EDO

Universidade Federal do Oeste da Bahia

Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias

Conceitos Básicos de

Equações Diferenciais Ordinárias

Profo _{Lauriclécio Figueiredo Lopes}

[email protected]

“Não se preocupe muito com as suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são ainda maiores.”

Albert Einstein

Capítulo 1

Conceitos Básicos

Definição 1.1 Equações que envolvem derivadas, ou diferencias de uma ou mais variáveis depen-dentes, com relação a uma ou mais variáveis independentes são chamadas de equações diferenciais (ED). Exemplo 1 y0 _{= e}x _{e y}00 _{= y} Exemplo 2 y00_{= y} Exemplo 3 ∂f (x, y) ∂x = y x ∂f (x, y) ∂y

No estudo das Equações Diferenciais, o principal objetivo é determinar qual ou quais funções satisfazem a equação diferencial, ou seja, determinar uma ou as soluções da equação. Quando não é possível explicitar a solução, o objetivo passa a ser estudar o comportamento da solução.

Nos dois primeiros exemplos, a função y = ex _{satisfaz a equação y}0 _{= e}x _{e y}00 _{= y, ou seja,}

y = ex _{é uma solução destas equações diferenciais. Veja também que y = e}x_{+ C, C ∈ R, é também} solução do exemplo 1. Verifique que f (x, y) = 3xy é solução do exemplo 3.

Antes de tratarmos das técnicas de como encontrar tais funções, estudaremos um pouco mais dos conceitos envolvidos e propriedades das equações diferenciais.

1.1

Classificação das Equações Diferenciais

As equações diferenciais são classificadas por tipo, ordem e linearidade. 1.1.1 Classificação por Tipo

◦ Uma equação que contém somente derivadas ordinárias das variáveis dependentes com relação a sua única variável independente é chamada Equação Diferencial Ordinária - EDO. Por

exemplo,

(a) dy

dx − 5y = 1

(b) (x − y)dy + 4ydx = 0 onde y = y(x)

(c) u0_{(x) − v}0_{(x) = x}

(d) d2y

dx2 − 2x + 6y

dy dx = 0

(e) u + 3 ˙u = 0 onde u = u(t), ¨¨ u = u00 _{e ˙u = u}0_.

◦ Uma equação que envolve as derivadas parcias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Parcial - EDP. Por exemplo, (f) ∂u ∂x = − ∂v ∂x (g) xuy+ yux = 0 (h) ∂ 2_u ∂y2 + ∂2_u ∂x2 = 0 (Equação de Laplace) (i) a2_u xx = ut (Equação do Calor) (j) a2_u xx = utt (Equação da Onda)

1.1.2 Classificação pela Ordem

A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. Por exemplo,

(k) 4xdy dx + y = xy 3 _{(EDO de 1}a _Ordem) (l) d 2_y dx2 + 5 µ dy dx ¶₅ = 4 ln x (EDO de 2a _Ordem) (m) a2_u

xyz = vxx (EDP de 3a Ordem)

(n) ∂4f

∂x2_∂y2 −

∂3_f

∂x3

∂2_f

∂y2 = f (x, y) (EDP de 4a Ordem)

Embora as Equações Diferenciais Parciais sejam importantes, seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria das equações diferencias ordinárias, objeto de estudo deste curso. Portanto, na discussão que se segue, limitaremos nossa atenção apenas às EDOs.

Uma EDO de ordem n é frequentemente representada por

F ¡x, y, y0_{, y}00_{, · · · , y}(n)¢_{= 0} ou F µ x, y,dy dx, d2_y dx2, · · · , dn_y dxn ¶ = 0. 3

1.1.3 Classificação pela Linearidade

Definição 1.2 Uma equação diferencial ordinária é dita linear quando pode ser escrita na forma an(x) dn_y dxn + an−1(x) dn−1_y dxn−1 + · · · + a1(x) dy dx + a0(x)y = g(x). (1.1) em que cada coeficiente ai(x), i = 1, · · · , n, depende apenas da variável independente x.

Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.

Observe que nas equações diferencias lineares a variável dependente y e todas as suas derivadas são de primeiro grau, ou seja, o expoentea de cada termo envolvendo y e suas derivadas é 1.

Dos exemplos anteriores são lineares os itens: (a), (c), (e), (f), (g), (h), (i), (j) e (m). São não-lineares: (b), (d), (k), (l) e (n);

◦ O item (b) não pode ser escrita na forma da Equação 1.1; ◦ O produto 6ydy

dx torna o item (d) não-linear;

◦ O item (k) contém o termo y3_{, expoente diferente de 1.}

◦ No item (l) há expoente 5 em dy

dx.

◦ E o item (n) apresenta produto de derivadas parciais, ∂

3_f

∂x3

∂2_f

∂y2.

1.2

Solução

Como mencionamos antes, nosso objetivo neste curso é resolver as equações diferenciais, ou seja, encontrar as suas soluções.

Definição 1.3 Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na ED reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo.

Exemplo 4 Veja que y = x4

16 é uma solução para a equação não-linear

dy

dx = xy1/2 no intervalo

(−∞, ∞)

Exemplo 5 A função y = xex _{é uma solução para equação linear y}00 _{− 2y}0 _{+ y = 0 no intervalo} (−∞, ∞).

A solução para uma EDO que poder ser escrita na forma y = f (x) é chamada de solução explícita. Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.

Exemplo 6 Para −2 < x < 2, a relação x2 _{+ y}2 _{− 4 = 0 é uma solução implícita para a EDO}

y0 _{= −x/y. Veja que x}2_{+ y}2_{− c = 0 também satisfaz a ED para qualquer valor c > 0.}

Exemplo 7 As funções y1 = c1cos 4x e y2 = sen 4x, em que c1 é uma constante arbitrária, são

soluções para a equação diferencial ordinária y00 _{+ 16y = 0. Verifique também que}

y3 = c1cos 4x + c2sen 4x, c2 ∈ R, é solução.

No Exemplo 7, a função y2 é uma solução particular. Como para infinitos valores de c1 e c2,

as funções y1 e y3 geram infinitas soluções, dizemos que elas formam uma família de soluções. A

solução y3 constitui de todas as soluções possíveis para a equação diferencial dada, neste caso ela é

chamada solução geral. As constantes c1, c2 e c3 são chamadas de parâmetros. Veja que y = 0

também é solução, ela é chamada solução trivial.

Em alguns casos, uma equação diferencial não-linear possui uma solução que não pode ser obtida atribuindo valores aos parâmetros em uma família de solução. Tal solução é chamada de solução singular. Veja exercício 4 e o exemplo a seguir:

Exemplo 8 Veja que y1(t) = −

1

t + k, k ∈ R, k 6= −t, é solução para y

0 _{= y}2_{, mas c}

1y1 não é

solução, para qualquer c1 6= 0 ou c1 6= 1..

Observação 1 A soma de duas soluções nem sempre gera uma outra solução.

1.3

Alguns Modelos Matemáticos

Muitos dos princípios ou leis que regem o comportamento do mundo físico quando expressos em linguagem matemática são escritos na forma de equações diferenciais, como por exemplo, problemas envolvendo o movimento de fluido, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, ou o crescimento ou decrescimento de populações. Desta forma, para compreender e investigar estas leis e princípios faz-se necessário conhecer um pouco sobre equações diferenciais. Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamado, muitas vezes, de modelo matemático do processo.

No restante deste capítulo estudaremos alguns modelos, dos quais detalharemos apenas o que descreve a queda livre de um objeto no ar.

1.3.1 Um Objeto em Queda

Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento.

Sejam t o tempo de queda e v a função velocidade em função do tempo, ou seja, v(t). Con-sideraremos que a velocidade é positiva para baixo. Das leis da física sabemos que a força F (em newton N) sobre o objeto é igual à diferença do peso P e da resistência R do ar, isto é,

F = P − R. (1.2) É conhecido também que

i. F = ma, em que m é a massa do objeto e a é a aceleração, medidas em kg e

m/s2_{, respectivamente;}

ii. P = mg, em que g = 9, 8m/s2 _{é a gravidade da terra;}

iii. R = kv, ou seja, a resistência do ar sobre o objeto depende do material do

objeto e da velocidade da queda. A constante k é chamado de coeficiente de resistência ao ar;

iv. a = v0_(t).

Substituindo estas informações na Equação (1.2), obtemos a seguinte equação diferencial para descrever a queda do objeto

mdv

dt = 9, 8m − kv, (1.3)

que é uma EDO linear de 1a _{ordem. Lembre-se que m e k são constantes. Simplificando a Equação}

(1.3), chegamos a

dv

dt = 9, 8 − k

mv (1.4)

Analizaremos geometricamente o comportamente da função-solução, mesmo não conhecendo-a. Por simplificação, consideraremos o caso particular em que m = 10 kg e k = 2. Dessa forma, reduzimos as Equação (1.4) a

dv

dt = 9, 8 − v

5 (1.5)

Atribuiremos alguns valores para v.

Se v = 40, por exemplo, temos que v0_{(t) = 1, 8, como esse valor não depende de t, temos que} em qualquer ponto da forma (t0, 40) a inclinação da reta tangente nestes pontos é 1,8, ou seja, v é

crescente. No plano tv marquemos ao longo da reta v = 40 seguimentos de retas cujo coeficiente angular é 1,8.

Se v = 50 então v0_{(t) = −0, 2, ou seja, v está diminuindo, e novamente marcamos seguimentos} de retas com inclinação -0,2 ao longo da reta v = 50. Atribuindo outros valores para v e marcando os seguimentos apropriadamente, podemos criar o seguinte campo de direções dado pela Figura 1.1.

Observe que v0_{(t) = 0 se v = 49, ou seja, a velocidade de queda do objeto permanecerá} inalte-rada se esta for 49 m/s. Observe também que com o passar do tempo, a velocidade do objeto tende a

Figura 1.1: Campo de Direções para a Equação (1.5).

49 m/s se esta for inicialmente diferente. Neste caso, dizemos que v = 49 é uma solução de equilíbrio. Essa é a solução correspondente ao equilíbrio entre a gravidade e a resistência do ar.

A solução geral para Equação (1.5) é dada por

v(t) = 49 + ce−t/5. (Verifique!)

Se considerarmos que no início da queda o objeto possuia velocidade inicial nula, ou seja, v(0) = 0, chegamos a conclusão que c = −49, assim uma solução particular é

v(t) = 49(1 − e−t/5₎

A Figura 1.2 mostra o gráfico de algumas soluções particulares para v(t) = 49+ce−t/5_{; a solução} destacada refere-se àquela que satisfaz v(0) = 0.

A condição v(0) = 0 é chamada condição inicial. Quando tivermos uma equação diferencial juntamente com uma condição inicial, dizemos que temos um Problema de Valor Inicial - PVI.

Nas próximas subseções apenas ilustraremos alguns outros modelos matemáticos.

1.3.2 Sistema Massa-Mola

Para calcular o deslocamento vertical x(t) de uma massa atada a uma mola, usamos duas leis em-píricas: a segunda lei de Newton sobre o movimento e a lei de Hooke. A primeira delas diz que a resultante das forças que atuam sobre um sistema em movimento é F = ma, em que m é a massa e a, a aceleração. A lei de Hooke diz que a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamente s + x, isto é, a força restauradora é k(s + x), em que k > 0 é uma constante. Como mostrado na Figura 1.3(b), s é o deslocamento da mola quando uma massa é atada em sua

Figura 1.2: Campo de Direções para a equação 1.5

extremidade e o sistema está em posição de equilíbrio (a massa está pendurada na mola e não há movimento). Quando o sistema está em movimento, a variável x representa o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio. Quando o sistema está em movimento, a força resultante atuando na massa é simplesmente F = −kx. Logo, na ausência de amortecimento ou outras forças externas quaisquer que poderiam estar atuando no sistema, a equação diferencial do movimento vertical do centro de gravidade da massa é:

md 2_x dt2 = −kx. Lembre-se que a = dv dt = d2_x dt2.

Figura 1.3: Sistema massa-mola

1.3.3 Pêndulo Simples

Qualquer objeto pendurado em movimento pendular é chamado de pêndulo físico. O pêndulo simples é um caso especial de pêndulo físico e consiste em uma haste com uma massa atada em uma das

extremidades. Para descrevermos o movimento de um pêndulo simples, desprezaremos qualquer força exterior de amortecimento agindo sobre o sistema (tal como a resistência do ar).

Como ilustração consideraremos que uma massa m de peso W está suspensa por uma haste de comprimento l. Queremos determinar o ângulo θ, medido a partir da linha vertical, como uma função do tempo t (consideramos θ > 0 à direita de OP , e θ < 0 à esquerda de OP ). Lembre-se de que um arco s de um círculo de raio l está relacionado com o ângulo central θ atráves da fórmula s = lθ. Logo, a aceleração angular é a = d2s

dt2 = l

d2_θ

dt2. Pela segunda lei de Newton, temos F = ma = ml

d2_θ

dt2.

Na Figura 1.4, vemos que a componente tangencial da força devida ao peso W é mg sen θ. Igualando as duas diferentes formulações da força tangencial, obtemos

mld 2_θ dt2 = −mg sen θ ou d2_θ dt2 + g l sen θ = 0.

Figura 1.4: Pêndulo Simples

Por causa da presença do sen θ, a ED acima é não-linear. Se o deslocamento angular θ não for muito grande, poderemos usar a aproximação sen θ ≈ θ. Daí, uma EDO linear que descreve o sistema para pequenas variações de θ é

d2_θ

dt2 +

g

l θ = 0.

1.3.4 Circuitos em Séries

De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a diferença de potencial E(t) em um circuito fechado é igual à soma das voltagens no circuito. A Figura 1.5 mostra os símbolos e as fórmulas para as respectivas voltagens (queda de tensão) através de um indutor, um capacitor e um resistor. A corrente em circuito, após a chave ser fechada, é denotada por i(t); a carga em um capacitor no instante t é donotada por q(t). As letras L,C e R são constantes conhecidas como indutância, capacitância e resistência, respectivamente.

Figura 1.5: Partes de um Circuito

Consideremos o circuito simples, em série, contendo um indutor, um resistor e um capacitor, mostrado na Figura 1.6. Uma equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t) em um capacitor pode ser obtida somando as voltagens (queda de tensão) do resistor = iR = Rdq

dt, do indutor = Ldi dt = L d2_q dt2 e do capacitor = 1

C q ; e igualando a soma à diferença de potencial E(t), ou

Figura 1.6: Circuito Simples em Série

seja, Ld2q dt2 + R dq dt + 1 C q = E(t).

Lembrando que a corrente está relacionada com a carga q por i = dq

dt.

1.3.5 Lei de Esfriamento e Aquecimento de Newton

De acordo com a empírica lei de esfriamente (e aquecimento) de Newton, a taxa de esfriamente de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

Suponhamos então que T (t) denote a temperatura de um corpo no instante t e que a tem-peratura do meio ambiente seja constante, igual a Tm. Se dT /dt representa a taxa de variação da temperatura do corpo, então a lei de esfriamento de Newton poderá ser expressa matematicamente por

dT

dt = k(T − Tm),

em que k é uma constante de proporcionalidade. Como por hipótese, o corpo está esfriando, devemos ter T > Tm, logo k < 0. Se o corpo estivesse esfriando teríamos T < Tm, e assim k > 0.

1.3.6 Crescimento Populacional

Parece plausível esperar que a taxa de crescimento de uma população P seja proporcional à população presente naquele momento. A grosso modo, quanto maior for a população presente, maior ela será no futuro. Logo, o modelo para o crescimento populacional é dada pela equação diferencial

dP

dt = kP,

em que k é uma constante de proporcionalidade. Se a população aumenta, k > 0; se a população diminui, k < 0.

1.4

Exercícios

1. Dada a EDO linear de 1a _{Ordem y}00_{− y = 0. Verifique que:}

(a) y1 = ex, y2 = e−x são soluções particulares.

(b) y3 = c3ex gera uma família de soluções, c3 ∈ R.

(c) y4 = c1y1+ c2y2 é uma solução geral, c1, c2 ∈ R.

2. Classifique as equações diferenciais quanto a linearidade e sua ordem.

(a) (1 − x)y00_{− 4xy}0_{+ 5y = cos x}

(b) yy0 _{+ 2y = 1 + x}2 (c) x3_y(4)_{− x}2_y00_{+ 4xy}0_{− 3y = 0} (d) dy dx = s 1 + µ d2_y dx2 ¶₂

3. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c é uma constante)

(a) 2y0_{+ y = 0; y = e}−x/2

(b) dy

dx − 2y = e

3x_{; y = e}3x_{+ 10e}2x

(c) y0_{+ y = sen x; y =} 1

2 sen x − 12cos x + 10e−x

(d) y0₋ 1 xy = 1; y = x ln x, x > 0 (e) dX dt = (2 − X)(1 − X); ln 2 − X 1 − X = t (f) (x2_{+ y}2_{)dx + (x}2_{− xy)dy = 0; c(x + y)}2 _{= xe}y/x (g) y0_{+ 2xy = 1; y = e}−x2R_x 0 et 2 dt + ce−x2

4. Verifique que y = cx + c2_{, c ∈ R, é uma família de solução para y = xy}0_{+ (y}0₎2_.

Determine um valor de k para que y = kx2 _{seja uma solução singular para a equação diferencial.}

Veja que esta solução particular não faz parte da família de solução dada.

5. Mostre que a função definida por partes, y = (

−x4 _{, x < 0}

x4 _{, x ≥ 0} , é solução da EDO xy

0_{− 4y = 0.}

6. Determine, por experiência, uma solução para as equações dada. a) y0 _{− y = 0 b) y}00_{+ y = 0 c) y}00_{− y = 0}

d) y0 _{− 5y = 0 e) y}0₊ 1

xy = 0 f) y0− 2x = 0

g) y00 _{= 1 h) y}00_{− y}0 _{= 0 i) 2yy}0 _{= 1}

7. Exercícios do Boyce & DiPrima, pag. 14, Questões: 1-28.

8. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t → ∞.

(a) y0 _{= 3 − 2y}

(b) y0 _{= 2y − 3}

9. Escreva uma equação diferencial da forma dy/dt = ay + b cujas soluções tendem a y = 3 quando

t → ∞.

10. Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo.

11. Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 galões de água na qual está dissolvida uma quantidade desconhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01 grama dessa substância por galão a uma taxa de 300 galões por hora. A mistura sai à mesma taxa, de modo que a quantidade de líquido no lago permanece constante. Suponha que o produto químico esteja distribuído uniformemente no lago.

(a) Escreva um EDO para a quantidade de produto químico no lago em um instante qualquer.

(b) Qual a quantidade do produto químico que estará no lago após um período muito longo de tempo? Essa quantidade-limite depende da quantidade presente inicial?

12. Um determinado remédio é injetado na veia de um paciente de hospital. O líquido, contendo 5 mg/cm3 _{do remédio, entra na corrente sangüínea do paciente a uma taxa de 100 cm}3_{/h. O}

remédio é absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sangüínea de outro modo, a uma taxa proporcional à quantidade presente, com um coeficiente de proporcionalidade igual a 0,4/h. Supondo que o remédio é distribuído uniformemente na corrente sangüínea, escreva uma EDO para a quantidade de remédio presente na corrente sangüínea em qualquer instante de tempo.

13. Relacione as equações diferenciais abaixo com os campos de direção da figura dada. a) y0 _{= 2y − 1 b) y}0 _{= 2 + y c) y}0 _{= y − 2 d) y}0 _{= y(y + 3) e) y}0 _{= y(y − 3)} f) y0 _{= 1 + 2y g) y}0 _{= −2 − y h) y}0 _{= y(3 − y) i) y}0 _{= 1 − 2y j) y}0 _{= 2 − y}

1.5

Gabarito

Questão 2: a) linear e de 2a _{ordem. b) não-linear e de 1}a _{ordem. c) linear e de 4}a _{ordem. d)}

não-linear e de 2a _ordem.

Questão 3: Todas as funções são soluções das respectivas equações. Questão 4: k = −1/4. Questão 8: a) y → 3/2 quando t → ∞; b) y se afasta de 3/2 quando t → ∞

Questão 10: dV

dt = −kV

2/3_{, V > 0;}

Questão 11: a) dQ

dt = 300(10−2− 10−6Q), Q é a quantidade me grama e t é o tempo em hora.

b) Q → 104 _{g; não}

Questão 12: dQ

Questão 13: figura) e letra): i) e j); ii) e c); iii) e g); iv) e b); v) e h); iv) e e).