Prof Ruy - Introdução a Geradores e Receptores

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GERADORES E RECEPTORES

1 – GERADOR

Gerador é um dispositivo que realiza a transformação de uma forma qualquer de energia em energia elétrica.

Exemplos:

• Geradores químicos: baterias e pilhas

• Geradores mecânicos: geradores de usias hidroelétricas, gerador do automóvel. • Geradores solares: células foto elétricas.

• Geradores térmicos: geradores movidos a vapor

Um gerador é um dispositivo de dois terminais capaz de manter uma diferença de potencial elétrico (ddp) entre esses terminais, que fornece energia para que cargas se movimentem de um terminal para o outro (corrente). A energia (

τ

ττ

τ

) utilizada para movimentar as cargas de um polo ao outro do gerador é diretamente proporcional às cargas movimentadas:

ττ

τ

/Q = Constante.

Essa constante, característica do gerador, é denominada força eletromotriz E. Então podemos escrever: ττττ = E.Q (1).

Como queremos nos expressar em termos de corrente e tensão, e sabendo que I = dQ/dt (a corrente é igual à variação da carga no tempo), derivamos a expressão (1) em relação ao tempo, resultando:

1.1- POTÊNCIA

A expressão (3) acima é a definição de potência instantânea P. Ela nos diz que a potência é igual à variação no tempo da energia fornecida ás cargas.

A expressão (2) nos dá que a potência total gerada por um gerador é P= E.I (4), onde

E é a força eletromotriz do gerador e I a corrente que circula por ele.

A unidade de potêcia é medida em watts (W) (joule/s). Assim sendo, podemos resumir:

• Dado um gerador a potência fornecida por ele é o produto da força eletromotriz pela corrente que o atravessa: P = E.I e é dada em Watts (joule/s)

• A energia total fornecida por um gerador em um período é a integral da potência em relação ao tempo nesse período:

d

ττττ////

dt

= E . dQ/dt = E . I = P (2) d

ττττ////

dt

= P (3) P dt (5)

τ

=

∫

t2 t1 Fig.1 - Gerador Q Gerador

+

(2)

Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 2 1.2 - POTÊNCIA ELÉTRICA DESENVOLVIDA POR UM DISPOSITIVO QUALQUER

Como foi visto acima, define-se potência (P) desenvolvida por um dispositivo de dois terminais, A e B, como sendo o produto da diferença de potencial entre esses terminais (UAB) e a corrente (I) através desse dispositivo.

Observe nas figuras acima que o dispositivo 1 está consumindo potência da rede eletrica, e o dispositivo 2 está fornecendo potência à rede.

1.3 – POTÊNCIA ELÉTRICA DESENVOLVIDA (CONSUMIDA) POR UM RESISTOR

Se o dispositivo for um resistor R, temos, pela primeira lei de Ohm (U=RI), que

UAB = R I. Como foi visto na fig 2, P = UAB . I (7)

Substituindo (6) em (7) temos :

P=RI x I = RI2 ₍₈₎

Fig. 3 – Potência no Resistor

Importante: A potência elétrica entregue ao resistor é transformada exclusivamente em calor (energia térmica),é o caso da resistência do chuveiro.

(6)

Para fixar conceito 1- Em sua residência, os consumos das cargas eletricas são especificados em Watts. Por exemplo: lâmpadas de 100W, chuveiro de 5.000W, etc. Entretanto, a conta de energia é cobrada em kW.h ( kilowatt.hora). Explicação: a companhia de eletricidade cobra a energia consumida, que é potência consumida multiplicada pelo tempo de consumo, no caso quilowatt x hora. De uma maneira mais elegante e correta dizemos que a energia cobrada pela empresa fornecedora de energia é a integral da potência fornecida no mês.

(9)

Potência fornecida a um resistor R: P = RI2 UAB

A

B

(2a)

Figuras 2a e 2b – Potência desenvolvida por um dispositivo.

(2b) Pd1 = UAB . IAB A B IAB IAB Dispositivo 1 Pd1 = UAB . IBA A B IBA Dispositivo 2 IBA UAB UAB

(3)

Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 3 1.4 – POTÊNCIAS TOTAL (Pt), POTÊNCIA ÚTIL (Pu) E POTÊNCIA DISSIPADA (Pd)

Um gerador é um dispositivo capaz de gerar energia elétrica entre seus terminais. Nem toda a potência gerada pelo gerador é Potência Útil (Pu), pois devido às perdas internas, parte da Potência total gerada (Pt) é dissipada internamente ao gerador, a qual denominamos Potência dissipada (Pd). A figura 4 ao lado ilustra esse fato.

Observe que a potência total gerada (Pt) se divide entre a potência útil (Pu), fornecida através dos terminais do gerador, e a potência que é dissipada internamente no gerador (Pd) . Visto isto, vamos construir a representação esquemática de um gerador.

Representa-se um gerador como na figura 5, onde uma fonte ideal de tensão E chamada força eletromotriz, é ligada em série com um resistor r. A Força Eletromotriz (f.e.m) é a responsável pela mautenção de uma diferença de potencial entre seus terminais.

A resistência interna r não tem existência real, ela serve para se computar a Potência dissipada (Pd) intenamente ao gerador.

É evidente que sempre se procurará construir geradores com a mínima resistência interna, isto é, com o mínimo de perdas internas

Observe que na figura 5 acima foi representado somente o gerador. Não foi representada a carga, que está sendo alimentada pelo gerador. A figura 6 ao lado mostra o circuito completo.

1.5 – EQUAÇÃO DO GERADOR

Um gerador é definido por E e r. Sendo E a força eletromotriz e r a resistência interna do gerador.

Fig 5 - Esquema de um gerador Fig 4 – Potências em um gerador

UAB r B E + _{_} Carga I I I Ur A

Fig 6 – Gerador alimentando uma carga

UAB r A B E + _{_} Gerador Pt Pu Pd

(4)

A expressão que relaciona a tensão na saída do gerador UAB e sua corrente I, tendo

como parâmentros E e r, é chamada equação do gerador. Vamos encontra-lá. a) A força eletromotriz faz circular pelo circuito a corrente I

b) A corrente I desenvolve nos terminais da resistência interna r uma tensão U_r

(

primeira lei de Ohm: U=RI).

c) Vimos em 1.3, que a potência dissipada sobre o resistor r é Pd = r.I2 (10) d) De 1.1 temos que a potência total gerada é dada por Pt = E.I (11)

e) A potência útil, entregue à carga, isto é ao circuito externo ao gerador, é dada por Pu = UAB. I (12)

f) Como foi visto em 1.4, Pt = Pu + Pd (13) ou Pu = Pt – Pd (14) Então, substituindo-se (10), (11) e (12) em (14) teremos:

UAB .I = E.I - r.I2 (15)

Dividindo-se ambos os membros por I resulta a equação do gerador:

U = E- r. I (16)

Observe que, como vimos acima, E e r são constantes características do gerador, e U e I são variáveis.

A expressão (16) é a equação de uma reta no plano U x I.

A reta tem o coeficiente angular - r , isto quer dizer que ela é inclinada à direita, e coeficiente linear E, isto quer dizer que ela intersepta o eixo U no ponto E.

Se você não se lembra da equação da reta veja o Apêndice na página 12

Figs. 7a e 7b – Gerador alimentando um resistor R e sua curva característica.

Fig.7b Fig.7a UAB r A B E + _ R I I I Ur + + _ _ U1 U2 U I E I1 I2 P1 P2 ∆U ∆I ∆U ∆I

= - r

ICC E r ICC

=

Reta característica do gerador (17) (18)

(5)

Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 5 Observe no gráfico que quando a corrente é zero, isto é a carga é desligada do circuito, a tensão na saída é E. Entenda por que: a tensão na saída UAB = E - Ur mas se o circuito está aberto (a carga foi desligada) a corrente I=0 e, consequentemente, a tensão Ur =0,

daí UAB = E – 0 >>> UAB = E.

Imagine que ao invés de colocarmos uma resistência entre A e B, fonforme está na figura 7a, façamos um curto-circuito entre A e B.

Neste caso a tensão de saída é zero e acorrente é

Icc é chamada corrente de curto-circuito.

Exercício 1:

A figura ao lado motra um gerador alimentando um resistor R.

São dados: E = 6,0 v , r = 2Ω e R= 10 Ω. Pede-se a – A corrente I d – A potência total gerada

b – A tensão Ur e – A potência útil

c – A tensão sobre R f – A potência dissipada

E r ICC

=

Resumo 1- Energia e Potência

1. A carga elétrica quando se desloca de um polo ao outo de um gerador realiza um trabalho

ττττ

= EQ (vide (1))

2. O trabalho é energia e é medido em Joule. A potência é medida em Watts (Joule/s) 3. Potência é Energia por unidade de tempo: dτ/τ/τ/τ/dt = P (vide (3))

4. A potência total gerada pelo gerador (Pt) é a soma da potência útil (Pu) entregue à carga com a potência dissipada (Pd) internamente no gerador: Pt = Pu + Pd )

Resumo 2- Curva característica do gerador

1. A curva característica de um gerador é um segmento de reta no plano U x I; 2. A reta cruza o eixo U no valor de tenção E;

3. A reta cruza o eixo I no valor de corrente Icc= E/r

4. ICC é a corrente de curto-circuto do gerador

UAB r A B E + _ R I I I Ur + + _ _

Resumo 3- Sentido da corrente e da diferença de potencial (ddp) 1 - A corrente sai pelo polo positivo do gerador.

(6)

Resolução:

a) I = E/(r + R) = 6,0/(12) = 0,5 A (ou 500mA) b) Ur = r.I = 2. 0,5 = 1 >>> Ur = 1,0 v

c) UR = UAB = R.I = 10. 0,5 = 5,0 >>> UR = 5,0 v ( observe que a soma das tensões

na malha tem que ser 6,0 V. Poderíamos então calcular UR como: UR = E- Ur).

d) Pt = E.I = 6,0 . 0,5 = 3,0 W

e) Pu = I. UR = 0,5. 5,0 = 2,5 W ou Pu = R.I2 = 10. (0,5)2 = 2,5 W

f) Pd = Pt – Pu = 3,0 – 2,5 = 0,5 W

1.6 – POTÊNCIA ÚTIL

Vamos estudar aqui a variação da potencia útil Pu em função da variação do valor da carga.

Sabemos de (14) que Pu = Pt – Pd

De (10) e (11) podemos escrever: Pu = EI – r I2 (19)

Observe que a expressão (19) é a equação de uma parábola no plano Pu x I . Essa parábola é representada na figura 8. Observe também na figura 8 que a parábola tem um ponto de máximo V (vértice) cujas coordenadas são:

xv = E/2r (20) e yv = E2/4r (21)

Esta parábola tem a concavidade voltada pra baixo e intercepta o eixo I em dois pontos I=0 e I=E/r (estes pontos são as raizes da equação de segundo gráu EI – rI2₌₀

associada à parábola)

Vamos entender o significado da curva da figura 8 acima:

A curva da figura 8 nos informa que a potência útil que um gerador fornece depende

do valor da carga, sendo que para uma determinada carga essa potência é máxima

e seu valor é PUmax=E2/4r. (22)

Observe a figura 9. Vamos supor dois casos extremos:

Se você não se lembra da equação da parábola veja o Apêndice na página 15

UAB r A B E _{_} R I + Pu

Fig .9 – Gerdor alimentando um resistor R

Vértice da parábola V(E/2r,E2_/4r

)

Fig .8 – Curva de potência de um gerador

Pu I E/r E/2r 0 PUMax = E2/4r V

(7)

Caso 1 – Vamos retirar a resistência R do circuito, deixando o circuito aberto. Como não há carga, não há corrente, ou melhor, I=0. Se não há corrente a potência útil é zero (vide (8)). Este é o primeiro nulo da parábola Pu=0 e I=0.

Caso 2 – Vamos retirar a resistência R e em seu lugar vamos fazer um curto circuíto, ligando os dois pontos com um fio de resistência zero. Esse curto-circuito coloca A e B no mesmo potencial, isto é UAB = 0 V. Com o curto-circuito haverá uma corrente

máxima no circuito, chamada corrente de curto-circuito ICC = E/r. (23)

Observe que agora, temos corrente (ICC) mas a tensão UAB = 0, portanto a potencia útil

também é zero,PU = 0. Este é o segundo nulo da parábola.

Conclusão: deve haver um valor de resistor de carga R para o qual a potência a ele entregue pelo gerador seja máxima.

Vamos calcular esse valor no exercício abaixo.

Exercício 2: Dado um gerdor qualquer, com força eletromotriz E e resistência interna r, pede-se o valor do resistor de carga R que absorva a máxima potência útil fornecida pelo gerador.

Solução:

1 - Da figura 8 tem-se que quando a potência é máxima a corrente é I = E/2r

2 – Se a potência útil máxima fornecida pelo gerador é PUMAX= E2/4r, essa é a potência

que vai ser fornecida ao resistor R.

3 – A potência fornecida ao resistor é Pu = RI2 _{, maspela figura 8 temos I=E/2r .}

4 – Daí vem que: PU= R.(E/2r)2_{= E}2_/4r

5 – Se R.(E/2r)2 = E2/4r >>>> R/r = 1 >>> então R = r.

Conclusão: Para que um resistor R absorva a máxima potência fornecida pelo gerador ele tem que ter o mesmo valor da resistência interna do gerador: R=r.

Para fixar conceito 2 - Quando você for estudar corrente alternada no próximo semestre, você tratará dos geradores de corrente alternada. Analogamente aos geradores de corrente contínua eles têm uma resistência interna (mais propriamente chamada inpedência interna). Um amplificador de som, ou o rádio do carro podem ser entendidos como geradores de corrente alternada, com uma impedância interna de 8,0Ω, por exemplo.

Para se ter a máxima potência fornecida pelo amplificador ou rádio, a impedância dos altofalantes (cargas) devem ter o mesmo valor que a impedência interna do gerador, no caso 8,0Ω. Isto se chama casamento de impedância. É possível que você já tenha ouvido falar

disso.

Em resumo: Um casamento de impedêancia é colocar uma carga que tenha o mesmo valor em ohm , da impedência interna do circuito, par se obter a máxima potência.

(8)

Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 8 1.7 – RENDIMENTO DO GERADOR

Define-se rendimento do gerador pelas expressões abaixo: η

ηη

η = Pu/Pt ou ηηηη = UI/EI >>> ηηηη = U/E (24) Observe que 0 1

(η é uma letra grega e se pronuncia Éta)

Exercício 2: Calcular o rendimento do gerador do exercício 1 da página 5. 1 - Do exercício 1 temos que Pt = 3,0 W e Pu = 2,5 W.

2 - η = Pu/Ptr então η = 2,5/3,0 = 0,833 >>> η = 83,3%

2 - RECEPTORES

Receptor é um dispositivo que transforma energia elétrica em outra forma de energia, não exclusivamente térmica. (o dispositivo que transforma energia elétrica exclusivamente em energia térmica é o resistor – veja item 1.3 acima).

Exemplos de receptores: • Motores elétricos; • Baterias automotivas

As baterias são geradores reversíveis. Quando em carga são receptores quando fornecendo energia são geradores.

A figura 10 abaixo mostra, esquematicamente, um gerador alimentando um receptor, no caso, um motor.

Note que o gerador fornece aos terminais do motor uma potência elétrica P= UAB . I e o

motor converte essa Potência elétrica em potência mecânica no eixo do motor.

Devido às perdas internas no receptor nem toda potência fornecida é convertida em potência útil. Há internamente ao receptor, uma dissipação de potência a qual chamaremos de potência dissipada Pd.

A figura 11, a seguir, ilustra o balanço de potência em um receptor.

< > ηηηη UAB r A B _ _I I Ur + + _ RECEPTOR + _ Pu

(9)

A potência total de entrada Pt é a soma da potencia útil PU com a potência dissipada Pd Pt= Pu + Pd (25)

2.1 – EQUAÇÃO DO RECEPTOR

Constata-se que em um receptor a potência útil P_u é proporcional à corrente de entrada

I, isto é: PU/I = Constante

Essa constante é denominada Força Contra Eletromotriz e se representa por E’ Então: PU/I = E’ (26)

A figura 12 ao lado representa um receptor.

Note que a corrente entra pelo polo positivo do receptor.

Pt = U’.I (27) PU = E’.I (28)

Pd = r’. I2 (29)

Substituindo-se (27), (28) e (29) em (25) temos: U’.I = E’.I + r’. I2₍₃₀₎

Dividindo ambos os membros de (29) por I, temos a Equação do receptor:

Observe que a expressão (31) é a equação de uma reta no plano U x I.

Essa reta tem o coeficiente angular r’ e coeficiente lienar E’ (onde a reta encontra o eixo U)

Fig 11 – Balanço de potências em um receptor

Pt Pd Pu

Tranformação

Fig 13 – Gráfico da curva (reta) característica do receptor no plano U,I.

U’ = E’ + r’.I (31)

U1 U’ I E’ I1 P ∆U ∆I Reta característica do receptor (32) ∆U ∆I

= r’

U’ r A B E’ _{_} I Ur’ + + _

Fig 12 – Representação do receptor +

(10)

Exercício 3

Dado o receptor da figura ao lado, onde r=2,0ΩΩΩΩ,

E’=10,0V, pede-se construir seu gráfico no plano U x I

Solução:

1 – a equação do receptor é U’ = E’ + r.I Então, U = 10 +2.I

2 – Como a reta cruza o eixo U em E’, já temos um ponto da reta, sobre o eixo U, U=E’=10V.

3 – Sendo o coeficiente angular (inclinação) igual a 2, vamos construir uma reta que passe pelo ponto U’ =10 V cuja tangente do ângulo α seja 2 (tg α =2). E só fazer um triângulo qualquer com ∆u = 2 ∆I, e traçar a reta, como na figura abaixo..

Exercício 4

Dado o gráfico de um receptor abaixo, pede-se: E’ e r

Para fixar conceito 3 – Volte no item 1.5, Equação do gerador, e compare com a equação do receptor. U’ I 10 3 20 30 (V) 1 2 4 5 6 7 40 50 60 70 8 (A) No triângulo ABC tg α = 2 r’= 2Ω α U’ I E’ = 10 A ∆U =20 ∆I =10 ∆U ∆I

=

2

= r’

20 10 = 20 20 30 (V) (A) 10 B C U’ r A B E’ _{_} I Ur’ + + _ + _

(11)

Solução:

1 – O valo de E’ já está mostrado no gráfico, é onde a reta encontra o eixo U. portanto E’ = 20 V

2 – Para achar r’ faz-se um triângulo sobre a reta e calcula-se

2.2 – RENDIMENTO DO RECEPTOR

Define-se rendimento do receptor pelas expressões abaixo: η' = Pu/Ptr ou η' = E’I/U’I >>> η' = E’/U’ (33) Observe que 0 1 (34)

(η é uma letra grega e se pronuncia Éta) Exercício 5:

A figura abaixo motra um gerdor alimentando um receptor onde UAB = 7,6 V e I = 1,2 A.

Pede-se:

1 – O rendimento

η

do gerador.

2 – O rendimento

η

η'

do receptor.

Solução:

1 - Rendimento do gerador

Da expressão (24) do item 1.7 acima temos: η = U/E

UAB = 7,6 V e E = 10 V >>> η = U/E = 7,6/10 = 0,76 >>> ηηηη = 76%

2 - Rendimento do receptor; De (33) temos que η' = E’/U’

E’ = 4 V e U’ = 7,6 V >>> η' = 4/7,6 = 0,526 >>> ηηηη' = 52,6% ∆U ∆I

=

6,7

Ω

40 6 =

r’=

∆U ∆I U’ I 10 P1 ∆U =40 ∆I =6 3 20 30 (V) 1 2 4 5 6 7 40 50 60 70 8 (A) E’ = < > ηηηη' UAB r = 2ΩΩΩ Ω E =10V _{_} _I I Ur + + _ r ‘=3ΩΩΩ Ω A B _ Ur’ + + _ E’ =4V

(12)

Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 12 APÊNDICE

REVISÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA RETA E PARÁBOLA

A1 – RETA

A equação da reta, em um sistema de coordenadas cartesianas x,y, é dada por:

y = ax + b (I)

(função linerar, ou de primeiro grau, pois a variável x está na primeira potência) Na equação da reta y é a variável dependente e x é a variavel independente.

Os parâmetros a e b são constantes, sendo a o coeficiente angular, e b o coeficiente linear.

Exemplo A1

Dada a equação da reta y = 2x + 4 pede-se construir o gráfico correspondente no plano cartesiano x,y.

Solução:

1 - Como apenas dois pontos determinam uma reta, basta achar dois pontos dessa reta, atribuindo-se quaisquer valores a x e obtendo y.

2 – Um primeiro ponto facil de achar é fazenso x=0 na equação da reta. Daí vem: Y = 2 . 0 + 4 = 4 >>> portanto o primeiro ponto da reta é P1(0,4)

3 – Um segundo ponto pode ser achado fazendo, por exemplo, y =0 na equação da reta. Daí vem: 0 = 2x + 4 >>>x = -2 >>> portanto o segundo ponto é P2 (0,-2)

Observe no gráfico acima que qualquer ponto situado sobre os exo y tem a abscissa x=0, e qualquer ponto situado no eixo x tem ordenada y=0. Veja, por exemplo, P1 (0,4)

e P2(-2,0).

y

x

P1

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Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 13 A1.1– COEFICIENTE LINEAR

Como foi visto acima, o parâmetro b da equação da reta y=ax + b é o coeficiente liner dessa reta.

Obtem-se b fazendo-se x = 0 na equação da reta: y = a .0 +b >>> y=b.

Conclusão:o coeficiente liner b é o valor no qual a reta cruza o eixo y, ou, dizendo de outra forma: A reta cruza o eixo y no valor b.

Se na equação da reta b=0, isto é y=ax +0 isto que dizer que a reta cruza o eixo y em sua origem P(0,0).

A1.2 – COEFICIENTE ANGULAR

O coeficiente angular dá a inclinação da reta. Vamos calculá-lo a partir da figura abaixo.

A inclinação da reta é dada pela tangente do ângulo que a reta faz com o eixo dos x. Para calcular a tg θθθθ vamos tomar dois pontos quaisquer P1 e P2 sobre a reta e medir ∆x

e ∆y. Da figura temos:

tg θ θ θ = ∆θ ∆∆∆y/∆∆∆∆x (II)

Tomemos a equação da reta y = ax +b e substituamos as coordenadas x e y pelas coordenadas de P1 e P2.

Para P2: y2 = ax2 + b (III).

Para P1: y1 = ax1 + b (IV)

Subtraindo (IV) de (III) temos: y2-y1 = ax2 –ax1

Daí vem: y2 –y1 = a(x2 – x1) (V)

Então (y2 –y1)

/

(x2 – x1) = a (VI)

Da figura temos que:

y2 – y1 = ∆∆∆y (VII) e x∆ 2 – x1 = ∆∆∆∆x (VIII)

Finalmente temos, de (VI), (VII) e (VIII) que:

a = ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x Conclusão:

O coeficiente angular a é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo dos x Exercício A2

Dada a reta no gráfico abaixo, pede-se:

a ) O coeficiente liner; b) O coeficiente angular; c) o valor de y para x= 3; d) A equação da reta. y x X1 X2 y1 y2 ∆x ∆y θ θ θ θ P1 P2

(14)

Solução:

a) – Coeficiente liner

Como vimos acima, o coeficiente linear (b) é o valor no eixo y, onde a reta cruz esse eixo.

Portanto, pela figura, o coeficiente linear b = 10. b) – Coeficiente angular

b1) vamos tomar dois pontos quaisquer sobre a reta, P1 e P2, e achar suas

coordenadas, P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2).

b2) Vamos calcular ∆x = x2 – x1 e ∆y

= y2-y1.

∆x = 4 - 1 = 3 e ∆y = 2 – 8 = - 6 b3) Agora calculamos o coeficiente angular: a =∆y/∆x = -6/3 = 2 >>> a= - 2 c) O valor de y=4 para x=3. Veja no gráfico o ponto P3(3,4)

d) Para achar a equação da reta é só substituir a e b, calculados acima, em y = ax+ b. O coeficiente linear b foi calculado em a), b=10, e coeficiente angular a foi calculado em b), a = - 2.

Então a equação da reta do exemplo é: y = -2x+10

Importante: Observe que se a reta é inclinada para a direita o ∆y é negativo e, consequentemente o coeficienta angular vai ser negativo, a<0.

Resumo A1

1 – Qualquer reta no plano cartesiano x,y é dada por y = ax + b

2 – b é o coeficiente linear, é o valor no eixo y onde a reta intercepta esse eixo y.Em outras palavras: a reta cruza o eixo y em b

3 – a é o coeficiente angular da reta, é o que dá a inclinação da reta, e é dado por a=∆y/∆x. 4- Se a>0 a reta é inclinada para a esquerda. Se a<0 a reta é inclinada para a direita.

y x P1 y1 = ∆y = 6 P2 X2 = X1 = Y2 = ∆x = 3 P3 θ θ θ θ y x θ θ θ θ

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Eletricidade Básica – Resumo - Prof. Ruy Salgado Ribeiro – [email protected] 15 A2 – PARÁBOLA

A equação da parábola, em um sistema de coordenadas cartesianas x,y, é dada por:

y = ax2 + bx + c (IX)

Na equação da parábola y é a variável dependente e x é a variavel independente. Os parâmetros a, b e c são constantes.

Observe que o sinal do parâmetro a determina se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo. Se a>0 a concavidade é voltada para cima (ela cresce sempre). Nesse caso a parábola tem um ponto de mínimo.

Se a<0 a concavidade é voltada para baixo (ela decresce sempre). Nesse caso a parábola tem um ponto de máximo.

É chamado vértice da parábola o seu ponto de máximo ou de mínimo, cujas coodenadas são:

x = -b/2a (X) e y = -(b2 – 4ac) /4a ou y = -∆∆∆/4a (XI) ∆

Nos pontos onde a parábola cruza o eixo x y=0, portanto esses pontos são dados por y =0 = ax2 +bx +c. Esses pontos são as raizes da equação ax2 + bx + c =0

Abaixo são apresentados cinco gráficos de parábolas em situações notáveis.

1 – A parábola ao lado tem concavidade voltada para cima e cruza o eixo y em y=3 Observe que como parâmetro a = +1 a concavidade da parábola é voltada para cima.

Neste caso a parábola tem um ponto de mínimo.

Observe que a parábola não cruza o eixo x.

2 - A parábola ao lado tem concavidade voltada para baixo e cruza o eixo y em y=-5

Observe que como parâmetro a = -3 a concavidade da parábola é voltada para baixo

Neste caso a parábola tem um ponto de máximo.

Observe que a parábola não cruza o eixo x.

(16)

3 - A parábola ao lado tem concavidade voltada para cima e cruza o eixo y em y=-3

Observe que como parâmetro a=1a concavidade da parábola é voltada para cima.

Neste caso a parábola tem um ponto de mínimo.

Observe que a parábola cruza o eixo x nos pontos (-3,0) e (1,0).

4 - A parábola ao lado tem concavidade voltada para baixo e cruza o eixo y em y=7

Observe que como parâmetro a=-3 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Neste caso a parábola tem um ponto de máximo.

Observe que a parábola cruza o eixo x nos pontos (0,83,0) e (2,82,0).

5 - A parábola ao lado tem concavidade voltada para cima e cruza o eixo y em y=-4

Observe que como parâmetro a=1 a concavidade da parábola é voltada para cima.

Como o parâmetro b=0 a parábola é simétrica em relação ao eixo y.

Observe que a parábola cruza o eixo x nos pontos (-2,0) e (2,0).

Exercício A3

Dada a equação da parábola y = -2x + 3x + 8 pede-se:

a) Determinar se a parábola tem ponto de máximo ou de mínimo. b) Achar os pontos onde a parábola cruza o eixo x.

(17)

c) Achar as coordenadas do vértice V d) Desenhar a curva da parábola Solução:

a) Como o parâmetro a = -2 a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

b) A parábola cruza o eixo x em x1 e x2 que são as raizes da equação -2x2 + 3x + 8 = 0

Resolvendo-se a equação do segundo grau acima temos x1 = -1,38 e x2 = 2,89.

c) De (X) e (XI) acima temos: xMax = -b/2a e yMax = -

∆

/4a

Calculando –se o ∆ = b2 – 4ac = 32 +4.2.8 = 9 + 64 >>> ∆= 73

DaÍ vem:: xMax = -b/2a >>> xMax = -3/-4 >>> xMax = 0,75 e yMax = -

∆

/4a

yMax = -∆/4a >>> yMax = -73/-8 >>> yMax = 9,2

Portanto, as coordenadas do vértice são x=0,75 e y= 9,2 >>> V(0,75,9,2) d) Abaixo é apresentada a curva da parábola obtida no Excel:

Ruy Sagado Ribeiro – Ribeirão Preto, 21 de fevereiro de 2012 - UNIP

Resumo A2

1 – A equação da parábola é y = ax2 +bx +c, onde a,b e c são constantes.

2 – Se a>0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a<0 a concavidade é voltada para baixo.

3 – Os pontos onde a parábola cruza o eixo x são as raizes da equação ax2_{+ bx + c = 0.}

4 - Se a equação ax2_{+ bx +c = 0 não tem rizes (∆}

∆∆

∆<0) a parábola não cruza o eixo x. 5 – Vétice da parábola é o seu ponto de máximo ou de mínimo.

6 – As coordenadas do vértice são: x = -b/2a e y = -∆∆∆∆/4a

V

Xv = -b/2a =0,75 yv = -∆∆∆/4a =9,2 ∆