1
EMENTA
Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos.
OBJETIVOS GERAIS
Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.
Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que são comuns no exercício da profissão de engenheiro.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro.
Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e outras.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Cinemática da Partícula;
(a) Vetor Posição;
(b) Vetor Velocidade;
(c) Vetor Aceleração;
i. aceleração tangencial;
ii. aceleração normal;
2. Cinemática do Sólido;
(a) Classificação dos Movimentos;
(b) Movimento de Translação;
i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;
(c) Movimento Plano;
(d) Rotação com Eixo Fixo;
i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;
(e) Movimento Plano em geral;
i. equações vetoriais de velocidade e aceleração;
(f) Centro Instantâneo de Rotação;
(g) Movimento Geral;
BIBLIOGRAFIA Básica
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.
8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.
FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005.
GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003
KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000.
SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008.
Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.
Vetor Posição: r x i ˆ y j z k ˆ ˆ
Vetor velocidade média v m :
m
v r t
Vetor Velocidade instantânea: dr v dt
Vetor aceleração média: m v
a t
Vetor Aceleração instantânea: dv a dt
Aplicação: Lançamento Oblíquo:
Eixo x: MU: 0 0
x x v
x t
Eixo y: MUV:
2
0 0
2
y
y y v t g t
0
yv y v g t
Decomposição da velocidade inicial v 0 :
0 0 cos 0 0
x y
v v v v sen
Tempo de subida: s 0
yv t g
Alcance: m 0 2 2
x v sen
g
Altura máxima:
02
2
y
v
h g
2
Movimentos curvilíneos MCU e MCUV
MCU a R a N MCUV a R a N a T e N
v a perpendiculares Função angular horária t
t 0 t
0 0 2
1
t t 2 t
Velocidade angular t
t cte
t 0 t
2 2
0 2
Velocidade linear v t v r
Aceleração angular t
t 0
t cte Aceleração
resultante
R cp
a a
2 2
R cp T
a a a
Aceleração tangencial
T 0 a
T T
a dv a r
dt
Aceleração centrípeta e Força centrípeta
2
2
cp cp cp
a v a R F m a
R
Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:
Translação.
Rotação sobre um eixo fixo.
Movimento Geral sobre um plano
Movimento sobre um ponto fixo
Movimento Geral qualquer.
Translação
B A BA
r r r
B A
v v
B A
a a
Rotação sobre um eixo fixo
3
1 rev 2 rad 360 0
dr v dt
v ds s BP BP r sen
dt
v r d sen
dt
v r sen
Velocidade angular: k ˆ
Como o ângulo entre r e é , lembrando da propriedade do módulo do produto vetorial:
r r sen r sen v
v r
dv d d dr
a a r r
dt dt dt dt
a d r v
dt
Aceleração angular: d dt
ˆ ˆ ˆ
k k k
a r r
Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo:
Sendo k ˆ v r v k r ˆ
Como k ˆ r v r
a r r
ˆ ˆ ˆ
a k r k k r
ˆ 2 ˆ ˆ
a k r k k r
ˆ ˆ
k k r u v w u w v u v w
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k k r k r k k k r
ˆ ˆ
k k r r ˆ 2
a k r r
Aceleração tangencial:
T ˆ T
a k r a r
Aceleração normal
2 2
N N
a r a r
Resumo: Rotação com eixo fixo:
1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares.
2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:
ˆ d ˆ
e e
dt
A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do eixo de rotação do sólido.
O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti- horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita;
com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando para o ponto A.
3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:
ˆ d ˆ
e e
dt
4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por:
P
P P
v dr v r r P A
dt
5. O vetor aceleração do ponto P é dado por:
a v a dv
dt a r P r P
a P A P A
Exemplos Resolvidos
1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s.
(a) α = 2 rad/s 2 ; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B.
(b) α = 2 rad/s 2 ; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.
Ponto B:
ˆ ˆ
0.2 cos 30 0.2 30 r B i sen j
ˆ ˆ
0.173 0.1 r B i j
ˆ 2
2 rad k s
30°
B C
D 45°
60°
B
4
0 0 2 3 6 rad
t s
6 ˆ rad k s
ˆ ˆ ˆ
6 0.173 0.1
B B B
v r v k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
6 0.173 6 0.1
B
j i
v k i k j
ˆ ˆ
0.6 1.038
B
v i j m
s
T N
B B B
a a a a B r B v B
B
TB
a r
ˆ ˆ ˆ
2 0.173 0.1
B
Ta k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 0.173 2 0.1
B
Tj i
a k i k j
ˆ ˆ 2
0.2 0.346
B
Ta i j m
s
B
NB
a v
ˆ ˆ ˆ
6 0.6 1.038
B
Na k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
6 0.6 6 1.038
B
Tj i
a k i k j
ˆ ˆ 2
0.828 3.6
B N
a i j m
s
ˆ ˆ ˆ ˆ
0.2 0.346 0.828 3.6
BT BN
B
a a
a i j i j
ˆ ˆ 2
1.028 3.254
B
a i j m
s
1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s 2 . No instante ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se:
(a) o vetor velocidade angular.
(b) o vetor aceleração angular.
(c) a velocidade do ponto D.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.203 0 (0,0.203,0)
B 0 0 0.152 (0,0,0.152)
D 0.178 0 0 (0.178,0,0)
0,0.203,0 0,0,0.152
BA A B BA
0,0.203, 0.152
BA
ˆ ˆ ˆ
0 0.203 0.152 BA i j k
2
2 2
0 0.203 0.152 0.254
BA BA
0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ
ˆ ˆ
0.254 0.254 0.254
e BA e i j k
BA
ˆ ˆ ˆ
ˆ 0 0.8 0.599
e i j k
ˆ ˆ ˆ
ˆ 5 0 0.8 0.599
e i j k
ˆ ˆ ˆ
0 i 4 j 2.977 k rad s
ˆ ˆ ˆ
ˆ 4 0 0.8 0.599
e i j k
ˆ 2
ˆ ˆ
0 i 3.202 j 2.397 k rad s
ˆ ˆ ˆ
0 i 4 j 2.977 k rad s
0.178,0,0 0,0.203,0
AD D A AD
0.178, 0.203,0
AD
ˆ ˆ ˆ
0.178 0.203 0 AD i j k
v AD
0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ 0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ
v i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
0.608 0.533 0.712 m
v i j k
s
D
a D A v
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.202 2.397 0 3.202 0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A
D A 0.487 i ˆ 0.427 ˆ j 0 570 k ˆ
D
DA
v
D r
D A v
z
x y
B
A C
0.203 m
0.152 m 0.178 m
D
E
5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
4.447 1.822 2.433
v i j k
D
a D A v
ˆ ˆ ˆ
0.487 0.427 0 570
ˆ ˆ ˆ
4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
2
ˆ ˆ ˆ
4.934 1.395 3.003 m
a i j k
s
2. No problema anterior, determine a velocidade e a aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é = 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s 2 .
ˆ ˆ ˆ
0 i 4 j 2.977 k rad s
ˆ ˆ ˆ
ˆ 20 0 0.8 0.599
e i j k
ˆ 2
ˆ ˆ
0 i 16 j 11.98 k rad s
0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ 0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ
v i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
0.608 0.533 0.712 m
v i j k
s
ˆ ˆ ˆ
0.178 0.203 0 AD i j k
v AD
0 ˆ 4 ˆ 2.977 ˆ 0.178 ˆ 0.203 ˆ 0 ˆ
v i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
0.608 0.533 0 712 m
v i j k
s
D D
a D A v
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 16 11.98 0 16
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A
D A 2.4319 i ˆ 2.13244 ˆ j 2.848 k ˆ
D A v D
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
4.447 1.822 2.433
v i j k
D
a D A v
ˆ ˆ ˆ
2.4319 2.13244 2.848
ˆ ˆ ˆ
4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
2
ˆ ˆ ˆ
6.8789 0.31044 0.415 m
a i j k
s
3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice F.
Pontos P x y z P(x,y,z)
A 0 0.1 0 (0,0.1,0)
B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1) C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2)
D 0.35 0 0 (0.35,0,0)
F 0 0 0.2 (0,0,0.2)
0.35, 0.1,0.2 0,0.1,0
AC C A AC
0.35, 0.2,0.2
AC
ˆ ˆ ˆ
0.35 0.2 0.2 AC i j k
2
2 2
0.35 0.2 0.2 0.45
AC AC
0.35 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ
ˆ ˆ
0.45 0.45 0.45
e AC e i j k
AC
ˆ ˆ ˆ
ˆ 0.778 0.444 0.444 e i j k
ˆ ˆ ˆ
ˆ 9 0.778 0.444 0.444
e i j k
ˆ ˆ ˆ
7.002 i 3.996 j 3.996 k rad s
6
0,0,0.2 0,0.1,0
AF F A AF
0, 0.1, 0.2
AF AF 0 i ˆ 0.1 ˆ j 0.2 k ˆ v F AF
7.002 ˆ 3.996 ˆ 3.996 ˆ 0 ˆ 0.1 ˆ 0.2 ˆ
v i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996
0 0.1 0.2 0 0.1
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ 0.3996 1.4 0 7
F
v i j k m
s
F
a F A v
0 F A 0
F A v F
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4
F
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
8.39 3.304 11.399
v F i j k
0
F F
a F A v
2
ˆ ˆ ˆ
8.39 3.304 11.399 m
a i j k
s
4. No problema anterior, use = 9 rad/s e decresce à razão de 13.5 rad/s 2 , encontre a velocidade e aceleração do vértice H.
5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando sua aceleração alcançar 3 m/s 2 . Se a placa parte do repouso em t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s 2 , determine o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco começar a escorregar; r = 200 mm.
2 2
3 2
R N T R
a a a a m
s 4 0.2 0.8 2
T T T
a r a a m
s
2 2 2 2
3 N T N 9 0.8 N 2.891 m 2
a a a a
s
2 2.891
3.801 0.2
N N
a rad
a r
r s
0 t
3.801
3.801 0 4 0.95
t t 4 s t s
6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s 2 . Sabendo-se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.
2 2
R N T
a a a
0.5 0.2 0.1 2
T T T
a r a a m
s
0 0 rad s
2
0 N 0 N 0
t a r a 0.1 2
R T R
a a a m
s 1 t
0 0 0.5 1 0.5 rad
t s
2 2
1 N N 0.5 0.2 N 0.05 rad 2
t a r a a
s
0.1 2
T T
a r a m
s
2 2 2 2
0.05 0.1 0.118 2
R R N T R R
a a a a a a m
s
0.1 0
2 63.43
0.05
T N
tg a tg arctg
a 2
t T T 0.1 m 2
a r a
s
0 0 0.5 2 1 rad
t s
2 2
2 N N 1 0.2 N 0.2 rad 2
t a r a a
s
2 2 2 2
0.2 0.1 0.2236 2
R R N T R R
a a a a a a m
s
0.1 1 0
26.56
0.2 2
T N
tg a tg arctg
a
A B
α
a N a R
a T
a N a R
a T
7
7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice E.
Pontos P x y z P(x,y,z)
A 0 0.225 0 (0,0.225,0)
B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3)
C 0 0 0.3 (0,0,0.3)
D 0 0 0 (0,0,0)
E 0.5 0 0 (0.5,0,0)
0.5, 0, 0.3 0, 0.225, 0
AB B A AB
0.5, 0.225, 0.3
AB
ˆ ˆ ˆ
0.5 0.225 0.3 AB i j k
2
2 2
0.5 0.225 0.3 0.625
AB AB m
0.5 ˆ 0.225 ˆ 0.3 ˆ
ˆ ˆ
0.625 0.625 0.625
e AB e i j k
AB
ˆ ˆ ˆ
ˆ 0.8 0.36 0.48 e i j k
ˆ ˆ ˆ
ˆ 10 0.8 0.36 0.48
e i j k
ˆ ˆ ˆ
8 i 3.6 j 4.8 k rad s
0.5, 0, 0 0.5, 0, 0.3
BE E B BE
0, 0, 0.3
BE
ˆ ˆ ˆ
0 0 0.3
BE i j k v E BE
8 ˆ 3.6 ˆ 4.8 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0.3 ˆ
v i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6
0 0 0.3 0 0
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
1.08 2.4 0
E
v i j k m
s
a E B E B
0 F A 0
E B v E
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6 1.08 2.4 0 1.08 2.4
E
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
11.52 5.184 23.088
v E i j k
0
EE
v
a E B E B
2
ˆ ˆ ˆ
11.52 5.184 23.088
E
a i j k m
s
8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e decresce a taxa de 20 rad/s 2 .
9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas.
Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se:
(a) a aceleração angular do rotor.
(b) o tempo total do movimento.
1800 1800 30
f rpm f 60 Hz f Hz
0 0 0
188.5
2 2 30 60 rad
f s
3926.99
2 n 2 625 1250 rad
2
2 2 0
0 0
2 2
8
2 2
2 4.524
60 3600
2 1250 2500 1.44
rad s
0
188.5
0 188.5 4.524 41.67
4.524
t t t t s
10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a aceleração do movimento é uniforme, determine o número de voltas dado pelo rotor:
(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm.
(b) estando em 2400 rpm, até parar.
11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmente no sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se:
(a) as acelerações angulares de cada disco.
(b) a velocidade final do ponto de contato.
Determinando a freqüência angular inicial e final do disco A:
0 0 0 0
2 2 450 47.12
A A A 60 A
f rad
s
2 2 140 14.66
60
f f f f
A A A A
f rad
s
Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm.
Depois fica com MCU a 140 rpm:
MCUVR:
2
14.66 47.12
14.66 47.12 6 5.41
A A
6
Arad
s
MCU:
14.66 0.08 1.17
A f A A
P A A P P
v r v v m
s
Disco B possui os movimentos:
1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s.
MCUVA.
2. Mantem movimento uniforme. MCU.
MCU: Neste segundo movimento, as velocidades tangenciais de B e A serão iguais:
A B B
1.17
P P P
v v v m
s
MCUVA:
1.17 0.12 1.17
0.12
B f f f
P B B B B
v r
f
9.75
B
rad
s
Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade angular
B
f em 6 s:
0 0
f f
B B
B B B t B
t
2
9.75 0 6 1.63
B B
rad
s
12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração constante a A = 300 mm/s 2 e velocidade inicial v A = 240 mm/s, ambas de baixo para cima. Determine:
(a) o número de revoluções executadas pela polia em t
= 3 s.
(b) a velocidade e a posição de B em 3 s.
(c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.
Polia menor:
0.3 0.12
A A
T
T A A A A
A
a r a
r
2.5 2 A
rad
s
0
0 0 0 0
0.24 0.12
A
A A
A
A AA
v r v
r
0 2.0
A
rad
s
2
0 0
1 2
A
t A t
2
0 0
1 2
A
t A t
2
0 0
1 2
A
t A t
1 2
2 3 2.5 3
2
A 120 mm
B
80 mm
9
2.75
17.25 17.25
rad 2 rev
Polia maior:
0 2.0 0
A B
rad
s 2.5 2
A B
rad
s
0 2 2.5 3
B
BB t B
B 9.5
rad
s
9.5 0.18 1.71
B B B B B
v r v v m
s
2
0 0
1 2
B
t B t
1 2
2 3 2.5 3 17.25
2 rad
17.25 0.18 3.10571
B B B B
s r s s m
Aceleração em D:
2.5 2
T
DD B D A
a r rad
s
2.5 0.18
D D
T D B T
a r a 0.45 2
T
Da m
s
2
0 2
D A
N D B D
a r rad
s
2
2 0.18 0.72 2
D D
N N
a a m
s
2 2
D D D
R T N
a a a
2 2
0.45 0.72 0.849 2
D D
R R
a a m
s
0.45 0.72
D
D
T N
tg a tg
a
0.625 32
arctg
13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s 2 . No instante ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se:
(a) a velocidade no ponto C.
(c) a aceleração do ponto C.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.56 0 (0,0.56,0)
B 0 0 0.8 (0,0,0.8)
C 0.56 0 0 (0.56,0,0)
0, 0.56, 0 0, 0, 0.8
BA A B BA
0, 0.56, 0.8
BA
ˆ ˆ ˆ
0 0.56 0.8
BA i j k
2
2 2
0 0.56 0.8 0.976
BA BA
0 ˆ 0.56 ˆ 0.8 ˆ
ˆ ˆ
0.976 0.976 0.976
e BA e i j k
BA
ˆ ˆ ˆ
ˆ 0 0.573 0.819 e i j k
Como o ponto C está subindo (horário):
ˆ ˆ ˆ
ˆ 5 0 0.573 0.819
e i j k
ˆ ˆ ˆ
0 i 2.865 j 4.095 k rad s
ˆ ˆ ˆ
ˆ 4 0 0.573 0.819
e i j k
ˆ 2
ˆ ˆ
0 i 2.292 j 3.276 k rad s
0.56, 0, 0 0, 0.56, 0
AC C A AC
0.56, 0.56, 0
AC
ˆ ˆ ˆ
0.56 0.56 0 AC i j k
v C AC
0 ˆ 2.865 ˆ 4.095 ˆ 0.56 ˆ 0.56 ˆ 0 ˆ
v C i j k i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865 0.56 0.56 0 0.56 0.56
C
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
2.293 2.2932 1.599
C
v i j k m
s
C C
a AC v
T
Da
N
Da D
R
Da
z
x y
B
A C
0.56 m
0.80 m 0.56 m
D
E
10
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.292 3.276 0 2.292 0.56 0.56 0 0.56 0.56
i j k i j
AC
ˆ ˆ ˆ
1.8346 1.8346 1.2835
AC i j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865 2.293 2.293 1.599 2.293 2.293
C
i j k i j
v
ˆ ˆ ˆ
13.97 9.389 6.569
v C i j k
C C
a AC v
ˆ ˆ ˆ
1.8346 1.8346 1.2835
ˆ ˆ ˆ
13.97 9.389 6.569
a C i j k
i j k
2
ˆ ˆ ˆ
12.1354 11.2236 7.8525
C
a i j k m
s
14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1 rad/s 2 . Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6.5 m/s 2 . Pedem-se:
(a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco.
(b) o instante que o bloco deslizará.
ˆ 1 ˆ
j j
0 1
ˆ 0 ˆ 1 ˆ
j t j t j
0.35 ˆ r i
v r
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 0.35 1 0.35
k
v t j i v t j i
0.35 ˆ
v t k
T N
a a
a r v
1 ˆ 0.35 ˆ 1 ˆ 0.35 ˆ
a j i t j t k
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 0.35 0.35
k i
a j i t t j k
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0.35 0.35 0.35 0.35
a k t i a t i k
1 0.35 1 2 ˆ 0.35 ˆ
a t i k
1 0.35 ˆ 0.35 ˆ m 2
a t i k
s
2 2 2
ˆ ˆ
0.35 0.35 T N
a k t i a a a
2 2
2 2 2 2 2
0.35 0.35
T N
a a a a t
2 4
6.5 0.1225 0.1225 t 42.25 0.1225 0.1225 t 4
4 4 42.1275
0.1225 42.1275
0.1225
t t
4 343.897 4.31
t t s
15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no sentido anti-horário. Pedem-se:
(a) a velocidade do anel C;
(b) a velocidade angular da roda inferior B.
(c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel.
6.667
400 400 2 41.887
A A 60 A A A
f rpm f Hz f rad
s
ext ext
ext
A
A C A A C C C A
C
v v r r r
r
30 41.887 16.534
C 76 C
rad
s
int
int int
C
B C B B C C B C
B
v v r r r
r
72 16.534 39.682
B 30 B
rad
s
2 ˆ 41.887 2 0.03 ˆ
A A
N A A N
a r j a j y
z
B 0.35 m
A
x ˆ j
k ˆ i ˆ
B A
C
x y
z
11
ˆ 2
0 52.635
A A A
T R N
a a a j m
s
2 ˆ 39.682 0.03 2 ˆ
B B
N B B N
a r j a j ˆ 2
0 47.239
B B B
T R N
a a a j m
s
16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e B, com eixos fixos e com raios r A = 800 mm e r B = 384 mm, respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se:
(a) a aceleração angular das engrenagens;
(b) a velocidade angular final da engrenagem B;
(c) a velocidade final do ponto pertencente à engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A.
(d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas mesmas condições.
0
2
0 120 120
A f A rpm f A 60 Hz
12.566
2 4
A A A
ff rad
s
0
12.566 0
5
A
fA
A A A
t t
2.51 2 A
rad
s o negativo é devido ao sentido horário.
A
A B A A B B B A
B
v v r r r
r
800 12.566 26.17
B 384 B
rad
s 26.17 ˆ
B
k rad
s
0
26.17 0
5
B
fB
B B B
t t
5.236 2 B
rad
s
26.17 0.384 10.049
B B B B B
v r v v m
s
10.049 ˆ
B
v j m
s
T
0
R NB B B
a a a
2 2
2
10.049
262.98 0.384
N N N
