Publicações do PESC Modelagem e Otimização de Um Sistema de Telecomunicação Sem Fio e de Uma Carteira de Investimentos

MODELAGEM E

OTIMIZAÇAO

DE UM SISTEMA DE TELECOMUNICAÇAO SEM FIO E DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS

Rodrigo José Guerra Leone

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO D E ENGENHARIA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊWCIAS EM ENGENHARIA DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO.

Aprovada por:

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f ~ i - o f A&lson Elias Xavier, D. SC;

Prof. Ger!iilclo F&bson Mateiis, D. Sc.

Prof. Luiz Costa d a silva, PliD.

Prof. Roberto Qiiirino do N&ciineiito, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, R J - BRASIL

LEONE, RODRIGO JOSÉ GUERRA

Modelagein e Otiinização de um Sistema de Teleconi~~iiicação sem fio e de uina Cxteira de Investimentos [Rio de Janeiro] 2004

XII, 191 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia de Sistemas e Computacão, 2004)

Tese - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1 - Localização de ERBs

2 - Coiitiole de Potência

3 - Carteira de Investimentos

4 - Prograniação Geoinétrica Signomial 5 - Decomposição Lagrangeana

Agradecimentos

e Ao professor e amigo Paulo Roberto Oliveira, pelo apoio e confiança. Será sempre uma referência em minha vida profissional e pessoa.1.

e Ao professor Roberto Quirino do Nascimento, pela co-orientação e por apostar, acima de tudo, em minha capacidade desde o Mestmdo.

e Aos professores Geraldo Robson Mateus, Adilson Xavier e Luiz Costa da Silva, pela atenção sempre que precisei.

e Aos professores Marcos Augusto dos Santos, Nelson Maculan Filho e Antônio Marcos Duarte Jr., pelas sugestões.

e Aos professores membros da banca examinadora. e A Andréa, por aceitar minhas ausência e ansiedade. e Ao Davi, siiiiplesinente por existir.

e Aos meus pais e irinãos, por suprirem a Andréa e o Davi do carinho que neni seinpre pude dar nesse período.

e Aos amigos da COPPE: Gilvan, Rosely, Geci, Verinha, Jurandir e Paulinho, por estarem sempre presentes.

e Ao amigo Sérgio Nlonteiro, pela ajuda nas implementações.

e Aos professores e funcioi~ários do programa de Engenharia de Sistemas e Com- putação da COPPE, em especial à professora Regina Burachik, ao professor Luis I\/Iauricio Grana Drummond, à Cláudia, Solange, Dona Gersina e Lourdes.

Aos professores José Rodrigues Lustoza, Mamadu Larnasma Bari e Carlos Pedrosa Júnior da Fundação Visconde de Cairú, ao professor Carlos Coutinho Batalha da Faculdade de Ciências Humans de Vitória e ao Prof. Josir Sirneone Gomes do IBNIEC - RJ, pela confiança e pelas oportunidades.

0 A Dona Maria José e ao Herbert, pela acolhida em Belo Horizonte.

"

. . . por isso sigo caminhaido, sempre e m frente, incamável, na certeza de ir até onde Deus disser: É até aqui.

"

Resumo d a Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

MODELAGEM E OTIIVIIZAÇÃO DE UM SISTENIA DE TELECO~~IUNICAÇÃO SEM FIO E DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS

Rodrigo José Guerra Leone NIarço/2004

Orientador: Paulo Roberto Oliveira

Programa: Engenharia de Sistemas e Computação

Apresentamos dois modelos não lineares e inteiros: um para os problemas de localização de estações rádio base e de controle de potência em tecnologia CDMA e outro para o problema de otiinização de uma carteira de investimentos, intro- duzindo uma inensuração do risco baseada em uma função utilidade. Propomos uma heurística de programação geométrica signomial aplicada a problemas 0-1, em que

é introduzida uma função com a característica dc transformar as soluções contínunç em soluções inteiras. Para o primeiro modelo ainda propomos uma decomposição lagrangeaiia, em que a resolução do problema se particiona na resolução de um pro- blema mestre e de três subprobleinas. Apresentamos os resultados computacionais obtidos para todas as inetodologias referentes às siinulações testadas pa.ra o modelo de teleconiuiiicações.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partia1 fulfillment of the recpireinents for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

MODELING AND OPTIMIZING A NETWORK DESIGN AND PLANNING FOR A WIRELESS SYSTEM AND AN INVESTMENT PORTFOLIO

Rodrigo José Guerra Leone March/2004

Advisor: Paulo Roberto Oliveira

Departinent: Systeins and Computation Eilgineering

We present two inodels: one for the network design and planniiig of a wireless system based on CDMA technology, in which the aim is to solve the base station location problein, the power contiol being considered, to meet the service deinand. The other inodel considers the investinent portfolio optimizatioii, based on introd~l- ting the definitioii of risk-utility. The proposed inodels are nonliiiear programmiiig forinulations and we propose a signomial geoinetric programming heuristic to obtain their optiina.1 solutions. We also propose a Lagrangean decomposition for the first inoclel. Computational results for some simulated problems are presented.

Índice

Introdução 1

1 Modelagem em Telecomunicação Sem Fio 5

1.1 Aspectos básicos de Sistemas de Telecoinunicações Móveis Celular . . 5

1.1.1 Conceitos Básicos . . . 5

1.1.2 Sobre I\/Iodulação e Técnicas de Acesso . . . 7

1.1.3 Alguns problemas e modelos existentes . . . 8

1.2 Um novo modelo para Telecomunicação Sem Fio . . . 20

. . .

1.2.1 Modelo Não-Linear Inteiro 21

. . .

1.2.2 Explicação do Modelo 22

. . .

1.2.3 Análise do Modelo 24

2 Modelagem em Carteira de Investimentos 2 6

. . . 2.1 Aspectos básicos sobre Utilidade. Risco e Retorno 26

. . .

2.1.1 Conceitos e Resultados 26

. . .

2.1.2 I\/Iodelageni e Gereiiciainento do Risco 28

. . . 2.2 Proposta de Cálculo de Risco baseado em Utilidade 29

. . .

2.2.1 A Curva de Utilidade 30

. . . 2.2.2 A Distância-Utilidade e o Desvio-Utilidade 31

2.2.3 Resultados experimentais : a versus DU . . . 41 2.2.4 Correlação-Utilidade . . . 45 2.3 Uin novo modelo para Otimização de Carteira de Investimentos . . . 47 2.3.1 Modelo Não-Linear Inteiro . . . 48 2.3.2 Explicação do Modelo . . . 49

. . .

2.3.3 Análise do I\/Iodelo 50

3 Metodologia d e P r o g r a m a ç ã o Geométrica Signomial 0-1 5 2 . . .

3.1 Preliiniiiares 52

3.2 Prograinação Geométrica Signomial . . . 53 3.2.1 F~mção Objetivo Posinoinial . . . 54

. . . 3.2.2 Função Objetivo com Coeficientes Negativos 69

. . .

3.2.3 Técnica de Condensação 75

. . .

3.3 Referências bibliográficas 82

3.4 IVietodologia de Otimização Contínua para o problema 0-1 . . . 83 3.5 Metodologia aplicada ao Problema de Telecoinunicação Sem Fio . . . 98

. . . 3.5.1 Técnica de Condensação 98 . . . 3.5.2 Heurística 0-1 103 . . . 3.5.3 Existência de Solução 111

3.6 I\/letodologia aplicada ao Problema de Otiinização de Carteira de In- . . . vestimentos 116 . . . 3.6.1 Técnica de Condensação 116 . . . 3.6.2 Heurística 0-1 125 . . . 3.6.3 Existência de Solução 127

4 Metodologia de Decomposição Lagrangeana 130 4.1 Prelimiiiares . . . 130 4.2 Referências bibliográficas . . . 130 . . . 4.3 Decomposição Lagrangeana 133 . . . 4.3.1 Subprobleina ein z 136 . . . 4.3.2 Subproblema em x 136 . . . 4.3.3 Subproblema em (p,r, y) 140 . . . 4.3.4 O Problema I\!íestre 144

5 Um Algoritmo de Pontos Interiores Inviável 148

. . .

5.1 Algoritmo Barreira-Penalidade 148

. . .

5.1.1 A Direção de Newton perturbada 152

5.2 Método aplicado ao subproblema em ( p , y.

t.

v) . . . 158

6 Implementações e Resultados Comput acionais 161

7 Proposta de Trabalhos Futuros 166

. . . 7.1 Qiianto à modelagem 166 . . . 7.2 Quanto à implementação 167 . . . 7.3 Quanto à teoria 167 Apêndice A 168 Apêndice B 174 Referências Bibliográficas 179 xii

Int

roducão

D

Os projetos de instalação e expaiisão dos sistemas de coinunicação sem fio re- querem em geral grandes investimentos, gerando desafios técnicos significativos.

Um dos principais problemas para uma rede sem fio é onde e com que capacidade devem ser instaladas as estações rádio base (ERBs), de onde partem as transinissões. O objetivo é instalar um conjunto de estações capazes de cobrir a área desejada, atender à demanda, miniinizando os custos e niantendo padrões de qualidade de serviço.

Um segundo problema se refere à alocação dos canais. O objetivo é cobrir toda a área de serviço, distribuindo as freqiiêiicias de forma eficiente, atendendo à demanda e reduzindo as interferências. Nesse estudo, é necessário conhecer a tecnologia iin- plantada nas antenas das estações. No caso da alocação de canais, as tecnologias mais usadas são a FDMA (Frequency Division Multiplexing Access) e a T D M A

( Time Division Multiplexing Access) [52], [14], [89], [92].

Outro probleina é o controle da potência transmitida no link ERB-usuário. Nesse caso, uma tecnologia utilizada é a CDMA (Code Division Multiplexing Access) [46],

[as],

[52], [14], [89], [92]. Através desse controle, podemos evitar, como veremos mais adiante, o problema da alocação de canais.

A maioria dos modelos matemáticos observa esses problemas isoladamente. Tal abordagem pode acarretar em perda de qualidade das soluções, bem como dos iii-

vestiinentos necessários em infra-estrutura. Existem modelos que tratam dos dois primeiros problemas em conjunto, sendo, alguns deles, de difícil implementação. No que diz respeito ao terceiro probleina, não temos conhecimento de nenhum inodelo que o trate conjuntamente coin o problema da localização das estações rádio base, fazendo dessa lacuna uma das motivações de nosso trabalho.

A informação para a tomada de decisão sobre investiinento em ativos só está completa quando são dados o retorno esperado, o risco associado a esse retorno, o intervalo de confiança para esse risco e a liq~~idez do investimento1. Dessa forma, como é usiial utilizarmos uma probabilidade de aproximadamente 95% para o in- tervalo [retorno - risco; retorno

+

risco], inferido por uma tendência normal de coinportainento para a variável retorno, basta-nos informar o par risco/retorno. O desconhecimento desse fato pode acarretar em perdas muito além das expectativas do investidor, inas não necessariamente improváveis estatisticamente. Com os pares risco/retorno para vários ativos em mãos, quase nunca é possível ordená-los do inel- hor ao pior. A decisão depende do perfil do investidor: o mais agressivo opta por ativos de maior volatilidade, cujos retornos são geralmente mais altos, correndo o risco de ga.nhos ainda maiores ou de perdas catastróficas, enquanto que o mais con- servador se satisfaz com retornos menores, de preferência com baixo risco de perda.

É a lei da coinpensação.

No decorrer do trabalho, consideraremos válida a seguinte hipótese central sobre um investidor conservador: a decepção com a perda é mais sentida que a satisfação coin o ganho. Exemplificando, um retorno de -1% quando se esperava 2% não é

compensado por uin retorno de 5% para a mesma expectativa. Oscilações negati- 'A preocupação coin a liquidez é mais acentuada quando o modelo abrange o longo prazo. Como, geralmente, os modelos avaliam o retorno no período iinediatainente posterior ao investiinento, não se faz necessário levá-la em consideração.

vas são mais influentes que oscilações positivas e, portanto, devem assumir maior ponderação.

O cálculo do risco pela variâiicia (média da soma dos quadrados dos desvios em relação à média) tem a propriedade de penalizar variações superiores a unia unidade, porém não diferencia variações negativas de variações positivas. Assim sendo, uma variação de 3% além do esperado tem peso nove vezes maior do que uma variação positiva de 1% . O mesmo continuaria válido, caso as variações fossem negativas. Mais ainda, o peso da variação positiva de 3% é idêntico ao da variação negativa de 3%. Já para o desvio-médio, os pesos são proporcionais aos valores absol~itos das variações.

Os modelos de otiinização de carteira de investimentos a partir de um conjunto de ativos, geralmente, consideram o risco definido pelo desvio-padrão (raiz quadrada de variância) e, portanto, sofrem a mesma consequência apontada acima. Ein nosso trabalho, propomos uma medida de risco que leva em conta a hipótese central ap- resentada anteriormente.

Nosso trabalho está dividido em seis capítulos. O primeiro capítulo trata da modelagem em telecomunicação sem fio: a seção 1.1 apresenta os aspectos básicos da telecoin~inicação móvel celular, expondo os conceitos e as tecnologias necessários para o entendimento da modelagem. A seção ainda aborda alguns problemas mais frequentes em coin~micação móvel e apresenta modelos referentes a esses problemas. A seção 1.2 apresenta um novo modelo não-linear inteiro para teleconiunicação sem fio, visando o suprimento da lacuna exposta acima. Na verdade, trata-se de um problema binário e fracionário-linear devido ao conjunto de restrições de qualidade de serviço (QoS). O capítulo 2 trata da modelagem em carteira de investimentos.

A seção 2.1 expõem os conceitos e resultados fundamentais sobre a teoria de risco e define novas medidas de variância e covariância, núcleo da proposta de risco baseado em utilidade, tema da seção 2.2. Finalmente, a seção 2.3, introduz o inodelo não- linear inteiro para a otiinização de uin carteira de investimentos, levando-se em conta as medidas de risco da sejio anterior. Assim como o modelo de telecoinunicação, esse modelo é binário e não-linear. No capítulo 3, apresentamos uma heurística para o problema 0-1 e introduzimos a inetodologia de Programação Geométrica Signomia1 para a resolução dos inodelos, originalineiite não-lineares inteiros, linearizados e re- laxados para o intervalo [O;

11,

nas variáveis inteiras. Na busca da solução ótima, utilizamos um algoritmo de pontos interiores para o problema dual, que será in- troduzido no capítulo 5. No capítulo 4, aproveitamos a estrutura do inodelo de telecoin~inicação sem fio, proposto na seção 1.2, para expor seu tratamento via De- coinposição Lagi-angeana. Por essa metodologia, a resolução é decomposta nas res- oluções de um problema mestre e de três subprobleinas escravos. Apoiados em suas respectivas características, propomos inétodos de otimização para cada um deles. No capítulo 5, apresentamos o algoritmo de pontos interiores inviáveis utilizado tanto para a metodologia de programação geométrica, quanto para a de decomposição lagrangeana. O capítulo G traz detalhes das implementações e os resultados com- putacionais, para os dois inodelos e para as diferentes metodologias. Apresentamos algumas propostas de trabalhos futuros no capítulo 7. Finalmente, nos apêndices encontram-se resuinos das metodologias utilizadas no trabalho e alguns resultados coinputacionais.

Capítulo

1

Modelagem em Telecomunicaçáo

Sem Fio

1.1

Aspectos básicos de Sistemas de Telecomu-

nicações Móveis Celular

1.1.1

Conceitos Básicos

Nesta seção, apresentaremos alguns conceitos que julgamos básicos para o en- tendimento do tema e algumas tecnologias utilizadas na coin~inicação móvel celular sem fio de forma a facilitar o entendililento do texto. As definições a seguir foram baseadas em [52] e [14].

Definição 1.1. U m a onda eletromagnética senoidal plana é u m a perturbação eletromagnética e m que o campo elétrico varia e m função do tempo e das coordenadas espaciais n a forma

onde [Eo[ é a amplitude da onda, f é a freqüência e m hertz (ciclos por segundo),

X é o comprimento da onda e q5 é a fase.

Definição 1.2. O comprimento de onda durante um perzódo (inverso da freqüência).

5

Definição 1.3. Canal é u m meio de comunicação entre dois pontos.

Definição 1.4. Largura de banda é a diferença entre a maior e a menor freqüência e m u m canal. Este conceito é extremamante importante, visto que a

capacidade de u m canal é, e m parte, dependente da largura da banda.

Definição 1.5. Uma célula é a área geográfica atendida por u m transmissor, a Estação Rádio Base ( E R B ) . E m outras palavras, é o conjunto de todos os pon- tos onde o sinal da ERB é recebido dentro dos limites de ruido e de interferência aceitáveis. Idealmente, seriam áreas circulares, mas n a prática podem assumir formas totalmente irregulares, pois dependem do relevo e da topografia. Por con-

veniência, são representadas por hexágonos.

Definicão 1.6. A mudança automática de chamada de u m a célula para outra

à medida que o usuário se desloca é chamada de handoff e é monitorada por u m a Central de Comunicação e Controle, n a qual a E R B está conectada.

Definição 1.7. O ganho de u m a antena é a razão entre a intensidade de ra- diação e m u m a dada direção e a intensidade de radiação de u m a antena isotrópica, para u m a m e s m a potência incidente n a entrada das duas antenas.

Definição 1.8. A interferência co-canal é aquela devida ao uso da m e s m a freqüência e m células vizinhas. A interferência adjacente é aquela causada por

canais adjacentes e m u m a m e s m a E R B ou célula.

Definição 1.8. O reuso de freqüência é a utilização da m e s m a freqüência para transmissão de dois sinais independentes. Depende, entre outros, da potência do sinal, das freqiiências usadas, do relevo, do ambiente, do tipo e da altura da antena. A distância de reuso é a distância m i n i m a entre duas E R B s transmitindo e m canais com m e s m a freqüência s e m que haja interferência mútua.

1.1.2

Sobre Modulação e Técnicas de Acesso

A modulação é o processo pelo qual a inforinação a ser transmitida é convertida em uina forma conveniente a sua transmissão (geralmente, ocorre a tranlação da banda básica original para uina banda muito mais alta).

A implcmentação de um esquema de modulação eficiente e resistente aos proble- nias apresentados pelo canal móvel não é simples, principalmente devido ao ainbiente hostil em termos de propagação em sistemas celulares.

Os sistemas celulares de primeira geração utilizam modulação analógica, en- quanto que os sistemas de segunda geração empregam a modulação digital (tanto para os canais de voz, como para os canais de controle). Esse último tipo de mo- dulação tem várias vantagens coin relação ao primeiro: maior imunidade a ruído, maior facilidade e piaticidade de se multiplexar as informações, maior segurança, além de poder comportar códigos de detecção e/ou eliminação de erros.

No caso da transmissão digital, o sinal original de banda base é transmi- tido através da modulação de uma portadora senoidal, alterando a amplitude, a frequência ou a fase dessa portadora, que assumem um conjunto de valores discre- tos. Temos, então, as três formas básicas de modulaç ao de sinais digitais: o ASK (Amplitude Shift Keying ou Chaveainento de Amplitude), em que a frequência e a fase permanecem inalteradas, o FSK (Frequency Shijl Keying ou Chaveainento de Frequêiicia), ein que a amplitude e a fase não são alteradas e o PSK (Phase Shift Keying ou Chaveainento de Fase), quando tanto a amplitude quanto a frequência não são modificadas.

Visando maior capacidade de transmissão, surgiu a idéia de inultiplexação, que consiste ein agregar várias informações em uma mesma 1a.rgura de banda. No caso

da coin~inicação sem fio, destacam-se a FDM (Frequency Division Multiplexzng),

a TDM ( T i m e Division Multiplexing) e a CDNI (Code Division Multiplexing). As técnicas de acesso são processos através dos quais um determinado usuário tem acesso a um canal. Nos sistemas celulares, um canal é alocado ao usuá,rio, tem- porariamente, mediante critério de demanda. Das formas de multiplexação acima descritas, resultam as técnicas de acesso FDMA (Frequency Division Multzplexing Access), TDMA ( T i m e Division Multiplexing Access) e CDMA (Code Division Mul- tiplexing Access)

,

respectivamente. Enfatizaremos essa última técnica de acesso por ser ela a utilizada em nossa proposta.

A arquitetura CDMA disponibiliza toda a largura de banda para todos os usuários. Porém, cada conexão estação-usuário recebe um código específico, o mais aleatório e ortogonal possível aos demais, permitindo a utilização do mesmo canal ao mesmo tempo pelos usuários, assim como a interferência entre eles. O uso desses códigos e do espalhainento garante alta segurança e sigilo para o sistema, indepen- dente d a criptogiafia. Através do controle de potência de transmissão, podemos iniiiimiza.r a iiiterferência, aumentando sua eficiência e a qualidade de serviço. Essa redução de potência também permite elevar a capacidade do sistema, tornando-o mais elástico, ao invés de, como 110s demais sistemas, bloquear os usuários quando atinge o seu limite máximo. Assim, o número de canais pode ser elevado. Outra característica dessa técnica é a possibilidade de um handofS suave entre as células cocanal.

1.1.3

Alguns problemas e modelos existentes

Nesta siibseção, apresentaremos três dos principais problemas envolvendo a co- municação móvel sem fio e alguns modelos, já existentes na literatura, que retratem

esses problemas, de forma a minimizá-10s. Apresentá-los-emos separadamente, para entenderinos a essência de cada um deles. O primeiro problema consiste lia Lo- calização das Estações Rádio Base (ERBs), o segundo na Alocação dos Canais e o terceiro, no Controle de Potência. Essa seção está baseada nos trabalhos [52], [92] e [781.

O Problema da Localização de ERBs

Considereinos uin conjunto de locais candidatos à instalação de uma facilidade, no nosso caso, de uma estação rádio base. O problema da localização de ERB coiisiste em selecionar naquele conjuiito um subconjunto de inínimo custo com a propriedade de cobrir toda a área em estudo, atendendo a sua demanda e explorando eficientemente o espectro de freqüência. Em outras palavras, o problema pode ser entendido como a cobertura total ou a cobertura ináxima, que consiste em assinalar a cada ponto da área pelo menos uma ERB capaz de oferecer uin sinal com nível míiiiino, permitindo a coiimnicação e/ou a transmissão de dados, satisfazendo os padrões de qualidade de serviço (QoS), levando em conta que o custo desse serviço está diretamente vinculado à quantidade de ERBs instaladas. Assim, a solução desse problema será obtida quando selecionarinos uin subcoiijunto de ERBs que atinge a relação custo/QoS ótima.

Modelos de Localização de ERBs

Seja uina região dividida ein um número A4 de pequenas quadrículas de di- mensões variáveis (no nosso caso, serão aproximadas por pontos). Seja o conjunto de N ERBs candidatas à instalação distribuídas nessa região. Vamos definir os seguinte coiijuntos de variáveis de decisão, que serão usadas em todo o trabalho,

tommdo, coino conhecida, alguma medida de sinal recebido em cada quadrícula e originái-io de cada ERB:

1,

se a ERB i E N é localizada;

zi =

0, caso contrário;

Um primeiro modelo de localização, baseado nesses conjuntos, pode ser definido coino:

Modelo de Localização (ML1) :

onde

q : é o custo fixo de instalação da ERB i;

T : valor limite para a medida do sinal capaz de viabilizar a comunicação;

b, : estimativa do sinal da ERB i no ponto j;

Observações:

1. A f ~ ~ n ç ã o objetivo minimiza, como requerido, o custo fixo de instalação das ERBs. Notemos que o custo varia de acordo com a localização da facilidade i E N. Dependendo do mercado, esses custos variam de 200 a 500 mil dólares cada.

2. O primeiro conjunto de restrições garante que o sinal recebibo por cada quadrícula j E A 4 é no mínimo igual ao valor limite capaz de estabelecer a coin~inicação com qualidade de serviço;

3. O segundo conjunto de restrições garante que todo ponto j E A 4 estará coberto por pelo menos uma ERB;

4. O terceiro conjunto de restrições impõe que só participem da cobertura total da área aquelas ERBs que tenham sido instaladas;

5. Finalmente, o último conjunto de restrições determina a integrabilidade das variáveis.

Percebendo que os primeiro e segundo conjunto de restrições serão satisfeitos simultaneamente sempre que o sinal de uma ERB i for capaz de atender à viabilidade de comunicação em uma quadrícula j E Ad, podemos simplificar o modelo ML1, selecionando as transinissões da ERB i para o ponto j que satisfaçam essa condição,

gerando: Modelo d e Localização (ML2) : inin

E

cizi OEN onde 1, se b,

>

T , V i , V j 0, caso contrário

Observemos que cada valor b, é uma constaiite conhecida e influencia direta- mente na siinplificação do modelo, pois é usada para a associação das ERBs para as quadrículas selecionadas. Esse novo modelo torna bem mais simples a imple- inentação, continuando viável para muitas aplicações, entre elas os projetos iniciais de atendimento e às regiões de baixa demanda por coinunicação.

O P r o b l e m a de Alocação de Canais

Já sabemos que o custo de serviço está diretamente ligado ao número de ERBs instaladas. A redução desse número implica na diminuição de custos, mas pode acarretar também na redução da qualidade de serviço. Assim, para atender a esse objetivo, sem interferir na QoS, é preciso uma exploração eficiente do espectro de frequência. Observainos que uina dificuldade adicional é o problema da carência de freqiiências livres, isto é, o numero de aplicações dos sistemas sem fio aumenta, enquanto que o espectro de frequência disponível para transmissão sem fio permanece constante. Assim, é preciso dividir esse espectro entre uma quantidade crescente de sistemas.

A alocação de canais consiste em distribuir entre as ERBs o conjunto de canais disponíveis no sistema, observando os níveis de interferência e distância de reuso. O problema de alocação de canais consiste em calcular essa distribuição.

Nesse contexto entretanto é indispensável o conhecimento da tecnologia utilizada. Dependendo dela, a solução do probleina segue caminhos distintos: podemos resolvê- 10 dividindo os canais em subconjuntos ortogonais, baseados em um fator de reuso e distribuí-10s às estações observando a distância de reuso; podemos criar mapas de interferência para cada ERB, atribuindo um canal a uma ERB somente se é

suficientemente distante de cada um dos canais das ERBs interferentes e podemos ainda reduzir a interferência ajustando as potências de trasmissão de cada ERB.

Para uin melhor entendimento dos modelos, dividimos a apresentação em duas partes. Primeiramente, tratamos de uin modelo bem simples de alocação fixa de canais, apenas para a fainiliarização com o probleina. Mais adiante, quando tratar- mos em conjunto dos probleinas de localização de ERBs e de alocação de canais,

apresentaremos um modelo mais elaborado

Modelo de Alocação Fixa de Canais

Neste caso de alocação, supõe-se que os canais disponíveis são ortogonais. Isso significa que fica estabelecido um intervalo de um canal entre canais consecutivos. Assim, obtemos uma abordagem bem mais simples para o probleina em detrimento de um número total reduzido de canais disponíveis no sistema.

O problema de alocação de freqüências sob esse aspecto se reduz a um problema de alocação de canais às ERBs:

Sejam N e K o conjunto de ERBs localizadas e de canais, respectivamente, e consideremos o seguinte conjunto de variáveis de decisão:

1, se o canal k é alocada à estação i ;

7J& =

0, caso contrário

Seja

Gi

o conjunto de estações interferentes à estação i E N. Por construção, cada freqüência k só pode sei alocada a uma estação Gi. Seja di, i E N, o parâmetro de demanda de chamadas. Essa medida condiciona diretamente a alocação de canais às ERBs.

Um modelo matemático com o objetivo de maximizar o número de canais no sistema pode sei foimulado como:

Modelo de Alocação de Canais (MAC):

sujeito a:

>:

Y l k

5

1, ' d z ' i N , ' d k ~ K &Gi

A função objetivo, como desejado, maximiza o número de canais disponíveis no sistema. Isso implica em melhor atendimento aos usuários. O primeiro conjunto de restrições impõe que cada canal só seja alocado a uma das ERBs interferentes entre si. O segundo conjunto de restrições garante o atendimento à demanda e finalmente o terceiro conjunto de restrições indica a integrabiliclade das variáveis de decisão.

Modelo de Localização de Estações e Alocação de Canais

Nesta subseção, apresentaremos um modelo para a resolução sim~iltânea dos problemas abordados anteriormente: a localização das estações rádio base e a alocação de ca.nais. Esse inodelo, que chamaremos de MLA1, é uma tentativa de unir um modelo básico de localização de ERB com o inodelo MAC, apresentado na subseção anterior, de forma a alocar um canal a apenas uma das ERBs pertencentes ao conjunto de ERBs interferentes entre si. Existem vários outros modelos, entre eles uin desenvolvido por LEE [45], cujo critério para alocação de canais consiste em agrupá-los em subgrupos não interferentes, baseado na largura d a ba,nda e na tecnologia adotada nas antenas das ERBs.

Modelo MLAI:

onde

1, se b,

>

T,'dz,'dj 0, caso contrário

e b, é uma constante previamente conhecida. Observações:

1. O primeiro conjunto de restrições garante o cobiiinento de toda a área em estudo, com um sinal capaz de viabilizx a comunicação, a,ssociando a cada ponto j E A4 pelo menos uma ERB i;

2. O segundo conjunto de restrições limita o número de pontos alocados a cada ERB, sendo mi a quantidade máxima de pontos cobertos pela estação i E N;

3. O terceiro conjunto de restrições impede que um canal seja alocado a mais de uina ERB do conjunto de ERBs interferentes entre si;

4. O quarto conjunto de restrições reflete a ponderação fundamental entre a área coberta por uma ERB e o maior número de canais a ela alocados. Logicamente, quanto maior a área, maior o número de canais necessários. Como estes são uin recurso escasso, o modelo tentará diminuir aquela área;

5. O quinto conjunto de restrições limita o número de canais alocados a cada ERB, sendo ni o número máximo de canais suportados pela ERB i. Além

disso, o conjunto garante que só sejam alocados canais às ERBs instaladas, através da relação entre as variáveis z e y;

6. Finalmente, o último conjunto de restrições indica a integrabilidade das variáveis de decisão.

O Problema do Controle de Potência

Nesta subseção, trataremos do controle da potência emitida pelas estações transmissor as, usado na arquitetura CDI\/IA. Sua vantagem em relação às demais abordagens é que tal controle permite que mais sistemas dividam a mesma banda. Enfatizaremos sua iinportâiicia e inostrareinos o processo de montagem das res- trições [89]. Apresentaremos ainda um modelo desenvolvido por SAMPATH [79] para transmissão de voz.

O critério usado para o controle de potência consiste logicaineiite em miniinizar o tota.1 de potência transmitida. São várias as razões para tanto, entre elas:

e I\/Ienor potência transmitida significa menor espaço ocupado no espectro e conseqüentemente aumento na capacidade de usuários em uina mesma área;

Redução no custo da freqüência usada, já que cada operador precisa pagar pelo uso do espectro disponível;

Redução no consumo de bateria. Além disso, com uma potência de transmissão mais baixa, a vida útil da bateria é maior e o equipamento poderá ser mais leve;

Proteção ao meio ambiente, já que as ondas de rádio interagem com os orga- nismos vivos, provocando, em casos extremos, efeitos nocivos.

No controle de potência, cada usuário especifica um número iníiiimo tolerável de qualidade de serviço (QoS). Geralmente, esse valor é expresso em forma de b i t

error rate (BER). Esse mínimo pode ser expreso através da relação

&,

onde Eb

é a energia por bit do sinal recebido, No é a potência de ruído recebido e I. é a potência de sinal interferente recebido. De acordo com SAMPATH et al. [78], para um sistema unicelular, aquele que só contém uma ERB, tal relação pode sei dada por:

para cada quadrícula j da região, onde

TV : é a largura da banda, da ordem de 1,25 MHz;

I : é a densidade de ruído, considerado gaussiano, da ordem de 10W6 W/hertz; hj : é o ganho por canal;

p : é a variável referente à potência transmitida para a quadrícula j, limitada supeiiormente por 0,5 W;

rj : é a variável referente à taxa de transmissão da quadrícula j, limitada inferiormente por 8 kbps.

Modelo de Controle de Potência (MCP):

Seja A4 o número de usuários (quadrículas) no sistema. Cada um deles especifica uma qualidade de serviço yj, j = 1, . . .

,

A4, desejada. Definamos por r j a taxa de transmissão e por p j a potência transmitida para cada quadrícula j E A4 ( r e p são os respectivos vetores). Sejam ainda W a largura da banda, Q o ruído gaussiano, hj o ganho obtido por cada quadrícula j, Pj as potências ináximas permitidas, e R j

>

O as taxas de transmissão mínimas aceitáveis para cada usuário.

Assim, o modelo fica form~ilado por:

sujeito a

A fiiiição objetivo controla a potência transmitida. O primeiro conjunto de res- trições garante uma qualidade de serviço (QoS) no mínimo igual à desejada. O segundo conjunto de restrições está de acordo com as limitações físicas d a trans- missão. Fiiialinente, o último conjunto garante que a taxa de transmissão não será menor do que a mínima tolerável. Sobre esse modelo, os autores enunciam a seguinte proposição:

Proposição 1.1. N a solução ótima, todas as restrições de QoS e de taxa de transmissão são ativas, OU seja, u m ponto (p*, r * ) é ótimo se e só se para todas suas

Observação: Não apresentaremos a prova para essa proposição, por ser idêntica

à prova d a proposição 3.2, apresentada mais adiante. SARAYDAR et _{al. [83]} interpretam essa propriedade d a solução ótiina da seguinte forma: a percepção da qualidade ein uina transmissão de voz permanece constante para um certo signal t o

interferente

(SIR, equação 1.1). Assim, qualquer qualidade superior a essa é a inesina para o ouvido humano, indicando que basta atingir o inínimo desejável de QoS, para alcançarmos o ótimo. Entretanto, serviços de transmissão de dados são sensíveis a mudanças no SIR, por isso requerem um controle de potência diferente do convencional para voz, no caso, com a introdução de uma função utilidade (ver capítulo 6).

1.2

Um

novo modelo para Telecomunicação

Sem

Fio

Os problemas de localização de estações rádio base, de alocação de canais e de controle de potência são geralmente tratados independentemente, originando soluções que podem ser diferentes da solução ótiina. Existem, como vimos no capítulo 2, alguns modelos que abordam, simultaneainente, os problemas de loca- lização de ERBs e de alocação de freqiiências, utilizando a tecnologia TDMA. Exis- tem também vários modelos na literatura [78], [100], [98], [30] envolvendo o controle de potência. O objetivo dessa seção é apresentar um novo modelo para teleco- inuaicação sem fio1, envolvendo, siinultanearnente, os problema de localização de

' 0 deserivolvimento deste modelo resiiltou da colaboração do Prof. Geraldo Robson Mateus, do Departamento de Ciências da Coinputação da UFI\/IG.

estações rádio base e de controle de potência. Como relatado em [92], apesar dos serviços de telecoinunicações móveis estarem aparentemente evoluindo em direção ao GSM (Global System f o r Mobile communications), a tecnologia utilizada em nosso trabalho é o CDI\/IA, pois o modelo resultante tem características interessantes, pos- sibilitando também o emprego de várias metodologias de otimização.

Como poderemos perceber, o modelo é resultado do acoplamento de um modelo básico de localização de ERBs e do modelo (MCP) de controle de potência desen- volvido em [78] e apresentado no capítulo anterior.

1.2.1

Modelo Não-Linear Inteiro

O tratamento em conjunto dos problemas de localização de ERBs e de controle de potência requer uina atenção especial na formulação das restrições e na escolha da função objetivo. Além de viabilizar isoladamente cada um dos problemas, o modelo deve conter uma variável que crie um elo entre eles, de modo a impedir falsas soluções ótimas. Consideremos, então, o seguinte problema de Otimização:

onde

I, se a ERB i é capaz de cobrir a quadrícula j 0, caso contrário.

1.2.2

Explicação do Modelo

Primeiramente, dividimos a região em estudo em &I quadrículas de tamanho variável, enumerado-as por j = 1,

...A!í.

Nessa região, espalhamos N ERBs candi- datas à instalação, indicando-as por i = 1, . . .

,

N. Cada ERB i tem um custo de ins- talação ci e uma capacidade máxima Ai, de quadrículas atendidas. Cada quadrícula j possui um valor máximo Pj, para a potência de transmissão. Valores superiores a esse máximo podem danificar o equipamento do usuário, além de consumir mais

bateria e aumentar a interferência prejudicando a comunicação. Cada quadrícula define também um valor mínimo requerido y,, para a qualidade de serviço e um valor mínimo de taxa de transmissão R,. Valores abaixo desse mínimo inviabilizam a comunicação. Entretanto, valores muito superiores a R, aumentam a quantidade de potêiicia transintida necessária para a comunicação com qualidade, tanto para a quadrícula em questão, como para as cpadrículas interferentes, aumentando, con- seqüentemente, o custo. Consideramos ainda as constantes W, largura da banda, qo, ruído gaussiaiio e C, custo da potência transinitida para a ERB i. Assiin como y,, as constantes R,, W e qo seguem a forma do modelo NICP (1.2)) apresentado na seção 1.1.

O objetivo do modelo é minimizar os custos de instalação das estações rádio base e da transmissão de potência entre as ERBs e as quadrículas . Para homogeneizar a função objetivo como miiiiinizadora de custo, o somatório da potência transmitida foi multiplicado pela constante C, que pode ser entendida como o custo unitário da medida de potência.

As variáveis do modelo podem ser separadas em quatro conjuntos: x,, variáveis de instalação, que assumem valor unitário se a ERB i é instalada, ou nulo, caso contrário; x,, variáveis de cobertura, que assumem valor unitário, se a quadrícula j

é coberta pela ERB i, ou nulo, caso contrário; p,,

,

variáveis que indicam a potência transmitida pela quadrícula j para a ERB i. Essas variáveis são contínuas, limitadas inferiormente por zero e superiormente por P,. Observemos ainda que, quando a quadrícula j não é coberta pela ERB i, o valor de p, é igual a zero. Finalmente, o conjunto T,, são as variáveis relativas à taxa de transinissão entre as q~ladrículas e as ERBs. Assiin como p,, essas variáveis são contín~ias, porém limitadas inferiormente

por Rj, taxa mínima requerida por cada quadrícula j para viabilização d a coinu- nicação. Observemos que R j vem multiplicada por x,, fazendo com que o limite inferior para a taxa seja nulo, quando a quadrícula j não estiver sendo coberta pela ERB i. O limite superior para a taxa de transmissão está condicionado aos valores da potência de transmissão, no terceiro conjunto de restrições

O primeiro conjunto de restrições garante que cada quadrícula é coberta por pelos menos uma ERB. Isso significa que o sinal naquela quadrícula, originário de dguina ERB

,

é suficiente.

Pelo segundo conjunto de restrições, o somatório dos sinais originários de cada ERB i que cliegani nas quadrículas por ela cobertas não pode ultrapassar a sua capacidade máxima de atendimento. Mais ainda, cada restrição considera a possi- bilidade d a ERB em questão não ser instalada. Nesse caso, o somatório anterior é

forçosainente nulo.

O terceiro conjunto de restrições garante a qualidade de serviço requerida por cada quadrícula. Além disso, cada restrição leva em conta o fato da ERB i não cobrir a q~~adrícula j. Nesse caso, o valor de r, seria nulo, asssim como a qualidade de serviço req~ierida e a potência transmitida.

1.2.3

Análise

do Modelo

A menos das restrições de qualidade de serviço, as demais funções do modelo são lineares. Desse modo, uma melhor compreensão do problema exige, entre outros, a análise daquelas restrições.

Na forma apresentada, cada linha (i, j) é uma função fracionária-linear em pij e linear em rij. Como tal, possui a propriedade de sei pseudoconvexa e pseudocôncava (ver [3]). Tem-se também, como conseqüência desses fatos, que cada restrição é

quasiconvexa, q~~asicôncava, estritainente cluasiconvexa e estritainente q~~asicôncava. Segue daí a importante propriedade de que a relaxação contínua do modelo não- linear terá cada solução local, supondo que exista, sendo também global (ver [3]), em uin ponto verificando as condições de KKT.

A proposição 1.1, transcrita de [78], continua válida para nosso modelo e será provada na seção 4.3.

Capítulo

2

Modelagem em Carteira de

Investimentos

2.1

Aspectos básicos sobre Utilidade, Risco

e

Re-

torno

2.1.1

Conceitos

e

Resultados

Definição 2.1. O prêmio de risco é o incremento, e m relação à taxa de re- torno livre de risco, exigido pelo investidor, para assumir u m investimento com risco diferente de zero.

Definição 2.2. U m investidor é dito conservador quando t e m grande aversão ao risco e agressivo, caso contrário. Os investidores moderados são aqueles com média aversão ao risco.

Podemos, então, concluir que o investidor conservador exige maior prêmio de risco que o investidor agressivo para assumir o mesmo investimento de risco.

Geralmente, a influência do fator risco é uma função não-linear do prêmio exigido. Assim, a atitude do investidor em relação ao risco pode ser interpretada mate- maticamente como uma função de trade-08, ou curva de indiferença ou utilidade, entre risco e retorno.

Definiqão 2.3. O retorno esperado para u m a carteira composta por N ativos é

dado por:

onde xi é a ponderação do ativo i n a carteira e R, é o seu retorno individual.

Definição 2.4. O risco associado a u m a carteira de investimentos formada por N ativos é dado por:

N

onde zi, com

>:

zi = 1, e ai são, respectivamente, a ponderação e desvio-padrão do

i=l

ativo i e C O R ( i ; j ) é a correlação linear entre os retornos dos ativos i , j .

Para melhor entendimento, considereinos uma carteira formada por dois ativos. Pela definição, temos:

onde

+

x2 = 1.

Assim, a ponderação x1 para uina carteira de risco mínimo, a;,, = O é dada por:

Observação: A limitação ao intervalo [O; 11 para as ponderações xi não é obri- gatória. E apenas uina regra para a apresentação da teoria. O caso xi

>

1 indica a necessidade de tomar empréstimo e enquanto que o caso xi

<

O implica na venda a descoberto.

Definição 2.5. Dizemos que u m a carteira é diversificada quando os ativos que a compõem são escolhidos de modo a minimizar seu risco. Uma carteira é dita

alavancada quando os ativos que a compõem são tomados de modo a a u m e n t a r s e u risco.

Observação: Por essa definição, fica claro que o princípio básico para montar- mos unia carteira diversificada é escolher ativos de alta correlação negativa entre si. Ao contrário, para termos uma carteira alavancada, devemos escolher ativos de alta correlação positiva.

Definição 2.6. U m a carteira é dita eficiente quando oferece o m a i o r retorno possivel para um valor especifico do risco. Ou, O m e n o r risco possivel para um dado

retorno. A fronteira eficiente é o conjunto formado por todas as carteiras eficientes.'

2.1.2 Modelagem e Gerenciamento do Risco

Esta subseção se baseia em opiniões de Duarte [I91 e Dainodaran [ l G ] no intuito de evidenciar a necessidade do gerenciamento e de uma boa modelagem do risco2.

Segundo Duarte "A implementação do gerenciamento de risco deve ser uma de- cisão de quem efetivamente detém o poder decisório na instituição.", deve-se " . ..bus- car profissionais qualificados e experientes para essa tarefa.",

"

... um mau gerencia- inento de risco pode levar a uma falsa sensação de segurança, o que pode ser até mesmo pior que desconhecer - e, portanto, temer - o risco de suas posições hoje." e "A confiabilidade da estimativa final obtida para o risco de uina instituição está diretamente relacionada à qualidade dos dados usados e dos procedimentos com- putacionais iinpleinentados."

Para Daniodaran "...um bom modelo de risco e retorno:

1. Deve proporcionar uma medida de risco que se aplique a todos os ativos, não 'Gráficos de risco e retorno pa.ra dois ativos com diferentes correlações e da fronteira eficiente para dois ou 11ia.i~ ativos podem ser eiicontrados ein [10].

sendo específica apena,s a um deles;

2. Deve estabelecer claramente quais tipos de risco são recompensados e quais não são, assim como fornecer um fundamento lógico para essa distinção;

3. Deve proporcionar medidas de risco padronizadas, isto é, um investidor diante de uma medida de risco para um ativo específico deve ser capaz de tirar con- clusões a respeito de se o ativo está acima ou abaixo da média em termos de risco;

4. Deve traduzir a medida de risco em uma "taxa de retorno" que o investidor deve exigir como compensação por assumir o risco;

5. Deve funcioiiar bem não apenas ao explicar retornos passados, mas também ao prever retornos f~~turos."

Os modelos mais comuns3, com menor ou maior grau de complexidade, por exein- plo, o Modelo de Média-Variância de I\/Iarlowitz, o Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM) [91], [85], [48] e a Teoria de Precificação por Arbitragem (APT) [75], satisfazem a todos esses requisitos, com a ressalva de apenas recompensarem o risco de mercado4.

2.2

Proposta de Cálculo de Risco baseado em

Utilidade

Nosso objetivo nessa seção é propor um cálculo para a mensuração do risco, levando em conta a característica suposta comum aos investidores racionais e con-

3Uiiia revisão bibliográfica sobre esses modelos pode ser encontrada em [44].

4Segii~ido [ l G ] , são mudanças inesperadas em fluxos de caixa de projetos, geradas por mudanças em taxas de juros, taxas de inflação e condições enconôinicas que afetam todos os projetos e todas as empresas, ainda que em graus diferentes

servadores, comentada na introdução. Para tanto, introduziremos uma f~mção util- idade, dependente dos parâinet~os média e desvio-padrão, de modo a desconsiderar observações discrepantes e penalizar perdas com peso superior ao de privilegiar ga- nhos. Na próxima subseção, apresentaremos um exemplo simples, para retratar a necessidade da introdução de uma função utilidade com tais propriedades.

2.2.1

A

Curva de

Utilidade

A Teoria de Utilidade encontra-se amplamente difundida e é utilizada em diver- sas áreas do conhecimento, entre elas, Economia [58], [34], Telecoin~inicações [83], [84] e Finanças [20]. Seu conceito se baseia no princípio da saturabilidade5 e, por questões didáticas, é comum apresentá-lo ligado apenas à propensão ou satisfação em consumir6, mas pode-se, perfeitamente, estendê-lo ao desprazer de não consumir. Por exemplo, imaginemos um jovem que costuma beber 15 garrafas de refri- gerante por semana. Se em uma dada semana, ele consumir 16 garrafas, sua sat- isfação aumentará, devido a esse acréscimo de uma garrafa. Se na semana seguinte, ele consumir 17 garrafas, outra vez, sua satisfação aumentará, porém, podemos supor, não em mesmo grau. Em outras palavras, o segundo acréscimo de uma gar- rafa, apesar de interessante, não é recebido com o mesmo entusiasmo do primeiro acréscimo. Prosseguindo nessa rotina, chegaremos a um ponto em que consumir o acréscimo será indiferente para o jovem.

Se, ao invés de receber garrafas a mais, a partir da quantidade de costume, fosse- lhe tirada uma garrafa na semana, é razoável supor decepção. Se na semana seguinte,

50 primeiro a atentar para esse princípio foi o economista alemão Herinan Heiiiricli Gosseii: "A partir do pressuposto de que toda conduta humana tem por objetivo um máximo de satisfação, Gosseil desenvolve algumas leis, das cpais duas são coilliecidas como Leis de Gossen. A primeira apresenta o princípio da utilidade decrescente: "A quantidade de u n a inesina satisfação diminui coilstanteinente à medida que a realizamos sem interrupção, até obter a sacieclade" ..." [80].

o jovem apenas dispusesse de 13 garrafas, outra vez, haveria descontentamento, porém em maior grau: a variação negativa de 15, como esperado, para 14 será inenos sentida que a variação de 14 para 13. Mais ainda, o acréscimo de 15 para 16 não é equivalente ao decréscimo de 15 para 14, muito menos o acréscimo de 16 para 17 não iguala o decréscimo de 14 para 13. No extreino positivo, o acréscimo de uma ga.rrafa semanal, qua.se indiferente para o jovem, tem peso infinitamente menor que o decréscimo de outra garrafa em uin ponto em que o consumo semanal estivesse próximo a zero.

A satisfação com o ganho inarginal e a decepção com a perda marginal são chamados de utilidade marginal. A função do consumo, cuja derivada é a utilidade marginal é a função utilidade7 .

Ein relação ao mercado financeiro, podemos identificar o jovem com o investi- dor, a quantidade de garrafas semanais com o retorno esperado no período e a possibilidade de acréscimos e decréscimos com, respectivamente, retornos maiores ou menores que o esperado, traduzida (a possibilidade) pelo desvio-padrão. Dessa forma, variações positivas em relação ao retorno esperado seriam bem inenos sentidas que oscilações negativas, cada vez em maior grau.

2.2.2

A

Distância-Utilidade e o Desvio-Utilidade

Nessa subseção, apresentaremos uma proposta de cálculo de risco baseado em uma f~mção utilidade parametrizada pela média dos retornos e pelo desvio-padrão do índice de mercado. Assim como no CAPI\/I (ver [76]), consideraremos uina dis- tribuição de frequência,~ normal para o comportamento dos retornos.

Definição 2.7. O desvio-padrão amostra1 (ou populacional) de referência é um

'Uin resumo de vá.i-ias fiinções utilidade, seus coinpoitameiltos e derivadas pode ser encontrado em [i01 e [59].

desvio-padrão amostral (ou populacional) representativo do mercado e m que está inserida a amostra.

Por exemplo, para ativos negociados na BOVESPA, o desvio-padrão de referência será o desvio-padrão das oscilações do Ibovespa.

Definição 2.8. Uma amostra A será dita Amostra Referencial Válida se:

2.

P(Y)

> 9 0 % , o n d e Y = { X i ~ A ; X i + 3 a > 0 , p a i a i = 1 ,

. . . ,

n),

onde n é o número de observações n a amostra,

Xi

é a observação,

X

é a média, a é o desvio-padrão amostral de referência e P ( Y ) é a probabilidade associada ao

conjunto Y

Definição 2.9. A Função-Utilidade definida e m A é dada por

onde X é u m a observação,

X

é a média da amostra referencial válida, a é o desvio- padrão amostral (ou populacional) de referência e p é u m parâmetro positivo que

Considerações:

Tomainos apenas amostras referenciais válidas, pois ativos com X+3a

5

O têm diminutas possibilidades de retorno positivo. De fato, como estamos supondo uin coinportamento norinal para os retornos, haverá aproxiinadainente 0,115% de chame de um futuro retorno ser negativo (ver [101]);

Ainda sobre amostra referencial válida, mesmo satisfazendo

X

+

3a

>

O, só serão considerados os ativos tais que X

+

3a

>

0 , para 90% das observações (as observações coinpleinentares na amostra serão descartadas). Os ativos que não satisfazem essa premissa também têm pouca chance de originar retornos positivos, pelo mesmo motivo do item acima. Outra razão para essa consid- eração é a garantia de termos pelo menos 81%(= 90% x 90%) das observações em condições de avaliarmos correlação entre dois ativos.

Observações:

1. O quociente entre parênteses é sempre positivo, e o logaritmo está bem definido;

2. As propriedades desta função se justapõem ao coinportainento desejado para a avaliação das observações. Dentre outras, destacamos que o valor absoluto do logaritino para variações negativas em relação à média cresce mais rápido que o (valor absoluto) do logaritmo para variações positivas em relação à média;

3. E111 [20], propõe-se uma função utilidade linear dada pela soma de uma wealth

function linear (função riqueza) com uma função penalidade, também linear, em que essa última é aplicada apenas para retornos (ou riquezas) abaixo do

mínimo aceitável. Com essa inetodologia, dá-se maior peso à variações nega- tivas do que à variações positivas, porém mantendo-o constante.

Definição 2.10. A Distância- Utilidade para z , y E A é o número real dado por

I

d ( z , X ) - d ( y , X ) , p a r a x

I

y < X o u X < y ~ z d ( x , y ) = d ( y , X ) - d ( ~ , X ) , ~ a r a y < z ~ X o u X < n ; < y (2.3) d ( x , X ) + d ( y , X ) , para z

< X

I

y ou y

5 x 5

z

onde e p = l . Observações:

e O número real d ( z , X ) é positivo para todo z E A, com x

#

X;

e Consideramos p = 1, para facilita o entendimento, porém as definições e proposição desta seção continuam válidas para O

<

p

#

1.

Proposição 2.1. A Distância-Utilidade satisfaz às propriedades de distância

/4

71:

d l ) d(x, z ) = 0;

Prova:

d l ) d(x, x) = d(x,

X)

- d(x,

X)

= O, pelas primeira e segunda hipóteses. Pela

terceira hipótese, temos d(x, x) = d(x,

X)

+

d(x,

X)

= 0, pois x = y = X . d2)

Ca,so 1:

X

<

y

<

x

d(x, y) = d(x,

X)

- d(y,

X)

Use agora o fato de que ln4(t) é crescente para t

>

1 (pois

>

_{O) para} concluir que a expressão acima é estritamente positiva se x

#

y.

Caso 2: y

<

X

<

x

d(x, y) = d(x,

X)

+

d(y

,

X)

>

0, usando que x

#

X

e a positividade de d. Os casos siinétricos são semelhantes.

d3) Imediata pela definição. d4) Caso 1: z

<

x eqy

5

X

Temos, d(x, z) = d(z,

X)

- d(x,

X);

d(x,y) = d ( x , X ) - d ( y , X ) ; d(y, z) = d(z,

X)

- d(y,

X).

Daí,

d ( x , z ) = d ( z , X ) - d ( x , X ) = d ( z , X ) - d ( y , X ) + d ( y , X ) - d ( x , X ) = d ( y ,

4

- d ( x , Y ) 5 d ( x ,

Y)

+

4 y , z ) C a s o 2 : x < z < y < X T e m o s , d ( x , z ) = d ( x ,

X )

- d ( z ,

X ) ;

d ( x , y ) = d ( x , X ) - d ( y , X ) ; d ( y , z ) = d ( z ,

X )

- d ( y , X ) . Daí, d ( x , z ) = d ( x , X ) - d ( x , X ) = d ( x , X ) - d ( y , X )

+

d ( y , X ) - d ( z , X ) = d ( x , Y ) - d ( y , z )

5

d ( x , Y )

+

d ( y ,

4

C a s o 3 : x < y < z < X T e m o s , d ( x ,

z )

= d ( x ,

X )

- d ( z ,

X ) ;

d ( x , y ) = d ( x , X ) - d ( y , X ) ; d ( y , x ) = d ( y ,

X )

- d ( z , X ) . Daí, d ( x , x ) = d ( x , X ) - d ( z , X ) = d ( x , X ) - d ( y , X )

+

d ( y , X ) - d ( z , X ) = d ( x , Y )

+

d ( y ,

4

36

C a s o 4 : x < y < X < z Temos:, d ( z ,

z )

= d ( x ,

X)

+

d ( z , X ) ; d ( x , y ) = d ( x , X ) - d ( y , X ) ; d ( y , z ) = d ( y ,

X)

+

d ( z , X ) . Daí, Daí, d ( x , z ) = d ( z , X ) - d ( x , X ) 5 d ( z ,

X )

+

d ( x ,

X )

<

d ( z ,

X )

+

d ( x ,

X )

+

d ( y ,

X )

+

d ( y ,

X )

- = d ( z , y )

+

d ( y ,

4

CasoG: x < z l X < y Temos, d ( x ,

z )

= d ( z ,

X )

- d ( z ,

X);

d ( z , y ) = d ( x ,

X )

+

d ( y ,

X ) ;

d ( y , z ) = d ( z , X )

+

d ( y , X ) .

Daí,

d(x,z)

=d(x,X)

-d(z,X)

<

d(x,

X)

+

d(z,

X)

= 4 z , Y)

+

d(Y,

4

Caso

7:

x

<

X

<

z

<

y

Temos,

d(z,

z) =

d(x,

X)

+

d(z,

X);

d(x,

y) = d(x,

X)

+

d(y,

X);

d(y,

z) = d(y,

X)

-

d(z,

X).

Daí,

d(z,z) =

d(x,X)

+d(z,X)

5

d(x,

Y)

+

d(y,

4

Caso 8: n:

<

X

<

y

<

z

Temos,

d(x,

z) =

d(x,

X)

+

d(z,

X);

d(x,

y) =

d(z,

X)

+

d(y,

X);

d(y,

z) =

d(z,

X)

-

d(y,

X).

Daí,

d(z,z) =

d(x,X)

+d(z,X)

=

d(x,

X)

-

d(y,

X)

+

d(y,

X)

+

d(z,

X)

Definição 2.11.

A

Variância- Utilidade (VARU) é o número real positivo dado por

onde n é a quantidade de observações para as qesais a função-utilidade está bem definida, isto é, as observações e m que o logaritmo existe.

Definição 2.12.0 Desvio- Utilidade ( D U) é a raiz quadrada da Variância- Utilidade.

Observação: Nlesino se tratando de amostras, consideramos n e não n - 1. A

teoria para explicar essa possível diferenciação no denominador não faz parte dos objetivos desse trabalho.

Propriedade 2.1. Os valores Xi, tais que

contribuem para u m desvio-utilidade menor que o desvio-padrão, onde

X

é a média da amostra referencial válida, a é o desvio-padrão de referência e e é o neperiano.

Daí, para todo X i satisfazendo à condição enunciada, teremos

(xi

- ~ )ln4 2 ($+3u "'+3u

)

5

( X i -

m2

Tirando a raiz quadrada, temos que o desvio-padrão é cota superior para o desvio-utilidade.

Propriedade 2.2. Para X

>

3 a

(s),

X e

+

3 o ( e - 1) é sempre discrepante -

pelo critério do Escore

28.

Para

X

>

5 ,

X-3:(e-1) é discrepante.

-

Prova: Basta comparar T e

+

3 o ( e - 1) com

X

+

3a e X-3:(e-1) com X - 3 0 .

Observação: Como buscamos ativos, cujos retornos médios são positivos, ou pouco negativos, espera-se

X

>

3 g 5 discrepante, na grande maioria das amostras. Comentários ao modelo proposto: verificação das condições de Damodaran [16] (subseção 2.1.2)

8Para uma amostra com coinportainento norinal, o critério do Escore Z diz que u n a observação será discrepante se estiver afastada mais do que três desvios-padrão da média, já que s u a chailce de ocorrência se restringe a 0,24% (ver [101]).

A medida de risco obtida via desvio-utilidade, claramente, apenas leva em conta o risco de mercado, porém se aplica a qualquer ativo, desde que se.consiga um desvio- padrão de referência, satisfazeiido, portanto aos requisitos (1) e (2) da subseção 2.1.2. Como a unidade de desvio-utilidade é a unidade origirial dos retornos, pode- mos entender a informação resultante como uma

"

taxa de retorno" cobrada para se assumir risco, com o adicional de se considerar as utilidades marginais de perdas e ganhos. Como a distribuição de frequências das oscilações para a metodologia pro- posta é induzida pela distribuição de frequências para a metodologia usual (aquela que s~ipõe o risco em termos de desvio-padrão), supor que esta última tem tendência normal induz a iiiferência que nos permite avaliar as probabilidades para futuras os- cilações via desvio-utilidade. Assim, os requisitos (4) e (5) podem ser considerados como satisfeitos. Para completarmos os requisitos de um bom modelo, satisfazendo o item (3), definimos o risco médio como o desvio-utilidade do mercado no qual estão inseridos os ativos em estudo. No caso de ativos negociados na BOVESPA, as medidas de risco estariam padronizadas pelo desvio-utilidade do índice Ibovespa para o período em questão.

2.2.3

Resultados experimentais

:

a

versus

DU

Analisamos as variações perceiituais diárias de 03/01/2002 a 27/09/2002 (Fonte: Ecoiiomática) de 67 empresas cujas ações são negociadas na BOVESPA, con- sidermdo o desvio-padrão do índice Ibovespa para o período em questão ( a =

1,9989%a.d.) como desvio-padrão de referência. Os resultados, em ordem crescente de risco, para cada uma das metodologias, estão apresentados na tabela a seguir:

2 Unipar PNB 1,6697% 3 Confab PN 1,7168% 4 Sadia SA PN 1,7684%

5 Perdigão PN 1,7751% 6 Tele Sudeste Celula PN 1,8041%

7 Fosfertil PN 1,8518% 8 Caeini Metal PN 1,8690% 9 Embraco PN 1,8733% 10 Marcopolo PN 1,9261% 11 Ambev PN 1,9517% 12 Magnesita PNA 1,9699% 13 Gerdau Met PN 1,9940% 14 Suzano PN 1,9962% 15 Vale do Rio Doce PNA 2,0002%

16 Duratex PN 2,0121% 17 Ultrapar PN 2,0471%

2 Sadia SA PN 0,1350% 3 Fosfertil PN 0,1520% 4 Tele Sudeste Celula PN 0,1826%

5 Perdigão PN 0,3346% 6 Ripasa PN 0,4899% 7 Ultrapar PN 0,5014% 8 Unipar PNB 0,5609% 9 Petrocluisa PN 0,6294% 10 Unibanco PN 0,8050% 11 Confab PN 0,8425% 12 Magnesita PNA 0,9966% 13 Forjas Taurus PN 1,0793% 14 Embraco PN 1,3075% 15 Caemi Metal PN 1,3338% 16 Anlbev PN 1,4052% 17 Lojas Americanas PN 1,4983% Desvio-Padrão 1 Banespa PN 0,6537% Desvio-Utilidade 1 Banespa PN 0,0955010