Aula Superfície de Resposta

Superfícies de

Resposta

Prof. Dr. Carlos Tadeu dos Santos Dias Jhessica Letícia Kirch

Metodologia

• Técnica estatística utilizada para a modelagem e análise de problemas nos quais a variável resposta é influenciada por vários fatores, cujo objetivo é a otimização dessa resposta.

• No contexto da estatística experimental há constante interesse em caracterizar a possível relação entre uma ou mais variáveis resposta e um conjunto de fatores de interesse. Isso pode ser executado através da construção de um modelo que descreva a variável resposta em função dos níveis aplicáveis desses fatores.

Metodologia

• A metodologia de superfícies de resposta tem duas etapas distintas - modelagem e deslocamento -, que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias, com o objetivo de atingir uma região ótima da superfície investigada.

• A modelagem normalmente é feita ajustando-se modelos simples (em geral, lineares ou quadráticos) a respostas obtidas com planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais ampliados.

• O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de máxima inclinação de um determinado modelo, que é a trajetória na qual a resposta varia de forma mais pronunciada.

Motivação

• Suponhamos que um químico esteja investigando o efeito de dois fatores, concentração de um reagente e velocidade de agitação, no rendimento de uma determinada reação.

• Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo com os valores desses fatores fixados em 50% e 100 rpm, respectivamente, e que os rendimentos médios obtidos têm ficado em torno de 68%.

• Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o rendimento, escolhendo outros níveis para os fatores.

Modelagem Inicial

• O primeiro passo é investigar a superfície de resposta em torno das condições habituais de funcionamento do processo, usando o planejamento fatorial mostrado na figura a seguir.

Modelagem Inicial

• Note que o planejamento contém um ponto central, e por isso varre três níveis de cada fator, e não apenas dois. Isto nos permitirá verificar se há ou não falta de ajuste para um modelo linear, o que seria impossível se tivéssemos usado apenas dois níveis.

• A Tabela 1 mostra a matriz de planejamento e os rendimentos observados experimentalmente em cada combinação de níveis. Ao todo foram realizados sete ensaios, sendo três deles repetições no ponto central.

Modelagem Inicial

Tabela 1. Resultado de um planejamento 22 _{com ponto} central. Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒚 (%) 1 45 90 69 2 55 90 59 3 45 110 78 4 55 110 67 5 50 100 68 6 50 100 66 7 50 100 69

Modelagem Inicial

• Para auxiliar tanto no planejamento quanto na interpretação dos resultados, as variáveis explicativas (𝑢₁, … , 𝑢_𝑘) são geralmente codificadas de forma a terem seus valores entre -1 e 1.

𝑥_𝑖 = 𝑢𝑖 − 𝑢𝑖0 ∆_𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑘 em que: 𝑢_𝑖0 = min (𝑢𝑖) + max (𝑢𝑖) 2 ∆_𝑖= max 𝑢_𝑖 − 𝑢_𝑖0 = 𝑢_𝑖0 − min (𝑢_𝑖) Superfícies de Resposta

Modelagem Inicial

𝐶₀ = min (𝐶) + max (𝐶) 2 𝐶₀ = 45 + 55 2 = 50 ∆= max 𝐶 − 𝐶₀ ∆= 55 − 50 = 5 𝑥₁ = 𝐶𝑖 − 𝐶0 ∆ = 𝐶_𝑖 − 50 5 Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒚 (%) 1 45 90 69 2 55 90 59 3 45 110 78 4 55 110 67 5 50 100 68 6 50 100 66 7 50 100 69

Modelagem Inicial

𝑣₀ = min (𝑣) + max (𝑣) 2 𝑣₀ = 90 + 110 2 = 100 ∆= max 𝑣 − 𝑣₀ ∆= 110 − 100 = 10 𝑥₂ = 𝑣𝑖 − 𝑣0 ∆ = 𝑣_𝑖 − 100 10 Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒚 (%) 1 45 90 69 2 55 90 59 3 45 110 78 4 55 110 67 5 50 100 68 6 50 100 66 7 50 100 69 E considerando 𝑢_𝑖 = 𝑣_𝑖

Modelagem Inicial

Tabela 2. Resultado de um planejamento 22 _{com ponto} central. 𝑥₁ e 𝑥₂ representam os valores dos dois fatores, codificados pelas equações 𝑥₁ = 𝐶−50

5 e 𝑥2 = 𝜈−100 10 . Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 1 45 90 -1 -1 69 2 55 90 1 -1 59 3 45 110 -1 1 78 4 55 110 1 1 67 5 50 100 0 0 68 6 50 100 0 0 66 7 50 100 0 0 69

Modelagem Inicial

• Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de resposta na região investigada é uma função linear dos fatores, e que portanto a resposta pode ser estimada pela equação

𝑦 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂

onde 𝑏₀, 𝑏₁ e 𝑏₂ são estimadores dos parâmetros do modelo e 𝑥₁ e 𝑥₂ representam os fatores codificados.

Obtenção dos coeficientes de regressão

• Os coeficientes 𝑏₀, 𝑏₁ e 𝑏₂ podem ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados. Neste caso a matriz 𝑋 será dada por: 𝑿 = 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

• A primeira coluna corresponde ao termo 𝑏₀, e as outras duas contêm os valores codificados dos fatores.

Obtenção dos coeficientes de regressão

• Tem-se também que:

𝒚𝑇 = [69 59 78 67 68 66 69]

• As estimativas de 𝒃 serão dadas por: 𝒃 = 𝑿𝑇𝑿 −1𝑿𝑇𝒚

• Assim:

Obtenção dos coeficientes de regressão

𝑿𝑇𝑿 = 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 0 0 0 −1 −1 1 1 0 0 0 ∗ 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 𝑿𝑇𝑿 = 7 0 0 0 4 0 0 0 4 Superfícies de Resposta

Obtenção dos coeficientes de regressão

𝑿𝑇𝒚 = 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 0 0 0 −1 −1 1 1 0 0 0 ∗ 69 59 78 67 68 66 69 𝑿𝑇𝒚 = 467 −21 17 Superfícies de Resposta

Obtenção dos coeficientes de regressão

𝒃 = 𝑿𝑇𝑿 −1𝑿𝑇𝒚 𝒃 = 1/7 0 0 0 1/4 0 0 0 1/4 ∗ 467 −21 17 = 68,00 −5,25 4,25 = 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏₂ Obtendo: 𝑦 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ 𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂ Superfícies de Resposta

Análise de Variância para Regressão

A tabela de Análise de Variância será dada por:

Superfícies de Resposta

Fonte de Variação

Grau de liberdade

Soma de quadrados Quadrado médio

Regressão 𝑝 − 1 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 = 𝑦 _𝑖 − 𝑦 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑄𝑀_𝑅𝑒𝑔 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑝 − 1 Resíduo 𝑛 − 𝑝 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑄𝑀_𝑅𝑒𝑆 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑛 − 𝑝 Falta de ajuste 𝑚 − 𝑝 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 𝑦 _𝑖 − 𝑦_𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑄𝑀_𝐹𝑎𝑗 = 𝑆𝑄𝐹𝑎𝑗 𝑚 − 𝑝 Erro puro 𝑛 − 𝑚 𝑆𝑄_𝑒𝑝 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦_𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑄𝑀_𝑒𝑝 = 𝑆𝑄𝑒𝑝 𝑛 − 𝑚 Total 𝑛 − 1 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 -

Análise de Variância para Regressão

em que 𝑛_𝑖 é o número de repetições no nível 𝑖; 𝑚 é o número de níveis distintos da variável independente; 𝑛 = 𝑛_𝑖 = número total de observações; 𝑝 é o número de parâmetros do modelo.

Podemos usar um teste 𝐹 da razão 𝑄𝑀_𝐹𝑎𝑗/𝑄𝑀_𝑒𝑝 para avaliar se o nosso modelo está (ou não está) bem ajustado às observações.

Para obter as somas de quadrados, serão calculados os valores estimados de y:

Análise de Variância para Regressão

𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂ Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 𝒚 1 45 90 -1 -1 69 69 2 55 90 1 -1 59 58,5 3 45 110 -1 1 78 77,5 4 55 110 1 1 67 ₆₇ 5 50 100 0 0 68 ₆₈ 6 50 100 0 0 66 68 7 50 100 0 0 69 68

Análise de Variância para Regressão

𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂ Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 𝒚 1 45 90 -1 -1 69 69 2 55 90 1 -1 59 58,5 3 45 110 -1 1 78 77,5 4 55 110 1 1 67 ₆₇ 5 50 100 0 0 68 ₆₈ 6 50 100 0 0 66 68 7 50 100 0 0 69 68 68,00 − 5,25 ∗ −1 + 4,25 ∗ −1 = 69

Análise de Variância para Regressão

𝑦 = 1 7 69 + 59 + ⋯ + 69 = 68 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 = 𝑦 _𝑖 − 𝑦 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 = 69 − 68 2 + 58,5 − 68 2 + ⋯ + 68 − 68 2 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 = 182,50 Superfícies de Resposta

Análise de Variância para Regressão

𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 = 69 − 69 2 + 59 − 58,5 2 + ⋯ + 69 − 68 2 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 = 5,50 Superfícies de Resposta

Análise de Variância para Regressão

𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 = 69 − 68 2 + 59 − 68 2 + ⋯ + 69 − 68 2 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 = 188,00 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 𝑦 _𝑖 − 𝑦_𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 Superfícies de Resposta

Análise de Variância para Regressão

Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 𝒚 1 45 90 -1 -1 69 69 2 55 90 1 -1 59 58,5 3 45 110 -1 1 78 _77,5 4 55 110 1 1 67 ₆₇ 5 50 100 0 0 68 68 6 50 100 0 0 66 68 7 50 100 0 0 69 ₆₈ 𝑦 _{𝐶=45,𝑣=90} = 69 𝑦 _{𝐶=55,𝑣=90} = 59 𝑦 _{𝐶=45,𝑣=110} = 78 𝑦 _{𝐶=55,𝑣=110} = 67 𝑦 _{𝐶=50,𝑣=100} = 1 3 (68 + 66 + 69) 𝑦 _{𝐶=50,𝑣=100} = 67,67

Análise de Variância para Regressão

𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 𝑦 _𝑖 − 𝑦_𝑖 2 𝑛_𝑖 𝑗 𝑚 𝑖 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 69 − 69 2 + 58,5 − 59 2 + 77,5 − 78 2 + 67 − 67 2 + 68 − 67,67 2 + 68 − 67,67 2 + 68 − 67,67 2 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 0,83 𝑆𝑄_𝑒𝑝 = 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 − 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 𝑆𝑄_𝑒𝑝 = 5,50 − 0,83 = 4,67 Superfícies de Resposta

Análise de Variância para Regressão

Tabela 2. Tabela da análise de variância

A porcentagem de variação explicada é dada por: 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 ∗ 100 = 182,50 188,00 ∗ 100 = 97,07 Superfícies de Resposta Fonte de Variação Grau de liberdade

Soma de quadrados Quadrado médio Regressão 𝑝 − 1 = 2 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 =182,50 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 = 91,25

Resíduo 𝑛 − 𝑝 = 4 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑠 =5,50 𝑄𝑀_𝑅𝑒𝑆 = 1,38 Falta de ajuste 𝑚 − 𝑝 = 2 𝑆𝑄_𝐹𝑎𝑗 = 0,83 𝑄𝑀_𝐹𝑎𝑗 = 0,42 Erro puro 𝑛 − 𝑚 = 2 𝑆𝑄_𝑒𝑝 = 4,67 𝑄𝑀_𝑒𝑝 =2,34

Análise de Variância para Regressão

O teste 𝐹 da razão que avalia se o nosso modelo está (ou não está) bem ajustado às observações é:

𝐹 = 𝑄𝑀𝐹𝑎𝑗

𝑄𝑀_𝑒𝑝 =

0,42

2,34 = 0,18

Este valor não é estatisticamente significativo para 0,05, (𝐹_{𝑐𝑎𝑙𝑐} = 19) portanto não há evidência de falta de ajuste.

Na região investigada, a superfície de resposta é descrita satisfatoriamente pela equação 𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂, que define o plano representado em perspectiva na figura a seguir.

Figura 1. Plano descrito pela equação 𝑦 = 68,00 −

5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂

Modelagem Inicial

Podemos obter uma representação bidimensional da superfície modelada desenhando suas curvas de nível, que são linhas em que a resposta é constante.

As curvas de nível de um plano são segmentos de retas. Por exemplo, se fizermos y = 70 na equação 𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂ chegaremos à expressão

𝑥₂ = 1,24𝑥₁ + 0,47

que descreve uma reta sobre a qual o valor de 𝑦 deve ser igual a 70, de acordo com o modelo ajustado.

Modelagem Inicial

Fazendo o mesmo para outros valores de 𝑦 obteremos outras curvas de nível, que em conjunto darão uma imagem da superfície de resposta na região investigada (Figura 2) .

Vemos, tanto numa figura quanto na outra, que se trata de um plano inclinado obliquamente em relação aos eixos, e com sentido ascendente indo da direita para a esquerda. Assim, se desejamos obter maiores rendimentos, devemos deslocar a região experimental para menores valores de 𝑥₁ e maiores valores de 𝑥₂ . O progresso será mais rápido se o deslocamento for realizado ao longo de uma trajetória perpendicular às curvas de nível, isto é, se seguirmos um

caminho de máxima inclinação da superfície ajustada.

Figura 2. Curvas de nível do plano descrito pela

equação 𝑦 = 68,00 − 5,25 ∗ 𝑥₁ + 4,25 ∗ 𝑥₂ .

A linha tracejada é a trajetória de máxima inclinação partindo do ponto central do planejamento. Os valores entre parênteses são as respostas determinadas experimentalmente.

Determinando o caminho de máxima inclinação

O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do planejamento está indicado pela linha tracejada na Figura 2.

Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos coeficientes do modelo. Para termos a máxima inclinação, devemos fazer deslocamentos ao longo dos eixos 𝑥₁e 𝑥₂ na proporção 𝑏₂/𝑏₁.

Então 𝑏₂/𝑏₁=4,25/(−5,25)=−0,81 o que significa que para cada unidade recuada no eixo 𝑥₁ devemos avançar 0,81 unidades ao longo do eixo 𝑥₂.

As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória estão na tabela a seguir, tanto nas variáveis codificadas quanto nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação.

Tabela 3. Caminho de máxima inclinação para o modelo

Superfícies de Resposta Etapa 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝑪 (%) 𝒗 (𝒓𝒑𝒎) 𝒚 (%) Centro 0 0,00 50 100,00 68, 66, 69 Centro + ∆ -1 0,81 45 108,10 77 Centro + 2∆ -2 1,62 40 116,20 86 Centro + 3∆ -3 2,43 35 124,30 88 Centro + 4∆ -4 3,24 30 132,40 80 Centro + 5∆ -5 4,05 25 140,50 70

Determinando o caminho de máxima inclinação

Tendo realizado a modelagem inicial e determinado o caminho de máxima inclinação, passamos à etapa de deslocamento ao longo desse caminho, e vamos realizando experimentos nas condições especificadas na Tabela 3.

Com isso obtemos os resultados da última coluna da tabela, que também estão indicados na Figura 3.

Figura 3. Resultados dos ensaios realizados na

trajetória de máxima inclinação da Figura 2 .

Determinando o caminho de máxima inclinação

Inicialmente os rendimentos aumentam, mas depois do terceiro ensaio começam a diminuir. Podemos interpretar esses resultados imaginando que a superfície de resposta é como um morro. Pelos valores iniciais, começamos a nos deslocar ladeira acima, mas depois do terceiro ensaio já estamos começando a descer o morro pelo lado oposto.

É hora, portanto, de parar com os deslocamentos e examinar a região que apresentou melhores rendimentos. Para isso fazemos um novo planejamento, idêntico ao primeiro, porém centrado em torno do melhor ensaio, que é o terceiro (35% e cerca de 125 rpm). A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 4, juntamente com as novas respostas observadas.

Tabela 4. Resultados de um novo planejamento 22 _com ponto central 𝑥₁ e 𝑥₂ agora representam os valores das variáveis codificadas pelas equações 𝑥₁ = 𝐶−35

5 e 𝑥₂ = 𝑣−125 10 . Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 1 30 115 -1 -1 86 2 40 115 1 -1 85 3 30 135 -1 1 78 4 40 135 1 1 84 5 35 125 0 0 90 6 35 125 0 0 88 7 35 125 0 0 89

Determinando o caminho de máxima inclinação

O ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 4 resulta na equação:

𝑦 = 85,71 + 1,25𝑥₁ − 2,25𝑥₂

A análise da variância (Tabela 5) mostra que a situação agora é bem diferente. A percentagem de variação explicada é apenas 27,20%, e o valor de 𝑄𝑀_𝐹𝑎𝑗/𝑄𝑀_𝑒𝑝 subiu para 34,46 (que é maior que 𝐹_{( 2,2)} = 19, no nível de 95% de confiança). Isto quer dizer que, na região onde o caminho de máxima inclinação nos levou, o modelo linear já não descreve satisfatoriamente a superfície de resposta.

Tabela 5. Análise da variância para o ajuste do modelo

com base nos dados da Tabela 4.

A porcentagem de variação explicada é dada por: 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 ∗ 100 = 26,50 97,42 ∗ 100 = 27,20 Superfícies de Resposta Fonte de Variação Grau de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio Regressão 2 26,50 13,25 Resíduo 4 70,93 17,73 Falta de ajuste 2 68,93 34,46 Erro puro 2 2,00 1,00 Total 6 97,42

Localização do ponto ótimo

Como o modelo linear não serve mais, devemos partir para um modelo quadrático, cuja expressão geral, para duas variáveis, é:

𝑦 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₁₁𝑥₁2 + 𝑏₂₂𝑥₂2 + 𝑏₁₂𝑥₁𝑥₂

Este modelo tem seis parâmetros, e o nosso planejamento tem apenas cinco "níveis", isto é, cinco diferentes combinações de valores da concentração e da velocidade de agitação. Como não é possível determinar as estimativas quando há mais parâmetros do que níveis, precisamos ampliar o planejamento. A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais comum a construção do chamado planejamento em estrela.

Para fazer um planejamento em estrela, simplesmente acrescentamos ao planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado de 45 graus em relação à orientação de partida. O resultado é uma distribuição octogonal, como mostra a figura a seguir:

Localização do ponto ótimo

Realizando ensaios nos quatro novos pontos, o químico obtém os resultados mostrados no fim da última coluna da Tabela 6, que também contém os valores já mostrados na Tabela 4, completando os dados do planejamento em estrela.

Tabela 6. Resultados do planejamento em estrela obtido com a

ampliação do planejamento da Tabela 4. 𝑥₁ e 𝑥₂ representam os valores das variáveis codificadas de acordo com as expressões da Tabela 4. Superfícies de Resposta Ensaio 𝑪 (%) 𝝂 (𝒓𝒑𝒎) 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒚 (%) 1 30 115 -1 -1 86 2 40 115 1 -1 85 3 30 135 -1 1 78 4 40 135 1 1 84 5 35 125 0 0 90 6 35 125 0 0 88 7 35 125 0 0 89 8 28 125 _{− 2} 0 81 9 35 139 0 ₂ 80 10 42 125 ₂ 0 86 11 35 111 0 _{− 2} 87

Localização do ponto ótimo

O vetor 𝒚 agora terá onze valores, e a matriz X terá dimensões 11𝑥6, com suas seis colunas correspondendo aos seis termos do modelo quadrático. Para obter as colunas referentes a 𝑥₁2_{, 𝑥}

22 e 𝑥1𝑥2,

elevamos ao quadrado ou multiplicamos as colunas apropriadas na matriz de planejamento da Tabela 6. Assim, podemos escrever:

𝑿 = 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − 2 0 2 0 0 1 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 0 1 0 − 2 0 2 0 𝒚 = 86 85 78 84 90 88 89 81 80 86 87 Superfícies de Resposta

Localização do ponto ótimo

Então, obtemos:

𝑦 = 89,00 + 1,51𝑥₁ − 2,36𝑥₂ − 2,84𝑥₁2 − 2,84𝑥₂2 + 1,75𝑥₁𝑥₂

A nova análise da variância está na Tabela 7. O valor de 𝑄𝑀_𝐹𝑎𝑗/𝑄𝑀_𝑒𝑝 agora é apenas 0,24, não havendo evidência de falta de ajuste do modelo quadrático.

Tabela 7. Análise da variância para o ajuste do modelo

com base nos dados da Tabela 6.

A porcentagem de variação explicada é dada por: 𝑆𝑄_𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄_𝑇𝑜𝑡 ∗ 100 = 144,18 146,94 ∗ 100 = 98,12 Superfícies de Resposta Fonte de Variação Grau de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio Regressão 5 144,18 28,84 Resíduo 5 2,76 0,55 Falta de ajuste 3 0,73 0,24 Erro puro 2 2,00 1,00 Total 10 146,94

Localização do ponto ótimo

A superfície de resposta e as curvas de nível correspondentes ao modelo ajustado são mostradas na Figura 4. A região contém um ponto de máximo, situado aproximadamente em 𝑥₁ = 0,15 e 𝑥₂ = −0,37, isto é, numa concentração de 36% e numa velocidade de agitação de 121 rpm.

Com estes valores, de acordo com a equação 𝑦 = 89,00 + 1,51𝑥₁ − 2,36𝑥₂ − 2,84𝑥₁2 − 2,84𝑥₂2 + 1,75𝑥₁𝑥₂ , o rendimento da reação deve ser cerca de 89,6%, o que representa uma melhora de 32% em relação ao valor de partida, que era 68%.

Figura 4 (a). Superfície quadrática descrita pela

equação 𝑦 = 89,00 + 1,51𝑥₁ − 2,36𝑥₂ − 2,84𝑥₁2 − 2,84𝑥₂2 + 1,75𝑥₁.

Figura 4 (b). Suas curvas de nível. O rendimento

máximo (89,6%) ocorre em 𝑥₁ = 0,15 e 𝑥₂ = −0,37.

Localização do ponto ótimo

Como localizamos a região do máximo, a investigação termina por aqui.

Poderia ter acontecido, no entanto, que a superfície de resposta ajustada aos dados do segundo planejamento fosse uma nova ladeira, em vez de um pico (para continuar usando a analogia topográfica). Nesse caso, deveríamos nos deslocar novamente, seguindo o novo caminho de máxima inclinação, e repetir todo o processo de modelagem → deslocamento → modelagem → ... até atingir a região procurada.

Localização do ponto ótimo

Na prática não deve haver muitas dessas etapas, porque o modelo linear vai-se tornando menos eficaz à medida que nos aproximamos de um ponto extremo, onde a curvatura da superfície evidentemente passará a ter importância.

Referência:

NETO, B. B.; SCARMINIO, I. S.; BRUNS, R. E. Como fazer experimentos – Pesquisa e desenvolvimento na ciência e na indústria. Campinas – SP. Editora da Unicamp, 2001.

Programação em R

# Entrada de dados C <- c(45, 55, 45, 55, 50, 50, 50) v <- c(90, 90, 110, 110, 100, 100, 100) y <- c(69, 59, 78, 67, 68, 66, 69) dados1 <- data.frame(C, v, y) # Codificação dos dados

require(rsm)

dados.cod1 <- coded.data(dados1) dados1$x1 <- dados.cod1$x1

dados1$x2 <- dados.cod1$x2 # Análise de variância

model1 <- rsm(y ~ FO(x1, x2), data = dados1) model1

summary(model1) par(mfrow=c(1, 2))

persp(model1, ~x1+x2, main="Superfície de resposta", col=rainbow(40)) contour(model1, ~x1+x2, main="Gráfico de contornos")

Programação em R

# Novo planejamento

C2 <- c(30, 40, 30, 40, 35, 35, 35)

v2 <- c(115, 115, 135, 135, 125, 125, 125) y2 <- c(86, 85, 78, 84, 90, 88, 89)

dados2 <- data.frame(C2, v2, y2) # Codificação dos dados

dados.cod2 <- coded.data(dados2); dados2$x1 <- dados.cod2$x1

dados2$x2 <- dados.cod2$x2 # Análise de variância

model2 <- rsm(y2 ~ FO(x1, x2),data = dados2) model2

summary(model2) # modelo linear não significativo

Programação em R

# Ajuste do modelo quadrático (planejamento em estrela) C3 <- c(30, 40, 30, 40, 35, 35, 35, 28, 35, 42, 35)

v3 <- c(115, 115, 135, 135, 125, 125, 125, 125, 139, 125, 111) y3 <- c(86, 85, 78, 84, 90, 88, 89, 81, 80, 86, 87)

dados3 <- data.frame(C3, v3, y3) # Codificação dos dados

dados.cod3 <- coded.data(dados3, x1~(C3-35)/5, x2~(v3-125)/10) dados3$x1 <- dados.cod3$x1

dados3$x2 <- dados.cod3$x2 dados3

# Análise de variância

model3 <- rsm(y3 ~ SO(x1, x2),data = dados3) model3

summary(model3) par(mfrow=c(1,2))

persp(model3, ~x1+x2, main="Superfície de resposta", col=rainbow(40)) contour(model3, ~x1+x2, main="Gráfico de contornos")