t 2 v v sen t g t dv a dt Aplicação: Lançamento Oblíquo: v v g t Vetor velocidade média Vetor Velocidade instantânea: Vetor aceleração média:

Texto

(1)

1

EMENTA

Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos.

OBJETIVOS GERAIS

 Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.

 Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que são comuns no exercício da profissão de engenheiro.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro.

 Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e outras.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Cinemática da Partícula;

(a) Vetor Posição;

(b) Vetor Velocidade;

(c) Vetor Aceleração;

i. aceleração tangencial;

ii. aceleração normal;

2. Cinemática do Sólido;

(a) Classificação dos Movimentos;

(b) Movimento de Translação;

i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;

(c) Movimento Plano;

(d) Rotação com Eixo Fixo;

i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;

(e) Movimento Plano em geral;

i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;

(f) Centro Instantâneo de Rotação;

(g) Movimento Geral;

BIBLIOGRAFIA Básica

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.

8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.

FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005.

GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003

KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000.

SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008.

Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.

Vetor Posição: r       x i ˆ y j z k ˆ ˆ

Vetor velocidade média v m :

m

v r t

 

 Vetor Velocidade instantânea: dr vdt

 Vetor aceleração média: m v

a t

 

 Vetor Aceleração instantânea: dv adt

Aplicação: Lançamento Oblíquo:

Eixo x: MU: 0 0

x   x v

x

t

Eixo y: MUV:

2

0 0

2

y

yyv    t g t

0

y

v yv   g t

 Decomposição da velocidade inicial v 0 :

0 0 cos 0 0

x y

vv    vvsen

 Tempo de subida: s 0

y

v tg

 Alcance: m 0 2   2

x v sen

g

 Altura máxima:

0

2

2

y

v

hg

(2)

2

Movimentos curvilíneos MCU e MCUV

MCU a Ra N MCUV a Ra Na T e N

v a perpendiculares Função angular horária    t

  t 0 t

        0 0 2

1

t t 2 t

        

Velocidade angular   t

  t cte

     t   0    t

2 2

0 2

       

Velocidade linear v t   v    r

Aceleração angular   t

  t 0

     tcte Aceleração

resultante

R cp

aa

2 2

R cp T

aaa

Aceleração tangencial

T 0 a

T T

a dv a r

dt

   

Aceleração centrípeta e Força centrípeta

2

2

cp cp cp

a v a R F m a

R

      

Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:

 Translação.

 Rotação sobre um eixo fixo.

 Movimento Geral sobre um plano

 Movimento sobre um ponto fixo

 Movimento Geral qualquer.

Translação

B A BA

r   r r

B A

vv

B A

aa

Rotação sobre um eixo fixo

(3)

3

1 rev  2  rad  360 0

dr vdt

v ds s BP BP r sen

dt  

        v r d sen

dt

 

       v rsen

Velocidade angular:     k ˆ

Como o ângulo entre r e  é , lembrando da propriedade do módulo do produto vetorial:

r r sen r sen v

             v    r

 

dv d d dr

a a r r

dt dt dt dt

  

       

a d r v

dt

 

   

Aceleração angular: d dt

  

ˆ ˆ ˆ

k k k

             

 

a      r    r

Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo:

Sendo     k ˆ        vr vk r ˆ

Como k ˆ     r v r

 

a      r    r

 

ˆ ˆ ˆ

a        k rk    k r

 

ˆ 2 ˆ ˆ

a      k r     k k r

 

ˆ ˆ

k   k r  uv w   u w v u v w

     

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

k k r k r k k k r

      

 

ˆ ˆ

k   k r   r ˆ 2

a      k r   r

 Aceleração tangencial:

T ˆ T

a      k r a    r

 Aceleração normal

2 2

N N

a      r a    r

Resumo: Rotação com eixo fixo:

1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares.

2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ d ˆ

e e

dt

        

A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do eixo de rotação do sólido.

O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti- horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita;

com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando para o ponto A.

3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ d ˆ

e e

dt

        

4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por:

P

P P

v dr v r r P A

dt

      

5. O vetor aceleração do ponto P é dado por:

a v a dv

   dta      r P     r P

     

a    PA      PA

Exemplos Resolvidos

1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s.

(a) α = 2 rad/s 2 ; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B.

(b) α = 2 rad/s 2 ; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.

 Ponto B:

ˆ ˆ

0.2 cos 30 0.2 30 r B     isen  j

ˆ ˆ

0.173 0.1 r B    ij

ˆ 2

2 rad k s

   

 

30°

B C

D 45°

60°

B

(4)

4

0 0 2 3 6 rad

t s

             

6 ˆ rad k s

   

 

 

ˆ ˆ ˆ

6 0.173 0.1

B B B

v     r v    k   ij

   

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

6 0.173 6 0.1

B

j i

v k i k j

       

ˆ ˆ

0.6 1.038

B

v i j m

s

          

T N

B B B

aaaa B      r Bv B

B

T

B

a    r

 

ˆ ˆ ˆ

2 0.173 0.1

B

T

a    k   ij

   

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 0.173 2 0.1

B

T

j i

a k i k j

       

ˆ ˆ 2

0.2 0.346

B

T

a i j m

s

          

B

N

B

a    v

 

ˆ ˆ ˆ

6 0.6 1.038

B

N

a     k   ij

 

   

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

6 0.6 6 1.038

B

T

j i

a k i k j

        

ˆ ˆ 2

0.828 3.6

B N

a i j m

s

          

ˆ ˆ ˆ ˆ

0.2 0.346 0.828 3.6

BT BN

B

a a

a     i    j   ij

ˆ ˆ 2

1.028 3.254

B

a i j m

s

          

1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular  = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s 2 . No instante ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velocidade angular.

(b) o vetor aceleração angular.

(c) a velocidade do ponto D.

Pontos x y z (x,y,z)

A 0 0.203 0 (0,0.203,0)

B 0 0 0.152 (0,0,0.152)

D 0.178 0 0 (0.178,0,0)

0,0.203,0   0,0,0.152

BA A B    BA  

 0,0.203, 0.152 

BA  

ˆ ˆ ˆ

0 0.203 0.152 BA    i   jk

  2

2 2

0 0.203 0.152 0.254

BA      BA

0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ

ˆ ˆ

0.254 0.254 0.254

e BA e i j k

BA

    

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0 0.8 0.599

e    i   jk

ˆ ˆ ˆ

ˆ 5 0 0.8 0.599

e i j k

            

 

ˆ ˆ ˆ

0 i 4 j 2.977 k rad s

      

ˆ ˆ ˆ

ˆ 4 0 0.8 0.599

e i j k

             ˆ 2

ˆ ˆ

0 i 3.202 j 2.397 k rad s

       

 

ˆ ˆ ˆ

0 i 4 j 2.977 k rad s

      

0.178,0,0   0,0.203,0

AD    D A AD  

 0.178, 0.203,0 

AD  

ˆ ˆ ˆ

0.178 0.203 0 AD    i    j k

v    AD

0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ   0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ

v      i j   k   i    j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v  

 

ˆ ˆ ˆ

0.608 0.533 0.712 m

v i j k

s

            

  D

a    DA    v

 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 3.202 2.397 0 3.202 0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

D A

    

 

D A0.487 i ˆ 0.427 ˆ j 0 570 k ˆ

          

 

D

DA

v

D r

D A v

       

 

 

z

x y

B

A C

0.203 m

0.152 m 0.178 m

D

E

(5)

5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4.002 2.997 0 4.002

0.608 0.533 0.712 0.608 0.533

i j k i j

   v

    

ˆ ˆ ˆ

4.447 1.822 2.433

v i j k

        

  D

a    DA    v

ˆ ˆ ˆ

0.487 0.427 0 570

ˆ ˆ ˆ

4.447 1.822 2.433

a i j k

i j k

        

     

2

ˆ ˆ ˆ

4.934 1.395 3.003 m

a i j k

s

            

2. No problema anterior, determine a velocidade e a aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é  = 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s 2 .

 

ˆ ˆ ˆ

0 i 4 j 2.977 k rad s

      

ˆ ˆ ˆ

ˆ 20 0 0.8 0.599

e i j k

             ˆ 2

ˆ ˆ

0 i 16 j 11.98 k rad s

       

0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ   0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ

v      i j   k   i    j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v  

 

ˆ ˆ ˆ

0.608 0.533 0.712 m

v i j k

s

            

ˆ ˆ ˆ

0.178 0.203 0 AD    i    j k

v    AD

0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ   0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ

v      i j   k   i    j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v  

 

ˆ ˆ ˆ

0.608 0.533 0 712 m

v i j k

s

             

 

D D

a    DA    v

 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 16 11.98 0 16

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

D A

    

 

D A2.4319 i ˆ 2.13244 ˆ j 2.848 k ˆ

         

 

D Av D

       

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4.002 2.997 0 4.002

0.608 0.533 0.712 0.608 0.533

i j k i j

   v

    

ˆ ˆ ˆ

4.447 1.822 2.433

v i j k

        

  D

a    DA    v

ˆ ˆ ˆ

2.4319 2.13244 2.848

ˆ ˆ ˆ

4.447 1.822 2.433

a i j k

i j k

       

     

2

ˆ ˆ ˆ

6.8789 0.31044 0.415 m

a i j k

s

            

3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice F.

Pontos P x y z P(x,y,z)

A 0 0.1 0 (0,0.1,0)

B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1) C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2)

D 0.35 0 0 (0.35,0,0)

F 0 0 0.2 (0,0,0.2)

 0.35, 0.1,0.2   0,0.1,0 

AC C A    AC   

 0.35, 0.2,0.2 

AC  

ˆ ˆ ˆ

0.35 0.2 0.2 AC    i   jk

  2

2 2

0.35 0.2 0.2 0.45

AC      AC

0.35 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ

ˆ ˆ

0.45 0.45 0.45

e AC e i j k

AC

    

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0.778 0.444 0.444 e    i   jk

ˆ ˆ ˆ

ˆ 9 0.778 0.444 0.444

e i j k

            

 

ˆ ˆ ˆ

7.002 i 3.996 j 3.996 k rad s

      

(6)

6

0,0,0.2   0,0.1,0

AF    F A AF  

 0, 0.1, 0.2 

AF    AF    0 i ˆ 0.1   ˆ j 0.2  k ˆ v F    AF

7.002 ˆ 3.996 ˆ 3.996 ˆ   0 ˆ 0.1 ˆ 0.2 ˆ

v    i   j     k i   jk

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

7.002 3.996 3.996 7.002 3.996

0 0.1 0.2 0 0.1

i j k i j

v   

 

ˆ ˆ ˆ 0.3996 1.4 0 7

F

v i j k m

s

             

  F

a    FA    v

  0   F A 0

 

F Av F

       

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4

F

i j k i j

  v   

    

ˆ ˆ ˆ

8.39 3.304 11.399

v F i j k

       

 

0

F F

a    FA    v

2

ˆ ˆ ˆ

8.39 3.304 11.399 m

a i j k

s

           

4. No problema anterior, use  = 9 rad/s e decresce à razão de 13.5 rad/s 2 , encontre a velocidade e aceleração do vértice H.

5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando sua aceleração alcançar 3 m/s 2 . Se a placa parte do repouso em t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s 2 , determine o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco começar a escorregar; r = 200 mm.

2 2

3 2

R N T R

a a a a m

    s 4 0.2 0.8 2

T T T

a r a a m

s

      

2 2 2 2

3 N T N 9 0.8 N 2.891 m 2

a a a a

       s

2 2.891

3.801 0.2

N N

a rad

a r

r s

   

       

0 t

     

3.801

3.801 0 4 0.95

t t 4 s t s

      

6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s 2 . Sabendo-se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.

2 2

R N T

aaa

0.5 0.2 0.1 2

T T T

a r a a m

s

      

0 0 rad s

 

2

0 N 0 N 0

t   a     r a 0.1 2

R T R

a a a m

   s 1 t

0 0 0.5 1 0.5 rad

t s

             

2 2

1 N N 0.5 0.2 N 0.05 rad 2

t a r a a

s

        

0.1 2

T T

a r a m

s

   

2 2 2 2

0.05 0.1 0.118 2

R R N T R R

a a a a a a m

        s

0.1 0

2 63.43

0.05

T N

tg a tg arctg

  a          2

t   T T 0.1 m 2

a r a

s

   

0 0 0.5 2 1 rad

t s

             

2 2

2 N N 1 0.2 N 0.2 rad 2

t a r a a

s

        

2 2 2 2

0.2 0.1 0.2236 2

R R N T R R

a a a a a a m

        s

0.1 1 0

26.56

0.2 2

T N

tg a tg arctg

  a               

A B

α

a N a R

a T

a N a R

a T

(7)

7

7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice E.

Pontos P x y z P(x,y,z)

A 0 0.225 0 (0,0.225,0)

B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3)

C 0 0 0.3 (0,0,0.3)

D 0 0 0 (0,0,0)

E 0.5 0 0 (0.5,0,0)

 0.5, 0, 0.3   0, 0.225, 0 

AB    B A AB  

 0.5, 0.225, 0.3 

AB  

ˆ ˆ ˆ

0.5 0.225 0.3 AB    i   jk

  2

2 2

0.5 0.225 0.3 0.625

AB      ABm

0.5 ˆ 0.225 ˆ 0.3 ˆ

ˆ ˆ

0.625 0.625 0.625

e AB e i j k

AB

    

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0.8 0.36 0.48 e    i   jk

ˆ ˆ ˆ

ˆ 10 0.8 0.36 0.48

e i j k

            

 

ˆ ˆ ˆ

8 i 3.6 j 4.8 k rad s

      

0.5, 0, 0   0.5, 0, 0.3 

BE    E B BE  

0, 0, 0.3

BE  

ˆ ˆ ˆ

0 0 0.3

BE      i jk v E    BE

8 ˆ 3.6 ˆ 4.8 ˆ   0 ˆ 0 ˆ 0.3 ˆ

v    i   j       k i jk

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

8 3.6 4.8 8 3.6

0 0 0.3 0 0

i j k i j

v   

 ˆ ˆ ˆ

1.08 2.4 0

E

v i j k m

s

           

     

a    EB      EB

  0   F A 0

 

E Bv E

       

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

8 3.6 4.8 8 3.6 1.08 2.4 0 1.08 2.4

E

i j k i j

  v   

ˆ ˆ ˆ

11.52 5.184 23.088

v E i j k

       

     

0

E

E

v

a    EB      EB

2

ˆ ˆ ˆ

11.52 5.184 23.088

E

a i j k m

s

            

8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e decresce a taxa de 20 rad/s 2 .

9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas.

Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se:

(a) a aceleração angular do rotor.

(b) o tempo total do movimento.

1800 1800 30

frpm   f 60 Hz   f Hz

0 0 0

188.5

2 2 30 60 rad

f s

            

3926.99

2 n 2 625 1250 rad

     

         

2

2 2 0

0 0

2 2

     

       



(8)

8

  2 2

2 4.524

60 3600

2 1250 2500 1.44

rad s

 

   

 

         

 

0

188.5

0 188.5 4.524 41.67

4.524

t t t t s

              10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a aceleração do movimento é uniforme, determine o número de voltas dado pelo rotor:

(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm.

(b) estando em 2400 rpm, até parar.

11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmente no sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se:

(a) as acelerações angulares de cada disco.

(b) a velocidade final do ponto de contato.

Determinando a freqüência angular inicial e final do disco A:

0 0 0 0

2 2 450 47.12

A A A 60 A

f rad

            s

2 2 140 14.66

60

f f f f

A A A A

f rad

            s

Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm.

Depois fica com MCU a 140 rpm:

 MCUVR:

2

14.66 47.12

14.66 47.12 6 5.41

A A

6

A

rad

  s

       

 MCU:

14.66 0.08 1.17

A f A A

P A A P P

v r v v m

s

      

Disco B possui os movimentos:

1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s.

MCUVA.

2. Mantem movimento uniforme. MCU.

 MCU: Neste segundo movimento, as velocidades tangenciais de B e A serão iguais:

A B B

1.17

P P P

v v v m

   s

 MCUVA:

1.17 0.12 1.17

0.12

B f f f

P B B B B

v     r      

f

9.75

B

rad

  s

Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade angular

B

f

 em 6 s:

0 0

f f

B B

B B B t B

t

 

        

2

9.75 0 6 1.63

B B

rad

     s

12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração constante a A = 300 mm/s 2 e velocidade inicial v A = 240 mm/s, ambas de baixo para cima. Determine:

(a) o número de revoluções executadas pela polia em t

= 3 s.

(b) a velocidade e a posição de B em 3 s.

(c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.

 Polia menor:

0.3 0.12

A A

T

T A A A A

A

a r a

  r

     

2.5 2 A

rad

  s

0

0 0 0 0

0.24 0.12

A

A A

A

A A

A

v r v

  r

     

0 2.0

A

rad

  s

2

0 0

1 2

A

t A t

        

2

0 0

1 2

A

t A t

           

2

0 0

1 2

A

t A t

            1 2

2 3 2.5 3

 2

    

A 120 mm

B

80 mm

(9)

9

2.75

17.25 17.25

rad 2 rev

 

     

 Polia maior:

0 2.0 0

A B

rad

  s   2.5 2

A B

rad

  s  

0 2 2.5 3

B

B

B t B

          

B 9.5

rad

  s

9.5 0.18 1.71

B B B B B

v r v v m

s

       

2

0 0

1 2

B

t B t

            1 2

2 3 2.5 3 17.25

2 rad

 

       

17.25 0.18 3.10571

B B B B

sr s s m

         

 Aceleração em D:

2.5 2

T

D

D B D A

a r rad

   s

    

2.5 0.18

D D

T D B T

a     r a    0.45 2

T

D

a m

s

2

0 2

D A

N D B D

a r rad

   s

    

2

2 0.18 0.72 2

D D

N N

a a m

    s

2 2

D D D

R T N

aaa

2 2

0.45 0.72 0.849 2

D D

R R

a a m

    s

0.45 0.72

D

D

T N

tg a tg

  a   

0.625 32

arctg

     

13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular  = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s 2 . No instante ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se:

(a) a velocidade no ponto C.

(c) a aceleração do ponto C.

Pontos x y z (x,y,z)

A 0 0.56 0 (0,0.56,0)

B 0 0 0.8 (0,0,0.8)

C 0.56 0 0 (0.56,0,0)

0, 0.56, 0   0, 0, 0.8

BA    A B BA  

 0, 0.56, 0.8 

BA  

ˆ ˆ ˆ

0 0.56 0.8

BA    i   jk

  2

2 2

0 0.56 0.8 0.976

BA      BA

0 ˆ 0.56 ˆ 0.8 ˆ

ˆ ˆ

0.976 0.976 0.976

e BA e i j k

BA

    

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0 0.573 0.819 e    i   jk

Como o ponto C está subindo (horário):

ˆ ˆ ˆ

ˆ 5 0 0.573 0.819

e i j k

              

 

ˆ ˆ ˆ

0 i 2.865 j 4.095 k rad s

      

ˆ ˆ ˆ

ˆ 4 0 0.573 0.819

e i j k

              ˆ 2

ˆ ˆ

0 i 2.292 j 3.276 k rad s

          

0.56, 0, 0   0, 0.56, 0

AC    C A AC  

 0.56, 0.56, 0 

AC  

ˆ ˆ ˆ

0.56 0.56 0 AC    i    j k

v C    AC

0 ˆ 2.865 ˆ 4.095 ˆ   0.56 ˆ 0.56 ˆ 0 ˆ

v C    i   j   k   i    j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.865 4.095 0 2.865 0.56 0.56 0 0.56 0.56

C

i j k i j

v   

 

ˆ ˆ ˆ

2.293 2.2932 1.599

C

v i j k m

s

           

C C

a    AC    v

T

D

a

N

D

a D

R

D

a

z

x y

B

A C

0.56 m

0.80 m 0.56 m

D

E

(10)

10

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.292 3.276 0 2.292 0.56 0.56 0 0.56 0.56

i j k i j

  AC   

 

ˆ ˆ ˆ

1.8346 1.8346 1.2835

AC i j k

       

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.865 4.095 0 2.865 2.293 2.293 1.599 2.293 2.293

C

i j k i j

  v   

ˆ ˆ ˆ

13.97 9.389 6.569

v C i j k

        

C C

a    AC    v

ˆ ˆ ˆ

1.8346 1.8346 1.2835

ˆ ˆ ˆ

13.97 9.389 6.569

a C i j k

i j k

      

     

2

ˆ ˆ ˆ

12.1354 11.2236 7.8525

C

a i j k m

s

            

14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1 rad/s 2 . Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6.5 m/s 2 . Pedem-se:

(a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco.

(b) o instante que o bloco deslizará.

ˆ 1 ˆ

j j

       

0 1

ˆ 0 ˆ 1 ˆ

j t j t j

                    

 

0.35 ˆ r   i

v    r

   

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 0.35 1 0.35

k

v t j i v t j i

          0.35 ˆ

v     t k

T N

a a

a      rv

   1 ˆ 0.35 ˆ   1 ˆ   0.35 ˆ

a    j       i t j   t k

   

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 0.35 0.35

k i

a j i t t j k

       

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

0.35 0.35 0.35 0.35

a     k      t i a    t ik

10.35 1 2 ˆ 0.35 ˆ

a t       ik

10.35 ˆ 0.35 ˆ m 2

a t i k

s

           

2 2 2

ˆ ˆ

0.35 0.35 T N

a     k     t i a aa

  2   2

2 2 2 2 2

0.35 0.35

T N

aaaa      t

2 4

6.5  0.1225 0.1225   t 42.25 0.1225   0.1225  t 4

4 4 42.1275

0.1225 42.1275

0.1225

t t

   

4 343.897 4.31

t    t s

15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no sentido anti-horário. Pedem-se:

(a) a velocidade do anel C;

(b) a velocidade angular da roda inferior B.

(c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel.

6.667

400 400 2 41.887

A A 60 A A A

f rpm f Hz f rad

   s

       

ext ext

ext

A

A C A A C C C A

C

v v r r r

   r

       30 41.887 16.534

C 76 C

rad

      s

int

int int

C

B C B B C C B C

B

v v r r r

   r

       72 16.534 39.682

B 30 B

rad

      s

2 ˆ 41.887 2 0.03 ˆ

A A

N A A N

a      r j a    j y

z

B 0.35 m

A

x ˆ j

k ˆ i ˆ

B A

C

x y

z

(11)

11

ˆ 2

0 52.635

A A A

T R N

a a a j m

s

          

 

2 ˆ 39.682 0.03 2 ˆ

B B

N B B N

a       r j a     j ˆ 2

0 47.239

B B B

T R N

a a a j m

s

           

16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e B, com eixos fixos e com raios r A = 800 mm e r B = 384 mm, respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se:

(a) a aceleração angular das engrenagens;

(b) a velocidade angular final da engrenagem B;

(c) a velocidade final do ponto pertencente à engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A.

(d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas mesmas condições.

0

2

0 120 120

A f A rpm f A 60 Hz

     

12.566

2 4

A A A

f

f rad

          s

0

12.566 0

5

A

f

A

A A A

t t

 

        

 

2.51 2 A

rad

   s  o negativo é devido ao sentido horário.

A

A B A A B B B A

B

v v r r r

   r

       800 12.566 26.17

B 384 B

rad

      s 26.17 ˆ

B

k rad

    s  

0

26.17 0

5

B

f

B

B B B

t t

 

        

 

5.236 2 B

rad

  s

26.17 0.384 10.049

B B B B B

v r v v m

s

      

10.049 ˆ

B

v j m

s

       

T

0

R N

B B B

a   aa

2 2

2

10.049

262.98 0.384

N N N

B

B B B

B

v m

a a a

r s

    

ˆ 2

262.98

B

N

a i m

s

        ^

17. O sistema ilustrado é formado por uma plca de dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s 2 . Quando obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário.

Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto C;

(b) a aceleração do ponto C.

Pontos x y z (x,y,z)

A 0 0.1 0 (0,0.1,0)

B 0.4 -0.1 0.2 (0.4,-0.1,0.2)

C 0.4 0 0.2 (0.4,0,0.2)

 0.4, 0.1, 0.2   0, 0.1, 0 

AB    B A AB   

 0.4, 0.2, 0.2 

AB  

ˆ ˆ ˆ

0.4 0.2 0.2

AB    i   jk

  2

2 2

0.4 0.2 0.2 0.4899

AB      AB

0.4 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ

ˆ ˆ

0.4899 0.4899 0.4899

e AB e i j k

AB

       

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0.8165 0.4082 0.4082

e    i   jk

Anti-horário:

ˆ ˆ ˆ

ˆ 15 0.8165 0.4082 0.4082

e i j k

             

 

ˆ ˆ ˆ

12.2475 i 6.123 j 6.123 k rad s

       y

x

(12)

12

ˆ ˆ ˆ

ˆ 7 12.2475 6.123 6.123

e i j k

              ˆ 2

ˆ ˆ

85.7325 i 42.861 j 42.861 k rad s

           

 0.4, 0, 0.2   0, 0.1, 0 

AC    C A AC  

 0.4, 0.1, 0.2 

AC  

ˆ ˆ ˆ 0.4 0.1 0.2 AC    i   jk

v C    AC

12.2475 ˆ 6.123 ˆ 6.123 ˆ   0.4 ˆ 0.1 ˆ 0.2 ˆ

v C    i   j   k   i   jk

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123

0.4 0.1 0.2 0.4 0.1

C

i j k i j

v   

 

ˆ ˆ ˆ

0.61232 0 1.225

C

v i j k m

s

            

C C

a    AC    v

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861

0.4 0.1 0.2 0.4 0.1

i j k i j

  AC    

 

ˆ ˆ ˆ

4.2861 0 8.571

AC i j k

       

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123 0.61232 0 1.225 0.61232 0

C

i j k i j

  v   

 

ˆ ˆ ˆ

7.5 18.7534 3.7492

v C i j k

        

C C

a    AC    v ˆ ˆ ˆ

4.2861 0 8.571

ˆ ˆ ˆ

7.5 18.7534 3.7492

a C i j k

i j k

      

     

2

ˆ ˆ ˆ

3.2139 18.7534 12.3202

C

a i j k m

s

            

18. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular constante de  = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C está descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velocidade angular.

(b) a velocidade do ponto C na forma vetorial.

(c) a aceleração do ponto C na forma vetorial.

Pontos x y z (x,y,z)

A 0 0.203 0 (0,0.203,0)

B 0 0 0.152 (0,0,0.152)

C 0.178 0.203 0 (0.178,0.203,0)

D 0.178 0 0 (0.178,0,0)

 0, 0.203, 0   0, 0, 0.152 

BA    A B BA  

 0, 0.203, 0.152 

BA  

ˆ ˆ ˆ

0 0.203 0.152 BA    i   jk

  2

2 2

0 0.203 0.152 0.254

BA      BA

0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ

ˆ ˆ

0.254 0.254 0.254

e BA e i j k

BA

    

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0 0.8 0.599 e    i   jk

ˆ ˆ ˆ

ˆ 5 0 0.8 0.599

e i j k

            

 

ˆ ˆ ˆ

0 i 4 j 3 k rad s

      

ˆ 0

      e

 0.178, 0.203, 0   0, 0.203, 0 

AC    C A AC  

 0.178, 0, 0 

AC

ˆ ˆ ˆ

0.178 0 0

AD       i j k v    AD

0 ˆ 4 ˆ 3 ˆ   0.178 ˆ 0 ˆ 0 ˆ

v        i j k      i j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 3 0 4

0.178 0 0 0.178 0

i j k i j

v  

ˆ ˆ ˆ

0 0.53 0.71 m

v i j k

s

           

   C

a    CA      v

C A0

    z

x y

B

A C

0.203 m

0.152 m 0.178 m

D

E

Imagem

Referências

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