aula3-RTE

Cinemática Multidimensional

Como tratar movimentos em mais de uma dimensão?

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

A resposta passa pela análise vetorial: * Sistemas de Eixos;

* Decomposição Vetorial; * Álgebra Vetorial;

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas Como descrever o movimento?

s

_{(t )⇒ A→ B}

Decomposição do movimento:

s

_{(t )=f [ x (t ); y (t)]}

s

_{(t )⇒ y=f ( x)}

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas E se a função não é unívoca?

s

_{(t )⇒ y}

₁

_{= f ( x}

₁

_{); y}

₂

_{= f ( x}

₁

₎

Reforça a ideia da decomposição vetorial !

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas Introduzindo o vetor posição:

⃗r

(

t

₎

=x

₍

t

₎

_{^x +y}

₍

t

₎

_^y

Características:

|

r

_⃗

|

₌

√

x

2

_{+ y}

2

^r =

(

x

√

x

2

_{+ y}

2

)

⋅^x +

(

y

√

x

2

_{+ y}

2

)

⋅^y

⃗r ⇒ 0 → ∞

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas

⃗r

(

t

₎

=x

₍

t

₎

_{^x +y}

₍

t

₎

_^y

Note que não descrevemos mais

s(t), mas sim, as coordenadas dos

eixos ordenados, que indicam a posição no plano, correspondente a s(t), ainda que:

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas

⃗r

(

t

₎

=x

₍

t

₎

_{^x +y}

₍

t

₎

_^y

Note que não descrevemos mais

s(t), mas sim, as coordenadas dos

eixos ordenados, que indicam a posição no plano, correspondente a s(t), ainda que:

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas

⃗r

(

t

₎

=x

₍

t

₎

_{^x +y}

₍

t

₎

_^y

Note que não descrevemos mais

s(t), mas sim, as coordenadas dos

eixos ordenados, que indicam a posição no plano, correspondente a s(t), ainda que:

d

_{⃗s = d ⃗r}

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas

⃗r

(

t

₎

=x

₍

t

₎

_{^x +y}

₍

t

₎

_^y

Note que não descrevemos mais

s(t), mas sim, as coordenadas dos

eixos ordenados, que indicam a posição no plano, correspondente a s(t), ainda que:

d

_{⃗s = d ⃗r}

Δ ⃗r _{= Δ ⃗}x _{+ Δ ⃗}y

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas _{Então, temos a velocidade:}

⃗v

(

t

)

₌

d

⃗s

dt =

d

_⃗r

dt

Lembrar que:

⃗

v

₍

t

₎

= v

_x

₍

t

₎

_{^x + v}

_y

₍

t

₎

_^y

⃗v

(

t

₎

₌

(

dx

dt

)

^x +

(

dy

dt

)

^y

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Cartesianas _{Bem como a aceleração:}

⃗a

(

t

₎

₌

d

2

_⃗s

dt

2

=

d

2

⃗r

dt

2 Lembrar que:

⃗

a

₍

t

₎

= a

_x

₍

t

₎

_{^x + a}

_y

₍

t

₎

_^y

⃗a

(

t

₎

₌

(

d

2

x

dt

2

)

^x +

(

d

2

y

dt

2

)

^y

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares

Como descrever o movimento?

s

_{(t )⇒ A→ B}

Problema: uma das coordenadas não é espacial…

Neste caso específico, a função

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares

Para resolver o problema, veremos a relação entre as coordenadas:

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares _{Assim, se:}

⃗x (t)=r (t)⋅cos[

θ

(t )]⋅^x

Teremos:

⃗y (t )=r (t)⋅sen [

θ

( t)]⋅^y

⃗

θ (t )= arctan

[

y(t )

x( t )

]

⋅^θ

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares

Para calcular a velocidade, precisamos relacionar as variações direcionais:

^r =^x⋅cos[

θ

(t)]+ ^y⋅sen[

θ

(t)]

^

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares E lembrar que:

⃗v

(

t

)

₌

d

⃗s

dt =

d

_⃗r

dt

Então: ⃗r = r⋅^r d ⃗r dt = dr dt ⋅^r +r⋅ d ^r dt d ^r dt =

(

− ^x⋅sen [

θ

(t)]+ ^y⋅cos[

θ

(t)]

)

⋅ d

_θ

dt d ⃗r dt = dr dt ⋅^r +r⋅ d

_θ

dt ⋅

θ

^

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares

A velocidade tem duas componentes:

d

_⃗s

dt =

dr

dt⋅

^r +r⋅

d

θ

dt ⋅

θ

^

velocidade radial velocidade tangencial

⃗v

(

t

₎

=v

_rad

₍

t

₎

_{^r +v}

_tan

₍

t

₎

θ

^

Derivando-se a expressão acima, obteremos a aceleração

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Coordenadas Polares Obtendo a aceleração: d ⃗v dt =

[

d2r dt2 − r⋅

(

dθ dt

)

2

]

⋅^r +

(

2 dr dt⋅ dθ dt + r⋅ d2θ dt2

)

⋅^θ A aceleração tem 4 termos:

⃗

a₍t₎₌

[

a_{rad+ acent}

]

_{⋅^r +}

[

a_{cor+ atan(}t ₎

]

_θ^

a_rad = aceleração radial

a_cent = aceleração centrípeta a_cor = aceleração de Coriolis a_tan = aceleração tangencial

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples (Terra plana e imóvel, sem ar)

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Cartesianas:

a_x=0 a _{y=− g} dv_x dt =0 ⇒ vx= const .

∫

vy 0 vy dvy=− g⋅

∫

t0 t dt v _x= v0⋅cos (α ) v y= v0⋅sen (α )− g⋅(t − t0)

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Cartesianas: v x= v0⋅cos (α ) v y= v0⋅sen (α )− g⋅(t − t0)

∫

x0 x dx= v₀⋅cos (α)⋅

∫

t0 t dt

∫

y0 y dy= v0⋅sen (α )⋅

∫

t0 t dt− g⋅

∫

t0 t ( t −t0) dt x= x0+ v0⋅cos(α )⋅(t − t0) y= y0+v0⋅sen (

α

)⋅(t −t0)− g 2⋅(t−t0) 2

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Cartesianas: Curva paramétrica (em função do tempo)

s

_{(t )⇒ y=f ( x)? ? ?}

(t −t₀)= x−x0

v₀⋅cos (α)

y_{= y0+tan (}

α

_{)⋅( x −x0)−} g

2_⋅v02_⋅cos2₍

_α

₎⋅( x− x0)

2

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Cartesianas: Curva paramétrica (em função do tempo)

y₌

[

y_{0−tan (α)⋅x0−} g⋅x0 2 2_⋅v02_⋅cos2_{(α )}

]

+

[

tan(α )+ g_⋅x0 v₀2_⋅cos2_{(α )}

]

⋅x −

[

g 2_⋅v02_⋅cos2_{(α )}

]

⋅x 2 y_{=C + B⋅x− A⋅x}2

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Polares:

a_r= − g⋅sen (θ ) a_θ=−g⋅cos(

θ

) d2_r dt2 −r⋅

(

dθ dt

)

2 =−g⋅sen (θ ) 2 dr dt⋅ dθ dt +r⋅ d2_θ dt2 =−g⋅cos (θ )

Este é um sistema acoplado de equações diferenciais de segunda ordem, não linear → não tem solução analítica! Em resumo, não há como separar as coordenadas r e θ nestas equações e efetuar as integrações para obter as velocidades e posições.

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Polares:

Uma saída (se houver a necessidade real de expressar o movimento em coordenadas polares), é expressar as coordenadas r e θ em função das coordenadas x e y, cuja solução, já conhecemos. Note que isto não é “solucionar” o problema, mas levar a solução já obtida em coordenadas cartesianas, à transformação de coordenadas:

r

_(t)=

√

[

x

_(t)

]

2

₊

[

y

_(t)

]

2

_θ

_{(t )=arctan}

[

y

(t )

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Polares: Assim:

r(t)=

[

r02+[2 r0⋅v0⋅cos(α−θ0)]⋅(t−t0)+[ v20−r0⋅g⋅sen(θ0)]⋅(t−t0)2−[v0⋅g⋅sen(α)]⋅(t−t0)3+

g2

4⋅(t−t0)

4

]

1/ 2

θ(t )=arctan

[

r0⋅sen(θ0)+[ v0⋅sen(α)]⋅(t−t0)−(g/2)⋅(t−t0)

2

r0⋅cos(θ 0)+[v0⋅cos(α)]⋅(t−t0)

]

Onde utilizamos,

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Polares: Para as velocidades: v_r(t)= r0⋅v0⋅cos(α−θ0)+

[

v02−r0⋅g⋅sen(θ 0)

]

⋅(t−t0)−

[

3 2⋅v0⋅g⋅sen(α)

]

⋅(t−t0) 2 + g2 2⋅(t−t0) 3

[

r₀2+[2r0⋅v0⋅cos(α−θ0)]⋅(t−t0)+[v0 2 −r0⋅g⋅sen(θ0)]⋅(t−t0) 2 −[v0⋅g⋅sen(α)]⋅(t−t0) 3 +g2 4⋅(t−t0) 4

]

1/ 2 v_θ(t)= r_{0⋅v0⋅sen(α−θ 0)−}

[

r_{0⋅g⋅cos(θ 0)}

]

_{⋅(t−t0)−}

[

1 2⋅v0⋅g⋅cos(α)

]

⋅(t−t0) 2 r₀2+[2 r0⋅v0⋅cos(α−θ0)]⋅(t−t0)+[v0 2_−r 0⋅g⋅sen(θ0)]⋅(t−t0) 2_−[v 0⋅g⋅sen(α)]⋅(t−t0) 3₊g2 4⋅(t−t0) 4

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: I. Projetil Simples

(Terra plana e imóvel, sem ar) Coordenadas Polares:

Para as acelerações teremos expressões muito complicadas (aqui só mostrada a_r ; a_θ fica à coragem do leitor, vocês que lutem!):

a_r(t )= p(t)⋅

[

r₀2+[2 v0⋅r0⋅cos(α−θ 0)]⋅(t−t0)+[v0 2 −r0⋅g⋅sen(θ0)]⋅(t−t0) 2 −[g⋅v0⋅sen(α )]⋅(t−t0) 3 +g 2 4⋅(t−t0) 4

]

−3/ 2 p(t )=r0 2 ⋅

[

v₀2⋅sen2 (α−θ0)−r0⋅g⋅sen(θ0)

]

−

[

3 r0 2 ⋅v0⋅g⋅sen(α)

]

⋅(t−t0)+r0⋅

[

3 2⋅r0⋅g 2 −6⋅v0 2 ⋅g⋅sen(α)⋅cos(α−θ0)

]

⋅(t−t0) 2 +r0⋅v0⋅g⋅

[

sen(α)⋅

(

g⋅sen(θ0)− v₀2 r₀

)

+4⋅g⋅cos(α−θ0)

]

⋅(t −t0) 3 +g₄2⋅

[

11⋅(v₀2−r0⋅g⋅sen(θ0))+3⋅v0 2 ⋅sen2 (α)

]

⋅(t−t0) 4 −

[

3⋅v0⋅g 3 ⋅sen(α)

]

⋅(t−t0) 5 +

[

g₈4

]

⋅(t−t0) 6

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular ( raio constante = R )

Trajetória fixada Pode haver torque

Raio constante sugere que o problema é mais facilmente abordado em coordenadas polares.

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular

( raio constante = R ) Coordenadas Polares: Existe a possibilidade de aceleração radial e tangencial:

a

_r

_=−R⋅

(

d

θ

dt

)

2

a

_θ

_=R⋅

d

2

_θ

dt

2

Note que mesmo com r constante, existe aceleração radial. Contraditório? Não, notar que:

⃗r = r⋅^r ⇒ ⃗v =

dr

_dt⋅

^r+r⋅

d

_dt

^r

0

_{⇒ ⃗v = R⋅}

d

^r

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular

( raio constante = R ) Coordenadas Polares: Continuando...

⃗v = R⋅

d

^r

dt

⇒ ⃗a = R⋅

d

2

^r

dt

2 Mas

^r = cos(

θ

)⋅^x+sen(

θ

) ^y ⇒

d

_{dt =}

^r

d

_{dt ⋅}

θ

[

−sen(

θ

)⋅^x+cos(

θ

) ^y

]

=

d

_{dt ⋅}

θ

θ

^

_⇒

d2_^r dt2 = d2_θ dt2 ⋅

[

−sen(θ )⋅^x+cos(θ ) ^y

]

− d_θ dt ⋅ d_θ dt ⋅

[

cos(θ )⋅^x+sen(θ ) ^y

]

⇒

⃗a = R⋅

[

d

2

θ

dt

2

⋅^

θ

−

(

d

_θ

dt

)

2

⋅^r

]

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular

( raio constante = R ) Coordenadas Polares:

Ou seja, a aceleração centrípeta é decorrente apenas da mudança de direção do vetor , assim, ela não deve ser utilizada para calcular a velocidade radial, via integração. Resta apenas a variação da aceleração tangencial:

⃗r

a

_θ

_{= R⋅}

d

2

_θ

dt

2

= R⋅

α

⇒

d

_θ

dt

=

ω

0

+

α

⋅(t−t

0

)

⇒

θ

(t )=

θ

0

+

ω

0

⋅(t−t

0

)+

α

_2⋅(

t

−t

0

)

2

r

_{(t) = R}

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular

( raio constante = R ) Coordenadas Cartesianas:

Analisar o movimento circular em coordenadas cartesianas, sem informação prévia, obtida com a resolução de coordenadas polares, complica demais a solução, pois, só a título de curiosidade, a aceleração na direção X é:

a

_x

_{= a}

_r

_⋅cos(

_θ

_)−a

_θ

_⋅sen(

_θ

_)=−x⋅

(

d

θ

dt

)

2

− y⋅

α

=−x⋅

(

x

_⋅

dy

dt −

y

⋅

dx

dt

x

2

_{+ y}

2

)

2

− y⋅

α

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: II. Movimento Circular

( raio constante = R ) Coordenadas Cartesianas:

Por isto, é bem mais simples utilizar a informação da resolução por coordenadas polares:

⃗x (t)=r (t)⋅cos[

θ

(t )]⋅^x ⃗y (t )=r (t )⋅sen [

θ

(t)]⋅^y

x

_{(t) = R⋅cos}

[

_θ

₀

₊

_ω

₀

_⋅(t−t

₀

₎₊₍

_α

_/2)⋅(t−t

₀

₎

2

]

v

_x

_{(t) = −R⋅}

[

_ω

₀

₊

_α

_⋅(t−t

₀

₎

]

_⋅sen

[

_θ

₀

₊

_ω

₀

_{⋅(t −t}

₀

₎₊₍

_α

_/2)⋅(t−t

₀

₎

2

]

Cinemática Multidimensional Movimento 2D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Aplicações: III. Força elástica central (Exercício desafio)

Seja uma partícula de massa m, livre para movimentar-se no plano, sujeita à uma força central:

⃗F =−k⋅⃗r

Supondo condições iniciais quaisquer, descreva as equações de movimento no sistema que julgar mais adequado.

“Perder-se também é caminho.”