 72 4.3 Análise . . . 86 4.4 Convexidade em média . . . 89

5 Singularidades de tipo II e o caso de curvas planas 95 5.1 Blow-uppara singularidades de tipo II . . . 95

5.2 Curvas planas . . . 102

Apêndice 116 A Notação 117 B Fatos de Análise Geométrica 119 B.1 Geometria Riemanniana . . . 119

B.2 Espaços de Sobolev em variedades . . . 121

B.3 Teoria Geométrica da Medida . . . 122

Referências bibliográficas 125

Agradecimentos

Primeiramente a Deus por tudo, principalmente por conduzir a minha vida em uma lógica na qual prevalecem a fé, a esperança e sobretudo o amor nas pessoas.

Ao Professor Olivâine de Queiroz pela orientação acadêmica, incentivo e paciência com tolas perguntas, mesmo quando mal as conseguia formular (ainda uma realidade!). Sem dúvida meu gosto por equações diferenciais parciais é culpa de suas belas interpretações simples e elegantes sobre resultados cabeludos. Agradeço muito a oportunidade que me deu de entrar em contato com Análise Geométrica e elaborar este trabalho.

Aos professores do Departamento de Matemática do IMECC que sempre foram acolhedores e exemplares em dedicação, em especial ao Professor Alcibíades Rigas pelo incentivo paciente e preciso às minhas ideias e interesses; e aos Professores Márcio Rosa, Paulo Ruffino e Diego Ledesma pelo apoio. Também agradeço à Professora Ketty de Rezende pelo auxílio durante o PED, tornando minha primeira experiência didática altamente agradável e motivadora.

À minha família, em especial aos meus pais Isaura e Pedro e às minhas irmãs Ana Caroline e Vanessa, pelo apoio incon-dicional e por acreditarem em mim em cada etapa de minha vida. Enfatizo em particular o agradecimento à minha mãe, meu exemplo de vida.

À Giulia pelo companheirismo, carinho, amizade e amor a cada segundo. Obrigado por ser quem é, por me ensinar tanto a cada dia e me fazer (extremamente) feliz.

Aos amigos de vida e dos (tantos) anos de Unicamp. Certamente injusto ao não citar todos, agradeço em particular ao Lucas, Caco, Otto, Guilherme, Danilo, Felipe, Matheo, Thiago e Luis Ricardo por tanto se importarem e compartilharem mo-mentos ruins e bons nesses últimos dois anos. Agradeço ainda ao Professor John C. por me convencer a retornar à Matemática mesmo de tão longe.

Aos funcionários da Secretaria de Pós - Graduação e da Biblioteca do IMECC por todo o auxílio, gentileza e compreensão. Finalmente, agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro.

Introdução

Consideremos uma imersão suave de codimensão k > 0, ϕ0:M → N, de uma n-variedade suave M em uma (n +

k)-variedade Riemanniana suave (N,g). Dizemos que ϕ0(M) ⊂ N evolui pela curvatura média, se existe uma família de imersões

suaves, ϕt:M → N, com t ∈ [0,T), para algum T > 0, tal que a aplicação ϕ : M × [0,T) → N, definida por ϕ(p,t) = ϕt(p),

para todo p ∈M e t ∈ [0,T), é uma solução do sistema

   ∂ ϕ ∂ t (p,t) = H(p,t)ν(p,t) emM × (0,T), ϕ (·, 0) = ϕ0(·) em {0} ×M, (FCM)

onde H(p,t) e ν(p,t) são respectivamente a curvatura média e a normal unitária deMt= ϕt(M) no ponto p ∈ M. Assim, a

evolução ocorre na direção da normal com módulo da velocidade igual à da curvatura média em cada ponto. Lidamos nesta

dissertação com fluxo extrínseco mais simples geometricamente, que é o caso do espaço ambiente EuclidianoN = Rn+1.

Do ponto de vista de Equações Diferenciais Parciais, podemos ver a equação para o fluxo de curvatura média como ∆g(t)ϕ ( p, t) = H(p, t)ν (p, t),

para todo p ∈M e t ∈ [0,T), onde ∆_g(t)é o operador de Laplace-Beltrami sobreM associado à métrica g(t) induzida pela

imersão ϕt, isto é, estamos lidando com um tipo de equação do calor geométrica. Pode-se mostrar que o problema (FCM) é um

sistema parabólico e que possui uma única solução suave para tempos pequenos. Além disso, as soluções satisfazem Princípios de Máximo e de Comparação similares ao caso de equações diferenciais parciais parabólicas em espaços Euclidianos. Por outro lado, como o operador de Laplace-Beltrami evolui com a própria hipersuperfície, certos contrastes com a equação do calor clássica surgem. Em particular, o fluxo é descrito por um sistema quase linear de equações diferenciais parciais de

evoluçãoe soluções existem em geral somente para tempos pequenos.

O fluxo de curvatura média advém de fenômenos físicos envolvendo tensão superficial, como é o caso da descrição da evolução de interfaces em diversos modelos físicos multifásicos. Na realidade, o artigo [43] de 1956 de Mullins é considerado como o nascimento do fluxo de curvatura média, observando que o comportamento da formação de grãos no processo de solidificação de metal ocorre de maneira proporcional à curvatura média. O principal motivo para esta propriedade é que estamos lidando com um fluxo gradiente do funcional área e, logo, aparece naturalmente como modelo em problemas onde a energia superficial é importante. Apenas em 1978 que Brakke em [9] formalizou de forma pioneira a estrutura da evolução pela curvatura média sob a ótica da Teoria Geométrica da Medida utilizando a formulação por varifolds, que são generalizações de variedades diferenciáveis. Outra propriedade interessante, advinda da natureza parabólica do sistema, é o efeito regularizante sobre as hipersuperfícies, o que permite a aplicação em processamentos de imagens ([36] e [13]). Ainda, outras frentes de aplicações incluem equações de reação difusão ([2]) e relatividade geral (Capítulo 12 de [51]).

A dissertação traz uma introdução ao fluxo de curvatura média seguindo primariamente as direções de [38], [51], [8] e [14], acompanhados dos trabalhos originais [31], [39], [28], [30], [23], [48], entre outros. Passamos a descrever a maneira com que esta dissertação está organizada.

No Capítulo 1, adentramos à teoria de equações parabólicas quase lineares em variedades e verificamos primariamente a existência de uma solução suave do fluxo em tempo finito das equações de segunda ordem, seguindo a abordagem de [31] e [39], essencial para demonstrarmos a existência do fluxo de curvatura média, ponto principal do Capítulo 2. Neste, mostramos ainda a noção como minimizador do funcional área associado e apresentamos exemplos clássicos de soluções que revelam um pouco do comportamento geométrico durante o fluxo. Esses dois primeiros capítulos formam a primeira parte do trabalho.

maximal de tempo de existência de solução suave: primeiro derivamos as evoluções dos elementos geométricos associados; em seguida, avaliamos os Princípios de Máximo e de Comparação ([23]), e suas consequências na evolução. Em especial, caracterizamos o comportamento de hipersuperfícies com um certo grau de convexidade.

No Capítulo 4, iniciamos a verificação do comportamento p´roximo do tempo maximal de existência de solução suave, isto é, próximo da formação de singularidades. Em especial, tratamos aqui as de tipo I, quando na realidade há uma limitação para a taxa de blow-up da curvatura. Caracterizamos o comportamento geométrico ao redor desses pontos via a Fórmula

de Monotonicidade de Huisken([28]) e apresentamos o resultado de classificação de Huisken ([30]) para hipersuperfícies

compactas e convexas em média, isto é, com curvatura média não-negativa.

Reservamos o Capítulo 5 para tratar o caso da evolução de curvas planas, para as quais já se conhece melhor o comporta-mento tanto no intervalo de existência de solução suave do fluxo, quanto próximo de pontos em regiões que se tornam muito rapidamente curvas, isto é, perde-se a limitação da taxa de blow-up da curvatura, conhecidos como singularidades de tipo II. Nesse contexto, demonstramos alguns resultados mais gerais, como um método de blow-up e a Desigualdade de Harnack [25] desenvolvidas por Hamilton. Apresentamos resultados como a classificação de Abresch e Langer ([1]), o Teorema de Gage-Hamilton ([18]) e o Teorema de Grayson ([20]), seguindo uma demonstração alternativa devida à Ilmanen [32].

A notação utilizada no trabalho, bem como definições e resultados de Geometria Riemanniana, Espaços de Sobolev em variedades e Teoria Geométrica da Medida necessários, são deixados no apêndice.

Capítulo 1

Equações parabólicas quase lineares em

variedades Riemannianas

Neste capítulo, consideraremos a classe de equações parabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Rieman-nianas. Nela estão as equações que governam a evolução de hipersuperfícies pela curvatura média, como veremos no capítulo 2, e portanto entendê-las se torna a chave para garantir a existência do fluxo de curvatura média. O protótipo de problema que será abordado pode ser enunciado da seguinte maneira:

(

ut− Lu = 0 emM × (0,T],

u(·, 0) = u0 emM × {0},

(1.1)

ondeM é uma n-variedade Riemanniana suave compacta, sem bordo, u0∈ C∞(M) e L é um operador elíptico da forma

Lu= Qi j(p,t, u, ∇u)∇2i ju+ b(p,t, u, ∇u),

definido emM × (0,T0), para algum T0> T.

Nosso principal objetivo é demonstrar a existência local, unicidade, regularidade e dependência contínua do dado inicial para o problema (1.1). Para isso, seguiremos uma interessante demonstração baseada no seção 7 de [31] e em [39], as quais são mais gerais para operadores L de ordem par. Na seção 1.1, tratamos primeiramente o caso L linear, de forma que, como veremos na seção 1.2, podemos lidar com o problema (1.1) por meio de uma linearização apropriada. Seguiremos as mesmas notações dos autores e deixamos no Apêndice B.2 breves definições sobre Espaços de Sobolev em variedades Riemannianas.

1.1

Caso linear

Como já mencionado, consideraremos nesta seção o problema linear. ( ut− Qi j∇2_{i j}u− Rk_∇ ku− Su = b emM × (0,+∞), u(·, 0) = u0 emM × {0}, (1.2) onde aqui, Lu= Qi j(p,t)∇2_{i j}u+ Rk(p,t)∇ku+ S(p,t)u + b(p,t), sendo que Qi j, Rk, S, b ∈ C∞_{(M × (0,+∞)) ∩ L}∞_{(M × (0,+∞)), (1.3)}

e L é uniformemente elíptico com constante de elipticidade uniforme λ > 0, isto é, ao redor de cada p ∈M, existe uma carta coordenada tal que

Qi j(p,t)ξiξj≥ λ |ξ |2, para todo ξ ∈ Tp∗M, (1.4)

onde t ∈ (0, +∞).

1.1.1

Existência local

Iniciamos esta seção apresentando os espaços importantes para os nossos resultados e necessários para a definição de solução fraca que utilizaremos.

Dadas funções f , g ∈ C∞₍M,[0,+∞)), definimos os seguintes produtos internos ponderados:

h f , gi_LL a= Z +∞ 0 e−2ath f (·,t), g(·,t)i_L2_(M)dt, (1.5) h f , gi_LW a = Z +∞ 0 e−2ath f (·,t), g(·,t)i_W1,2_(M)dt, (1.6)

onde L2_{(M) é o espaço de Lebesgue e W}1,2_{(M) é o espaço de Sobolev.}

Definição 1.1.1. Os espaços LLa(M) e LWa(M) são definidos como os completamentos de C∞(M,[0,+∞)) com respeito às

normas induzidas pelos produtos internosh·, ·iLLa eh·, ·iLWa respectivamente.

Não é difícil verificar que LLa(M) e LWa(M) são ambos espaços de Hilbert com produtos internos definidos em (1.5) e

(1.6) respectivamente.

Suponhamos por um momento que u ∈ C∞₍M × [0,+∞)) seja uma solução clássica de (1.2). Então, se φ ∈ C∞

c(M ×

(0, +∞)), usando integração por partes temos: 0 = Z +∞ 0 e−2at Z Mφ (ut− Lu) dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z Mφ utdµdt − Z Mφ Lu d µ dt = 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtu dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφ (Q i j ∇2_{i j}u+ Rk∇ku+ Su + b) dµdt = 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtu dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su − φ b dµdt.

Entretanto, esta última igualdade faz sentido se supormos apenas que u ∈ LWa(M), já que a integração por partes fica

justifi-cada.

Definição 1.1.2. Dizemos que u ∈ LWa(M) é uma solução fraca de

ut− Qi j∇2i ju− Rk∇ku− Su = b, (1.7)

se, para qualquer φ ∈ C∞

c(M × (0,+∞)), tivermos 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtu dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z Mφ b d µ dt. (1.8)

Observamos que se uma solução fraca u for suave, então u é uma solução clássica de (1.7). De fato, integrando (1.8) por partes novamente, obtemos

0 = Z +∞ 0 e−2at Z M φ (ut− Lu)dµdt,

o que implica ut− Lu = 0 para quase todo ponto. Sendo u suave, temos claramente que se trata de uma solução clássica.

1.1. CASO LINEAR 5

Definição 1.1.3. O espaço LWa,0(M) é o completamento de Cc∞(M × (0,+∞)) com respeito à norma de LWa(M). Se u ∈

LWa,0(M), dizemos que u(·,0) = 0 no sentido dos traços em LWa.

Convenientemente definimos:

• B : LWa,0(M) ×C∞c(M × (0,+∞)) 7→ R como a forma bilinear dada por

B(u, φ ) = Qi j∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su;

• P : LWa,0(M) ×C∞c(M × (0,+∞)) 7→ R como a forma bilinear dada por

P(u, φ ) = 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtu dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z MB(u, φ ) dµdt; • K : C∞

c(M × (0,+∞)) → R como o funcional linear definido por

K(φ ) = Z +∞ 0 e−2at Z Mφ b d µ dt.

Com esta nova notação, vemos que u ∈ LWa,0(M) é uma solução fraca de (1.2) se P(u,φ) = K(φ) para qualquer φ ∈

C∞

c(M × (0,+∞)).

Antes de apresentarmos o resultado de existência local, vamos demonstrar um resultado bastante útil ao obtermos estima-tivas envolvendo o operador L, o qual será usado no decorrer deste capítulo.

Lema 1.1.4. (Desigualdade de Gårding) Se ˜Lu = Lu − b, então existe C > 0, dependendo apenas das normas C1_{de Q}i j_{, R}k

e S, tal que para todo u∈ C∞₍M × [0,∞)) e para todo t ≥ 0, temos

− Z Mu ˜Ludµ ≥ λ 2kuk 2 W1,2_(M)−Ckuk2_L2_(M).

Demonstração. Por definição, − Z Mu ˜Ludµ = − Z MQ i j ∇2i judµ − Z MR k ∇kudµ − Z MSudµ.

Considere K = sup_{i, j,k} |∇iQi j|, |∇kRk|, |S|
, que existe já que Qi j, Rk, S ∈ L∞(M × [0,+∞)). Lembrando que M não possui

fronteira, então integrando por partes e usando a Desigualdade de Young, temos

Z MQ i j ∇2_{i j}udµ = − Z MQ i j ∇iu∇judµ − Z Mu∇iQ i j ∇judµ ≤ −λ Z M|∇u| 2 dµ + K Z Mu|∇u|dµ ≤−λ + Kε 2 Z M|∇u| 2_{dµ +} K 2ε Z Mu 2_dµ; Z MuR k ∇kudµ ≤ K Z Mu|∇u|dµ ≤ K 2ε Z Mu 2 dµ + Kε 2 Z M|∇u| 2 dµ e Z MuSudµ ≤ K Z Mu 2_dµ,

para todo ε > 0, onde λ > 0 é a constante de elipticidade uniforme local de Qi j. Logo,

− Z Mu ˜Ludµ ≥  λ − Kε 2 Z M|∇u| 2_{dµ −} K ε + K Z Mu 2_dµ,

e o resultado segue, tomando ε = λ

K e C =

K2

λ + K +

λ 2.

A existência local seguirá de uma aplicação de uma versão do Teorema de Lax–Milgram, o qual apresentamos abaixo. Lema 1.1.5 ([17], Capítulo 10, Teorema 16). Sejam H um espaço de Hilbert e J qualquer subespaço com produto interno

continuamente imerso em H. Suponha que P : H × J → R seja uma forma bilinear satisfazendo as seguintes propriedades:

i) h 7→ P(h, φ ) é contínu para todo φ ∈ J fixado;

ii) P|J×Jé coerciva, isto é, existe uma constante C> 0 tal que

P(φ , φ ) ≥ Ckφ k2, para qualquer φ ∈ J. Então, para qualquer K∈ J∗contínuo, existe h∈ H tal que K(φ ) = P(h, φ ) para todo φ ∈ J.

Observemos que a condição de coercividade de P é restrita somente ao subespaço J, imerso continuamente em H. Teorema 1.1.6 (Existência local). Suponhamos que Qi j, Rke S satisfazem as hipóteses(1.3) e (1.4) e ainda que u0∈ C∞(M)

e b∈ LLa(M). Então existe a > 0 suficientemente grande tal que o problema (1.2) possui uma solução fraca u ∈ LWa(M).

Demonstração. Suponhamos inicialmente que u0≡ 0. Notando que LWa,0(M) é um espaço de Hilbert e que Cc∞(M×(0,+∞))

está imerso continuamente em LWa,0(M), o resultado seguirá do Lema 1.1.5, uma vez que demonstremos que P é contínua na

primeira coordenada e coerciva.

Fixemos φ ∈ C∞

c (M × (0,+∞)). Primeiro, verifiquemos que K é contínua com respeito à norma de LWa(M). De fato,

usando a Desigualdade de Hölder, a hipótese de que b ∈ LLa(M) e que LLa(M) está imerso continuamente em LWa(M),

obtemos |K(φ )| ≤ Z +∞ 0 Z M|e −at φ e−atb|dµdt ≤ Z +∞ 0 ke−atφ k_L2_(M)ke−atbk_L2_(M) ≤ Z +∞ 0 ke−atφ k2_L2_(M) 1/2Z +∞ 0 ke−atbk2_L2_(M) 1/2 = kφ kLLa(M)kbkLLa(M)< Ckφ kLLa(M)≤ Ckφ kLWa(M),

onde C depende de kbk_LLa(M). Notemos acima que K é contínua ainda em LLa(M).

Analogamente, podemos verificar que P é contínua na primeira coordenada, com respeito à norma de LWa(M). Lembrando

que Qi j, Rke S são funções limitadas e aplicando Hölder novamente, temos que para qualquer h ∈ LWa,0(M),

|P(h, φ )| ≤ 2akφ kLLa(M)khkLLa(M)+ kφtkLLa(M)khkLLa(M) + kQi j∇iφ kLLa(M)k∇jhkLLa(M)+ kφ ∇iQ i j_k LLa(M)k∇jhkLLa(M) + kφ Rkk_LLa(M)k∇khkLLa(M)+ kφ SkLLa(M)khkLLa(M) ≤ C khk_LLa(M)+ k∇hkLLa(M)
= CkhkLWa(M), onde C depende de kQi j_k C1, kRkk_C1 e kSk_C1.

Agora, mostraremos a coercividade de P restrita à C∞₍M × (0,+∞)). Integrando por partes e usando a Desigualdade de

Gårding (Lema 1.1.4), temos: P(φ , φ ) = 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ 2 dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtφ d µ dt + Z +∞ 0 e−2at Z MB(φ , φ ) dµdt = 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ 2 dµdt − a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ 2 dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφ ˜L(φ ) dµdt ≥ a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ 2 dµdt +λ 2 Z +∞ 0 e−2atkφ k_W21,2_(Mdt−C Z +∞ 0 e−2atkφ k2_L2_(Mdt,

1.1. CASO LINEAR 7 isto é , P(φ , φ ) ≥ (a −C)kφ k2_LL a(M)+ λ 2kφ k 2 LWa(M),

onde C depende das normas C1de Qi j, Rke S. Assim, tomando a > C, temos P(φ , φ ) ≥λ

2kφ k

2 LWa(M),

o que mostra que P é coerciva. Portanto, pelo Lema (1.1.5), temos o resultado neste caso.

Suponhamos agora que u06≡ 0 e consideremos a translação do problema (1.2) para

(

vt= L(v) + ˜L(u0),

v(·, 0) = 0, (1.9)

por v = u − u0. Notemos que neste caso, temos que uma solução fraca v ∈ LWa,0(M) tem que satisfazer

P(v, φ ) = hφ , L(u0)iLLa(M):= ˜K(φ ), para todo φ ∈ C

∞

c(M × (0,+∞)).

Para utilizarmos o mesmo método anterior, agora com v(·, 0) ≡ 0, temos que mostrar que ˜Ké contínua com respeito à norma

LWa(M). Mas para isso, observando a demonstração da continuidade de K, vemos que basta verificar que L(u0) ∈ LLa(M).

Usando as limitações uniformes de Qi j_{, R}k_{e S, temos}

kL(u0)k2LLa(M)≤ C(ku0kW2,2(M)) + kbkLLa(M)< ∞,

que é finito, já que u0é suave e b ∈ LLa(M), por hipótese. Logo, existe uma solução fraca v ∈ LWa,0(M) do problema (1.9),

o que implica que u = v + u0∈ LWa(M) é uma solução fraca de (1.7).

A seguir, notamos uma caracterização de uma solução fraca u do problema (1.2), na fronteira parabólica.

Lema 1.1.7. Se u ∈ LW_a(M) é uma solução fraca de (1.2), então para todo φ ∈ C∞

c(M × [0,+∞)), vale a equação 2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtu dµdt − Z Mφ u0dµ + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z Mφ b d µ dt. (1.10)

Demonstração. Consideremos como na demonstração da Proposição 1.1.6, o problema transladado (1.9). Já vimos que uma solução v = u − u0satisfaz a equação

2a Z +∞ 0 e−2at Z Mφ v d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z Mφtv dµdt + Z +∞ 0 e−2atσ Z MQ i j ∇iφ ∇jv+ φ ∇jv∇iQi j− φ Rk∇kv− φ Sv dµdt = Z +∞ 0 e−2atσ Z Mφ ( ˜L(u0) + b) dµdt, (1.11) para todo φ ∈ C∞

c(M×(0,+∞)). Para um ψ ∈ Cc∞(M×[0,+∞)) arbitrário, podemos tomar, por aproximação, ε > 0

suficien-temente pequeno tal que φ := σ ψ ∈ C∞

c(M × (0,+∞)), onde σ : [0,+∞) → R é uma função de corte satisfazendo

σ (x) =      0 se x∈ [0, ε], 1 se x∈ [2ε, ∞), x ε− 1 se x∈ (ε, 2ε),

Logo, substituindo φ na equação (1.11), temos 2a Z +∞ 0 e−2atσ Z Mψ v d µ dt − Z +∞ 0 e−2atσ Z Mψtv dµdt − 1 ε Z 2ε ε e−2at Z Mψ v d µ dt + Z +∞ 0 e−2atσ Z MQ i j ∇iψ ∇jv+ ψ∇jv∇iQi j− ψRk∇kv− ψSv dµdt = Z +∞ 0 e−2atσ Z Mψ ( ˜L(u0) + b) dµdt. (1.12)

Assim, quando ε → 0, nesta equação, temos que φ → ψ, σ → χ[0,+∞),

lim ε →0 1 ε Z 2ε ε e−2at Z Mψ vd µ dt = limε →0 1 ε Z 2ε 0 e−2at Z Mψ vd µ dt − Z ε 0 e−2at Z Mψ vd µ dt  = lim ε →0 e−4at Z Mψ vd µ dt − e −2atZ Mψ vd µ dt = Z Mψ vd µ dt − Z Mψ vd µ dt = 0

e as outras integrais permanecem as mesmas a não ser por omissão de σ o que implica que P(v, φ ) = hφ , L(u0)iLLa(M),

para todo φ ∈ C∞

c(M × [0,+∞)).

Agora, substituindo v = u − u0na equação (1.11), temos

2a Z +∞ 0 e−2at Z M φ u d µ dt − Z +∞ 0 e−2at Z M φtu dµdt − 2a Z +∞ 0 e−2at Z M φ u0dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z M φtu0dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z M Qi j∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z M φ b d µ dt. Mas como − 2a Z +∞ 0 e−2at Z M φ u0dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z M φtu0dµdt = Z +∞ 0 d dt e −2at
Z Mφ u0dµdt + Z +∞ 0 e−2at d dt Z Mφ u0dµ  dt = Z +∞ 0 d dt  e−2at Z M φ u0dµ  dt = − Z M φ u0dµ,

então segue que P(u, φ ) = K(φ ), para todo φ ∈ C∞

c(M × [0,+∞)), o que demostra o lema.

1.1.2

Unicidade e regularidade

Definição 1.1.8. Consideremos os espaços LW_as(M) =  f:M × [0,+∞) → R; Z +∞ 0 e−atk f (·,t)k_W2s,2_(M)dt< +∞  ,

1.1. CASO LINEAR 9

onde s∈ N, munido do o produto interno definido por

h f , gi_LWs a(M)= Z +∞ 0 e−ath f (·,t), g(·,t)i_Ws,2_(M)dt, e P_al(M) =  f:M × [0,+∞) → R;∂ j_f ∂ tj ∈ LW 2(l− j) a (M) para todo 0 ≤ j ≤ l  , onde a derivada ∂ j_f

∂ tj está no sentido de distribuições, munido do o produto interno definido por h f , gi_Pl a(M)=

∑

j≤l  ∂jf ∂ tj, ∂jg ∂ tj  LWa2(l− j)(M) .

Claramente, esta definição implica a seguinte cadeia de imersões contínuas:

P_al(M) ,→ LW_a2l(M) ,→ LW_a2l−1(M) ,→ ··· ,→ LW_a1(M) = LW_a(M) (1.13)

Abaixo apresentamos o resultado de regularidade para o problema (1.2).

Teorema 1.1.9. Consideremos a aplicação F : P_al(M) → W2l−1,2(M) × P_al−1(M) definida por F(u) = u0, ut− ˜Lu
,

para cada l∈ N, onde u0= u(·, 0) e ˜L é o operador definido por ˜Lu = Lu − b. Então F é um isomorfismo linear, para a > 0

suficientemente grande.

Precisamos verificar que F está bem definido e é contínuo. No caso da primeira coordenada de F(u), necessitamos do lema a seguir.

Lema 1.1.10. Se f ∈ Pl

a(M), então f0= f (·, 0) ∈ W(2l−1),2(M).

Demonstração. Se f ∈ C∞

c(M × [0,+∞)), então integrando por partes, temos

Z +∞ 0 e−2at Z Mg  ∇2l−1f, ∇2l−1∂ f ∂ t  dµdt = 1 2 Z +∞ 0 e−2at Z M ∂ ∂ t|∇ 2l−1_f|2 dµdt = a Z +∞ 0 e−2at Z M|∇ 2l−1_f|2 dµdt −1 2 Z M|∇ 2l−1_f 0|2dµdt,

onde g é a métrica deM. Notemos que, aplicando o Teorema de Green e a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, é válido

Z +∞ 0 e−2at Z Mg  ∇2l−1f, ∇2l−1∂ f ∂ t  dµdt = = Z +∞ 0 e−2at Z Mg  ∇  ∇2l−2f  , ∇  ∇2l−2∂ f ∂ t  dµdt = − Z +∞ 0 e−2at Z Mg  ∆∇2l−2f, ∇2l−2∂ f ∂ t  dµdt ≥ − Z +∞ 0  e−2at Z M|∆(∇ 2l−2_f)|2_dµ 1₂ dt ! Z +∞ 0  e−2at Z M   ∇ 2l−2  ∂ f ∂ t    2 dµ 1₂ dt ! ≥ − Z +∞ 0  e−2at Z M|∇ 2l_f|2 dµ 1₂ dt ! Z +∞ 0  e−2at ∂ f ∂ t 2 W2(l−1),2(M) 1₂ dt ! ≥ −k f k_LW2l a (M)k f kPal(M).

Portanto, Z M|∇ 2l−1_f 0|2dµ ≤ 2ak f k2_LW2l−1 a (M)+ 2k f kLWa2l(M)k f kPal(M).

Das imersões (1.13), temos que

k f k_LW2l−1

a (M)≤ k f kLWa2l(M)≤ k f kPal(M),

o que implica que, ao tomarmos a suficientemente grande, chegamos à

Z M|∇ 2l−1_f 0|2dµdt ≤ 3ak f k2_Pl a(M)< +∞. (1.14) Como cada f ∈ Pl

a(M) pode ser aproximado por funções em Cc∞(M × [0,+∞)), então temos que f0∈ W(2l−1),2(M).

Para a segunda coordenada, notemos que kut− ˜Luk_Pl−1 a (M)= kut− Q i j ∇2_{i j}u− Rk∇ku− Suk_Pl−1 a (M) ≤ kutk_Pl−1 a (M)+C  k∇2i jukPal−1(M)k∇kukPal−1(M)kukPal−1(M)  ≤ Ckuk_Pl a(M)+ 3CkukPal(M)< +∞, (1.15)

onde C depende das limitações C1 de Qi j_{, R}k _{e S. Logo, temos que F está bem definida e pelas equações (1.14) e (1.15),}

temos que é contínua. Logo, basta demonstrarmos que F é uma bijeção e o Teorema 1.1.9 seguirá do Teorema da Aplicação Aberta. Por outro lado, dizer que F é uma bijeção significa que, o problema (1.2) com qual b ∈ P_al−1(M) e condição inicial u0∈ W2l−1,2(M) quaisquer possui uma única solução fraca u ∈ Pal(M). Este fato seguirá de estimativas de continuidade da

solução de (1.2) com relação aos dados b e u0.

O próximo lema nos fornece a continuidade da solução fraca u ∈ LWa(M) de (1.2) com relação aos dados u0∈ L2(M) e

b∈ LLa(M).

Lema 1.1.11. Se u ∈ LWa(M) satisfaz a equação (1.10) para todo φ ∈ Cc∞(M × [0,+∞)), então, existe uma constante C > 0,

C= C(λ , kQi j_k C1, kRkk_C1, kSk_C1) tal que kuk2_LW a(M)≤ C  ku0k2_L2_(M)+ kbk2_LLa(M)  . Demonstração. Seja φ ∈ C∞

c(M × [0,+∞)). Notemos que pela equação (1.8), temos

hφ , utiLLa(M)= − Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇iQi j− φ Rk∇ku− φ Su dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z Mφ b d µ dt ≤ Ckuk2 LWa(M)+ kbk 2 LLa(M)  < +∞.

Logo, pela Identidade de Polarizacão, segue que ut∈ LLa(M). Como todo LWa(M) pode ser aproximado por funções em

C∞

c(M × [0,+∞)), então podemos substituir φ por u, obtendo

2a Z +∞ 0 e−2at Z Mu 2 dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mutudµdt − Z Mu 2 0dµ + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j

∇iu∇ju+ u∇ju∇iQi j− uRk∇ku− Su2dµdt

= Z +∞ 0 e−2at Z Mub dµdt.

1.1. CASO LINEAR 11 Notando que Z +∞ 0 e−2at Z Mutudµdt = 1 2 Z +∞ 0 e−2at ∂ ∂ t Z Mu 2 dµ  dt = −1 2 Z Mu 2 0dµ + a Z +∞ 0 e−2at Z Mu 2 dµdt, por integração por partes, então temos que

a Z +∞ 0 e−2at Z Mu 2 dµdt −1 2 Z Mu 2 0dµ + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j

∇iu∇ju+ u∇ju∇iQi j− uRk∇ku− Su2dµdt

= Z +∞ 0 e−2at Z Mub dµdt.

Mas ponderando a Desigualdade de Gårding com peso e−2at, chegamos à

Z +∞ 0 e−2at Z Mubdµdt + 1 2 Z Mu 2 0dµ − a Z +∞ 0 e−2at Z Mu 2 dµdt ≥ λ 2kuk 2 LWa(M)−Ckuk 2 LLa(M),

onde C depende das normas C1de Qi j_{, R}k_{e S. Assim, pelas Desigualdades de Hölder e de Young,}

λ 2kuk 2 LWa(M)≤ (C − a)kukLLa(M)+ 1 2ku0kL2(M)+ Z +∞ 0 Z M|e −at ue−atb|dµdt ≤ (C − a)kuk_LLa(M)+1 2ku0kL2(M)+ εkuk 2 LLa(M)kbk 2 LLa(M) ≤ (C − a)kuk_LLa(M)+1₂ku0kL2_(M)+ εkuk2_LW a(M)kbk 2 LLa(M).

Portanto, tomando a > C, temos  λ 2 − ε  kuk2 LWa(M)≤ 1 2ku0k 2 L2_(M)+ akbk2_LLa(M), e para ε <λ 4, o resultado segue.

Passamos agora a estimar as derivadas de ordem mais alta de uma solução fraca u. Para tanto, usaremos quocientes de diferenças. Dado f : Rn_{→ R}m_{, para h 6= 0 fixo, definimos o operador θ}

h, quociente da diferença de f por h na direção de

v∈ Rn_{, como:}

θhf(x) =

f(x + hv) − f (x)

h .

Em especial, algumas das razões para utilizarmos quocientes de diferenças são as seguintes propriedades: • (Regra de Leibniz) Para quaisquer aplicações f , g : Rn→ Rm_{, temos que}

(θh( f g))(x) = (θhf)(x)g(x + hv) + (θhg)(x) f (x),

é válido para todo x ∈ Rn_;

• Se f , g ∈ L1_(Rn_{) possuem suporte compacto contido em um conjunto aberto Ω ⊂ R}n, então, para h suficientemente

pequeno, Z Ω θhf dx= 0 e Z Ω f θhgdx= − Z Ω gθ−hf dx.

• Seja Ω ⊂ Rn_{um aberto. Se 1 ≤ p < +∞ e f ∈ W}1,p_{(Ω), então para cada subconjunto V ⊂ R}n_{compactamente contido}

em U, temos

kθhfkLp_{(V )}≤ Ck∇ f k_L

p(U ),

para alguma constante C > 0 e todo 0 < |h| < 1₂dist(V, ∂U).

Como estamos lidando com uma variedade M, precisamos utilizar cartas locais. Consideremos uma família de cartas

locais {ψl: Bn1⊂ Rn→ M} m

l=1tal queM ⊂

S

ψl(Bn_1/2). Além disso, tomemos também a função de corte suave ρ : Rn→ [0, 1]

satisfazendo ρ (x) = ( 0, x∈ Rn_\Bn 3/4, 1, x∈ Bn 1/2.

Denotaremos U_l= ψl(Bn1) e Vl= ψl(Bn1/2). Assim, podemos realizar os levantamentos em cada carta, como no esquema

mostrado na Figura 1.1.

B

n₁

_{⊂ R}

n

[0, 1]

M

ρ

ψ

l

ρ ◦ ψ

_l−1

B

n₁

_{⊂ R}

n

_R

n

M

θ

h

f

ψ

l

(θ

h

f

) ◦ ψ

_l−1 Figura 1.1: Levantamentos.

Ao longo da seção, omitiremos os levantamentos, denotando por simplicidade apenas ρ ◦ ψ_l−1∼ ρ e (θhf) ◦ ψl−1∼ θhf.

Assim, em posse de quocientes de diferenças, podemos portanto garantir que uma solução fraca u ∈ LWa(M) pertença à

LW_a2(M).

Lema 1.1.12. Se u ∈ LWa(M) satisfaz (1.10) com u0suave, então u∈ LWa2(M) e existe uma constante C > 0 tal que

kuk2 LW2 a(M)≤ C  ku0k_W21,2_(M)+ kbk2_LLa(M)  . (1.16)

Demonstração. Notemos que se k∇2_uk2 LLa(M)≤ C  ku0k_W21,2_(M)+ kuk2_LWa(M)+ kbk2_LLa(M)  ,

então pelo Lema 1.1.11 e a inclusão W1,2(M) ,→ L2(M), temos o resultado. Provemos portanto esta estimativa. Fixemos uma carta ψle tomemos a função de teste

φ = θ−h(ρ2(θhu))

estendida à zero fora de Ul. Já que ut∈ LLa(M), como verificado na demonstração do Lema 1.1.11, podemos integrar por

partes para obter ut, θ−h(ρ2θhu)  LLa(M)= Z +∞ 0 e−2at Z M ∂ ∂ t uθ−h(ρ 2_(θ hu))
dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mu ∂ ∂ t(θ−h(ρ 2_(θ hu)))dµdt = − Z Mu0θ−h(ρ 2_(θ hu))dµ + 2a Z +∞ 0 e−2at Z Muθ−h(ρ 2_(θ hu))dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z M ∂ ∂ t(θ−h(ρ 2_(θ hu)))dµdt.

Logo, da equação (1.1.2), temos ut, θ−h(ρ2(θhu))  LLa(M)+ Z +∞ 0 e−2at Z MB(u, θ−h(ρ 2 (θhu)))dµdt =b, θ−h(ρ2θhu)  LLa(M).

1.1. CASO LINEAR 13

Como pelas propriedades de quocientes,

Z +∞ 0 e−2at Z M(θhB)(u, ρ 2_(θ hu))dµ + Z MB(θhu, ρ 2_(θ hu))dµ = − Z MB(u, θ−h(ρ 2_(θ hu)))dµdt, onde

(θhB)(u, φ ) = (θhQi j)∇iφ ∇ju+ φ ∇ju∇i(θhQi j) − φ (θhRk)∇ku− φ (θhS)u,

e ainda −ut, θ−h(ρ2(θhu))  LLa(M)= − Z +∞ 0 e−2at Z Mutθ−h(ρ 2 (θhu))dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z M(ρ 2_(θ hu))(θhut)dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z M(ρ 2_(θ hu)) ∂ (θhu) ∂ t dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z Mρ ∂ (θhu) ∂ t ρ (θhu)dµdt = a Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_|θ hu|2dµdt − 1 2 Z Mρ 2_|θ hu0|2dµ,

então segue que

Z +∞ 0 e−2at Z M(θhB)(u, ρ 2_(θ hu))dµ + Z +∞ 0 e−2at Z MB(θhu, ρ 2_(θ hu))dµ = −b, θ−h(ρ2(θhu))  LLa(M)− a Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_|θ hu|2dµdt + 1 2 Z Mρ 2_|θ hu0|2dµ ≤ kbk_LLa(M)kθ−h(ρ2(θhu))kLLa(Ul)+Ckθhuk 2 LLa(Ul)+Ckθhu0k 2 L2_(U l) ≤ Ckbk_LLa(M)k∇(ρ2_(θ hu))kLLa(Ul)+Ck∇uk 2 LLa(Ul)+Ck∇u0k 2 L2_(U l) ≤ Ckbk_LLa(M)kρ2(θhu)kLWa(M)+Ckuk 2 LWa(M)+Cku0k 2 W1,2_(M),

pela Desigualdade de Hölder e a propriedade de estimativa para quocientes, que é jstificada, notando que ρ se anula fora de Bn_3/4, logo vale para um compacto contendo Bn_3/4, em Bn₁.

Vamos estimar as duas integrais acima. Para tanta, definamos

A =Z +∞ 0 e−2at Z MB(θhu, ρ 2_(θ hu))dµ, e B =Z +∞ 0 e−2at Z M(θhB)(u, ρ 2 (θhu))dµ.

Utilizando a Desigualdade de Young e a estimativa para quocientes, temos A =Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j_(2ρ(θ

hu)∇jρ + ρ2∇j(θhu))∇i(θhu)dµdt +

Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_(θ hu)∇j(θhu)∇iQi jdµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2 (θhu)Rk∇k(θhu)dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2 (θhu)S(θhu)dµdt = Z +∞ 0 e−2at Z Mρ Q i j ∇i(θhu)∇j(ρ(θhu))dµdt + Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ρ (θhu)∇i(θhu)∇jρ d µ dt + Z +∞ 0 e−2at Z M(∇iQ i j_{− R}k_)ρ2_(θ hu)∇j(θhu)dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z MSρ 2_(θ hu)(θhu)dµdt ≥ Z +∞ 0 e−2at Z Mρ Q i j ∇i(θhu)∇j(ρ(θhu))dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ |∇(θhu)||θhu||∇ρ|dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_|θ

hu|(|∇(θhu)| + |θhu|)dµdt

= Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt − Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j_(∇ρ)(θ hu)∇j(ρ(θhu))dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z M|∇(ρ(θhu))||θhu|(ρ + |∇ρ|)dµdt +C Z +∞ 0 e−2at Z M|θhu| 2_(−ρ2_{+ ρ|∇ρ| + |∇ρ|}2_)dµdt ≥ Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z M|∇(ρ(θhu))||θhu|(ρ + |∇ρ|)dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z M|θhu| 2 (ρ2+ ρ|∇ρ| + |∇ρ|2)dµdt ≥ Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt − εl Z +∞ 0 e−2at Z M|∇(ρ(θhu))| 2 dµdt −Cl Z +∞ 0 e−2at Z Ul |θhu|2dµdt ≥ Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j

∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt − εlk∇(ρ(θhu))k_LL2 _a(M)−Clkθhuk2_LLa(Ul)

≥ Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j

∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt − εlkρ(θhu)k2LWa(M)−Clkuk

2 LWa(M),

onde εl e Clsão independentes de u e h suficientemente pequeno. Mas como L é uniformemente elíptico, então

Z +∞ 0 e−2at Z MQ i j ∇i(ρ(θhu))∇j(ρ(θhu))dµdt ≥ λ Z +∞ 0 e−2at Z M|∇(ρ(θhu))| 2 dµdt ≥ λ kρ(θhu)k2_LWa(M)− λ kρ(θhu)k2_LLa(M) ≥ λ kρ(θhu)k2LWa(M)−Ckuk 2 LWa(M). Portanto, A ≥ (λ − εl) kρ(θhu)k2LWa(M)−Clkuk 2 LWa(M).

Por outro lado, procedendo analogamente,

B ≥Z +∞ 0 e−2at Z M(θhQ i j_)∇ iu∇j(ρ2(θhu))dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_|θ hu|(u + |∇u|)dµdt = − C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ |∇u|(∇(ρ θhu)|dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ |θhu||∇u||∇ρ|dµdt −C Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_|θ hu|(u + |∇u|)dµdt ≥ −εlkρ(θhu)k2LWa(M)−Clkuk 2 LWa(M).

1.1. CASO LINEAR 15

Logo, usando mais uma vez a Desigualdade de Young, (λ − εl) kρ(θhu)k2LWa(M)≤A +Clkuk 2 LWa(M) ≤ Ckbk_LLa(M)kρ2_(θ hu)kLWa(M)+Clkuk 2 LWa(M)+Cku0k 2 W1,2_(M)−B ≤ Ckbk_LLa(M)kρ2_(θ hu)kLWa(M)+Cku0k 2 W1,2_(M)+ εlkρ(θhu)k2LWa(M)+Clkuk 2 LWa(M) ≤ ClkbkLLa(M)+ εlkρ 2 (θhu)kLWa(M)+Cku0k 2 W1,2_(M)+ εlkρ(θhu)k2LWa(M)+Clkuk 2 LWa(M).

Notemos que, como ρ ≤ 1,

kρ2(θhu)kLWa(M)= kρ 2_(θ hu)k2LLa(M)+ k∇(ρ 2_(θ hu))k2LLa(M) ≤ kθhuk2LLa(Ul)+ kρ∇(ρ(θhu))k 2 LLa(M)+ k(ρ(θhu))∇ρk 2 LLa(M) ≤ kθhuk2_LLa(Ul)+ k∇(ρ(θhu))k 2 LLa(M)+ kθhuk 2 LLa(Ul) ≤ kρθhuk2LWa(M)+Ckuk 2 LWa(M),

onde usamos a Desigualdade de Minkowski e as estimativas para quociente. Portanto, (λ − εl) kρ(θhu)k2LWa(M)≤ Clkbk

2

LLa(M)+Cku0k

2

W1,2_(M)+Clkuk2LWa(M).

Tomando εl< λ e notando que

(λ − εl) k∇(θhu)k2LLa(Vl)≤ (λ − εl) kθhuk 2 LWa(Vl)≤ (λ − εl) kρ(θhu)k 2 LWa(M), temos k∇(θhu)k2LLa(Vl)≤ Cl  kbk2 LLa(M)+ ku0k 2 W1,2_(M)+ kuk2_LWa(M)  .

Sendo h é arbitrariamente suficientemente pequeno e o lado direito desta desigualdade independe de h, tomando h → 0, chegamos à k∇2_uk2 LLa(Vl)≤ Cl  kbk2 LLa(M)+ ku0k 2 W1,2_(M)+ kuk2_LWa(M)  .

ComoM é compacto e a união dos Vl’s cobrem M, então temos que

k∇2_uk2 LLa(M)≤ m

∑

l=1 k∇2_uk2 LLa(Vl)≤ m

∑

l=1 C_l !  kbk2 LLa(M)+ ku0k 2 W1,2_(M)+ kuk2_LWa(M)  ,

o que conclui a demonstração.

Corolário 1.1.13. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, então existe uma constante C > 0 tal que kutk2_LLa(M)≤ C(ku0k2_W1,2_(M)+ kbk2_LLa(M)).

Demonstração. Basta notar que

kutk2LLa(M)= kLuk 2 LLa(M)≤ C(kuk 2 LW2 a(M)+ kbk 2 LLa(M)) e aplicar o Lema 1.1.12.

Imediatamente, temos a importante estimativa a seguir.

Proposição 1.1.14. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, se u0∈ W1,2(M) e b ∈ LLa(M), então u ∈ Pa1(M) e para alguma constante

C> 0, kuk2_P1 a(M)≤ C  ku0k2_W1,2_(M)+ kbk2_LLa(M)  . (1.17)

Demonstração. Como kuk2_P1 a(M)= kuk 2 LW2 a(M)+ kutk 2 LLa(M),

o resultado segue do Lema 1.1.12 e do Corolário 1.1.13.

Observação 1.1.15. Como u0∈ W1,2(M) pode ser aproximada por funções ui0∈ C∞c(M), temos da Proposição 1.1.6, que

existem soluções fracas ui∈ LWa(M) do problema 1.2 com dados iniciais ui0. Mas a Proposição 1.1.14 garante que cada

ui∈ Pa1(M) e além disso, a estimativa (1.17) implica que a sequência dos ui’s converge a uma u ∈ Pa1((M)), isto é, uma solução

fraca do problema 1.2 com dado inicial u0∈ W1,2(M). Notemos que a estimativa (1.17) ainda, considerando a unicidade do

limite da sequência, que temos unicidade dessa solução fraca. Mostremos agora o caso de regularidade mais alta.

Proposição 1.1.16. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, se para algum l ∈ N maior que 2 tivermos u0∈ W2l−1,2(M) e b ∈ Pal−1(M),

então u∈ Pl

a(M) e para alguma constante C > 0,

kuk2 Pl a(M)≤ C  ku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_Pl−1 a (M)  . (1.18)

Demonstração. Procederemos analogamente à demonstração do Lema 1.1.12 e consideraremos as mesmas notações utiliza-das. Os cálculos similares serão omitidos.

Fixemos uma carta ψle consideremos a função de teste dada por

φ = θ_−h2l−k(ρ2(θ_h2l−ku)), onde k ∈ {1, 2} e estenda à zero fora de Ul. Logo,

D ut, θ−h2l−k(ρ2(θh2l−ku)) E LLa((M)) + Z +∞ 0 e−2at Z M

B(u, θ_−h2l−k(ρ2(θ_h2l−ku)))dµdt =Db, θ_−h2l−k(ρ2(θ_h2l−ku))E

LLa((M))

. Notemos que iterando a Regra de Leibniz, temos

− Z MB(u, θ 2l−k −h (ρ2(θh2l−ku)))dµdt = 2l−k

∑

j=0  2l − k j  (−1)j Z M(θ j hB)(θ 2l−k− j h u, ρ 2 (θ_h2l−ku))dµdt.

e como, pelas propriedades dos quocientes, −Dut, θ−h2l−k(ρ2(θh2l−ku)) E LLa((M)) = Z +∞ 0 e−2at Z Mρ 2_(θ2l−k h u)(θ 2l−k h u)dµdt = * ∂ (θ_h2l−ku) ∂ t , ρ 2_(θ2l−k h u) + LLa(M) , então −Db, θ_−h2l−k(ρ2(θ_h2l−ku))E LLa(M) = * ∂ (θ_h2l−1u) ∂ t , ρ 2_(θ2l−1 h u) + LLa(M) + 2l−k

∑

j=0  2l − k j  (−1)j Z +∞ 0 e−2at Z M(θ j hB)(θ 2l−k− j h u, ρ 2 (θ_h2l−ku))dµdt.

Procedendo analogamente à demonstração do Lema 1.1.12 nas estimativas das integrais

Z +∞ 0 e−2at Z M(θ j hB)(θ 2l−k− j h u, ρ 2 (θ_h2l−ku))dµdt,

1.1. CASO LINEAR 17

com 0 ≤ j ≤ 2l − k, apenas notando que agora temos, −Db, θ_−h2l−k(ρ2(θ_h2l−ku))E LLa(M) = −Db, θ_h2l−k−1θ−h(ρ2θ_h2l−ku) E LLa(M) ≤  D θ_h2l−k−1b, θ−h(ρ2(θ_h2l−ku)) E LLa(M)    ≤ kθ2l−k−1 h bkLLa(M)kθ−h(ρ 2_(θ2l−k h u))kLLa(M) ≤ kbk_LW2l−k−1 a (M)kρ 2 θ_h2l−kuk_LWa(M),

onde usamos as propriedades de quocientes e a Desigualdade de Hölder, então segue que

k∇(ρ(θ2l−k h u))k 2 LLa(M)≤ C  ku0k_W22l−k,2_(M)+ kuk2_LW2l−k a (M)+ kbk 2 LWa2l−k−1  . Logo, k∇2l−k+1_uk2 LLa(M)≤ C  ku0k_W22l−k,2_(M)+ kuk2_LW2l−k a (M)+ kbk 2 LWa2l−k−1  , o que implica que, ao realizar iteração dessa estimativa,

kuk2_LW2l a (M)= kuk 2 LWa2l−1(M)+ k∇ 2l_uk2 LLa(M) ≤ Cku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_LW2l−2 a (M)  +Ckuk2 LWa2l−1(M) ≤ Cku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_LW2l−2 a (M)  +Ckuk2 LW3 a(M) ≤ Cku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_LW2l−2 a (M)  +Ckuk2 LW2 a(M) ≤ Cku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_LW2l−2 a (M)  ≤ Cku0k2_W2l−1,2_(M)+ kbk2_Pl−1 a (M)  , onde usamos a estimativa do Lema 1.1.12 no penúltimo passo.

Fixemos m ≤ l e suponha agora que para todo 0 ≤ j < m, temos ∂ju

∂ tj ∈ LW

2(l− j) a (M).

Notemos que o caso j = 0 foi o que acabamos de demonstrar. Como pela equação (1.10), temos que ut= Lu

para quase todo ponto, e por hipótese ∂m−1u

∂ tm−1 ∈ LW

2(l−m+1)

a (M), então temos que u é m vezes diferenciável em t. Assim,

diferenciando esta equação m − 1 vezes com relação a t, temos ∂mu ∂ tm = ∂m ∂ tm(Q i j ∇2_{i j}u) + ∂ m ∂ tm(R k ∇ku) + ∂m ∂ tm(Su) + ∂mb ∂ tm, o que implica que

∂mu ∂ tm 2 LWa2(l−m)(M) ≤ C ∂m−1b ∂ tm−1 2 LWa2(l−m)(M) + m−1

∑

j=0 ∂ju ∂ tj 2 LWa2(l−m)(M) ! ≤ C ∂m−1b ∂ tm−1 2 LWa2(l−m)(M) + m−1

∑

j=0 ∂ju ∂ tj 2 LWa2(l− j)(M) ! ≤ C kbk2 Pal−1(M) + m−1

∑

j=0 ∂ju ∂ tj 2 LWa2(l− j)(M) ! .

Portanto, ∂ju ∂ tj ∈ LW

2(l− j)

a (M) para todo 0 ≤ j ≤ m. Começando com m = 2, temos então que u ∈ Pa2(M) e prosseguindo

iterativamente até m = l, temos então que u ∈ P_al(M). Finalmente, podemos demonstrar o Teorema 1.1.9.

Demonstração (Teorema 1.1.9). Como W2l−1,2_{(M) é subespaço de W}1,2_{(M), então pela Observação 1.1.15, temos que existe}

uma única solução fraca u ∈ LWa(M) com dado inicial u0∈ W1,2(M), então pela Proposição 1.1.16, temos que u ∈ Pal(M), o

que conclui a demonstração, como comentamos inicialmente.

1.2

Caso quase linear

Antes de tratarmos do problema (1.1), façamos algumas considerações: no lugar dos espaços Pl

a(M), usaremos os espaços

Pl(M,T) definidos para cada l ∈ N e T ∈ R>0, como o completamento de C∞(M × [0,T]) com respeito à norma

k f k2 Pl_(M,T)=

∑

2 j+k≤2l j,k∈N Z T 0 Z M    ∂j(∇kf) ∂ tj    2 dµdt, ∀T ∈ R+.

Notemos que naturalmente podemos escrever Pl(M,T) por

Pl(M,T) =  f: M × [0,T] → R; ∂ j_f ∂ tj ∈ W 2(l− j),2_{(M × [0,T]) para todo 0 ≤ j ≤ l}  , o que implica as imersões contínuas

Pl(M,T) ,→ P_al(M) e

Pl(M,T) ,→ Pl−1(M,T). (1.19)

Esses espaços serão úteis durante essa seção e veremos que ao considerá-los, não estamos criando restrições essenciais. Proposição 1.2.1. Consideremos o isomorfismo F : Pal(M) → W2l−1,2(M) × Pal−1(M) definido no Teorema 1.1.9. Para todo

T _{> 0 e l ∈ N, a restrição F|P}l_(M,T): Pl(M,T) → W2l−1,2(M) × Pl−1(M,T) também é um isomorfismo.

Demonstração. Do mesmo modo que demonstramos o Teorema 1.1.9, precisamos mostrar que a aplicação F|_Pl_(M,T)é uma

bijeção contínua e então o resultado seguirá pelo Teorema da Aplicação Aberta.

Notemos que a continuidade de F|_Pl_(M,T)segue analogamente à demonstração para o operador F original, observando apenas

as imersões (1.19). Agora, seja b ∈ Pl−1(M,T). Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe uma extensão ˜b ∈ P_al−1(M,T) de b.

Se u0∈ W2l−1,2(M), então sabemos que do Teorema 1.1.9 que existe uma solução única ˜u ∈ Pal(M) do problema (1.2), com

˜b e u0. Como u = ˜u|M×[0,T ]∈ Pl(M,T) e F|Pl_(M,T)(u) = (u0, b), então temos a sobrejetividade.

Agora, suponhamos que v ∈ Pl_{(M,T) seja uma outra função também satisfazendo F|}

Pl_(M,T)(v) = (u0, b). Então, tomando

w= u − v ∈ Pl(M,T), temos por linearidade que ( wt− ˜Lw = 0, w(·, 0) = 0. Logo, Z Mw 2 dµ = Z t 0 Z M2wwtdµds = 2 Z t 0 Z Mw ˜Lwdµds ≤ −λ Z t 0 kwk2 W1,2_(M)ds+C Z t 0 kwk2 L2(M)ds ≤ −λ Z t 0 Z M|∇ 2_w|2 dµds +C Z t 0 Z Mw 2 dµds ≤ C Z t 0 Z Mw 2 dµds,

1.2. CASO QUASE LINEAR 19

onde usamos a Desigualdade de Gårding, possível pois w(·,t) ∈ W2,2_{para quase todo t ∈ [0, T ]. Então, pelo Lema de Gronwall,}

segue que

Z

Mw

2_{(·,t)dµ = 0}

para todo t ∈ [0, T ], já que w(·, 0) = 0. Logo, segue que w é zero em todoM × [0,T], o que implica que u = v e portanto fica demonstrado que coincidem. Portanto, temos que F|_Pl_(M,T)é injetiva, logo uma bijeção, e o resultado segue.

Observação 1.2.2. Notemos que se u0, b são suaves, a solução única u do problema (1.2) pertence à Pl(M,T), para todo

l∈ N, já que nesse caso o lado direito da estimativa do Teorema 1.1.9 não depende de l. Como do Teorema de Imersão de

Sobolevtemos que para cada k ∈ N existe l ∈ N tal que

Pl(M,T) ,→ Ck(M × [0,T]) continuamente, então, segue que u ∈ C∞₍M × [0,T]).

Agora, retornemos ao problema original (

ut− Lu = 0 emM × (0,T],

u(·, 0) = u0 emM × {0},

e o especifiquemos mais precisamente. Dada uma função u0∈ C∞(M), buscamos uma função u ∈C∞(M×[0,T0]) satisfazendo

u(·, 0) = u0, de forma que para algum 0 < T ≤ T0, u evolua no tempo, no intervalo (0, T ], conforme o operador L localmente

uniformemente elíptico definido por

Lu= Qi j(p,t, u, ∇u)∇2_{i j}u+ b(p,t, u, ∇u), onde as funções Qi j_{, b ∈ C}∞_(U

p× [0, T0) × R × Tp∗M), em qualquer carta coordenada Upao redor de cada p ∈M, e aqui,

[0, T0) é o intervalo onde L está definido, com T0> T0. Por localmente uniformemente elíptico, queremos dizer que para cada

K> 0, existe uma constante real λ > 0 tal que

n

∑

i, j=1

Qi j(p,t, u, v)ξiξj≥ λ |ξ |2

para todo ξ ∈ T_p∗M, se p ∈ M, t ∈ [0, ˜T] com ˜T < T, u ∈ R com |u| ≤ K e v ∈ T_p∗M com |v|g(p)≤ K, isto é, quando os

argumentos de Qi jestão em um compacto de seu domínio, então L é uniformemente elíptica. No caso de λ ser independente

da escolha de compactos, então L é dita uniformemente elíptica.

ComoM é compacta e u0é suave, então os máximos dessa função e de sua derivada ficam bem definidas, isto é, existe

uma constante C > 0 tal que

|u0| + |∇u0|g≤ C.

Como buscamos uma solução em tempo curto, podemos assumir que se |u| + |∇u|g+ t ≥ 2C,

para alguma solução u, então

Qi j(p,t, u, ∇u) = gi j(p) e b(p,t, u, ∇u) = 0,

possivelmente modificando as funções Qi je b com funções de corte. Ou seja, queremos considerar o operador Qi j∇2_{i j} unifor-memente elíptico (notemos que do modo que estamos supondo, os argumentos desse operador ficam em um compacto, o que permite uma constante de elipticidade uniforme) e garantir que após um determinado tempo, tenhamos

Lu= ∆u.

Iniciemos considerando, para l ∈ N e T > 0 quaisquer, a aplicação F definida em Pl(M,T) por F(u) = (u0, ut− Lu) = u(·, 0), ut− Qi j(u)∇2i ju− b(u)
,

onde simplificamos a notação por Qi j_{(u) = Q}i j_{(p,t, u, ∇u) e b(u) = b(p,t, u, ∇u), e assim o faremos no decorrer desta seção.}

Observemos que se L for linear, F coincide com o operador F definido na Proposição 1.1.9, e portanto, vimos que nesse caso F(Pl(M,T)) ⊂ W2l−1,2(M) × Pl−1(M,T),

o que pode não ser verdade para o caso quase linear. Porém, se l for suficientemente grande, não só temos essa inclusão,

como podemos garantir que F é uma aplicação C1_{. Isto é o que assegura o lema abaixo, ponto central para a demonstração do}

Teorema 1.2.6, objetivo deste capítulo. Lema 1.2.3. Se l ∈ N satisfaz

l>n 4+ 1,

onde n é a dimensão deM, e u ∈ Pl(M,T), então ∇u é contínua em M × [0,T] e

F : Pl(M,T) → W2l−1,2(M) × Pl−1(M,T) é uma aplicação bem definida de classe C1.

Para demonstrar este Lema, utilizamos a seguinte proposição, que pode ser encontrada em [39] (Proposição 4.1).

Proposição 1.2.4. (Imersões Parabólicas de Sobolev) Suponhemos que T > 0 e sejam u ∈ Pl_{(M,T) e p,q ∈ N satisfazendo}

p+ 2q ≤ 2l. Tomemos 1 r = 2l − p − 2q n+ 2 , onde n é a dimensão deM. (i) Se1 r < 0, então k∂tq∇pukLr_(M×[0,T])≤ Ckuk_Pl_(M,T). (1.20) (ii) Se1

r = 0, então para todo s ≥ 1,

k∂tq∇pukLs_(M×[0,T])≤ Ckuk_Pl_(M,T). (1.21) (iii) Se1 r > 0, então ∂ q t∇pu é contínua e k∂tq∇pukC0_(M×[0,T])≤ Ckuk_Pl_(M,T). (1.22)

Em todos os casos C> 0 é constante independente de u.

Demonstração. (Lema 1.2.3) Para simplificar a notação, a menos de casos ambíguos, utilizaremos Pl = Pl(M,T), Lq=

Lq(M × [0,T]), C0= C0(M × [0,T]), etc., e C0(Pl;C1) denotará as aplicações contínuas de Plà C1.

Notemos que a continuidade de ∇u segue diretamente da afirmação (1.22) da Proposição 1.2.4, tomando p = 1 e q = 0 e usando a hipótese 4l − n − 4 > 0.

Agora, vamos mostrar que de fato F está bem definida para l suficientemente grande, isto é, que F(u) ∈ W2l−1,2× Pl−1

para todo u ∈ Pl.

Observemos que a primeira componente de F está de fato em W2l−1,2, apenas notando que o Lema 1.1.10 ainda vale neste

caso, pois temos a inclusão Pl(M,T) ,→ Pl

a(M). Também, temos que ut∈ Pl−1, já que u ∈ Pl. Assim, pela definição de Pl−1,

basta demonstrarmos que

∂_tm(Lu) = ∂_tm∇k(Qi j(u)∇2_{i j}u+ b(u)) ∈ L2, para todo k ≤ 2((l − 1) − m), onde 0 ≤ m ≤ l − 1.

Como isso já ocorre para k < 2((l − 1) − m), já que u ∈ Pl, então vamos tratar do caso k = 2((l − 1) − m). Suponhamos, sem perda de generalidade, que b(u) = 0 e Qi j(u)∇2_{i j}u= Ai j(∇u)∇2_{i j}u, o qual denotaremos apenas por A(∇u)∇2u, para algum

1.2. CASO QUASE LINEAR 21

analogamente. Notemos que se todas as derivadas estiverem sobre o fator ∇2_{ude A(∇u)∇}2_{u, então A(∇u)∂}m

t ∇k∇2u∈ L2,

pois k = 2((l − 1) − m), u ∈ Pl_{e A(∇u) é uniformemente limitado, já que A é suave e como vimos, ∇u é contínua.}

Calculando ∂tm∇k(A(∇u)∇2u) para cada um dos m e k satisfazendo k + 2m = 2(l − 1), temos uma soma com cada termo

da forma B(∇u) 2l

∏

p=1 l−1

∏

q=0|α|=p

∏

(∂tq∇αpu) σpqα_{, (1.23)}

onde α é um multiíndice de ordem |α|, os expoentes σpqα são inteiros não-negativos e B é um tensor suave e limitado. Logo,

como ∇u é contínuo, temos para cada um dos termos |B(∇u)| 2l

∏

p=1 l−1

∏

q=0|α|=p

∏

|∂tq∇ p αu| σpqα_{≤ C} 2l

∏

p=1 l−1

∏

q=0 |∂tq∇pu|bpq,

com bpq= ∑|α|=pσpqα∈ N, o que implica que

k∂m t ∇k(A(∇u)∇2u)kL2≤

_∑

Ck 2l

∏

p=1 l−1

∏

q=0 |∂tq∇pu|bpqkL2 ≤

_∑

C Z M×[0,T ] 2l

∏

p=1 l−1

∏

q=0 |∂tq∇pu|2bpqdµdt !1₂ . (1.24) Seja Λ = {( p, q) | 1 ≤ p ≤ 2l, 0 ≤ q ≤ l − 1} . Observemos que, por indução em l ∈ N, temos

∑

(p,q)∈Λ

bpq(p + 2q − 1) = 2l − 1. (1.25)

Notemos que (p + 2q − 1) > 0 sempre, caso contrário, se (p + 2q − 1) = 0, temos p = 1 e q = 0, o que implica que ∇u aparece sozinho em (1.23), um absurdo. Se existe um (p, q) com bpq6= 0 tal que ∂tq∇puseja contínua pela afirmação (1.22)

da Proposição 1.19, então basta limitar o fator associado à esse expoente por uma constante e tomar bpq como sendo zero.

Assim, a igualdade (1.25) fica

∑

(p,q)∈Λ

bpq(p + 2q − 1) < 2l − 1.

Por outro lado, se ao menos um (p, q) com bpq6= 0 satisfaz 2(2l − p − 2q) = n + 2, isto é, estamos no caso (1.21) da Proposição

1.19, temos que a equação (1.25) implica que

∑

(p,q)∈ ˜Λ bpq(p + 2q − 1) < 2l − 1, (1.26) onde ˜ Λ = {( p, q) ∈ Λ | 2(2l − p − 2q) 6= n + 2} ,

já que eliminamos ao menos um termo não nulo bpq(p + 2q − 1). Portanto, ou vale a desigualdade (1.26) ou nenhum dos bpq

é nulo e não há fatores nos casos críticos das imersões. Neste caso, ou todas as derivadas estão em ∇2ue A(∇u)∂tm∇k+2ué

limitado em L2_{, ou existem no mínimo dois b}

pqque não são nulos.

Agora, na integral da desigualdade (1.24), para os fatores satisfazendo 2(2l − p − 2q) 6= n + 2, usamos a Desigualdade de

Hölder e a afirmação (1.20) da Proposição 1.19; para fatores com 2(2l − p − 2q) = n + 2, escolhemos um rpqsuficientemente

grande, com 1 rpq =1 2− 2l − p − 2q n+ 2 > 0,

na afirmação (1.21) da Proposição 1.19, obtendo Z M×[0,T ]_(p,q)∈Λ

∏

|∂ q t∇pu|2bpqdµdt ≤ C

∏

(p,q)∈Λ Z M×[0,T ]|∂ q t ∇pu| 2bpq dpq _dµdt dpq = C

_∏

(p,q)∈Λ Z M×[0,T ]|∂ q t ∇pu|rpqdµdt dpq ≤ kuk∑(p,q)∈Λ dpqrpq Pl = kuk ∑(p,q)∈Λ 2bpq Pl , onde dpq= 2bpq rpq .

Notemos que podemos usar a Desigualdade de Hölder somente se a soma de todos os expoentes dpqcom 2(2l − p − 2q) 6= n + 2

é menor que 1, pois nos casos críticos, podemos tomar rpqsuficientemente grande tal que dpq seja pequeno o suficiente, de

forma que

k∂tm∇k(A(∇u)∇2u)kL2≤

∑

Ckuk∑(p,q)∈Λ b pq

Pl ,

e o resultado segue. Logo, verifiquemos essa condição sobre os dpq, supondo que ao menos um dos inteiros bpqcom 2(2l −

p− 1q) 6= n + 2 seja não nulo, caso contrário é imediato. Para isso, notemos que

∑

(p,q)∈ ˜Λ dpq=

_∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq rpq =

_∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq  1 2− 2l − p − 2q n+ 2  =

_∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq  1 2− 2l − 1 n+ 2 + p+ 2q − 1 n+ 2  =

_∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq  1 2− 2l − 1 n+ 2  +

_∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq  p + 2q − 1 n+ 2  .

Se vale a desigualdade (1.26), temos

∑

(p,q)∈ ˜Λ dpq<  

∑

(p,q)∈ ˜Λ 2bpq  1 2− 2l − 1 n+ 2   + 2 2l − 1 n+ 2 < 1,

pois supomos que ao menos um bpq é não nulo e

1 2− 2l − p − 2q n+ 2 < 0, já que l > n 4+ 1. Porém, se a igualdade (1.25)

vale, vimos que ao menos dois bpq são não nulos, senão também é imediato. Logo, para todo (p, q) com bpq> 0, temos

2(2l − p − 2q) 6= n + 2, o que implica que

∑

(p,q)∈Λ dpq=

∑

(p,q)∈Λ 2bpq=  1 2− 2l − 1 n+ 2  + 22l − 1 n+ 2 ≤ 4 1 2− 2l − 1 n+ 2  + 22l − 1 n+ 2 = 2 − 22l − 1 n+ 2 < 1, pois l >n

4+ 1. Portanto, como queríamos ∂

m

t ∇k(A(∇u)∇2u) ∈ L2, e assim F está bem definida.

Finalmente, verifiquemos que F é de classe C1, isto é, que dF ∈ C0(Pl_{; L(P}l_{; P}l−1_{)), onde L(P}l_{; P}l−1_{) é o espaço de Banach}

de aplicações lineares limitadas de Pl _{em P}l−1_{. Novamente, supomos que b(u) = 0 e Q}i j_(u)∇2_{u= A(∇u)∇}2_{u, para algum}

tensor suave A e consideremos agora a aplicação FA: Pl→ Pl−1definida por

1.2. CASO QUASE LINEAR 23

Primeiramente, notemos que a derivada de Gâteaux,

(u, v) 7→ dFA(u)(v) = d dtFA(u + εv)    ε =0 , é uma aplicação contínua de Pl× Pl _{em P}l−1_{. De fato, F}

A(u)(v) é dada por

FA(u)(v) = D(∇u)∇v∇2u+ A(∇u)∇2v,

onde D é um tensor suave. Analogamente como fizemos com F(u), podemos estimar cada termo da forma ∂_tm∇k(D(∇u)∇v∇2u)

ou ∂tm∇k(A(∇u)∇2v), já que esses podem ser expressos como uma soma similar com termos da forma (1.23), sendo que nesse

caso, um termo linear de u é trocado por v. Observemos que, como v ∈ Pl, a continuidade de (u, v) 7→ dF_A(u)(v)

segue analogamente, o que implica que dFA(u) ∈ L(Pl; Pl−1). Agora, para verificarmos que dF ∈ C0(Pl; L(Pl; Pl−1)), temos

que mostrar que

sup

kvk

Pl≤1

kdFA( ˜u)(v) − dFA(u)(v)kPl−1→ 0,

quando ˜u→ u em Pl_{. Para isso, sem perda de generalidade, supondo termos}

∇k(D(∇u)∇v∇2u) e ∇k(A(∇u)∇2v), sem derivadas no tempo, temos que mostrar que

sup

kvk

Pl≤1

kB( ˜u)∇i1_{u˜· · · ∇}ij_u∇˜ ij+1_{v− B(u)∇}i1_{u· · · ∇}ij_u∇ij+1_vk

L2 → 0, _(1.27)

quando ˜u→ u em Pl_{, onde i}

1+ · · · + ij+1= 2l − j. Novamente, justificamos que o caso com derivadas no tempo segue

analogamente. Observemos que 

B( ˜u)∇i1_{u˜· · · ∇}ij_u∇˜ ij+1_{v− B(u)∇}i1_{u· · · ∇}ij_u∇ij+1_v



=

B( ˜u)∇i1_{u˜· · · ∇}ij_u∇˜ ij+1_{v− B(u)∇}i1_{u˜· · · ∇}ij_u∇˜ ij+1_{v+ B(u)∇}i1_{u˜· · · ∇}ij_u∇˜ ij+1_{v+ · · · − B(u)∇}i1_{u· · · ∇}ij_u∇ij+1_v

≤ |B( ˜u) − B(u)||∇i1_{u| · · · |∇˜} ij_{u| + |B(u)||∇˜} i1_{( ˜u− u)||∇}i2_{u| · · · |∇˜} ij_{u| + · · · + |B(u)||∇˜} i1_{u| · · · ||∇}ij_{( ˜u}− u)||
|∇ij+1_v|.

Notemos que o primeiro termo tende à zero, pois B(u) é suave e limitado, e usando a Desigualdade de Hölder, a Proposição 1.19 e que kvk_Pl ≤ 1, temos Ckukα Plk ˜uk β Plkvk γ Plk ˜u− uk σ Pl ≤ Ckuk α Plk ˜uk β Plk ˜u− uk σ Pl,

para uma constante C > 0 e os expoentes não negativos α, β , γ e σ satisfazendo α + β + γ + σ ≤ 1 e σ > 0. Assim, temos

que este último produto tende à zero em L2quando ˜u− u → 0 em Pl_{, e logo, uniformemente para kvk}

Pl ≤ 1. Segue portanto

a desigualdade (1.27). Mostramos então que dFA∈ C0(Pl; L(Pl; Pl−1)), o que implica que a derivada de Gâteaux e a derivada

de Frechét coincidem, ou seja, FA∈ C1(Pl; Pl−1). Logo, F é de classe C1.

Consideremos a seguinte versão da Desigualdade de Gårding, para o caso quase linear, que será útil para mostrarmos a unicidade de solução do problema (1.1).

Lema 1.2.5. (Desigualdade de Gårding - caso quase linear) Se u ∈ C∞₍M×[0,T]), então existe C > 0, dependendo apenas

da norma C1de Qi jtal que para todo t∈ [0, T ), temos − Z MuQ i j_(u)∇2 i judµ ≥ λ 2kuk 2 W1,2_(M)−Ckuk2_L2_(M).

Demonstração. Observemos que se u ∈ C∞₍M×[0,T]), definida em um compacto, então u e ∇u são limitadas, o que implica

que |Qi j_|

C1 é limitada. Logo, integrando por partes e utilizando a elipticidade uniforme de Qi je as Desigualdades de Hölder

e de Young, temos − Z MuQ i j_(u)∇2 i judµ = Z M∇i(uQ i j_(u))∇ judµ = Z MuQ i j_(u)∇ iu∇judµ + Z Mu(∇iQ i j_(u))∇ judµ ≥ λ Z M|∇u| 2 dµ + Z Mu(∇i Qi j)∇judmu ≥ λ Z M|∇u| 2_{dµ − K}Z M |u∇ju|dmu ≥λ −ε 2K  kuk_W1,2_(M)−  λ + 1 2ε  kuk_L2_(M). Tomando ε =λ K e C = λ + K 2λ, o resultado segue.

Finalmente, demonstremos o principal resultado deste capítulo.

Teorema 1.2.6. Para qualquer u0∈ C∞(M), existe um T > 0 para o qual o problema 1.1 possui uma única solução u ∈

C∞₍M × [0,T]), que depende continuamente de u

0na topologia C∞.

Demonstração. Fixemos l ∈ N satisfazendo l >n₄+ 1e tomemos a função ˜u0∈ C∞(M × [0,+∞)) definida por

˜ u0(p,t) = l−1

∑

m=0 am(p)tm m! ,

onde as funções a0, · · · , al−1∈ C∞(M) serão determinadas posteriormente. Logo, sendo u0e ˜u0suaves, temos que o problema

linear

(

wt= Qi j(p,t, ˜u0, ∇ ˜u0)∇2i jw+ b(p,t, ˜u0, ∇ ˜u0) emM × (0,T],

w(·, 0) := w0= u0 emM × {0}.

possui um única solução w suave, pela Proposição 1.1.9 e pela Observação 1.2.2, já que Qi j(·, ·, ˜u0, ∇ ˜u0) e b(·, ·, ˜u0, ∇ ˜u0)

permanecem suaves. Denotemos por [0, T ] o intervalo de existência de w como solução. Assim, temos F(w) = (w0, wt− L(w)) = u0, (Qi j( ˜u0) − Qi j(w))∇2i jw+ b( ˜u0) − b(w)
= (u0, f ),

onde f ∈ C∞₍M × [0,T]) é definido por

f:= (Qi j( ˜u0) − Qi j(w))∇2i jw+ b( ˜u0) − b(w).

Logo, a diferencial dF de F em w aplicada a um v ∈ Pl_{(M,T) fica}

dFw(v) = v0, vt− Qi j(w)∇2i jv− ∂wQi j(w)v∇2i jw− ∂wkQ

i j_(w)∇

kv∇2i jw− ∂wb(w)v − ∂wkb(w)∇kv
,

onde v0:= v(·, 0) e ∂wk é a derivada com respeito à variável ∂kw. Notemos que, como dFw(v) = (z, h) ∈ W

2l−1,2_{(M) ×}

Pl−1(M,T), então v é solução do problema linear (

vt− ˜Qi j∇2_{i j}v− ˜Rk∇kv− ˜Sv= h,