A PROVA DE PUJALS E SAMBARINO DA CONJECTURA DE PALIS EM SUPERFÍCIES III

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EM SUPERF´ICIES III

ALINE GOMES CERQUEIRA E CARLOS MATHEUS

Abstract. Esta é a última nota numa série de três textos visando entender as idéias da prova de Pujals e Sambarino [PS] da conjectura de Palis para C1 _{difeomorfismos de}

su-perf´ıcies. Como já tinhamos antecipado ao leitor que o esquema da prova deste resultado é longo e cheio de muitas idéias, resolvemos dividir este conjunto de notas assim:

• na primeira nota (j´a) estudamos os argumentos de Denjoy e Schwartz (envolvendo a

combina¸c˜ao das propriedades de distor¸c˜ao limitada e somabilidade dos comprimentos

de intervalos errantes) para mostrar que C2_{difeomorfismos f do c´ırculo S}1_verificam

Ω(f ) = S1_;

• nesta segunda nota (j´a) vimos a prova de um teorema de Ma˜n´e sobre a hiperbolici-dade de endomorfismos do intervalo e do c´ırculo; em particular, veremos que todo C2

endomorfismo genérico f cujos pontos cr´ıticos estejam nas bacias de po¸cos satisfazem o Axioma A (mais precisamente, f admite um n´umero finito de po¸cos tal que o max-imal invariante do complementar das bacias destes po¸cos é um conjunto hiperbólico

uniformemente expansor );

• finalmente, nesta terceira nota seguiremos as id´eias de Pujals e Sambarino para

es-tender estes dois argumentos para o contexto bidimensional e aplic´a-los na prova da conjectura de Palis em dimens˜ao 2.

1. Introduc¸˜ao

Um dos objetivos centrais na teoria dos sistemas dinâmicos é compreender a dinâmica1

das trajet´orias da “maioria” dos sistemas. Nos anos 60, o enorme sucesso do estudo dos

sistemas (uniformemente) hiperb´olicos (por Anosov, Smale, etc.) levou a conjectura de que

os sistemas hiperbólicos formariam a “maioria” dos sistemas dinâmicos (no sentido de que hiperbolicidade seria uma propriedade aberta e densa). Entretanto, com o advento da década seguinte, alguns exemplos por Smale, Abraham (em dimensão > 4), Shub (em dimensão 4), Mañé (em dimensão 3) e Newhouse (em dimensão 2) mostraram que este “sonho” de densi-dade de hiperbolicidensi-dade é imposs´ıvel em geral.2 Particularmente engenhoso é o exemplo (ou

fenˆomeno) de Newhouse: basicamente ele come¸ca com um conjunto hiperb´olico possuindo

uma tangência homocl´ınica (i.e., um ponto periódico hiperbólico cujas variedades invariantes se intersectam não-transversalmente) e mostra que se as interse¸cões do conjunto hiperbólico com estas variedades invariantes são suficientemente “gordas” (ou mais precisamente

espes-sas), então a tangência homocl´ınica é persistente (ou seja, a tangência continua existindo para Date: 25 de Janeiro de 2008.

1_{I.e., o comportamento a longo prazo.}

2_{Note que a ordem de aparecimento dos trabalhos de Smale-Abraham, Shub, Ma˜}_{né e Newhouse nesta frase} não segue a ordem histórica.

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muitos difeomorfismos pr´oximos do original). Desdobrando estas tangˆencias homoc´ınicas per-sistentes, Newhouse conseguiu exibir um conjunto residual de difeomorfismos Cr_{(r ≥ 2) com}

infinitos po¸cos/fontes e, a fortiori, um C2 _{aberto de difeomorfismos n˜ao hiperb´olicos. Como}

uma observa¸cão interessante, cabe ressaltar que o fenômeno de Newhouse não é conhecido no mundo C1 _{(e de fato alguns resultados recentes de Moreira sobre conjuntos de Cantor}

dinâmicos indicam que o fenômeno de Newhouse não ocorre na topologia C1 e a densidade de hiperbolicidade é válida para C1 _{difeomorfismos em dimensão 2).}

Motivado pelo programa inicial de Smale e algumas idéias de Kolmogorov sobre métodos probabil´ısticos no estudo de sistemas dinâmicos, Jacob Palis propôs um ambicioso programa para o estudo global dos sistemas dinâmicos. Basicamente, a filosofia de Palis é: longe dos fenômenos conhecidos de obstruem hiperbolicidade, devemos ter um conjunto denso de sis-temas admitindo apenas um n´umero finito de atratores hiperbólicos cujas bacias de atra¸cão cobrem quase todo espa¸co de fase (no sentido da medida Lebesgue). Por fenômenos con-hecidos de obstru¸cão de hiperbolicidade queremos denotar os dois mecanismos: o primeiro já mencionamos que são as tangências homocl´ınicas; o segundo é um fenômeno dito ciclos

heterodimensionais, os quais foram descobertos no processo de tentar encontrar vers˜oes do

fenˆomeno de Newhouse em dimens˜ao alta3_{. Em particular, notando que ciclos}

heterodimen-sionais não ocorrem em dimensão 2, podemos enunciar uma versão da conjectura de Palis em superf´ıcies assim:

Conjecture 1 (Palis em superf´ıcies). Seja M uma superf´ıcie compacta e f ∈ Dif fr(M )

um difeomorfismo (r ≥ 1). Ent˜ao, f pode ser Cr_{-aproximado por um difeomorfismo exibindo}

uma tangˆencia homocl´ınica ou por um difeomorfismo essencialmente hiperb´olico4

Nesta dire¸c˜ao, um dos resultados principais do trabalho de Pujals e Sambarino ´e a prova desta conjectura (em superf´ıcies) no caso r = 1:

Theorem 1.1 (Theorem A de [PS]). Seja M2 _{uma superf´ıcie compacta e f ∈ Dif f}1_(M2₎ um difeomorfismo C1 de M2. Então, f pode ser C1-aproximado por um difeomorfismo ex-ibindo uma tangência homocl´ınica ou por um difeomorfismo Axioma A (i.e., uniformemente hiperbólico).

Antes de prosseguirmos, vejamos um corol´ario direto deste teorema:

Corollary 1.1. Seja MS o conjunto dos difeomorfismos de Morse-Smale5. Considere o aberto U := Dif f1_(M2_{) − M S. Então, existe um conjunto aberto e denso V ⊂ U tal que todo f ∈ V} possui uma interse¸cão homocl´ınica transversal (i.e., uma órbita periódica hiperbólica com variedades invariantes transversais). Em particular, pelos trabalhos de Smale6_{, temos que o} 3_{Não discutiremos ciclos heterodimensionais aqui pelo seguinte motivo: ciclos heterodimensionais não}

ocor-rem em dimens˜ao 2, de modo que o trabalho de Pujals e Sambarino sobre a conjectura de Palis em superf´ıcies n˜ao precisa lidar com estes ciclos.

4_{I.e., um difeomorfismo com n´}_{umero finito de atratores hiperb´olicos com bacias cobrindo quase toda}

variedade.

5_{Ou seja, os difeomorfismos cujo não-errante é a união finita de órbitas periódicas hiperbólicas com}

var-iedades invariantes mutualmente transversais.

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fecho do interior do conjunto de difeomorfismos com entropia topol´ogica nula coincide com M S.

Proof. Logicamente a propriedade de possuir uma interse¸c˜ao homocl´ınica transversal ´e aberta

e densa dentro do conjunto dos difeomorfismos com interse¸cões homocl´ınicas. Isto reduz nossa tarefa a provar que U contém um subconjunto denso de difeomorfismos com órbitas homocl´ınicas. Para isto, tomamos f ∈ U e aplicamos o teorema 1.1. Da´ı sabemos que f pode ser aproximado por um difeomorfismo com uma tangência homocl´ınica ou por um difeomor-fismo Axioma A. No caso de f ser aproximado por tangências homocl´ınicas acabamos. Já quando f é aproximado por Axioma A, notamos que o fato de f ∈ U significa que f não é aproximado por difeomorfismos Morse-Smale. Logo, vemos que f é aproximado por difeo-morsfismos g Axioma A mas não Morse-Smale. Isto implica que a decomposi¸cão espectral de g é não-trivial, i.e., alguma de suas pe¸cas básicas não se reduz a uma órbita periódica. Portanto, g deve possuir interse¸cões homocl´ınicas transversais. Finalmente, a segunda parte do corolário segue do fato de os trabalhos de Smale implicarem que interse¸cões homocl´ınicas transversais gerarem ferraduras, as quais possuem entropia topológica positiva. ¤ Agora iremos usar o restante desta introdu¸cão para descrever as linhas gerais da prova do teorema 1.1 e a organiza¸cão destas notas. A prova de Pujals e Sambarino do teorema 1.1 come¸ca seguindo as idéias de Mañé [M1]. Basicamente iremos mostrar que difeomorfismos longe de tangências homocl´ınicas podem ser aproximados por Axioma A. Com este intuito, dividimos a demonstra¸cão em duas partes:

• usando as idéias de Ma˜né, mostra-se que longe de tangências podemos encontrar uma

decomposi¸c˜ao dominada7 sobre o conjunto n˜ao-errante;

• em seguida prova-se que esta decomposi¸c˜ao dominada deve ser hiperb´olica.

Em termos grosseiros, Pujals e Sambarino mostram que longe de tangências os ângulos dos espa¸cos estáveis e instáveis de todos os pontos periódicos devem estar uniformemente afas-tados de zero. Usando esta informa¸cão, podemos estender esta decomposi¸cão natural sobre os pontos periódicos para o conjunto não-errante (passando ao fecho) de modo a construir a decomposi¸cão dominada desejada. Infelizmente, os argumentos de Mañé para o teorema de estabilidade não podem ser puxados muito mais para o contexto de Pujals e Sambarino. Com efeito, a idéia de Mañé consiste em mostrar que uma decomposi¸cão dominada não-hiperbólica permite construir um ponto periódico não-hiperbólico. No contexto do teorema

de estabilidade, sabemos que todo difeomorfismo numa vizinhan¸ca de um difeomorfismo

es-truturalmente estável possui apenas pontos periódicos hiperbólicos (exerc´ıcio), de modo que isto encerra o argumento. Entretanto, no caso de Pujals e Sambarino (i.e., conjectura de Palis), as decomposi¸cões dominadas e os pontos periódicos não-hiperbólicos coexistem, o que não permite encerrar o argumento se seguirmos Mañé diretamente. Por isso, Pujals e Sam-barino adotam um ponto de vista diferente: ao invés de procurar contradi¸cão através da constru¸cão de pontos periódicos não-hiperbólicos, eles procuram por uma propriedade a qual for¸ca decomposi¸cões dominadas a serem hiperbólicas. Neste ponto, eles buscam inspira¸cão nos trabalhos de Mañé [M2] sobre dinâmicas unidimensionais (discutidos na segunda nota [CM2])

7_{Uma decomposi¸c˜ao do espa¸co tangente em espa¸co tangente com certas propriedades a serem precisadas}

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– a propriedade procurada ´e suavidade (mais precisamente, regularidade C2_{). Com efeito, o}

resultado-chave ´e o seguinte teorema (o qual ´e interessante por si mesmo):

Theorem 1.2 (Theorem B de [PS]). Seja f um C2 _{difeomorfismo de uma superf´ıcie} com-pacta, Λ ⊂ Ω(f ) um compacto f -invariante com uma decomposi¸cão dominada TΛM = E ⊕ F e suponha que os pontos periódicos de f em Λ são hiperbólicos de tipo sela. Então, Λ = H ∪C1∪· · ·∪Cn, onde H é um conjunto hiperbólico e Ci são curvas simples fechadas periódicas

normalmente hiperb´olicas de per´ıodo mi tais que fmi : Ci → Ci ´e topologicamente conjugada

a uma rota¸c˜ao irracional.

Aqui devemos dizer algumas palavras sobre este teorema. Primeiramente, lembramos que Definition 1.1. Uma decomposi¸c˜ao dominada sobre um conjunto f -invariante Λ ´e uma

decomposi¸c˜ao TΛM = E ⊕ F em subfibrados f -invariantes E e F tal que existem constantes

0 < λ < 1 e C > 0 com

kDfn|_E(x)k · kDf−n|_{F (f}n_(x))k ≤ Cλn

para todo x ∈ Λ e n ≥ 0.

Conforme dissemos antes, Mañé usou decomposi¸cão dominada como um passo preliminar na prova da hiperbolicidade de sistemas estruturalmente estáveis. De fato, a única diferen¸ca entre decomposi¸cão dominada e hiperbolicidade é que na defini¸cão de hiperbolicidade requer-emos que os vetores dos subfibrados invariantes sejam contra´ıdos ou expandidos por itera¸cão, enquanto que na decomposi¸cão dominada não pedimos controle sobre o tamanho absoluto dos vetores (mas apenas um controle relativo do tamanho dos vetores de E com rela¸cão aos vetores de F ).

Em segundo lugar, relembramos o enunciado do teorema unidimensional de Ma˜n´e (para uma prova veja a nota [CM2]):

Theorem 1.3 (Theorem A de [M2]). Seja Λ um compacto invariante de um C2_endomorfismo f : N → N (onde N = [0, 1] ou S1_{). Suponha que Λ não possui pontos cr´ıticos de f e todo} ponto periódico de f em Λ é repulsor. Então, Λ é um conjunto hiperbólico (expansor) ou

Λ = S1 _{e f ´e topologicamente conjugada a uma rota¸c˜ao irracional.}

Olhando para os enunciados do teorema 1.2 e o teorema de Mañé acima, vemos uma analogia óbvia através do seguinte “dicionário”8:

Theorem B de [PS] Theorem A de [M2]

decomposi¸c˜ao dominada ausˆencia de pontos cr´ıticos

regularidade C2 _{regularidade C}2

pontos periódicos em Λ de tipo sela pontos periódicos em Λ repulsores Λ = conj. hiperb. e/ou curvas com dinâmica irrac. Λ é hiperb. ou curva com din. irrac.

Em terceiro lugar, notamos uma pequena omissão do theorem B de Pujals e Sambarino com rela¸cão ao modo como enunciamos acima: no artigo original, eles não fazem men¸cão expl´ıcita a hipótese Λ ⊂ Ω(f ), a qual certamente é necessária para a prova funcionar.

8_{Uma observa¸cão fundamental deve ser feita em rela¸cão a primeira linha (decomposi¸cão dominada e ausência}

de pontos cr´ıticos são “iguais”) deste dicionário. De fato, esta linha é um fato conceitual muito importante o qual foi levado ao extremo num recente e interessante trabalho de Pujals e Rodriguez-Hertz [PR].

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Finalmente, vamos fechar esta longa introdu¸cão dando a organiza¸cão desta nota e alguns comentários sobre o atual “status” da conjectura de Palis. Para estas notas, dividiremos a prova do teorema 1.1 assim:

• na pr´oxima se¸c˜ao reduziremos a prova do teorema 1.1 ao teorema 1.2;

• na terceira se¸c˜ao reduziremos a prova do teorema 1.2 ao teorema 3.1 abaixo cujo

enunciado é mais próximo do teorema de Mañé;

• na pen´ultima se¸c˜ao, reduziremos o teorema 3.1 ao lema fundamental desta nota (Main Lemma do artigo [PS]);

• finalmente, provaremos este “Main Lemma” de modo a completar a prova do

teo-rema 1.2.

O leitor irá notar na próxima se¸cão que comparando o trabalho de Pujals e Sambarino com o trabalho de Mañé sobre a conjectura de estabilidade, a grande novidade de Pujals e Sambarino é a introdu¸cão do theorem B (teorema 1.2). Logicamente, o theorem A (teorema 1.1) é o “carro-chefe” do desfile em [PS], mas o teorema importante nas recentes aplica¸cões é o theorem B (teorema 1.2) o qual é a real novidade no esquema da prova da conjectura de Palis.

Agora daremos três palavras sobre o “status” da conjectura de Palis (até onde eu sei). A conjectura de Palis tem vários resultados (além do teorema de Pujals e Sambarino claro) em seu favor (especialmente em dimensão 1): no caso unidimensional, Kozlovski, Shen e van Strien provaram a densidade de Axioma A (após os esfor¸cos de diversos matemáticos, dentre eles, Jakobson, Douady, Sullivan, Yoccoz, Lyubich, Avila e Moreira, etc.); em dimensão 2, um resultado importante de Tsujii diz que endomorfismos genéricos devem possuir um n´umero finito de SRBs (uma espécie de atrator ergódico) cujas bacias cobrem quase toda variedade (entretanto, Tsujii não faz men¸cão nenhuma a hiperbolicidade destes atratores); finalmente, em dimensão mais alta (≥ 3), Crovisier e Pujals possuem um trabalho em conjunto (ainda em prepara¸cão) sobre a prova de uma versão “topológica” da conjectura de Palis: mais precisamente, eles mostram que longe de tangências e ciclos heterodimensionais temos C1

densamente apenas um n´umero finito de atratores hiperb´olicos cujas bacias atraem um aberto

e denso9 _{da variedade.}

Sem mais demoras, passemos agora ao estudo do teorema 1.1.

2. Prova do teorema 1.1 assumindo o teorema 1.2 Come¸camos por enunciar dois lemas b´asicos:

Lemma 2.1 (lemma 2.0.1 de [PS]). Seja f ∈ Dif f1_(M2_{) um difeomorfismo tal que para} alguma constante γ > 0 e para alguma vizinhan¸ca U (f ) de f vale

](E_ps(g), Eu_p(g)) > γ

para todo g ∈ U (f ) e p ∈ P erhyp(g) (onde P erhyp(g) denota o conjunto de pontos peri´odicos

hiperbólicos de tipo sela de g). Então, P erhyp(f ) possui uma decomposi¸cão dominada.

9_{Neste enunciado a condi¸c˜ao de medida total da conjectura de Palis foi trocada por aberto e denso, foi por}

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Para o segundo lema, denotaremos por U := Dif f1_(M2_{)−{f tem tangˆencia homocl´ınica }}

e Ω₀(f ) = Ω(f ) − (P (f ) ∪ F (f )), onde P (f ) é o conjunto de po¸cos de f e F (f ) é o conjunto das fontes de f . Note que Ω0(f ) é um compacto invariante (exerc´ıcio).

Lemma 2.2 (lemma 2.0.2 de [PS]). Existe U1 ⊂ U aberto e denso em U tal que Ω0(g) possui decomposi¸c˜ao dominada para todo g ∈ U1.

Munidos destes lemas, podemos provar o teorema 1.1 assim:

Prova do teorema 1.1 (m´odulo lemas 2.1, 2.2 e teorema 1.2). Seja f um C1 _{difeomorfismo}

longe de tangˆencias homocl´ınicas, ou seja, f ∈ U. Nosso objetivo ´e mostrar que f pode ser C1 _{aproximado por um difeomorfismo Axioma A. Com esse intuito, usamos o teorema}

de Kupka-Smale e o fato de U1 ser aberto e denso em U para fixarmos g ∈ U1 um C2

difeomorfismo10 de Kupka-Smale arbitrariamente pr´oximo de f . Olhamos para o conjunto Ω0(g). Pelo lema 2.2, Ω0(g) possui decomposi¸c˜ao dominada e o fato de g ser Kupka-Smale

diz que os pontos periódicos de g em Ω₀(g) são hiperbólicos de tipo sela. Mais ainda, g é C2_{. Logo, o teorema 1.2 garante que Ω}

0(g) é a união de um conjunto hiperbólico e uma

cole¸cão finita de curvas periódicas normalmente hiperbólicas com dinâmica irracional. Porém, a existência destas curvas não é genérica11e U1 é aberto, podemos assumir que g não possui

tais curvas, de modo que Ω0(g) ´e hiperb´olico.

Afirmamos que Ω(g) = Ω0(g) ∪ P (f ) ∪ F (f ) ´e hiperb´olico. Para isto, basta mostrar que

os conjuntos P (f ) e F (f ) de po¸cos e fontes de f são finitos. Suponha que #P (f ) = ∞ (o caso #F (f ) é análogo) e considere o conjunto não-vazio P (f ) − P (f ) ⊂ Ω0(g). Como Ω0(g)

´e hiperb´olico, existe uma vizinhan¸ca U de P (f ) − P (f ) cujo maximal invariante T

n∈Z

gn_{(U ) ´e}

hiperbólico (de tipo sela). Porém, sendo U uma vizinhan¸ca de P (f )−P (f ), vemos que apenas um n´umero finito de po¸cos de f possui sua órbita passando no complementar de U . Logo, a hipótese de #P (f ) = ∞ acarreta na existência de um po¸co em T

n∈Z

gn(U ), uma contradi¸c˜ao com o fato deste conjunto ser hiperb´olico (de tipo sela).

Encerrando a prova do teorema 1.1, Pujals e Sambarino mostram que g satisfaz ao Axioma A assim: como o conjunto limite L(g) está contido em Ω(g) e Ω(g) é hiperbólico (conforme discutido acima), temos que L(g) é hiperbólico. Pelos trabalhos de Newhouse, segue que os pontos periódicos de g são densos em L(g) e podemos fazer decomposi¸cão espectral de

L(g). Por outro lado, caso esta decomposi¸c˜ao espectral n˜ao tenha ciclos, temos Ω(g) = L(g),

donde g verifica o Axioma A (pois já sabemos que L(g) = P er(g)). Em seguida, notamos que o fato de M ter dimensão 2 diz que os ciclos de L(g) só podem ser formados por pe¸cas básicas de tipo sela. Da´ı, afirmamos que os fatos de g ser Kupka-Smale e a dimensão de

M ser 2 implicam que as interse¸c˜oes das variedades invariantes das pe¸cas envolvidas no 10_{Aten¸c˜ao a regularidade C}2_aqui!

11_{Com efeito, podemos fazer duas perturba¸c˜oes para destruir estas curvas do seguinte jeito: primeiro}

fazemos um caminho suave ligando a dinâmica da curva até identidade. Como os números de rota¸cão de

f nesta curva e da identidade são distintos (um é irracional e o outro é zero, podemos achar difeomorfismo

arbitrariamente próximo com número de rota¸cão racional. Em particular, todos os pontos desta curva agora passam a ser periódicos com o mesmo per´ıodo. Da´ı fazemos uma nova perturba¸cão para que a dinâmica fique Kupka-Smale. Como pontos periódicos de mesmo per´ıodo são isolados, a curva é destru´ıda.

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ciclo devem ser todas transversais. Isso segue do fato das interse¸cões no ciclos provirem de pontos periódicos (uma situa¸cão parecida com o Axioma B). Com efeito, sendo as pe¸cas localmente maximais, podemos usar a constru¸cão de Newhouse e Palis (a qual usa o fato dim(M ) = 2) de parti¸cões de Markov para obter que uma das seguintes possibilidades: ou os pontos das pe¸cas envolvidas no ciclos não estão nos bordos estável e instável das pe¸cas (i.e., eles são acumulados pelos dois lados de Ws e Wu por pontos das pe¸cas) – nessa situa¸cão, aproximamos convenientemente esses pontos por órbitas periódicas de modo que o ciclo é gerado por órbitas periódicas; ou algum ponto de alguma pe¸ca está no bordo estável ou instável de uma pe¸ca: nesse caso, Newhouse e Palis garantem que este ponto é periódico. Neste ponto, agradecemos ao Sylvain Crovisier o qual nos ajudou a esclarecer esse argumento numa conversa em 25/01/2008. Com isso, vemos que, em qualquer possibilidade, podemos assumir que o ciclo é gerado por pontos periódicos (como afirmamos). Sendo g Kupka-Smale, temos que o ciclo é formado apenas por interse¸cões transversais das variedades invariantes de algumas pe¸cas. Em particular, segue que os pontos de interse¸cão destas variedades deveriam estar em P er(g) = L(g), uma contradi¸cão com a defini¸cão de ciclo. Logo, g não possui ciclos

e a demonstra¸c˜ao est´a terminada. ¤

Agora iremos completar uma parte da prova do teorema 1.1 mostrando os lemas 2.1 e 2.2.

Prova do lema 2.1. Para come¸car a demonstra¸c˜ao, revisaremos um resultado fundamental na

teoria de C1-difeomorfismos:

Lemma 2.3 (Lema de Franks). Sejam f ∈ Dif f1_(M2_{) e U (f ) uma C}1_{-vizinhan¸ca de f .} Ent˜ao, existem ε > 0 e U0(f ) ⊂ U (f ) tais que, para todo difeomorfismo g ∈ U0(f ), todo subconjunto finito {x1, . . . , xN} ⊂ M , toda vizinhan¸ca U de {x1, . . . , xN} e toda cole¸c˜ao

finita de transforma¸c˜oes lineares Li : TxiM → Tg(xi)M com kLi− Dg(xi)k ≤ ε ∀ 1 ≤ i ≤ N,

podemos encontrar um difeomorfismo h ∈ U (f ) satisfazendo h(x) = g(x) para qualquer x ∈ {x1, . . . , xN} ∪ (M − U ) e Dh(xi) = Li para qualquer 1 ≤ i ≤ N .

Agora consideramos f ∈ Dif f1_(M2_{) e U (f ) a vizinhan¸ca de f das hip´oteses do lema e}

fixamos ε > 0 e U0(f ) fornecidos pelo lema de Franks. Afirmamos que nas condi¸c˜oes do

lema 2.1, existe δ > 0 tal que para todo g ∈ U0(f ) e p ∈ P erhyp(g) vale

|λ(p)| < (1 − δ)n ou |σ(p)| > (1 + δ)n,

onde n ´e o per´ıodo de p e |λ(p)| < 1 < |σ(p)| s˜ao os autovalores de Dgn_{(p) : T}

pM →

TpM . Em outras palavras, estamos dizendo que a hip´otese de ˆangulo entre os subespa¸cos

invariantes afastado de zero implica que a “for¸ca de hiperbolicidade” dos pontos periódicos deve ser uniforme (ao longo de uma das dire¸cões pelo menos) numa vizinhan¸ca de f . A prova desta afirma¸cão segue por contradi¸cão: suponha que existem δm → 0, gm ∈ U0(f ) e p_m∈ P er_hyp(g_m) com per´ıodo n_m tais que

(1 − δ_m)nm < |λ(p_m)| < 1 e 1 < |σ(p_m)| < (1 + δ_m)nm.

A idéia será usar o lema de Franks para reduzir o ângulo entre os subespa¸cos invariantes de pm, o que dá um absurdo. Concretamente, fixamos m inteiro grande e introduzimos as

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transforma¸c˜oes lineares T_i : T_gi_(p_m₎M → T_gi_(p_m₎M definidas por T_i|Es(gi(p_m)) = (1 − β₁)Id

e T_i|Eu_(gi_(p

m)) = (1 + β2)Id, onde β1 = 1 − λ(pm)1/nm e β2 = σ(pm)1/nm− 1. Note que a

condi¸c˜ao

](E_ps(g), Eu_p(g)) > γ

e a hipótese sobre λ(pm), σ(pm) implicam que as transforma¸cões lineares Ti estão

arbitraria-mente pr´oximas da identidade quando m → ∞.

Tomemos u, v ∈ TpmM vetores quaisquer com ](u, v) < γ e fixemos β3 > 0 pequeno tal

que a transforma¸c˜ao linear S : TpmM → TpmM dada por S(u) = (1 − β3)u, S(v) = (1 + β3)v

est´a muito pr´oxima da identidade. Finalmente, definimos Li : Tgi_(p_m₎M → T_gi_(p_m₎M por

Li = Ti+1◦ Dg(gi(pm)) para 0 ≤ i ≤ nm− 2 e Lnm−1 = S ◦ T0◦ Dg(gnm−1(p)). Escolhendo

convenientemente β3 > 0, uma conta simples mostra que kLi − Dg(gi(p))k < ε para todo

0 ≤ i ≤ nm− 1. Aplicando o lema de Franks, obtemos um difeomorfismo h ∈ U (f ) tal que

pm ´e um ponto peri´odico de h e Dh(hi(pm)) = Li. Como Dhnm(pm) = Lnm−1◦ · · · ◦ L0 = S,

segue que p_m ∈ P er_hyp(h) e Es

pm(h) = R · u e Epmu (h) = R · v, donde

](E_pms (g), E_pmu (h)) < γ, uma contradi¸c˜ao a qual prova nossa afirma¸c˜ao.

Com esta afirma¸cão em mãos, o resto da prova segue argumentos clássicos de Mañé [M3]. Sendo estes argumentos bem conhecidos da literatura e como eles foram detalhados em [PS] (p. 968–971), iremos nos contentar em fornecer apenas um esquema deste argumento. Primeiramente observa-se que basta mostrar que o conjunto P er_hyp(f ) possui uma decom-posi¸cão dominada (porque isto implica diretamente que P erhyp(f ) tem decomposi¸cão

dom-inada). Em segundo lugar, um exerc´ıcio elementar para o leitor consiste em verificar que a condi¸cão de decomposi¸cão dominada em P er_hyp(f ) equivale a condi¸cão: existe L inteiro tal que para todo p ∈ P erhyp(f ) podemos encontrar 1 ≤ m ≤ L com

kDfm|Es(p)k · kDf−m|Eu(fm(p))k < 1/2.

Raciocinando por contradi¸cão, assuma que L não existe. Isto significa que existe uma sequência pn∈ P erhyp(f ) com

kDfm|Es(p)k · kDf−m|Eu(fm(p))k ≥ 1/2

para todo 1 ≤ m ≤ n. Observemos que os per´ıodos de pn formam uma sequˆencia ilimitada.

De fato, caso os per´ıodos de pn fossem limitados, poder´ıamos passar a uma subsequˆencia de

maneira que, sem perda de generalidade, p_n iria convergir a um ponto peri´odico p, Es_(p n)

convergiria para um subespa¸co invariante E(p) e Eu_{(p) convergiria para um subespa¸co}

in-variante F (p). Note que p não é hiperbólico mas, pela afirma¸cão do parágrafo anterior, p tem dois autovalores reais, um deles com módulo diferente de 1. Por outro lado, nossas hipóteses sobre pn garantiriam que

kDfm|E(p)k · kDf−m|F (fm(p))k ≥ 1/2,

o que ´e imposs´ıvel porque um dos autovalores tem m´odulo diferente de 1.

Denotemos por mn o per´ıodo de pn (o qual verifica mn→ ∞ quando n → ∞ como vimos

acima). Usando a afirma¸c˜ao acima, podemos assumir sem perda de generalidade que

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para todo n (sendo o caso de |σ(p_n)| > (1 + δ)mn _{análogo). A idéia de Ma˜}_{né é a seguinte:}

fixamos v ∈ Es_(p

n) e w ∈ Eu(pn) vetores unit´arios onde n ´e um inteiro grande (para que mn

seja arbitrariamente grande e |λ(pn)| muito pequeno). O fato de |λ(pn)| tender

exponencial-mente rápido para zero combinado com o fato da domina¸cão falhar12permite introduzir uma fam´ılia de transforma¸cões lineares Li ε-próximas de Df (fi(pn)) as quais “deitam”

ligeira-mente os espa¸cos instáveis Eu_(fi_{(p), f ) na dire¸cão de E}s_(fi_{(p), f ) enquanto que eles não}

alteram o comportamento dos espa¸cos Es_(fi_{(p), f ) (veja [PS] p.969–970). Utilizando o lema}

de Franks, obtemos um difeomorfismo g C1-pr´oximo de f com Dg(gi(p)) = Li. Como

con-sequˆencia, vemos que Es_(gi_{(p), g) = E}s_(fi_{(p), f ) (porque L}

in˜ao altera os espa¸cos est´aveis de

f ), Eu_{(p, g) = E}u_{(p, f ), mas E}u_(gm_{(p), g) = L}

m−1◦· · ·◦L0(Eu(p, f )) faz ˆangulo menor que γ

com Es_(gm_{(p), g) para algum 0 < m < m}

n(isto ´e o efeito das muitas “rota¸c˜oes” compostas).

Da´ı temos uma contradi¸cão com a hipótese de ângulos afastados de zero, o que mostra que

P erhyp(f ) tem decomposi¸c˜ao dominada. Isto termina a prova do lema 2.1. ¤

Prova do lema 2.2. Come¸camos por enunciar um resultado sobre ˆangulos de subespa¸cos

in-variantes e a existˆencia de tangˆencias homoc´ınicas:

Lemma 2.4. Sejam f um C1 _{difeomorfismo e ε > 0. Assuma que f possui um ponto} peri´odico com autovalores |λ| < 1 < |σ| satisfazendo13 |λσ| < 1 e

](Es(p), Eu(p)) := γ < |σ| − 1 2(|σ| + 1) · ε.

Então, existe g um difeomorfismo ε C1-próximo de f tal que p é ponto periódico hiperbólico de g e g possui tangência homocl´ınica associada a p.

Proof. Os detalhes da demonstra¸c˜ao deste fato est˜ao em [PS] p. 972–973. Geometricamente,

a prova passa por fazer uma pertuba¸c˜ao local de f em torno de p de modo a “empurrar” a

Ws_{(p) na dire¸cão de W}u_{(p) com uma pequena perturba¸cão a qual toma proveito da hipótese}

de ˆangulo pequeno entre Eu(p) e Es(p). Veja a figura 1 abaixo. ¤

Figure 1. Criando tangˆencias a partir de ˆangulos pequenos.

12_{O que implica que o tamanho de kDf}n_{(p)vk ´e compar´avel com o tamanho de kDf}n_{(p)wk: mais}

precisa-mente, kDfn_{(p)vk ≤ 2kDf}n_{(w)k para todo n.}

(10)

Usando este lema como ferramenta (al´em do lema de Franks), Pujals e Sambarino [PS, p.974–975] concluem que

Lemma 2.5. Seja f um difeomorfismo longe de tangˆencias homocl´ınicas (i.e., f ∈ U).

Assuma que f ´e Kupka-Smale. Ent˜ao, existem γ > 0 e U (f ) vizinhan¸ca de f tais que

](Es(p), Eu(p)) > γ

para todo g ∈ U (f ) e p ∈ P erhyp(g).

Com este lema na nossa “caixa de ferramentas”, podemos finalizar a prova do lema 2.2 do seguinte jeito. Definimos a aplica¸cão Γ associando para cada difeomorfismo g o conjunto Γ(g) = P erhyp(g). Como pontos periódicos hiperbólicos nunca são destru´ıdos por pequenas

perturba¸cões, vemos que Γ é uma aplica¸cão semi-cont´ınua inferiormente (i.e., Γ(g) pode “ex-plodir” mas nunca “implode” quando variamos g). Da topologia geral sabemos que aplica¸cões semi-cont´ınuas possuem um conjunto residual de pontos de continuidade. Denotemos por R₁ o conjunto (residual) de pontos de continuidade de Γ. Em seguida, definimos KS como o conjunto dos difeomorfismos de Kupka-Smale e R2 o conjunto dos difeomorfismos g tais que

Ω(g) = P er(g). Pelos teoremas de Kupka-Smale e densidade geral de Pugh (resp.), temos que KS e R2 s˜ao conjuntos residuais. Tomamos R := R1∩ KS ∩ R2 subconjunto residual

de Dif f1_(M2_{) e R}

0 := R ∩ U subconjunto residual de U.

Para uso posterior, lembramos o seguinte teorema:

Theorem 2.1 (Pliss). Seja f um C1 difeomorfismo com infinitos po¸cos ou fontes (i.e.,

#P (f ) ∪ F (f ) = ∞). Então, para todo ε > 0, existe g um difeomorfismo ε C1_{-próximo de} f e p ∈ P (f ) tal que p é ponto periódico não-hiperbólico de g. Em particular, se bifurcamos este ponto periódico não-hiperbólico, podemos achar h um difeomorfismo ε C1_{-próximo de f} com um ponto periódico hiperbólico de tipo sela q arbitrariamente próximo de p.

Neste ponto, afirmamos que Ω0(f ) = P erhyp(f ) para todo f ∈ R0. Com efeito, como a

inclus˜ao P erhyp(f ) ⊂ Ω0(f ) sempre vale, nossa tarefa ´e mostrar Ω0(f ) ⊂ P erhyp(f ). Supondo

que este n˜ao fosse o caso, ter´ıamos um ponto x ∈ Ω0(f ) − P erhyp(f ). Fixe U uma vizinhan¸ca

de P erhyp(f ) tal que x /∈ U . Como f ∈ R0 ⊂ R1, segue que podemos tomar uma vizinhan¸ca U (f ) de f tal que todo g ∈ U (f ) satisfaz P er_hyp(g) ⊂ U . Por outro lado, como f ∈ R0 ⊂ R2, x deve ser acumulado por pontos peri´odicos e sendo x ∈ Ω0(f ) − P erhyp(f ) um ponto

não-periódico, vemos que x deve ser acumulado por uma sequência de po¸cos ou fontes. Em particular, f deve possuir uma quantidade infinita de po¸cos e/ou fontes. Pelo resultado de Pliss (teorema 2.1), existe g ∈ U (f ) e q ∈ P er_hyp(g) arbitrariamente próximo de x. Como

x /∈ U , isto implica que podemos escolher g ∈ U (f ) tal que P er_hyp(g) * U , uma contradi¸c˜ao com a escolha de U (f ). Isto prova nossa afirma¸c˜ao.

Utilizando nossa afirma¸c˜ao junto com o lema 2.5 e o lema 2.1, vemos que Ω0(f ) possui uma

decomposi¸c˜ao dominada E ⊕ F . Combinando esta informa¸c˜ao com o fato de f ∈ R0 ⊂ R,

podemos fixar U0, U vizinhan¸cas de Ω0(f ) com U0 ⊂ U e U (f ) ⊂ U uma vizinhan¸ca de f tais

que o maximal invariante T

n∈Z

gn_{(U ) possua uma decomposi¸c˜ao dominada e P er}

hyp(g) ⊂ U0

para todo g ∈ U (f ). Afirmamos que Ω₀(g) ⊂ U para todo g ∈ U (f ). De fato, caso contrário, existiriam g ∈ U (f ) e x ∈ Ω0(g) ∩ (M − U ). Claramente x não é um ponto periódico. Além

(11)

disso, x n˜ao pode ser acumulado por po¸cos e/ou fontes14_{de g. Por outro lado, aplicando o}

Closing Lemma de Pugh, ter´ıamos arbitrariamente perto de g um difeomorfismo h ∈ U (f ) tal que x seria um ponto periódico hiperbólico de h. Como x não é acumulado por po¸cos e/ou fontes de g, x seria um ponto periódico hiperbólico de tipo sela de h, o que seria uma contradi¸cão com a continuidade de Γ em f . Isto prova que Ω0(g) ⊂ U para todo g ∈ U (f ),

de modo que para todo g ∈ U (f ), Ω0(g) possui decomposi¸c˜ao dominada (pela escolha de U ).

Encerrando a demonstra¸c˜ao do lema 2.2, vemos que

U1 =

[

f ∈R0 U (f )

´e o subconjunto aberto e denso de U desejado. ¤

Resumindo a discussão desta se¸cão, nós fizemos a prova do teorema 1.1 (conjectura de Palis) inicialmente assumindo dois lemas ( 2.1 e 2.2) e o teorema 1.2. Em seguida, provamos os dois lemas, de modo que fica “apenas” a tarefa de mostrar o teorema 1.2 (o que pretendemos fazer nas próximas 3 se¸cões deste texto).

3. Prova do teorema 1.2 assumindo o teorema 3.1 Nesta se¸c˜ao, pretendemos reduzir o teorema 1.2 ao seguinte resultado

Theorem 3.1 (Theorem 3.1 de [PS]). Seja f um C2 _{difeomorfismo de M}2 _{e Λ ⊂ Ω(f ) um} compacto f -invariante com decomposi¸cão dominada. Assuma que todos os pontos periódicos de f em Λ são hiperbólicos de tipo sela. Então, uma das duas alternativas abaixo ocorre:

• Λ ´e um conjunto hiperb´olico ou

• Λ contém uma curva fechada simples C periódica (i.e., C é invariante por fm para algum m inteiro) e normalmente hiperbólica tal que fm_|

C : C → C ´e topologicamente

conjugada a uma rota¸c˜ao irracional (onde m ´e o per´ıodo de C).

Conforme dissemos na introdu¸cão, este resultado tem duas vantagens sobre o teorema 1.2 (apesar deles serem equivalentes no fim das contas): o seu enunciado é um pouco mais fraco e se assemelha mais ao enunciado do teorema 1.3 de Mañé15_{. Por enquanto, iremos assumir}

o teorema 3.1 e ver como o teorema 1.2 seguiria.

Prova do teorema 1.2 (m´odulo teorema 3.1). As hip´oteses do teorema 1.2 fornecem um

com-pacto f -invariante Λ ⊂ Ω(f ) com decomposi¸cão dominada T_Λ = E ⊕ F tal que todos os seus pontos periódicos são hiperbólicos de tipo sela. Nestas condi¸cões, desejamos provar que Λ pode ser escrito como a união de um conjunto hiperbólico e um número finito de curvas fechadas simples periódicas (normalmente hiperbólicas) com dinâmica irracional. Come¸camos por notar o seguinte fato trivial: em vista do teorema 3.1, basta mostrar que Λ contém ape-nas um número finito de curvas fechadas simples periódicas normalmente hiperbólicas com

14_{Porque sen˜ao poder´ıamos usar o teorema 2.1 de Pliss para contrariar a continuidade de Γ em f do mesmo}

modo como fizemos na afirma¸c˜ao anterior.

15_{Ou seja, este teorema seria uma generaliza¸c˜ao “mais natural” do teorema de Ma˜}_{n´e do ponto de vista de}

(12)

dinˆamica irracional16_{. Neste sentido, iremos argumentar por contradi¸c˜ao: suponha que existe}

uma sequˆencia Cn de curvas simples fechadas invariantes por fmn normalmente hiperb´olicas

com dinˆamica irracional. Sem perda de generalidade, podemos assumir que estas curvas s˜ao

normalmente atrativas, de maneira17 que TxCn = F (x) para todo n. Afirmamos que neste

contexto o comprimento destas curvas n˜ao tende a zero: Lemma 3.1. Existe η > 0 tal que diam(Cn) > η para todo n.

Proof. Suponha que o lema é falso. Passando a subsequência se necessário, podemos assumir

que diam(Cn) → 0 quando n → ∞. Al´em disso, podemos fixar xn∈ Cn e assumir que xn→ x

(passando a uma nova subsequˆencia). Sendo Λ ´e compacto, temos que x ∈ Λ. Por outro lado, como diam(Cn) → 0, vemos que para qualquer escolha de pontos yn∈ Cn, vale yn→ x. Como

decomposi¸c˜oes dominadas s˜ao cont´ınuas, temos F (y_n) → F (x). Por outro lado, trivializando o fibrado tangente numa vizinhan¸ca de x, vemos que, para todo n grande, podemos escolher

yn, zn ∈ Cn tais que TynCn e TznCn s˜ao ortogonais, i.e., F (yn) ⊥ F (zn) (porque Cn ´e curva

fechada). Isto ´e um absurdo porque F (yn) → F (x) e F (zn) → F (x). Veja a figura 2 abaixo

para uma descri¸c˜ao pict´orica desse argumento. ¤

Figure 2. Curvas fechadas com diâmetro pequeno não podem ser sempre tangentes a dire¸cão F .

Nosso objetivo seguinte será mostrar que não existem infinitas curvas periódicas de dinâmica irracional com diâmetro afastado de zero. Grosseiramente falando, a idéia é usar que a dinâmica de f nas curvas sendo irracional (e como o c´ırculo não possui homeomorfismos expansores), o subfibrado E deve ser uniformemente contrativo. Da´ı como as curvas tem diâmetro afastado de zero, suas bacias devem ter um tamanho bem-definido, de modo que só pode haver um número finito de tais curvas (já que as bacias são disjuntas).

16_{Com efeito, denotando por Λ}

2 a uni˜ao de tais curvas (contidas em Λ), vemos que o fato destas curvas

serem isoladas (por serem normalmente hiperbólicas e termos apenas uma quantidade finita destas curvas) combinado com a hipótese Λ ⊂ Ω(f ) garante que o conjunto Λ1= Λ − Λ2é um compacto f -invariante (o qual

está contido em Ω(f ) e possui decomposi¸cão dominada). Aplicando o teorema 3.1, como Λ1 não possui curvas

com dinâmica irracional (por defini¸cão), vemos que Λ1é hiperbólico, o que prova o teorema 1.2.

17_{Isso porque se C ⊂ Λ é uma curva periódica com dinâmica irracional, então T}_x_{C é um subespa¸co invariante.}

(13)

Para formalizar esta idéia, come¸camos por observar que na defini¸cão de decomposi¸cão dominada:

kDfn|E(x)k · kDf−n|F (fn(x))k ≤ C · λn,

onde C > 0 e λ ∈ (0, 1), podemos assumir que C = 1. De fato, devemos ter um pouco de aten¸cão aqui: o jeito clássico de remover a constante C (no contexto hiperbólico por exemplo) é usar a chamada métrica adaptada. Porém, esta técnica não se aplica aqui porque queremos ter uma métrica suave no que se segue e geralmente as métricas adaptadas não são muito suaves. Em qualquer caso, existe uma maneira mais simples de livrar-se da constante C em nosso caso: simplesmente trocamos f por um iterado fm _{para m suficientemente grande.}

Como o enunciado do teorema 1.2 é “invariante” por esta mudan¸ca, esta troca é inofensiva. Além disso, relembramos um lema fundamental de Pliss sobre trechos de órbitas com boas propriedades hiperbólicas (conhecidos na literatura mais recente como tempos hiperbólicos): Lemma 3.2 (Pliss). Sejam f um difeomorfismo e 0 < γ₁ < γ₂ < 1 duas constantes dadas. Então, existem N = N (γ1, γ2, kf kC1) inteiro e c = c(γ₁, γ₂, kf k_C1) > 0 tais que, para qualquer x ∈ M e qualquer subespa¸co S ⊂ TxM com

n−1_Y i=0

kDf |S_ik ≤ γ₁n (onde n ≥ N e S_i= Dfi(S)),

podemos encontrar inteiros 0 ≤ n1< n2 < · · · < nl≤ n verificando j

Y

i=nr

kDf |Sik ≤ γ₂j−nr

para todo 1 ≤ r ≤ l e n_r ≤ j ≤ n, onde l ≥ cn.

Um corolário útil (para nossos própositos) do lema de Pliss é

Corollary 3.1. Nas condi¸c˜oes do lema de Pliss, dados x ∈ M , S ⊂ TxM um subespa¸co e m

inteiro satisfazendo

n−1_Y i=0

kDf |Sik ≤ γ1n para todo n ≥ m,

ent˜ao podemos encontrar uma sequˆencia infinita de inteiros 0 ≤ n1 < n2. . . tais que

j

Y

i=nr

kDf |Sik ≤ γ₂j−nr

para todo j ≥ n_r e r ∈ N.

A prova deste corolário usando o lema de Pliss fica como um exerc´ıcio para o leitor. Uma observa¸cão simples (mas relevante no nosso contexto) é a seguinte: quando S ⊂ TxM é um

subespa¸co unidimensional, temos que

kDfn|Sk =

n−1_Y i=0

(14)

Esta observa¸cão sempre estará impl´ıcita nas nossas aplica¸cões futuras do lema de Pliss (e seu corolário). Fechando a se¸cão de preliminares (visando formalizar a idéia acima), precisaremos falar sobre variedades localmente invariantes tangentes as dire¸cões E e F da decomposi¸cão dominada. O primeiro passo nesta linha será mostrar que nas hipóteses do teorema 1.2, a condi¸cão de domina¸cão pode ser melhorada para 2-domina¸cão:

Lemma 3.3. Nas hip´oteses do teorema 1.2, existem C > 0 e 0 < σ < 1 tais que para todo

x ∈ Λ e n ≥ 0 temos a condi¸c˜ao de 2-domina¸c˜ao: • kDfn|E(x)k · kDf−n|F (fn(x))k2 ≤ Cσn • kDfn_|E(x)k2_{· kDf}−n_{|F (f}n_{(x))k ≤ Cσ}n

Proof. A idéia deste lema é a seguinte: a condi¸cão de 2-domina¸cão vem da ausência de

po¸cos em Λ. Mais precisamente, note que a condi¸c˜ao do primeiro item equivale18a seguinte propriedade: existe L inteiro positivo tal que para todo x ∈ Λ podemos encontrar 1 ≤ m ≤ L com

kDfm|E(x)k · kDf−m|F (fm(x))k2 < 1/2.

Agora suponha que o primeiro item da conclus˜ao do lema ´e falso. Isto implica que para todo

n ≥ 0 existe x_n∈ Λ tal que

kDfj|E(xn)k · kDf−j|F (fj(xn))k2≥ 1/2

para qualquer 0 ≤ j ≤ n. A menos de passar a subsequˆencia, podemos assumir que xn→ x ∈

Λ. Nosso objetivo será encontrar um po¸co p ∈ ω(x) ⊂ Λ, o que fornecerá uma contradi¸cão com as hipóteses do teorema 1.2 (segundo as quais Λ não tem po¸co nem fonte). Para isto, passamos ao limite na estimativa anterior e utilizamos a condi¸cão de decomposi¸cão dominada (com C = 1) para obter

1/2 ≤ kDfj|E(xn)k · kDf−j|F (fj(xn))k2 < λjkDf−j|F (fj(x))k.

Como F ´e unidimensional, kDf−j_{|F (f}j_{(x))k = kDf}j_{|F (x)k}−1_{, de modo que a estimativa}

acima diz que

kDfj|F (x)k ≤ 2λj

para todo j ≥ 0. Em outras palavras, acabamos de mostrar que a ausência de domina¸cão for¸ca o fibrado F a ser “contrativo”. Usando novamente a domina¸cão, podemos passar a estimativa acima para o fibrado E:

kDfj|E(x)k ≤ λjkDfj|F (x)k ≤ 2λ2j.

Em seguida lembramos que o fato da decomposi¸c˜ao TΛM = E ⊕ F ser dominada implica que

](E, F ) ≥ γ > 0. Da´ı segue que, para qualquer z ∈ Λ e n ≥ 0, vale

kDfn(z)k ≤ K · max{kDfn|E(z)k, kDfn|F (z)k} ≤ K · kDfn|F (z)k

para alguma constante K > 0. Em particular, sendo F unidimensional, temos

kDfqn(z)k ≤ n−1_Y j=0 kDfq(fjq(z))k ≤ n−1_Y j=0 KkDfq|F (fjq(z))k = kDfqn|F (z)k.

(15)

Fixando λ < σ₀ < 1 e tomando q inteiro grande tal que 2Kλq_{< σ}

0, vemos que para o ponto x ∈ Λ escolhido acima vale

n−1_Y j=0

kDfq(fjq(x))k ≤ Kn· (2λqn) ≤ σn₀ para todo n ≥ 0. Fazendo g := fq_{, obtemos que}

n−1_Y j=0

kDg(gj(x))k ≤ σ₀n

para todo n ≥ 0. Dito de outro modo, passamos o fato de Df ser contrativo ao longo de F (x) para o fato de um iterado grande fq _{ter derivada contrativa ao longo da ´orbita de x. Com}

isso, podemos aplicar o corol´ario 3.1 do lema de Pliss para obter uma sequˆencia de inteiros

nk→ ∞ tal que

kDgn(gnk(x)k ≤

n−1_Y j=0

kDg(gj+nk(z))k ≤ σ₁n

para todo k e n. Combinando esta informa¸c˜ao com o fato de g ser um difeomorfismo C1_,

segue que, fixando λ < σ0 < σ1< σ2 < 1, existe uma constante ρ > 0 (independente de k) tal

que g atua como uma σ2-contra¸cão na bola B(gnk(x), ρ) para todo k (i.e., d(gj(y), gj(z)) ≤ σ₂j · d(y, z) para todo j ≥ 0 e y, z ∈ B(gnk_{(x), ρ)). Utilizando esta informa¸cão, o leitor é}

convidado a mostrar que g = fq possui um po¸co p em ω(x) ⊂ Λ. Conforme já dissemos antes, isto é uma contradi¸cão (porque no teorema 1.2 assumimos que Λ não tem po¸cos). ¤ Da teoria de lamina¸cões invariantes de Hirsch, Pugh e Shub [HPS], temos a seguinte consequência interessante da 2-domina¸cão:

Corollary 3.2. Denotemos por I_µ= (−µ, µ). Nas condi¸c˜oes do lema anterior, existem duas

lamina¸c˜oes cont´ınuas φcs _{: Λ → Emb}2_(I

1, M ) e φcu : Λ → Emb2(I1, M ) tais que as curvas Wcs

ε (x) := φcs(Iε) e Wεcu(x) := φcu(Iε) satisfazem as seguintes propriedades:

• TxWεcs(x) = E(x) e TxWεcu(x) = F (x) (as curvas s˜ao tangentes as distribui¸c˜oes E e

F );

• para todo 0 < ε1 < 1 existe 0 < ε2 tal que f (Wεcs2(x)) ⊂ W

cs ε1(x) e f (W cu ε2(x)) ⊂ Wcu ε1(x) (invariˆancia local).

Em particular, da invariˆancia local, temos que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que • y ∈ Wcs

ε (x) e d(fj(y), fj(x)) ≤ δ para 0 ≤ j ≤ n implica fj(y) ∈ Wεcs(fj(x)) para

0 ≤ j ≤ n;

• y ∈ Wcu

ε (x) e d(f−j(y), f−j(x)) ≤ δ para 0 ≤ j ≤ n implica f−j(y) ∈ Wεcu(f−j(x))

para 0 ≤ j ≤ n.

Em outras palavras, estas lamina¸cões são “dinamicamente definidas” enquanto as órbitas dos pontos ficam próximas.

Agora veremos um critério fácil (baseado no terceiro item do corolário acima) e útil para saber quando as variedades centro-estáveis locais Wcs

ε (x) s˜ao variedades est´aveis

(16)

Corollary 3.3. Sejam x ∈ Λ e 0 < γ < 1 tais que kDfn_{|E(x)k ≤ γ}n_{para todo n ≥ 0. Ent˜ao,}

existe ε > 0 tal que `(fn_(Wcs

ε (x))) → 0 quando n → ∞, i.e., a variedade centro-est´avel local

Wcs

ε (x) ´e uma variedade est´avel local.

Proof. Fixemos ε1> 0 e tomemos δ = δ(ε1) > 0 dado pelo corol´ario anterior. Fixando c > 0

com γ1 = (1 + c)γ < 1, podemos assumir δ pequeno tal que definindo eE(z) := TzWεcs1(y)

valha

kDf | eE(z)k

kDf | eE(w)k ≤ 1 + c

para todo z, w ∈ Wcs

ε1(y) e y ∈ Λ. Em seguida tomamos ε > 0 pequeno tal que `(W

cs

ε (y)) ≤ δ

para todo y ∈ Λ. Com isto, vˆe-se que `(fn_(Wcs

ε (x))) ≤ γn1 · `(Wεcs(x)) e fn(Wεcs(x)) ⊂

Wcs ε1(f

n_{(x)). Isto prova o corol´ario.} _¤

Finalmente, vamos concluir a prova do teorema 1.2 (assumindo o teorema 3.1). Relembre que neste ponto nossa situa¸cão é a seguinte: temos uma sequência infinita Cn de curvas

fechadas simples peri´odicas (de per´ıodo mn) normalmente atrativas com dinˆamica irracional

cujos diâmetros ficam afastados de zero (pelo lema 3.1). Como já comentamos, queremos ver que isto é imposs´ıvel e a estratégia será mostrar que as bacias de atra¸cão de Cnsão “grandes”.

Com este intuito, fixemos 0 < λ < γ₁ < γ₂ < 1 (onde λ ´e a constante de domina¸c˜ao) e c > 0

com (1 + c)λ < γ1. Como a dinâmica de fmn : Cn → Cn é conjugada a rota¸cão irracional

(minimal, em particular) e sabemos que n˜ao existem homeomorfismos expansivos do c´ırculo (e difeomorfismos expansores, em particular), vemos que para cada curva Cn pode-se selecionar

um ponto xn∈ Cn e um inteiro kn tais que

kDfj|F (xn)k ≤ (1 + c)j

para todo j ≥ kn (i.e., temos pontos onde a dire¸cão dominadora F não é muito expandida).

Pela domina¸c˜ao, isto significa que a dire¸c˜ao E deve ser contra´ıda:

kDfj|E(xn)k ≤ (1 + c)jλj < γj

para todo j ≥ kn. Pelo corol´ario 3.1 do lema de Pliss, existe jn inteiro tal que

kDfj|E(yn)k ≤ γ2j, para todo j ≥ 0,

onde yn:= fjn(xn). Colocando esta informa¸c˜ao no corol´ario 3.3 acima, existe ε > 0 tal que,

para todo n, vale

`(fj(W_εcs(yn)) → 0

quando j → ∞. Por outro lado, passando a uma subsequência se necessário, podemos assumir que yn → y ∈ Λ. Como os diâmetros das curvas Cn estão afastados de zero, vemos

que para n16= n2 grandes, Wεcs(yn1) deve intersectar a ´orbita de Cn2 (porque ambas as curvas

s˜ao tangentes a F , as variedades est´aveis Wcs

ε (yn) s˜ao aproximadamente tangentes a E e o

ângulo entre E e F sempre é afastado de zero). Isto é a contradi¸cão desejada, a qual encerra

o argumento. ¤

Até este momento, todo o trabalho destas notas consistiu em reduzir os teoremas principais (teoremas 1.1 e 1.2) ao teorema 3.1 cujo enunciado está mais próximo do enunciado do teorema de Mañé. No restante destas notas, pretendemos adaptar o argumento de Mañé (uma tarefa

(17)

nada trivial!) para que este funcione no caso bidimensional do teorema 3.1. Por isso, para que o leitor aprecie melhor nossa discussão, sugerimos que ele tenha em mente o esquema do argumento de Mañé como apresentado nas notas [CM2] (em particular, ter estas notas em mãos para efeito de compara¸cão de argumentos seria ideal). Bem, após este aviso, passemos para a próxima se¸cão.

4. Prova do teorema 3.1 assumindo o Main Lemma

Lemma 4.1 (Main Lemma de [PS]). Seja Λ0 ⊂ Ω(f ) um compacto invariante não-trivial19 com uma decomposi¸cão dominada T_Λ₀M = E ⊕ F . Suponha que Λ₀ não é uma curva fechada

simples periódica com dinâmica irracinal e assuma que todo subconjunto próprio compacto invariante de Λ0 é hiperbólico. Então, Λ0 é hiperbólico.

Com este lema em mãos, a idéia de Pujals e Sambarino consiste em seguir os argumentos de Mañé [M2] para obter o teorema 3.1. Com efeito, nosso argumento abaixo será idêntico ao esquema feito na página 12 da nota [CM2].

Come¸camos nossas considera¸cões com um critério simples de hiperbolicidade para decom-posi¸cões dominadas similar ao lemma I.1 de [M2] (veja também o lema 4.1 de [CM2]). Lemma 4.2. Seja Λ um compacto invariante com decomposi¸cão dominada TΛM = E ⊕ F . Suponha que kDfn_{|E(x)k → 0 e kDf}−n_{|F (x)k → 0 (quando n → ∞) para todo x ∈ Λ.}

Então, Λ é hiperbólico.

Proof. Seguiremos o argumento da prova do lema 4.1 de [CM2]. No que se segue, iremos

mostrar que o fibrado E é estável (i.e., uniformemente contra´ıdo), sendo a prova de que o fibrado F é instável inteiramente análoga. Como kDfn_{|E(x)k → 0 (quando n → ∞)}

para todo x ∈ Λ, podemos selecionar nx ≥ 0 inteiro tal que kDfnx|E(x)k < 1/2. Por

continuidade, para cada x ∈ Λ existe uma vizinhan¸ca U (x) tal que kDfnx_{|E(y)k < 1/2}

para qualquer y ∈ U (x). Por compacidade, existem x1, . . . , xk ∈ Λ tais que as vizinhan¸cas

U1 := U (x1), . . . , Uk := U (xk) cobrem Λ. Denotemos por nj = n(xj) para todo 1 ≤ j ≤

k e N₀ := max{n₁, . . . , n_k}. Em seguida, fixemos C > 0 uma constante grande tal que kDfj_{|E(x)k ≤ C para todo 0 ≤ j ≤ N}

0. Para cada x ∈ Λ e n ≥ 1 inteiro, dividimos o trecho

de ´orbita {x, f (x), . . . , fn_{(x)} de acordo com a cobertura {U}

j} assim: tomamos i0inteiro com x ∈ Ui0, i1 inteiro com fni0(x) ∈ U (i1), etc. at´e chegarmos em fn(x). Em outras palavras,

estamos escrevendo20

n = ni0 + ni1 + · · · + nil−2+ r,

onde 0 ≤ r < N₀ e l ≥ n/N₀. Isto permite concluir a seguinte estimativa:

kDfn|E(x)k =

l−2

Y

j=0

kDfnij_|E(fnij−1_(x))k·kDfr_|E(fnil−2_{(x))k ≤ C}

µ 1 2 ¶_l−1 = 2Cλl·N0 _{≤ C} 0λn,

19_{Ou seja, Λ}₀ _{não se reduz a uma órbita periódica.}

20_{Basicamente isto ´e um algoritmo de divis˜ao com n´}_{umeros n}_j _{≤ N}₀_{, de modo que o resto r verifica}

(18)

onde λ :=¡1₂¢1/N0

< 1 e C0= 2C. Isto finaliza a prova.21 ¤

Agora vamos repertir o argumento de Mañé (descrito na página 12 de [CM2]) para mostrar o teorema 3.1:

Prova do teorema 3.1 assumindo o Main Lemma 4.1. Lembre que o enunciado do teorema 3.1

pede para mostrar que nas hipóteses do teorema 1.2 temos que Λ é hiperbólico ou Λ contém curvas com dinâmica irracional. Visando demonstrar este teorema, iremos assumir que Λ não contém tais curvas. Com isso, nossa tarefa é provar que Λ é hiperbólico. Suponha que Λ não é hiperbólico. Considere a cole¸cão

H := {eΛ ⊂ Λ : eΛ é compacto invariante não hiperbólico}

munida da ordem parcial dada pela inclusão. Note que Λ não hiperbólico implica Λ ∈ H (de modo que H 6= ∅). Além disso, dado HΓ = {Λγ : γ ∈ Γ} um subconjunto totalmente

ordenado de H (indexada por Γ), defina o compacto invariante ΛΓ =

T

γ∈Γ

Λγ. Obviamente

ΛΓ ´e uma cota inferior para os elementos de HΓ. Afirmamos que ΛΓ ∈ H (i.e., ΛΓ ´e

não-hiperbólico). Com efeito, se ΛΓ fosse hiperbólico, existiria uma vizinhan¸ca U de ΛΓ tal que o

maximal invariante T

n∈Z

fn_{(U ) seria hiperbólico. Porém a defini¸cão de Λ}

Γ e o fato de HΓ ser

totalmente ordenado implicam que para algum γ ∈ Γ ter´ıamos Λ_γ ⊂ U , de maneira que Λ_γ

seria hiperb´olico, uma contradi¸c˜ao.

Com isto, podemos aplicar o lema de Zorn para obter um elemento minimal Λ₀⊂ Λ em H.

Por minimalidade, todo subconjunto pr´oprio de Λ0 compacto invariante deve ser hiperb´olico.

Mais ainda, afirmo que Λ0´e transitivo n˜ao-trivial. Com efeito, sabemos que Λ0⊂ Λ, donde as

hipóteses do teorema 1.2 garante que os pontos periódicos em Λ0 são hiperbólicos. Como Λ0

não é hiperbólico, Λ0 não pode se reduzir a uma órbita periódica (i.e., Λ0 é não-trivial). Por

outro lado, se Λ₀não fosse transitivo, ter´ıamos que α(x) e ω(x) seriam subconjuntos próprios de Λ0 para todo x ∈ Λ0. Em particular, como estes conjuntos são compactos invariantes,

seguiria que α(x) e ω(x) seriam conjuntos hiperb´olicos para todo x ∈ Λ. Da´ı temos que

kDfn_{|E(x)k → 0 e kDf}−n_{|F (x)k → 0 quando n → ∞ para todo x ∈ Λ}

0. Pelo crit´erio de

hiperbolicidade do lema 4.2, obtemos que Λ0 é hiperbólico, uma contradi¸cão. Portanto, Λ0 é

n˜ao-trivial transitivo.

A conclusão desta discussão é que Λ0 satisfaz as hipóteses do Main Lemma 4.1 (ou seja,

Λ₀ tem decomposi¸cão dominada, todos os seus pontos periódicos são hiperbólicos, seus sub-conjuntos próprios compactos invariantes são hiperbólicos e Λ0é não-trivial transitivo); mas

isto é absurdo porque o Main Lemma garante que nestas condi¸cões Λ₀ é hiperbólico. Esta

contradi¸c˜ao termina a prova do teorema 3.1. ¤

Finalmente, iremos para a parte principal (e mais dura) destas notas: o esquema de demon-stra¸c˜ao do Main Lemma.

21_{Uma sugest˜ao numa primeira leitura deste argumento ´e pensar que todos os n}

js˜ao iguais (a N0), aplicar

o algoritmo de Euclides para escrever n = lN0+ r e fazer a estimativa direta. Fazendo isso o leitor ter´a mais

(19)

5. Prova do Main Lemma

Como a demonstra¸c˜ao do Main Lemma ´e bem longa e cheia de tecnicalidades22, fornecer-emos o esquema geral da prova para guiar o leitor:

• o primeiro passo consiste em estudar as propriedades dinˆamicas das variedades

centro-est´aveis Wcs_{(x) e centro-inst´aveis W}cu_{(x): basicamente estaremos interessados em ver}

que muito localmente estas variedades centro-estáveis são estáveis no sentido de que seus comprimentos tendem a zero por itera¸cão positiva (e similarmente variedades centro-instáveis são instáveis), ou seja, `(fn_(Wcs

ε(x)(x)) → 0 quando n cresce23;

• o segundo passo ser´a introduzir os conceitos de caixas adaptadas (e bem-adaptadas) e

seus retornos, os quais ser˜ao os substitutos bidimensionais dos conceitos de intervalos

adaptados e seus retornos idealizados por Ma˜né (veja a nota [CM2] p. 11); essen-cialmente estas caixas são definidas usando as variedadas estáveis e insta´veis; usando estas caixas prova-se um lema chave sobre as variedades centro-instáveis de todos os pontos: ou estas variedades centrais locais de tamanho fixo são “instáveis” (i.e., seus comprimentos tendem a zero por itera¸cão negativa) ou a dire¸cão

F é instável (usando-se para isso argumentos de distor¸cão limitada do tipo Denjoy);

além disso, mostra-se que todos pontos de caixas bem-adaptadas com retornos con-trativos possuem dire¸cão F sendo instável;

• finalmente, seguindo o argumento de Ma˜né (como em [CM2] p. 13),divide-se a análise em dois casos: Λ não minimal e Λ minimal; o caso não-minimal é um pouco mais fácil: usando as propriedades de caixas adaptadas (e seus retornos), prova-se que ao redor de um ponto x de Λ com x ∈ ω(x) (o qual existe por não-minimalidade) existe uma caixa bem-adaptada com infinitos retornos; da´ı segue que existe uma subcaixa com retornos contrativos, o que acabaria a prova pelo segundo passo acima; já o caso minimal é um pouco mais técnico porque pode não existir caixas com infinitos retornos e o argumento baseia-se num argumento do tipo Denjoy-Schwartz para a constru¸cão (“no bra¸co”) de caixas bem-adaptadas “boas”; uma vez constru´ıda esta caixa, o argumento termina porque a minimalidade for¸ca todos os pontos de Λ a passarem por esta caixa, um fato que implica que F é instável.

Para tornar nossa exposi¸cão mais organizada, iremos dividir esta se¸cão em três subse¸cões, cada uma das quais irá corresponder a um passo no esquema delineado acima.

5.1. Dinâmica das variedades centro-estáveis. Como falamos anteriormente, nosso ob-jetivo será mostrar que muito localmente as variedades centro-estáveis (resp. centro-instáveis) são “estáveis” (resp. “instáveis”) no sentido de que seus comprimentos tendem a zero por itera¸cão. Com esse intuito, vamos introduzir algumas nota¸cões e defini¸cões preliminares. Come¸camos com um compacto invariante Λ₀ com decomposi¸cão dominada T_Λ₀M = E ⊕ F .

Tomamos 0 < a < 1 pequeno suficiente de modo que os campos de cones Ccs

a e Cacu ao redor

de E e F possam ser estendidos a uma vizinhan¸ca Va(Λ0) (a qual chamaremos de vizinhan¸ca admiss´ıvel).

22_:(

23_{Note a dependˆencia de ε em x aqui! Por isso dissemos que a propriedade vale muito localmente (porque} ε(x) ´e muito pequeno dependendo de x).

(20)

Definition 5.1. Um intervalo I ⊂ V_a(Λ₀) é a-transversal à dire¸cão E se T_xI ⊂ Ccu

a (x) para

todo x ∈ I.

Remark 5.1. Dois fatos decorrentes diretamente da defini¸c˜ao s˜ao:

• Existe η > 0 tal que todo intervalo I transversal a dire¸c˜ao E com comprimento `(I) < η pode ser estendido a um intervalo I₀ ⊃ I transversal a dire¸c˜ao E com `(I0) > η.

• Variedades centro-instáveis (Wcu_{(x)) sempre são transversais a dire¸cão E.}

Dada V uma vizinhan¸ca admiss´ıvel e U ⊂ U ⊂ V , denotamos por Λ1 =

T

n∈Z

fn_{(U ) o}

maximal invariante de U e Λ+₁ = T

n≥0

f−n_{(U ) o conjunto de pontos com ´orbita futura em U .}

Definition 5.2. Dizemos que um C2_{-intervalo aberto I de M ´e um δ-E-intervalo se} • I ⊂ Λ+₁ e `(fn(I)) ≤ δ para todo n ≥ 0;

• fn_{(I), n ≥ 0, sempre ´e transversal a dire¸c˜ao E.}

Além disso, dizemos que I é um (δ, γ)-E-intervalo se I é um δ-E-intervalo tal que kDfn|E(x)k ≤ γn

para todo x ∈ I e n ≥ 0.

Moralmente, um δ-E-intervalo é um intervalo com órbita nunca tangente a dire¸cão E (dire¸cão com mais “talento” para ser contra´ıda) e mesmo assim ele nunca cresce (ou seja, não exibe o comportamento expansor esperado). Com este arsenal de nota¸cões, podemos reformular nossas expectativas para esta subse¸cão assim: sabemos que as variedades centro-instáveis locais Wcu

δ (x) s˜ao δ-E-intervalos; por outro lado, queremos mostrar que Wδcu(x) ´e

uma variedade fracamente estável (no sentido do comprimento tender a zero por itera¸cão); nesse ponto fazemos uma observa¸cão simples e muito relevante: se Wcu

δ (x) n˜ao ´e fracamente

est´avel, os comprimentos de seus iterados ficam afastados de zero, de modo que Wcu

δ (x) ´e um

δ-E-intervalo! Isso motiva o estudo da seguinte proposi¸c˜ao sobre δ-E-intervalos:

Proposition 5.1. Existe δ₀ > 0 tal que todo δ-E-intervalo I com 0 < δ < δ₀ satisfaz uma das seguintes propriedades:

• ω(I) é uma curva fechada simples periódica normalmente hiperbólica com dinâmica irracional ou

• ω(I) ⊂ P er(f |V ).

Uma consequência imediata desta proposi¸cão é

Corollary 5.1. Suponha que Λ0 não contém curvas fechadas periódicas de dinâmica irra-cional. Então, existe uma vizinhan¸ca admiss´ıvel V de Λ0 tal que todo δ-E-intervalo (com δ > 0 pequeno) verifica ω(I) ⊂ P er(f |V ).

Proof. Tomamos V0 vizinhan¸ca admiss´ıvel, U ⊂ U ⊂ V0 e Λ1 =

T

n∈Z

fn_{(U ). Se U n˜ao cont´em}

tais curvas, podemos tomar V = V₀ e usar a proposi¸cão 5.1 para concluir o corolário. Caso contrário, nós usamos o argumento da nota-de-rodapé 18 na página 12 desse texto e obtemos

(21)

que o fato de Λ₁ possuir decomposi¸cão dominada implica que Λ₁ contém apenas um número finito de curvas periódicas de dinâmica irracional. Como nenhuma dessas curvas está em Λ0

(por hip´otese), podemos encontrar uma vizinhan¸ca admiss´ıvel V de Λ0 a qual n˜ao encontra

nenhuma das curvas. Aplicando novamente a proposi¸cão 5.1, acabamos a prova. ¤ Voltando ao Main Lemma, assumimos que Λ0 não tem curvas simples fechadas periódicas

de dinˆamica irracional. Pelo corol´ario 5.1, conseguimos uma vizinhan¸ca admiss´ıvel V de Λ0 e

uma constante δ0> 0 tais que todo δ-E-intervalo I com 0 < δ < δ0verifica ω(I) ⊂ P er(f |V ).

Uma vez fixados V e δ₀, podemos enunciar o resultado principal dessa subse¸c˜ao assim: Proposition 5.2. Para todo 0 < ε ≤ δ0 existe γ = γ(ε) > 0 tal que

• f−n_(Wcu

γ (x)) ⊂ Wεcu(f−n(x)) e fn(Wγcs(x)) ⊂ Wεcs(x) para todo n ≥ 0;

• para todo 0 < γ < γ(δ₀) vale `(f−n_(Wcu

γ (x)) → 0 quando n → ∞ ou x ∈ Wu(p) para

algum p ∈ P er(f |Λ0) e p ∈ Wγcu(x) (mais ainda, a propriedade an´aloga para Wcs

tamb´em vale).

Para o resto dessa subse¸c˜ao, faremos os esquemas das provas das proposi¸c˜oes 5.1 e 5.2.

Prova da proposi¸c˜ao 5.1. Come¸camos com um pequeno lema garantindo que sempre podemos

iterar δ-E-intervalos para que eles se tornem (δ, γ)-E-intervalos:

Lemma 5.1. Seja 0 < λ < γ < 1 (onde λ é a constante de domina¸cão). Então, existe

δ1 = δ1(γ) > 0 tal que para cada I ´e um δ-E-intervalo com δ ≤ δ1 podemos encontrar m ≥ 0 inteiro de modo que fm_{(I) ´e um (δ, γ)-E-intervalo.}

Proof. Da defini¸cão segue que se I é δ-E-intervalo então fm_{(I) é δ-E-intervalo para todo}

m ≥ 0. Por isso, resta apenas mostrar que existe δ₁ = δ₁(γ) > 0 tal que se I ´e δ-E-intervalo com δ < δ1, ent˜ao para algum m ≥ 0 temos kDfn|E(y)k ≤ γnpara todo y ∈ fm(I). Fixemos

0 < λ < λ0 < λ1 < γ < λ2 < λ3 < 1 constantes com λ/λ2 < λ0 e tome c > 0 com

(1 + c)λ1 < γ, (1 − c)λ3 < λ2.

Dada esta escolha de c > 0, sabemos que existe δ1 = δ1(c) = δ1(γ) > 0 pequeno e Va(Λ0)

vizinhan¸ca admiss´ıvel tais que a seguinte propriedade de distor¸c˜ao vale

kDf | eF (x)k

kDf | eF (y)k > 1 − c e

kDf |E(x)k

kDf |E(y)k < 1 + c

para todo x, y ∈ V_a(Λ₀) com d(x, y) < δ₁, onde eF ´e uma dire¸c˜ao qualquer dentro do cone

centro-inst´avel Ccu

a . Considere I um δ-E-intervalo com δ < δ1. Pela escolha de δ1, vemos

que Txfn(I) ⊂ Cacu(x) para todo x ∈ I. Mais ainda, como ω(x) ∈ Λ1 para qualquer x ∈ Λ+1,

segue que existe um inteiro n0 grande tal que fn(I) ⊂ Va(I) para todo n ≥ n0. Neste

ponto, trocamos I por fn0_{(I), de maneira que podemos assumir as propriedades descritas}

acima v´alidas para todo n ≥ 0. Denotemos por eF (x) = Txfn(I) quando x ∈ fn(I). Como

e

F (x) ⊂ Ccu

a (x) e a > 0 é pequeno, vemos que a condi¸cão de domina¸cão implica kDf |E(x)k ·

kDf−1_{| e}_{F (f (x))k < λ.}

Tome x ∈ I. Afirmamos que o fato de I ser um δ-E-intervalo (i.e., I n˜ao cresce muito por itera¸c˜oes) implica que kDfn_{| e}_{F (x)k ≤ 1/λ}n

2 para todo n grande. Com efeito, caso contr´ario