Complexos de exames - forma trigonom.

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Complexos de exames - forma trigonom.

1. Seja C o conjunto dos números complexos. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Considere, em C, a equação z2 = ¯z.

Sabe-se que, no plano complexo, os afixos dos números complexos não nulos que são solu-ções desta equação são os vértices de um polígono regular.

Determine o perímetro desse polígono.

Resolução, pg. ?? Exame Nacional de 2020 -1.a _fase

2. Em C, conjunto dos números complexos, seja z _{= −1 + 2i.}

Seja θ o menor argumento positivo do número complexo z (conjugado de z). A qual dos intervalos seguintes pertence θ?

(A)i0,π 4 h (B)iπ 4, π 2 h (C) π, 5π 4 (D) 5π 4 , 3π 2

3. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = (2 − i)

2_{+ 1 + i} 1 − 2i + 3i

15_. Escreva o complexo₋1₂ _{× z na forma trigonométrica.}

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4. Na figura, está representado, no plano complexo, o quadrado[ABCD].

Sabe-se que o ponto A é o afixo (imagem geométrica) de um número complexo z e que o ponto D é o afixo (imagem geométrica) do complexo nulo.

Qual é o número complexo cujo afixo (imagem geométrica) é o ponto B?

(A)z(1 + i) (B)iz (C)i3z (D)z(2 + i)

5. Na figura, está representado, no plano complexo, um pentágono regular[ABCDE] inscrito numa circunferência de centro na origem e raio1.

Sabe-se que o ponto C pertence ao semieixo real negativo.

Seja z o número complexo cujo afixo (imagem geométrica) é o ponto A. Qual é o valor de z5?

(A)₋₁ (B)1 (C)i (D)_−i

6. Em C, conjunto dos números complexos, considere w= 1 +2 √

3 −√3i5 1 + 2i .

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Determine a raiz quarta de z cujo afixo (imagem geométrica) pertence ao primeiro qua-drante.

Apresente o resultado na forma trigonométrica, com argumento pertencente ao intervalo i

0,π 2 h

.

7. Para um certo número real x, pertencente ao intervalo i

0, π 12

h

, o número complexo

z= (cos x + i sin x)10verifica a condiçãoIm(z) = 1

3Re(z). Qual é o valor de x arredondado às centésimas?

(A)0,02 (B)0,03 (C)0,12 (D)0,13

8. Em C, conjunto dos números complexos, sejam

z1 = 1 − 3i 19

1 + i e z2 = −3ke i3π

2 , com k ∈ R+.

Sabe-se que, no plano complexo, a distância entre a imagem geométrica de z1 e a imagem geométrica de z2 é igual a

√ 5. Qual é o valor de k?

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

9. Seja ρ um número real positivo, e seja i um número real pertencente ao intervalo]0, π[. Em C, conjunto dos números complexos, considere z= −1 + i

(ρeiθ₎2 e w = − √

2i. Sabe-se que z= w.

Determine o valor de ρ e o valor de θ.

10. Seja z um número complexo de argumento π 5.

Qual dos seguintes valores é um argumento do número complexo_−5iz?

(A)₋3π 10 (B)− 4π 5 (C)− 7π 5 (D)− 13π 10

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11. Em C, conjunto dos números complexos, seja z = 3 + 4i.

Sabe-se que z é uma das raízes de índice6 de um certo número complexo w.

Considere, no plano complexo, o polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice6 desse número complexo w.

Qual é o perímetro do polígono?

(A)42 (B)36

(C)30 (D)24

12. Em C, conjunto dos números complexos, considere

z1 =

8eiθ

−1 +√3i e z2 = e i_(2θ)

.

Determine o valor de θ pertencente ao intervalo,]0, π[, de modo que z1×z2seja um número real.

13. Seja θ um número real pertencente ao intervalo,

π,3 2π

. Considere o número complexo z _{= −3e}iθ.

A que quadrante pertence a imagem geométrica do complexo z?

(A)Primeiro (B)Segundo

(C)Terceiro (D)Quarto

14. Em C, conjunto dos números complexos, seja z1 = −1 + i√ 2eiπ

12 .

Determine os números complexos z que são solução da equação z4 = z1, sem utilizar a calculadora.

Apresente esses números na forma trigonométrica.

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15. Na figura, está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero[OAB]. Sabe-se que:

• o ponto O é a origem do referencial;

• o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa igual a 1;

• o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a imagem geométrica de um complexo z.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Re Im O A B (A)z =√3ei11π6 (B)z = ei 11π 6 (C)z =√3ei5π 3 (D)z = ei 5π 3

16. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = −2 + 2i 19 √

2eiθ .

Determine os valores de θ pertencentes ao intervalo]0, 2π[, para os quais z é um número imaginário puro.

Na resolução deste item, não utilize a calculadora.

17. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1, z2 = 5i e z3 = ei

nπ

40, n∈ N. Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

(a) O complexo z1 é raiz do polinómio z3 − z2 + 16z − 16. Determine, em C, as restantes raízes do polinómio. Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.

(b) Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de z2 × z3, no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

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18. Na figura, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:

• o ponto A está situado no 1.◦

quadrante; • o ponto B está situado no 4.◦

quadrante;

• [AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométri-cas das raízes de índice5 do complexo 32eiπ

2;

• o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a OA.

Qual dos números seguintes é o valor da área do sector circular AOB?

(A) π 5 (B) 4π 5 (C) 2π 5 (D) 8π 5

Resolução, pg. ?? Exame Nacional de 2011 -1.a fase

19. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = ei π 7 e z

2 = 2 + i. Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

(a) Determine o número complexo w= 3 − i (z1) 7 z2

(i designa a unidade imaginária, e z2designa o conjugado de z2). Apresente o resultado na forma trigonométrica.

(b) Mostre que_|z1+ z2|2 = 6 + 4 cos π₇ + 2sen π₇.

20. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = 8eiπ 6.

Qual dos números complexos seguintes é uma das raízes de índice seis de z?

(A)√2ei25π 36 (B)√2e−i π 36 (C)2√2ei 25π 36 (D)2√2e−i π 36

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21. A figura representa um pentágono[ABCDE] no plano complexo.

Os vértices do pentágono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo w.

O vértice A tem coordenadas(1, 0).

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice D do pentá-gono? (A)5ei6π 5 (B)ei 6π 5 (C)e−i π 5 (D)ei π 5

22. Considere, em C, um número complexo w.

No plano complexo, a imagem geométrica de w é o vértice A do octógono[ABCDEF GH], representado na figura.

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice8 de um certo número complexo.

Qual dos números complexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice C do octó-gono[ABCDEF GH]?

(A)_−w (B)w+ 1 (C)i_{× w} (D)i8_{× w}

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23. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = 3ei(π8−θ), com θ ∈ R.

Para qual dos valores seguintes de θ podemos afirmar que z é um número imaginário puro?

(A)₋π 2 (B) π 2 (C) π 8 (D) 5π 8

24. Em C, conjunto dos números complexos, considere o número complexo z = (−1 − i) 8 eiπ 82 × ei5π 2 .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. (a) Verifique que z = 16eiπ

4.

(b) Determine a área do polígono cujos vértices, no plano complexo, são as imagens geométricas das raízes quartas de z.

Resolução, pg. ?? Exame Nacional de 2010 - Época especial

25. Em C, conjunto dos números complexos, considere o conjunto

A _{= {z ∈ C : i × (z + z) = 0} (i designa a unidade imaginária, e z designa o conjugado} de z).

Qual das retas seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do con-junto A?

(A)o eixo real

(B)o eixo imaginário

(C)a bissetriz dos quadrantes pares

(D)a bissetriz dos quadrantes ímpares

26. Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas (2, −1).

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Qual das condições seguintes define em C, conjunto dos números complexos, a região som-breada, incluindo a fronteira?

(A)_{|z − 1| ≥ |z − (2 − i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1} (B)_{|z − 1| ≤ |z − (2 − i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1} (C)_{|z + 1| ≥ |z − (2 + i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1} (D)_{|z − 1| ≥ |z − (2 − i)| ∧ Im(z) ≤ 2 ∧ Re(z) ≥ −1}

27. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = i 1 − i− i 18_{e z} 2 = ei 5 6π.

(a) Determine z1 na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora. (b) Determine o menor valor de n _{∈ N, tal que (−iz}2)n = −1.

28. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é π 3. Qual dos valores seguintes é um argumento de 2i

z, sendo z o conjugado de z? (A) π 6 (B) 2 3π (C) 5 6π (D) 7 6π

29. Determine o valor de θ, pertencente ao intervalo0,π₂, de modo que a imagem geométrica do número complexo 2eiθ2

× 1 +√3i pertença à bissetriz do 3.◦

quadrante.

30. Considere, em C, o número complexo z1 = 3 − 2i.

Determine, sem recorrer à calculadora, o número complexo z= z1+ z 2 1 + 2i43 8ei3π

2 . Apresente o resultado na forma algébrica.

Resolução, pg. ?? Exame Nacional de 2009 -1.a fase

31. Considere, em C, o número complexo w = 2eiπ 6.

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Qual dos números complexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice D do qua-drado? (A)2ei3π 2 (B)2ei 7π 4 (C)2ei 11π 6 (D)2ei 5π 3

32. Seja θ um número real pertencente ao intervaloi0,π 2 h

. Considere o número complexo z = i.eiθ

.

Qual dos números complexos seguintes é o conjugado de z?

(A)ei(−π 2−θ) _(B)ei( π 2−θ) _(C)ei( π 2+θ) _(D)ei( 3π 2 +θ)

33. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1 − i (i designa a unidade imagi-nária).

Considere z1 uma das raízes quartas de um certo número complexo z.

Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertencente ao 3.◦

quadrante.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

34. Seja z um número complexo de argumento π 6.

Qual dos seguintes valores é um argumento de_(−z)?

(A)₋π₆ (B) 5₆π (C)π (D) 7₆π

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35. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1 − √

3i e z2 = 8ei×0 (i designa a unidade imaginária).

(a) Mostre, sem recorrer à calculadora, que_−z1 é uma raiz cúbica de z2.

(b) No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z1 e de z2 respetiva-mente.

Determine o comprimento do segmento[AB].

36. Seja z = 3i um número complexo.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z?

(A)0 (B) 1

2π (C)π (D)

3 2π

37. Em C, conjunto dos números complexos, sejam os números z1 = (1 − i) · 1 + ei π 2 e z2 = 8e−i

π

4 (i designa a unidade imaginária).

(a) Determine, sem recorrer à calculadora, o número complexo w = z1 z2 . Apresente o resultado na forma trigonométrica.

(b) Considere o número complexo z = z2.

No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z e de z2, respetivamente. Determine a área do triângulo[AOB], em que O é a origem do referencial.

Resolução, pg. ?? Exame nacional de 2008 - Época especial

38. Na figura está representado, no plano complexo, o polígono[EF GHI], inscrito numa cir-cunferência de centro na origem do referencial e raio igual a2. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice5 de um certo número complexo; um dos vértices pertence ao eixo real.

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Qual é o vértice do polígono[EF GHI] que é a imagem geométrica de 2e−i3π 5 ?

(A)E (B)F (C)H (D)I

Resolução, pg. ?? Exame nacional de 2008 - Época especial

39. Em C conjunto dos números complexos, sejam:

z1 = 3 + yi e z2 = 4iz1 (i é a unidade imaginária e y designa um número real).

(a) Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg (z) designa o argu-mento de z que pertence ao intervalo[0, 2π[.

Admitindo que arg (z1) = α e que 0 < α < π

2, determine o valor dearg(−z2) em função de α.

(b) Sabendo queIm (z1) = Im (z2), determine z2. Apresente o resultado na forma algébrica.

Resolução, pg. ?? Exame nacional de 2007 -2.a _fase

40. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = eiα

(α_∈0,π₂).

(a) Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo[AOBC].

A e B são as imagens geométricas de z e z, respetivamente. C é a imagem geométrica de um número complexo, w. Justifique que w = 2 cos α.

(b) Determine o valor de α_∈0,π₂ para o qual z 3

i é um número real.

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41. Seja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. (a) Considere z1 = (2 − i) 2 + ei π 2 e z 2 = 1₅e−i π 7.

Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo z1 z2

na forma trigonomé-trica.

(b) Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no no plano complexo, é um ponto A situado no primeiro quadrante.

Seja B a imagem geométrica de z, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Sabe-se que o triângulo[AOB] é equilátero e tem perímetro 6.

Represente o triângulo[AOB] e determine z na forma algébrica.

42. Os pontos A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quadradas de um certo número complexo z.

Qual dos números complexos seguintes pode ser z?

(A)1 (B)i (C)₋₁ (D)_−i

43. Seja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Considere a equação iz3₋√_{3 − i = 0.}

Uma das soluções desta equação tem a sua imagem geométrica no terceiro quadrante do plano complexo.

Sem recorrer à calculadora, determine essa solução, escrevendo-a na forma trigonomé-trica.

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44. Na figura está representada, no plano complexo, uma circunferência centrada na origem do referencial.

Os pontos A, B e C pertencem a essa circunferência. O ponto A é a imagem geométrica de4 + 3i.

o ponto B pertence ao eixo imaginário.

O arco BC tem18 graus de amplitude.Em cada uma das quatro alternativas que se seguem, está escrito um número complexo na forma trigonométrica (os argumentos estão expressos em radianos).Qual deles tem por imagem geométrica o ponto C?

(A)7ei2π 3 (B)7ei 3π 5 (C)5ei2π 3 (D)5ei 3π 5