Modelo de otimização por fluxo de tempo de interrupção para o planejamento de alocações de chaves em sistemas de distribuição de energia elétrica

(1)

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

GRACIELLE HELENO DA SILVA CARVALHO

MODELO DE OTIMIZAC

¸ ˜

AO POR FLUXO DE TEMPO DE

INTERRUPC

¸ ˜

AO PARA O PLANEJAMENTO DE

ALOCAC

¸ ˜

OES DE CHAVES EM SISTEMAS DE

DISTRIBUIC

¸ ˜

AO DE ENERGIA EL´

ETRICA.

Campinas-SP 2015

(2)

(3)

(4)

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.

Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Carvalho, Gracielle Heleno da Silva,

C253m CarModelo de otimização por fluxo de tempo de interrupção para o

planejamento de alocações de chaves em sistemas de distribuição de energia elétrica / Gracielle Heleno da Silva Carvalho. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

CarOrientador: Celso Cavellucci. CarCoorientador: Fábio Luiz Usberti.

CarDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Car1. Energia elétrica Distribuição. 2. Sistemas de energia elétrica -Distribuidor de cargas. 3. Geração distribuída de energia elétrica. 4. Redes elétricas - Planejamento. I. Cavellucci, Celso,1951-. II. Usberti, Fábio Luiz,1982-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Optimization model based on interruption time flows for the

planning of switch allocations in power distribution systems

Palavras-chave em inglês:

Electric power distribution

Electric power systems - Load dispatching Distributed generation of electric power Electric networks - Planning

Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Mestra em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora:

Celso Cavellucci [Orientador] Christiano Lyra Filho Marcos Francisco Borges

Data de defesa: 30-09-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional

(5)

(6)

(7)

a todos que acreditam no conhecimento como forma de mudar o mundo e principalmente a si mesmo.

(8)

(9)

Em todos os momentos de nossa vida devemos agradecer os obst´aculos ultrapassados, as vit´orias alcan¸cadas e a vida que Deus nos concedeu. Assim, agrade¸co:

Pelo privilégio de estar viva e com saúde para realizar meus sonhos a Deus Todo Poderoso, que sempre me fortalece guiando meus passos rumo ao futuro estimado, fazendo-me alcan¸car a tão sonhada vitória, me dando for¸cas e iluminando meu caminho para que pudesse concluir mais uma etapa da minha vida.

A minha fam´ılia amada, base de todo meu aprendizado, do amor verdadeiro, do carinho e da coragem nas horas em que pensamos que os sonhos são imposs´ıveis. Mãe, seu amor, cuidado e dedica¸cão me tornou a mulher que sou hoje, seu apoio me faz acreditar que nada é imposs´ıvel. Tão amiga e dedicada sempre ficou ao meu lado, não deixando que eu desistisse e me mostrando que sou capaz de chegar onde desejo. Pai, sua presen¸ca significa seguran¸ca e certeza de que não estou sozinha nessa caminhada, todo amor e dedica¸cão que sempre teve comigo, torna o senhor o homem pelo qual tenho o maior orgulho de chamar de pai. A Daniella minha irmã amada, com você descobri os melhores sentimentos do ser humano, você é meu espelho, minha alegria e meu xodó. Aos meus avós João Heleno e Maria Aparecida, por estar sempre torcendo e rezando para que meus objetivos sejam alcan¸cados, vocês são os exemplos mais perfeitos de honestidade e trabalho digno.

O come¸co dessa jornada foi com um professor cheio de amor pelo que faz, encorajando a todos a lutarem pelos seus sonhos e mostrando que sim, somos capazes. Muito obrigada prof. Dr. Cristiano Torezzan pelo incentivo, pela coragem e motiva¸c˜ao transmitida, sem sua ajuda essa luta n˜ao seria poss´ıvel.

Aos professores Dr. Marcos Borges e Drª. Ivete Cevallos por acreditarem em mim, não foi simplesmente uma carta de indica¸cão, mas a preocupa¸cão com a continuidade de meus estudos, me ajudando além do poss´ıvel para a realiza¸cão desse ideal.

Ao meu orientador Dr. Celso Cavellucci e coorientador Dr. F´abio Luiz Usberti pela confian¸ca, carinho e amizade que constru´ımos, meu eterno agradecimento por todos os momentos em que vocˆes estiveram ao meu lado. E aos demais professores do curso, por todo conhecimento transmitido e acima de tudo pela amizade constru´ıda.

Ao Luiz Gustavo pelo incentivo e for¸ca no in´ıcio dessa caminhada. As pessoas que fizeram essa jornada prazerosa, Nélida, Nazime, Marco, Thiago, Fernando, Fabiano e a todos da turma. Ao meu querido namorado Paulo V´ıctor, por todos os momentos de dificuldade que passamos, as incansáveis horas de estudo, a preocupa¸cão um com o outro, agrade¸co a Deus por ter te colocado na minha vida.

As minhas amigas do cora¸cão Fabiana e Daiane por entender minha ausência e me ajudar a vencer os obstáculos durante esses anos. Vocês são importantes demais pra mim, fazem parte da minha fam´ılia. Agrade¸co também o amor da minha princesa Isabella, que me enche de carinho e mimos em todos os momentos, seu sorriso faz sua Dinda se derreter de tanto amor. Enfim, meu sincero obrigado a todos.

(10)

(11)

A energia elétrica que é produzida e entregue aos consumidores ocorre por meio de um sistema composto por usinas de gera¸cão, redes de transmissão e distribui¸cão. Com rela¸cão a distribui¸cão, uma das preocupa¸cões das companhias de energia tem sido a redu¸cão do tempo para reenergizar a rede decorrente das interrup¸cões em virtude de uma falha no sistema. Neste sentido, a instala¸cão de chaves seccionadoras normalmente fechadas (NF) é importante, haja vista que a viola¸cão dos limites estabelecidos podem resultar em multas para a distribuidora. Esta pesquisa apresenta inicialmente o Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC). Em seguida, apresenta-se as defini¸cões necessárias para um novo modelo PAC por Fluxo de Tempo de Interrup¸cão (FTI) em sistemas radiais de distribui¸cão de energia elétrica. Experimentos computacionais foram realizados utilizando o PAC por FTI com cinco redes da literatura e com cinco redes reais. Apresenta-se também o modelo matemático para o Problema de Planejamento em Instala¸cão de Chaves (PIC), supondo que uma concessionária deseja realocar chaves existentes na rede em um horizonte de cinco anos, sendo que apenas uma fra¸cão das chaves podem ser realocadas por ano de planejamento. Com o uso destes modelos, é poss´ıvel definir os locais ótimos para instala¸cão de chaves na rede, sendo aplicados em cenários realistas, representando uma ferramenta na tomada de decisão, ambos com o objetivo de melhorar a confiabilidade do sistema.

(12)

(13)

The electrical power that is produced and delivered to customers occurs by means of generating plants, transmission and distribution networks systems. Regarding distribu-tion, one of the concerns the energy companies have is reducing the time to re-energize the network resulting from interruptions due to a system failure. In this sense, the installation switches of Normally Closed (NC) is important, given that the violation of established limits can result in fines for the distributor. This research presents initially the energy flow model for the stwitch allocation Problem (PAC). In addition a new PAC model is introduced based on, Interruption Time Flow (FTI) for radial systems of electricity distri-bution. Computational experiments were performed using the PAC model for FTI with five networks from literature and with five real networks. We report also the mathemati-cal model for the Planning Problems in Key Setup (PIC), assuming that an utility wants to relocate existing switches in the network in a five years period, with only a fraction of the keys may be relocated year of planning. With these models, it can set the opti-mum locations for installing switches in the network. It is applied in realistic settings, representing a tool in decision making, both with the objective of improving the system reliability.

(14)

(15)

AG - Algoritmo gen´etico

AGM - Algoritmo gen´etico modificado AM - Algoritmo mem´etico

ANEEL - Agˆencia Nacional de Energia El´etrica

DEC - Dura¸cão equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora END - Energia não distribu´ıda

FC - Fator de Carga

FEC - Frequência equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora FTI - Fluxo de tempo de Interrup¸cão

NF - Normalmente fechada NA - Normalmente aberta OC - Otimiza¸c˜ao combinat´oria

PAC - Problema de aloca¸c˜ao de chaves

PIC - Problema de planejamento para instala¸c˜ao de chaves POM - Problema de otimiza¸c˜ao multiobjetivo

PRS - Problema de restaura¸c˜ao de servi¸co SE - Subesta¸c˜ao

(16)

(17)

1 INTRODUC¸ ˜AO. 19

2 O SISTEMA E A CONFIABILIDADE DA REDE DE ENERGIA

EL´ETRICA. 25

2.1 Descri¸cão do Sistema Elétrico. . . 25 2.2 Indicadores de Confiabilidade do Sistema de Distribui¸cão de Energia Elétrica. 29 3 DESCRIÇ ÃO E FORMULAÇ ÃO DO PROBLEMA DE ALOCAÇ ÃO

DE CHAVES. 39

3.1 Modelo Matemático para o Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC). . . . 39 3.2 Problema de Aloca¸cão de Chaves por Fluxo de Tempo de Interrup¸cão (FTI). 42 3.3 Exemplo Numérico. . . 48

4 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS PARA AVALIAR O

MO-DELO PAC POR FTI. 51

4.1 Experimentos Computacionais utilizando Redes da Literatura. . . 52 4.2 Experimentos Computacionais utilizando Redes Reais. . . 58 5 PROBLEMA DE PLANEJAMENTO PARA INSTALAC¸ ˜AO DE

CHA-VES (PIC). 65

5.1 Descri¸c˜ao e Modelo Matem´atico do PIC. . . 65 5.2 Experimentos Computacionais. . . 67

(18)

(19)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO.

A energia elétrica é a forma de energia mais utilizada pela sociedade do mundo contemporâneo. Equipamentos eletroeletrônicos, como computador, televisão, aparelhos de som, condicionadores de ar, aquecedores e diversos outros, são frutos dessa disse-mina¸cão. Desse modo, há a necessidade de distribuir a energia gerada nas usinas até os centros urbanos onde será consumida.

A confiabilidade no sistema de distribui¸cão é definida pela capacidade em executar as fun¸cões que foram designadas, respeitando condi¸cões operacionais estipuladas. Segundo Assis (2014), para que o sistema consiga atender sua demanda, todos os componentes entre os clientes e a subesta¸cão de energia devem estar operando normalmente, caso um componente da rede falhe, causará a redu¸cão dos indicadores de confiabilidade do sistema, que é avaliado por um conjunto de ´ındices:

FEC - frequência equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora; DEC - dura¸cão equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora; END - energia não distribu´ıda.

A decisão sobre a quantidade e a posi¸cão das chaves devem seguir critérios operacio-nais e econômicos, visando contribuir para a melhoria dos ´ındices que medem a confiabili-dade do sistema com o menor investimento poss´ıvel. O Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC) em rede de distribui¸cão operada radialmente pertence à fam´ılia de problemas de otimiza¸cão combinatória (OC).

Os estudos de otimiza¸cão da aloca¸cão de chaves são relativamente recentes. Celli et al (1999) apresentam um algoritmo de programa¸cão dinâmica para encontrar a solu¸cão ´

otima do problema de aloca¸cão de chaves seccionadoras automáticas em redes de dis-tribui¸cão radial e c´ıclica. Um pré-processamento procura diminuir o espa¸co de solu¸cões, considerando o benef´ıcio de se alocar uma única chave na rede em cada posi¸cão candidata. O algoritmo proposto é aplicado em estudos para aloca¸cão de 1, 2, 3 ou 4 chaves na rede. Os resultados obtidos reduziram o custo da energia não distribu´ıda em 40,51%.

(20)

Levitin et al (1995) propõem um procedimento de aloca¸cão ótima de chaves seccio-nadoras normalmente fechadas (NF) e chaves de manobra normalmente abertas (NA), visando minimizar a energia não distribu´ıda causada por falhas na rede e o investimento com a instala¸cão de chaves. Foram utilizadas duas redes de pequeno porte para avaliar o método proposto: uma radial e outra com ciclos. Os autores utilizam duas abordagens diferentes. Na primeira, são alocadas um número espec´ıfico de chaves seccionadoras (NF) quando as chaves de manobra (NA) já estão alocadas no sistema. Na segunda abordagem, ´

e realizada a aloca¸cão de uma quantidade fixa de chaves de manobra (NA) e seccionadoras (NF). O procedimento é sugerido para dois algoritmos genéticos: um padrão (AG) e um modificado (AGM). Comparando os dois algoritmos, o custo da energia não distribu´ıda é menor utilizando o AGM.

Assis (2014) propõe alocar chaves seccionadoras (NF) e de manobra (NA), manuais e automáticas, com diferentes capacidades, utilizando uma metodologia baseada nos concei-tos de algoritmo memético (AM) com uma popula¸cão estruturada. Apresenta um estudo multiobjetivo para o Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC), minimizando simultanea-mente os custos de instala¸cão das chaves e da energia não distribu´ıda (END), melhorando a confiabilidade da rede sob restri¸cões de fluxos de energia. A abordagem proposta para resolver o PAC monobjetivo também foi utilizada no PAC multiobjetivo, com o método ε-restrito, essa metodologia teve bom desempenho confirmado por diferentes estudos de casos com redes reais de grande porte localizadas no estado de São Paulo.

O Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC) tem um subproblema embutido que é denominado de problema de restaura¸cão de servi¸co (PRS). Esse problema consiste em escolher quais chaves devem ser abertas e fechadas, após a ocorrência de uma falha na rede, a fim de minimizar a região que ficou sem energia propondo uma metaheur´ıstica, baseada nos conceitos de algoritmos meméticos apoiados pelos fundamentos bem estabelecidos de algoritmos genéticos e procedimentos de otimiza¸cão de busca local.

São apresentados estudos de casos efetuados com o objetivo de avaliar a robustez da metodologia proposta para a solu¸cão do PAC, realizando também uma introdu¸cão sobre o problema de otimiza¸cão multiobjetivo (POM), acoplando-se a metodologia de otimiza¸cão ao método ε-restrito. Os resultados demonstraram que a metodologia é capaz de economizar recursos e manter n´ıveis desejados de confiabilidade com uma aloca¸cão de chaves adequada.

Segundo Cossi (2008), vários métodos têm sido empregados no estudo do planeja-mento otimizado de sistemas de distribui¸cão, sistemas primários, secundários ou de pla-nejamento. Técnicas anal´ıticas como Branch-and-Bound (B & B), modelos de transportes e decomposi¸cão de Benders, métodos heur´ısticos e as metaheur´ısticas como os algoritmos evolutivos, Tabu Search. Discutiremos alguns modelos e técnicas de solu¸cão propostas por pesquisadores da área para o problema de planejamento.

(21)

considerando duas fun¸cões de naturezas diferentes e conflitantes quando minimizadas: Os custos de expansão e opera¸cão da rede de distribui¸cão;

A energia não distribu´ıda relacionada com a confiabilidade da rede de distribui¸cão na ocorrência de falhas.

O modelo mostra que quanto menor for o custo da energia não distribu´ıda maior deve ser os investimentos na expansão da rede de distribui¸cão. O problema é de natureza multiobjetivo e a metodologia proposta é testada em um sistema de distribui¸cão fict´ıcio de médio porte. O algoritmo genético é baseado em um procedimento de ordena¸cão de pontos candidatos a serem pontos eficientes da popula¸cão na fronteira de Pareto, um procedimento de inferência baseado na teoria de conjuntos Fuzzy.

Segundo Cossi (2008), existem poucos trabalhos que tratam do problema de plane-jamento em projetos de redes secundárias de distribui¸cão, comparado a rede primária. Podemos citar nessa área o trabalho de Garcia et al (2003), que propõe um método (GRASP) Greed Randomized Adaptative Search Procedure, para resolver o problema de planejamento a curto e longo prazo de redes secundárias de distribui¸cão.

O modelo proposto visa reduzir os investimentos e as perdas, obedecendo as restri¸cões do problema, incluindo a capacidade de equipamentos, configura¸cão radial e limites de tensão. Com isso, encontra-se a localiza¸cão dos transformadores e o tra¸cado dos circuitos secundários e primários. Estes pesquisadores apresentam a decomposi¸cão do problema em três subproblemas que são:

A localiza¸c˜ao dos transformadores p1;

O roteamento da rede secund´aria p2;

O roteamento da rede prim´aria p3.

Os autores resolvem o problema de localiza¸cão e dimensionamento dos transforma-dores como um problema de p-medianas, o qual consiste em encontrar p transformatransforma-dores conectando cada carga ao transformador mais próximo e minimizando a soma dos mo-mentos elétricos.

A abordagem utilizada resolve p1 atrav´es de um problema de p-medianas, p2 atrav´es

do problema de caminho m´ınimo e p3 atrav´es do problema de ´arvore geradora m´ınima.

Realiza-se uma busca local, atuando na mudan¸ca de posi¸cão das medianas e recalculando o custo global. A rede estudada possui 124 nós e 132 arcos, utilizando exatamente os mesmos tipos de cabos e transformadores dispon´ıveis. Embora um pouco restritos, os estudos práticos mostraram a eficiência do método.

Silva (1990) apresenta uma nova proposta para o planejamento da expansão dos sis-temas de distribui¸cão de energia elétrica. Os problemas referentes à rede primária e

(22)

secundária são tratados de forma hierárquica. As alternativas de expansão das redes são delineadas através da resolu¸cão de modelos matemáticos baseados na teoria de otimiza¸cão de sistemas. O modelo da rede primária compreende simultaneamente os problemas de localizar e dimensionar as subesta¸cões e de rotear os alimentadores, pois, considerando-se os custos fixos das subesta¸cões e dos alimentadores novos, bem como de suas aplica¸cões. O custo variável das perdas é tratado de forma quadrática. Um eficiente algoritmo de enumera¸cão impl´ıcita é usado para resolver o problema. A radialidade da rede é obtida por meio de heur´ısticas que trabalham com o custo real. Para a rede secundária é proposta uma metodologia em três etapas sequenciais: na primeira localizam-se transformadores, depois se definem as rotas dos alimentadores secundários e, por fim, decide-se à inter-liga¸cão entre as redes primária e secundária. Essas etapas são resolvidas de forma otimi-zada através da solu¸cão dos clássicos problemas das p-medianas, de localiza¸cão quadrática e de Steiner, respectivamente.

Queiroz et al (2008), propõe uma metodologia de gera¸cão de redes secundárias de distribui¸cão de energia elétrica para ser utilizada em estudos de planejamento, dividida em três etapas:

Defini¸cão dos parâmetros necessários para a gera¸cão das cargas;

Compreensão da gera¸cão da rede elétrica, com a defini¸cão dos transformadores e condutores, utilizando modelo de otimiza¸cão para expansão de redes secundárias que permite gerar as redes de forma semelhante às redes reais;

Consolida¸c˜ao dos resultados das etapas anteriores.

Na etapa de gera¸cão das cargas, pretendem alcan¸car a maior semelhan¸ca com redes reais, optando-se por associar os consumidores gerados aos postes. A localiza¸cão dos postes seguem restri¸cões urban´ısticas, estando relacionados com as quadras, sendo que no modelo as quadras são retangulares. Os parâmetros que descrevem as quadras são: comprimento em metros, os lados das quadras e a localiza¸cão dos postes nas quadras.

Na segunda etapa é tratada a gera¸cão de energia elétrica definindo o tra¸cado da rede, quais condutores serão utilizados e a localiza¸cão dos transformadores de distribui¸cão. Foi adotado uma abordagem por otimiza¸cão combinatória, inspirada nos trabalhos de Car-neiro (1990) e Costa (2002), utilizando três subproblemas. Além dos dois problemas (1º formular um problema de p-medianas não capacitado; 2º formular um problema de cami-nhos m´ınimos), o planejamento define o tra¸cado e os condutores da rede primária, porém este subproblema foi simplificado utilizando um modelo de otimiza¸cão. Na formula¸cão do modelo inspirado em Costa (2002), a fun¸cão objetivo minimiza os custos fixos associados aos nós e os custos variáveis associados aos arcos.

A terceira etapa consolida os dados das duas primeiras etapas. Pode-se observar nos estudos de casos que o modelo possui vários parâmetros que podem ter interferência nos

(23)

resultados finais, a altera¸cão da demanda das cargas provoca mudan¸ca no perfil das redes geradas. Entre as contribui¸cões deste trabalho temos a unifica¸cão dos conceitos abordados pelos autores Carneiro e Costa.

Percebemos que a principal contribui¸cão do trabalho de Queiroz et al (2008) foi bus-car um novo objetivo: a gera¸cão de redes secundárias de distribui¸cão com topologias e caracter´ısticas diversas, observando os mesmos padrões encontrados em redes reais.

Os estudos citados neste cap´ıtulo referem-se a uma busca na literatura especializada de inúmeros trabalhos que abordam o problema de aloca¸cão de chaves (PAC) e o problema de planejamento para instala¸cão de chaves (PIC).

Nesta pesquisa são apresentados inicialmente dois modelos para o Problema de Aloca¸cão de Chaves (PAC). O primeiro é mostrado na pesquisa de Assis (2014), cuja solu¸cão deve fornecer as melhores posi¸cões para localiza¸cão de chaves nas redes de distri-bui¸cão de energia elétrica, bem como os tipos e capacidades das chaves a serem instaladas. Sua formula¸cão adota como objetivo a ser minimizado o custo da energia não distribu´ıda (END), com o custo da aloca¸cão das chaves propostas. O segundo apresenta a formula¸cão matemática para o PAC utilizando o conceito de Fluxo de Tempo de Interrup¸cão (FTI), cuja solu¸cão, deve fornecer a quantidade e as posi¸cões ótimas para instala¸cão das chaves seccionadoras nas redes de distribui¸cão de energia elétrica. Sua formula¸cão adota como objetivo a ser minimizado o custo da energia multiplicada pela energia não distribu´ıda (END), somada com o custo das chaves alocadas.

O PAC por FTI é avaliado usando dois conjuntos de rede, analisando o ´ındice DEC que mede a dura¸cão equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora. O primeiro composto por cinco redes da literatura chamadas de R3, R4, R5, R6 e R7 (Usberti et al, 2014). O segundo composto por cinco redes reais chamadas de J3, J4, J5, J6 e J7 (redes da cidade de Jaguar´ıuna - SP). Ambas obtendo ganhos significativos na confibilidade do sistema. Para resolver o modelo foi utilizado o solver comercial Gurobi versão 5.6.3, por meio da linguagem Java. Os experimentos foram realizados em um computador com processador Intel Core i5 – 3317U, 1.7 GHz com 6 GB de mémoria RAM. Cada instância de rede foi testada sem limite de tempo estimado.

Após apresenta-se o Problema de Planejamento para Instala¸cão de Chaves (PIC), formulando um modelo capaz de realocar chaves na rede melhorando a confiabilidade do sistema. Foram realocadas 50 chaves, respeitando os critérios pré-estabelecidos pela concessionária. Com isso, obtemos uma distribui¸cão de 36,415% da energia que não estava sendo distribu´ıda na rede, melhorando significativamente a confiabilidade do sistema.

Este trabalho desenvolve uma metodologia com o intuito de melhorar a confiabilidade das redes de distribui¸cão, elaborando modelos que utilizam sistemas de distribui¸cão de energia elétrica radiais representados por um conjunto de componentes como: cabos, chaves seccionadoras, disjuntor e religador.

(24)

e da confiabilidade da rede de energia elétrica é realizada no Cap´ıtulo 2. O Cap´ıtulo 3 descreve a formula¸cão do problema de aloca¸cão de chaves (PAC) por fluxo de energia e fluxo de tempo de interrup¸cão. Os experimentos computacionais utilizando dois conjuntos de redes (redes da literatura e redes reais) são apresentados no Cap´ıtulo 4. O problema de planejamento para instala¸cão de chaves (PIC) é apresentado no Cap´ıtulo 5. O Cap´ıtulo 6 apresenta as considera¸cões finais e trabalhos futuros.

(25)

Cap´ıtulo 2

O SISTEMA E A

CONFIABILIDADE DA REDE DE

ENERGIA EL´

ETRICA.

As usinas de energia elétrica geralmente são constru´ıdas longe dos centros consu-midores (cidades e indústrias) e é por isso que a eletricidade produzida pelos geradores têm de viajar por longas distâncias no sistema de transmissão. Ao sair dos geradores, a eletricidade come¸ca a ser transportada através de cabos aéreos instalados nas torres das redes de transmissão, passando pela subesta¸cão de energia.

Depois de percorrer o caminho entre as usinas e os centros consumidores nas redes de transmissão, a energia elétrica chega nas subesta¸cões diminuindo sua tensão. Inicia-se o processo de distribui¸cão da energia que vai para o comércio, empresas e indústrias (Eletrobras, 2015).

Descreve-se nesse cap´ıtulo o sistema que gera, transmite e distribui a energia el´etrica, apresentando o conceito de confiabilidade do sistema el´etrico.

2.1 Descri¸

c˜

ao do Sistema El´

etrico.

Os sistemas el´etricos podem ser subdivididos em trˆes grandes blocos (Kagan, Oliveira e Robba; 2010):

Gera¸cão: tem por fun¸cão converter alguma forma de energia em energia elétrica, por exemplo, mecânica em elétrica.

Transmissão: responsável pelo transporte da energia elétrica dos centros de gera¸cão aos centros de consumo.

Distribui¸cão: entregar a energia elétrica recebida da transmissão aos grandes, médios e pequenos consumidores, seguindo padr¯oes de qualidade exigidas pela regulamenta¸cão.

(26)

gera¸cão, transmissão e distribui¸cão.

Figura 2.1: Sistema de gera¸cão, transmissão e distribui¸cão de energia.

Fonte: Associa¸c˜ao Brasileira de Distribuidores de Energia El´etrica (ABRADEE), 2015.

2.1.1 Sistema de Gera¸

c˜

ao.

A gera¸cão de energia elétrica compreende todo o processo de transforma¸cão de uma fonte primária de energia em eletricidade. As fontes primárias usadas para a produ¸cão da energia elétrica podem ser classificadas em não renováveis e renováveis, logo para Reis (2011), os principais processos de transforma¸cão utilizados para a gera¸cão da eletricidade são:

transforma¸cão de energia mecânica em elétrica, por meio do uso de turbinas hidráulicas para acionar geradores elétricos;

transforma¸cão da energia solar em elétrica, com o uso de painéis fotovoltaicos; transforma¸cão de energia térmica produzida por combustão, fissão nuclear, pelo Sol

ou geotérmica, em energia mecânica, por meio da utiliza¸cão de máquinas térmicas que acionam geradores elétricos;

transforma¸cão da energia produzida por rea¸cões qu´ımicas, como no caso das células de combust´ıvel, associadas ao ciclo do hidrogênio.

2.1.2 Sistema de Transmiss˜

ao.

O sistema de transmissão tem por principal fun¸cão o transporte de blocos signi-ficativos de energia a médias e longas distâncias, levando a energia elétrica dos centros de produ¸cão aos centros de consumo. A rede de transmissão de energia elétrica no Bra-sil possui 107,4 mil quilômetros de extensão, com as maiores e mais importantes usinas hidrelétricas do mundo como declara a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL).

(27)

Nos pontos de conexão com geradores, a fun¸cão das subesta¸cões de transmissão é elevar o n´ıvel de tensão da energia elétrica gerada para centenas de milhares de volts. Já nos pontos de conexão com consumidores ou distribuidoras, a fun¸cão das subesta¸cões de transmissão é rebaixar os n´ıveis de tensão para dezenas de milhares de volts.

2.1.3 Sistema de Distribui¸

c˜

ao.

A ANEEL define o sistema de distribui¸cão de energia como o segmento do se-tor elétrico dedicado à entrega de energia para consumidores finais. Esses sistemas são definidos pelas redes primárias e secundárias, que serão detalhadas posteriormente neste trabalho. Atualmente, os sistemas de distribui¸cão são operados por 63 concessionárias do servi¸co público de distribui¸cão de energia elétrica, além de um conjunto de permissionárias que possuem permissão para esse servi¸co (ANEEL, 2015).

A boa qualidade dos servi¸cos na distribui¸cão de energia é avaliada pela ANEEL con-siderando diversos aspectos. O tempo da interrup¸cão do fornecimento da energia elétrica ao consumidor é uma delas. Essa avalia¸cão é considerada muito importante para as con-cessionárias.

O sistema de distribui¸cão inicia-se por uma ou mais linhas de transmissão. Cada subesta¸cão de distribui¸cão serve um ou mais alimentadores primários. Em geral, os ali-mentadores são operados de forma radial, o que significa que existe apenas um caminho por onde flui a energia a partir da subesta¸cão de distribui¸cão até o usuário (Kersting, 2006).

Nas subesta¸cões localizadas nas cidades, a tensão é rebaixada para o n´ıvel de 13,8 kV e, depois, para 127/220 V, para os pequenos consumidores. Segundo a ANEEL (2015), existem quatro tipos de redes de distribui¸cão de energia elétrica:

Rede de Distribui¸cão Aérea Convencional: é o tipo de rede elétrica mais encontrada no Brasil, na qual os cabos não possuem isolamento.

Rede de Distribui¸cão Aérea Compacta: as redes compactas são mais protegi-das que as redes convencionais, aumentando a confiabilidade do sistema e ocupando menos espa¸co.

Rede de Distribui¸cão Aérea Isolada: nesse tipo de rede os condutores são encapados com isola¸cão suficiente para poderem ser tran¸cados.

Rede de Distribui¸cão Subterrânea: a rede subterrânea é aquela que proporciona o maior n´ıvel de confiabilidade. No entanto, por questões econômicas são comuns apenas em regiões muito densas ou onde não há possibilidade para instalar redes aéreas.

(28)

Os Componentes da Rede de Distribui¸c˜ao.

Após percorrer o caminho entre as usinas e os centros consumidores, a energia elétrica chega às subesta¸cões iniciando o processo de distribui¸cão. Para que esse processo seja realizado com sucesso, os componentes da rede de distribui¸cão tem que estar em perfeita condi¸cão de funcionamento (Kagan, Oliveira e Robba 2010). São eles:

Alimentador: é a conexão entre o terminal de sa´ıda das subesta¸cões de distribui¸cão e o terminal das esta¸cões transformadoras, iniciando as secundárias. O alimentador de distribui¸cão geralmente deixa a subesta¸cão a partir de um disjuntor ou religador, iniciando a distribui¸cão primária. Na ocorrência de uma falha, o disjuntor abrirá preservando o alimentador.

Cabos: são condutores de energia elétrica. Existem vários tipos de cabos, podendo ser constru´ıdos por materiais como o alum´ınio ou cobre de bitolas, que definem suas capacidades e perdas elétricas.

Chaves seccionadoras: são chaves de controle, normalmente fechadas (NF), que podem ser acionadas (abertas) quando uma falha ocorre. Seu objetivo é isolar a falha para o menor número de clientes poss´ıveis e possibilitar a restaura¸cão da energia para a região da rede a montante da falha.

Chaves de manobra: são chaves de controle, normalmente abertas (NA), que podem ser acionadas (fechadas) com o objetivo de energizar setores da rede que podem ser isolados do defeito. Atuando em conjunto com chaves NF, são capazes de realizar a transferência de carga para os clientes situados a jusante do local onde ocorreu a falha.

Disjuntor: é designado para proteger um circuito elétrico de danos causados por sobrecarga ou curto circuito. Sua fun¸cão básica é detectar uma condi¸cão de falha, inter-rompendo o circuito e isolando os equipamentos.

Religador: É um disjuntor equipado com um mecanismo que permite fechá-lo automaticamente depois de ter sido aberto devido à ocorrência de uma falha. Religadores são usados em sistemas de distribui¸cão aéreos com o objetivo de detectar e interromper falhas momentâneas, melhorando dessa forma a continuidade do servi¸co, pela restaura¸cão automática da energia.

Subesta¸cão de distribui¸cão (SE): geralmente, localizada perto dos consumidores finais e é responsável pela transforma¸cão da tensão de transmissão (138 kV) para a de distribui¸cão primária (13,8 kV). As SEs possuem um barramento que pode direcionar a energia para várias cargas. Normalmente, são instalados disjuntores e chaves que possibi-litam desconectar as SEs da rede de transmissão ou mesmo desligar os alimentadores que saem das subesta¸cões, quando necessário.

Segundo Assis (2014), para que o sistema consiga atender `as demandas dos consu-midores, um consumidor conectado a qualquer ponto de carga do sistema precisa que todos os componentes entre este cliente e o ponto de fornecimento de energia estejam em

(29)

opera¸cão. A falha de um desses componentes causam a interrup¸cão do fornecimento de energia e a redu¸cão dos indicadores de confiabilidade do sistema.

Redes Prim´arias.

As redes de distribui¸cão primária inicia-se no barramento dos transformadores das subesta¸cões de distribui¸cão. Operam com possibilidade de transferência de blocos de carga entre circuitos para atender a opera¸cão em condi¸cões de contingência, devido a manuten¸cão corretiva e preventiva, com n´ıveis de tensão entre 10kV e 25kV (grandes consumidores podem estar ligados diretamente às redes primárias). Estas redes atendem consumidores primários e aos transformadores de distribui¸cão, esta¸cões transformadoras (ETs) que suprem a rede secundária.

Redes Secund´arias.

Das esta¸cões transformadoras (ETs) deriva-se a rede de baixa tensão, 220/127 kV ou 380/220 kV, podendo ser operadas em malha ou de forma radial. As redes de baixa tensão levam a energia elétrica até as residências, pequenos comércios e indústrias. Outro aspecto importante destas redes é a verifica¸cão de sua confiabilidade, tornando poss´ıvel quantificar a qualidade da energia, sendo que a viola¸cão dos limites estabelecidos pelo ´

org˜ao regulador pode resultar em multas para a distribuidora.

Nesta se¸c˜ao foi apresentado resumidamente o funcionamento e estrutura das redes de energia el´etrica. Agora pode-se detalhar o conceito de confiabilidade para essas redes em estudo.

2.2 Indicadores de Confiabilidade do Sistema de

Dis-tribui¸

c˜

ao de Energia El´

etrica.

Esta se¸cão descreve os indicadores de confiabilidade adotados neste trabalho, sendo que a confiabilidade em um sistema de distribui¸cão implica no fornecimento inin-terrupto da energia elétrica aos consumidores, avaliada por um conjunto de ´ındices, que fornecem informa¸cões obtida de dados estat´ısticos, definidos para um certo conjunto de consumidores, cargas atendidas e componentes de rede. Três ´ındices de confiabilidade utilizados neste trabalho são:

FEC: frequˆencia equivalente de interrup¸c˜ao por unidade consumidora.

O ´ındice FEC expressa a frequência média de interrup¸cão dos consumidores durante um ano, per´ıodo utilizado neste trabalho.

(30)

O DEC expressa a dura¸c˜ao m´edia de falta de suprimento de energia na rede durante o per´ıodo de um ano.

END: energia n˜ao distribu´ıda.

O ´ındice END representa o total de energia n˜ao distribu´ıda na rede ao longo de um ano.

Para o cálculo desses ´ındices, usa-se a defini¸cão de setores na rede de energia. Um setor é o conjunto de trechos da rede delimitado entre chaves ou dispositivos de prote¸cão. No diagrama da Figura 2.2 o disjuntor e duas chaves são instaladas nos arcos (1, 4) e (3,5) e no diagrama da Figura 2.3 temos o disjuntor instalado e a divisão por setores da rede. Os nós 1, 2 e 3 pertencem ao primeiro setor, o nó 4 ao segundo setor e o nó 5 ao terceiro setor. Portanto, a Figura 2.3 ilustra a divisão em setores da rede mostrada na Figura 2.2.

Figura 2.2: Redes com chaves.

Figura 2.3: Divis˜ao em setores.

Supondo que aconte¸ca uma falha no nó 5 localizado no terceiro setor, os consumidores dos setores 1 e 2 não serão afetados, não havendo altera¸cões na confiabilidade desses setores. Caso aconte¸ca uma falha no nó 2 localizado no primeiro setor, todos os setores a jusante serão afetados por um falha de um setor a montante, prejudicando a confiabilidade da rede.

(31)

2.2.1 Frequˆ

encia Equivalente de Interrup¸

c˜

ao por Unidade

Con-sumidora.

A frequência equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora (FEC) é ca-racterizada pela razão entre o número total de consumidores interrompidos em cada um dos setores, pelo número total de consumidores atendidos, ao longo de um ano, per´ıodo utilizado neste trabalho. Analiticamente, o ´ındice FEC é definido pela Equa¸cão 2.1.

F EC = S X k=1 λkNk S X k=1 Nk (2.1)

sendo S o número de setores na rede, λk a taxa média de falhas no setor k, Nk o número de

clientes atendidos no setor k. Analisando a Equa¸cão 2.1, se a quantidade de consumidores for mantida, uma maneira de reduzir o FEC é melhorando da taxa de falhas dos setores, ou seja, reduzindo o número de interrup¸cões.

2.2.2 Dura¸

c˜

ao Equivalente de Interrup¸

c˜

ao por Unidade

Consu-midora.

A dura¸cão equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora (DEC) é definida pela razão entre a dura¸cão esperada de falta de suprimento de energia para consumidores atendidos em cada setor k, pela quantidade total de consumidores da rede. Matematica-mente, o ´ındice DEC é determinado pela Equa¸cão 2.2.

DEC = S X k=1 UkNk S X k=1 Nk (2.2)

sendo S o número de setores na rede, Uk a dura¸cão total das interrup¸cões do setor k e Nk

o número de clientes atendidos no setor k. Para um sistema de distribui¸cão melhora-se a confiabilidade quando o valor do DEC é reduzido. Se o número de consumidores for mantido constante, pode-se reduzir o valor do DEC tanto através das redu¸cões das taxas de falhas dos setores, quanto por redu¸cões nas dura¸cões das interrup¸cões.

2.2.3 Energia N˜

ao Distribu´ıda.

(32)

EN D =

S

X

k=1

Uklk (2.3)

sendo S o número de setores na rede, Uk a dura¸cão total de interrup¸cões para o setor

k e lk a carga m´edia anual do setor k. O ´ındice END representa o total de energia n˜ao

distribu´ıda na rede.

Para os cálculos dos parâmetros apresentados nos ´ındices de confiabilidade FEC, DEC e END, apresenta-se as equa¸cões de taxa de falhas, tempo de falta de suprimento e carga de energia da rede.

Taxa de Falhas.

A taxa m´edia de falhas anuais λk para um determinado setor de carga k ´e

deter-minado pela Equa¸c˜ao 2.4:

λk=

X

i∈k

λi (2.4)

sendo subconjuntos de n´os i presente no setor k ∈ S e λi a taxa de falhas de cada um dos

componentes i ∈ S. A taxa de falha λk de um determinado setor k ´e dada pela soma das

taxas de falhas de todos os seus componentes, medida por um n´umero m´edio de falhas por ano.

Tempo de Falta de Suprimento.

O tempo total esperado de falta de suprimento, ou seja a dura¸cão total esperada das interrup¸cões ao longo de um per´ıodo, para cada setor k, é definido pela Equa¸cão 2.5:

Uk = k

X

i=1

λktik (2.5)

sendo λka taxa de falhas no setor k ∈ S. A variável tiké a dura¸cão esperada da interrup¸cão

no setor k causada por falhas no n´o i.

O impacto de uma interrup¸cão no fornecimento de energia em sistemas de distribui¸cão pode ser medido pelo tempo que um conjunto de consumidores ficam sem energia. Esse tempo é também chamado de dura¸cão da interrup¸cão denotado por tik. O cálculo da

dura¸cão da interrup¸cão, é uma fun¸cão do tempo de acionamento automático dos disposi-tivos de prote¸cão e do processo para localizar, isolar e reparar os elementos da rede que apresentam falha (ou falhas) permanente, dividindo-se em dois intervalos de tempos:

Tempo de Localiza¸cão (tl) – é o tempo médio de prepara¸cão da equipe de

manuten¸cão, adicionado ao tempo para identificar o local onde ocorreu a falha. Sempre que uma falha ocorrer na rede, é necessário um tempo para sua localiza¸cão.

(33)

Tempo de Reparo (tr) – ´e o tempo m´edio de reparo dos componentes da rede

afetados diretamente pela falha.

Considera-se o tempo de localiza¸cão e reparo mostrada na Figura 2.4 como condi¸cões de opera¸cão do sistema.

Figura 2.4: Tempo de restaura¸c˜ao.

Supondo uma falha no nó i de um setor k, os setores à jusante da rede podem ser classificados de acordo com as condi¸cões para o seu restabelecimento (Silva, Manhães, Oliveira e Joly 1992). A Equa¸cão 2.6 mostra como determinar o valor de tik dado que λk

´e a taxa de falhas do setor k ∈ S.

tik =      0 (caso 1) λktl (caso 2) λk(tl+ tr) (caso 3) (2.6)

Os casos apresentados na Equa¸c˜ao 2.6 s˜ao definidos como se segue:

Caso 1: A falha no nó i não interrompe o fornecimento de energia no setor k. Este caso acontece quando o setor k está localizado a montante do nó i e existe um dispositivo de prote¸cão entre eles. O setor k é classificado como Não Atingido; Caso 2: O setor k está a montante do nó i e existe uma chave seccionadora

separando estes setores, assim que a chave for aberta, o fornecimento de energia ´e restabelecido no setor k. O setor k ´e denominado Restabelec´ıvel ;

Caso 3: Este caso é o pior cenário para o setor k, acontece quando k = i, ou quando k está a jusante do nó i e não existe nenhuma forma de energizar o setor k, a reenergiza¸cão é poss´ıvel somente após o reparo da falha ocorrida no nó i. Este setor é chamado de Permanentemente Interrompido.

As chaves de seccionamento não são equipamentos automáticos como o disjuntor por exemplo, porém, após a localiza¸cão da falha, a abertura da chave é feita imediatamente pelo operador da rede, levando apenas segundos para sua abertura. Portanto considera-se

(34)

nesse trabalho chaves de seccionamento como sendo autom´aticas com tempo de trans-ferˆencia nulo.

Carga de Energia.

A média da carga anual de um setor k é definida pela Equa¸cão 2.7:

lk = f c

X

i∈k

li (2.7)

sendo li a demanda m´axima no ponto de carga i e o fator de carga (fc) ´e um ´ındice que

demonstra se a energia consumida está sendo utilizada de maneira racional e econômica. Este ´ındice varia entre zero a um, e é obtido pela rela¸cão entre a demanda média e a demanda máxima, durante um per´ıodo definido, expresso pela rela¸cão entre a energia ativa consumida num determinado per´ıodo de tempo e a energia ativa total que poderia ser consumida, caso a demanda medida do per´ıodo (demanda máxima) fosse utilizada durante todo o tempo, expressa pela equa¸cão:

f c = KW h KW × t

A presen¸ca dos equipamentos na rede e sua atua¸cão na ocorrência de uma falha serão discutidos nos próximos tópicos.

2.2.4 A Fun¸

c˜

ao do Disjuntor na Subesta¸

c˜

ao.

Quando ocorre uma falha no sistema, o disjuntor abre automaticamente com o intuito de isolar o defeito e proteger o sistema de distribui¸cão de energia elétrica. As Figuras 2.5 e 2.6, ilustram, respectivamente, a rede com disjuntor instalado em opera¸cão normal e a opera¸cão do disjuntor no acontecimento de uma suposta falha no nó 6. Os pontos de carga energizados são representados por c´ırculos preenchidos na cor vermelha e os pontos de carga sem energia por c´ırculos preenchidos na cor cinza.

(35)

Figura 2.5: Rede em opera¸c˜ao normal.

Figura 2.6: Opera¸c˜ao do disjuntor na ocorrˆencia de uma falha.

Note que na Figura 2.6, existe apenas o disjuntor instalado na rede, assim, a rede possui setor único, sendo imposs´ıvel isolar o defeito no caso de falhas, resultando na interrup¸cão do fornecimento de energia em toda rede. A Equa¸cão 2.8 mostra o tempo total de opera¸cão do sistema.

tik = λk(tl+ tr) (2.8)

O exemplo recai sobre o caso 3, apresentado na Equa¸c˜ao 2.6, sendo classificado como permanentemente interrompido.

2.2.5 A Fun¸

c˜

ao do Religador.

Na presen¸ca da corrente de curto-circuito, o religador abre isolando o defeito para uma região reduzida da rede. As Figuras 2.7 e 2.8 mostram, respectivamente, a rede com disjuntor e religador instalado e o estado da rede após a ocorrência de uma falha no nó 6.

(36)

Figura 2.7: Rede com disjuntor e religador instalado.

Figura 2.8: Rede ap´os a a¸c˜ao do religador.

Os setores de carga que são localizados a jusante do religador ficam sem energia, enquanto que os localizados a montante permanecem energizados após a localiza¸cão da falha. Observe que agora a rede possui dois setores:

Setor 1 – localizado entre o disjuntor e o religador [arcos: (1, 2), (2, 5), (4, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11) e (8, 13)];

Setor 2 – localizado a jusante do religador [arcos: (3, 6), (3, 7) e (7, 12)].

A falha não causa a interrup¸cão de energia no Setor 1, pelo fato de seus clientes estarem localizados antes do religador. Portanto, o setor 1 se enquadra no caso 1, sendo classificado como não atingido.

tik = 0 (2.9)

Os clientes localizados no Setor 2, enquadram-se no caso 3, ou seja, o tempo total do restabecimento de energia ´e dada pela Equa¸c˜ao 2.8, sendo classificado como permanente-mente interrompido.

(37)

2.2.6 A Fun¸

c˜

ao das Chaves Seccionadoras.

Esta se¸cão mostra o comportamento do sistema na ocorrência de uma falha quando existem chaves secionadoras a jusante do dispositivo de prote¸cão. Supondo que aconte¸ca uma falha no nó 6, o religador abre devido à presen¸ca da corrente de curto circuito e desenergiza os setores de carga a jusante, de forma semelhante ao apresentado na Subse¸cão 2.2.5. A chave seccionadora normalmente fechada (NF) será aberta após a localiza¸cão do defeito, isolando os setores de carga a montante da chave secionadora até o religador, permitindo a continuidade do fornecimento de energia nessa área. As Figu-ras 2.9 e 2.10 mostram, respectivamente, a rede com disjuntor, religador e cinco chaves seccionadoras (NF) instaladas e a a¸cão dos equipamentos no acontecimento de uma falha.

Figura 2.9: Rede com disjuntor, religador e chaves instaladas.

Figura 2.10: Estado da rede ap´os a ocorrˆencia de uma falha.

Para obtermos as condi¸cões de opera¸cão do sistema é necessária a separa¸cão por seto-res. A rede está dividida em sete setores:

Setor 1 – localizado entre o disjuntor e o religador; Setor 2 – localizado entre os arcos (2, 5), (5, 9) e (5, 10);

(38)

Setor 3 – localizado a jusante do arco (5, 11), Setor 4 – localizado entre os arcos (R, 3) e (3, 6), Setor 5 – localizado entre os arcos (3, 7) e (7, 12); Setor 6 – localizado entre os arcos (1, 4) e (4, 8); Setor 7 – localizado a jusante do arco (8, 13).

A Figura 2.11 apresenta o diagrama de setores para essa separa¸c˜ao.

Figura 2.11: Divis˜ao da rede por setores.

O tempo de restaura¸cão dos clientes localizados nos setores S1, S2, S3, S6 e S7 é calculado pela Equa¸cão 2.10.

tik = λktl (2.10)

Portanto, enquadram-se no caso 2, sendo classificado como restabelec´ıvel.

Como não existe nenhuma chave instalada no arco (3, 6), o religador abre desenergi-zando todos os setores de carga a jusante do dispositivo de prote¸cão (setores S4 e S5). A a¸cão do religador (abertura) é automática quando reconhece a corrente de curto circuito na rede. A reenergiza¸cão dos consumidores localizados nos setores S4 e S5 ocorrerá após o reparo dos componentes defeituosos. O tempo total da repara¸cão da rede é apresentada na Equa¸cão 2.8, sendo classificado como permanentemente interrompido.

A importância do estudo da aloca¸cão de chaves é buscar estratégias ótimas para essa aloca¸cão. Ter várias chaves alocadas na rede sendo em lugares inadequados podem levar a valores maiores que aqueles permitidos pela regulamenta¸cão. No próximo cap´ıtulo apresentamos a formula¸cão do problema de aloca¸cão de chaves (PAC) utilizando o conceito de fluxo de tempo de interrup¸cão (FTI).

(39)

Cap´ıtulo 3

DESCRIC

¸ ˜

AO E FORMULAC

¸ ˜

AO

DO PROBLEMA DE ALOCAC

¸ ˜

AO

DE CHAVES.

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar duas formula¸cões matemáticas para o Pro-blema de Aloca¸cão de Chaves (PAC). A primeira apresentada na pesquisa de Assis (2014), cuja solu¸cão deve fornecer as melhores posi¸cões para localiza¸cão de chaves nas redes de distribui¸cão de energia elétrica, bem como os tipos e capacidades das chaves a serem ins-taladas. A segunda mostra a formula¸cão matemática para o PAC utilizando o conceito de Fluxo de Tempo de Interrup¸cão (FTI) apresentado na pesquisa de Usberti et al (2014), cuja solu¸cão, deve fornecer a quantidade e as posi¸cões ótimas para a instala¸cão das chaves seccionadoras nas redes de distribui¸cão de energia elétrica.

Os modelos adotam como objetivo a minimiza¸cão do custo da energia não distribu´ıda (END) da rede, com o custo da aloca¸cão das chaves propostas. Apresenta-se a formula¸cão matemática dos modelos, discutindo os aspectos mais significativos.

3.1 Modelo

Matem´

atico

para

o

Problema

de

Aloca¸

c˜

ao de Chaves (PAC).

O principal objetivo da metodologia a ser desenvolvida no trabalho é definir as melhores posi¸cões, tipos e capacidades de chaves para alcan¸car melhorias na confiabilidade. A fun¸cão das chaves é permitir, após a ocorrência da falha, a redu¸cão da quantidade de clientes que permanecerão sem energia, até o reparo dos equipamentos afetados. Essa redu¸cão pode ser efetuada através do isolamento do setor defeituoso como apresentado na Subse¸cão 2.2.6.

Usando a terminologia dos grafos, um sistema de distribui¸c˜ao de energia operado radi-almente pode ser modelado como uma ´arvore direcionada e conectada T(V, A), enraizada

(40)

na subesta¸cão da rede, onde V é o conjunto dos n nós e A é o conjunto das m arestas (Ahuja, Magnanti e Orlin, 1993). Cada nó i ∈ V representa um ponto de ramifica¸cão ou a localiza¸cão de um cliente, e cada aresta (i, j) ∈ A, com i ∈ V , j ∈ V , corresponde a um trecho da rede, sendo locais candidatos para instala¸cão de chaves. Chaves e dispositivos de prote¸cão são equipamentos associados às arestas.

A solu¸cão do PAC define as arestas que devem receber chaves, os tipos (manual, automático, seccionadora, manobra, descritos na Subse¸cão 2.1.3) e suas capacidades. A Tabela 3.1 mostra a nota¸cão adotada no modelo matemático.

Tabela 3.1: Nota¸c˜ao utilizada no modelo matem´atico do PAC.

ce Custo da energia (R$).

cs Custo de cada tipo de chaves s ∈ SW (R$).

fij Fluxo de energia no arco (i, j) ∈ A.

Fs Capacidade do fluxo das chaves do tipo s.

SW Conjunto de todos os tipos de chaves.

X Conjunto das variáveis de decisão representando as chaves seccionadoras. Y Conjunto das variáveis de decisão representando as chaves de manobra. DEClim Valor máximo permitido para o DEC (horas/consumidor/ano).

END(X, Y) END estimado em fun¸c˜ao das chaves alocadas (kW/h).

DEC(X, Y) DEC estimado em fun¸c˜ao das chaves alocadas (horas/consumidor/ano).

Fonte: Assis, 2014.

O custo cs é anualizado e inclui o custo de aquisi¸cão, instala¸cão e manuten¸cão. O

modelo possui a vari´avel de decis˜ao xs

ij ∈ X que representa alocar xsij = 1

ou n˜ao xs

ij = 0 uma chave seccionadora do tipo s ∈ SW no arco (i, j) ∈ A e a vari´avel de

decis˜ao ys_ij ∈ Y que representa alocar ys

ij = 1 ou n˜ao yijs = 0 uma chave de manobra

do tipo s ∈ SW no arco (i, j) ∈ A.

Utilizando as defini¸c˜oes apresentadas na Tabela 3.1, o PAC pode ser formulado mate-maticamente da seguinte forma:

(41)

(PAC) M IN  ce EN D (X, Y ) + X (i,j)∈A X s∈SW cs xsij+ y s ij   (3.1) s.a. (restri¸c˜ao de confiabilidade)

DEC (X, Y ) 6 DEClim (3.2)

(restri¸c˜ao do tipo de chave alocada)

xs_ij + y_ijs _{6 1} ∀ (i, j) ∈ A, ∀s ∈ SW (3.3)

(fluxos de potˆencia)

fijxsij + fijyijs 6 Fs ∀ (i, j) ∈ A, ∀s ∈ SW (3.4)

(integralidade e n˜ao-negatividade)

xs_ij, ys_ij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ A, ∀s ∈ SW (3.5)

fij > 0 (3.6)

A fun¸cão objetivo 3.1 minimiza os custos da energia não distribu´ıda, de aquisi¸cão, instala¸cão e o custo de manuten¸cão das chaves na rede. A restri¸cão 3.2 garante que o valor do ´ındice de confiabilidade DEC seja limitado por DEClim. O problema é fact´ıvel

apenas se o DEClim est´a contido no intervalo [DECmin, DECmax], sendo o DECmin o

valor da confiabilidade obtida atribuindo uma chave em cada arco da rede e DECmax o

valor da confiabilidade sem nenhuma chave alocada na rede. A restri¸cão 3.3 garante os tipos e números de chaves que podem ser instalada nos arcos. A restri¸cão 3.4 garante que as chaves alocadas em um arco possuem uma capacidade igual ou inferior ao fluxo de potência passante neste arco. A natureza binária das variáveis de decisão e a não negatividade dos fluxos são representadas pelas restri¸cões 3.5 e 3.6.

Segundo Assis (2014), o critério não é único, podendo ser adotados outros critérios sem necessidade de grandes modifica¸cões na arquitetura da metodologia proposta. Com esse intuito, apresenta-se na próxima se¸cão o Modelo de Aloca¸cão de Chaves (PAC) utilizando o conceito de Fluxo de Tempo de Interrup¸cão (FTI), como uma alternativa ao modelo apresentado por Assis (2014), sendo o modelo PAC por FTI um modelo matemático exato apresentado na pesquisa de Usbertiet al (2014).

(42)

3.2 Problema de Aloca¸

c˜

ao de Chaves por Fluxo de

Tempo de Interrup¸

c˜

ao (FTI).

A rede de distribui¸cão de energia elétrica operada radialmente pode ser associada a uma árvore orientada e conexa T(V, A), enraizada na subesta¸cão (nó zero), sendo V o conjunto de nós associados aos pontos de carga da rede e A o conjunto de arcos associados aos disjuntores, chaves e arcos. Um arco (i, j) ∈ A, i, j ∈ V , segue a orienta¸cão do fluxo de corrente da subesta¸cão ao ponto de carga (Usberti, Cavellucci e Lyra Filho; 2014).

Cada nó j ∈ V tem um nó antecessor i tal que i = pred(j). Pela defini¸cão de árvore, existe um único caminho direcionado ligando a raiz a cada um dos nós do grafo (Ahuja, Magnanti e Orlin; 1993).

Um conjunto de nós e arcos que representam o caminho direcionado ligando os nós i e j é representado pelo caminho(i, j). Se tal caminho não existe então (i, j) = ∅ ou (i, i) = i . Para cada par ordenado de nós i e j, se o caminho(i, j) 6= ∅, j é a jusante de i, caso contrário, j é a montante de i. A Tabela 3.2 traz a nota¸cão adotada no modelo matemático.

Tabela 3.2: Nota¸cão utilizada no modelo matemático do PAC por FTI. li Demanda máxima de carga de energia (k W).

λi Taxa de falha (falha/ano).

Nk N´umero de clientes.

˜

li Carga acumulada no n´o i (kW/h).

θj Tempo de auto-interrup¸c˜ao.

AS O conjunto de arcos com chaves instaladas.

Vi O conjunto de n´os a jusante.

A O conjunto de todos os arcos. fij Fluxo de tempo de interrup¸c˜ao.

t Tempo m´edio das interrup¸c˜oes.

xij Chave seccionadora instalada no arco arco (i, j) ∈ A.

ce Custo da energia (R$ 1.53).

cs Custo da chave seccionadora (R$ 1.358).

˜

ni N´umero de clientes enraizados no n´o i .

DEClb DEC estimado em fun¸c˜ao das chaves alocadas (horas/consumidor/ano).

DEClim Valor m´aximo permitido para o DEC (horas/consumidor/ano).

3.2.1 C´

alculo do Fluxo de Tempo de Interrup¸

c˜

ao.

Para adaptar o modelo de fluxo de energia de Assis (2014) para o modelo de fluxo de tempo de interrup¸cão, apresenta-se as seguintes defini¸cões utilizando os parâmetros apresentados na Tabela 3.2.

Defini¸cão 3.1. Para calcular a carga de energia à jusante de um nó i, denotada por ˜li,

(43)

˜ li =

X

j∈Vi

lj (3.7)

sendo Vi o conjunto de nós a jusante do nó i, se Vi = {i} i é uma folha da árvore T. A

carga própria do nó j representada pelo parâmetro lj. A Equa¸cão 3.7 é uma modifica¸cão

da Equa¸c˜ao 2.7 que representa a carga m´edia anual de um setor k.

Defini¸cão 3.2. O tempo de interrup¸cão das falhas locais do nó i (aquelas ocorridas no próprio nó) θi, é a dura¸cão esperada das interrup¸cões do fornecimento de energia de um

nó i. O tempo de interrup¸cão θi é calculado usando a Equa¸cão 3.8.

θi = λit (3.8)

sendo λi a taxa de falhas anuais associada ao nó i e t o tempo médio das interrup¸cões.

A Equa¸cão 3.8 é uma modifica¸cão da Equa¸cão 2.5.

Defini¸cão 3.3. Determinando o tempo de interrup¸cão própria de cada nó i, pode-se calcular o tempo de interrup¸cão ˜θi a jusante do nó i, conforme Equa¸cão 3.9.

˜ θi = θi+ X (i,j)∈A\AS ˜ θj (3.9)

sendo A o conjunto de todos os arcos. Utiliza-se a Equa¸cão 3.8 no cálculo desse parâmetro.

Defini¸cão 3.4. O tempo de interrup¸cão ui é a dura¸cão esperada da interrup¸cão do

for-necimento de energia do nó i, devido à falhas ocorridas na rede. Esta variável pode ser calculada de forma recursiva através das Equa¸cões 3.10 e 3.11.

u0 = ˜θ0, (3.10) uj− ui = ( 0 (i, j) ∈ A \ AS ˜ θj (i, j) ∈ AS (3.11) sendo ˜θj calculado utilizando a Equa¸c˜ao 3.9.

Demonstra¸c˜ao:

As falhas que causam a interrup¸cão no nó, são originados nele ou à jusante dele. Assim, o tempo de interrup¸cão corresponde ao tempo de interrup¸cão à jusante do nó.

Como temos dois momentos retratados na diferen¸ca de uj com ui constr´oi-se a

de-monstra¸c˜ao em dois casos. O Caso 1 quando n˜ao existe chave instalada no arco (i, j). O Caso 2 quando existem chaves instaladas nos arcos (i, j ).

Caso 1: (i, j) ∈ A \ As.

Como não existe chave instalada na rede, a interrup¸cão do nó i provoca a interrup¸cão do nó j e vice-versa. Portanto o tempo de interrup¸cão dos nós são iguais.

(44)

uj = ui

uj − ui = 0

Caso 2: (i, j) ∈ As.

Neste caso, o arco está sendo orientado na mesma dire¸cão que o fluxo de energia. Como existem chaves instaladas nos arcos (i, j ), a interrup¸cão do nó i provoca a interrup¸cão do nó j como no Caso 1. Porém, o nó i é imune a falhas a jusante.

uj = ui+ ˜θj

uj − ui = ˜θj

Como quer´ıamos demonstrar.

Defini¸cão 3.5. O fluxo de tempo de interrup¸cão do nó j para o nó i (inverso da orienta¸cão de arco), é o tempo de interrup¸cão esperado no nó i devido a falhas originadas nos nós k ∈ Vj, sendo ˜θj = θ +P_k∈V_jθ˜k. fij = ( 0 (i, j) ∈ AS ˜ θj (i, j) ∈ A \ AS (3.12) A Equa¸cão 3.12 é uma modifica¸cão da Equa¸cão 3.11.

Defini¸c˜ao 3.6. O res´ıduo de interrup¸c˜ao Fj representa um equil´ıbrio do fluxo de

inter-rup¸cão do nó j calculado de acordo com a equa¸cão a seguir.

Fj = ( θ0+ P (0,k)∈Af0k j = 0 θj+ P (j,k)∈Afjk − fij (i, j) ∈ A (3.13) Os Lemas 3.7 e 3.8 mostram, respectivamente, que o tempo de interrup¸c˜ao ui pode

ser determinado pela express˜ao do res´ıduo de interrup¸c˜ao Fj.

Lema 3.7. O tempo de interrup¸c˜ao ui de um n´o i pode ser determinado de acordo com

as Equa¸c˜oes 3.14 e 3.15 .

u0 = F0 (3.14)

uj− ui = Fj (i, j) ∈ A (3.15)

sendo Fj calculada pela Equa¸c˜ao 3.13.

Demonstra¸c˜ao:

Inicia-se provando a Equa¸c˜ao 3.14. Pelas Equa¸c˜oes 3.10 , 3.9 e 3.8 respectivamente, pode-se escrever;

(45)

F0 = θ0+ X (0,i)∈A f0i = θ0 + X (0,i)∈A\AS ˜ θi = ˜θ0 = u0

Para provar a Equa¸c˜ao 3.15, iremos dividi-la em dois casos. O primeiro caso quando n˜ao existe chave instalada no arco (i, j ) e o segundo caso quando existem chaves instaladas nos arcos (i, j ).

Caso 1: (i, j) ∈ A \ As.

Utilizando o mesmo racioc´ınio do caso anterior e utilizando as Equa¸c˜oes 3.10 e 3.9 temos: Fj = θj+ X (j,k)∈A fjk − fij = θj+ X (j,k)∈A\AS ˜ θk− ˜θj = ˜θj− ˜θj = 0 = uj− ui Caso 2: (i, j) ∈ As.

Como reformulado anteriormente e utilizando-se as Defini¸c˜oes 3.10, 3.9 e 3.8 respeti-vamente, escreve-se a seguinte equa¸c˜ao:

Fj = θj+ X (j,k)∈A fjk− fij = θj+ X (j,k)∈A\AS ˜ θk = ˜θj = uj − ui

Como quer´ıamos demonstar.

Lema 3.8. O tempo de interrup¸cão uj é a soma dos res´ıduos das interrup¸cões à jusante

do nó j apresentado na Equa¸cão 3.16. uj = X i∈caminho(0,j) Fi (i ∈ V ) (3.16) Demonstra¸cão:

Utilizando indu¸cão, a demonstra¸cão será escrita no sentido da ra´ız para o nó j ∈ V . (⇒) Prova-se inicialmente o caso em que o nó j = 0 utilizando o Lema 3.7.

u0 = F0 =

X

j∈caminho(0,0)

Fj

(⇐) Assumido que a Equa¸cão 3.16 é válida para qualquer nó do caminho da raiz até o nó j, prova-se que a Equa¸cão 3.16 também é válida para nó k, de tal modo que (j, k) ∈ A.

Utilizando a Equa¸c˜ao 3.15 escrevemos;

uk− uj = Fk ⇒ uk− X i∈caminho(0,j) Fi = Fk ⇒ uk = X i∈caminho(0,k) Fi

(46)

Para Usberti, Cavellucci e Lyra Filho (2014) o Teorema 3.9 representa o núcleo da metodologia de avalia¸cão da confiabilidade. A energia não distribu´ıda é expressa pelo tempo de interrup¸cão dos fluxos f, o que significa que a energia não distribu´ıda pode ser calculada por meio da resolu¸cão de um problema de fluxo de rede.

Teorema 3.9. Pode-se expressar a energia n˜ao distribu´ıda utilizando a Equa¸c˜ao 3.17.

EN D = X (i,j)∈A ˜li− ˜lj fij + X i∈V ˜ liθi (3.17) Demonstra¸c˜ao:

Utilizando o Lema 3.8 e as Equa¸c˜oes 3.7 e 3.10 podemos escrever as seguintes igual-dades. X i∈V liui = X i∈V  li X j∈caminho(0,i) Fj  = X j∈V  Fj X i∈Vj li  = X i∈V ˜ liFi =X i∈V  ˜li  θi+ X (i,j)∈A fij    − X (i,j)∈A ˜ ljfij = X (i,j)∈A ˜li− ˜lj fij + X i∈V ˜ liθi

Vale ressaltar que outros ´ındices de confiabilidade como o DEC também podem ser expressos em termos da variável f. Isto pode ser feito através do DEC (Equa¸cão 2.2) e do tempo de interrup¸cão u com os res´ıduos de interrup¸cão F de acordo com a Equa¸cão 3.16. O lema abaixo mostra a forma de expressar a energia não distribu´ıda utilizando seus limites inferior e superior, sendo que a confiabilidade de uma rede é estabelecida entre esses limites.

Lema 3.10. Os limites inferior Elb e superior Eubs˜ao descritos pela seguinte desigualdade

3.18 e devem ser respeitadas para que possamos encontrar a solu¸cão ótima do problema. X i∈V ˜ liθi = Elb ≤ EN D ≤ Eub= ˜l0 X i∈V θi (3.18) Demonstra¸cão:

A prova do limite inferior Elb é trivial, pois é uma constante na equa¸cão do Teorema

3.9. Utilizando as Equa¸cões 3.9 e 2.3 e analisando a Equa¸cão 3.12 o tempo de interrup¸cão dos fluxos f é máximo se As = Ø. Nessa hipótese, o tempo máximo de interrup¸cão dos

fluxos fmax _´_{e dada pela Equa¸c˜}_{ao 3.19.}

f_ijmax = ˜θj = θj + X (i,j)∈A\As ˜ θj = X k∈Vj θk (i, j) ∈ A (3.19)

O limite superior Eub da energia n˜ao distribu´ıda deriva-se da substitui¸c˜ao da

inter-rup¸cão dos fluxos fij da Equa¸cão 3.17 com o máximo de interrup¸cão dos fluxos fijmax da

(47)

Eub= X (i,j)∈A ˜li− ˜lj f_ijmax+X i∈V ˜ liθi = X (i,j)∈A  l˜i X k∈Vj θk  − X (i,j)∈A  l˜j X k∈Vj θk  + X i∈V ˜ liθi =X i∈V " ˜ li X j∈Vi θj− θi !# − X i∈V \0 ˜ li X j∈Vi θj ! +X i∈V ˜ liθi = ˜l0 X i∈V θi− θ0 ! + X i∈V \0 ˜ li X j∈Vi θj − θi ! − X i∈V \0 ˜ li X j∈Vi θj ! +X i∈V ˜ liθi = ˜l0 X i∈V θi− ˜l0θ0− X i∈V \0 ˜ liθi+ X i∈V ˜ liθi = ˜l0 X i∈V θi

Como quer´ıamos demonstrar.

Lema 3.11. A expressão da dura¸cão equivalente de interrup¸cão por unidade consumidora é descrita na Equa¸cão 3.20. DEC = 1 ˜ n0   X (i,j)∈A (ñi− ñj)fij + X i∈V ˜ niθi   (3.20)

sendo ñ0 o número de clientes atendidos em cada nó da rede.

3.2.2 Modelo Matem´

atico por FTI.

A solu¸cão do problema de aloca¸cão de chaves por fluxo de tempo de interrup¸cão, define as posi¸cões ótimas dos arcos que devem receber as chaves seccionadoras melhorando a confiabilidade do sistema com menor investimento. Os parâmetros utilizados no cálculo são apresentados na Tabela 3.2. O modelo possui a variável de decisão, xij, que representa

alocar (xij = 1) ou n˜ao (xij = 0) uma chave seccionadora na rede.

Usando as defini¸c˜oes apresentadas at´e aqui, o modelo PAC por FTI pode ser formulado matematicamente da seguinte maneira:

(48)

(PAC por FTI) M IN  ce   X (i,j)∈A (˜li− ˜lj)fij + Elb  + cs   X (i,j)∈A xij     (3.21) s.a. (restri¸cão de confiabilidade) 1 ˜ n0   X (i,j)∈A (ñi− ñj)fij + DEClb  6 DEClim (3.22)

(fluxo de tempo de interrup¸c˜ao) fij− X (j,k)∈A fjk + Mjxij > θj (i, j) ∈ A (3.23) (integralidade e n˜ao-negatividade) xij ∈ {0, 1} (i, j) ∈ A (3.24) fij > 0 (i, j) ∈ A (3.25)

O parâmetro Mj é definido para cada nó i através da equa¸cão: Mj =

P

j∈Viθj.

O modelo proposto utiliza como fun¸cão objetivo a soma de duas fun¸cões: 1ª o custo da energia multiplicada pela energia não distribu´ıda na rede; 2ª a quantidade de chaves que foram instaladas nos arcos da rede multiplicada pelo custo das chaves. A fun¸cão objetivo ´

e apresentada pela Equa¸cão 3.21. A restri¸cão 3.22 garante que o valor do ´ındice de confia-bilidade DEC seja limitado por DEClim. O problema possui solu¸cão apenas se o DEClim

est´a contido no intervalo [DEClb, DECub], sendo o DEClb o valor da confiabilidade

ob-tida atribuindo uma chave em cada arco da rede e DECub o valor da confiabilidade sem

nenhuma chave alocada na rede. O cálculo do fluxo de tempo de interrup¸cão é mostrado na Equa¸cão 3.23. A Equa¸cão 3.24 mostra a integralidade das variáveis de decisão e a Equa¸cão 3.25 garante que os fluxos de interrup¸cão fij sejam positivos.

3.3 Exemplo Num´

erico.

Desenvolve-se um exemplo do cálculo da energia não distribu´ıda utilizando o conceito de fluxo de tempo de interrup¸cão, com uma rede de cinco nós e cinco arcos dividida em dois Cenários. O Cenário 1 possui apenas o disjuntor na subesta¸cão e o Cenário 2, além do disjuntor, possui chaves instaladas nos arcos (1, 4) e (3, 5) conforme mostra as Figuras 3.1 e 3.2.

(49)

Figura 3.1: Cen´ario 1 - Rede com disjuntor instalado.

Figura 3.2: Cen´ario 2 - Rede com disjuntor e chaves instaladas.

A Tabela 3.3 apresenta os parâmetros necessários para o cálculo da END.

Tabela 3.3: Pontos de carga do sistema. Parˆametros N´os

1 2 3 4 5

λi (f/ano) 0.2 0.1 0.3 0.2 0.2

li (kW) 0 0 0 5.000 4.000

t 4 4 4 2 2

Para calcular o tempo de auto-interrup¸c˜ao θi utiliza-se a Equa¸c˜ao 3.8 e a Tabela 3.3.

O parâmetro ˜li representa a somatória das cargas a jusante de um nó i e é calculada

utilizando a Equa¸c˜ao 3.7 e a Tabela 3.3, ambos apresentados na Tabela 3.4.

Tabela 3.4: C´alculo dos ´ındices θi e ˜li.

θ1= (λ1× t1) = (0.2 × 4) = 0.8 l˜5 = l5 = 4.000 (kW ).

θ2= (λ2× t2) = (0.1 × 4) = 0.4 ˜l4 = l4 = 5.000 (kW )

θ3= (λ3× t3) = (0.3 × 4) = 1.2 l˜3= l3+ ˜l5 = 0 + 4.000 = 4.000 (kW )

θ4= (λ4× t4) = (0.1 × 2) = 0.2 l˜2= l2+ ˜l3 = 0 + 4.000 = 4.000 (kW )

θ5= (λ5× t5) = (0.2 × 2) = 0.4 l˜1 = l1+ ˜l2+ ˜l4= 0 + 4.000 + 5.000 = 9.000 (kW )

A seguir calcula-se o tempo de interrup¸c˜ao a jusante ˜θi definido pela Equa¸c˜ao 3.9.

(50)

Tabela 3.5: C´alculo do ´ındice ˜θi para os Cen´arios 1 e 2.

Cen´ario 1 Cen´ario 2

˜ θ5 = θ5 = 0.4 θ˜5 = θ5 = 0.4 ˜ θ4 = θ4 = 0.2 θ˜4 = θ4 = 0.2 ˜ θ3 = θ3+ ˜θ5 = 1.2 + 0.4 = 1.6 θ˜3 = θ3 = 1.2 ˜ θ2 = θ2+ ˜θ3= 0.4 + 1.6 = 2 θ˜2 = θ2+ ˜θ3= 0.4 + 1.2 = 1.6 ˜ θ1 = θ1+ ˜θ2+ ˜θ4 = 0.8 + 2 + 0.3 = 3 θ˜1 = θ1+ ˜θ2= 0.8 + 1.6 = 2.4

Na Tabela 3.6 apresenta-se o c´alculo dos fluxos para os Cen´arios 1 e 2.

Tabela 3.6: C´alculo dos fluxos realizado por arco da rede. Cen´arios Arcos

(1,2) (1,4) (2,3) (3,5) xij(1) 2 0.2 1.6 0.4

xij(2) 1.6 0.2 1.2 0.4

Obtidos todos os parâmetros necessários pode-se calcular a END para os Cenários 1 e 2 utilizando a Equa¸cão 3.17 para as redes das Figuras 3.1 e 3.2.

EN D = ( ˜l1− ˜l2)f12+ ( ˜l1− ˜l4)f14+ ( ˜l2− ˜l3)f23+ ( ˜l3− ˜l5)f35+ ˜l1θ1+ ˜l2θ2+ ˜l3θ3+ ˜l4θ4+ ˜l5θ5

O parâmetro Elb é o limite inferior da energia não distribu´ıda, ou seja, representa a

perda de energia inerente `a rede. Utilizando a Equa¸c˜ao 3.18 tem-se:

Elb = ˜l1θ1+ ˜l2θ2+ ˜l3θ3+ ˜l4θ4+ ˜l5θ5 = (9.000 × 0.8) + (4.000 × 0.4) + (4.000 × 1.2) + (5.000 × 0.2) + (4.000 × 0.4) = 7.200 + 1.600 + 4.800 + 1.000 + 1.600 = 16.200 (kW/h). Portanto, Cen´ario 1: END = (9.000 – 4.000) × 2 + (9.000 – 5.000) × 0.2 + (4.000 – 4.000) × 1.6 + (4.000 – 4.000) × 0.4 = 10.000 + 800 + 0 + 0 + Elb= 10.800 + 16.200 = 27.000 (kW/h). Cen´ario 2: END = (9.000 – 4.000) × 1.6 + (9.000 – 5.000) × 0.2 + (4.000 – 4.000) × 1.2 + (4.000 – 4.000) × 0.4 = 8.000 + 800 + 0 + 0 +Elb= 8.800 + 16.200 = 25.000 (kW/h).

A partir desses resultados, ´e poss´ıvel afirmar que com apenas duas chaves alocadas distribuimos 7,40% da energia que n˜ao estava sendo distribu´ıda na rede.