Sobre boa colocação global para alguns modelos dispersivos não lineares

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

ANDRESSA GOMES

Sobre boa colocação global para alguns

modelos dispersivos não lineares

Campinas

2019

Sobre boa colocação global para alguns

modelos dispersivos não lineares

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática.

Orientador: Mahendra Prasad Panthee

Coorientador: Ademir Pastor Ferreira

Este exemplar corresponde à versão

final da Tese defendida pela aluna

An-dressa Gomes e orientada pelo Prof.

Dr. Mahendra Prasad Panthee.

Campinas

2019

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Gomes, Andressa,

G585s GomSobre boa colocação global para alguns modelos dispersivos não lineares / Andressa Gomes. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

GomOrientador: Mahendra Prasad Panthee. GomCoorientador: Ademir Pastor Ferreira.

GomTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Gom1. Korteweg-de Vries, Equação de. 2. Problemas de valor inicial. 3. Boa-colocação local. 4. Boa-Boa-colocação global. 5. Gagliardo-Nirenberg,

Desigualdades de. 6. Princípios variacionais. I. Panthee, Mahendra Prasad, 1966-. II. Ferreira, Ademir Pastor, 1982-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: On global well-posedness for some nonlinear dispersive models Palavras-chave em inglês:

Korteweg-de Vries equation Initial value problems Local well-posedness Global well-posedness

Gagliardo-Nirenberg inequalities Variational principles

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutora em Matemática Banca examinadora:

Mahendra Prasad Panthee [Orientador] Lucas Catão de Freitas Ferreira

Luiz Gustavo Farah Dias Gabriela Del Valle Planas Xavier Carvajal Paredes Data de defesa: 17-09-2019

Programa de Pós-Graduação: Matemática Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: 0000-0002-5627-8285

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2685842284889655

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). MAHENDRA PRASAD PANTHEE

Prof(a). Dr(a). LUIZ GUSTAVO FARAH DIAS

Prof(a). Dr(a). XAVIER CARVAJAL PAREDES

Prof(a). Dr(a). LUCAS CATÃO DE FREITAS FERREIRA

Prof(a). Dr(a). GABRIELA DEL VALLE PLANAS

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Primeiramente agradeço a todos os seres espirituais que me acompanham, me oferecendo sua proteção e guiando minhas decisões, permitindo que esta etapa de vida fosse concluída.

Agradeço ao meu pai João, pelo apoio incondicional ao meus estudos e a minha avó Doracy por seus cuidados. Aos meus irmãos Anderson e Airton, e a Alzenira por fazerem parte desse núcleo familiar, o qual sempre busquei forças para seguir em frente nos momentos difíceis.

Agradeço aos meus amigos por sempre estarem presentes e fazerem destes 4 anos um aprendizado além da vida acadêmica. Levo comigo a certeza que conquistei grandes irmãos e irmãs em Campinas e preservei aqueles que já me acompanham de muito tempo.

Agradeço ao meu esposo Kennerson Nascimento por seu companheirismo, dedicação, carinho e por ter sido parte importante dessa trajetória.

Ao meu orientador Mahendra Panthee minha profunda gratidão por todos os ensinamentos, por ter me mostrado os caminhos da pesquisa e por todo apoio em todos os momentos.

Agradeço ao meu coorientador Ademir Pastor pela paciência e valiosas contri-buições ao longo deste trabalho.

Agradeço a banca examinadora pelas correções e sugestões que contribuíram positivamente para a o texto final desta tese.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) (Processo 142266/2017-5).

Nesta tese, abordamos o estudo da boa colocação global de alguns modelos dispersivos não lineares. Primeiro, consideramos o caso defocusing supercrítico da equação de Korteweg-de Vries generalizada (gKdV). Apresentamos o método-I e definimos a segunda geração de energia modificada. Usamos o artifício de dividir os multiplicadores de Fourier em termos ressonante e não ressonante para remover a singularidade em seu domínio. Provamos que a segunda energia modificada é quase conservada com decaimento de ordem N´72`.

Posteriormente, consideramos um sistema acoplado de equações do tipo gKdV generalizada. Apresentamos uma relação entre um critério de existência de soluções globais no espaço de energia e a existência de soluções ground state. Provamos que a existência dessas soluções

ground state está diretamente relacionada com uma desigualdade de interpolação do tipo

Gagliardo-Nirenberg.

Palavras-chave: Modelos dispersivos, equação de Korteweg-de Vries, problema de valor

inicial, boa-colocação local e global, método-I, quantidade quase conservada, sistema acoplado, solução ground state, desigualdade de Gagliardo-Nirenberg.

In this thesis, we study the global well-posedness for some nonlinear dispersive models. Firstly, we consider the defocusing case of supercritical generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV). We present the I-method and we define the second generation of modified energy. We split the Fourier’s multipliers into resonant term and nonresonant term to remove the singularity on its domain. We prove the almost conservation of second modified energy, with decay of order N´72`. Next, we consider a coupled system of the genealized

KdV type equations. We present a relationship between the existence of global solution in the energy space and the existence of ground state solution. Finally, we show that the existence of the ground state solution is directly related to the Gagliardo-Nirenberg type interpolation inequality.

Keywords: Dispersive models, Korteweg-de Vries equation, initial value problem, local

and global well-posedness, I-method, almost conserved quantity, coupled system, ground

Introdução . . . 10

1 NOTAÇÃO E RESULTADOS PRELIMINARES . . . 17

1.1 Soluções e propriedades de modelos com equações do tipo Korteweg-de Vries . . . 17

1.2 Espaços de norma mista Lp_xLqt. . . . 22

1.3 Espaços de Bourgain Xs,b. . . . 25

1.4 Resultados pré-existentes . . . 26

2 EQUAÇÃO DE KDV GENERALIZADA E QUANTIDADES QUASE CONSERVADAS . . . 31

2.1 O método-I . . . 34

2.1.1 Energias modificadas e Quantidades quase conservadas . . . 36

2.2 Lei de quase conservação . . . 39

2.2.1 Estimativas de decaimento . . . 44

3 SOLUÇÕES ONDAS SOLITÁRIAS E BOA COLOCAÇÃO GLOBAL PARA UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DO TIPO KDV GENERA-LIZADA . . . 64

3.1 Desigualdade de interpolação do tipo Gagliardo-Nirenberg e ground state . . . 65

3.2 Teoria variacional . . . 69

3.3 Concentração de compacidade para H1pRq ˆ H1pRq . . . 72

3.4 Existência de ground state . . . 78

3.5 Boa colocação Global em H1pRq ˆ H1pRq . . . 89

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 93

REFERÊNCIAS . . . 95

APÊNDICE A – PROPOSIÇÃO PARA LIMITAÇÃO EM Γk`2zΩ . 99 APÊNDICE B – PROPOSIÇÕES PARA LIMITAÇÃO DE σk`2 . . . 101

Introdução

Nesta tese consideramos dois modelos que estão intimamente relacionados. Inicialmente consideramos o problema de valor inicial (PVI) associado à equação de Korteweg-de Vries generalizada (gKdV),

$ & % Btu ` Bx3u ` µBxpuk`1q “ 0, x P R, t ą 0, upx, 0q “ u0pxq P HspRq, (1) onde µ “ ˘1 e u é uma função a valores reais. O caso µ “ 1 é chamado focusing e µ “ ´1

defocusing. Se k ă 4 em (1), chamamos de caso subcrítico da equação gKdV, se k “ 4 chamamos caso crítico e se k ą 4 caso supercrítico.

A equação que aparece em (1) é associada ao conhecido caso k “ 1, a equação de Korteweg-de Vries (KdV). A equação de KdV foi introduzida por Korteweg e de Vries em [1] como um modelo para ondas longas se propagando em um canal. O caso k “ 2, é conhecido como equação de KdV modificada (mKdV). A equação mKdV é usada por exemplo para descrever ondas acústicas em certas lattices harmônicas. Para mais aplicações físicas destes casos veja [2].

O fluxo da equação gKdV satisfaz as seguintes quantidades conservadas

M puptqq “ ż u2ptqdx (2) e Epuptqq “ 1 2 ż pBxuq2ptqdx ´ µ k ` 2 ż uk`2ptqdx. (3)

Tais quantidades são usadas na obtenção de resultados de boa colocação para o PVI com dado inicial em espaços de maior regularidade.

Sob a relevância das aplicações físicas, surgem os sistemas acoplados de equações do tipo KdV. Deste modo, o segundo modelo considerado nesta tese é o sistema

$ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % Btu ` B3xu ` µBxpf pu, vqq “ 0, Btv ` B3xv ` µBxpgpu, vqq “ 0, t ą 0, x P R, pupx, 0q, vpx, 0qq “ pu0pxq, v0pxqq P HspRq ˆ HspRq, (4)

onde u e v são funções a valores reais; f e g satisfazem Hu “ f pu, vq e Hv “ gpu, vq para

uma função suave H com Hu e Hv representando as derivadas direcionais de H na direção

u e v respectivamente; µ “ ˘1. O sistema (4) contém um par de equações do tipo KdV e possui estrutura Hamiltoniana. Além disso, o fluxo do sistema (4) possui a massa e a energia conservadas, as quais são dadas por

M puptq, vptqq “ 1

2 ż

R

e Epuptq, vptqq “ 1 2 ż R rpBxuq2ptq ` pBxvq2ptq ´ 2µHpuptq, vptqqsdx. (6)

O sistema (4) geralmente aparece como modelo para propagação de ondas e tem sido amplamente estudado nos últimos anos devido a sua importância em fenômenos físicos.

No caso focusing, por exemplo, tomando

Hpu, vq “ Au3` Bv3` Cu2v ` Duv2 (7) com A, B, C e D constantes, o sistema modela o problema físico de descrever a forte interação de ondas gravitacionais internas longas bidimensionais que se propagam em picnoclinas vizinhas em fluido estratificado. O modelo foi derivado por Gear e Grimshaw em [3]. Se consideramos

Hpu, vq “ uv2

este sistema se torna um caso particular para o sistema de Madja-Biello (veja [4]) que modela a interação de ondas equatoriais Rossby barotrópicas e baroclínicas.

Vários autores tem realizado o estudo de boa coloção nos espaços de Sobolev clássicos (HspRq e HspRq ˆ HspRq respectivamente) para os modelos (1) e (4). Para obter resultados com dados iniciais de baixa regularidade, os espaços introduzidos por Bourgain em [5] tem sido amplamente usados.

Bourgain em [5] usou os novos espaços de funções para provar a boa colocação local do PVI associado à equação de KdV com dado inicial em L2pTq. Devido a conservação da massa, também provou a boa colocação global no mesmo espaço.

Ainda sobre a equação de KdV, Kenig, Ponce e Vega em [6] usaram as ideias introduzidas em [5] e algumas estimativas das integrais oscilatórias encontradas em [7, 8] e obtiveram uma estimativa bilinear para o termo não linear Bxpu2q. Tal estimativa permitiu

provar a boa colocação local nos espaços de Sobolev Hs_{pRq para s ą ´}3

4 melhorando os resultados existentes em [5, 9] (s ě 0 e s ą ´5

8 respectivamente). Colliander, Staffilani e Takaoka provaram em [10] a boa colocação global para KdV em espaços Hs_{pRq com índices} negativos adaptando o argumento de decomposição do dado inicial em partes de alta e baixa frequência usado por Bourgain em [11]. Colliander, Keel, Staffilani, Takaoka e Tao em [12] aprimoraram o método introduzido em [10] fazendo o uso de quantidades quase conservadas. O chamado método-I permitiu aos autores provar em [12] a boa colocação global em Hs_{pRq para s ą ´}3

4.

Kenig, Ponce e Vega em [8] provam boa colocação local para mKdV em HspRq para s ě 1

4 em ambos os casos defocusing e focusing. Em [12] os autores exploram a

quanto para o caso focusing. Kenig, Ponce e Vega em [13] provaram a má colocação para KdV e mKdV no caso focusing em Hs_{pRq para s ă ´}3

4 e s ă 1

4 respectivamente. Christ, Colliander e Tao em [14] mostraram resultados semelhantes de má colocação no caso

defocusing para mKdV. Neste último trabalho ainda foi demonstrado a existência de

soluções fracas em H´3_{4 para KdV. Corcho e Panthee em [15] desenvolveram um método} independente da transformada de Miura, usando a segunda geração de energias modificada e as quantidades quase conservadas introduzidas em [10,12] para provar boa colocação global sharp para mKdV.

Para k “ 3, isto é, a 3-KdV, Grünrock mostrou em [16] a boa colocação local em

Hs para s ą ´1

6. Tao em [17] mostra a boa colocação local no espaço de Sobolev de índice crítico 9H´1₆

pRq e boa colocação global para dado com norma 9H´

1

6_{pRq suficientemente}

pequena. Em [18], Koch e Marzuola usam os espaços de Besov 9B´1₆,2 _{e seu espaço predual}

para simplificar e reforçar o resultado de Tao. Grünrock, Panthee e Silva em [19] usaram as quantidades quase conservadas e obtiveram boa colocação global nos espaços HspRq, com s ą ´ 1

42. A existência de soluções globais em espaço de Sobolev de ordem s para

s P ´ ´1 6, ´ 1 42 ı é um problema em aberto.

A boa colocação local dos casos crítico e supercrítico da equação gKdV, ou seja para k “ 4 e k ą 4 respectivamente, foi estabelecida em [8] para s ě sk:“

1 2 ´

2

k, onde sk é o índice do espaço de Sobolev crítico por reescalonamento. Além disso, os autores

também provaram boa colocação global para dado de norma 9Hsk

pRq pequena nos mesmos espaços. Em [13] é provado que estes resultados são sharp para o caso focusing.

Miao, Shao, Wu e Xu obtiveram em [20], usando o método-I, a boa colocação global para o caso crítico do PVI (1) em HspRq, s ą 6

13 para o caso focusing e para o caso

defocusing, desde que }u0}L2

x ă }Q}L2x, onde Q é solução ground state da equação elíptica

associada à 5-KdV. Em espaços de Sobolev clássicos este é o melhor resultado para boa colocação global no sentido de menor regularidade exigida sobre o dado inicial. Os autores dividem os multiplicadores de Fourier usado no método-I em duas partes: ressonante e não ressonante, superando a dificuldade encontrada por Farah em [21] em usar a segunda geração de energia modificada. Dodson, em [22] provou o resultado de boa colocação sharp no espaço L2_{pRq para o caso crítico defocusing, no sentido de que não existe boa colocação} local abaixo de L2pRq).

Usando as leis de conservação da equação gKdV supercrítica é possível provar a existência de soluções globais no espaço energia H1_{pRq para ambos os casos focusing e}

defocusing, desde que se tenha dado inicial com norma pequena. Farah, Linares e Pastor

em [23] determinam condições suficientes para obter boa colocação global em H1_{pRq. Além} disso, fazendo uso do método-I, em [23] os autores também provam a existência de soluções globais no caso defocusing, sem restrições sobre o dado inicial ou sua norma nos espaços

HspRq, desde que s ą 3 ` 2sk

5 “

4 5´

4

5k e k seja um número natural par.

Até agora não existem resultados sobre a existência de soluções globais no tempo para a equação gKdV supercrítica defocusing com dados iniciais nos espaços de Sobolev com índice s P

´ sk, 3 5 ` 2 5sk ı .

Em [23] os autores observam que o índice de decaimento da energia modificada está relacionado com o índice do espaço de Sobolev para o qual obtemos soluções globais. Neste sentido, obter um índice de decaimento α ą 2´ tal que |EpIuptq ´ EpIup0q| À N´α possibilita um ganho de regularidade na existência de soluções globais. Motivados pelo que ocorre na equação de KdV, para alcançar uma estimativa de decaimento melhor, devemos usar a segunda geração de energia modificada. Entretanto, de [21] sabemos que no caso da gKdV, tal quantidade possui singularidades no seu domínio. Nesta tese, obtemos um avanço nesse problema definindo a segunda energia modificada para a equação gKdV sem singularidades no seu domínio e provamos que tal quantidade é quase conservada.

Inspirados em [20], definimos um conjunto Ω apropriado para a equação gKdV supercrítica, o qual elimina as singularidades existentes na definição da segunda energia modificada usada no método-I. Deste modo, ao contrário do que ocorre em [23] conseguimos definir a segunda energia modificada. Provamos que a segunda energia modificada é quase conservada com uma estimativa de decaimento que depende de N´7₂`_.

Assim como no caso de uma equação, o estudo sobre a boa colocação de sistemas da forma (4) tem sido bastante desenvolvido para diferentes formas da função H.

Panthee e Scialom em [24] consideraram Hpu, vq “ 1 3u

3_v3 _{o que torna o sistema} em (4) um caso de um par de equações do tipo KdV crítica acopladas pelo termo não linear. Os autores em [24] provam boa colocação local para o PVI associado à tal sistema em

HspRq ˆ HspRq, s ě 0, para dado inicial satisfazendo δ ă }pu0, v0q}L2_ˆL2 ă }pS, Sq}_L2_ˆL2,

onde S é uma solução onda solitária para (4) e δ ą 0. Além disso os autores mostram que o problema é bem posto globalmente em HspRq ˆ HspRq para s ą 3

4.

Corcho e Panthee em [15] consideram o sistema acoplado de equações do tipo KdV modifiada, ou seja, Hpu, vq “ a1u 4 4 ` b1 4v 4 ` a 2 2 puvq 2 ` a3 3u 3<sub>v `</sub> a4 3 uv 3_.

Usando o método-I com as energias modificadas e a teoria de quantidades quase conservadas, os autores provam resultado de boa colocação global em HspRq ˆ HspRq para s ą 1

4. Bona, Ponce e Saut Tom em [25] consideraram o problema de boa colocação para o PVI (4) com função H dada por (7). Os autores provaram boa colocação global em HspRq ˆ HspRq para s ě 1 e certas restrições sobre os coeficientes. Linares e Panthee em [26] provaram o resultado local sharp nos espaços de Sobolev de índice s ą ´3

colocação global para s ą ´ 3

10 impondo certas condições sobre os coeficientes A, B, C e D. Bona, Cohen e Wang em [27], também inspirados por [12] e usando um argumento de energia refinado, provaram o resultado de boa colocação global sharp sobre certas condições para os coeficientes de H nos espaços de Sobolev com índice s ą ´3

4.

Alarcon, Angulo e Montenegro em [28] tomaram Hpu, vq “ uk`1vk`1 onde

k ě 1 é um número natural e obtiveram resultados de boa colocação global no espaço

de energia H1_{pRq ˆ H}1_{pRq, sob condições determinadas pelo expoente k. Além disso, os} autores apresentaram condições para resultados de estabilidade e instabilidade das ondas viajantes associadas.

Motivados pelos trabalhos acima, na segunda parte desta tese faremos o estudo da boa colocação para o PVI (4) considerando

Hpu, vq “ a 2k ` 2`u 2k`2 ` v2k`2˘` b k ` 1u k`1_vk`1 ` c ku k`2<sub>v</sub>k ` d ku k_vk`2<sub>, (8)</sub> resultando $ ’ & ’ % f pu, vq “ a u2k`1` b ukvk`1`k ` 2 k c v k uk`1` d vk`2uk´1 gpu, vq “ a v2k`1` b vkuk`1` k ` 2 k d u k vk`1` c uk`2vk´1, (9)

onde a, b, c, d são constantes positivas e k é um número natural.

A função H dada por (8) generaliza os modelos em [24,15, 25, 26, 27,29, 28]. A boa colocação local para o PVI (4) associado à função H dada por (8) pode ser obtido de maneira análoga ao PVI estudado em [28].

Observe que usando uma desigualdade de interpolação do tipo Gagliardo-Nirenberg e a desigualdade de Cauchy-Schwartz, resulta

ż

Hpu, vqdx ď C}pu, vq}k`2}Bxpu, vq}k (10)

onde C é uma constante positiva e }p¨, ¨q} denota a norma }p¨, ¨q}L2_ˆL2. Portanto, a energia

conservada (6) garante a seguinte estimativa

}Bxpu, vq}2 ď 2Epu, vq ` C}pu, vq}k`2}Bxpu, vq}k.

Quando k “ 1, usando a desigualdade de Young, obtemos }Bxpu, vq}2 ď C1Epu, vq ` C2}pu, vq}6.

Como a massa e a energia, dadas por (5) e (6) respectivamente, são conservadas obtemos boa coloção global no espaço de energia (H1_{pRq ˆ H}1_{pRq). Se k “ 2 também obtemos} existência de soluções globais no espaço de energia, desde que C}pu, vq}k`2ă 1.

Surge uma pergunta natural, quais as condições necessárias sobre }pu, vq} para se obter existência de soluções globais no tempo com dado inicial no espaço de energia para k ě 2?

O principal resultado obtido na segunda parte da tese mostra uma relação entre a melhor constante para a desigualdade de interpolação do tipo Gagliardo-Nirenberg (10) e um critério de existência de soluções globais para o PVI (4) associado a função H

dada por (8) com dado inicial no espaço de energia e k ě 2.

Quando consideramos soluções ondas solitárias de (4), ou seja, soluções suaves que se anulam no infinito da forma pupx, tq, vpx, tqq “ pφθpx ´ θtq, ψθpx ´ θtq, obtemos que

tais soluções satisfazem identidades do tipo Pohozaev. Com estas identidades provamos que a melhor constante para a desigualdade (10) está diretamente relacionada à existência de soluções ondas solitárias com massa mínima, chamadas soluções ground state.

A existência de soluções ground state tem sido estudada para diferentes tipos de modelos físicos, veja por exemplo [30,31,32,33]. Como percebemos nos trabalhos citados, a existência de soluções ground state está condicionada a encontrar um mínimo para o funcional ação definido por Ipu, vq :“ M pu, vq ` Epu, vq. Usamos a teoria variacional (para maiores detalhes, consulte por exemplo [34]) e mostramos a existência de um mínimo não nulo para I.

Provada a existência de soluções ground state, mostramos que a melhor constante para a desigualdade (10) é do tipo Kopt “ Koptpk, }pΦ, Ψq}q, onde pΦ, Ψq é solução ground

state associado ao sistema em (4). Por fim, usamos um argumento de continuidade para obter as condições suficientes para existência de soluções globais no espaço de energia.

Esta tese está organizada da seguinte forma. O Capítulo 1 é destinado à apresentação de notações e resultados preliminares necessários para o desenvolvimento da tese. No Capítulo 2 apresentamos uma estimativa de decaimento para a segunda energia modificada da equação gKdV defocusing supercrítica. Na seção 2.1 faremos uma breve apresentação do método -I e das quantidades quase conservadas, além de uma generalização do método aplicado em [20] para eliminar singularidades que surgem na definição da segunda energia modificada. Na seção 2.2 aplicamos as ideias da seção 2.1

para a equação gKdV supercrítica e obtemos as estimativas de decaimento para a primeira e a segunda energia modificada.

No Capítulo 3, apresentamos um resultado de boa colocação global para o PVI (4) associado à função H dada por (8) com dados iniciais em H1_{pRq ˆ H}1_{pRq. Obtemos} um critério para a existência de soluções globais no tempo. Este critério está relacionado às soluções ground state de (4). Naseção 3.1 provamos as identidades do tipo Pohozaev, definimos o funcional ação I e soluções ground state. Além disso, provamos a equivalência entre o problema de encontrar soluções ground state e encontrar a menor constante para a

desigualdade de interpolação do tipo Gagliardo-Nirenberg (10). Na seção 3.2 provamos a existência de uma sequência minimizante para o funcional I usando o Teorema do Passo da Montanha, uma ferramenta da teoria variacional. Na seção 3.3provamos uma versão do Lema de Translação de Lieb para o espaço cartesiano H1pRq ˆ H1pRq. Naseção 3.4 usamos os resultados apresentados na seção 3.3 para provar a existência de uma solução ground

state pΦ, Ψq de entradas estritamente positivas. Finalizamos o capítulo com a seção 3.5

onde estabelecemos a boa colocação global do modelo.

Por fim, no Capítulo 4 apresentamos os últimos comentários sobre o desenvol-vimento da pesquisa e as proprostas para trabalhos futuros.

1 Notação e resultados preliminares

Neste capítulo introduziremos a notação e algumas definições usadas ao longo desta tese. Além disso, apresentaremos os resultados preliminares existentes na literatura que serão necessários ao longo do texto. Os resultados cujas demonstrações podem ser encontradas nas referências citadas, deixamos a cargo do leitor a sua consulta.

1.1

Soluções e propriedades de modelos com equações do tipo

Korteweg-de Vries

A transformada de Fourier espacial de uma função f px, tq denotada por pf é definida por

p

f pξ, tq “ c

ż

e´ixξ_{f px, tqdx, (1.1)} onde c “ cpπq é uma constante positiva. De modo análogo, a transformada de Fourier no tempo e no espaço denotada rf é definida por

r

f pξ, τ q “

ij

e´ipxξ`tτ q_{f px, tqdxdt. (1.2)} Considere o problema linear associado ao PVI da equação de Korteweg-de Vries

$ & % Btu ` Bx3u “ 0, upx, 0q “ u0pxq P HspRq. (1.3) onde Hs_{pRq é o espaço de Sobolev de ordem s P R munido com a norma}

}f }Hs :“ }Jsf }_L2 “ } hξisf }p_L2,

h¨i denota a soma 1 ` |ξ|, hξis :“ p1 ` |ξ|qs„ p1 ` |ξ|sq e yJs_{f :“ hξi}s_{f pξq é o potencial dep}

Bessel.

Usando a transformada de Fourier definida acima, é conhecido que a solução de (1.3) é dada por upx, tq “ ż8 ´8 eiptξ3`xξqup0pξqdξ “ St˚ u0pxq “ U ptqu0pxq, (1.4) onde Stpxq “ c ż8 ´8 eiptξ3`xξq_{dξ e tU ptqu}8

´8 define um grupo unitário em H

s

pRq chamado

Por sua vez, a solução do problema não linear $ & % Btu ` Bx3u ` Bxpf puqq “ 0, upx, 0q “ u0pxq P Hs. (1.5) é dada por upx, tq “ U ptqu0pxq ` żt 0 U pt ´ t1 qBxpf puqqpt1qdt1. (1.6)

De maneira análoga a solução vetorial pupx, tq, vpx, tqq do PVI (4) é dada por ˆ U ptqu0pxq ` µ żt 0 U pt ´ t1 qBxpf pu, vqqpt1qdt1, U ptqv0pxq ` µ żt 0 U pt ´ t1 qBxpgpu, vqqpt1qdt1 ˙ (1.7) onde pU ptqu0pxq, U ptqv0pxqq “ ˆż8 ´8 eptξ3`xξq p u0pξqdξ, ż8 ´8 eptξ3`xξq p v0pξqdξ ˙

é solução do problema linear associado à (4).

Definição 1.1.1. Dizemos que o PVI (1.5) é localmente bem posto no espaço de Banach

Y se

i) Para cada u0 P Y existe um T ą 0 e uma única solução u de (1.5) tal que u P

Cpr0, T s, Y q e up0q “ u0.

ii) Para cada T0 P p0, T q, a aplicação u0 P Y ÞÝÑ Cpr0, T s : Y q é continua. Em outras

palavras, a solução depende continuamente do dado inicial. O problema é dito globalmente bem posto se para qualquer 0 ă T˚

ă 8, a solução local

pode ser estendido para r0, T˚ s.

Para sistemas a definição de PVI bem posto se extende de maneira natural para espaços cartesianos substituindo Y por Y ˆ Y .

Considere o PVI para a equação de KdV generalizada (1). O fluxo da gKdV satisfaz as leis de conservação dadas por (2) e (3) no sentido que para qualquer t tal que a solução de (1) exista, tem-se M puptqq “ M pup0qq “ M pu0q e Epuptqq “ Epup0qq “ Epu0q. Por sua vez, o PVI (4) admite as quantidades conservadas dadas por (5) e (6)

Seja u uma solução de (1) e λ ą 1 um parametro real. O reescalonamento de u é dado por uλpx, tq “ λ´ 2 ku ˆ x λ, t λ3 ˙ (1.8)

Se u é solução do PVI (1) com tempo de existência de solução r0, T s, então

uλ é solução para a mesma equação, com dado inicial u0,λpxq “ λ´ 2 ku 0 ´x λ ¯ e tempo de existência r0, λ3T s. Dizemos que as soluções de (1) são invariantes pelo reescalonamento (1.8). Observe que neste caso, r0, T s Ă r0, λ3T s.

Seja uλ um reescalonamento da solução de (1) com dado uλ,0. Se o Dxsf é o

potencial de Riesz definido via transformada de Fourier por yDs_{f pξq :“ |ξ|}s

p f pξq, então }Dxsuλ,0}2L2 x “ λ ´_k4 ż |ξ|2s|pu0pλξq|2dξ “ λ2p´s` 1 2´ 2 kq_}Ds xu0}2L2 x. Para s “ sk :“ 1 2 ´ 2 k, (1.9) tem-se }D_xsuλ,0}L2 x “ }D s xu0}L2

x. O índice sk é chamado índice crítico do espaço de Sobolev

por reescalonamento. O espaço de Sobolev Hsk _{é chamado espaço de Sobolev crítico para}

a equação de gKdV.

Os modelos em (1) e (4) possuem estrutura Hamiltoniana. Em outras palavras, no caso especifico do sistema em (4)

«

ut

vt

ff

“ J E1pu, vq, (1.10)

onde J é o operador anti-adjunto «

Bx 0

0 Bx

ff

e E1 é a derivada de Frechet do operador E definido em (6), que neste caso coincide com a derivada direcional (no sentido distribucional). Mais explicitamente E1pu, vq “

» — – d duE d dvE fi ffi fl “ « ´B2xu ´ f pu, vq ´Bx2v ´ gpu, vq ff .

Um tipo especial de soluções para os modelos dispersivos são as soluções ondas solitárias. Abaixo definimos tais soluções para o sistema em (4).

Definição 1.1.2 (Solução onda solitária). O par de funções à valores reais pφθ, ψθqpx, tq “

pφpx ´ θtq, ψpx ´ θtq é dito solução onda solitária para (4) com velocidade θ se pφθ, ψθq

é solução de (4) e lim |ξ|Ñ8φ pnq θ pξq “ 0 e lim |ξ|Ñ8ψ pnq θ pξq “ 0 para todo n P N

Se consideramos, φ “ φpx ´ tq e ψ “ ψpx ´ tq, ondas solitárias de velocidade

θ “ 1 e fazemos a mudança de variável ξ “ x ´ t, obtemos φtpξq “ dφ dξ dξ dt “ ´ dφ dξ; φxpξq “ dφ dξ dξ dx “ dφ dξ e fxpφ, ψq “ df dξpφ, ψq dξ dx “ df dξpφ, ψq.

Denotando 1 “ d

dξ, podemos reescrever o sistema em (4) da seguinte forma

$ ’ & ’ % d dξ rφ 2 ´ φ ` µf pφ, ψqs “ 0, d dξ rψ 2 ´ ψ ` µgpφ, ψqs “ 0.

Desta maneira, as soluções ondas solitária de (4) satisfazem o sistema elíptico # φ2 ´ φ ` µf pφ, ψq “ 0, ψ2 ´ ψ ` µgpφ, ψq “ 0. (1.11) Tomando pw, zq P C8 0 pRq ˆ C08pRq, do sistema (1.11), obtemos $ ’ & ’ % ż φ2_{wdx ´} ż φwdx ` µ ż f pφ, ψqwdx “ 0, ż ψ2<sub>zdx ´</sub> ż ψzdx ` µ ż gpφ, ψqzdx “ 0.

Ou ainda, usando a integração por partes $ ’ & ’ % ż φwdx ` ż φ1<sub>w</sub>1<sub>dx ´ µ</sub> ż f pφ, ψqwdx “ 0, ż ψzdx ` ż ψ1_z1_{dx ´ µ} ż gpφ, ψqzdx “ 0. (1.12)

Assim, pelo argumento de regularidade elíptica (veja os Teoremas 3 e 4 das páginas 316 e 317 em [35]), podemos considerar pw, zq P H1pRq ˆ H1pRq, resultando na seguinte definição.

Definição 1.1.3. O par pφ, ψq P H1pRq ˆ H1pRq é chamado solução de (1.11) se satisfaz $ ’ & ’ % ż φwdx ` ż φ1<sub>w</sub>1<sub>dx ´ µ</sub> ż f pφ, ψqwdx “ 0, ż ψzdx ` ż ψ1_z1_{dx ´ µ} ż gpφ, ψqzdx “ 0, (1.13) para qualquer pw, zq P H1pRq ˆ H1pRq.

Observação 1.1.4. Para as demonstrações, devido ao argumento acima, sempre

conside-raremos na Definição 1.1.3 pw, zq P C08pRq ˆ C 8 0 pRq.

Se pφ, ψq é uma solução suave de (1.11), então fazendo pw, zq “ pφ, ψq em (1.13), obtemos $ ’ ’ & ’ ’ % }φ}2L2 x ` }φ 1 }2L2 x “ µ ż R f pφ, ψqφdx, }ψ}2L2 x ` }ψ 1 }2L2 x “ µ ż R gpφ, ψqψdx. (1.14)

Por outro lado, multiplicando as equações de (1.11) por xφ1 _{e xψ}1 respectiva-mente e integrando sobre a variável espacial x

$ ’ ’ & ’ ’ % ż R φ2_xφ1_{dx ´} ż R φxφ1_{dx ` µ</sub> ż R f pφ, ψqxφ1<sub>dx “ 0,</sub> ż R ψ2<sub>xψ</sub>1<sub>dx ´</sub> ż R ψxψ1<sub>dx ` µ} ż R gpφ, ψqxψ1_{dx “ 0.} (1.15) Note que ż R xφ2_φ1_{dx “ ´} ż R φ1 pxφ1q1dx “ ´ ż R “ pφ1q2` xφ2φ1‰ dx ñ ż R xφ2<sub>φ</sub>1<sub>dx “ ´</sub>1 2}φ 1 }2L2; ż R xφφ1<sub>dx “</sub> 1 2 ż R xpφ2q1dx “ ´1 2 ż R pφ2qdx “ ´1 2}φ} 2 L2; ż R f pφ, ψqxφ1<sub>dx `</sub> ż R gpφ, ψqxψ1_{dx “} ż R d dxrHpφ, ψqs ¨ xdx “ ´ ż R Hpφ, ψqdx.

Portanto, de (1.14) e (1.15), obtemos as seguintes identidades $ ’ & ’ % }pφ, ψq}2` }pφ1, ψ1q}2 “ µ ż R rf pφ, ψqφ ` gpφ, ψqψs dx, }pφ, ψq}2´ }pφ1, ψ1 q}2 “ 2µ ż R Hpφ, ψqdx, (1.16)

onde usamos a seguinte notação.

Notação. Denotaremos }p¨, ¨q} “ }p¨, ¨q}L2

xˆL2x.

Se para toda pu, vq a função H é tal que

Hupu, vqu ` Hvpu, vqv “ C Hpu, vq (1.17)

para alguma constante C ą 2, então toda solução de (1.11) satisfaz $ ’ ’ & ’ ’ % }pφ, ψq}2 “ˆ C ` 2 2 ˙ µ ż R Hpφ, ψqdx, }pφ1, ψ1q}2 “ˆ C ´ 2 2 ˙ µ ż R Hpφ, ψqdx. (1.18) Consequentemente, }pφ, ψq}2 “ C ` 2 C ´ 2}pφ 1_{, ψ}1 q}2. (1.19) Observação 1.1.5. Hpu, vq “ ÿ r`s“θ

ar,survs, com r, s ě 0 e θ ą 0, é uma função suave

de u e v que satisfaz (1.17) para constantes ar,s apropriadas. Por exemplo, a função H

definida em (8).

Na próxima seção denotaremos A À B para duas quantidades A e B se existe uma constante C ą 0 tal que A ď CA. Quando quisermos explicitar que a constante C depende de um parâmetro η, denotaremos A Àη B.

1.2

Espaços de norma mista L

L

.

O espaço Lp_xLq_t é definido com a norma mista }f }LpxLqt “ ˆż }f p¨, tq}p_Lq tdt ˙1_p , (1.20)

com as devidas modificações para p “ 8 ou q “ 8.

Na literatura encontramos uma variedade de estimativas envolvendo tais normas. A primeira estimativa que apresentaremos abaixo é conhecida como efeito suavizante, foi deduzida por Kenig, Ponce e Vega em [8].

Proposição 1.2.1. As seguintes desigualdades são verdadeiras.

i) Se u0 P L2x, então

}BxU ptqu0}L8

xL2t À }u0}L2x. (1.21)

ii) Se g P L1xL

2

t, então para qualquer T ą 0,

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇBx żT 0 U p´t1 qgp¨, t1qdt1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ L2 x À }g}L1 xL2t. (1.22)

Demonstração. Veja Teorema 3.5 em [8]. l

A estimativa (1.22) é chamada estimativa dual de (1.21), no sentido que a integral estimada pela norma L2_x é o operador dual do termo estimado pela norma L8

xL2t

em (1.21).

A próxima proposição nos fornece uma estimativa para o operador maximal associado à solução linear da equação de Korteweg-de Vries.

Proposição 1.2.2. Se u0 P 9H 1 4_{pRq, então} }D´ 1 4 x U ptqu0}L4 xL8t À }u0}L2x. (1.23)

Demonstração. Veja Teorema 3.7 em [8]. l

Definimos a transformada de Hibert H via transformada de Fourier como o operador H que satisfaz

z Hpf qpξq “ ´isgnpξq pf pξq. Deste modo, { DxHf pξq “ |ξ| xHf pξq “ |ξ| ´ ´isgnpξq pf pξq ¯ “ ´iξ pf pξq “ ´yBxf pξq e y Dxf pξq “ |ξ| pf pξq “ ξsgnpξq pf pξq “ iξp´isgnpξq pf pξqq “ iξ xHf pξq “ {BxpHf qpξq.

Usando a injetividade da transformada de Fourier, a derivada usual Bx e o

potencial de Riesz Dx satisfazem as seguintes identidades

DxHpf qpxq “ ´Bxpf qpxq (1.24)

e

Dxf pxq “ BxHpf qpxq (1.25)

A identidade acima, nos permite provar a seguinte proposição.

Proposição 1.2.3. Sejam p, q e α tais que

1 ď p, q ď 8 , 1 p` 1 2q “ 1 4 , α “ 2 q ´ 1 p , ´ 1 4 ď α ď 1. (1.26) Se u0 P L2xpRq, então }DαxU ptqu0}LpxLqt À }u0}L2x. (1.27)

Demonstração. Faremos como na demonstração do Corolário 3.8 em [8]. Considere a família analítica de operadores

Tzu0 “ D ´z₄

x Dp1´zq_x U ptqu0 com z P C e 0 ď Rez ď 1. Quando z “ iy e y P R,

Tzu0 “ Dx´iyDxD

´iy₄

x U ptqu0 “ DxD

´5iy₄

x U ptqu0.

Usando (1.21), a identidade (1.25) e o fato que a transformada de Hilbert é uma isometria em L2_x, resulta

}Tiyu0}L8 xL2t “ }DxD ´5iy₄ x U ptqu0}L8 xL2t “ }BxD ´5iy₄ x HU ptqu0}L8 xL2t À }D ´5yi₄ x Hu0}L2 x “ }Hu0}L2 x “ }u0}L2x. (1.28)

Por sua vez, para z “ 1 ` iy temos

T1`iy “ D ´1`iy₄ x D´iy_x “ D ´1₄ x U ptqD ´5yi₄ x u0. Usando a Proposição 1.2.2, }T1`iy}L4 xL8t “ }D ´1₄ x U ptqD ´5yi₄ x u0}L4 xL8t À }D ´5yi₄ x u0}L2 x “ }u0}L2x. (1.29)

Aplicando o Teorema de interpolação de Stein concluímos que para qualquer

θ P r0, 1s }Tθu0}Lpθx Lqθt À }u0}L 2 x, (1.30) onde 1 pθ “ θ 4 e 1 qθ “ 1 2´ θ 2.

Vamos provar que para p “ pθ, q “ qθ, as condições (1.26) são satisfeitas. De fato, 1 p ` 1 2q “ θ 4` 1 ´ θ 4 “ 1 4. Por fim, fazendo α “ 1 ´ θ ´ θ

4 “ 1 ´ 5θ 4, resulta α :“ 1 ´ θ ´ θ 4 “ 2 q ´ 1 p e 0 ď θ ď 1 ô 0 ď 5θ 4 ď 5 4 ô 1 ´ 5 4 ď 1 ´ 5θ 4 ď 1 ô ´ 1 4 ď α ď 1. l

Teorema 1.2.4. Sejam 0 ă α ă 1 e p, p1, p2, q, q2 P p1, 8q e q1 P p1, 8s com 1 p “ 1 p1 ` 1 p2 e 1 q “ 1 q1 ` 1 q2 . Então, i) ||Dαxpf gq ´ f D α xg ´ gD α xf ||LpxLqT À ||g||Lp1x Lq1T ||D α xf ||Lp2x Lq2T . (1.31) O mesmo vale se p “ 1 e q “ 2. ii) ||DxαF pf q||LpxLqT À ||F 1 pf q||_Lp1 x Lq1T ||D α xf ||Lp2x Lq2T . (1.32)

Demonstração. Veja Lema A.6, Teorema A.8 e Teorema A.13 em [8]. l

Proposição 1.2.5. Para qualquer α P R vale a seguinte identidade

Dα_tU ptqu0 “ Dx3αU ptqu0. (1.33) Demonstração. Fazendo a mudança de variável ξ “ η13, obtemos

D_tαU ptqu0 “ Dαt ż R eiptξ3`xξq p u0pξqdξ “ Dtα ż R „ eixη 1 3 p u0pη 1 3_q 1 3η23  eiηtdη “ Dα_t „ eixη 1 3 p u0pη 1 3_q 1 3η23 _ ptq “ " |η|α „ eixη 1 3 p u0pη 1 3_q 1 3η23 *_ ptq “ ż R |η|αeixη 1 3 p u0pη 1 3_q 1 3η23 eiηtdη,

e agora voltando para a variável η “ ξ3,

D_tαU ptqu0 “ ż R eiptξ3`xξq |ξ|3αup0pξqdξ “ ż R eiptξ3`xξq_`D3α x u0 ˘^ pξqdξ “ D3αx U ptqu0. l

1.3

Espaços de Bourgain X

.

Dados s, b P R, o espaço de Bourgain Xs,b é definido como o completamento do

espaço de Schwartz SpRq na norma }u}Xs,b “ ˆij hξi2sDτ ´ ξ3E2b|upξ, τ q|r 2_dξdτ ˙1₂ . (1.34)

Seja o intervalo δ “ r´T, T s, denotamos por Xs,bδ a restrição de Xs,b sobre R ˆ δ com a

norma

}u}Xδ

x,b “ inft}U }Xs,b : U |tPδ“ uu. (1.35)

Este espaço foi introduzido pela primeira vez por Bourgain [5] ao provar que o

PVI associado à equação KdV é globalmente bem posto em L2pTq.

A seguinte proposição apresenta algumas propriedades dos espaços de Bourgain.

Proposição 1.3.1. Seja s P R.

a) Seja b P R. Se s1

ď s e b1 ď b, então

Xs1_,b1 Ď X_s,b. (1.36)

b) Seja b ą 1

2 e Y um espaço de Banach de funções sobre R ˆ R. Se o grupo unitário

associado à (1.3) satisfaz a propriedade }eitτ0_{U ptqf }}

Y À }f }Hs x

para qualquer f P HxspRq e t P R, então

}u}Y Àb }u}Xs,b. (1.37)

c) Se b ą 1

2, então

}u}C0

tHxs Àb }u}Xs,b. (1.38)

Demonstração. Veja o Lema 2.9 e o Corolário 2.10 em [36]. l

Corolário 1.3.2. Para toda u P X1 2`, 1 2`, temos }u}L8 x,t À }u}X1 2`, 12` . (1.39)

Demonstração. Segue da Imersão de Sobolev e de (1.38). l Os espaços X_0,1

Lema 1.3.3. Seja ψ1, ψ2 P X0,1₂` funções suportadas sobre as frequências espaciais |ξi| „ Ni, i “ 1, 2. Se maxt|ξ1|, |ξ2|u À mint|ξ1 ´ ξ2|, |ξ1 ` ξ2|u para todo ξi P suppp pψiq,

i “ 1, 2, então

}ψ1Dx1ψ2}L2

x,t À }ψ1}X0, 1₂`}ψ2}X0, 1<sub>2</sub>`. (1.40) Demonstração. Veja Lema 2.1 em [21] ou Lema 2.3 em [20] ou Lema 5.1 e Corolário 5.2

em [37]. l

No Lema 1.3.3a notação A „ B denota que existem constantes C1 e C2 tais que C1A ď B ď C2A.

1.4

Resultados pré-existentes

Nesta seção apresentamos alguns resultados existentes na literatura à res-peito dos problemas abordado na tese e da teoria usada para resolvê-los. Futuramente, destacaremos as diferenças entre eles e os resultados obtidos.

Na segunda parte da tese onde fazemos o estudo da boa colocação para o PVI (4) usamos uma importante ferramenta da teoria variacional, a qual é apresentada abaixo.

Teorema 1.4.1 (Passo da Montanha). Sejam Y um espaço de Hilbert e ϕ P C2pY, Rq. Se

existe ˜u P Y e r ą 0 tal que }˜u}Y ą r e

σ “ inf

}u}Y“r

ϕpuq ą ϕp0q ě ϕp˜uq então existe unP Y tal que

piq ϕpunq Ñ ω. (1.41)

piiq ϕ1punq Ñ 0 fortemente em Y1 (1.42)

onde ω “ inf

γPΓtPr0,1smaxϕpγptqq e

Γ “ tγ P Cpr0, 1s, Y q : γp0q “ 0 e ϕpγp1qq ă 0u.

Demonstração. Como na demonstração do Lema 4.1 em [34], aplique os Teoremas 2.8 e 2.9 também em [34] para M0 :“ t0, 1u, M “ r0, 1s e Γ0 :“ tγ0 P t0, 1u Ñ Y : γ0p0q “

0 e ϕpγ0p1qq ă 0u. l

Definição 1.4.2. Uma sequência satisfazendo as condições (1.41) e (1.42) é chamada

uma sequência de Palais-Smale no nível ω do operador ϕ e denotamos pP Sqω.

O próximo Teorema descreve as sequências limitadas em H1_pRq.

Teorema 1.4.3 (Concentração de compacidade). Seja punq uma sequência limitada em

(1) punq converge a zero em LqpRq para qualquer 2 ă q ă 8.

(2) Existe uma subsequência punjq e uma sequência pajq Ă R tal que

vjpxq :“ unjpx ` ajq

converge fracamente em H1pRq para uma função v ‰ 0. Além disso, vj converge a v

q.t.p e em Lq_locpRq para qualquer q ă 8.

Demonstração. Veja o Teorema 3.3 em [38]. l

Os dois resultados seguintes fornecem limitação superior e inferior para as normas dos espaços Lp.

Proposição 1.4.4. Se 0 ă p ă 8, então

}f }p_Lp “ p

ż`8

0

λp´1|tx P Rn : |f pxq| ą λu|dλ,

onde | | denota a medida de um conjunto.

Demonstração. Veja [39], Proposição 6.24. l

Teorema 1.4.5 (Desigualdade de Faber Krahn). Seja u P H1pRnq satisfazendo 0 ă |tx P Rn : upxq ‰ 0u| ă 8.

Então existe C ą 0 tal que

}u}2L2_pRn_q ď C|tx P Rn : upxq ‰ 0u|

2

n_}∇u}2

L2_pRn_q. (1.43)

Demonstração. Veja [38], Corolário 2.4. l

Proposição 1.4.6 (Desigualdade de Chebyshev). Se 0 ă p ă 8, então

}f }p_Lp_pRqě λp|tx P R : |f pxq| ą λu|.

Demonstração. Veja [39] , Teorema 6.17. l

A seguinte desigualdade refere-se a imersão do espaço de Sobolev nos espaços da funções limitadas.

Teorema 1.4.7 (Desigualdade de Sobolev). Seja f P H1pRq. Então f é limitada e satisfaz }f }2_L8 ď }f1}L2}f }_L2. (1.44)

Demonstração. Veja a demonstração do Teorema 8.5 (mais precisamente a desigualdade

(6)) em [40]. l

O lema abaixo é bastante usado na literatura para garantir a limitação uniforme no tempo de normas de soluções locais, o que resulta em existência global de soluções.

Lema 1.4.8. Seja I Ă R um intervalo aberto contendo t0. Seja m ą 1, B ą 0 e A

constantes reais. Defina γ “ pBmq´m´11 _{e f prq “ A ´ r ` Br}m _{para r ě 0. Seja Gptq uma}

função contínua não negativa sobre I. Assuma que A ă

ˆ 1 ´ 1

m

˙

γ e f ˝ G ě 0. i) Se Gp0q ă γ, então Gptq ă γ, para qualquer t P I.

ii) Se Gp0q ą γ, então Gptq ą γ, para qualquer t P I.

Demonstração. Veja Lema 3.1 em [32]. l

O resultado seguinte trata sobre a existência de soluções locais para o PVI (1).

Teorema 1.4.9. Seja k ě 4 e s ě sk “

1 2 ´

2

k. Então para qualquer u0 P H

s

pRq, existe

T “ T p}u0}Hsq ą 0 (com T pρq ÝÑ 8 quando ρ ÝÑ 0q e uma única solução forte up¨q do

PVI (1) satisfazendo u P Cpr0, T s : HspRqq ă 8, (1.45) }u}L5 xL10T ` }D s xu}L5 xL10T ă 8, (1.46) }ux}L8 xL2T ` }D s xux}L8 xL2T ă 8 (1.47) e }Dγk t DxαkD βk t u}Lpkx Lqk_T ă 8 (1.48) onde αk “ 1 10 ´ 2 5k , βk “ 3 10 ´ 6 5k , γk “ s ´ sk 3 (1.49) 1 pk “ 2 5k ` 1 10 , 1 qk “ 3 10´ 4 5k. (1.50)

Além disso, dado T1

P p0, T q existe uma vizinhaça V de u0 em HspRq tal que a aplicação

u0 ÞÑ uptq de V sobre a classe (1.45) - (1.48) com T1 no lugar de T é suave.

Demonstração. Veja Teorema 1.1 em [23]. Os autores aplicam o Teorema do ponto fixo para a equanção integral (1.6). Para obter as estimativas necessárias, associam as Proposições 1.2.1 e 1.2.3 e o Teorema 1.2.4 à argumentos de interpolação. l O Teorema 1.4.9 garante a existência de soluções globais no tempo quando a norma do dado inicial em HspRq é suficientemente pequena. Farah, Linares e Pastor

em [23] mostraram condições suficientes sobre o dado inicial para que se tenha soluções globais. Para tanto, os mesmos fizeram uso de desigualdade de Gagliardo-Nirenbeg sharp. Esses dois resultados são enunciados a seguir.

Teorema 1.4.10. Seja k ą 0. Então a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg

}u}k`2<sub>L</sub>k`2 x pRq ď K k`2 opt }∇u} k 2 L2 xpRq}u} 2`k₂ L2 xpRq, (1.51)

é verdadeira e a constante sharp Kopt é dada explicitamente por

K_optk`2 “ 2pk ` 2qpk ` 4q k´4 4 pkqk4_}Q}k L2 x , (1.52)

onde Q é a única solução não negativa, radialmente simétrica e decrescente da equação

∆Q ´ Q ` Qk`1 “ 0. (1.53)

Demonstração. Veja [41]. l

Teorema 1.4.11. Seja u0 P H1pRq. Seja k ą 4 e sk “

k ´ 4

2k . Suponha que

Epu0qskM pu0q1´sk ă EpQqskM pQqsk´1 , Epu0q ě 0. (1.54)

Se }Bxu0}sLk2 x}u0} 1´sk L2 x ă }BxQ} sk L2 x}Q} 1´sk L2 x , (1.55)

então para qualquer t onde a solução de (1) existe }Bxuptq}s_Lk2 x}u0} 1´sk L2 x “ }Bxuptq} sk L2 x}uptq} 1´sk L2 x ă }BxQ} sk L2 x}Q} 1´sk L2 x , (1.56)

onde Q é como no Teorema 1.4.10. Isto por sua vez implica que a solução u existe globalmente no tempo em H1pRq.

Demonstração. Veja Teorema 1.4 em [23]. l

Observação 1.4.12. No Teorema (1.4.11) M e E denotam a massa a energia para o

PVI (1) definidos em (2) e (3) respectivamente.

Se tomamos f “ uk`1vke g “ vk`1ukem (4), então temos os seguinte resultado de boa colocação.

Teorema 1.4.13. Seja k ě 2 e s ě 1. Então para qualquer pu0, v0q P HspRq ˆ HspRq

existe T “ T p}pu0, v0q}sq ą 0 e uma única solução forte pu, vq para o PVI (4) satisfazendo

pu, vq P Cpr0, T s; HspRq ˆ HspRqq, }pu, vq}L2 xL8TˆL2xL8T ă 8, }pux, vxq}L4 TL8xˆL4TL8x ă 8, }D_xspux, vxq}L8 xL2TˆL8xL2T ă 8. (1.57)

Além disso, para qualquer T0 P p0, T q existe uma vizinhança V0 de pu0, v0q P HspRqˆHspRq

tal que a aplicação pu0, v0q ÝÑ puptq, vptqq de V0 sobre a classe definida por (1.57) é

Lipschitz.

Demonstração. Veja Teorema 3.1 em [28]. Os autores aplicam o Teorema do ponto fixo à equação integral vetorial (1.7). Entre outras ferramentas, usam as Proposições 1.2.1,

2 Equação de KdV generalizada e

quantida-des quase conservadas

O principal objetivo deste capítulo é estabelecer a propriedade de quase conser-vação para a segunda geração de energia modificada associada ao PVI

$ & % Btu ` Bx3u ´ Bxpuk`1q “ 0, x P R, t ą 0, upx, 0q “ u0pxq P HspRq, (2.1)

com k ą 4 par e dado inicial de baixa regularidade.

Como foi apresentado na introdução, a existência de solução local é dada pelo Teorema1.4.9 para dado inicial em Hs, s ě sk. Segue da lei de conservação da energia (3)

que para qualquer t onde a solução local do PVI (2.1) exista, vale a seguinte estimativa

}Bxuptq}2L2 x “ 2Epuptqq ´ 1 k ` 2 ż uk`2ptqdx À 2Epu0q,

pois estamos coinsiderando k um número natural par. Deste modo, temos existência de soluções globais no espaço de energia H1_pRq.

Para obter resultados de boa colocação global para dado inicial com regularidade abaixo de H1_{pRq, Farah, Linares e Pastor em [}23] usaram o método-I desenvolvido por Colliander, Keel, Staffilani, Takaoka e Tao em [42]. O método usa a teoria de multiplicadores de Fourier para introduzir o operador I definido abaixo.

Definição 2.0.1 (Multiplicador de Fourier I). Seja N " 1 e s ă s0 P R fixados. O

operador multiplicador de Fourier denotado por Is0

N é definido pelo multiplicador

ms0 Npξq “ $ ’ & ’ % 1, |ξ| ď N, ˆ N |ξ| ˙s0´s , |ξ| ą 2N. (2.2) com ms0

N suave e monótona. Ou seja,

{

Is0

Nupξq “ m s0

Npξqpupξq. (2.3)

Para simplificar a notação, quando não houver risco de confusão usaremos apenas I e m ou Is0 _{e m}s0_.

Tais multiplicadores apresentam uma importante propriedade, dada pela pro-posição a seguir.

Proposição 2.0.2. Seja s0 ą s. O operador Is0 aplica HspRq sobre Hs0pRq com normas

equivalentes. Mais precisamente, existe uma constante positiva C tal que

}u}Hs ď C}Iu}_Hs0 ď Ns0´s}u}_Hs. (2.4)

Além disso, para s1, b1 P R quaisquer, a apicação Is0 _{pode ser estendida para uma aplicação}

de Xs1_,b sobre X_s1_`s

0´s,b1 a qual satisfaz

}u}X_s1,b1 ď C}Iu}X_s1`s0´s,b1 ď Ns0´s}u}X_s1,b1. (2.5)

A demonstração desta proposição segue imediatamente da definição da norma em Xs,b e do multiplicador ms0.

O método I consiste no estudo do problema variante $ & % Iut` Iuxxx` µBxpIpuk`1qq “ 0, x P R , t ą 0, Iupx, 0q “ Iu0 P Hxs0pRq. (2.6)

Provada a existência de soluções globais para o PVI (2.6) em Hs0_{, usamos a injetividade}

do operador I para obter soluções globais em HspRq para s ă s0.

Para a equação gKdV supercrítica tomamos s0 “ 1 dado que existem soluções globais para o PVI (2.1) em H1_{pRq, o que nos leva a conjecturar que possam existir} soluções globais para (2.6) neste espaço.

Entretanto provar a boa colocação global de (2.6) em H1pRq não é um processo direto, uma vez que a energia modificada EpIuptqq não é uma quantidade conservada. Neste sentido, Colliander, Keel, Staffilani, Takaoka e Tao em [42] introduziram uma nova noção para tal quantidade a qual é definida a seguir.

Definição 2.0.3 (Quantidade quase conservada). Dizemos que uma quantidade F é quase

conservada se existe δ ą 0 e N suficientemente grande tal que |Fptq ´ Fp0q| À N´δ_C 0 para

alguma constante positiva C0.

Em [23], os autores provam que a primeira energia modificada associada ao PVI (1) é quase conservada (veja a Proposição 5.3 em [23]). Mais precisamente, provaram o seguinte resultado.

Teorema 2.0.4 (Propriedade de quase conservação). Seja a quantidade E_I1puptqq :“

EpIuptqq com E definido em (3), s ą 1

2, N " 1 e u P H

s

pRq a solução de (1) sobre rT , T ` δs tal que Iu P H1pRq. Então vale a seguinte estimativa

|EI1pupT ` δqq ´ E 1 IpupT qq| À N´2` ˆ }Iu}k`2<sub>X</sub>δ 1, 1<sub>2</sub>` ` }Iu}k`2_Xδ 1, 1₂` ˙ .

Os autores em [23] ainda provaram que com o decaimento de ordem N´2` para a primeira energia modificada e o argumento de iteração de soluções reescalonadas o PVI (2.1) é globalmente bem posto em Hs_{pRq, para s ą} 3

5` 2

5sk. Mais ainda, os autores observaram que o decaimento da primeira energia modificada e o índice de Sobolev para os quais a boa colocação global existe estão relacionados. Mais especificamente, (veja Observação 5.4 em [23]) se o decaimento for da ordem N´α_{, α ą 0, o índice de boa} colocação global será de s ą 3 ` αsk

3 ` α .

Inspirados pela dinâmica do processo que ocorre no caso da equação de KdV, para obter melhores índices de decaimento para a energia modificada e consequentemente melhores índices para os espaços de Sobolev onde existe solução global somos levados a tentar introduzir a segunda geração da energia modificada. Todavia, no caso da equação gKdV aparece uma singularidade no multiplicador de Fourier associado ao termo de correção da primeira energia modificada, como veremos com maiores detalhes nas próximas seções.

Recentemente em [20], para a equação de KdV crítica este problema de singu-laridade na segunda geração da energia foi superada dividindo o multiplicador que surge na derivada da primeira energia modificada em termo ressonante e termo não ressonante. Os autores em [20] obtiveram uma estimativa de decaimento da ordem de N´7₂` _para segunda energia modificada e provaram o boa colocação global para o PVI (2.1) com k “ 4 e s ą 6

13.

Neste capítulo estenderemos a ideia apresentada em [20] para definir a segunda energia modificada sem singularidades no caso da gKdV supercrítica e apresentaremos um índice de decaimento da ordem de N´7₂` _{que coincide com o caso crítico. A seguir} descrevemos como faremos isso.

Primeiro apresentaremos o método-I introduzido em [10, 12] e estendemos o método usado em [20] para definir a segunda energia modificada sem problemas de singularidade. Posteriormente aplicamos esse método ao PVI (2.1).

Definimos um subconjunto Ω apropriado à gKdV supercrítica para o qual a segunda energia modificada é definida sobre espaços sem singularidades, superando a dificuldade encontrada por Farah, Linares e Pastor em [23].

Além disso, provamos que a segunda energia modificada é uma quantidade

quase conservada com decaimento N´7₂`_{. Mais precisamente, obtemos o seguinte resultado.} Teorema 2.0.5. Seja E_I2puptqq a segunda energia modificada associada à equação gKdV

supercrítica, s ą 1

2, N " 1 e u P H

s

pRq a solução de (1) sobre r0, T s tal que Iu P Cpr0, T s :

H1pRqq. Então para qualquer t P r0, T s vale a seguinte estimativa. |EI2puptqq ´ EI2pup0qq| À N´ 7 2`<sub>p}Iu}</sub>k`2 XT 1, 1₂` ` }Iu}2k`2<sub>X</sub>T 1, 1<sub>2</sub>` q.

Em outras palavras, a segunda energia modificada associada a equação gKdV supercrítica é quase conservada.

2.1

O método-I

Nesta seção faremos um breve resumo a respeito do desenvolvimento do

método-I o qual é usado para obter melhores resultados de boa colocação global para várias equações

de tipo dispersivo com dado inicial de baixa regularidade.

Além de apresentar o método-I estenderemos o método desenvolvido em [20] dividindo o multiplicador de Fourier que surge na segunda energia modificada em duas partes: a parte ressonante a qual contém apenas termos de baixa frequência e a parte não ressonante que contém o resto. Definimos deste modo o termo de correção da primeira energia modificada apenas sobre a parte não ressonante, eliminando as singularidades que possam existir em sua definição.

As quantidades quase conservadas são motivadas pela seguinte discussão à respeito das quantidades conservadas das soluções da equação gKdV. Considere a trans-formada de Fourier de funções suaves e suas propriedades, o Teorema de Plancharel nos fornece a seguinte identidade

}uptq}2_L2 x “ ż p upξqupξqdξ “p ż p upξqpup´ξqdξ “ ż ξ1`ξ2“0 p upξ1qpupξ2qdξ1. Desde que u é uma função a valores reais, resulta

}uptq}2L2 x “ ż ξ1`ξ2“0 p upξ1qpupξ2q dξ1. Se tomamos rG2pξ1, ξ2q ” 1, podemos reescrever

}uptq}2L2 x “ ż ξ1`ξ2“0 r G2pξ1, ξ2q 2 ź j“1 p upξjq dξ1. De modo análogo, fazendo Gk`2pξ1, ¨ ¨ ¨ , ξk`2q ”

1 k ` 2, }uptq}k`2_Lk`2 x “ pk ` 2q ż ξ1`¨¨¨`ξk`2“0 Gk`2pξ1, ¨ ¨ ¨ , ξk`2q k`2 ź j“1 p upξjqdξ1¨ ¨ ¨ dξk`1.

Por sua vez, }ux}2L2 x “ ż ξpupξqξupξqdξ “ ´p ż ξupξqp´ξqp up´ξqdξ “ ´p ż ξ1`ξ2“0 ξ1ξ2upξp 1qpupξ2qdξ1. Agora tomando G2pξ1, ξ2q “ ´ 1 2ξ1ξ2, temos }ux}2L2 x “ 2 ż ξ1`ξ2“0 G2pξ1, ξ2q 2 ź j“1 p upξjq dξ1.

De maneira geral, para ` ě 2 definimos o hiperplano Γ` :“ tpξ1, ¨ ¨ ¨ , ξ`q : ξ1` ¨ ¨ ¨ ` ξ`“ 0u (2.7) e a quantidade Λ`pG`q :“ ż Γ` G`pξ1, ¨ ¨ ¨ , ξ`q ` ź j“1 p upξj, tq dξ1¨ ¨ ¨ ξ`´1. (2.8)

Deste modo, a massa e a energia dados por (2) e (3) respectivamente, podem ser reescritos como

M puptqq “ Λ2p rG2q (2.9) e

Epuptqq “ Λ2pG2q ` Λk`2pGk`2q. (2.10)

Adotaremos em nosso estudo um tipo de função especial a qual definimos abaixo.

Definição 2.1.1. Um `-multiplicador é uma função g : R` ÝÑ C. Um `-multiplicador

g é dito simétrico se gpξ1, ξ2, ¨ ¨ ¨ , ξ`q “ gpσpξ1, ξ2, ¨ ¨ ¨ , ξ`qq para todo σ P S`, o grupo das

permutação das coordenadas ξj. A simetrização de um multiplicador g é o multiplicador

rgs_sympξ1, ξ2, ¨ ¨ ¨ , ξ`q “ 1 `! ÿ σPS` gpσpξ1, ξ2, ¨ ¨ ¨ , ξ`qq. (2.11)

Estamos interessados em `-multiplicadores reais que possuem o hiperplano Γ`

definido em (2.7) como domínio. Em particular, existem os operadores multiplicadores de Fourier.

Definição 2.1.2. Um operador multiplicador de Fourier G é definido via transformada

de Fourier por

F pGf qpξq “ xGf pξq “ gpξq pf pξq. (2.12)

onde g é um multiplicador.

Tais operadores geram formas multilineares como a dada por (2.8).

Definição 2.1.3. Um multiplicador g<sub>`</sub> :“ g`pξ1, ¨ ¨ ¨ , ξ`q define um funcional (ou forma)

`-linear Λ` agindo sobre ` funções u1, ¨ ¨ ¨ , u`,

Λ`pg`, u1, ¨ ¨ ¨ , u`q “

ż

Γ`

Quando não houver risco de confusão e uj “ u para j “ 1, ¨ ¨ ¨ , `, simplificaremos

a notação por Λ`pgq. Para uma teoria mais geral à respeito de operadores multilineares

consulte [43].

Tao em [44] explorou os operadores multiplicadores de Fourier e os funcionais

`-lineares para obter estimativas bilineares sharp para as equações de KdV, da onda e de

Schrödinger nos espaços de Bourgain.

Uma vez definida uma forma `-linear (2.13), necessitamos saber calcular suas derivadas ao longo do tempo. A seguinte proposição fornece uma fórmula para esse cálculo.

Proposição 2.1.4 (Fórmula de Diferenciação). Suponha que u satisfaz a gKdV

ut` Bx3u ` µBxpuk`1q “ 0. (2.14)

Seja g` um multiplicador simétrico e Λ` o funcional `-linear definido em (2.13) associado.

Então d dtΛ`pg`q “ Λ`pg`π`q ´ iµ`Λ``kpg`pξ1, ¨ ¨ ¨ , ξ`´1, ξ`qξ`q (2.15) onde ξ` “ ξ`` ¨ ¨ ¨ ` ξ``k e π` “ ipξ13` ¨ ¨ ¨ ` ξ 3 `q.

Demonstração. Veja Proposição 2.12 em [23]. l No que segue apresentaremos de um modo geral o método usado em [20] para obter as energias modificadas com termos de correção bem definidos.

2.1.1

Energias modificadas e Quantidades quase conservadas

Introduziremos agora a teoria de energia modificada e quantidades quase conservadas. A partir de agora denotaremos I “ Is0_{. Iniciamos escolhendo uma quantidade}

conservada apropriada podendo ser escolhida entre a massa ou a energia.

Como observamos em (2.10), a quantidade conservada Epuptqq da equação (2.14) pode ser reescrita como

Epuptqq “ Λ2pG2q ` Λk`2pGk`2q.

Para sermos mais gerais consideraremos a energia como quantidade conservada, pois o caso da massa se reduz a este tomando Mk`2 “ 0.

Com esta motivação, definimos a primeira energia modificada por

E_I1ptq :“ EpIuptqq “ Λ2pM2q ` Λk`2pMk`2q, (2.16)